一类扰动的Degasperis-Procesi方程行波解的存在性研究

Study on the Existence of Traveling Wave Solutions for a Class of Perturbed Degasperis-Procesi Equations

摘要: 本文研究了一类扰动Degasperis-Procesi (DP)方程行波解的存在性。利用Melnikov函数方法和几何奇异摄动理论，分析了方程$u_t-u_{xxt}+k{u}_x+\alpha u{u}_x+ϵ({\lambda }_1{u}_{xx}+{\lambda }_2{u}_{xxtx}+{\lambda }_3{\left(u{u}_x\right)}_x+{\lambda }_4{\left(u_x{u}_{xx}\right)}_x+{\lambda }_2{\left(u{u}_{xxx}\right)}_x$ $+{\lambda }_5{\left(u^2{u}_x\right)}_x)=3u_x{u}_{xx}+u_x{u}_{xxx}$ 行波解的存在性。通过行波变换，将该偏微分方程转化为扰动的常微分系统来进行探究。当$k=c-\frac{\alpha c}{2}$ ，通过分析其对应的常微分系统，证明了无扰动DP方程存在孤立波解。此外，通过考虑对应的扰动的常微分系统的极限环个数，运用Melnikov函数方法，证明了该方程存在2个孤立的周期波解。

Abstract: This paper investigates the existence of traveling wave solutions for a class of perturbed Degasperis-Procesi equations. Utilizing the Melnikov function method and geometric singular perturbation theory, the equation$u_t-u_{xxt}+k{u}_x+\alpha u{u}_x+ϵ({\lambda }_1{u}_{xx}+{\lambda }_2{u}_{xxtx}+{\lambda }_3{\left(u{u}_x\right)}_x+{\lambda }_4{\left(u_x{u}_{xx}\right)}_x$ $+{\lambda }_2{\left(u{u}_{xxx}\right)}_x+{\lambda }_5{\left(u^2{u}_x\right)}_x)=3u_x{u}_{xx}+u_x{u}_{xxx}$ . is analyzed for traveling wave solutions. Through a traveling wave transformation, the partial differential equation (PDE) is converted into a perturbed ordinary differential system for investigation. When $k=c-\frac{ac}{2}$ , by analyzing the corresponding ordinary differential system, it is proven that the unperturbed DP equation has solitary wave solutions. Moreover, by considering the number of limit cycles of the corresponding perturbed ordinary differential system and applying the Melnikov function method, it is shown that there exist two isolated periodic wave solutions for the equation.

1. 引言

非线性波方程在物理学、经济学和自然科学等多个领域中具有重要意义。特别是，Degasperis-Procesi (DP)方程作为一种重要的非线性浅水波模型，在模拟河流动力学、海洋工程以及洪水预测等实际问题中显示出其独特的应用价值。近年，非线性波方程及其行波解的研究吸引了大量学者的关注(参见参考文献[1]-[4])。特别是，浅水波模型得到了广泛研究，包括Korteweg-de Vries (KdV)方程、Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程、Camassa-Holm (CH)方程和Degasperis-Procesi (DP)方程(以下简称DP方程)。这些非线性波方程用于模拟实际现象。但由于建模过程中不可避免的误差可能被忽略，因此在研究非线性波方程时加入了小扰动项十分有必要。目前，一些受扰动的浅水模型已经被研究过，见[5] [6]。最近，Xu和Zhang研究了带有扰动的经典DP方程，其形式为$u_t–u_{xt}+k{u}_x+4u{u}_x+\epsilon \left(u_{xx}+u_{xxx}\right)=3u_x{u}_{xx}+u{u}_{xxx}$ 。在文献[5]中，应用了几何奇异摄动理论[7] [8]和Melnikov方法[9]-[11]来证明上述方程存在孤立波解，但没有考虑孤立周期波解的存在性。在本文中，考虑如下形式的受扰动的DP方程：

$u_t-u_{xxt\text{}}+k{u}_x+\alpha u{u}_x+ϵ\left({\lambda }_1{u}_{xt\text{}}+{\lambda }_2{u}_{xxx}+{\lambda }_3{\left(u{u}_x\right)}_x+{\lambda }_4\text{}{\left(u{u}_{xx\text{}}\right)}_x+{\lambda }_2{\left(u{u}_{xxx}\text{}\right)}_x+{\lambda }_5{\left(u^2{u}_{xxx}\text{}\right)}_x\right)=3u_x\text{}{u}_{xx}\text{}+u{u}_{xxx},$ (1)

其中，$\epsilon >0$ 是一个小参数。本文的兴趣在于研究方程(1)在某种条件下孤立周期波解的存在性。方程(1)是一个带有小扰动项的偏微分方程(PDE)，其行波系统由扰动常微分系统给出。通过行波变换，可利用几何奇异摄动理论和Melnikov方法探究偏微分方程对应的常微分系统的极限环个数，从而得到对应偏微分方程孤立周期波解的个数，证明孤立周期波的存在性。

本论文的结构安排如下：在第2节，证明了无扰动DP方程孤立孤波解的存在性，并给出了相对应常微分系统的相位图。在第3节，通过探究同宿轨道附近的一阶Melnikov函数展开式来研究带小扰动项的偏微分方程(1)对应的常微分系统的极限环个数，从而证明方程(1)存在2个孤立周期波解。

2. 非扰动DP方程孤立波的存在性

本节中，考虑DP方程(1)在无扰动情况下，孤立波解的存在性，我们研究的方程如下：

$u_t-u_{xxt}+k{u}_x+\alpha u{u}_x=3u_x{u}_{xx}+u{u}_{xxx}$ . (2)

当$\alpha =4$ 时，方程(2)为经典的DP方程。在文献[5]中，Xu和Zhang通过做行波变换：$u\left(x,t\right)=\varphi \left(\xi \right)$ ，$\xi =x-ct$ ，已经证明，当$\alpha =4$ 时，若$c>k>0$ ，则方程(2)存在孤立波解。接下来，本节考虑$\alpha$ 为任意常数时，孤立波解的存在性。做行波变换，令$u\left(x,t\right)=\varphi \left(\xi \right)$ ，$\xi =x-ct$ ，其中$c>0$ 为波速，将方程(2)重写为如下形式：

${\left(c-\varphi \right)}^{\prime \text{}\prime \text{}\prime }+\left(k-c\right){\varphi }^{\prime }+\alpha \varphi {\varphi }^{\prime }-3{\varphi }^{\prime }{\varphi }^{″}=0$ , (3)

其中$\text{'}=\frac{\text{d}}{\text{d}\xi }$ 。对上述方程关于$\xi$ 进行一次积分，得：

$\left(c-\varphi \right){\varphi }^{″}+\left(k-c\right)\varphi +\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2-{\left({\varphi }^{\prime }\right)}^2=g$ , (4)

这等同于以下系统：

$\{\begin{array}{l}{\varphi }^{\prime }=y\\ \left(c-\varphi \right)y^{\prime }=\left(c-k\right)\varphi -\frac{\text{α}}{2}{\varphi }^2+y^2+g\end{array}$ . (5)

令$\varphi =x+c$ ，则系统(5)等价于：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=y\\ y^{\prime }=\frac{-g+c\left(k-c\right)+\frac{\alpha c^2}{2}+\left(k-c+\alpha c\right)x+\frac{\alpha }{2}{x}^2-y^2}{x}\end{array}$ (6)

其中$\text{'}=\frac{\text{d}}{\text{d}\xi }$ ，因此，其首次积分为：

$H\left(x,y\right)=x^2\left(\frac{2g+2c\left(c-k\right)-\alpha c^2}{4}-\frac{k-c+\alpha c}{3}x-{\frac{\alpha }{s}}^2+\frac{1}{2}{y}^2\right)$ (7)

由于存在不变直线$x=0$ ，因此直接研究系统(6)并不方便。为暂时避免受到不变直线$x=0$ 的影响，对系统做变换$\text{d}\xi =x\text{d}t$ 。在上述变换下，系统(6)变为：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=xy\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=-g+c\left(k-c\right)+\frac{\alpha c^2}{2}+\left(k-c+\alpha c\right)x+\frac{\alpha }{2}{x}^2-y^2\end{array}$ (8)

由于系统(8)与系统(6)的首次积分相同，因此除不变直线$x=0$ 外，系统(8)和系统(6)具有相同的拓扑相图。因此，我们可以从系统(8)的拓扑相图中获取系统(6)的拓扑相图。根据文献[12]中的引理2.2，当$\alpha <0$ 且$g=c\left(k-c\right)+\frac{\alpha c^2}{2}$ 时，系统(8)在尖点$\left(0,0\right)$ 周围存在一个包围中心的同宿轨道。本文中，设定$g=0$ ，即$k=c-\frac{\alpha c}{2}$ 。在这种情况下，方程(8)有两个平衡点：$P_1\left(0,0\right)$ 和$P_2\left(-c,0\right)$ 。通过平面动力学理论，容易验证$P_1$ 是一个退化奇点，而若$\alpha >0$ ，$P_2$ 是一个鞍点；若$\alpha <0$ ，$P_2$ 则是一个被一系列以同宿轨道为边界的周期轨道所包围的中心(见图1和图2)。

于是，在相平面$\left(x,y\right)$ 中得到同宿轨道即DP方程(2)孤立波解的存在性结果如下：

定理1. 若$k=c-\frac{\alpha c}{2}$ (即$g=c\left(k-c\right)+\frac{\alpha c^2}{2}=0$ )且$\alpha <0$ ，则系统(8)存在同宿轨道且连接着不变直线到

Figure 1. $k=c-\frac{\alpha c}{2},\alpha >0$

图1. $k=c-\frac{\alpha c}{2},\alpha >0$

Figure 2. $k=c-\frac{\alpha c}{2},\alpha <0$

图2. $k=c-\frac{\alpha c}{2},\alpha <0$

Figure 3. The portraits of Hamiltonian (26)

图3. 哈密顿函数(26)的图象

临界点$P_1\left(0,0\right)$ ，因此DP方程(2)存在孤立波解。然而，若$k=c-\frac{\alpha c}{2}$ 且$\alpha >0$ ，则系统(8)不存在同宿轨道，因此DP方程(2)不存在孤立波解。

3. 扰动DP方程孤立周期波解的存在性

在本节中，考虑扰动DP方程的孤立周期波解的存在性。将行波变换$u\left(x,t\right)=\varphi \left(x-ct\right)=\varphi \left(\xi \right)$ 代入方程(1)，得到：

$\left(c-\varphi \right){\varphi }^{‴}+\left(k-c\right){\varphi }^{\prime }+\alpha \varphi {\varphi }^{\prime }-3{\varphi }^{\prime }{\varphi }^{″}+ϵ\left({\lambda }_1{\varphi }^{″}-c{\lambda }_2{{{{\varphi }^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }+{\lambda }_3{\left(\varphi {\varphi }^{\prime }\right)}^{\prime }+{\lambda }_4{\left({\varphi }^{\prime }{\varphi }^{″}\right)}^{\prime }+{\lambda }_2{\left(\varphi {\varphi }^{‴}\right)}^{\prime }+{\lambda }_5{\left({\varphi }^2\varphi \right)}^{\prime }\right)=0$ . (9)

对(9)式进行一次积分，并将积分常数设为零，得到：

$\left(c-\varphi \right){\varphi }^{″}+\left(\beta -c\right)\varphi +\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2-{\left({\varphi }^{\prime }\right)}^2+ϵ\left({\lambda }_1{\varphi }^{\prime }-c{\lambda }_2{\varphi }^{‴}+{\lambda }_3\varphi {\varphi }^{\prime }+{\lambda }_4{\varphi }^{\prime }{\varphi }^{″}+{\lambda }_2\varphi {\varphi }^{‴}+{\lambda }_5{\varphi }^2{\varphi }^{\prime }\right)=0$ . (10)

因此，可以将方程(10)重写为如下的动力系统：

$\{\begin{array}{l}{\varphi }^{\prime }=v\\ v^{\prime }=\psi \\ ϵ{\lambda }_2\left(\varphi -c\right){\psi }^{\prime }=\left(\varphi -c\right)\psi +\left(c-k\right)\varphi -\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2+v^2-ϵ\left({\lambda }_{1}v+{\lambda }_3\varphi v+{\lambda }_{4}v\psi +{\lambda }_5{\varphi }^{2}v\right)\end{array}$ (11)

因此，方程(1)等价于研究系统(11)，其解在三维相空间$\left(\varphi ,v,\psi \right)$ 中演化。通过简单计算，可以得到系统(11)的两个平衡点：$P_3\left(0,0,0\right)$ 和$P_4\left(\frac{2\left(c-k\right)}{\text{α}},0,0\right)$ ，并得到系统(11)在点$P_3\left(0,0,0\right)$ 处的线性化矩阵为

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \frac{k-c}{ϵc{\lambda }_2}-\frac{1}{ϵ{\lambda }_2}& \frac{{\lambda }_1}{c{\lambda }_2}& \frac{1}{ϵ{\lambda }_2}\end{array}\right)$

于是，矩阵A的特征方程为

$a^3-\frac{1}{ϵ{\lambda }_2}{a}^2-\frac{k}{ϵ{\lambda }_2}a-\frac{k}{ϵc{\lambda }_2}+\frac{1}{ϵ{\lambda }_2}=0$ . (12)

假设$a_1,a_2,a_3$ 是特征根，当${\lambda }_1>0,{\lambda }_2>0,k>c>0$ 时，$a_1,a_2,a_3$ 满足

$a_1+a_2+a_3=\frac{1}{ϵ{\lambda }_2}>0,a_1{a}_2{a}_3=\frac{1}{ϵ{\lambda }_2}\left(\frac{k}{c}-1\right)>0,a_1{a}_2+a_2{a}_3+a_1{a}_3=-\frac{{\lambda }_1}{c{\lambda }_2}<0$ . (13)

易知，矩阵A有一个正特征值和两个负实特征值。这意味着在稳态$P_3$ 中，稳定流形的维度为二，而不稳定流形的维度为一。取$\xi =ϵ\eta$ ，则系统(11)可以重写为：

$\{\begin{array}{l}\dot{\varphi }=ϵv\\ \dot{v}=ϵ\psi {\lambda }_2\left(\varphi -c\right)\\ \dot{\psi }=\left(\varphi -c\right)\psi +\left(c-k\right)\varphi -\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2+v^2-ϵ\left({\lambda }_{1}v+{\lambda }_3\varphi v+{\lambda }_{4}v\psi +{\lambda }_5{\varphi }^{2}v\right)\end{array}$ (14)

其中$\cdot =\frac{1}{d\eta }$ 。当$ϵ>0$ 时，系统(11)与系统(14)相同。取$ϵ=0$ ，可以得到慢系统和快系统如下：

$\{\begin{array}{l}{\varphi }^{\prime }=v\\ v^{\prime }=\psi \\ 0=\left(\varphi -c\right)\psi +\left(c-k\right)\varphi -\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2+v^2\end{array}$ (15)

和

$\{\begin{array}{l}\dot{\varphi }=0\\ \dot{v}=0\\ {\lambda }_2\left(\varphi -c\right)\dot{\psi }=\left(\varphi -c\right)\psi +\left(c-k\right)\varphi -\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2+v^2.\end{array}$ (16)

显然，二维临界流形由集合

$W_0=\left\{\left(\varphi ,\upsilon ,\psi \right)\in R^3:\left(\varphi -c\right)\psi +\left(c-k\right)\varphi -\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2+v^2=0\right\}$ (17)

确定。基于上述分析，很容易证明不变流形$W_0$ 是法向双曲的。根据Fenichel的第一不变流形定理[7]，存在一个二维慢不变流形$W_{ϵ}$ ，它与$W_0$ 在$C^{1}O\left(ϵ\right)$ 上接近并且微分同胚。慢不变流形$W_{ϵ}$ 可以表示为

$W_{ϵ}=\left\{\left(\varphi ,\upsilon ,\psi \right)\in R^3:\psi =\frac{1}{\varphi -c}\left(\left(k-c\right)\varphi +\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2-{\upsilon }^2\right)+\omega \left(\varphi ,\upsilon ,\psi \right)\right\}$ , (18)

其中$\omega \left(\varphi ,\upsilon ,ϵ\right)$ 关于变量$\varphi ,\upsilon$ ，和$ϵ$ 光滑，且$\omega \left(\varphi ,\upsilon ,0\right)=0$ 。因此，$\omega \left(\varphi ,\upsilon ,ϵ\right)$ 可以展开成泰勒级数的形式

$\omega \left(\varphi ,\upsilon ,ϵ\right)=ϵ{\omega }_1\left(\varphi ,\upsilon \right)+O\left({ϵ}^2\right)$ . (19)

将$W_{ϵ}$ 代入慢系统(11)，并比较$ϵ$ 的系数，得到

${\omega }_1\left(\varphi ,v\right)=\frac{1}{\varphi -c}\left\{{\lambda }_{2}v\left(k-c+\alpha \varphi \right)+{\lambda }_{1}v+{\lambda }_3\varphi v+{\lambda }_5{\varphi }^{2}v+\frac{1}{\varphi -c}\left(\left(k-c\right)\varphi +\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2-v^2\right)\left({\lambda }_{4}v-3{\lambda }_{2}v\right)\right\}$ . (20)

慢流形$W_{ϵ}$ 上的动力学方程为：

$\{\begin{array}{l}{\varphi }^{\prime }=v\\ v^{\prime }=\frac{1}{\varphi -c}\left(\left(k-c\right)\varphi +\frac{\alpha }{2}{\varphi }^2-v^2\right)+ϵw_1\left(\varphi ,v\right)\end{array}$ . (21)

在本节中，主要研究方程(1)在$k=c-\frac{\alpha c}{2}$ 时的孤立周期波。系统(21)的极限环数量(即孤立闭轨道的数量)对应于方程(1)的孤立周期波解的数量。基于第2节的分析知，未受扰动系统(21)${}_{ϵ=0}$ 在$k=c-\frac{\alpha c}{2}$ 和$\alpha <0$ 时，存在一个同宿轨道。同宿轨道会在小扰动下被破坏，同时产生极限环。接下来，将研究当$k=c-\frac{\alpha c}{2}$ 和$\alpha <0$ 时，扰动系统(21)的极限环分岔情况。令$\varphi =\tilde{x}+c$ 和$k=c-\frac{\alpha c}{2}$ ，则系统(21)变为：

$\{\begin{array}{l}\widetilde{x^{\prime }}=v,\\ v^{\prime }=\frac{1}{\tilde{x}}\left(\frac{\alpha c}{2}\tilde{x}+\frac{\alpha }{2}{\tilde{x}}^2-v^2\right)+\frac{1}{{\tilde{x}}^2}ϵG\left(\tilde{x},v\right)\end{array}$ (22)

其中$G\left(\tilde{x},v\right)=\left({\lambda }_1-\alpha c{\lambda }_2+c{\lambda }_3+\frac{\alpha c}{2}{\lambda }_4+c^2{\lambda }_5\right)\tilde{x}v+\left(\frac{2{\lambda }_3+\alpha \left({\lambda }_4-{\lambda }_2\right)+4c{\lambda }_5}{2}\right){\tilde{x}}^{2}v+\left(3{\lambda }_2-{\lambda }_4\right)v^3+{\lambda }_5{x}^{3}v$ ，因此，未受扰动系统(22)${}_{ϵ=0}$ 的首次积分为：

$H\left(\tilde{x},v\right)={\tilde{x}}^2\left(-\frac{\alpha c}{6}\tilde{x}-\frac{\alpha }{8}{\tilde{x}}^2+\frac{1}{2}{v}^2\right)$ 。 (23)

由于存在不变直线$\tilde{x}=0$ ，直接研究系统(22)并不方便。为了暂时避免受到不变直线$\tilde{x}=0$ 的影响，进行变换$d\xi ={\tilde{x}}^{2}d$ 。在上述变换下，系统(22)变成了一个近似哈密顿系统：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}\overline{x}}{\text{d}r}={\tilde{x}}^{2}v\\ \frac{\text{d}v}{\text{d}r}={\tilde{x}}^2\left(\frac{ac}{2}+\frac{\alpha }{2}\tilde{x}\right)-\tilde{x}{v}^2+ϵG\left(\tilde{x},v\right)\end{array}$ (24)

显然，当$ϵ=0$ 时，系统(24)的第一个积分与系统(22)的第一个积分相同。因此，除了不变直线$\tilde{x}=0$ 外，系统(24)和系统(22)有相同的拓扑相图。因此，可以从系统(24)的极限环数得到系统(22)的极限环数。为了简化计算，进行变量变换$\tilde{x}=-cx$ ，$v=\sqrt{-\frac{\alpha }{2}}cy$ ，以及$\tau =-\frac{1}{c^2}\sqrt{-\frac{\alpha }{\alpha }}t$ ，则系统(24)可以重写为：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=x^{2}y\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=x^2\left(1-x\right)-x{y}^2+ϵG\left(x,y\right)\end{array}$ (25)

其中

$G\left(x,y\right)=\sqrt{-\frac{2}{\alpha }}\left(\frac{2{\lambda }_1-2\alpha c{\lambda }_2+2c{\lambda }_3+\alpha c{\lambda }_4+2c^2{\lambda }_5}{2c}xy+\frac{\alpha {\lambda }_2-2{\lambda }_3-\alpha {\lambda }_4-4c{\lambda }_5}{2}{x}^{2}y+\frac{\alpha \left(3{\lambda }_2-{\lambda }_4\right)}{2}{y}^3+c{\lambda }_5{x}^{3}y\right)$

且$\alpha <0$ 。系统(25)的极限环数与系统(22)的极限环数相同。

对于系统(21)。显然，当$ϵ=0$ 时，系统(25)的首次积分为

$H\left(x,y\right)=x^2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{3}{y}^2\right).$ (26)

通过简单的计算，系统(25)在$ϵ=0$ 时有一个中心点(1,0)和一条不变直线$x=0$ 。存在一个由下式定义的椭圆族

${\gamma }_h:H\left(x,y\right)=h,h\in \left(-\frac{1}{12},0\right)$ (27)

围绕中心(1,0)并终止于表示为${\gamma }_0$ 的同宿环。同宿环${\gamma }_0$ 连接退化奇点(0,0)。对于$x\ge 0$ ，系统(25)在$ϵ=0$ 时的相图，如图3所示。此外，根据(26)和$H\left(x,y\right)=h$ ，沿着曲线${\gamma }_h$ ，有$\left(-x^2+x^3+x{y}^2\right)\text{d}x=-x^{2}y\text{d}y$ 。将上述方程的两边乘以$x^{-1}y$ ，并沿着曲线${\gamma }_h$ 对结果进行积分，得到

${\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}\left(-xy+x^{2}y+y^3\right)\text{d}x}=-{\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}x{y}^2\text{d}y}$ . (28)

由于

${\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}x{y}^2\text{d}y}=\frac{1}{3}{\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}x\text{d}{y}^3}=\frac{1}{3}{x{y}^3|}_{{\gamma }_h}-\frac{1}{3}{\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}{y}^3\text{d}x}=-\frac{1}{3}{\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}{y}^3\text{d}x}$ , (29)

从(28)，可以推导出

${\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}{y}^3\text{d}x}=\frac{3}{2}{\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}\left(xy-x^{2}y\right)\text{d}x}$ . (30)

结合(25)和(30)，得到系统(25)在$h=0$ 附近的一阶Mehikov函数为：

$M\left(h\right)={\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}G\left(x,y\right)\text{d}x}={\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_h}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^3{\alpha }_i{x}^{i}y\text{d}x}}$ (31)

其中

${\alpha }_1=\sqrt{-\frac{2}{\alpha }}\frac{4{\lambda }_1+5\alpha c{\lambda }_2+4c{\lambda }_3-\alpha c{\lambda }_4+4c^2{\lambda }_5}{4}$ , ${\alpha }_2=\sqrt{-\frac{2}{\alpha }}\frac{-7\alpha {\lambda }_2-4{\lambda }_3+\alpha {\lambda }_4-8c{\lambda }_5}{4}$ , ${\alpha }_3=\sqrt{-\frac{2}{\alpha }}c{\lambda }_5$ . (32)

进一步，容易计算出$\det \frac{\partial \left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)}{\partial \left({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4,{\lambda }_5\right)}\ne 0$ ，这意味着${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 可以作为自由参数。为了得到(31)中$M\left(h\right)$ 在$h=0$ 附近的展开式，将${\gamma }_h$ 通过取一个小常数$x_0>0$ 分成两段，定义为${\gamma }_{h,1{\text{}|}_{x\le x_0}}$ 和${\gamma }_{h,2{\text{}|}_{x>x_0}}$ ，其中$0<-h\ll 1$ 。因此，(31)中的$M\left(h\right)$ 可以重写为

$M\left(h\right)=I_{i1}\left(h\right)+I_{i2}\left(h\right)$ (33)

其中，

$I_{i1}\left(h\right)={\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_{h,1}}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^3{\alpha }_i{x}^{i}y\text{d}x}},I_{i2}\left(h\right)={\displaystyle {\oint }_{{\gamma }_{h,2}}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^3{\alpha }_i{x}^{i}y\text{d}x}}$ (34)

显然，对于$0<-h\ll 1$ ，$I_{i2}\left(h\right)$ 是关于h的一个光滑函数。于是，$I_{i2}\left(h\right)$ 的形式为

$I_{i2}\left(h\right)=a_0+a_{1}h+O\left(h^2\right)$ . (35)

为了探究$M\left(h\right)$ 在$h=0$ 处的解析性质，需要研究(34)中$I_{i2}\left(h\right)$ 在$h=0$ 附近的具体形式。使用[11]中的结果，特别是(3.10)~(3.16)，有

$\begin{array}{c}{I}_{i1}\left(h\right)=2\sqrt{2}{\displaystyle {\int }_{a\left(h\right)}^{x_0}{\displaystyle \sum _{i=1}^3{\alpha }_i{x}^{i-1}}}\sqrt{h+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4}\text{d}x\\ =2\sqrt{2}{\displaystyle {\int }_{a\left(h\right)}^{x_0}{\displaystyle \sum _{i=1}^3{\alpha }_i{x}^{i-1}}}\sqrt{h+\frac{1}{3}{\left(\psi \left(x\right)\right)}^3}\text{d}x\\ =2\sqrt{2}{\displaystyle {\int }_{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}^{u_0}\sqrt{h+\frac{1}{3}{u}^3}{\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^3{\alpha }_i{x}^{i-1}}}{{\psi }^{\prime }\left(x\right)}|}_{x={\psi }^{-1}\left(u\right)}\text{d}u}\\ ={\displaystyle \sum _{i\ge 1}{r}_i{I}_i\left(h\right)}\end{array}$ (36)

其中

$I_i\left(h\right)={\displaystyle {\int }_{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}^{u_0}{u}^{i-1}\sqrt{h+\frac{1}{3}{u}^3}\text{d}u}$ ，$i\ge 1$ ，$u=\psi \left(x\right)=x{\left(1-\frac{3}{4}\right)}^{\frac{1}{3}}$ ，$a\left(h\right)$ 是方程$H\left(x,0\right)=h$ 的解，满足$0<a\left(h\right)\ll 1$ 。具体地，利用数学软件，经过计算得

$r_1=2\sqrt{2}{\alpha }_1,r_2=\sqrt{2}\left({\alpha }_1+2{\alpha }_2\right),r_3=\sqrt{2}\left(\frac{9}{8}{\alpha }_1+\frac{3}{2}{\alpha }_2+2{\alpha }_3\right),\cdots$

对于$I_i\left(h\right)\left(i\ge 1\right)$ ，令$u=\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{v}$ ，有

$\frac{\partial I_i\left(h\right)}{\partial h}=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}^{u_0}\frac{u^{i-1}}{\sqrt{h+\frac{1}{3}{u}^3}}\text{d}u}=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_1^{\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{u_0}}\frac{{\left(-3h\right)}^{\frac{i-1}{3}}}{v^{i-1}}\frac{1}{\sqrt{h-\frac{h}{v^3}}}\frac{{\left(-3h\right)}^{\frac{1}{3}}}{-v^2}\text{d}v}=\frac{\sqrt{3}{\left(-3h\right)}^{\frac{i}{3}-\frac{1}{2}}}{2}{\displaystyle {\int }_{\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{u_0}}^1\frac{v^{-i+\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-v^3}}\text{d}v}$ (37)

对于$i=1$ ，从(37)，有

$I_{i1}\left(h\right)=\frac{\sqrt{3}{\left(-3h\right)}^{\frac{i}{3}-\frac{1}{2}}}{2}\left({\displaystyle {\int }_{\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{u_0}}^{\eta }\frac{v^{-i+\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-v^3}}\text{d}v}+{\displaystyle {\int }_{\eta }^1\frac{v^{-i+\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-v^3}}\text{d}v}\right)$ (38)

由于$\frac{v^{-i+\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-v^3}}=v^{-i+\frac{1}{2}}\left(1+{\displaystyle {\sum }_{k\ge 1}{C}_k{v}^{3k}}\right)$ 在$h\in \left(\frac{-3h}{\sqrt[3]{u_0}},\eta \right)$ 中收敛，其中$C_k\left(k=1,2,3,\cdots \right)$ 是常数，于是，得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{u_0}}^{\eta }\frac{v^{-i+\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-v^3}}\text{d}v}={\displaystyle {\int }_{\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{u_0}}^{\eta }{v}^{-i+\frac{1}{2}}\left(1+{\displaystyle \sum _{k\ge 1}{C}_k{v}^{3k}}\right)\text{d}v}\\ =\frac{2{\eta }^{-i+\frac{3}{2}}}{-2i+3}\frac{2{\left(-3h\right)}^{-\frac{i}{3}+\frac{1}{2}}{i}^{-\frac{3}{2}}}{\left(2i-3\right)}{u}_0+{\displaystyle \sum }_{k\ge 1}\frac{2C_k{\eta }^{3k-i+\frac{3}{2}}}{6k-2i+3}-{\displaystyle \sum }_{k\ge 1}\frac{2C_k{\left(-3h\right)}^{k-\frac{i}{3}+\frac{1}{2}}}{\left(6k-2i+3\right)u_0^{3k-i+\frac{3}{2}}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\eta }\frac{v^{-i+\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-v^3}}\text{d}v}+\frac{2{\left(-3h\right)}^{-\frac{i}{3}+\frac{1}{2}}}{\left(2i-3\right)}{u}_0^{i-\frac{3}{2}}-{\displaystyle \sum }_{k\ge 1}\frac{2C_k{\left(-3h\right)}^{k-\frac{i}{3}+\frac{1}{2}}}{\left(6k-2i+3\right)}{u}_0^{\frac{3k-i+\frac{3}{2}}{2}}\end{array}$ (39)

结合(38)和(39)，得到：

$\frac{\partial I_i\left(h\right)}{\partial h}=\frac{\sqrt{3}{\left(-3h\right)}^{\frac{i}{3}-\frac{1}{2}}}{2}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{v^{-i+\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-v^3}}\text{d}v}+{\overline{\phi }}_i\left(h\right),i=1$, (40)

其中${\overline{\phi }}_i\left(h\right)=\frac{\sqrt{3}}{2i-3}{u}_0^{i-\frac{3}{2}}-{\displaystyle {\sum }_{k\ge 1}\frac{\sqrt{3}{C}_k{\left(-3h\right)}^k}{\left(6k-2i+3\right)u_0^{3k-i+\frac{3}{2}}}}$ 。对于$i=2,3$ ，由(37)我们有

$\begin{array}{c}\frac{\partial I_i\left(h\right)}{\partial h}=\frac{\sqrt{3}{\left(-3h\right)}^{\frac{i}{3}-\frac{1}{2}}}{2}\left({\displaystyle {\int }_{\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{u_0}}^1{v}^{-i+\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^3}}-1\right)\text{d}v}+{\displaystyle {\int }_{\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{u_0}}^1{v}^{-i+\frac{1}{2}}\text{d}v}\right)\\ =\frac{\sqrt{3}{\left(-3h\right)}^{\frac{i}{3}-\frac{1}{2}}}{2}\left({\displaystyle {\int }_{\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{u_0}}^1\frac{v^{-i+\frac{7}{2}}}{\sqrt{1-v^3}\left(1+\sqrt{1-v^3}\right)}\text{d}v}-\frac{2}{2i-3}+\frac{2{\left(-3h\right)}^{-\frac{i}{3}+\frac{1}{2}}}{\left(2i-3\right)}{u}_0^{i-\frac{3}{2}}\right)\end{array}$ (41)

同样地，当处理$i=1$ 的情况时，从上述表达式可推导出

$\frac{\partial I_i\left(h\right)}{\partial h}=\frac{\sqrt{3}{\left(-3h\right)}^{\frac{i}{3}-\frac{1}{2}}}{2}\left({\displaystyle {\int }_{\frac{{\left(-3h\right)}_{}^{\frac{1}{3}}}{u_0}}^1\frac{v^{-i+\frac{7}{2}}}{\sqrt{1-v^3}\left(1+\sqrt{1-v^3}\right)}\text{d}v}-\frac{2}{2i-3}\right)+{\tilde{\phi }}_i\left(h\right)$ (42)

其中${\tilde{\phi }}_i\left(h\right)$ 是一个解析函数。因此，由(40)和(42)，得

$\frac{\partial I_i\left(h\right)}{\partial h}=-3\left(\frac{i}{3}+\frac{1}{2}\right){\left(-3h\right)}^{\frac{i}{3}-\frac{1}{2}}{A}_i+\frac{\partial {\phi }_i\left(h\right)}{\partial h}$ , (43)

对上述方程关于h积分一次，得

$I_i\left(h\right)=A_i{\left(-3h\right)}^{\frac{i}{3}-\frac{1}{2}}+{\phi }_i\left(h\right)$ (44)

结合(44)与(40)并与(42)进行比较，同时利用数学软件进行计算，得

$A_1=-\frac{\sqrt{3}}{5}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{v^{-1+\frac{1}{2}}}{\sqrt{1-v^3}}\text{d}v}=-\frac{\sqrt{3}}{5}\times 2.428650647\cdots <0$

$\begin{array}{c}{A}_2=-\frac{\sqrt{3}}{7}\left({\displaystyle {\int }_0^1\frac{v^{-2+\frac{7}{2}}}{\sqrt{1-v^3}\left(1+\sqrt{1-v^3}\right)}\text{d}v}-2\right)\\ =-\frac{\sqrt{3}}{7}\times \left(-1.493668400\cdots \right)>0\end{array}$ (45)

$A_3=-\frac{\sqrt{3}}{9}\left({\displaystyle {\int }_0^1\frac{v^{-3+\frac{7}{2}}}{\sqrt{1-v^3}\left(1+\sqrt{1-v^3}\right)}\text{d}v}-\frac{2}{3}\right)=0$

因此，通过(33)，(35)，(36)和(44)，有

$M\left(h\right)=c_0+c_1{\left|h\right|}^{\frac{5}{6}}+c_{2}h+\left({\left|h\right|}^{\frac{7}{6}}\right)$ , (46)

其中$c_0={\displaystyle {\int }_{{\gamma }_0}G\left(x,y\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{{\gamma }_0}{\displaystyle {\sum }_{i=0}^3{\alpha }_i{x}^i\text{d}x}}=2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{4}{3}}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^3{\alpha }_i{x}^{i\sqrt{-\frac{x^2}{2}+\frac{2x}{3}}}\text{d}x}}=\frac{2\sqrt{2}}{9}\left(\frac{5}{9}{\alpha }_2+\frac{14}{27}{\alpha }_3\right)$ ，并且$c_1=3^{\frac{5}{6}}{r}_1{A}_1=2\sqrt{2}{\alpha }_1{A}_1^{\frac{5}{6}}$ 。根据文献[13]中的引理3.5和(31)，有${c_2|}_{c_1=0}={\displaystyle {\int }_{{\gamma }_0}G\left(x,y\right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{{\gamma }_0}{\displaystyle {\sum }_{i=2}^3{\alpha }_i{x}^{i}y\text{d}t}}=2{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\sum }_{i=2}^3{\alpha }_i{x}^i{\left(-x^2\right)}^{-\frac{1}{2}}\text{d}x}}=2\sqrt{\pi }\left({\alpha }_2+\frac{2}{3}{\alpha }_3\right)$ 。求解方程$c_0=c_1=0$ ，得到${\alpha }_1=0$ ，${\alpha }_2=-\frac{14}{15}{\alpha }_3$ ，在这种情况下，得

$c_2=-\frac{8\sqrt{2}}{15}\pi {\alpha }_3,\text{rank}\left(\frac{\partial \left(c_0,c_1\right)}{\partial \left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)}\right)=2$ . (47)

这表明当${\alpha }_3\ne 0$ 时，$M\left(h\right)$ 在h趋于0时有两个零点。也就是说，如果${\alpha }_3\ne 0$ ，对$\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)$ 附近的某些$\left(0,-\frac{14}{15}{\alpha }_3\right)$ ，系统(25)在${\gamma }_0$ 附近有2个极限环。最后，基于上述分析，得到以下主要结果。

定理2：当$k=c-\frac{ac}{2}>0,\alpha <0,{\lambda }_1,{\lambda }_2>0$ 且$0<ϵ\ll 1$ 时，系统(21)存在2个极限环(即孤立的闭轨道)，因此扰动的DP方程(1)具有2个孤立的周期波解。

4. 结论

本文通过应用几何奇异摄动理论和Melnikov方法，证明了一类带小扰动Degasperis-Procesi方程的孤立周期波解的存在性。此外，这种方法可以用来研究其他非线性方程孤立周期波解的存在性。

基金项目

2023年度桂林电子科技大学北海校区硕士科研启动经费项目(项目号：2023KYJ0013)：含退化奇点的同宿环附近的周期分支，2023年度桂林电子科技大学北海校区基础教学部本科教学改革立项项目“基于信息技术的高等数学教学模式改革研究”。