一类Caputo-Fabrizio脉冲分数阶微分方程解的存在性

Existence of Solutions for a Class of Caputo-Fabrizio Impulsive Fractional Differential Equations

摘要: 在Banach空间中研究一类具有Caputo-Fabrizio分数阶导数且在非局部条件下的脉冲分数阶微分方程解的存在性。利用Schaefer不动点定理，压缩映射原理，Arzela-Ascoli定理，得到了该脉冲分数阶问题至少一个解和唯一解，并用一个例子验证其中一个结论。

Abstract: The existence of a class of impulsive fractional differential equations with Caputo-Fabrizio fractional derivatives under non-local conditions is studied in Banach space. Based on Schaefer’s fixed point theorem, compression mapping principle and Arzela-Ascoli theorem, at least one solution and the only solution of the pulse fractional order problem are obtained, and one of the conclusions is verified by an example.

1. 引言

分数阶微分方程在描述物理、生物、经济等领域的非整数阶动力系统中有着广泛的应用[1] [2]。近年来，随着分数阶微分方程理论的发展，越来越多的学者开始关注分数阶微分方程。这类方程在描述具有脉冲效应的系统时，如金融市场、人口动态等，具有显著优势。

2015年，Caputo和Fabrizio [3]定义了一种没有奇异核的新的分数阶导数，在经典的Caputo分数阶导数

${}^{C}D{}^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(1-\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^t{\left(t-s\right)}^{-\alpha }{f}^{\prime }\left(s\right)\text{d}s}$

基础上，用$\frac{M\left(\alpha \right)}{1-\alpha }$ 替换$\frac{1}{\Gamma \left(1-\alpha \right)}$ ，$\exp \left(-\alpha \frac{t-s}{1-\alpha }\right)$ 替换${\left(t-s\right)}^{-\alpha }$ ，得到Caputo-Fabrizio分数阶导数。

同年，Losada和Nieto [4]提出了与Caputo-Fabrizio分数阶导数相对应的分数阶积分，并证明了Caputo-Fabrizio线性分数阶微分方程

$\{\begin{array}{l}{}^{CF}D{}^{\alpha }x\left(t\right)=\lambda x\left(t\right)+u\left(t\right),t\ge 0,\lambda \in ℝ,\\ x\left(0\right)=x_0\in ℝ.\end{array}$

解的存在性。

2021年，Abbas [5]利用压缩映射的拓扑度不动点定理，研究了Caputo-Fabrizio型分数阶导数脉冲分数阶微分方程的初值问题

$\{\begin{array}{l}{}^{CF}D{}^{\alpha }x\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in J=\left[0,T\right],t\ne t_i,\\ x\left(0\right)=x_0,\\ \Delta x\left(t_i\right)=I_i\left(x\left(t_i^{-}\right)\right),i=1,2,\cdots ,n.\end{array}$

解的存在唯一性。

在某些应用场景中，系统的历史状态对当前状态的影响不能简单地用一个局部条件来刻画。因此，需要引入非局部条件来更准确地描述这种动态行为。文献[6]研究了任意Hilbert空间中一类具有非局部条件的非线性脉冲中立型含Caputo分数阶导数的微分方程，利用解析半群理论和不动点方法证明了一类近似解的存在唯一性；文献[7]利用解算子理论、近似技术、半群理论和不动点理论，研究了非局部和脉冲中立型积分微分方程的近似可控性。文献[8]研究了包含Caputo分数阶导数的分数阶微分方程柯西问题

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^{\alpha }x\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in J:=\left[0,T\right],\\ x\left(0\right)+g\left(x\right)=x_0.\end{array}$

解的存在唯一性和数据依赖性。

基于上述工作，本文研究了在Banach空间中包含Caputo-Fabrizio分数阶导数且具有非局部条件的下列脉冲分数阶微分方程

$\{\begin{array}{l}{}^{CF}D{}^{\alpha }x\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in J=\left[0,T\right],t\ne t_i,\\ \Delta x\left(t_i\right)=I_i\left(x\left(t_i\right)\right),i=1,2,\cdots ,n,\\ x\left(0\right)+g\left(x\right)=x_0.\end{array}$ (1)

解的存在性，其中${}^{CF}D{}_t^{\alpha }x\left(t\right)$ 是$0<\alpha <1$ 阶的Caputo-Fabrizio分数阶导数，函数$f:J\times X\to X$ 连续，$\Delta x\left(t_i\right)=x\left(t_i^{+}\right)-x\left(t_i^{-}\right)$ ，$x\left(t_i^{-}\right),x\left(t_i^{+}\right)$ 表示$x=t_i$ 处的左、右极限，$I_i$ 是脉冲函数，非局部项$g:PC\left(J,X\right)\to X$ 是连续映射，$PC\left(J,X\right)$ 是所有从J到X的连续函数的Banach空间。对于$x\in PC\left(J,X\right)$ ，其范数为$\Vert x\Vert :=\sup \left\{\left|x\left(t\right)\right|:t\in J\right\}$ 。

2. 预备知识

定义1 [4]设$0<\alpha <1$ ，$f\in C^1\left[0,b\right)$ 且$b>0$ ，Caputo-Fabrizio分数阶导数的定义为

${}^{CF}D{}^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{\left(2-\alpha \right)M\left(\alpha \right)}{2\left(1-\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t\exp \left(-\frac{\alpha \left(t-s\right)}{1-\alpha }\right)f^{\prime }\left(s\right)\text{d}s}.$

其中$M\left(\alpha \right)$ 是一个依赖于$\alpha$ 的归一化常数，当且仅当f是常数函数时，${}^{CF}D{}^{\alpha }f\left(t\right)=0$ 。

定义2 [4]设$0<\alpha <1$ ，函数f的$\alpha$ 阶Caputo-Fabrizio分数阶积分的定义为

${}^{CF}I{}^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{2\left(1-\alpha \right)}{\left(2-\alpha \right)M\left(\alpha \right)}f\left(t\right)+\frac{2\alpha }{\left(2-\alpha \right)M\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s\right)\text{d}s},t\ge 0.$

根据前面的定义，函数f的$0<\alpha <1$ 的Caputo-Fabrizio型分数阶积分是函数f与其一阶积分的平均值。

$\frac{2\left(1-\alpha \right)}{\left(2-\alpha \right)M\left(\alpha \right)}+\frac{2\alpha }{\left(2-\alpha \right)M\left(\alpha \right)}=1.$

由此可得出结论

$M\left(\alpha \right)=\frac{2}{2-\alpha },0\le \alpha \le 1.$

定理1 [9] (Banach压缩映射原理)设X是完备的度量空间，$T:X\to X$ 是一个压缩映射，那么T有且只有一个不动点。

定理2 [10] (Schaefer不动点定理)设X是Banach空间，$Q:X\to X$ 是一个完全连续算子，如果集合

$S\left(Q\right)=\left\{x\in X:x=\lambda Qx,0<\lambda <1\right\}$

有界，则Q有一个不动点。

定理3 [11] (Arzela-Ascoli定理)设X紧，$H\subset C\left(X\right)$ ，则H相对紧，当且仅当H有界且等度连续。

3. 主要结论

引理1 [4]函数$x\in PC\left(J,X\right)$ 是积分方程

$x\left(t\right)=x_0+c_{\alpha }\left(\sigma \left(t\right)-\sigma \left(0\right)\right)+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^t\sigma \left(s\right)\text{d}s},t\ge 0,$

的解，当且仅当x是以下方程

$\{\begin{array}{l}{}^{CF}D{}^{\alpha }x\left(t\right)=\sigma \left(t\right),0<\alpha <1,t\ge 0,\\ x\left(0\right)=x_0\in X.\end{array}$

的解，其中$c_{\alpha }=\frac{2\left(1-\alpha \right)}{\left(2-\alpha \right)M\left(\alpha \right)}=1-\alpha$ ，$d_{\alpha }=\frac{2\alpha }{\left(2-\alpha \right)M\left(\alpha \right)}=\alpha$ 。

引理2函数$x\in PC\left(J,X\right)$ 是积分方程

$x\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{x}_0-g\left(x\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(0,x\left(0\right)\right)\right]+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},t\in \left[0,t_1\right],\\ x_0-g\left(x\right)+{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{I}_i\left(x\left(t_i\right)\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(0,x\left(0\right)\right)\right]}\\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}},t\in \left(t_i,t_{i+1}\right],i=1,\cdots ,n.\end{array}$ (2)

的解，当且仅当x是脉冲分数阶微分方程(1)的一个解。

证明 首先设$x\in PC\left(J,X\right)$ 是脉冲分数阶微分方程(1)的一个解，那么，对于$t\in \left[0,t_1\right]$ ，${}^{CF}D{}^{\alpha }x\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)$ ，$x\left(0\right)+g\left(x\right)=x_0$ ，由引理1，得

$x\left(t\right)=x_0-g\left(x\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(0,x\left(0\right)\right)\right]+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$

对于$t\in \left(t_1,t_2\right]$ ，${}^{CF}D{}^{\alpha }x\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)$ ，$x\left(t_1^{+}\right)=x\left(t_1^{-}\right)+I_1\left(x\left(t_1^{-}\right)\right)$ ，由引理1，有

$\begin{array}{c}x\left(t\right)=x\left(t_1^{+}\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)\right]+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ =x\left(t_1^{-}\right)+I_1\left(x\left(t_1^{-}\right)\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)\right]+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ =x_0-g\left(x\right)+I_1\left(x\left(t_1^{-}\right)\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)-f\left(0,x\left(0\right)\right)\right]\\ +c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)\right]+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ =x_0-g\left(x\right)+I_1\left(x\left(t_1^{-}\right)\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(0,x\left(0\right)\right)\right]\\ +d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\end{array}$

对于$t\in \left(t_2,t_3\right]$ ，${}^{CF}D{}^{\alpha }x\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right)$ ，$x\left(t_2^{+}\right)=x\left(t_2^{-}\right)+I_2\left(x\left(t_2^{-}\right)\right)$ ，有

$\begin{array}{c}x\left(t\right)=x\left(t_2^{+}\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\right]+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ =x\left(t_2^{-}\right)+I_2\left(x\left(t_2^{-}\right)\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\right]+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ =x_0-g\left(x\right)+I_1\left(x\left(t_1^{-}\right)\right)+I_2\left(x\left(t_2^{-}\right)\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)-f\left(0,x\left(0\right)\right)\right]\\ +c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\right]+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ +d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t_2}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ =x_0-g\left(x\right)+I_1\left(x\left(t_1^{-}\right)\right)+I_2\left(x\left(t_2^{-}\right)\right)+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(0,x\left(0\right)\right)\right]\\ +d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t_1}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t_2}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\end{array}$

对于$t\in \left(t_i,t_{i+1}\right]$ ，有

$\begin{array}{l}x\left(t\right)=x_0-g\left(x\right)+{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{I}_i\left(x\left(t_i\right)\right)}+c_{\alpha }\left[f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(0,x\left(0\right)\right)\right]\\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},i=1,\cdots ,n.\end{array}$

反之，如果x满足(2)，可以证明x是(1)的解。证毕。

定义算子：$T:PC\left(J,X\right)\to PC\left(J,X\right)$

$\begin{array}{l}\left(Tx\right)\left(t\right)=b_{\alpha }-g\left(x\right)+{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{I}_i\left(x\left(t_i\right)\right)+c_{\alpha }}f\left(t,x\left(t\right)\right)\\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}},t\in \left(t_i,t_{i+1}\right],i=1,\cdots ,n.\end{array}$

其中$b_{\alpha }=x_0-c_{\alpha }f\left(0,x\left(0\right)\right)$ 。

因此，脉冲分数阶微分方程(1)的解的存在性等价于算子T不动点的存在性。

为了证明方便，我们做了以下假设：

(H₁) 对$\forall x,y\in X$ ，$t\in J$ ，存在${\delta }_f>0$ ，使得

$\Vert f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\Vert \le {\delta }_f\Vert x-y\Vert ,$

对$\forall \left(t,x\right)\in \left(J,X\right)$ ，存在${\delta }_1>0,{\alpha }_1\in \left[0,1\right)$ ，${\delta }_2>0$ 使得

$\Vert f\left(t,x\right)\Vert \le {\delta }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_1}+{\delta }_2,$

(H₂) 脉冲函数$I_i:X\to X$ ，存在${\gamma }_I\in \left[0,\frac{1}{n}\right)$ ，使得

$\Vert I_i\left(x\right)-I_i\left(y\right)\Vert \le {\gamma }_I\Vert x-y\Vert ,$

对$\forall x\in X$ ，$t\in J$ ，存在${\gamma }_1>0$ ，${\alpha }_2\in \left[0,1\right)$ ，${\gamma }_2>0$ 使得

$\Vert I_i\left(x\right)\Vert \le {\gamma }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_2}+{\gamma }_2,$

(H₃) 对$\forall x,y\in X$ ，$t\in J$ ，存在${\delta }_f>0$ ，$C_g>0$ 使得

$\Vert g\left(x\right)-g\left(y\right)\Vert \le C_g\Vert x-y\Vert ,$

对$\forall x\in PC\left(J,X\right)$ ，存在$C_1>0$ ，${\alpha }_3\in \left[0,1\right)$ ，$C_2>0$ 使得

$\Vert g\left(x\right)\Vert \le C_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_3}+C_2,$

引理3算子T在$PC\left(J,X\right)$ 上连续。

证明 设$\left\{x_n\right\}$ 是$PC\left(J,X\right)$ 中的一个序列，且$x_n\to x$ ，对$\forall t\in J$ ，有

$\begin{array}{c}\Vert \left(T{x}_n\right)\left(t\right)-\left(Tx\right)\left(t\right)\Vert \le \Vert g\left(x_n\right)-g\left(x\right)\Vert +{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}\Vert I_i\left(x_n\left(t_i\right)\right)-I_i\left(x\left(t_i\right)\right)\Vert }+c_{\alpha }\Vert f\left(t,x_n\left(t\right)\right)-f\left(t,x\left(t\right)\right)\Vert \\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}\Vert f\left(s,x_n\left(s\right)\right)-f\left(s,x\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^t\Vert f\left(s,x_n\left(s\right)\right)-f\left(s,x\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}\\ \le C_g\Vert x_n-x\Vert +{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\gamma }_I\Vert x_n-x\Vert }+c_{\alpha }{\delta }_f\Vert x_n-x\Vert \\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}{\delta }_f\Vert x_n-x\Vert \text{d}s}}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^t{\delta }_f\Vert x_n-x\Vert \text{d}s}\\ \le \left(C_g+n{\gamma }_I+c_{\alpha }{\delta }_f+d_{\alpha }nT{\delta }_f+d_{\alpha }T{\delta }_f\right)\Vert x_n-x\Vert \end{array}$

当$n\to \infty$ ，$\Vert \left(T{x}_n\right)\left(t\right)-\left(Tx\right)\left(t\right)\Vert \to 0$ 。因此，T是连续的。

引理4算子T在$PC\left(J,X\right)$ 上有界。

证明 需要证明，对$\forall \mu >0$ ，存在一个$K>0$ 的常数，使得对于每个$x\in B_{\mu }=\left\{{\Vert x\Vert }_{PC}\le \mu :x\in PC\left(J,X\right)\right\}$ ，使得${\Vert Tx\Vert }_{PC}\le K$ 。现在，设$\left\{x_n\right\}$ 是有界子集$M\subset B_{\mu }$ 上的一个序列，对于每个$x_n\in M$ ，通过假设(H₁)~(H₃)，有

$\begin{array}{l}\Vert \left(T{x}_n\right)\left(t\right)\Vert \le \left|b_{\alpha }\right|+\Vert g\left(x_n\right)\Vert +{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}\Vert I_i\left(x_n\left(t_i\right)\right)\Vert +c_{\alpha }}\Vert f\left(t,x_n\left(t\right)\right)\Vert \\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}\Vert f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^t\Vert f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}}\\ \le \left|b_{\alpha }\right|+C_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_3}+C_2+n\left({\gamma }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_2}+{\gamma }_2\right)\\ +c_{\alpha }\left({\delta }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_1}+{\delta }_2\right)+d_{\alpha }nT\left({\delta }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_1}+{\delta }_2\right)+d_{\alpha }T\left({\delta }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_1}+{\delta }_2\right)\\ \le \left|b_{\alpha }\right|+C_1{\mu }^{{\alpha }_3}+C_2+n\left({\gamma }_1{\mu }^{{\alpha }_2}+{\gamma }_2\right)\\ +\left(c_{\alpha }+d_{\alpha }nT+d_{\alpha }T\right){\delta }_1{\mu }^{{\alpha }_1}+\left(c_{\alpha }+d_{\alpha }nT+d_{\alpha }T\right){\delta }_2:=K.\end{array}$

因此，$\Vert \left(Tx\right)\left(t\right)\Vert \le K$ ，$\left(T{x}_n\right)$ 在M上一致有界。

引理5算子T在$PC\left(J,X\right)$ 上是等度连续的。

证明 设$\left\{x_n\right\}$ 是在引理4中定义的有界子集M的一个序列，对于$t_1,t_2\in J,t_1<t_2$ ，有

$\begin{array}{c}\Vert \left(T{x}_n\right)\left(t_2\right)-\left(T{x}_n\right)\left(t_1\right)\Vert \le \Vert {\displaystyle \sum _{0<t_i<t_2-t_1}{I}_i\left(x_n\left(t_i\right)\right)}+c_{\alpha }\left[f\left(t_2,x_n\left(t_2\right)\right)-f\left(t_1,x_n\left(t_1\right)\right)\right]\Vert \\ +\Vert d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t_2-t_1}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}}\Vert \\ \le {\displaystyle \sum _{0<t_i<t_2-t_1}\Vert I_i\left(x_n\left(t_i\right)\right)\Vert }+c_{\alpha }\Vert f\left(t_2,x_n\left(t_2\right)\right)-f\left(t_1,x_n\left(t_1\right)\right)\Vert \\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t_2-t_1}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}\Vert f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}}\\ \le {\displaystyle \sum _{0<t_i<t_2-t_1}\Vert I_i\left(x_n\left(t_i\right)\right)\Vert }+c_{\alpha }\Vert f\left(t_2,x_n\left(t_2\right)\right)-f\left(t_1,x_n\left(t_1\right)\right)\Vert \\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t_2-t_1}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}\Vert f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}+d_{\alpha }\left({\delta }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_1}+{\delta }_2\right)}\left(t_2-t_1\right).\end{array}$

当$t_2\to t_1$ 时，上述不等式右端趋于0。因此，$\left(T{x}_n\right)$ 是等度连续的。

引理6算子T在$PC\left(J,X\right)$ 上是紧的。

证明 设一个闭子集$K\subset PC\left(J,X\right)$ ，由引理4，5知，$T:PC\left(J,X\right)\to PC\left(J,X\right)$ 是有界且等度连续的。根据Arzela-Ascoli定理，可以得出T(K)是$PC\left(J,X\right)$ 的一个相对紧的子集。因此，$T:PC\left(J,X\right)\to PC\left(J,X\right)$ 是紧算子。

定理4假设(H₁)-(H₃)成立，脉冲分数阶微分方程(1)至少有一个解。

证明 易知，算子T的不动点是(1)的解。显然，算子$T:PC\left(J,X\right)\to PC\left(J,X\right)$ 是连续且完全连续的，则证明$S\left(T\right)=\left\{x\in PC\left(J,X\right):x=\lambda Tx,\lambda \in \left[0,1\right]\right\}$ 是有界的，设$x\in S\left(T\right)$ ，则对某个$\lambda \in \left[0,1\right]$ ，$x=\lambda Tx$ ，有

$\begin{array}{c}{\Vert x\left(t\right)\Vert }_{PC}=\lambda \Vert \left(Tx\right)\left(t\right)\Vert \le \left|b_{\alpha }\right|+\Vert g\left(x\right)\Vert +{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}\Vert I_i\left(x\left(t_i\right)\right)\Vert +c_{\alpha }}\Vert f\left(t,x\left(t\right)\right)\Vert \\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^t\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}}\\ \le \left|b_{\alpha }\right|+C_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_3}+C_2+n\left({\gamma }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_2}+{\gamma }_2\right)\\ +c_{\alpha }\left({\delta }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_1}+{\delta }_2\right)+d_{\alpha }nT\left({\delta }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_1}+{\delta }_2\right)+d_{\alpha }T\left({\delta }_1{\Vert x\Vert }^{{\alpha }_1}+{\delta }_2\right)\\ \le \left|b_{\alpha }\right|+C_1{\mu }^{{\alpha }_3}+C_2+n\left({\gamma }_1{\mu }^{{\alpha }_2}+{\gamma }_2\right)\\ +\left(c_{\alpha }+d_{\alpha }nT+d_{\alpha }T\right){\delta }_1{\mu }^{{\alpha }_1}+\left(c_{\alpha }+d_{\alpha }nT+d_{\alpha }T\right){\delta }_2\\ \le K.\end{array}$

其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\in \left[0,1\right)$ ，由引理4的结果表明，S在$PC\left(J,X\right)$ 中有界。根据Schaefer不动点定理，T至少有一个不动点，该不动点是(1)的解。

定理5假设(H₁)~(H₃)成立，如果

$C_g+n{\gamma }_I+c_{\alpha }{\delta }_f+d_{\alpha }nT{\delta }_f+d_{\alpha }T{\delta }_f<1$

那么分数阶脉冲问题(1)在$PC\left(J,X\right)$ 上有唯一解。

证明 T是$PC\left(J,X\right)$ 上的压缩映射。对$\forall x,y\in PC\left(J,X\right)$ ，有

$\begin{array}{c}\Vert \left(Tx\right)\left(t\right)-\left(Ty\right)\left(t\right)\Vert \le \Vert g\left(x\right)-g\left(y\right)\Vert +{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}\Vert I_i\left(x\left(t_i\right)\right)-I_i\left(y\left(t_i\right)\right)\Vert }+c_{\alpha }\Vert f\left(t,x\left(t\right)\right)-f\left(t,y\left(t\right)\right)\Vert \\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)-f\left(s,y\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^t\Vert f\left(s,x\left(s\right)\right)-f\left(s,y\left(s\right)\right)\Vert \text{d}s}\\ \le C_g\Vert x-y\Vert +{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\gamma }_I\Vert x-y\Vert }+c_{\alpha }{\delta }_f\Vert x-y\Vert \\ +d_{\alpha }{\displaystyle \sum _{0<t_i<t}{\displaystyle {\int }_0^{t_i}{\delta }_f\Vert x-y\Vert \text{d}s}}+d_{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^t{\delta }_f\Vert x-y\Vert \text{d}s}\\ \le \left(C_g+n{\gamma }_I+c_{\alpha }{\delta }_f+d_{\alpha }nT{\delta }_f+d_{\alpha }T{\delta }_f\right)\Vert x-y\Vert \end{array}$

因此，T是$PC\left(J,X\right)$ 上的压缩映射。由压缩映射原理，得出算子T在$PC\left(J,X\right)$ 上有唯一不动点，即问题(1)有唯一解。

4. 例子

考虑下面的Caputo-Fabrizio型脉冲分数阶微分方程：

$\{\begin{array}{l}{}^{CF}D{}^{\frac{1}{5}}x\left(t\right)=\frac{\Vert x\left(t\right)\Vert }{\left(1+{\text{e}}^{2t}\right)\left(1+\Vert x\left(t\right)\Vert \right)},t\in J=\left[0,1\right],t\ne \frac{1}{3},\\ \Delta x\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{8}\Vert x\left(\frac{1}{3}\right)\Vert ,\\ x\left(0\right)+\frac{1}{9}x\left(t\right)=0.\end{array}$ (3)

解 由(3)和定义2可知，$\alpha =\frac{1}{5}$ ，$n=1$ ，$T=1$ ，$M\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{10}{9}$ ，$c_{\frac{1}{5}}=\frac{4}{5}$ ，$d_{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}$ 且$f\left(t,x\right)=\frac{x}{\left(1+{\text{e}}^{2t}\right)\left(1+x\right)}$ ，$I_1\left(x\right)=\frac{1}{8}x$ 。

对$t\in \left[0,1\right]$ ，有

$\begin{array}{c}\Vert f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\Vert =\frac{1}{1+{\text{e}}^{2t}}\Vert \frac{x}{1+x}-\frac{y}{1+y}\Vert \\ \le \frac{1}{2}\Vert \frac{x-y}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\Vert \\ \le \frac{1}{2}\Vert x-y\Vert ,\end{array}$

因此，${\delta }_f=\frac{1}{2}$ ，${\delta }_1=\frac{1}{2}$ ，${\alpha }_1=1$ 。同样，有

$\Vert I\left(x\right)-I\left(y\right)\Vert =\frac{1}{8}\Vert x-y\Vert ,$

因此，${\gamma }_I=\frac{1}{8}$ ，${\alpha }_2=1$ 。

$\Vert g\left(x\right)-g\left(y\right)\Vert =\frac{1}{9}\Vert x-y\Vert ,$

因此，$C_g=\frac{1}{9}$ ，${\alpha }_3=1$ 。所以，定理4的条件成立，

$C_g+n{\gamma }_I+c_{\alpha }{\delta }_f+d_{\alpha }nT{\delta }_f+d_{\alpha }T{\delta }_f\approx 0.836<1.$

因此，根据定理4，给定分数阶脉冲问题(3)在$\left[0,1\right]$ 上有唯一解。

5. 小结

本文主要讨论了Banach空间中含有脉冲点的Caputo-Fabrizio型分数阶微分方程解的存在性问题，在方程同时具有脉冲项及非局部条件的情况下，利用Schaefer不动点定理，压缩映射原理和Arzela-Ascoli定理，讨论了$0<\alpha <1$ 阶的分数阶脉冲微分方程，得到了解的存在性定理，最后用一个例子验证结论的正确性。这一结果不仅丰富和发展了分数阶微分方程的理论体系，而且为解决实际问题提供了理论依据。同时，这也为今后进一步探讨此类方程的解的性质、稳定性和数值计算方法奠定了基础。然而，本文的研究仍具有一定的局限性，未来研究可以在此基础上，考虑更广泛的脉冲条件和分数阶导数，以拓展方程的应用范围。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。