平面代数曲线上的二元Birkhoff插值问题研究

Research on Binary Birkhoff Interpolation Problem on Plane Algebraic Curves

摘要: 主要研究了二元Birkhoff插值泛函组适定性问题。给出平面代数曲线上的二元Birkhoff插值适定结点组的定义并证明了相关性质定理，在过去已得到的构造适定二元切触插值泛函组的基础上给出了构造二元Birkhoff插值适定泛函组的一种新的构造方法——添加曲线交点法。该方法是通过迭加过程来实现的。因此便于在计算机上实现其构造过程。最后给出了具体实验算例。

Abstract: We mainly studied the problem of fitness of binary Birkhoff interpolation functional groups. We defined the fitness node group of binary Birkhoff interpolation on planar algebraic curves and proved the relevant property theorems. Based on the construction of fitness binary tangent interpolation functional groups that have been obtained in the past, we proposed a new construction method for constructing fitness binary Birkhoff interpolation functional groups—the method of adding curve intersection points. This method is implemented through the superposition process, making it easy to implement its construction process on computers. Finally, specific experimental examples were provided.

1. 引言

1906年，Birkhoff提出了一类更广泛的多项式插值问题其典型特征是某些插值结点上的微商是不连续的，正是这种不连续性使之变得更复杂，该问题被称为Birkhoff插值[1]。

从上世纪八十年代起，人们才开始关注多元Birkhoff插值问题，1987年，Hack讨论了二元Birkhoff插值的唯一可解性问题，1989年Lorentz证明了多元Birkhoff插值格式是正则的当且仅当定义插值条件的关联矩阵是阿贝尔矩阵，Jia等人将这个结论推广到了张成插值空间的单项集不是lower集的情形。1990年，Gasca用矩阵方法给出了二元Birkhoff插值问题唯一可解的必要条件。1993年Lorentz在其专著中系统地介绍了多元Birkhoff插值问题，尤其是在插值格式几乎正则时，给出了构造适定结点组的大量例子。

本文在过去已得到的构造适定二元切触插值泛函组[2]的基础上给出了构造二元Birkhoff插值适定泛函组的一种新的构造方法——添加曲线交点法。

2. 基本定义和定理

定义1 (平面代数曲线上的Birkhoff插值问题)

令$k\in N^{+},r\in N,e_{n,r}\left(k\right)=k\left(n-rk\right)-\left(\begin{array}{c}k-1\\ 2\end{array}\right)+1$

$d_{n,\mu }(k)=\left(\begin{array}{c}n+2\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n-(\mu +1)\cdot k+2\\ 2\end{array}\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(n+1\right)\left(n+2\right),n<k\left(\mu +1\right)\\ \frac{1}{2}\left(\mu +1\right)\cdot k(2n+3-k\left(\mu +1\right),n\ge k\left(\mu +1\right)\end{array}$

设$q\left(x,y\right)=0$ 是一条k次平面代数曲线，令$P_{n,\mu }^2\left[q\left(k\right)\right]$ 表示定义于$q\left(x,y\right)=0$ 上并且与$q\left(x,y\right)=0$ 上所有点都有法方向导矢且求导阶数直至$\mu$ 的二元n次实系数多项式空间，其中有

$\dim \left(P_{n,\mu }^{2}q\left[k\right]\right)=\left(\begin{array}{c}n+2\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n-k\left(\mu +1\right)+2\\ 2\end{array}\right)$

设${\rm B}=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu \right\}$ 为曲线$q\left(x,y\right)=0$ 一个Birkhoff插值泛函组，对于每个任给的实数组$\left\{f_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu \right\}$ ，寻找一个多项式$p\left(x,y\right)$ ，要求多项式的次数不超过n，同时满足如下Birkhoff插值条件

$\frac{{\partial }^r}{\partial n^r}g\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=f_i^{\left(r\right)},i=0,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu$ (1)

其中$\frac{{\partial }^r}{\partial n^r}g\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=f_i^{\left(r\right)},i=0,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu$ 表示$p\left(x,y\right)$ 在点$Q_i\left(i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right)\right)$ 处在$q\left(x,y\right)=0$ 上的法向导矢，求导阶数直至r，$Q_i$ 在$q\left(x,y\right)=0$ 上的B中。

定义2 (平面代数曲线上的Birkhoff插值适定泛函组)

令$q\left(x,y\right)=0$ 是k次平面代数曲线，设对每个任给定的$\left\{f_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu \right\}$ ，上述(1)总有一组解，则称${\rm B}=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu \right\}$ 为平面代数曲线$q\left(x,y\right)=0$ 的n次r阶Birkhoff插值适定泛函组。简记为${\rm B}\in I_{n,r}^{\left(2\right)}q$ (这里$I_{n,r}^{\left(2\right)}q$ 代表所有位于$q\left(x,y\right)=0$ 上的n次r阶Birkhoff插值适定泛函组所构成的集合)。

注1：如下两个命题等价

1) 如果对于每个任给数组$\left\{f_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu \right\}$ ，总是有一组解；

2) 设B是上述$q\left(x,y\right)=0$ 上的一个Birkhoff插值适定泛函组。如果对于每个任给的

$\left\{f_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu \right\}$ ，方程组(1)总有一组解即若存在$p\left(x,y\right)$ ，要求多项式的次数不超过n，符合如下Birkhoff插值条件：

$\frac{{\partial }^r}{\partial {\tau }^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=f_i^{\left(r\right)},i=0,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu$

可推出在$q\left(x,y\right)=0$ 上总是有$p\left(x,y\right)\equiv 0$ 。

定义3 (理想)

设集合I是二元式系数多项式空间$p_{}^2$ 的一个子集，若I符合：

1) $0\in I$ ；

2) $p\left(x,y\right),q\left(x,y\right)\in I,\exists p\left(x,y\right)+q\left(x,y\right)\in I$ ；

3) $p\left(x,y\right)\in I,l\left(x,y\right)\in P^2,\exists p\left(x,y\right)l\left(x,y\right)\in I$ 。

于是称I是一个理想。

定义4 (r阶理想)

对于$f_1,\cdots ,f_s\in K\left[x_1,\cdots ,x_n\right]$ ，定义

${\langle f_1,\cdots ,f_s\rangle }^r\dot{=}\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^s{h}_1{f}_i^{r+1}}:h_1,\cdots ,h_s\in K\left[x_1,\cdots ,x_n\right]\right\}$

显然${\langle f_1,\cdots ,f_s\rangle }^r$ 是一个理想，称做由$f_1,\cdots ,f_s$ 所生成的r阶理想。

定义5 (r阶理想的强H-基)

设$f_1,\cdots ,f_s$ 为$K\left[x_1,\cdots ,x_n\right]$ 中的多项式，$\mathrm{deg}\left(f_i\right)=l_i$ ，且理想$I=\langle f_1,\cdots ,f_s\rangle$ 。假若对于每个给出的n元m次多项式$p\in I\cap P_m^{\left(n\right)}$ ，在$K\left[x_1,\cdots ,x_n\right]$ 中总有多项式$p_1,\cdots ,p_s$ ，使得

$p={\displaystyle \sum _{i=1}^s{p}_i{f}_i^{r+1},\mathrm{deg}\left(p_i\right)\le n-l_i\left(r+1\right),i=1,\cdots ,s}$

则称$\left\{f_1,\cdots ,f_s\right\}$ 是关于r阶理想I的一个强H-基[3]。

本文所获得研究结果如下：

定理1 (构造平面代数曲线上Birkhoff插值适定泛函组的添加曲线交点法)

设k次代数曲线$s\left(x,y\right)=0$ ，$l\left(l\ge k\right)$ 次代数曲线$w\left(x,y\right)=0$ ，两个曲线交于个$lk$ 点(互不相同)，由此可以确定一个Birkhoff插值适定泛函组${\rm A}=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,lk,r=0,\cdots ,\mu \right\}$ (求导方向同时有$s\left(x,y\right)=0$ 及$w\left(x,y\right)=0$ 两条曲线上的法方向)，而$\left\{s,w\right\}$ 正好做成关于理想$\langle s,w\rangle$ 的一个强H-基。若有${\rm B}=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu \right\}\in I_{n,r}^{\left(2\right)}\left(w\right)$ ，并且假若能同时符合$\text{B}\cap \text{A}=\varnothing$ ，则有

${\rm B}\cup {\rm A}\in I_{n+l\left(\mu +1\right),r}^{\left(2\right)}\left(w\right)$ 。

3. 定理的证明

为了证明本文的主要结果，首先给出如下引理。

引理1：设${\rm B}=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu \right\}$ 是位于k次代数曲线$q\left(x,y\right)=0$ 上的一个Birkhoff插值泛函组，那么条件组B能做成$q\left(x,y\right)=0$ 上的n次$\mu$ 阶Birkhoff插值泛函组的充要条件为：对任何一个符合如下的Birkhoff插值条件：

$\frac{{\partial }^r}{\partial n^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=f_i^{\left(r\right)},i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right),r=0,\cdots ,\mu$

的$p\left(x,y\right)\in P_n^2$ ，一定能按照如下形式表示：

$p\left(x,y\right)=\left[q{\left(x,y\right)}^{\mu +1}\cdot p_1\left(x,y\right)\right]$

其中有$p_1\left(x,y\right)\in P_{n-k\left(\mu +1\right)}^{\left(2\right)}$ ，而当$n<k\left(\mu +1\right)$ 时，$p_1\left(x,y\right)=0$ 。

引理1证明：根据注1可知，引理充分性显然得证，所以只证必要性。

根据注1可知，曲线$q\left(x,y\right)=0$ 上恒有$p\left(x,y\right)=0$ ，即二者的每个因子都有无穷多个交点，但$q\left(x,y\right)=0$ 是无重复分量代数曲线，所以由Bezout定理[4]，有

$p\left(x,y\right)=q_1\left(x,y\right)\cdot \cdots \cdot q_s\left(x,y\right)\cdot r\left(x,y\right)=q\left(x,y\right)r\left(x,y\right)$

同时$q\left(x,y\right)=q_1\left(x,y\right)\cdot \cdots \cdot q_s\left(x,y\right)$ 。

假设结论对整数$r=t$ 成立，也就是$\exists r\left(x,y\right)\in P_{n-k\left(t+1\right)}^2$ ，使得

$p\left(x,y\right)={\left[q\left(x,y\right)\right]}^{t+1}\cdot p_1\left(x,y\right)$ (2)

只须证$r=t+1$ 时结论成立。

对(2)式两端求法方向导矢$\left(\forall Q_i^{\left(r\right)}\in {\rm B}\right)$ ，求导阶数直至$t+1$ ，并运用Leibniz公式，得

$r\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0,i=1,\cdots ,e_{n,t+1}\left(k\right)$

然而${\rm B}\in I_{n,t+1}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ ，而且$e_{nt+1}\left(k\right)=\left(n-k\left(t+1\right)\right)-\frac{\left(k-1\right)\left(k-2\right)}{2}+1$ ，这意味着$n-k\left(t+1\right)$ 次曲线$r\left(x,y\right)=0$ 与k次曲线$q\left(x,y\right)=0$ 相交于$\left(n-k\left(t+1\right)\right)-\frac{\left(k-1\right)\left(k-2\right)}{2}+1$ 个互不相同的点。再由Cayley-Bacharach定理[5]知，二者则一定相交于余下的$\frac{\left(k-1\right)\left(k-2\right)}{2}$ 个点，也就是说它们有$\left(n-k\left(t+1\right)\right)+1$ 个交点，根据Bezout定理，有

$p\left(x,y\right)=q\left(x,y\right)\cdot {p^{\prime }}_1\left(x,y\right)$ (3)

将(3)式代入(2)式得

$p\left(x,y\right)={\left[q\left(x,y\right)\right]}^{t+2}\cdot {p^{\prime }}_1\left(x,y\right)$ .

证明完毕。

定理4 证明

全部条件数为

$\begin{array}{l}lk{\left(\mu +1\right)}^2+{\displaystyle \sum _{r=0}^{\mu }{e}_{n,r}\left(k\right)}\\ =lk{\left(\mu +1\right)}^2+{\displaystyle \sum _{r=0}^{\mu }\left(k\left(n-rk\right)-\left(\begin{array}{c}k-1\\ 2\end{array}\right)+1\right)}\\ =lk{\left(\mu +1\right)}^2+\frac{1}{2}\cdot k\left(\mu +1\right)\left(2n+3-k\left(\mu +1\right)\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\mu +1\right)+k\left(2\left(n+l\left(\mu +1\right)\right)+3-k\left(\mu +1\right)\right)\end{array}$

显然这与多项式空间$P_{n+k\left(\mu +1\right)}^{\left(2\right)}$ 的维数相等。

只须证仅存在$p\left(x,y\right)\equiv 0$ 符合给定的齐次Birkhoff插值条件即可。

假设$\exists p\left(x,y\right)\in P_{n+k\left(\mu +1\right)}^{\left(2\right)}$ 符合如下Birkhoff插值条件：

$\begin{array}{l}\left(D_{\mathfrak{A}}p\right)\left(Q_i\right)=0,\forall Q_i\in N\\ \frac{{\partial }^r}{\partial {\tau }^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0,\forall Q_i^{\left(r\right)}\in {\rm B}\end{array}$

由于$\frac{{\partial }^r}{\partial {\tau }^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0$ ，$\forall Q_i^{\left(r\right)}\in {\rm B}$ ，且${\rm B}\in I_{n+k\left(\mu +1\right),r}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ ，而$p\left(x,y\right)\in P_{n+k\left(\mu +1\right)}^{\left(2\right)}$ ，则根据引理1，$P_n^{\left(2\right)}$ 中有$r\left(x,y\right)$ ，使

$P\left(x,y\right)=\left[q{\left(x,y\right)}^{\mu +1}\cdot r\left(x,y\right)\right]$ (4)

成立。对(4)式两端求导数，求导阶数直至$\mu +1$ ，得

$0=\left(D_{\mathfrak{A}}p\right)\left(Q_i\right)=D_{\mathfrak{A}}\left({\left[q\left(x,y\right)\right]}^{\mu +1}\cdot r\left(x,y\right)\right)\left(Q_i\right),\forall Q_i\in N$

运用Leibniz公式后得到

$\left(D_{\mathfrak{A}}r\right)\left(Q_i\right)=0,\forall Q_i\in N$

但$\theta$ 是关于$P_n^{\left(2\right)}$ 的Birkhoff插值适定泛函组，因此由注1，有$r\left(x,y\right)=0$ ，再结合(4)式有$p\left(x,y\right)=0$ 。

证明完毕。

4. 实验算例

下面给出关于定理1的例子。

例1：设有直线$l_1\left(x,y\right)=x-y=0$ ，$l_2\left(x,y\right)=-x-y+2=0$ ，$\left(l_1=0\right)\cap \left(l_2=0\right)=N_3$ ，$N_3=\left(1,1\right)$ ，由定义2，$\left\{N_3\right\}$ 是一个Birkhoff插值适定泛函组，取直线$l_1\left(x,y\right)=0$ 上点$N_1\left(0,0\right)$ ，取直线$l_2\left(x,y\right)=0$ 上点$N_2\left(0,2\right)$ ，$N_4\left(2,0\right)$ ，$\left\{N_2,N_3\right\}\in I_{1\cdot 0}^{\left(2\right)}\left(l_2\right)$ ，$\left\{N_2,N_3,N_4\right\}$ 是直线$l_2\left(x,y\right)=0$ 的2次0阶Birkhoff插值适定泛

函组，$\left\{N_2,N_3,N_4\right\}\in I_{1\cdot 0}^{\left(2\right)}\left(l_2\right)$ ，$\left\{N_1,\frac{\partial }{\partial x}\left(N_1\right),\frac{\partial }{\partial y}\left(N_1\right)\right\}$ 是$P_1^{\left(2\right)}$ 的1阶Birkhoff插值适定泛函组，

$\left\{N_1,N_2,N_3,N_4,\frac{\partial }{\partial \tau }\left(N_2\right),\frac{\partial }{\partial \tau }\left(N_4\right)\right\}$ 为$P_2^{\left(2\right)}$ 的1阶Birkhoff插值适定泛函组，被插函数$h\left(x,y\right)=x^3-y^3-1$ ，

插值多项式$r\left(x,y\right)=c_1{x}^2+c_2{y}^2+c_{3}xy+c_{4}x+c_{5}y+c_6$ ，见图1。

插值条件为：$\{\begin{array}{l}r\left(N_1\right)=h\left(N_1\right)\hfill \\ \begin{array}{c}r\left(N_2\right)=h\left(N_2\right)\\ r\left(N_3\right)=h\left(N_3\right)\end{array}\hfill \\ r\left(N_4\right)=h\left(N_4\right)\hfill \\ {\left(\frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial r}{\partial y}\right)|}_{N_2}\cdot \frac{\partial }{\partial \tau }\left(N_2\right)={\left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y}\right)|}_{N_2}\cdot \frac{\partial }{\partial \tau }\left(N_2\right)\hfill \\ {\left(\frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial r}{\partial y}\right)|}_{N_4}\cdot \frac{\partial }{\partial \tau }\left(N_4\right)={\left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y}\right)|}_{N_4}\cdot \frac{\partial }{\partial \tau }\left(N_4\right)\hfill \end{array}$

这里的$\frac{\partial }{\partial \tau }\left(N_2\right)=\left(-1,-1\right)$ ，$\frac{\partial }{\partial \tau }\left(N_4\right)=\left(-1,-1\right)$

代入条件，得：$\{\begin{array}{l}{c}_6=-1\hfill \\ 4c_2+2c_5+c_6=-9\hfill \\ c_1+c_2+c_3+c_4+c_5+c_6=-1\hfill \\ 4c_1+2c_4+c_6=7\hfill \\ -4c_2-2c_3-c_4-c_5=12\hfill \\ -4c_1-2c_3-c_4-c_5=-12\hfill \end{array}$

解方程组，得$\{\begin{array}{l}{c}_1=3\hfill \\ c_2=-3\hfill \\ c_3=0\hfill \\ c_4=-2\hfill \\ c_5=2\hfill \\ c_6=-1\hfill \end{array}$

代入得到插值多项式为：$r\left(x,y\right)=3x^2-3y^2-2x+2y-1$ 。

Figure 1. Interpolated polynomials $r\left(x,y\right)=3x^2-3y^2-2x+2y-1$ versus the interpolated function $h\left(x,y\right)=x^3-y^3-1$

图1. 插值多项式$r\left(x,y\right)=3x^2-3y^2-2x+2y-1$ 与被插值函数$h\left(x,y\right)=x^3-y^3-1$ 对比图

此时计算点$\left(1.15,1.18\right)$ 在$h\left(x,y\right)$ 和$r\left(x,y\right)$ 处的值为−1.1222、−1.1497，误差为$m=\left|-1.1222-\left(1.1497\right)\right|$ $=0.0275$ 。

5. 结论

本文首先介绍了平面代数曲线上Birkhoff插值适定泛函组的相关定义与基本定理，提出构造平面代数曲线上Birkhoff插值适定泛函组添加代数曲线交点法，最后给出实验算例说明并验证有关结论。本文创新点为给出平面代数曲线上Birkhoff插值适定泛函组添加代数曲线交点法，其对生产生活有着重要的实用价值。

NOTES

^*通讯作者。