有限个数列相加后盒维数估计及对应级数的敛散性判断

Estimating the Box Dimension of the Sum of a Finite Number of Sequences and Judging the Convergence or Divergence of the Corresponding Series

摘要: 本文主要讨论两个严格单调正项数列加法运算后盒维数与原先两个数列盒维数的关系，并将其推广到有限个数列进行加法运算的情形。在原先研究基础上，讨论加法运算后数列对应级数的敛散性，并得到了一些初步的研究成果。

Abstract: In this paper, we mainly solve the relationship between the box dimension of two strictly monotone positive series after the addition operation and the box dimension of the original two series. Then extend the conclusion to the addition operation of a finite number of sequences. On the basis of the previous research, the convergence or divergence of the corresponding series of the sequences after the addition operation is discussed. And some preliminary research results are obtained.

1. 引言

在过去，数学上着重通过经典微积分对集类和函数类进行探索，而那些不够规则或不够光滑的集类和函数类被人们看作是不值得进行科研的。近年来，这种态度发生了明显改变，不规则和不够光滑的集类和函数类往往也能在物理上反映出很多自然现象，例如布朗运动和元素特征[1]等，分形理论也应运而生。分形维数作为分形理论的重要研究内容，是对复杂对象不规则性的定量描述。盒维数是分形几何中一种应用非常广泛的分数维数，对它的研究最早可追溯[2]至闵可夫斯基的工作。布利冈在闵可夫斯基容度理论的基础上建立了盒维数的最初模型，但没有给出具体的数学表达式。庞特里亚金和施尼勒尔曼紧随其后，定义了具有数学表达式的盒维数概念，不过尚缺乏严格性。柯尔莫戈洛夫和契霍洛夫借助容量和熵对盒维数概念进行了严格定义，推动了盒维数理论的发展。法尔科内集其大成，给出了现代意义下的盒维数概念，进一步完善了盒维数理论。因其具有计算方便的特点，所以在分形理论中具有重要地位。在数列研究上，最引人注意的是其满足有限稳定性而不再满足可数稳定性，因而其相较于其他维数而言，在某种程度上在描述其复杂程度具有更高的准确性。数列的盒维数已经在物理和生物的分析上有多方面的应用[3] [4]，1993年，Koçak [5]对一类特殊的数列提出了一种盒维数的计算方法，并举出了如下所示的例子。

命题1.1 ([5]) ${\mathbb{N}}^{*}$ 表示正整数，以下例子中$n\in {\mathbb{N}}^{*}$ ：

1) 数列${\left\{\frac{1}{\log \left(n+1\right)}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的盒维数为1。

2) 对任意的$r\in \left(0,1\right)$ ，数列${\left\{r^n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的盒维数为0。

3) 对任意的$k>0$ ，数列${\left\{\frac{1}{n^k}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的盒维数为$\frac{1}{k+1}$ 。

4) 对任意的$\gamma >0$ ，数列${\left\{\underset{i=1}{\stackrel{n}{\Sigma }}\frac{1}{i^{\gamma }}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的盒维数为$\frac{1}{\gamma }$ 。

在此基础上，张云和梁永顺[6]注意到数列盒维数的大小反映数列的收敛速度，并以数列${\left\{\frac{1}{n^k}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ($k>0$ )为例讨论其盒维数与正项级数敛散性的关系。俞斌琰[7]进行更深入的研究，提出一种严格单调递减且收敛的正项数列盒维数计算方法，并将数列盒维数与对应级数的敛散性建立如下联系。

命题1.2 ([7]) 数列${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 满足以下条件：①${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的盒维数存在；②${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 为严格单调递减数列且收敛到0；③${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的步长严格单调递减。于是有如下结论：

1) 若${\dim }_B\left({\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\right)<\frac{1}{2}$ ，则级数$\underset{n=1}{\stackrel{\infty }{\Sigma }}{u}_n$ 收敛。

2) 若${\dim }_B\left({\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\right)>\frac{1}{2}$ ，则级数$\underset{n=1}{\stackrel{\infty }{\Sigma }}{u}_n$ 发散。

对于数列和级数的研究已经进行了许多年，对于级数敛散性常见的判别法有阿贝尔判别法、狄利克雷判别法、柯西判别法、拉格朗日判别法等，以及可以采用如下级数收敛的柯西准则。

命题1.3 ([8]) 级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n}$ 收敛的充分必要条件是：任给正数$ϵ$ ，总存在正整数$\text{N}$ ，使得当$m>\text{N}$ 以及对任意的正整数$p$ ，都有

$\left|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots +u_{m+p}\right|<ϵ$ .

由上述命题容易得到两个收敛级数相加后得到的级数仍然收敛，一个发散级数与一个收敛级数相加后得到的级数发散。

注1.1 下面将给出上述结论的具体证明过程。

证明：首先证明两个收敛级数相加后得到的级数仍然收敛。不妨设级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ 和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n}$ 收敛。所以由命题1.3得，对于任意给定的正数${ϵ}_1$ ，存在正整数$N_1$ ，使得当$m>n>N_1$ 时有

$\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_m\right|<{ϵ}_1.$

对于任意给定的正数${ϵ}_2$ ，存在正整数$N_2$ ，使得当$m>n>N_2$ 时有

$\left|b_{n+1}+b_{n+2}+\cdots +b_m\right|<{ϵ}_2.$

任给正数$ϵ$ ，取${ϵ}_1={ϵ}_2=\frac{ϵ}{2}$ ，令$N=\max \left\{N_1,N_2\right\}$ ，当$m>n>N$ 时有

$\left|\left(a_{n+1}+b_{n+1}\right)+\left(a_{n+2}+b_{n+2}\right)+\cdots +\left(a_m+b_m\right)\right|\le \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_m\right|+\left|b_{n+1}+b_{n+2}+\cdots +b_m\right|<{ϵ}_1+{ϵ}_2=ϵ$ .

由此可以由命题1.3得级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n+b_n\right)}$ 收敛。下面证明一个发散级数与一个收敛级数相加后得到的级数发散。不妨设级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ 收敛，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n}$ 发散。假设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n+b_n\right)}$ 收敛，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n}$ 可以看作是${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n+b_n\right)}$ 与${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(-a_n\right)}$ 相加得到，同时由于将数列每一项均取负数后不改变其对应级数的敛散性，所以${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n}$ 为两个收敛数列相加得到，仍收敛，这与${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n}$ 发散矛盾，所以一个发散级数与一个收敛级数相加后得到的级数发散。 □

级数发散近似可以看作为复杂性较高，即对于数列盒维数较大，级数收敛近似可以看作复杂性较低，即对应数列盒维数小，当一个收敛的级数与发散数列相加后将发散，其复杂程度变高，对应数列盒维数变大，那么是否可以运用命题1.2证明注1.1的结论？也就是说只需要证明① 两个盒维数均小于$\frac{1}{2}$ 相加后得到数列的盒维数也小于$\frac{1}{2}$ ，② 一个盒维数小于$\frac{1}{2}$ 的数列与一个盒维数大于$\frac{1}{2}$ 的数列相加后得到数列盒维数大于$\frac{1}{2}$ 。在函数层面上，关于盒维数研究[9]-[14]已经有多方面的进展，俞斌琰[15]讨论了两个分形函数相加后分形维数与原有两个分形函数分形维数的大小关系，如下所示。

命题1.4 ([15]) 定义$I=\left[0,1\right]$ 以及$\Gamma \left(f,I\right)=\left\{\left(x,f\left(x\right)\right):x\in I\right\}$ 作为函数$f(x)$ 在区间$I$ 上的图像。主要结论可以概括为如下所示：

1) 若

${\underset{\_}{\dim }}_B\Gamma \left(f,I\right)<{\dim }_B\Gamma \left(g,I\right)<{\overline{\dim }}_B\Gamma \left(f,I\right),$

则

${\overline{\dim }}_B\Gamma \left(f+g,I\right)={\overline{\dim }}_B\Gamma \left(f,I\right).$

2) 若

${\underset{\_}{\dim }}_B\Gamma \left(f,I\right)={\dim }_B\Gamma \left(g,I\right)<{\overline{\dim }}_B\Gamma \left(f,I\right),$

则

${\overline{\dim }}_B\Gamma \left(f+g,I\right)={\overline{\dim }}_B\Gamma \left(f,I\right).$

3) 若

${\underset{\_}{\dim }}_B\Gamma \left(f,I\right)<{\dim }_B\Gamma \left(g,I\right)={\overline{\dim }}_B\Gamma \left(f,I\right),$

则

${\overline{\dim }}_B\Gamma \left(f+g,I\right)={\overline{\dim }}_B\Gamma \left(f,I\right).$

注意到如下事实。

注 1.2. 观察如下两个数列相加后盒维数与原数列盒维数的关系。

1) 对任意的$r\in \left(0,1\right)$ ，数列${\left\{\frac{1}{\log \left(n+1\right)}+r^n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的盒维数为1。

2) 对任意的$0<\alpha <\beta$ ，数列${\left\{\frac{1}{n^{\alpha }}+\frac{1}{n^{\beta }}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的盒维数为$\frac{1}{\alpha +1}$ 。

受到命题1.4和注1.2的启发，我们可以猜测对于两个严格单调递减的数列，其和的盒维数等于两个数列盒维数较大的一项。为了验证猜想的正确性，我们首先给出盒维数定义如下。

定义1.1 ([16]) 设$F$ 是${ℝ}^n$ 上任意非空的有界子集，$N_{\delta }\left(F\right)$ 是直径最大为$\delta$ ，可以覆盖$F$ 的集的最少个数，则$F$ 的下盒维数和上盒维数分别定义为

${\underset{\_}{\dim }}_B\left(F\right)=\underset{\delta \to 0^{+}}{\underset{\_}{\lim }}\frac{\log N_{\delta }\left(F\right)}{-\log \delta },$

${\overline{\dim }}_B\left(F\right)=\underset{\delta \to 0^{+}}{\overline{\lim }}\frac{\log N_{\delta }\left(F\right)}{-\log \delta }.$

如果上盒维数和下盒维数相等，则称这共同的值为$F$ 的盒维数，记为

${\dim }_B\left(F\right)=\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\frac{\log N_{\delta }\left(F\right)}{-\log \delta }.$

在本节的最后，对本文所使用的符号进行说明，如下所示。

1) ${\mathbb{N}}^{*}$ 表示正整数集。

2) $ℝ$ 表示实数集。

3) 数列${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的盒维数${\dim }_B\left({\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\right)$ 简记为${\dim }_B\left(\left\{u_n\right\}\right)$ ，并表示数列盒维数存在。

4) $u_{\text{n}}\searrow p$ 表示严格单调递减数列${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 收敛到$p$ 且具有严格单调递减的步长。

2. 主要结果

本节主要研究有限个数列相加后盒维数的大小，首先，给出一个在后续定理证明中需要用到的引理。

引理2.1 如果数列${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 和${\left\{b_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 满足①$a_{\text{n}}\searrow 0$ 和$b_{\text{n}}\searrow 0$ ，②${\dim }_B\left(\left\{a_n\right\}\right)<{\dim }_B\left(\left\{b_n\right\}\right)$ ，那么总存在$N\in {\mathbb{N}}^{*}$ ，使得当$n>N$ 时有$a_n<b_n$ 。

证明：由[7]的讨论知道

${\dim }_B\left(\left\{a_n\right\}\right)=\frac{1}{1-\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\log a_n}{\log n}}$

和

${\dim }_B\left(\left\{b_n\right\}\right)=\frac{1}{1-\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\log b_n}{\log n}}.$

结合${\dim }_B\left(\left\{a_n\right\}\right)<{\dim }_B\left(\left\{b_n\right\}\right)$ ，则存在$N\in {\mathbb{N}}^{*}$ ，使得当$n>N$ 时有

$\frac{\log a_n}{\log n}<\frac{\log b_n}{\log n}$ ,

即有$a_n<b_n$ 。 □

下面将对两个数列相加后盒维数大小给出相应结论并进行证明。

定理2.1 如果数列${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 和${\left\{b_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 满足

①$a_n\searrow 0$ 且$b_n\searrow 0$ ，

②${\dim }_B\left(\left\{a_n\right\}\right)\ne {\dim }_B\left(\left\{b_n\right\}\right)$ ，

那么

${\dim }_B\left(\left\{a_n+b_n\right\}\right)=\max \left\{{\dim }_B\left(\left\{a_n\right\}\right),{\dim }_B\left(\left\{b_n\right\}\right)\right\}.$

证明：不妨设${\dim }_B\left(\left\{a_n\right\}\right)<{\dim }_B\left(\left\{b_n\right\}\right)$ ，由引理2.1可知存在$N_1\in {\mathbb{N}}^{*}$ ，使得当$n>N_1$ 时有

$a_n<b_n.$ . (2.1)

对于任给$\tau \in \left(0,\min \{1,a_1+b_1-a_2-b_2\}\right)$ ，存在$N_2\in {\mathbb{N}}^{*}$ ，当$n>N_2$ 时有

$a_{n+1}+b_{n+1}-a_{n+2}-b_{n+2}⩽\tau <a_n+b_n-a_{n+1}-b_{n+1}.$

由于

$\tau <a_n+b_n-a_{n+1}-b_{n+1}<2\left(b_n-b_{n+1}\right)$

和

$\tau ⩾a_{n+1}+b_{n+1}-a_{n+2}-b_{n+2}>b_{n+1}-b_{n+2},$

所以可以得到

$b_{n+1}-b_{n+2}<\tau <2\left(b_n-b_{n+1}\right).$

同时与(2.1)联立得

$n<N\left(\tau \right)<\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{\tau }+n+1<\frac{2b_{n+1}}{\tau }+n+1,n>\max \left\{N_1,N_2\right\}.$

因此下面两个式子成立，

$\begin{array}{c}{\overline{\dim }}_B\left(\left\{a_n+b_n\right\}\right)=\underset{\tau \to 0^{+}}{\overline{\lim }}\frac{\log N\left(\tau \right)}{-\log \tau }\\ \le \underset{n\to +\infty }{\overline{\lim }}\frac{\log \left(\frac{2b_n}{b_{n+1}-b_{n+2}}+n+1\right)}{-\log \left[2\left(b_n-b_{n+1}\right)\right]}\\ \le \underset{n\to +\infty }{\overline{\lim }}\frac{\log 2\left(\frac{b_n}{b_{n+1}-b_{n+2}}+n+1\right)}{-\log \left[2\left(b_n-b_{n+1}\right)\right]}\\ =\underset{n\to +\infty }{\overline{\lim }}\frac{\log \left(\frac{b_n}{b_{n+1}-b_{n+2}}+n+1\right)}{-\log \left[2\left(b_n-b_{n+1}\right)\right]}\\ ={\overline{\dim }}_B\left(\left\{b_n\right\}\right)，\\ {\underset{\_}{\dim }}_B\left(\left\{a_n+b_n\right\}\right)=\underset{\tau \to 0^{+}}{\underset{\_}{\lim }}\frac{\log N\left(\tau \right)}{-\log \tau }\\ \ge \underset{n\to +\infty }{\underset{\_}{\lim }}\frac{\log n}{-\log \left(b_{n+1}-b_{n+2}\right)}\\ ={\underset{\_}{\dim }}_B\left(\left\{b_n\right\}\right).\end{array}$

所以

由于${\left\{b_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的盒维数存在，可以得到结论

${\dim }_B\left(\left\{a_n+b_n\right\}\right)=\max \left\{{\dim }_B\left(\left\{a_n\right\}\right),{\dim }_B\left(\left\{b_n\right\}\right)\right\}.$ □

下面将上述定理中两个数列的盒维数计算推广到有限项的情形。

定理2.2 给定$k\left(k>2\right)$ 个数列${\left\{a_n^{(1)}\right\}}_{n=1}^{\infty },{\left\{a_n^{(2)}\right\}}_{n=1}^{\infty },\cdots ,{\left\{a_n^{(k)}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 满足

①$a_n^{(i)}\searrow 0\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ ，

②${\dim }_B\left(\left\{a_n^{(i)}\right\}\right)>{\dim }_B\left(\left\{a_n^{(i+1)}\right\}\right)(1\le i\le k-1)$ ，

则有

${\dim }_B\left(\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^k{a}_n^{(i)}}\right\}\right)={\dim }_B\left(\left\{a_n^{(1)}\right\}\right).$

证明：从定理2.1中可以得到

${\dim }_B\left(\left\{a_n^{(1)}+a_n^{(2)}\right\}\right)=\max \left\{{\dim }_B\left(\left\{a_n^{(1)}\right\}\right),{\dim }_B\left(\left\{a_n^{(2)}\right\}\right)\right\}={\dim }_B\left(\left\{a_n^{(1)}\right\}\right).$

因此

${\dim }_B\left(\left\{a_n^{(1)}+a_n^{(2)}+a_n^{(3)}\right\}\right)=\max \left\{{\dim }_B\left(\left\{a_n^{(1)}+a_n^{(2)}\right\}\right),{\dim }_B\left(\left\{a_n^{(3)}\right\}\right)\right\}={\dim }_B\left(\left\{a_n^{(1)}\right\}\right).$

以此类推得

${\dim }_B\left(\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^k{a}_n^{(i)}}\right\}\right)={\dim }_B\left(\left\{a_n^{(1)}\right\}\right).$ □

由于将数列平移并不改变其盒维数，所以可以将定理2.2中条件$a_{\text{n}}^{(i)}\searrow 0\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ 改为$a_{\text{n}}^{(i)}\searrow p_{}^{(i)}\left(i=1,2,\cdots ,k,p_{}^{(i)}\in ℝ\right)$ ，依然可以得到上述结论。同时，对于有限个数列的线性组合不影响最后的盒维数结果。因此，我们得到了计算有限个满足一定条件数列相加后盒维数的计算公式。

将有限个满足定理2.2条件的数列对应项相加后的盒维数等于原有有限个数列中最大的盒维数，从整体来看，对于盒维数大的数列(即复杂度大的数列)，在与盒维数小的数列对应项相加后并不改变其整体复杂度；从局部来看，结合引理2.1可以知道，一个盒维数小的数列加上有限个盒维数大的数列后收敛到0的速度会变慢。在进行加法操作时，可以看作具有吸收性，即盒维数较大的数列与盒维数小的数列对应项相加后会吸收后者数列。

3. 结论

本文主要讨论了将两个数列相加后估计其盒维数的大小，并将数列个数推广到有限项。若满足定理2.2的有限个数列的盒维数均小于$\frac{1}{2}$ ，那么将这些数列相加后盒维数一定存在且小于$\frac{1}{2}$ ，根据命题1.2得相加后对应的级数收敛，而原有限个数列对应的级数也均收敛，如此可以证明有限个收敛级数相加后仍然收敛。若有限个数列中有一个数列盒维数大于$\frac{1}{2}$ ，那么将这些有限个数列相加后盒维数存在且大于$\frac{1}{2}$ ，其级数发散，原有限个数列中盒维数大于$\frac{1}{2}$ 的数列对应的级数发散，由此可以证明相加级数中若有发散级数则相加后级数发散。这为数列盒维数的计算提供了一种新思路，同时也为级数敛散性的判断与证明提供了一种新方法。将定理2.2中的条件$a_i\searrow 0\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ 修改为$a_i\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ 收敛到0，结论是否依旧成立将是接下来研究的重点。

基金项目

感谢国家自然科学基金(批准号12071218)的支持。

NOTES

^*通讯作者。