磁流体力学方程的演变

Evolution of Magnetohydrodynamic Equations

摘要: 本文详细探讨了磁流体力学方程的起源及其数学推导过程，深入分析了三类磁流体方程组在研究中的演变历程。

Abstract: This paper discusses in detail the origin of magnetohydrodynamic equations and their mathematical derivation process, and deeply analyzes the evolution of three types of magnetohydrodynamic equations in research.

1. 背景

磁流体动力学(MHD)是研究磁场与运动、导电流体之间相互作用的学科，磁流体力学方程组(MHD equations)描述的是等离子体、液态金属和电解质等导电流体在电磁场中的运动[1]。等离子体是一种存在大量带电粒子的连续流体媒质，具有良好的导电性能。等离子体在电磁场中运动所产生的电流会使原有电磁场发生改变。同时，电磁场会对其产生洛伦兹力，洛伦兹力反过来又会对导电等离子体的运动产生影响。因此，这样就出现了流体动力学现象和电磁现象之间复杂的相互运动。数学上根据这一现象，结合物理背景，把流体力学方程组(Navier-Stokes equations)和麦克斯韦方程组(Maxwell’s equations)进行适当的耦合，经过简化就得到了MHD方程组。

MHD方程组的发展起源于19世纪末期，当时科学家们已经初步认识到磁场与电流之间的关系，并且开始研究磁场对导电体的影响。到了20世纪初，电动力学和磁场的理论得到了飞速发展，麦克斯韦方程组的建立为后来研究MHD方程奠定了基础。1930年，瑞典科学家阿尔芬(Hannes Alfvén)在对太阳风现象的研究中，提出了磁流体力学的基本理论，系统地研究了导电流体在磁场中的运动规律。此后，磁流体力学成为了一门独立的学科，被广泛应用于天体物理学、地球物理学、磁流体控制技术等领域。

本文首先介绍了N-S方程和麦克斯韦方程组的物理背景，接着，展示了如何经过这两个方程耦合得到MHD方程组，最后，深入分析了三类MHD方程组在研究中的演变历程。

2. 推导过程

1、N-S方程的背景

N-S方程是流体动力学中描述流体运动的基本方程，它是由最基本的质量守恒、动量守恒和能量守恒三大守恒定律推导而来，被广泛应用于各种实际问题的研究中。

一般地，N维N-S方程组可表示为如下微分形式：

(1.1)

其中$u\left(x,t\right)\in {ℝ}^n$ 代表不可压缩流体的速度场，P代表压力，${\partial }_{t}u$ 表示u对时间t的偏导，描述的是速度变化率，$\nu$ 是粘性系数。

三维不可压缩的N-S方程用于描述不可压缩流体的运动规律，三维不可压缩N-S方程是由质量守恒方程和动量守恒方程组成[1]，其中符号的物理意义如下。

根据质量守恒得：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \left(\rho u\right)=0,$ (1.2)

其中$\rho$ 表示流体的密度，$u=u\left(x,t\right)\in {ℝ}^3$ 表示流体的速度，$\nabla$ 表示梯度运算符。与可压缩流体不同的是不可压缩流体的密度是一个常数。因此，不可压缩流体的质量守恒方程转化为：

$\nabla \cdot u=0.$ (1.3)

根据动量守恒得：

$\rho \frac{\text{D}u}{\text{D}t}=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla u+{\left(\nabla u\right)}^{\text{T}}\right)\right]+\rho g.$ (1.4)

其中$\frac{\text{D}}{\text{D}t}$ 表示物质导数，定义为$\frac{\partial }{\partial t}+u\cdot \nabla$ ，$\rho$ 是流体的密度，$\sigma$ 是柯西应力张量，$g$ 是加速度。

考虑x方向的粘性项：

$\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x}\left(2\mu \frac{\partial u_x}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)\right)\\ =2\mu \frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial x^2}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial y^2}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_y}{\partial y\partial x}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial z^2}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_z}{\partial z\partial x}\\ =\mu \frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial x^2}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial y^2}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial z^2}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_x}{\partial x^2}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_y}{\partial y\partial x}+\mu \frac{{\partial }^2{u}_z}{\partial z\partial x}\\ =\mu {\nabla }^2{u}_x+\mu \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)\\ =\mu \Delta u_x.\end{array}$

类似地，对于y和z方向，将物质导数项展开，令$\rho =1$ ，$g=0$ ，并定义运动粘性系数：$\nu :=\frac{\mu }{\rho }$ ，容易得出经典的动量方程：

(1.5)

2、麦克斯韦方程的背景

麦克斯韦方程组由高斯定律、法拉第定律、高斯磁定律和安培–麦克斯韦定律四个微分方程组成[2]：

$\{\begin{array}{l}\nabla \cdot E=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},x\in {ℝ}^n,t>0,\hfill \\ \nabla \cdot B=0,x\in {ℝ}^n,t>0,\hfill \\ \nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t},x\in {ℝ}^n,t>0,\hfill \\ \nabla \times B={\mu }_{0}J+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial E}{\partial t},x\in {ℝ}^n,t>0,\hfill \end{array}$ (2.1)

其中$E\left(x,t\right)\in {ℝ}^n$ 是电场强度，$B\left(x,t\right)\in {ℝ}^n$ 是磁感应强度，$J\left(x,t\right)\in {ℝ}^n$ 是电流密度，$\rho$ 是电荷密度，${\epsilon }_0$ 是真空电容率，${\mu }_0$ 是真空磁导率。四个方程的物理意义如下：

1) 方程1表明电荷产生电场，电场的散度与电荷密度成正比；

2) 方程2表明磁场线是闭合的，不存在孤立的磁荷；

3) 方程3描述了变化的磁场可以产生电场，电场的旋度(即围绕某一点的电场变化)与磁场随时间的变化率成正比；

4) 方程4表明电流和变化的电场可以产生磁场，磁场的旋度与电流密度和电场随时间的变化率的总和成正比。

3、MHD方程的背景

一般地，N维标准的不可压缩MHD方程组数学表达式如下：

(3.1)

这里$u\left(x,t\right)\in {ℝ}^n$ 代表流体速度场，$B\left(x,t\right)\in {ℝ}^n$ 代表磁场，$P\in ℝ$ 代表流体的压力，$\nu \ge 0$ ，$\eta \ge 0$ 分别表示粘性系数和磁扩散系数。

MHD方程组是N-S方程和麦克斯韦方程组进行适当的耦合得到的，首先，计算不可压缩流体单位体积受到的外力f，即洛伦兹力密度$f_q$ ，流体内部可以忽略${\rho }_{q}E$ ，得到：

$\begin{array}{l}{f}_q={\rho }_q\left(E+u\times B\right)\\ ={\rho }_{q}E+{\rho }_{q}u\times B\\ ={\rho }_{q}E+J\times B\\ =J\times B.\end{array}$

我们得到：

$\rho \left(\frac{\partial }{\partial t}+u\cdot \nabla \right)u=-\nabla p+\mu \Delta u+J\times B.$ (3.2)

准静态电场下，麦克斯韦–安培定律可以写成如下形式：

$J=\frac{1}{{\mu }_0}\nabla \times B.$

将这个结果代入N-S方程，得到流体方程

$\begin{array}{l}\rho \left(\frac{\partial }{\partial t}+u\cdot \nabla \right)u=-\nabla p+\mu \Delta u+\frac{1}{{\mu }_0}\left(\nabla \times B\right)\times B\\ =-\nabla p+\mu \Delta u+\frac{1}{{\mu }_0}B\cdot \nabla B-\frac{1}{2{\mu }_0}\nabla {\left|B\right|}^2.\end{array}$

等式右边最后一项各向同性磁压力项是可以被忽略掉的，再经过数学形式上的简化，得到最终的流体速度场方程：

${\partial }_{t}u+u\cdot \nabla u=\nu \Delta u-\nabla P+B\cdot \nabla B.$ (3.3)

接下来，我们推导磁感应方程，首先磁场的变化由法拉第电磁感应定律给出

$\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}.$

由欧姆定律，得到电流密度的表达式如下：

$J={\epsilon }_0\left(E+u\times B\right).$

给上式两边作用旋度算子，得到：

$\nabla \times J={\epsilon }_0\nabla \times E+{\epsilon }_0\nabla \times \left(u\times B\right).$

左边将$J=\frac{1}{{\mu }_0}\nabla \times B$ 代入得：

$\frac{1}{{\mu }_0{\epsilon }_0}\nabla \times \left(\nabla \times B\right)=\nabla \times E+\nabla \times \left(u\times B\right).$

根据高斯磁定律、不可压缩条件(1.3)得到：

$\begin{array}{l}\nabla \times \left(\nabla \times B\right)=\nabla (\nabla \cdot B)-{\nabla }^{2}B,\\ \nabla \times \left(u\times B\right)=u\left(\nabla \cdot B\right)-B\left(\nabla \cdot u\right)+\left(B\cdot \nabla \right)u-\left(u\cdot \nabla \right)B.\end{array}$

再经过简化，得到最终的流体磁场方程：

(3.4)

最后，将(3.3) (3.4)和不可压缩条件(1.3)结合，可以得到经典的N维不可压缩MHD方程(3.1)。

MHD方程组及其相关模型在地球物理学、天体物理学、宇宙学和工程学等许多领域都有重要的应用。例如，研究太阳磁场的性质和起源，利用等离子体替代发电机转子提高发电效率。同样地，在数学领域也具有非常重要的地位，例如：存在许多关于外部磁场对导电流体行为影响的实验和数值研究，数学上严格的稳定性结果将有助于深入了解这些实验的观察结果。此外，尽管MHD方程组与Navier-Stokes方程组结构相似，但是由于速度场和磁场的强耦合，导致MHD方程组的适定性问题的处理与分析要更加复杂。以上这些原因使得MHD方程组的适定性成为近些年来偏微分方程组研究的重点与热点问题之一。

3. 三类磁流体力学方程组的演变

随着越来越多人对MHD方程组的研究，我们几乎不可能完全回顾已有的工作。因此，为了尽可能系统地展示这一领域的发展，我们将MHD系统分为三大类：

1) 有粘性和磁扩散的MHD方程组

$\nu \ne 0$ 且$\eta \ne 0$ 时，方程组(3.1)称为有粘性和磁扩散的MHD方程：

首先，对于完全耗散的MHD方程组，耗散项提供了非常好的性质，早在1972年，Duvaut和Lions [3]就建立了方程组的Leray-Hopf弱解和局部强解。之后，Sermange和Temam [4]在文献中研究了这些解的性质。但是局部解是否整体存在仍然是一个公开问题。H. Abidi和M. Paicu [5]探讨了在临界空间中，MHD系统是否具有局部弱解，证明了在Besov空间中，MHD系统具有局部弱解，并且如果初始数据足够小，这些解会全局存在。Chongshen Cao，Jiahong Wu [6]在2011年研究了在部分耗散和磁扩散的情况下二维不可压缩MHD系统的全局解，建立了具有混合部分耗散和磁扩散的MHD方程的经典解的全局正则性，并证明了全局先验界，这导致了全局H¹弱解的存在性。此外，如果解的初值满足一定条件，这些弱解实际上是全局经典解，并且是唯一的。Jiahong Wu [7]等人在2020年证明了交叉部分耗散的二维不可压缩MHD方程组解的稳定性，并且做到了全局H²弱解。

2) 只有粘性或只有磁扩散的MHD方程组

$\nu \ne 0,\eta =0$ 或者$\nu =0,\eta \ne 0$ 时，方程组(3.1)称为只有粘性或者只有磁扩散的MHD系统：

Dongyi Wei和Zhifei Zhang [8]研究了在环面上只有磁扩散的二维MHD方程的全局适定性，证明了如果初值在H⁴(T²)中是小的，那么该方程的解存在且唯一。Yi Zhou和Yi Zhu [9]研究了只有磁扩散MHD系统在周期区域上的全局经典解，采用了基于时间加权的能量方法，并通过引入特定的对称性条件，证明了在特定的初始条件和对称性假设下，即使在没有粘性的情况下，MHD系统也能够展现出全局稳定性。Xianpeng Hu和Fanghua Lin [10]采用了临界空间中的小扰动方法，通过引入形变梯度的概念来解耦流体速度场和磁场之间的复杂耦合。这种方法允许他们控制速度场的L¹范数，从而证明了对于只有粘性的二维不可压缩MHD方程解的整体存在性。之后Fanghua Lin，Ping Zhang [11]等人通过将只有粘性的二维不可压缩MHD方程在拉格朗日坐标下重新表述，并运用各向异性Littlewood-Paley分析，证明了在初值接近非平凡稳态时，系统具有全局小解。Jiahong Wu和Yi Zhu [12]等提出了一种系统化的方法来利用背景磁场和MHD系统内部特殊耦合结构产生的增强耗散，证明了当初始数据接近背景磁场时，存在全局光滑解，并且这些解具有稳定性和大时间衰减率。最近，Yuanyuan Qiao和Yi Zhou [13]利用方程的阻尼波型结构证明了只有粘性的二维不可压缩MHD方程在非常数背景磁场扰动下的稳定性。

H. Abidi和Ping Zhang [14]给出了只有粘性的三维不可压缩MHD方程的一个新的拉格朗日公式，该公式是个阻尼波动方程，利用Frobenius定理和各向异性Littlewood-Paley理论，得到了速度场的全局L¹范数在时间上的Lipschwitz估计，证明了初值足够接近平衡态(e3, 0)时，该系统光滑解的全局存在性。最近，Zhifei Zhang [15]等人研究三维周期区域上只有粘性和只有磁扩散的MHD方程的整体适定性，他们的工作引入了丢番图条件，该条件使得关于背景磁场可以得到广义的庞加莱不等式，并结合能量方法得到了全局小解和衰减速率。Xiaoping Zhai [16]等人又利用丢番图条件得到了三维周期区域上只含有衰减项的MHD系统的全局适定性。

3) 无粘性无磁扩散的MHD方程组

$\nu =0$ 且$\eta =0$ 时，方程组(3.1)称为无粘性无磁扩散的MHD方程：

此时，MHD方程组也被称为理想MHD方程组。由于缺乏速度耗散和磁扩散，u和b方程之间存在强耦合，所以关于理想MHD方程组解的存在性和唯一性等理论问题是非常具有挑战性的。Caflisch等人[17]给出了理想不可压缩MHD方程组的奇点和能量耗散的两个相关结果。Holm等人[18]利用Lyapunov技术研究了二维或三维理想不可压缩MHD方程组在定密度平面内的非线性稳定性。Jiahong Wu [19]说明了理想MHD方程在Hölder空间$C^r$ 且$r\ge 1$ 中具有唯一的局部经典解。Dongyi Wei和Ping Zhang [20]讨论了理想MHD方程组在${ℝ}^{d-1}\times \left[0,1\right]$ 空间中的整体适定性。Liu和Yuan [21]利用Galerkin方法得到了理想MHD方程组的强解存在性。

4. 总结与展望

在流体力学稳定性研究中，粘性项$\Delta u$ 对我们使用各向异性不等式估计十分有帮助。部分耗散问题就是去掉部分粘性项，当耗散减少一定程度时流体力学方程的稳定工作将变得越加困难。尽管对部分耗散磁流体力学方程组的研究已经取得了一些进展，但是仍然没有得到充分解决。此外，流体的扰动一般在背景磁场附近，非常数平衡解附近的扰动问题仍亟需解决。