偏移控制下Hyperjerk系统复杂振荡行为的动态分析

Dynamic Analysis of Complex Oscillation Behavior in Hyperjerk System under Offset Control

摘要: 运用非线性动力学理论和方法分析一种具有指数非线性的hyperjerk电路系统的复杂动力学行为，发现周期振荡与混沌现象共存的现象。首先，通过分析电路系统中物理参数的取值对系统复杂行为的影响，得出物理参数值对系统会产生不同的分岔现象。随着物理参数的逐渐增加，对系统周期性的影响呈现稳步递减的现象；其次，研究发现系统的复杂动力学行为对初始条件的取值也具有敏感性，但是不同初始值和物理参数动态调控下系统会产生周期与混沌现象共存的非对称混合模式簇振荡现象；同时发现一种非常罕见的气泡分岔现象。最后，对系统增加一个偏移位置常数进行控制。数值计算结果表明，偏移控制常数值对系统全局的动力学行为没有改变，只影响相应位置信号的整体相位值。

Abstract: In order to study complex dynamical behaviours behavior exhibited by the hyperjerk circuit system with nonlinear components, the complex oscillation behavior of the system is analyzed using nonlinear dynamics theory and methods. Firstly, the influence of the value of the physical parameters on the complex behavior of the system in the circuit system is analyzed, and there are different bifurcation phenomena for the system produced by the physical parameter values. The change of system periodicity is steadily decreasing as the physical parameters increase gradually. Secondly, the complex dynamical behaviours of the system are also sensitive to the values of the initial conditions. However, the system produces an asymmetric mixed mode bursting oscillation phenomenon which is the coexistence of periodic and chaotic phenomena under the dynamic regulation of different initial values and physical parameters. Meanwhile, a very rare phenomenon named bubbles of bifurcation is also found. Finally, an offset position constant is added to control the signal of the system. The numerical results indicate that the offsetting control constant value does not change the global dynamics behavior of the system, and the overall phase value of the corresponding position signal is only affected.

1. 引言

近年来，有学者提出了一种新奇的混沌系统，许多研究人员通过在混沌系统/电路中选择非线性组件来丰富其复杂性，从而产生具有极其丰富的特性(瞬态混沌、混沌、超混沌、超混沌、多稳定性、超扩展性、极端多稳定性、隐藏振荡、多卷轴混沌等)，吸引了很多人去解释复杂电路的现象，所以这种复杂的振荡模式行为或振荡模式共存现象吸引了大量研究与探索。M. P. Hanias等人[1]提出了一种二极管谐振器的混沌电路，并采用时间序列分析，计算相关性与最小嵌入维数证明了混沌的存在。G. D. Leutcho等人[2]分析了具有一个反平行半导体二极管组成的双曲正弦非线性成分的四阶混沌电路，利用相位图、分岔图等数值手段监测系统参数空间中各种窗口内发生的多个共存吸引子的动力学特性。Q. Lai等人[3]利用分岔图、时间序列图和李雅普诺夫指数等研究一个四维混沌系统的共存奇异吸引子和平衡态，有效验证了具有非线性部分(比如正弦函数、符号函数)的系统中会出现多个共存吸引子的数值结果。Negou. A. N.等人[4]运用了不动点性质，研究了一种非线性组件是双曲正弦的单参数抖动系统，在控制参数电阻下调整系统的对称性，通过混沌过渡的分岔图，相位图等监测系统参数发现了倍周期分岔，反向分岔等复杂的动力学现象。B. Bo-Cheng等人[5]用通量控制的忆阻器和负电导代替二极管，利用时间序列、相位图和分岔图等动力学分析方法，研究了新参数和初始条件下系统具有瞬态混沌和间歇周期的稳定混沌等动力学行为。Z. Wei等人[6]研究了具有点吸引子、极限环、准周期动力学、混沌或超混沌等多个吸引子共存的5维超混沌发电机系统，利用数值积分建立相位平面轨迹、分岔图验证在参数空间某些区域系统具有多稳定性和六种复杂动态行为并验证了数值积分的结果。J. Kengne等人[7]从平衡点和稳定性、相位图、分岔图研究一个具有平滑非线性超反射系统的动力学，通过数值分析解释不同初始条件的选择形成周期加倍、混沌以及多个吸引子共存的现象。S. Vaidyanathan等人[8]研究了具有两个指数非线性的超反射系统，通过平衡点分析、分岔图、李雅普诺夫指数等发现了混沌系统的复杂动力学特性并利用该系统复杂的动力学特征进行了图像加密和声音隐写技术。T. Fonzin Fozin等人[9]分析了由一个双曲正弦非线性函数组成的简化超混沌振荡系统，在转动系统控制参数时利用相关分岔工具研究了包含超混沌、环面、周期加倍混沌与迟滞现象等丰富的动力学行为。根据近年来的研究，清楚运用分岔图、相位图等数值分析方法，可以去研究复杂现象的产生受哪些参数和初值条件的影响，并且去研究系统的全局动力学是否可以通过参数去控制，这才是本文的主要研究意义。

近年来，G. D. Leutcho等人[10] [11]研究了一个结构相对简单的hyperjerk电路，只有一个半导体二极管作为非线性函数，但是利用分岔图、相位图、李雅普诺夫函数等非线性手段，在研究参数和初始条件下能够发现丰富和复杂的动力学行为，为实验结果提供了理论支撑。通过合理设计非线性组件，能够在所提出的hyperjerk电路中观察到在相空间中出现周期或混沌的混合模式簇振荡、共存吸引子等多种复杂而又丰富的动力学行为。由于hyperjerk电路系统简单而结构复杂的动力学特性，引起了广泛关注。于蓉蓉等人[12] [13]通过数值模拟，研究了复杂电路中混合模式振荡的变化规律，发现改变电路发放模式的参数区域。本人研究的系统主要考查产生的复杂现象对参数的敏感程度是怎样，动态调控参数区域对周期或混沌现象产生的规则性变化情况进行分析。

在不同的时间尺度下去选取适当的动态参数和初始值条件，探索复杂系统的混合模式振荡或多种吸引子共存的现象，这是一个很有吸引力的研究内容。本文研究的新颖之处在于利用相位图、分岔图等手段，研究系统的复杂性质，研究具有两个指数函数组成的非线性组件下系统的复杂动力学行为，并对系统进行相位偏移控制研究全局的动力学行为。为如何正确选择某些动态参数，去研究系统隐藏吸引子共存现象提供理论数据，为实验电路模拟或实现做准备。

2. Hyperjerk系统振荡模型

本文研究包含6个放大器，10个电阻，4个电容器和两个二极管组成结构简单的hyperjerk电路模型[10]的动力学行为，通过数值模拟，分析二极管作为指数函数组件对系统振荡行为的影响：

$\{\begin{array}{l}{C}_1\frac{d{V}_1}{dt}=\frac{V_2}{R},\\ C_2\frac{d{V}_2}{dt}=\frac{V_3}{R},\\ C_3\frac{d{V}_3}{dt}=\frac{V_4}{R_4},\\ C_4\frac{d{V}_4}{dt}=-\frac{V_1}{R_3}-\frac{V_2}{R_2}-\frac{V_4}{R_1}-I_{diode}\end{array}$ (1)

在式(1)中$I_{diode}$ 描述通过二极管的电流，假设本系统在电路中的电阻，电容是在线性范围内的情况下，这是唯一的非线性组件部分。因此，根据肖克利二极管[1]方程进行简化二极管的电流-电压特性，得到一个指数方程如下，

$I_{diode}=I_s\left[\exp \left(\frac{V_D}{n{V}_T}\right)-1\right]$ ，

其中，$I_s=2.68\times {10}^{-9}\text{A}$ 是二极管饱和电流，$n=1.9$ 是质量因子，它的值范围在1和2之间，取决于材料的选择和二极管的物理结构。$V_T=0.026\text{V}$ 是热电压，通过二极管的电压，$V_1,V_2,V_3,V_4$ 分别是通过四个电容$C_1,C_2,C_3,C_4$ 的电压。

对电路系统进行无量纲化处理，采用一系列变量和参数，比如取一系列参数如下：令$V_r=n{V}_T$ ，则$V_1=X{V}_r$ ，$V_2=Y{V}_r$ ，$V_3=Z{V}_r$ ，$V_4=W{V}_r$ ；电阻比$a=\frac{R}{R_1}$ ，$b=\frac{R}{R_2}$ ，$c=\frac{R}{R_3}$ ，$d=\frac{R}{R_4}$ ；$\epsilon =\frac{R{I}_s}{V_r}$ ，$C_1=C_2=C_3=C_4=C$ ，$t=\left(RC\right)\tau$ 。

为了方便数值分析与处理，得到如下的微分方程

$\{\begin{array}{l}\frac{dX}{d\tau }=Y,\\ \frac{dY}{d\tau }=Z,\\ \frac{dZ}{d\tau }=dW,\\ \frac{dW}{d\tau }=-cX-bY-aW-f\end{array}$ (2)

其中，$X,Y,Z,W$ 是状态变量，$a,b,c,d$ 是正数。

我们考虑当电路具有两个非线性指数函数二极管下系统的动力学现象：

当$f=f_2=\epsilon \left({\text{e}}^Y-1\right)+\epsilon \left({\text{e}}^Z-1\right)$ 时，分析电路中具有两个指数函数二极管时，即$V_{D1}=Z$ ，$V_{D2}=Y$ 分别是通过二极管的电压。这时分析周期、混沌、共存吸引子等复杂动力现象受参数系统变化的影响情况。

参数$\epsilon$ 取决于固有的二极管特性。在数值解析过程中，保持如下参数不变：$\epsilon =0.000542915$ 。而在物理参数$a=\frac{R}{R_a}$ ，$b=\frac{R}{R_b}$ ，$c=\frac{R}{R_c}$ ，$d=\frac{R}{R_d}$ 作为控制参数时，本文重在研究电路系统在两个非线性组件下表现出的复杂动力学行为在控制参数和初始条件下的变化情况，为后期数值模拟实验电路设计做出理论分析的基础。

3. 物理参数电阻比值下的复杂动力学现象

为了研究物理参数对振荡模式的影响，系统在初始值为$\left[0,0.1,0,1\right]$ ，$b=4$ ，$d=20$ 不变时取其它参数值分别为$a=5.2$ ，$c=4.48$ ；$a=4.92$ ，$c=2.6$ ；$a=4.75$ ，$c=3.18$ 时，系统在这些不同参数下都表现为周期2的振荡行为(图1(a)~(c))；而当参数分别为$a=4.92$ ，$c=4.35$ ；$a=4.75$ ，$c=3.68$ ；$a=4.65$ ，$c=3.08$ 下系统在这些不同参数下都表现为周期4的振荡行为(图1(d)~(f))。从图1(b)和图1(d)中发现控制参数c不同产生不同类型的周期现象，同样的从图1(c)和图1(e)中控制参数a不变，但是同样可以从控制参数c的取值不同得到周期2与周期4的振荡行为。

由此可以看出，系统周期数目受控制参数$a,c$ 取值影响。这时，系统在初始值为$\left[0,0.1,0,1\right]$ ，$b=4$ ，$d=20$ 不变时研究不同的控制参数值下会出现同一类型的周期振荡现象发生。进而，我们研究控制参数在一定取值范围内时，对系统振荡周期数目的变化情况进行分析研究，如图2所示。

通过图2看到不同的物理参数会产生同一种类型的周期现象，并且随着控制参数a的取值逐渐增加，整体效果上来看周期行为大致呈现逐步减小的阶梯状变化趋势。接下来当物理参数a取值范围在$\left[4.5,5\right]$ 范围内分别研究物理参数$c=2.5$ ,$d=20$ 和$c=4.5$ $d=19.46$ 下，系统的状态变量X的分岔图(如图3)。

从图3中可以看出，控制参数a逐渐增加时系统表现出不同的分岔动力学行为，当$c=2.5$ 与$c=4.5$ 时都出现周期振荡与混沌现象，而c值越小振荡行为出现更复杂，并且系统都出现倍周期分岔现象。

因此，在图3(b)中控制参数a的影响下，系统表现出周期1、周期2、周期4、混沌等复杂模式现象。接下来研究在控制参数c的影响下，不同物理参数对系统中快变量Z与W动力学现象的变化情况进行分析。

分别选取$c=2.5$ 与$c=4.5$ 时，随着参数a逐渐增加，系统表现出不同的分岔行为；分岔图4中不同参数下控制着不同的周期现象，参数c的选取对状态变量$Z-W$ 的行为影响比较大。

Figure 1. Time evolution of the variable X under different control parameter values

图1. 不同控制参数值下变量X的时间序列

Figure 2. Maximum number of the state variable X

图2. 状态变量X的最大值数目

Figure 3. Bifurcation diagram of the state variable X

图3. 系统中状态变量X的分岔图

Figure 4. Bifurcation diagram of the state variable $Z-W$ under different parameter values

图4. 系统状态变量$Z-W$ 在不同参数值下的分岔图

4. 不同初始值下的复杂动力学现象

上述已经研究了初值不变情况下控制参数取值不同对系统会产生复杂的振荡现象。接下来进一步研究在控制参数a在一定范围内取值的情况下，不同初始值对系统的动力学的影响情况。通过如图中初始值分别选取$y0=\left[0,0.5,0.1,1\right]$ ，$y0=\left[0.01,0,0,0.2\right]$ ，$y0=\left[0,-0.5,0.1,-1\right]$ ，$y0=\left[0.2,0,0,0\right]$ 下系统表现出不同类型的分岔图(如图5)。

Figure 5. Bifurcation diagram of the state variable X under different initial conditions

图5. 系统状态变量X在不同初始值条件下的分岔图

Figure 6. The time series (2-3, 6-7, 10-11), phase diagrams (1, 5, 9), and phase difference diagrams (4, 8, 12) of the system under different parameters

图6. 不同参数下的系统的时间序列(2-3, 6-7, 10-11)、和相位图(1, 5, 9)、相位差图(4, 8, 12)

系统复杂动力学现象的发生受物理参数和初值条件的影响，并发现振荡行为与物理参数取值有关，也对初值具有敏感性。接下来研究发现，虽然系统在不同初始值和物理参数下复杂动力学出现完全不同的行为，但是在一定的数值动态调控下，系统出现了非对称的振荡行为，却有不同周期或混沌现象共存存在的行为发生(其他参数选取$b=4$ ，$c=2.5$ ，$d=20$ )。

在图6中从参数取值角度来看，控制参数a相同值下，不同初值产生的周期共存现象或周期与混沌共存现象；图6中研究发现周期的和混沌的吸引子，当控制参数$a=5$ ，不同初始值$y01=\left(0,0,0,0.19\right)$ 和$y02=\left(0,0,0,0.2\right)$ 时出现周期1与周期2不同的吸引子共存现象，当参数$a=4.4$ 时，不同初始值$y03=\left(0,0,0,0.2\right)$ 和$y04=\left(0,0,0,-23.4\right)$ 下会出现周期1与混沌共存现象，而控制参数$a=4.3$ ，不同初始值$y03=\left(0,0,0,0.2\right)$ 和$y04=\left(0,0,0,-23.4\right)$ 下周期1与更复杂混沌尺度大的吸引子也有共存现象。而同一初始值下，控制参数a越小可能产生更复杂的振荡与周期现象共存。在这些参数下，出现了非对称的混合模式簇振荡行为。

5. 气泡分岔共存现象

研究在控制参数下系统出现的复杂现象中，会存在一种比较罕见的分岔现象，也就是气泡分岔现象。这一现象很少有文献报道过。接下来，在初始值是$\left[0,0.1,0,1\right]$ 与控制参数的不同取值范围下，观察系统表现出的不同类型的气泡分岔现象(如图7)。

Figure 7. Bifurcation diagram of the state variable X under different parameter values

图7. 系统状态变量X在不同参数值下的分岔图

如图气泡分岔图7中依次选取$a=4.51$ ，$a=4.61$ ，$a=4.65$ ，$a=4.75$ ，$a=4.92$ ，$a=5.2$ 下，随着控制参数c取值范围$\left[2,5\right]$ 内发生了一系列的气泡分岔现象。当a取值逐渐较大，系统出现平行气泡的串线现象；而a的值逐渐变小时系统会出现周期气泡和混沌气泡共存的现象，并且取值越小，出现混沌的现象机会更多，系统的振荡行为会更复杂。如图7(a)中出现1个气泡，图7(b)中出现2个气泡，随着控制参数值a的逐渐增加，图7(c)中出现6个气泡，明显发现图7(d)参数$a=4.75$ 下系统出现周期2与周期4共存的气泡8个，并且另外2个气泡与之串联，此时系统表现出完整的费根鲍姆树现象，也就是周期轨道→混沌轨道→周期轨道→周期轨道→混沌轨道→周期轨道的振荡过程。而随着a值增加到$a=4.92$ 出现了5个气泡，并且5个气泡串联起来的现象，在随着a值的增加为$a=5.2$ 时最后出现2个气泡的串联，同时发现分岔图中控制参数c的逐渐增加振荡类型越发不规则，周期现象出现了坍塌现象发生。

6. 信号偏置控制下的动力学分析

在工程应用中，混沌系统具有一个可以自由控制的偏移常数，是非常有用的。在具有两个指数非线性组件的系统中，对系统进行信号的偏置控制，来研究系统产生的复杂振荡行为。方程(2)中加入一个常数m，作为偏置控制项。

$\{\begin{array}{l}\frac{dX}{d\tau }=Y,\\ \frac{dY}{d\tau }=Z,\\ \frac{dZ}{d\tau }=dW,\\ \frac{dW}{d\tau }=-c\left(X+m\right)-bY-aW-f_2\end{array}$

m作为偏置增加放大器，通过调控m的值，来观察系统状态变量的位移变化情况。如图中分别选取$m=-15$ (黑色)，$m=0$ (红色)，$m=15$ (蓝色) (其他参数$a=5.2$ ，$b=4$ ，$c=4$ ，$d=20$ ，初始值$y0=\left[0,0.1,0,1\right]$ )下得出系统相位图和时间序列图(如图8所示)。

Figure 8. Phase portrait and time evolution of the variable X under the boosting controller m

图8. 偏移控制m下变量X的相位图与时间序列

通过偏置控制器m的三个不同值选取，图8中在$\left(X,Y,Z\right)$ 平面上的不同的三维相位图和状态变量$X\left(t\right)$ 的时间序列图描述了该系统(2)振荡器的位置增强效应。随着控制器m值的改变，状态变量$X\left(t\right)$ 的时间序列值也在改变。需要注意的是，状态变量$X\left(t\right)$ 的信号形状没有发生改变。

Figure 9. Bifurcation diagram of the variable X under the boosting controller m

图9. 偏移增压控制m下变量X的分岔图

图9分岔图中描述随着相位控制器m值的变化时，观察物理参数a区间$[4,6]$ 下系统的全局动力学行为，数值模拟得出三个不同控制器值下的分岔图，如图所示。此外，当偏置控制器m发生变化时，状态变量$X\left(t\right)$ 的整体相位值也会发生变化(如图9)，随着控制器m值的依次增加，分岔图的整体相位发生逐渐减小的变化趋势，这样m值对状态变量$X\left(t\right)$ 的相位有影响。然而，偏置增压控制器m并没有改变其他状态变量$Y\left(t\right)$ 、$z\left(t\right)$ 和$W\left(t\right)$ 的相位值，如图10所示。

Figure 10. Phase portrait and time evolution of the variable $Y\left(t\right)$ , $z\left(t\right)$ and $W\left(t\right)$ under the boosting controller m

图10. 偏移控制m下变量$Y\left(t\right)$ 、$z\left(t\right)$ 和$W\left(t\right)$ 的相图与时间序列

Figure 11. Global phase average values of the state variables X, Y, Z and W under the offset boosting controller m

图11. 偏移控制器m下状态变量X、Y、Z和W的相位平均值

本系统研究通过把状态变量$X\left(t\right)$ 变化为$X\left(t\right)+m$ ，增加了一项常数项m，考察m作为一个相位控制项，对系统(2)的振荡行为的影响，需要强调的这个控制项，通过分岔图9和系统每个状态变量的平均变化值(图11)，时间序列图和相图等以上观察分析发现，随着值m在区间$\left[-3,3\right]$ 上逐渐增加时，系统信号X的平均位移呈现单调递减的变化趋势，而其他信号的相位平均值变化没有受到太大的影响。从分岔图和相位平均图观察系统的动力学行为，得出偏置控制器m没有影响系统(2)的全局动力学行为。

7. 结论

本文在hyperjerk系统模型的基础上，研究了一个具有两个快变量和两个慢变量的四维混沌系统在相位控制下的动力学现象，从系统的物理参数电阻比和初始条件的取值下演示了一种新颖的气泡分岔现象。

在物理参数选取过程中，不同的参数取值下系统有相同的周期行为发生，而同时动态选取参数值时系统却表现不同类型的周期行为共存现象；对于物理参数对周期振荡性的影响，发现随着物理参数a的逐渐减小，系统的周期变化大致表现为逐渐减少的变化状态。从系统的分岔图结果看出物理参数的影响改变着系统的动力学行为，不同的物理参数c的分岔图是不一样的，并且物理参数c取值小的情况下系统表现的振荡行为更复杂，出现混沌的区域概率更大；而随着参数a逐渐增加会出现周期1，周期2等不同类型周期行为，混沌现象，倍周期分岔现象，同时控制参数a和c对其他状态变量的影响存在各不相同的周期与混沌行为。

在研究系统在固定物理参数时，系统对初始值具有敏感性。但是进而研究物理参数和不同初始值的动态调控下，系统会出现非对称的混合模式簇振荡行为发生；另外，当适当地选择初始值和物理参数时会出现周期1与周期2不同类型的吸引子共存现象，还有周期与混沌现象共存的行为，并且控制参数a越小混沌行为可能要更复杂。

虽然系统的复杂行为受初始值与控制参数的影响变化很大，但是会出现一种比较新奇的气泡分岔行为。通过选取物理参数a，发生气泡串联行为，周期气泡与混沌气泡并存等现象。随着参数a的动态调控气泡的数目也发生不同的变化，会出现有名的费根鲍姆树现象。最后，在系统中信号X增加一个常数项m，作为控制位移放大器来对系统进行控制，研究系统整体动力学行为。

通过控制项m的值逐渐增加，对信号X的相位整体值发生逐渐减少的变化，而对系统其它信号$Y,Z,W$ 的相位没有发生太大的改变，相位控制器m的值不影响系统的全局动力学行为。

本文的研究不足之处在于尚未搭建真实电路来验证文中所述的复杂现象，未来的研究方向将着重于电路系统的实际构建以及网络系统阈上与阈下振荡的深入研究。

基金项目

国家自然科学基金(NSFC12172269)，陕西省自然科学基础研究计划青年项目资助。

NOTES

^*通讯作者。