结构分析法下洛必达法则应用机理分析

Analysis of the Application Mechanism of L’Hopital’s Rule under Structural Analysis Method

摘要: 洛必达法则是极限理论中非常重要的研究极限问题的工具。本文利用结构分析方法，对洛必达法则的结构进行了详尽的分析，给出了该法则的作用机理、理论基础、作用对象的结构特征、应用过程中应注意的问题，对该法则进行了较为全面的解读，从而使得我们该法则的认识达到了新的深度、高度、广度，为全面掌握该法则奠定了基础。

Abstract: L’Hospital’s rule is a very important tool to study limit problems in limit theory. This paper makes a detailed analysis of the structure of the L’Hospital’s rule by using structural analysis methods, gives the mechanism, theoretical basis, structural characteristics of the object of action, and problems that should be paid attention to in the application process of the law, and gives a more comprehensive interpretation of the law. Thus, our understanding of the law has reached a new depth, height, and breadth, laying the foundation for a comprehensive grasp of the law.

1. 引言

极限理论是《高等数学》的理论基础，其在整个高等数学体系中的重要地位和作用是不言而喻的，牢固掌握和熟练应用极限理论解决具体的极限问题在整个高等数学的学习中至关重要。求极限的类型分为确定型极限问题和待定型极限问题。因确定型极限的计算只需运用四则运算法则、等价无穷小代换等就可以很容易求出，过于简单，所以在各种考试中都不作考察；而考察做多一类极限问题是待定型极限问题。最早学习求解待定型极限的方法是两个重要极限，但所能求解的题目有限。因此，如何使学生深刻掌握待定型极限的分析研究方法、熟练运用求解的理论工具解决待定型极限问题是在高等数学教学中必须要解决的问题。

洛必达法则作为柯西中值定理的重要应用，是高等数学中研究、解决待定型极限问题的核心理论和主要工具。从教学内容看，洛必达法则并不复杂，因此，从教而言，教师并不感到难教；从学而言，学生也不感到难学和难用。然而，正是这些表面现象掩盖了洛必达法则教学中存在的问题：流于形式的教与学，只触及到了教学内容的皮毛而没有挖掘出其本质核心，使得对教学内容的认知没有达到应有的深度、广度和高度，这也是高等数学教学过程中存在的普遍现象。

任何一门课程的学习都是以最终的应用为终极目标——应用所学习的理论解决工程技术领域或理论研究领域中的问题，推动科学技术和社会的进步与发展；而要达到熟练应用的层面必须深刻掌握基本理论以及隐藏在基本理论下的丰富的分析问题、研究问题、解决问题的思想方法。对一个结论或工具的学习也是如此，而要达到如此境界必须对其进行深度的挖掘、高度的分析和广度的解读，而非仅仅停留在文字层面的会读或会背，也非简简单单地模仿应用。为什么学习并会背了高等数学中的一些结论和定理，也能看懂应用这些结论和定理解决问题(解题过程)，却不能自主应用解决问题(不会做题)？这正是高等数学教学中存在的实践问题。

因此，在教学课堂上，没有显现出数学教学课堂的理性特色，没有显现逻辑特征，没有体现分析问题、研究问题的数学思维方式和素养，没有充分挖掘文字符号下隐藏的丰富的解决问题的思想方法，没有构造出引人入胜的教学意境，没有体现数学课堂的魅力，是数学课程课堂教学中的“教”存在的重大问题；没有被课堂教学所吸引全身心投入课堂学习，只会背定义、定理而不能用它们解决具体的问题是教学过程中的“学”存在的主要问题。

高等教育具有强烈的时代背景，新的时代对高等教育提出了时代要求，将时代要求贯彻到高等数学的教学中，实现高等数学的时代教学目标，上述存在的教与学中的问题是高等数学教学中的障碍，是必须要解决的主要问题。

任何问题的解决都要经历两个阶段：解题思想的形成阶段与具体方法和路线的设计阶段。第一个阶段确立问题解决的方向，解决“用什么”的问题，即利用哪个已知的理论解决问题，由此确定解决问题的思路；第二个阶段确立解决问题的方法，解决“怎么用”的问题，即设计具体的技术路线，如何利用已知理论解决问题，确立解决问题的具体方法。

有鉴于此，崔国忠等[1]在教学实践中对上述教学过程中存在的问题进行了研究，从结构学角度对教学内容进行解读，将课堂教学内容化为具体问题的解决，将科学研究的一般思想方法与课堂教学有机融合，提出了确立思路的“结构分析法”和技术路线设计的“形式统一法”。其基本思想[1]：通过对定理、问题的结构进行分析，分析其已知的条件、要证明或求解的结论，与已知的定义、定理等进行类比，寻找与求解的问题关联最紧密的已知理论，由此确定用什么理论解决问题，从而确定解决问题的思路，并进一步将条件或结论的结构向已知的定理中的条件或结论从形式上进行统一，进行标准化处理，为利用已知的定理解决问题创造条件，从而形成“形式统一”的技术路线设计的一般性方法。张冬燕等[2]、王耀革等[3] [4]在文献[1]的基础上针对具体知识模块进一步对结构分析法做了详尽的阐述。

本文针对洛必达法则教学中存在的对应问题，运用结构分析方法，从结构学的角度对洛必达法则进行全面剖析，基于求导和函数结构的关系，分析了洛必达法则的作用机理，洛必达法则应用的理论基础，洛必达法则应用中的逻辑关系，全方位对洛必达法则进行解读。通过解读，使得对洛必达法则的认知将会达到新的深度、广度和广度，将其应用于教学可以有效地解决洛必达法则教与学过程中存在的问题。

2. 洛必达法则的结构分析

2.1. 洛必达法则

洛必达法则有各种不同的形式，我们仅以有限点处的$\frac{0}{0}$ 型结论为例。

定理1 洛必达法则[5]设

1) 函数$f\left(x\right)$ 和$g\left(x\right)$ 在$\stackrel{\circ }{U}\left(a,\delta \right)$ 上可导且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$ ；

2) $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=0$ 或$\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\infty$ ；

3) $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=A$ ($A$ 为有限数或$+\infty$ 或$-\infty$ )，

则$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=A$ 。

洛必达法则的证明在本文不在赘述，其详细的证明过程见教材[5]。

2.2. 洛必达法则的结构分析

2.2.1. 定理的作用

从定理的结论结构看定理的作用。

定理作用 根据定理的结论，该定理应用于计算极限$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 。

作用对象的特征 根据条件，$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 是$\frac{0}{0}$ 待定型极限，这是其作用对象的特征。

由此总结出该定理的作用是应用于待定型函数极限的计算。

2.2.2. 定理的应用机理分析

定理应用逻辑 从数学表达式$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=A$ 的逻辑看定理的应用逻辑。结论表明，洛必达法则应用于极限计算时，是通过将$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 的计算转化为计算$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 来实现的，这表明了洛必达法则的作用方向或应用逻辑。

应用机理 从科学研究的一般方法论对应用机理的再分析。从科研角度，任何问题的求解都是从结构上化繁为简——结构越简单，越容易挖掘其结构特点，越容易确立解决问题的思路，越容易设计具体的解决方法。作为一个科学结论，洛必达法则应用于极限计算时，必定满足上述的要求。因此，洛必达法则应用机理表明，$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 的结构应该比$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 的结构简单，或者$\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 的结构应该比$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 的结构简单。比较二者的结构，二者结构上的差别本质是函数和其导函数结构上的差别，如果说$\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 的结构比$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 的结构简单，所体现出来的一个是通过求导，改变了函数结构，使其结构发生了简单化。

那么，求导能改变函数的结构并使其简单化吗？为此，我们从结构角度对高等数学的研究对象——函数进行分析。

高等数学的研究对象是函数，高等数学属于古典分析理论，其研究对象是“好”函数，也即初等函数。初等函数是由基本初等函数构造而成。因此，我们以初等函数的基本组成元素——基本初等函数为例，考察求导与函数的结构变化，基本初等函数是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，我们从其中选择一个基本元素为代表，考查求导与函数结构的关系。下面是基本初等函数的求导公式：

${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ ，${\left({\text{e}}^x\right)}^{\prime }={\text{e}}^x$ ，${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$ ，

${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ ，${\left(\sin x\right)}^{\prime }=\cos x$ ，${\left(\arcsin x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

从结构角度分析，基于求导与函数结构关系可以将基本初等函数进行分类，一类是求导没有改变结构，或基本结构不变，具备这种结构特征的基本初等函数有两个：三角函数和指数函数，三角函数求导还是三角函数，指数函数求导还是指数函数，其基本结构不变。一类是求导彻底改变结构，这样的函数也有两个：对数函数和反三角函数，对数函数的导数是有理函数，反三角函数的导数是无理函数，故而从结构的角度，对数函数、反三角函数的求导彻底改变并简化结构；幂函数介于二者之间，其求导后虽没有改变结构，但实现了降幂，虽然不是结构上的彻底简化，也是某种程度上的结构简化(降幂)。

因此，求导简化结构的这种关系为利用求导改变结构，进而简化结构的各种计算提供了理论基础。洛必达法则正是以此理论基础建立起来的计算复杂结构的待定型极限的重要工具。

2.2.3. 应用过程分析

通过上述解读，在应用洛必达法则求解具体的函数极限时，首先分析其结构特征，验证其特征是否与洛必达法则的作用对象特征相匹配，若满足其作用对象的结构特征，可以考虑利用洛必达法则进行求解，由此，确立了问题求解的思路，即解决了“用什么”的问题；其应用过程相对简单，带入公式具体计算即可；但是，在应用时，经常遇到非标准的待定型极限，此时，需要利用形式统一的思想对其进行标准化，比如计算$0\cdot \infty$ 型待定型极限时，通常需要转化为标准的$\frac{0}{0}$ 型或$\frac{\infty }{\infty }$ 型待定型极限，在此转化过程中必须坚持求导改变并简化结构的原则，选择合适的转化方式，这是转化过程中的理论依据，是设计具体技术路线的逻辑基础，这是在解题过程教学中必须要挖掘并明确的解题逻辑。

通过上述分析，一个简单的洛必达法则，其背后隐藏了丰富的研究问题、分析问题、解决问题的思想方法。在教学过程中，如果将上述的东西挖掘出来呈现于教学课堂，使得课堂教学丰富多彩，更加突出了数学课堂的理性特色、严密的逻辑性思维、分析问题、解决问题的能力的培养，使得学生不仅了解结论的表面形式，更会使学生深刻理解其所以然，从而，将课堂教学推到新的深度、高度和广度。

2.3. 应用举例分析

下面，我们通过一些例子深刻理解洛必达法则及其应用。

任何题目的计算或证明，其本质和工程技术领域或社会生活中问题的解决是相同的，都需要两个阶段：确立思路和具体技术路线的设计。我们通过下面的例子也简要说明这两个阶段的分析与解决的过程模块。

例1 求极限$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln \cos \left(x-1\right)}{1-\sin \frac{\text{π}x}{2}}$ 。

结构分析 题型：函数极限的计算；结构特征：由于$\underset{x\to 1}{\lim }\ln \cos \left(x-1\right)=0$ ，$\underset{x\to 1}{\lim }\left(1-\sin \frac{\text{π}x}{2}\right)=0$ ，这是一个$\frac{0}{0}$ 型待定型极限；类比已知：解决待定型极限的高级工具就是洛必达法则(低级工具还有定义、两边加定理，从逻辑上，优先考虑高级工具)；思路确立：洛必达法则；方法设计：由于这是一个标准的$\frac{0}{0}$ 型极限，直接利用洛必达法则，带入公式进行计算即可(对复杂定理的应用方法设计，需要一个相对复杂的过程，一般是将条件结构向定理的条件结构进行形式统一，为应用定理创造条件，方法设计的思路就是围绕条件结构的形式统一而进行的)。

解 $原式=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-\tan \left(x-1\right)}{-\frac{\text{π}}{2}\cos \frac{\text{π}x}{2}}$ —洛必达法则简化结构，达到形式统一

$=\frac{2}{\text{π}}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\cos \frac{\text{π}x}{2}}$ ——用等价无穷小简化结构

$=\frac{2}{\text{π}}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{-\frac{\text{π}}{2}\sin \frac{\text{π}x}{2}}=-\frac{4}{{\text{π}}^2}$ 。——仍为$\frac{0}{0}$ 型，继续使用洛必达法则简化结构

总结 从上述解题过程看，通过求导改变了复杂因子(对数因子、三角函数因子)的结构，利用洛必达法则，使得分子和分母两种不同的结构在极限计算中实现了形式统一，统一为最简单的幂结构，从而实现了化繁为简，实现了同一种结构下的分子和分母的处理(体现了同类项合并处理的思想)，最终实现极限的计算。

例2 求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^{x^2}-{\text{e}}^{2-2\cos x}}{x^4}$ 。(2012年考研数学三第15题)

结构分析 题型：函数极限的计算；结构特征：从结构看，$\underset{x\to 0}{\lim }\left({\text{e}}^{x^2}-{\text{e}}^{2-2\cos x}\right)=0$ ，故该极限为$\frac{0}{0}$ 型，类比已知：连续使用洛必达法则来求，但这样做计算过程十分复杂；思路确立：洛必达法则，等价无穷小替换；方法设计：为使计算达到最简，首先分离极限已知的非零因子，然后用等价无穷小因子替换，最后使用洛必达法则简化计算。

解 $原式=\underset{x\to 0}{\lim }{\text{e}}^{x^2}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\text{e}}^{2-2\cos x-x^2}}{x^4}$ ——分离极限已知的非零因子

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\text{e}}^{2-2\cos x-x^2}}{x^4}$ $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+2\cos x-2}{x^4}$ ——等价无穷小替换

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x-2\sin x}{4x^3}$ $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{2x^3}$ ——连续用洛必达法则简化结构

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{6x^2}$ $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{6x^2}$ $=\frac{1}{12}$ ——等价无穷小替换

例3 求极限$\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\frac{\text{π}}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$ 。

结构分析 题型：函数极限的计算；结构特征：该函数是由常函数、幂函数和反三角函数三种不同结构的因子组成。由于$x\to +\infty$ ，$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{\text{π}}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}\right)=0$ ，故该极限为$0\cdot \infty$ 型；类比已知：乘积类型的极限，可转化为型或$\frac{\infty }{\infty }$ 型，再用洛必达法则；思路确立：洛必达法则，等价无穷小替换。方法设计：如何转化为$\frac{0}{0}$ 型或$\frac{\infty }{\infty }$ 型？按照求导简单的原则转化成比值形式，“下放”简单因子转化为$\frac{0}{0}$ 。型或$\frac{\infty }{\infty }$ 型，即需把简单因子转移到分母上。那么何为简单因子？求导尽可能简单的因子。即把求导尽可能简单的因子转移到分母上，这样可使计算尽可能简单。本例将$x$ 转型为分母，即将$x$ 变换为$\frac{1}{x}$ (化不定$\infty$ 为确定$0$ )，把该极限化为$\frac{0}{0}$ 型。

解 $原式=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{\text{π}}{4}-\arctan \frac{x}{x+1}}{\frac{1}{x}}$ ——恒等变形，转化为已知解法的结构：$\frac{0}{0}$ 型

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{x+1}\right)}^2}\cdot \frac{x+1-x}{{\left(x+1\right)}^2}}{-\frac{1}{x^2}}$ ——洛必达法则简化结构，达到形式统一

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{{\left(x+1\right)}^2+x^2}$ $=\frac{1}{2}$ ——运用已知公式，即抓大头

例4 求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{{\text{e}}^x-1}-\frac{1}{\ln \left(1+x\right)}\right)$ 。(2020年考研数学一第9题)

结构分析 题型：函数极限的计算；结构特征：由于$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{{\text{e}}^x-1}=0$ 、$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\ln \left(1+x\right)}=0$ ，该极限是$\infty -\infty$ 型；类比已知：不可直接使用洛必达法则，可转化为$\frac{0}{0}$ 型或$\frac{\infty }{\infty }$ 型，再用洛必达法则；思路确立：洛必达法则，等价无穷小替换；方法设计：需要先通分转化为$\frac{0}{0}$ 型后再使用洛必达法则，且只要满足洛必达法则的条件，就可反复多次使用洛必达法则

解 $原式=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)-{\text{e}}^x+1}{\left({\text{e}}^x-1\right)\ln \left(1+x\right)}$ ——通分后化为$\frac{0}{0}$ 型，优先用等价无穷小简化结构

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)-{\text{e}}^x+1}{x^2}$ ——洛必达法则简化结构

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{1+x}-{\text{e}}^x}{2x}$ ——该极限结构仍为$\frac{0}{0}$ 型，继续使用洛必达法则简化结构

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}-{\text{e}}^x}{2}=-1$ ——极限四则运算

例5 求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(n\tan \frac{1}{n}\right)}^{n^2}$ .(1998年考研数学四第三题)

结构分析 题型：数列极限的计算；结构特征：从结构看，由于$\underset{n\to \infty }{\lim }n\tan \frac{1}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\tan \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$ ，故本题为数列极限的$1^{\infty }$ 型待定型极限。类比已知：众所周知，求解$1^{\infty }$ 型函数极限的方法是洛必达法则，那么可否把数列极限转化为函数极限来求解呢？数列极限与函数极限之间的关系——海涅定理；思路确立：海涅定理，洛必达法则；方法设计：因对于离散变量$n\in {{\rm N}}_{+}$ 求导是没有意义的，故不可直接使用洛必达法则。改变其结构，将该极限连续化，转化为求函数极限：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(\frac{\tan x}{x}\right)}^{\frac{1}{x^2}}$ ，再由海涅定理得$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(n\tan \frac{1}{n}\right)}^{n^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(\frac{\tan x}{x}\right)}^{\frac{1}{x^2}}$ 。

解 将该极限连续化，转化为$\frac{0}{0}$ 求函数极限：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(\frac{\tan x}{x}\right)}^{\frac{1}{x^2}}$ ，取对数作恒等变形$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(\frac{\tan x}{x}\right)}^{\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\text{e}}^{\frac{1}{x^2}\ln \frac{\tan x}{x}}$ ，于是指数部分的极限：

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^2}\ln \frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^2}\ln \left(1+\frac{\tan x}{x}-1\right)$ ——恒等变形

$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\tan x-x}{x}$ ——优先用等价无穷小简化结构

$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^3}$ ——该极限为$\frac{0}{0}$ 型，洛必达法则简化结构

$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\sec }^{2}x-1}{3x^2}$ ——利用恒等式${\sec }^{2}x-1={\tan }^{2}x$

$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\tan }^{2}x}{3x^2}=\frac{1}{3}$ ——再次使用等价无穷小即得结果

再由海涅定理得$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(n\tan \frac{1}{n}\right)}^{n^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(\frac{\tan x}{x}\right)}^{\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\text{e}}^{\frac{1}{3}}={\text{e}}^{\frac{1}{3}}$ 。

通过以上例子的求解，使用结构分析法解题是把已知的条件逐条罗列出来，对比已知的结论和解题方法，确定解题思路，即化整为零，逐个击破。通过结构分析法来讲解洛必达法则计算极限的过程中体现$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\tan x-x}{x}$ 了化繁为简、化未知为已知的思想。由此教师在上课的过程中可以如盐化水似的融入课程思政。以此告诉学生，在遇到困难，一头雾水，没有办法时，不要慌张，要沉着冷静，先把需要解决的问题细化，分成一个一个的小问题，再看现存的方法是否可以解决，若不能解决，那就从已知条件和知点出发，开展头脑风暴，寻找解决办法。要有刻苦专研，咬定青山不放松的精神，办法总比困难多。

3. 结论

运用结构分析法求解极限题目时，先观察其结构，逐个分析，类比已知，进而找到求解方法。每次在使用洛必达法则之前，务必考察是否满足洛必达法则的条件，若不满足决不可使用；即使满足洛必达法则的条件，也要遵循四大原则：1) 优先使用极限的四则运算：在代数和中第一时间把极限存在的部分拆分出来、在积商中第一时间分离非零因子；2) 优先使用等价无穷小替换；3) 其他五种待定型先转化为$\frac{0}{0}$ 型或$\frac{\infty }{\infty }$ 型，再使用洛必达法则，转化方法如图1；4) 数列极限必须转化为函数极限才能使用法则。

Figure 1. Methods for transforming other undetermined types into type $\frac{0}{0}$ or type $\frac{\infty }{\infty }$

图1. 其他待定型转化为型或$\frac{\infty }{\infty }$ 型的方法

基金项目

河南省本科高校研究性教学改革研究与实践项目，教高[2023]388号，立项序号：180，项目名称：基于结构分析法的大学数学课程研究性教学模式探究；河南省教育课程改革研究项目(2024-JSJYYB-120)。