有限幺半群代数的双理想刻画

Characterizations of Bi-Ideals of Finite Monoid Algebras

摘要: 令M为一有限幺半群，$\mathbb{k}$ 是域。幺半群代数$\mathbb{k}M$ 的理想I称为双理想，若$I=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I|m,m^{\prime }\in M\right\}$ 。$\mathbb{k}M$ 的双理想集记为$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，M的同余格记为$\mathcal{C}\left(M\right)$ 。本文指出包含序下的偏序集$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 在运算$I\vee J=I+J$ ，$I\wedge J=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I\cap J|m,m^{\prime }\in M\right\}$ 下构成一个格,并证明了$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 与$\mathcal{C}\left(M\right)$ 的格同构。进一步利用幺半群M上的同余和商空间$\mathbb{k}M/I$ 的线性无关组给出双理性的刻画。

Abstract: Let M be a finite monoid and $\mathbb{k}$ a field. An ideal I of the monoid algebra $\mathbb{k}M$ is a bi-ideal if $I=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I|m,m^{\prime }\in M\right\}$ . The set of bi-ideals of $\mathbb{k}M$ is denote by $ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ and the congruence lattice of M by $\mathcal{C}\left(M\right)$ . In the paper we indicate that the partially ordered set $ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ordered by inclusions is a lattice under the operations $I\vee J=I+J$ , $I\wedge J=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I\cap J|m,m^{\prime }\in M\right\}$ , and show that two lattices $ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ and $\mathcal{C}\left(M\right)$ are isomorphic. Furthermore, we characterize bi-ideals in terms of congruences on monoid M and linear independence lists in the quotient space $\mathbb{k}M/I$ .

1. 引言

代数表示论研究代数系统如何作用于线性空间。对半群表示论而言，上世纪五、六十年代得到了一系列重要的结果，借助于半群正则$\mathcal{J}$ -类的子群不可约表示的等价类来刻画该半群的不可约等价类(即Clifford-Munn-Ponizovskiǐ理论，详见文献[1]的第5章)。七、八十年代，半群表示论的研究进入一段蛰伏期。进入九十年代特别是21世纪之后，半群表示论重新被人们认识、关注，其理论在诸多学科领域中得到广泛应用，包括组合论、符号动力学、自动化、随机过程等(详见[2]中的“引言”部分)。为了研究半群表示论的一些具体问题，需要寻找含有半群信息的表示空间，最简单的就是半群的正则表示空间，在该空间利用半群乘法来定义向量的乘法，则该空间成为半群代数。在有限维代数的结构和理论中，代数表示和代数模本质上是一个事情。相较于群表示论，有限半群表示更接近于有限维结合代数的表示(详见[2]中的附录A)。含幺有限半群的扩张半群代数为含有单位元的有限维代数，通过考察半群代数内外部结构，可以解决半群的构造问题。本文研究半群同态和同余问题，就通过研究其扩张半群代数的特殊理想(如双理想)来刻画。半群代数是以其凭借半群元作为基元生成线性空间和半群乘法环的相融性代数结构，而双理想则是借助于半群上的同余关系张成的半群代数理想，作为线性空间是由其凭借半群上的同余类的两半群元的差作为生成元生成的子空间。利用半群代数的线性空间和环结构特性来刻画半群上的同余，在专著[2]第10章、[3]第9章和文献[4]都有所涉及。

本文在半群代数的双理想作为理想的交运算的基础上，重新定义其并运算，从而构造有限幺半群代数$\mathbb{k}M$ 的双理想格，以此得到该半群同余格的同构格。同时，论文不囿于单纯半群结构理论和方法，借助于半群表示论给出半群上同余的格同构下的双理想的刻画，即用半群上的同余和该半群代数的商空间结构等来刻画双理想。

2. 预备知识

若一个非空集合S定义了一种满足结合律的二元代数运算(习惯称之为乘法)，则称S为半群。半群S到半群T上的一映射$\phi$ 称为半群同态，若对所有$a,b\in S$ ，$\phi \left(ab\right)=\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)$ 。与半群间的同态相关联的一个概念是半群上的同余。半群S上的一个等价关系$\rho$ 若满足乘法的左右相容性，即对任意$a,b,c\in S$ ，$a\rho b$ 蕴含$ca\rho cb,ac\rho bc$ ，则称该等价关系为同余。半群S上的同余在包含序下的同余格记作$\left(\mathcal{C}\left(S\right),\subseteq ,\cap ,\vee \right)$ 。注意由([5]，命题1.5.11)，对$a,b\in S$ ，$\rho ,\sigma \in \mathcal{C}\left(S\right)$ ，

$a\left(\rho \vee \sigma \right)b\iff a\rho x_1\sigma x_2\rho x_3\cdots x_{2n-1}\sigma b$ ,

其中$n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ，$x_1,x_2,\cdots ,x_{2n-1}\in S$ 。对半群同态$\phi :S\to T$ ，关系$\ker \phi =\left\{\left(a,b\right)\in S\times S|\phi \left(a\right)=\phi \left(b\right)\right\}$ 为S上的同余。若半群S含有幺元1 (即对S中任意元s，$1s=s1=s$ )，则称该半群为(含)幺半群。若半群中元素的个数有限，则称之为有限半群。幺半群习惯记为M。若非特别说明，本文约定M为一有限幺半群，$\mathbb{k}$ 是一个域。关于半群的记号和术语详见[5]。

设A是一个非空集合，如果A上定义了加法和乘法运算，$\mathbb{k}$ 与A定义了纯量乘法运算，A对于加法和乘法运算成为一个含有单位元$1_A\in A\backslash \left\{0\right\}$ 的环，A对于加法和纯量乘法成为$\mathbb{k}$ 上的一个线性空间(简称$\mathbb{k}$ 空间)，且A的乘法与纯量乘法满足：对任意$a,b\in A$ ，$k\in \mathbb{k}$ ，有$k\left(ab\right)=\left(ka\right)b=a\left(kb\right)$ ，则称A是域$\mathbb{k}$ 上的代数(简称$\mathbb{k}$ 代数)。设A和B为两$\mathbb{k}$ 代数，称A到B的一个映射f为代数同态，若对任意$a_1,a_2,a\in A$ ，$k\in \mathbb{k}$ ，成立$f\left(a_1+a_2\right)=f\left(a_1\right)+f\left(a_2\right)$ ，$f\left(ka\right)=kf\left(a\right)$ ，$f\left(a_1{a}_2\right)=f\left(a_1\right)f\left(a_2\right)$ ，$f\left(1_A\right)=1_B$ 。注意与半群同态核记号的区别，这儿代数同态f的核定义为$\ker f=\left\{a\in A|f\left(a\right)=0\right\}$ 。特别有，设$\mathbb{k}M$ 是以幺半群M的元素为基的$\mathbb{k}$ 空间，则$\mathbb{k}M$ 是有限和${\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}m,c_m\in \mathbb{k}$ 的集合，其关于如下规定乘法成为$\mathbb{k}$ 代数，

此时称$\mathbb{k}M$ 为半群M在域$\mathbb{k}$ 上的幺半群代数。有限维$\mathbb{k}$ 空间V上所有线性变换以变换的合成作为乘法构成一个半群，记为${\text{End}}_{\mathbb{k}}\left(V\right)$ 。V上M的$\mathbb{k}$ 表示定义为半群同态$\phi :M\to {\text{End}}_{\mathbb{k}}\left(V\right)$ 。称${\text{dim}}_{\mathbb{k}}V$ 为同态$\phi$ 的次数。若同态$\phi$ 为单射，即$\ker \phi =\Delta$ ，其中$\Delta$ 为恒等关系，则称表示$\phi$ 是忠实的。用模论语言来描述幺半群表示，向量线性映射$\phi \left(m\right)$ 在v上的作用记为$\phi \left(m\right)v:=mv$ ，由此记号，V上的$\mathbb{k}M$ 模结构如下给出，

$\left({\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}m\right)v={\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}\phi \left(m\right)v={\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}mv,v\in V,c_m\in \mathbb{k}\text{.}$ (1)

反之，$\mathbb{k}M$ 模V提供相应的表示$\phi :M\to {\text{End}}_{\mathbb{k}}\left(V\right)$ 。这儿幺半群同态$\phi$ 可以“线性地”扩充为唯一的$\mathbb{k}$ 代数同态$\overline{\phi }:\mathbb{k}M\to {\text{End}}_{\mathbb{k}}\left(V\right)$。由式(1)，循例定义$\mathbb{k}$ 代数$\mathbb{k}M$ 中V的零化子${\text{Ann}}_{\mathbb{k}M}\left(V\right):=\ker \overline{\phi }$，即

${\text{Ann}}_{\mathbb{k}M}\left(V\right)=\left\{a\in \mathbb{k}M|av=0,\forall v\in V\right\}.$

称$\mathbb{k}M$ 模V是忠实的，若${\text{Ann}}_{\mathbb{k}M}\left(V\right)=\ker \overline{\phi }=\left\{0\right\}$(即对$a\in \mathbb{k}M$ ，$aV=0$ 蕴含$a=0$ )。易知$\mathbb{k}M$ 模V忠实，则相应的半群表示$\phi :M\to {\text{End}}_{\mathbb{k}}\left(V\right)$ 忠实，反正不然，详见下例。

例2.1 令$G=\left\{e,g\right\}$ 为2阶单衍半群($g^2=e$ )。(实际上G是一2阶循环群)。令$\phi :G\to \mathbb{k}$ 为域$\mathbb{k}$ 上的一次表示，其中$\phi \left(g\right)=-1$ ，$\phi \left(e\right)=1$ 。显然$\phi :G\to \mathbb{k}$ 是忠实的。半群元素$e,g$ 作为$\mathbb{k}G$ 的基元，$e+g\ne 0$ 。考察表示$\phi$ 的诱导同态$\overline{\phi }:\mathbb{k}G\to \mathbb{k}$ 的核$\ker \overline{\phi }$ 。由于对任意$x\in \mathbb{k}$ ，

$\overline{\phi }\left(e+g\right)\left(x\right)=\overline{\phi }\left(e\right)\left(x\right)+\overline{\phi }\left(g\right)\left(x\right)=\phi \left(e\right)\left(x\right)+\phi \left(g\right)\left(x\right)=1x+\left(-1\right)x=0,$

从而$e+g\in \ker \overline{\phi }$ 。这样$\ker \overline{\phi }\ne \left\{0\right\}$ ，说明$\mathbb{k}G$ 模$\mathbb{k}$ 不是忠实的。

设A是$\mathbb{k}$ 代数，则称子集I为A的理想，若I为A的$\mathbb{k}$ 子空间，且对任意$x,y\in I,a\in A$ 都有$ax\in I$ ，$ya\in I$ 。代数A的所有理想的集合$ℐ\left(A\right)$ 按包含序构成一个格，两个理想$I,J\in ℐ\left(A\right)$ 的交、并运算分别为：$I\vee J=I+J$ ，$I\wedge J=I\cap J$ 。此处$\left(ℐ\left(A\right),\subset ,\cap ,+\right)$ 关于理想包含序是一个(完备)模格(见[[6]，命题2.3.23])。

若$A,B$ 是$\mathbb{k}$ 代数，则张量积$A\otimes B$ 作为$\mathbb{k}$ 空间是一$\mathbb{k}$ 代数，其乘法如下定义：

$\left(a_1\otimes b_1\right)\left(a_2\otimes b_2\right)=a_1{a}_2\otimes b_1{b}_2,a_1,a_2\in A,b_1,b_2\in B.$

进而，若V为A模，W为B模，则张量积$V\otimes W$ 有唯一的$A\otimes B$ 模结构，使得作用在基础张量上，成立

$\left(a\otimes b\right)\left(v\otimes w\right)=av\otimes bw,a\in A,b\in B,v\in V,w\in W.$

若$\psi :A\to B$ 是有限维$\mathbb{k}$ 代数同态，V是B模，则如下定义V上的A模作用：

$av=\psi \left(a\right)v,a\in A,v\in V.$

称其为V沿$\psi$ 的提升。特别有，对$I\in ℐ\left(A\right)$ ，$A/I$ 模V可以提升为A模，两模的作用关联为：对$a\in A,v\in V$ ，$av:=\left(a+I\right)v$ 。对代数A模V，显然${\text{Ann}}_{A}V\in ℐ\left(A\right)$ ，既然它是A模V代诱导的代数表示$A\to {\text{End}}_{\mathbb{k}}\left(V\right)$ 的核。

引理2.1 令A为一代数，V为A模。设$I\in ℐ\left(A\right)$ 为A的真理想。

(i)${\text{Ann}}_{A}V=I$ 当且仅当V为忠实$A/I$ 模(即${\text{Ann}}_{A/I}V=0$ )。

(ii)${\text{Ann}}_A\left(A/I\right)=I$ 。

(iii)${\text{Ann}}_{A\otimes A}\left(\left(A/I\right)\otimes \left(A/I\right)\right)=I\otimes A+A\otimes I$ 。

证明(i) 假设${\text{Ann}}_{A}V=I$ 。则对任意$v\in V,a\in A$ ，若有$\left(a+I\right)v=0$ ，则$av=0$ 。这样$a\in {\text{Ann}}_{A}V=I$ ，即在$A/I$ 中成立$a+I=0$ ，从而${\text{Ann}}_{A/I}V=0$ 。这就证得V为忠实$A/I$ 模。

相反，若$a\in {\text{Ann}}_{A}V$ ，则对任意$v\in V$ ，$av=0$ ，从而$\left(a+I\right)v=0$ 。既然${\text{Ann}}_{A/I}V=0$ ，且$A/I$ 中零元为I，于是$a\in I$ ，故${\text{Ann}}_{A}V\subseteq I$ 。另一方面因为V为$A/I$ 模，I为$A/I$ 中的零元，易知$I\subseteq {\text{Ann}}_{A}V$ ，这就证得${\text{Ann}}_{A}V=I$ 。

(ii) 显有$I\subseteq {\text{Ann}}_A\left(A/I\right)$ 。对于反包含，考虑$1_A\in I$ 和$1_A\notin I$ 两种情形：若$1_A\in I$ ，此时$I=A$ ，由引理假设条件，此种情形不存在；若$1_A\notin I$ ，即在$A/I$ 中$1_A+I\ne 0$ ，则对任意$a\in {\text{Ann}}_A\left(A/I\right)$ ，有$a\left(1_A+I\right)=a+I=0$ ，即$a\in I$ 。因而${\text{Ann}}_A\left(A/I\right)\subseteq I$ 。

(iii) 由(ii)和([2]，引理10.2]可得。 $■$

3. 主要结果

考虑代数同态$\Delta :\mathbb{k}M\to \mathbb{k}M\otimes \mathbb{k}M$ ，其中对$m\in M$ ，$\Delta \left(m\right)=m\otimes m$ 。若V，W皆为$\mathbb{k}M$ 模，则$\mathbb{k}M\otimes \mathbb{k}M$ 模结构沿Δ通过提升诱导$V\otimes W$ 的$\mathbb{k}M$ 模结构。具体而言，$\mathbb{k}M$ 模$V,W$ 的张量积$V\otimes W$ 可线性扩张为$\mathbb{k}M$ 模，若如下定义M在$V\otimes W$ 上的作用：

$m\left(v\otimes w\right):=\Delta \left(m\right)\left(v\otimes w\right)=mv\otimes mw,m\in M,v\in V,w\in W.$

称理想$I\in ℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 为双理想，若$\Delta \left(I\right)\subseteq \mathbb{k}M\otimes I+I\otimes \mathbb{k}M$ ，且$I\subseteq \mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }|m,m^{\prime }\in M\right\}$ 。对M的平凡表示诱导同态$\epsilon :\mathbb{k}M\to \mathbb{k},m\mapsto 1$ ，

$\ker \epsilon =\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }|m,m^{\prime }\in M\right\}=\left\{{\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}m|{\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}=0\right\},$

证明详见[2]中10.2节说明。这样，由引理2.1，可给出双理想的另一种定义和构造方式。理想$I\in ℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 为双理想当且仅当其满足如下两点：(i)$I\subseteq \ker \epsilon$ ；(ii)$\Delta \left(I\right)\subseteq {\text{Ann}}_{\mathbb{k}M\otimes \mathbb{k}M}\left(\left(\mathbb{k}M/I\right)\otimes \left(\mathbb{k}M/I\right)\right)$ 。

双理想在本文中扮演着重要角色。下述命题给出利用有限幺半群代数的双理想刻画半群同态的扩张代数同态核。

命题3.1 ([2]，命题10.3)对$I\in ℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，下列条件等价。

(i) I是双理想；

(ii)$I=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I|m,m^{\prime }\in M\right\}$ ；

(iii) 存在幺半群同态$\phi :M\to N$ 使得诱导同态$\overline{\phi }:\mathbb{k}M\to \mathbb{k}N$ 的核为I。

命题3.2 令$I\in ℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，记$J_I=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I|m,m^{\prime }\in M\right\}$ 。则下列论断成立。

(i)$J_I$ 是包含于I的最大双理想。

(ii)${\rho }_I={\rho }_{J_I}$ 。

证明 (i) 参考([2]，练习10.3)。

(ii) 由(i)中结论，$J_I\subseteq I$ ，从而${\rho }_{J_I}\subseteq {\rho }_I$ 。相反，假设对$m,m^{\prime }\in M$ ，$m{\rho }_I{m}^{\prime }$ 。由理想或同余记号$J_I,{\rho }_I,{\rho }_{J_I}$ 的含义，则有$m-m^{\prime }\in I$ ，$m-m^{\prime }\in J_I$ ，这样$m{\rho }_{J_I}{m}^{\prime }$ 。故有${\rho }_I\subseteq {\rho }_{J_I}$ ，进而${\rho }_I={\rho }_{J_I}$ 。 $■$

用$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 表示$\mathbb{k}M$ 的所有双理想组成的集合，该集合在包含序下构成一偏序集。需要注意的是，$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 在$\left(ℐ\left(\mathbb{k}M\right),\subset ,\cap ,+\right)$ 的$\cap$ 运算下不封闭(见下文中的例3.5)，从而$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 不是$ℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 的子格。为了得到包含序下的格，需要重新定义$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 的$\cap$ 运算。

引理3.3 包含序下的偏序集$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 在如下运算下构成一个格：对$I,J\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，

$I\wedge J=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I\cap J|m,m^{\prime }\in M\right\},I\vee J=I+J.$

证明 对任意$I,J\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，由命题3.1，

$I=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I|m,m^{\prime }\in M\right\},J=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in J|m,m^{\prime }\in M\right\}$ 。

显然$I+J=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I+J|m,m^{\prime }\in M\right\}$ ，再由命题3.1，$I+J\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 。注意到作为理想，$I,J$ 在$ℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 的最小上界(上确界)为$I+J$ ；因为$I+J\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，当然在$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 中$I\vee J=I+J$ 。

接下来证明理想$\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I\cap J|m,m^{\prime }\in M\right\}$ (记为K)是$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 中$I,J$ 的最大下界(下确界)。由命题3.2，K是含于$I\cap J$ 的最大双理想。若有$L\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right),L\subseteq I,L\subseteq J$ 。则$L\subseteq I\cap J$ ，这样$L\subseteq K$ 。从而K是$I,J$ 的最大下界，即有$I\wedge J=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I\cap J|m,m^{\prime }\in M\right\}$ 。 $■$

引理3.3的证明表明，在包含序下的偏序集$ℬℐ(\mathbb{k}M)$ 中任取两个双理想$I,J\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，则在$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 中，两理想的上确界为$I+J$ ，下确界为$\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }\in I\cap J|m,m^{\prime }\in M\right\}$ 。所以$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 是一个格。

在专著[2]第10.2节中提及$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 与$\mathcal{C}\left(M\right)$ 间可建立一双射。具体来说，对$\rho \in \mathcal{C}\left(M\right)$ ，诱导半群同态${\rho }^{\#}:M\to M/\rho$ 及扩张代数同态$\overline{{\rho }^{\#}}:\mathbb{k}M\to \mathbb{k}\left(M/\rho \right)$，记$I_{\rho }=\mathbb{k}\{m-m^{\prime }|m\rho m^{\prime },m,m^{\prime }\in M\}$ ，这样$I_{\rho }=\ker \left(\overline{{\rho }^{\#}}\right)$ ，由命题3.1，$I_{\rho }\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 。相反，对$I\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，令${\rho }_I=\left\{\left(m,m^{\prime }\right)\in M\times M|m-m^{\prime }\in I\right\}$ ，易验证${\rho }_I$ 为M上的等价关系，又因为I为(双)理想，故${\rho }_I\in \mathcal{C}\left(M\right)$ 。定义映射

$\chi :\mathcal{C}(M)\to ℬℐ(\mathbb{k}M),\rho \mapsto I_{\rho }。$

由上述说明，显然$\chi$ 为$\mathcal{C}\left(M\right)$ 到$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 的映射，注意到同余$\rho \in \mathcal{C}\left(M\right)$ 与其诱导同态${\rho }^{\#}$ 一一对应，由命题3.1，该映射为满射。再注意到$\left(m,m^{\prime }\right)\in \rho \iff m+I_{\rho }=m^{\prime }+I_{\rho }$ (其证明类似于[2]中命题10.3的证明)，说明该映射为单射。从而映射$\chi$ 为双射，其逆映射为${\chi }^{-1}:ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)\to \mathcal{C}\left(M\right),I\mapsto {\rho }_I$ 。

在引理3.3定义的双理想的格运算基础上，下述命题给出格$\mathcal{C}\left(M\right)$ 到$ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 间的格同构，从而给出$\mathcal{C}\left(M\right)$ 的半群表示论的一个有用刻画。

定理3.4 映射$\chi :\mathcal{C}\left(M\right)\to ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right),\rho \mapsto I_{\rho }$ 为格同构。

证明 由前述内容，只需要证明$\chi$ 是格同态。对$\rho ,\tau \in \mathcal{C}\left(M\right)$ ，既然$\rho ,\tau \subseteq \rho \vee \tau$ ，自然$I_{\rho },I_{\tau }\subseteq I_{\rho \vee \tau }$ ，这样$I_{\rho }+I_{\tau }\subseteq I_{\rho \vee \tau }$ 。对于反包含，令${\displaystyle \sum _{i=1}^s{a}_i}\left(m_i-{m^{\prime }}_i\right)\in I_{\rho \vee \tau }$ ，其中$a_i\in \mathbb{k}$ ，$m_i\left(\rho \vee \tau \right){m^{\prime }}_i$ ，$1\le i\le s$ 。对每一i，

$\begin{array}{c}{m}_i\left(\rho \vee \tau \right){m^{\prime }}_i\iff \exists n\in \mathbb{N},x_1,x_2,\cdots ,x_{2n-1}\in M,m_i\rho x_1\tau x_2\rho x_3\cdots \rho x_{2n-1}\tau {m^{\prime }}_i\\ \Rightarrow m_i-x_1\in I_{\rho },x_1-x_2\in I_{\tau },x_2-x_3\in I_{\rho },\cdots ,x_{2n-1}-{m^{\prime }}_i\in I_{\tau }\\ \Rightarrow m_i-{m^{\prime }}_i=\left(m_i-x_1\right)+\left(x_1-x_2\right)+\left(x_2-x_3\right)+\cdots +\left(x_{2n-1}-{m^{\prime }}_i\right)\\ \Rightarrow m_i-{m^{\prime }}_i\in I_{\rho }+I_{\tau }.\end{array}$

故对任意${\displaystyle \sum _{i=1}^s{a}_i}\left(m_i-{m^{\prime }}_i\right)\in I_{\rho \vee \tau }$ ，有${\displaystyle \sum _{i=1}^s{a}_i}\left(m_i-{m^{\prime }}_i\right)\in I_{\rho }+I_{\tau }$ 。这就证得$I_{\rho \vee \tau }\subseteq I_{\rho }+I_{\tau }$ ，从而$I_{\rho \vee \tau }=I_{\rho }+I_{\tau }$ 。于是$\chi$ 是一$\vee$ -同态。对$\rho ,\tau \in \mathcal{C}\left(M\right)$ ，亦有

$\begin{array}{c}{I}_{\rho \cap \tau }=\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }|m\left(\rho \cap \tau \right)m^{\prime },m,m^{\prime }\in M\right\}\\ =\mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }|m-m^{\prime }\in I_{\rho }\cap I_{\tau },m,m^{\prime }\in M\right\}\\ =I_{\rho }\wedge I_{\tau }.\end{array}$

从而$\chi$ 是$\wedge$ -同态。 $■$

上述格同构的结论对于幺半群结构和半群表示理论研究有着重要意义。一方面代数理想理论和半群同余理论研究较为成熟，成果丰富，两者理论研究结果可以相互验证，提供双方进一步研究的方向或思路。另一方面半群同余理论局限于纯半群理论的研究，不再是目前半群理论研究的热点问题，处于研究的瓶颈期。但是借助于代数理想结构理论，可以给出半群同余(特别是某些特殊同余)的表示论刻画。从而给出半群同余理论研究的一种新途径、新方法。如文献[7]中幂等元同余类为局部平凡半群的同余及其双理想的刻画问题。

例3.5 上述命题中的映射$\chi$ 不是$\cap$ -同态，即$I_{\rho \cap \tau }\ne I_{\rho }\cap I_{\tau }$ ，若$I_{\rho }\cap I_{\tau }\notin ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 。如本例所示，令$M=\left\{1,a,f,b\right\}$ 为一幺半群，其Cayley乘法表如下给出。

$\begin{array}{ccccc}\circ & 1& a& f& b\\ 1& 1& a& f& b\\ a& a& 1& b& f\\ f& f& b& f& b\\ b& b& f& b& f\end{array}$

$M$ 上的两个同余$\rho ,\tau$ 的同余类分别描述为：$\rho$ 的非平凡同余类为$\left\{1,f\right\},\left\{a,b\right\}$ ；$\tau$ 的非平凡同余类为$\left\{1,a\right\},\left\{f,b\right\}$ (见文献[5]中练习1.9.21)。则

$I_{\rho }=\mathbb{k}\left\{1-f,a-b\right\},I_{\tau }=\mathbb{k}\left\{1-a,b-f\right\}$ 。

现在$b-f=-\left(1-f\right)+\left(a-b\right)+\left(1-a\right)$ ，这样$I_{\rho }+I_{\tau }=\mathbb{k}\left\{1-f,a-b,1-a\right\}$ ，其中线性无关组$1-f$ ，$1-a$ ，$a-b$ 为$I_{\rho }+I_{\tau }$ 的基。既然有

${\text{dim}}_{\mathbb{k}}\left(I_{\rho }\cap I_{\tau }\right)={\text{dim}}_{\mathbb{k}}\left(I_{\rho }\right)+{\text{dim}}_{\mathbb{k}}\left(I_{\tau }\right)-{\text{dim}}_{\mathbb{k}}\left(I_{\rho }+I_{\tau }\right)=1$ ，

$0\ne -\left(a-b\right)+\left(1-f\right)=\left(1-a\right)+\left(b-f\right)\in I_{\rho }\cap I_{\tau }$ ，

可得$I_{\rho }\cap I_{\tau }=\mathbb{k}\left\{1-f+b-a\right\}$ 。然而$\rho \cap \tau ={\Delta }_M$ ，${\text{dim}}_{\mathbb{k}}\left(I_{\rho \cap \tau }\right)=0$ ，这样$I_{\rho \cap \tau }\ne I_{\rho }\cap I_{\tau }$ 。

幺半群的同态可诱导一同余，类似于命题3.1，利用命题3.4同余与双理想的格同构，可以得到如下双理想的刻画。

定理3.6 设$I\in ℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，则下列条件等价。

(i)$I\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ；

(ii)$\Lambda =\left\{m+I|m\in M\right\}$ 是商空间$\mathbb{k}M/I$ 的线性无关组(自然是$\mathbb{k}M/I$ 的基)；

(iii)$\mathbb{k}\left(M/{\rho }_I\right)\cong \left(\mathbb{k}M\right)/I$ 。

证明 (i)$\iff$ (iii)若$I\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，则由命题3.1，存在一幺半群满同态$\phi :M\to N$ 使得诱导代数同态$\overline{\phi }:\mathbb{k}M\to \mathbb{k}N$ 的核为I。既然$M/\ker \phi \cong N$ ，$\ker \overline{\phi }=I$ ，只需证明$\ker \phi ={\rho }_I$ 。对$m,m^{\prime }\in M$ ，有

$\begin{array}{l}\left(m,m^{\prime }\right)\in \ker \phi \iff \phi \left(m\right)=\phi \left(m^{\prime }\right)\iff \overline{\phi }\left(m\right)=\overline{\phi }\left(m^{\prime }\right)\\ \iff \overline{\phi }\left(m-m^{\prime }\right)=0\iff m-m^{\prime }\in \ker \overline{\phi }=I\\ \iff m{\rho }_I{m}^{\prime },\end{array}$

从而$\ker \phi ={\rho }_I$ 。

相反，假设(iii)中条件成立。则考虑半群满同态$\phi :M\to M/{\rho }_I$ 及其诱导代数同态$\overline{\phi }:\mathbb{k}M\to \mathbb{k}\left(M/{\rho }_I\right)$ 。由(iii)中条件$\mathbb{k}\left(M/{\rho }_I\right)\cong \mathbb{k}M/I$ ，可知$I\subseteq \ker \overline{\phi }$ 。由命题3.5，$M/{\rho }_I=M/{\rho }_{J_I}$ ，从而由命题3.1，$\ker \overline{\phi }=J_I$ 。由于$J_I\subseteq I$ ，故$I=J_I\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 。

(i)$\iff$ (ii) 假定$I\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ ，即$\Delta \left(I\right)\subseteq \mathbb{k}M\otimes I+I\otimes \mathbb{k}M$ ，$I\subseteq \left\{{\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}m|{\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}=0\right\}$ 。由第二个条件，对任意$m\in M$ ，有$m\notin \left\{{\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}m|{\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}=0\right\}$ ，知$I\cap M=\varnothing$ 。这就证得Λ不含零元，此时${\dim }_{\mathbb{k}}\left(\mathbb{k}M/I\right)>0$ 。

下面用反证法，假设集合$\Lambda =\left\{m+I|m\in M\right\}$ 线性相关。令r为最大的正整数使得$m_1+I,m_2+I,\cdots ,m_r+I$ 线性无关，同时至少有一$m+I\notin \left\{m_1+I,m_2+I,\cdots ,m_r+I\right\}$ ，其中$m,m_1,\cdots ,m_r\in M$ ，$r>0$ (既然${\dim }_{\mathbb{k}}\mathbb{k}M/I>0$ )。由r的最大性，向量组$m+I,m_1+I,\cdots ,m_r+I$ 必然是线性相关的。这样有$\mathbb{k}$ 中系数$c_1,\cdots ,c_r$ 不全为零，使得$m+I={\displaystyle \sum _{k=1}^r{c}_k}\left(m_k+I\right)$ 。此时有如下诸蕴含成立，

$\begin{array}{c}m+I={\displaystyle \sum _{k=1}^r{c}_k}\left(m_k+I\right)\iff \left(m-{\displaystyle \sum _{k=1}^r{c}_k}{m}_k\right)\in I\\ \Rightarrow \Delta \left(m-{\displaystyle \sum _{k=1}^r{c}_k}{m}_k\right)\in {\text{Ann}}_{\mathbb{k}M\otimes \mathbb{k}M}\left(\mathbb{k}M/I\otimes \mathbb{k}M/I\right)\left(由\left(\text{i}\right)和引理2.1\left(\text{iii}\right)\right)\\ \Rightarrow \Delta \left(m-{\displaystyle \sum _{k=1}^r{c}_k}{m}_k\right)\left(\left(1+I\right)\otimes \left(1+I\right)\right)=0\\ \Rightarrow \left(m+I\right)\otimes \left(m+I\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^r{c}_k}\left(\left(m_k+I\right)\otimes \left(m_k+I\right)\right)\\ \Rightarrow \left(m+I\right)\otimes \left({\displaystyle \sum _{k=1}^r{c}_k}\left(m_k+I\right)\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^r{c}_k}\left(\left(m_k+I\right)\otimes \left(m_k+I\right)\right)\\ \Rightarrow {\displaystyle \sum _{k=1}^r\left(c_k\left(m+I\right)\right)}\otimes \left(m_k+I\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^r\left(c_k\left(m_k+I\right)\right)\otimes \left(m_k+I\right)}\\ \Rightarrow {\displaystyle \sum _{k=1}^r\left(c_k\left(m-m_k+I\right)\right)}\otimes \left(m_k+I\right)=0\\ \Rightarrow c_k\left(m-m_k+I\right)=0,k=1,\cdots ,r\left(由m_1+I,m_2+I,\cdots ,m_r+I线性无关\right)\\ \Rightarrow \left(m-m_k+I\right)=0,由此处至少有一k\left(1\le k\le r\right)满足c_k\ne 0;\\ \Rightarrow m+I=m_k+I,此处k\left(1\le k\le r\right)满足c_k\ne 0;\\ \Rightarrow m+I\in \left\{m_1+I,m_2+I,\cdots ,m_r+I\right\},\end{array}$

显然上述最后蕴含结果与前述假设矛盾。从而集合$\Lambda =\left\{m+I|m\in M\right\}$ 线性无关。

相反，假定(ii)中条件成立。令$a={\displaystyle \sum _{m\in M}{c}_m}m\in I$ ，其中$c_m\in \mathbb{k}$ 。由I诱导的M上的同余记为$\rho$ 。由Λ的线性无关性，可得$m\notin I$ ，对于每一同余类$m\rho \in M/\rho$ ，各取一代表(固定)元$\tilde{m}\in m\rho$ (即$m-\tilde{m}\in I$ )。从而a可以改写成$a={\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }{\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}}m$ 。既然$a\in I$ ，这意味着$a+I=0$ ，这样在商代数$\mathbb{k}M/I$ 中成立

$\begin{array}{c}I=a+I={\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }{\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}}m+I\\ ={\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }{\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}}\left(m+I\right)={\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }\left({\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}\right)}\left(m+I\right)\\ ={\displaystyle \sum _{\tilde{m}+I\in \Lambda }\left({\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}\right)\left(m+I\right)\left(由于m^{\prime }\in \tilde{m}\rho \iff m^{\prime }+I=\tilde{m}+I\right).}\end{array}$

由上面最后一个等号和Λ的线性无关性，对每一同余类$\tilde{m}\rho \in M/\rho$ ，都有${\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}=0$ 。则${\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m\tilde{m}}=0$ ，进而${\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }{\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}}\tilde{m}=0$ 。从而

$a={\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }{\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}}m={\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }{\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}}m-{\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }{\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}}\tilde{m}={\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }{\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}}\left(m-\tilde{m}\right)\in \mathbb{k}\left\{m-m^{\prime }|m,m^{\prime }\in M\right\}.$

另一方面，注意到$m\in M\backslash I$ ，$\tilde{m}\in m\rho$ ，即$m-\tilde{m}\in I$ ，此时有

$\Delta \left(m-\tilde{m}\right)=m\otimes m-\tilde{m}\otimes \tilde{m}=m\otimes \left(m-\tilde{m}\right)+\left(m-\tilde{m}\right)\otimes \tilde{m}\in \mathbb{k}M\otimes I+I\otimes \mathbb{k}M$ 。

这样$\Delta \left(a\right)={\displaystyle \sum _{\tilde{m}\rho }{\displaystyle \sum _{m\in \tilde{m}\rho }{c}_m}}\Delta \left(m-\tilde{m}\right)\in \mathbb{k}M\otimes I+I\otimes \mathbb{k}M$ 。这就证得$I\in ℬℐ\left(\mathbb{k}M\right)$ 。 $■$

4. 总结与展望

论文在半群的同余格和其半群代数的双理想格构成同构的基础上，利用张量积的零化、线性商空间的基向量、诱导同态的扩张等方法刻画双理想，利用半群表示论考察半群上的同余，从而给出半群上同余及其同余格的一种新描述。文献[7]在常见特殊同余的研究结果基础上，考察幂等元同余类为局部平凡半群的同余的半群代数表示，即其扩张半群代数诱导的同态核为幂零半群。受此启发，后继研究可以利用本文的主要结果，将特殊同余的半群代数表示方法推广到一般同余情形，进而尝试利用双理想来处理更一般的伪簇Malcev积问题。

基金项目

临沂大学大学生创新创业训练计划项目资助(项目编号：X202410452208)。

NOTES

^*通讯作者。