同构在高中数学中的应用

The Application of Isomorphism in High School Mathematics

摘要: 同构是比较两个集合最有效的工具。在同构意义下，抽象地看两个集合的性质相同，同构映射一直备受专家和学者的关注。本文主要从同构映射的定义出发，探讨了同构视角下高中指数函数与对数函数，等差数列与等比数列的关系，并深入分析了这一视角在数学教学和实际应用中的价值，揭示了通过同构理解不同数学概念之间深层次的联系，为高中数学教育提供了新的方法论。

Abstract: Homomorphism is the most effective tool for comparing two sets. In the sense of homomorphism, the properties of two sets are abstractly considered to be the same, and homomorphism mappings have always been of great interest to experts and scholars. This article mainly starts from the definition of homomorphism mapping and explores the relationships between exponential functions and logarithmic functions, arithmetic sequences and geometric sequences from the perspective of homomorphism. It also analyzes the value of this perspective in mathematics teaching and practical applications, revealing the deep connections between different mathematical concepts through homomorphism and providing a new methodology for senior high school mathematics education.

1. 引言

同态和同构是近世代数中的核心概念，是比较两个集合的有效工具，在代数结构的理解中发挥着重要作用。杨录峰[1]给出了中国剩余定理的一种同构映射的证明；朱加义[2]在同构方程视角下研究了高中解析几何试题的解题技巧；王守峰[3]研究了同构思想高等代数和近世代数教学中的应用；刘祥伟[4]依据向量空间同构关系给出生成子空间的基和维数的求法；马淑云[5]建立相关系间的同构映射揭示出相关系的本质；刘静静[6]利用同构映射法给出了一种研究层次T网格上样条空间维数的方法。本文主要从同构视角出发，给出同构在高中数学中的具体应用。

2. 预备知识

这部分给出本文将用到的基本概念和相关结论。

定义1 [7]一个$A\times B$ 到$D$ 的映射叫做一个$A\times B$ 到$D$ 的代数运算。

定义2 [7]假如通过一个法则$\varphi$ ，对于任何一个$A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$ 的元$\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\left(a_i\in A_i\right)$ ，都能得到唯一的$D$ 的元$d$ ，那么这个法则$\varphi$ 叫做集合$A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$ 到集合$D$ 的一个映射。

定义3 [7]一个$A$ 到$\overline{A}$ 的映射$\varphi$ ，叫做一个对于代数运算$\circ$ 和$\overline{\circ }$ 来说的，$A$ 到$\overline{A}$ 的同态映射。假如，在$\varphi$ 之下，不管$a$ 和$b$ 是$A$ 的哪两个元，只要

$a\to \overline{a},b\to \overline{b}$

就有

$a\circ b\to \overline{a}\overline{\circ }\overline{b}.$

定义4 [7]设$\left(A,\circ \right),\left(\overline{A},\overline{\circ }\right)$ 是两个代数系统，$\phi :A\to \overline{A}$ 是两个系统间的一个映射。如果$\phi$ 既是双射又是同态映射，则称$\phi$ 是从$A$ 到$\overline{A}$ 的同构映射。若$A$ 和$\overline{A}$ 之间存在同构映射，则称$A$ 与$\overline{A}$ 同构，记为$A\cong \overline{A}$ 。

定义5 [7]集合$A$ 的元间的一个关系$\sim$ 叫做一个等价关系，假如$\sim$ 满足以下规律：

I. 反射律：$a\sim a,$ 不管$a$ 是$A$ 的哪个元。

II. 对称律：$a\sim b\Rightarrow b\sim a$ 。

III. 推移律：$a\sim b,b\sim c\Rightarrow a\sim c$ 。

定理1同构具有下面的性质：

1) $A\cong A$ ；

2) 若$A\cong B$ ，则$B\cong A$ ；

3) 若$A\cong B,B\cong C$ ，则$A\cong C$ 。

证明 规定集合$A$ 上的运算为$\circ$ ，集合$B$ 上的运算为$\overline{\circ }$ ，集合$C$ 上的运算为$\ast$ ，存在恒等映射$I:A\to A$ ，任意$a\in A,I\left(a\right)=a$ 。

$\forall a\ne b\in A,I\left(a\right)\ne I\left(b\right)$ 。于是$I$ 是单射。且$\forall a\in A,\exists a\in A,使得I\left(a\right)=a$ 。故$I$ 是满射。因此$I$ 是一一映射。同时，$I\left(a\circ b\right)=a\circ b=I\left(a\right)\circ I\left(b\right)$ ，则$I$ 为同构映射。因此，$A\cong A$ ，同构具有反射律。

若$A\cong B$ ，即存在同构映射$f:A\to B$ ，其必然存在逆映射$f^{-1}:B\to A$ 。$\forall b_1,b_2\in B,$ 若$f^{-1}\left(b{}_1\right)=f^{-1}\left(b_2\right)\in A$ ，同构映射$f$ 作用到等式左右两边得，$b_1=b_2$ 。于是$f^{-1}$ 是单射。由于$f$ 是映射，则$\forall a\in A,\exists b\in B,使得f\left(a\right)=b,f^{-1}\left(b\right)=a$ 。故$f^{-1}$ 是满射。因此$f^{-1}$ 是一一映射。

同时，由于$f$ 是同构映射，$\forall a_1,a_2\in A,f\left(a{}_1\circ a_2\right)=f\left(a{}_1\right)\overline{\circ }f\left(a_2\right)=b_1\overline{\circ }{b}_2,$ $f^{-1}$ 作用到等式左右两边得，$f^{-1}\left(b_1\right)\circ f^{-1}\left(b_2\right)=a{}_1\circ a_2=f^{-1}\left(b_1\overline{\circ }{b}_2\right),$ 则$f^{-1}$ 为同构映射。因此，$B\cong A,$ 同构具有对称律。

若$A\cong B,B\cong C$ ，则存在同构映射$f:A\to B$ 与同构映射$g:B\to C$ ，对于映射$g\circ f:A\to C$ ，任意$a_1,a_2\in A,$ 若$g\circ f\left(a_1\right)=g\circ f\left(a_2\right)$ ，即$g\left(f\left(a_1\right)\right)=g\left(f\left(a_2\right)\right)$ ，由于$g$ 为单射，$f\left(a_1\right)=f\left(a_2\right)$ 。又由于$f$ 为单射，则$a_1=a_2$ 。于是$g\circ f$ 为单射。对于任意$c\in C$ ，因为$g$ 为满射，存在$b\in B$ 使得$g\left(b\right)=a$ 。因为$f$ 是满射，存在$a\in A$ 使得$f\left(a\right)=b$ 。从而$\left(g\circ f\right)\left(a\right)=g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(b\right)=c$ ，故$g\circ f$ 是满射。

对任意$a_1,a_2\in A,\left(g\circ f\right)\left(a_1\circ a_2\right)=g\left(f\left(a_1\circ a_2\right)\right)$ ，由于$f,g$ 是同构映射，从而$\left(g\circ f\right)\left(a_1\circ a_2\right)=$ $g\left(f\left(a_1\circ a_2\right)\right)=g\left(f\left(a_1\right)\overline{\circ }f\left(a_2\right)\right)=g\left(f\left(a_1\right)\right)\ast g\left(f\left(a_2\right)\right)=\left(g\circ f\right)\left(a_1\right)\ast \left(g\circ f\right)\left(a_2\right)$ 。故$g\circ f$ 是同构映射，$A\cong C$ ，同构具有传递律。

推论1 同构是一种等价关系。

定义6 [7]群的定义 我们说，一个不空集合$G$ 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如

I. $G$ 对于乘法来说是闭的；

II. 结合律成立；$a\left(bc\right)=\left(ab\right)c$ 对于$G$ 的任意三个元$a,b,c$ 都对；

III. $G$ 里至少存在一个左单位元$e$ ，能让$ea=a$ 对于$G$ 的任何元$a$ 都成立；

IV. 对于$G$ 的每一个元$a$ ，在$G$ 里至少存在一个左逆元$a^{-1}$ ，能让$a^{-1}a=e$ 。

定义7 [8]一般地，函数$y=a^x\left(a>0,且a\ne 1\right)$ 叫做指数函数，其中指数$x$ 是自变量，定义域是$R$ 。

定义8 [8]一般地，函数$y={\log }_{a}x\left(a>0,且a\ne 1\right)$ 叫做对数函数，其中$x$ 是自变量，定义域是$\left(0,+\infty \right)$ 。

性质1 [8]指数函数的运算性质

对于任意实数$r,s$ ，均有下面的运算性质。

1) $a^r{a}^s=a^{r+s}\left(a>0,r,s\in R\right);$

2) ${\left(a^r\right)}^s=a^{rs}\left(a>0,r,s\in R\right);$

3) ${\left(ab\right)}^r=a^r{b}^r\left(a>0,b>0,r\in R\right).$

性质2 [8]对数函数的运算性质

如果$a>0$ ，且$a\ne 1,M>0,N>0$ ，那么

1) ${\log }_a\left(MN\right)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N;$

2) ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N;$

3) ${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M\left(n\in R\right).$

3. 同构在对数、指数函数中的应用

对数函数和指数函数是两类基本初等函数，在高中数学学习中占关键地位，在实际问题中应用广泛，如通常在经济领域，利用指数函数模拟资金的变化趋势。

3.1. 同构在指数函数运算中的应用

函数$y=a^x\left(a>0,且a\ne 1\right)$ 叫做指数函数，指数函数的运算性质为$a^{x_1+x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2}$ 。从结构上看，指数函数的运算性质不符合常规的运算规律，那么从近世代数的视角，运用同构映射考虑该运算法则。

设$B$ 和$\overline{B}$ 是两个集合，$B=\left\{全体实数\right\}$ ，$\overline{B}=\left\{全体正实数\right\}$ 。规定集合$B$ 上的运算为普通加法，$\overline{B}$ 上的运算为普通乘法。

1) $B$ 上的加法和$\overline{B}$ 上的乘法是代数运算。

对于$B$ 上的加法运算$+$ ，$\forall x_1,x_2\in B,$

$\begin{array}{l}+:B\times B\to B\\ \left(x_1,x_2\right)\to d\in B,\end{array}$

故为$B$ 上的代数运算。

同理，对于$\overline{B}$ 上的乘法运算$\cdot ,$ $\forall x,y\in \overline{B},$

$\begin{array}{l}\cdot \text{ : }\overline{B}\times \overline{B}\to \overline{B}\\ \left(x,y\right)\to \overline{d}\in \overline{B},\end{array}$

故$\cdot$ 为$\overline{B}$ 上的代数运算。

$\forall x\in B$ ，设映射

$\begin{array}{l}\phi :B\to \overline{B}\\ x\to a^x\end{array}$

2) $\phi$ 是一一映射。

$\forall x_1,x_2\in B,\phi \left(x_1\right)=a^{x_1},\phi \left(x_2\right)=a^{x_2}$ 。由于指数函数$y=a^x$ 是单调函数，所以$x_1\ne x_2,a^{x_1}\ne a^{x_2}$ ，于是$\phi$ 是单射。对于$\forall y\in \overline{B},\exists x\in B$ ，使得$y=\phi \left(x\right)=a^x$ 。故$\phi$ 是满射。因此$\phi$ 是一一映射。

3) $\phi$ 是同构映射。

因为$\phi \left(x_1+x_2\right)=a^{x_1+x_2},\phi \left(x_1\right)\cdot \phi \left(x_2\right)=a^{x_1}\cdot a^{x_2}$ ，由指数函数的运算性质，$a^{x_1+x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2}$ ，则$\phi \left(x_1+x_2\right)=$ $\phi \left(x_1\right)\cdot \phi \left(x_2\right)$ 。因此，$\phi$ 为同构映射。

同构映射意义下，指数函数运算法则看作由全体实数集合$B$ 到全体正实数集合$\overline{B}$ 的同构映射，即$B\cong \overline{B}$ 。

3.2. 同构在对数函数运算中的应用

函数$y={\log }_{a}x\left(a>0,且a\ne 1\right)$ 叫做对数函数，对数函数的运算性质为${\log }_a\left(x_1\cdot x_2\right)={\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2$ ，从结构上看，对数函数的运算性质与常规的运算规律并不相符，类似地，不妨从近世代数的角度，借助同构映射考虑该运算法则。

设$M$ 和$\overline{M}$ 是两个集合，$M=\left\{全体正实数\right\},$ $\overline{M}=\left\{全体实数\right\}$ 。规定集合$M$ 上的运算为普通乘法，$\overline{M}$ 上的运算为普通加法。

1) $M$ 上的乘法和$\overline{M}$ 上的加法是代数运算。

对于$M$ 上的乘法运算$\cdot$ ，$\forall x_1,x_2\in M,$

$\begin{array}{l}\cdot :M\times M\to M\\ \left(x_1,x_2\right)\to d\in M\end{array}$ ,

故$\cdot$ 为$M$ 上的代数运算。

对于$\overline{M}$ 上的加法运算$+$ ，由于

$\begin{array}{l}+：\overline{M}\times \overline{M}\to \overline{M}\\ \left(x,y\right)\to \overline{d}\in \overline{M}\end{array}$ ，

故$+$ 为$\overline{M}$ 上的代数运算。

$\forall x\in M$ ，设映射

$\begin{array}{l}\varphi :M\to \overline{M}\\ x\to {\log }_{a}x\end{array}$

2) $\varphi$ 是一一映射。

$\forall x_1,x_2\in M,\varphi \left(x_1\right)={\log }_a{x}_1,\varphi \left(x_2\right)={\log }_a{x}_2$ 由于对数函数$y={\log }_{a}x$ 是单调函数，所以$x_1\ne x_2$ ， ${\log }_a{x}_1\ne {\log }_a{x}_2$ ，于是$\varphi$ 是单射。对于$\forall y\in \overline{M},\exists x\in M$ ，使得$y=\varphi \left(x\right)={\log }_{a}x$ 。故$\varphi$ 是满射。因此$\varphi$ 是一一映射。

3) $\varphi$ 是同构映射。

因为$\phi \left(x_1\cdot x_2\right)={\log }_a\left(x_1\cdot x_2\right),\phi \left(x_1\right)+\phi \left(x_2\right)={\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2$ ，由对数函数的运算性质，${\log }_a\left(x_1\cdot x_2\right)$ $={\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2$ ，则$\varphi \left(x_1\cdot x_2\right)=\varphi \left(x_1\right)+\varphi \left(x_2\right)$ 。因此，$\varphi$ 为同构映射。

同构映射意义下，对数函数运算法则看作由全体正实数集合$M$ 到全体实数集合$\overline{M}$ 的同构映射，即$M\cong \overline{M}$ 。

事实上，对于对数函数的加法性质${\log }_a\left(MN\right)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$ ，从指数函数角度看，令$M=a^m,N=a^n,$ $则{\log }_a\left(M\cdot N\right)={\log }_a\left(a^m\cdot a^n\right)={\log }_a\left(a^{m+n}\right),$ 即通过同构映射$\varphi ,\varphi \left(a^m\right)=m,\varphi \left(a^n\right)=n,\varphi \left(a^{m+n}\right)=m+n,$ ${\log }_a\left(a^m\cdot a^n\right)=\varphi \left(a^m\cdot a^n\right)=\varphi \left(a^m\right)+\varphi \left(a^n\right),$ 将对数函数的加法性质与指数函数的乘法性质建立联系。

同理，对于对数函数的乘法性质${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M\left(n\in R\right)$ ，从指数函数角度看，设$M=a^m$ ，则${\log }_a{M}^n=\log {}_a\left(a^m\right){}^n={\log }_a\left(a^{mn}\right)$ ，即通过同构映射$\varphi ,\varphi \left(a^m\right)=m,\varphi \left(a^{mn}\right)=mn,{\log }_a{\left(a^m\right)}^n=\varphi \left({\left(a^m\right)}^n\right)$ $=n\varphi \left(a^m\right)$ ，将对数函数的乘法性质与指数函数的幂运算性质建立联系。

4. 同构映射在等差数列、等比数列中的应用

等差数列与等比数列在高中学习中占有重要地位，对解决实际问题具有现实意义，如可以利用等差数列与等比数列的相关知识对等额本金法与等额本息法两种还款方式进行评估，从而选择合适的还款策略。

定理2 [9]设$G_1=\left(A,+\right)$ 为实数域内全体等差数列构成的集合$A=\left\{\left\{a_n\right\}|a_n=a_1+\left(n-1\right)d,a_1\in R,d\in R,n\in N\right\}$ 关于普通加法构成的群，$G_2=\left(B,\cdot \right)$ 为正实数上全体等比数列构成的集合$B=\left\{\left\{b_n\right\}|b_n=b_1{q}^{n-1},b_1>0,q>0,n\in N^{+}\right\}$ 关于普通乘法构成的群，则$G_1$ 与$G_2$ 同构。

证明 1) 实数域内全体等差数列构成的集合关于普通加法构成群$G_1=\left(A,+\right)$ 。

对任意$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}\in A,$ 设$\left\{a_n|a_n=a_0+(n-1)d_1,a_0\in R,d_1\in R,n\in N\right\}，$ $\left\{b_n|b_n=b_0+(n-1)d_2,b_0\in R,d_2\in R,n\in N\right\}$ ，则$\left\{c_n\right\}=\{a{}_n+b_n|a_n+b_n=\left(a_0+b_0\right)+\left(n-1\right)\left(d_1+d_2\right)，$ $a_0+b_0\in R,d_1+d_2\in R,n\in N\}\in A$ ，因此，封闭性成立。

对于任意$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}\in A,$ 都有$\left(\left\{a_n\right\}+\left\{b_n\right\}\right)+\left\{c_n\right\}=\left\{a_n\right\}+\left(\left\{b_n\right\}+\left\{c_n\right\}\right),$ 结合律成立。

取等差数列$\left\{0\right\}\in A,$ 对于任意$\left\{a{}_n\right\}\in A$ ，$\left\{0\right\}+\left\{a_n\right\}=\left\{a_n\right\},$ 存在单位元。

对于$\left\{a_n|a_n=a_0+\left(n-1\right)d_1,a_0\in R,d_1\in R,n\in N\right\}$ ，存在$\{-a_n|-a_n=-a_0+\left(n-1\right)\cdot \left(-d_1\right),a_0\in R,d_1\in R,$ $n\in N\}$ ，使得$\left\{a_n\right\}+\left\{-a_n\right\}=\left\{0\right\}$ ，存在逆元。

2) 正实数上全体等比数列构成的集合关于普通乘法构成群$G_2=\left(B,\cdot \right)$ 。

对任意$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}\in B$ ，设$\left\{a_n|a_n=a_0{q}_1{}^{n-1},a_0>0,q_1>0,n\in N^{+}\right\}$ $\left\{b_n|b_n=b_0{q}_2{}^{n-1},b_0>0,q_2>0,n\in N^{+}\right\}$ ，那么$\left\{c_n\right\}=\left\{a{}_{n}b{}_n|a_n{b}_n=\left(a_0{b}_0\right){\left(q_1{q}_2\right)}^{n-1},a_0{b}_0>0,q_1{q}_2>0,n\in N^{+}\right\}\in B$ 。因此，封闭性成立。

对于任意$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}\in B,$ 都有$\left(\left\{a_n\right\}\cdot \left\{b_n\right\}\right)\cdot \left\{c_n\right\}=\left\{a_n\right\}\cdot \left(\left\{b_n\right\}\cdot \left\{c_n\right\}\right)$ ，结合律成立。

取等比数列$\left\{1\right\}\in B,$ 对于任意$\left\{a{}_n\right\}\in B$ ，$\left\{1\right\}\cdot \left\{a_n\right\}=\left\{a_n\right\}$ ，存在单位元。

对于$\left\{a_n|a_n==a_0{q}_1{}^{n-1},a_0>0,q_1>0,n\in N^{+}\right\}$ ，存在$\left\{b_n\right\}=\left\{\frac{1}{a_n}|\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_0}{\left(\frac{1}{q_1}\right)}^{n-1},\frac{1}{a_0}>0,\frac{1}{q_1}>0,n\in N^{+}\right\}$ ，使得$\left\{a_n\right\}\cdot \left\{b_n\right\}=\left\{1\right\}$ ，存在逆元。

3) $G_1\cong G_2.$

定义映射$\phi :G_1\to G_2,$ 对$\left\{a_n|a_n=a_0+\left(n-1\right)d_1,a_0\in R,d_1\in R,n\in N\right\}\in G_1$ ，令$\phi \left(\left\{a_n\right\}\right)=\left\{b_n\right\}$ $=\left\{{\text{e}}^{a_0}\cdot {\text{e}}^{(n-1)d_1}\right\}.$ 对$\left\{c_n|c_n=c_0+\left(n-1\right)d_2,c_0\in R,d_2\in R,n\in N\right\}\in G_1$ ，若$\phi \left(\left\{a_n\right\}\right)=\phi \left(\left\{c_n\right\}\right)$ $\left\{b_n\right\}=\{b_n|b_n=b_1{q}^{n-1},$ $b_1>0,q>0,n\in N^{+}\}\in G_2$ ，即$\left\{e^{a_0}\cdot e^{(n-1)d_1}\right\}=\left\{e^{c_0}\cdot e^{(n-1)d_2}\right\}$ ，则$a_0=c_0,d_1=d_2,\left\{a_n\right\}$ $=\left\{c_n\right\}$ ，故$\phi$ 为单射。

对任意，存在$a_0=\ln b_1,d_1=\ln q,$ 即$\exists \left\{a_n|a_n=a_0+\left(n-1\right)d_1,a_0\in R,d_1\in R,n\in N\right\}\in G_1$ ，使得$\phi \left(\left\{a_n\right\}\right)=\left\{b_n\right\}$ ，故$\phi$ 为满射。

对任意$\left\{a_n\right\},\left\{c_n\right\}\in G_1,$ $\phi \left(\left\{a_n\right\}+\left\{c_n\right\}\right)=\phi \left(\left\{a_n+c_n\right\}\right)=\left\{e^{a_0+c_0}\cdot e^{(d_1+d_2)(n-1)}\right\}=\left\{e^{a_0}\cdot e^{d_1(n-1)}\right\}\cdot \left\{e^{c_0}\cdot e^{d_2(n-1)}\right\}$ $=\phi \left(\left\{a_n\right\}\right)\cdot \phi \left(\left\{c_n\right\}\right)$ ，故$\phi$ 为同构映射，因此，$G_1$ 与$G_2$ 同构。

事实上，在前面的证明过程中，自然地建立了等差数列与等比数列通项公式的同构映射，即$b_n=e^{a_n}$ ($b_n$ 为等比数列通项，$a_n$ 为等差数列通项)。

利用等差数列与等比数列通项的同构映射，可以由等差数列项与项运算性质与中项的性质推断出等比数列的项与项运算性质与中项的性质。在等差数列中，若$m,n,p,q\in N^{+},且m+n=p+q,$ 则$a_m+a_n=a_p+a_q.$ 通过同构映射$b_m=e^{a_m}，b_n=e^{a_n},b_p=e^{a_p},b_q=e^{a_q}$ ，那么$e^{a_m+a_n}=e^{a_p+a_q},$ 即在等比数列中，$b_m\times b_n=b_p\times b_q.$ 在等差数列中，若$a_z$ 是$a_i$ 与$a_j$ 的等差中项，即$a_i+a_j=2a_z,$ 在同构映射下，$b_i=e^{a_i}，b_j=e^{a_j},b_z=e^{a_z},$ 那么$e^{a_z}=e^{\frac{a_i+a_j}{2}}=e^{\frac{a_i}{2}}\cdot e^{\frac{a_j}{2}},$ 即在等比数列中，$b_i\cdot b_j=b_z^2$ 。因此，通过同构映射，实现了等差数列与等比数列性质的统一。

5. 结语

同构是一种等价关系，利用这种等价关系可以把具有相同性质的集合放在一类，从而更好地研究代数结构。同构视角下研究高中数学指数函数与对数函数，等差数列与等比数列的关系，有利于学生更好地理解并掌握指数函数与对数函数，等差数列与等比数列。

NOTES

^*通讯作者。