凸集的支持函数与支撑函数的关系

The Relationship between the Support Function 1 and the Support Function 2 of the Convex Set

摘要: 本文通过椭圆的支持函数与支撑函数间的关系，研究了一般凸集的支持函数与支撑函数之间的关系，得到了它们之间的代数关系式。

Abstract: In this paper, the relationship between the support function 1 and the support function 2 of the general convex set is studied through the relationship between the support function 1 and the support function 2 of the ellipse, and the algebraic relationship between them is obtained.

1. 引言

凸集在几何学中占据重要地位，其对应的支持函数和支撑函数是研究凸集的重要工具。因此探讨同一个凸集的支持函数与支撑函数之间的内在联系具有重要意义。文献[1]研究了一些凸集的支撑函数，但都没有讨论两者之间的关系。本文基于凸集的支持函数和支撑函数的定义，通过对椭圆的支持函数与支撑函数进行研究，得到了椭圆的支持函数和支撑函数之间的关系式，从而对任意凸集的支持函数与支撑函数之间的关系进行了探讨。

2. 预备知识

设C为欧氏平面$R^2$ 上一非空子集，如果当$A\in C$ 和$B\in C$ 时，连结A、B二点的线段也属于C，则称C为凸集[1]。具有非空内点的凸集称为凸域；紧凸域称为凸体。

在平面直角坐标系xoy中，直线G的法式方程为

$G\left(p,\phi \right):x\cos \phi +y\sin \phi -p=0$ ，($0\le p<+\infty$ ，$0\le \phi <2\pi$ )

其中p表示原点到直线G的距离，$\phi$ 表示从x正半轴到直线G的法线的角。

定义1 [2]在平面上任意选取坐标系xoy，自原点O引射线OR，作垂直于OR且与C相遇的任一直线$G_1\left(p_1,\phi \right)$ ，集$\left\{p_1\right\}$ 之上确界记为p，即

$p=\sup \left\{p_1:G_1\left(p_1,\phi \right)\cap C\ne \varnothing \right\}$ ，

其中记号$G_1\cap C\ne \varnothing$ 表示“$G_1$ 与C的交为非空”，即$G_1$ 与C相交的意思。直线$G\left(p,\phi \right)$ 为C的支持线，称为C沿$\phi$ 方向的支持线。函数$p\left(\phi \right)$ 称为凸集C的支持函数。

定义2 [3]设C为欧氏平面$R^2$ 中的一个紧凸集，它的支撑函数$h\left(C,\cdot \right):R^2\to R$ 可以定义为

$h\left(C,x\right)=\max \left\{x\cdot y:y\in C\right\}$ ，

其中$x\cdot y$ 表示$R^2$ 中$x$ 与$y$ 的标准内积。由紧凸集C的支撑函数$h\left(C,x\right)$ 的定义式可以验证它是一阶齐次次线性的，即对于$\lambda \ge 0$ ，$x,y\in R^2$ 有

$h\left(C,\lambda x\right)=\lambda h\left(C,x\right)$ ，

$h\left(C,x+y\right)\le h\left(C,x\right)+h\left(C,y\right)$ 。

紧凸集由它的支持函数所唯一确定，且一个一阶齐次次线性函数唯一确定一紧凸集[4]。

定义1中的支持函数是从几何上给出凸集的一个相关概论，而定义2中的支撑函数则是从代数上给出凸集的一个相关概论。那么同一个凸集的支持函数和支撑函数有什么关系呢？

引理1 [2] 以$2\pi$ 为周期的周期函数$p\left(\phi \right)$ 是一个凸集的支持函数的充要条件是

$p\left(\phi \right)+p^{″}\left(\phi \right)>0$ ，$\left(0\le \phi <2\pi \right)$ 。

引理2 [5] 若$h:R^2\to R$ 是一个一阶齐次次线性函数，则它是紧凸集的支撑函数。

3. 主要结论及证明

定理1 若椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$ ，自原点O引射线OR，则椭圆C的支持函数和支撑函数分别为

$p\left(\phi \right)=\sqrt{a^2{\cos }^2\phi +b^2{\sin }^2\phi }$ 和$h\left(C,x\right)=\sqrt{a^2{x}^2+b^2{y}^2}$ ，且$p\left(\phi \right)=\frac{h\left(C,x\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 。

其中$\phi$ 是由ox到射线OR的角，$x=\left(x,y\right)$ 是任意取定的非零方向向量。

证明：(一) 椭圆的支持函数

如图1所示，设$\phi$ 是由ox到射线OR的角，根据$G\left(p,\phi \right)$ 的定义可知，直线$G\left(p,\phi \right)$ 与椭圆只有一个交点，记交点为H。

Figure 1. Support function 1 for ellipse

图1. 椭圆的支持函数

1) 当$\phi =0$ 或$\phi =\pi$ 时，直线$G\left(p,\phi \right)$ 与椭圆的交点坐标为$\left(a,0\right)$ 或$\left(-a,0\right)$ ，此时

$p\left(\phi \right)=a\cos 0+0\sin 0=a$ 或$p\left(\phi \right)=-a\cos \pi +0\sin \pi =a$ 。

2) 当$\phi =\frac{\pi }{2}$ 或$\phi =\frac{3\pi }{2}$ 时，直线$G\left(p,\phi \right)$ 与椭圆的交点坐标为$\left(0,b\right)$ 或$\left(0,-b\right)$ ，此时

$p\left(\phi \right)=0\cos \frac{\pi }{2}+b\sin \frac{\pi }{2}=b$ 或$p\left(\phi \right)=0\cos \frac{3\pi }{2}+\left(-b\right)\sin \frac{3\pi }{2}=b$ 。

3) 当$\phi \ne 0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$ 时，设由ox到射线OR的角为$\phi$ ，直线$G\left(p,\phi \right)$ 的方程为$y=-\frac{1}{\tan \phi }x+m$ 与椭圆的交点坐标为$\left(x_0,y_0\right)$ ，由方程

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{\tan \phi }x+m,\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$

消去y，得

$\left(b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }\right)x^2-\frac{2m{a}^2}{\tan \phi }x+a^2\left(m^2-b^2\right)=0$ 。

因为直线$G\left(p,\phi \right)$ 与椭圆只有一个交点，所以

$\Delta ={\left(-\frac{2m{a}^2}{\tan \phi }\right)}^2-4\left(b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }\right)\cdot a^2\left(m^2-b^2\right)=0$ ，

解得

$m=\pm \sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}$ 。

根据支持函数的定义可得：当$\phi \in \left(0,\pi \right)$ 时，$m=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}$ ；

当$\phi \in \left(\pi ,2\pi \right)$ 时，$m=-\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}$ 。

不妨设$\phi \in \left(0,\pi \right)$ ，则$y=-\frac{1}{\tan \phi }x+\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}$ ，

则由方程可得

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{\tan \phi }x+\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }},\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$

解得

$x_0=\frac{\frac{a^2}{\tan \phi }}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}},y_0=\frac{b^2}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}}$ 。

此时

$p\left(\phi \right)=\frac{\frac{a^2}{\tan \phi }}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}}\cos \phi +\frac{b^2}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}}\sin \phi =\sqrt{a^2{\cos }^2\phi +b^2{\sin }^2\phi }$ 。

综上所述

$p\left(\phi \right)=\{\begin{array}{l}a,\phi =0或\pi \\ b,\phi =\frac{\pi }{2}或\frac{3\pi }{2}\\ \sqrt{a^2{\cos }^2\phi +b^2{\sin }^2\phi },\phi \ne 0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}.\end{array}$

即

$p\left(\phi \right)=\sqrt{a^2{\cos }^2\phi +b^2{\sin }^2\phi }$ 。

(二) 椭圆的支撑函数

设$x=\left(x,y\right)$ 为任意取定的非零方向向量，根据$G\left(p,\phi \right)$ 的定义可知，直线$G\left(p,\phi \right)$ 与椭圆只有一个交点。

1) 当$y\ne 0,x\in R$ 时，交点坐标为$\left(\frac{a^2\frac{x}{y}}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}},\frac{b^2}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}}\right)$ ，则

$h\left(C,x\right)=\left(\frac{a^2\frac{x}{y}}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}},\frac{b^2}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}}\right)\cdot \left(x,y\right)=\sqrt{a^2{x}^2+b^2{y}^2}$ 。

2) 当$y=0,x>0$ 时，交点坐标为$\left(a,0\right)$ ，则

$h\left(C,x\right)=\left(a,0\right)\cdot \left(x,0\right)=ax$ 。

3) 当$y=0,x<0$ 时，交点坐标为$\left(-a,0\right)$ ，则

$h\left(C,x\right)=\left(-a,0\right)\cdot \left(x,0\right)=-ax$ 。

综上所述

$h\left(C,x\right)=\{\begin{array}{l}\sqrt{a^2{x}^2+b^2{y}^2},y\ne 0,x\in R\\ ax,y=0,x>0\\ -ax,y=0,x<0.\end{array}$

即

$h\left(C,x\right)=\sqrt{a^2{x}^2+b^2{y}^2}$ 。

由此得到椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的支持函数和支撑函数分别为

$p\left(\phi \right)=\sqrt{a^2{\cos }^2\phi +b^2{\sin }^2\phi }$ 和$h\left(C,x\right)=\sqrt{a^2{x}^2+b^2{y}^2}$ 。

观察椭圆的支持函数和支撑函数，不难发现，

当$x=\left(x,y\right)=\left(\cos \phi ,\sin \phi \right)$ ，即$\left|x\right|=1$ 时，椭圆的支持函数和支撑函数是相等的。

当$x=\left(x,y\right)\ne \left(\cos \phi ,\sin \phi \right)$ ，即$\left|x\right|\ne 1$ 时，椭圆的支持函数和支撑函数是不相等的。

从推导的过程可知

$\{\begin{array}{l}p\left(\phi \right)=\frac{\frac{a^2}{\tan \phi }}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}}\cos \phi +\frac{b^2}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}}\sin \phi =\left(\frac{\frac{a^2}{\tan \phi }}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}},\frac{b^2}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}}\right)\cdot \left(\cos \phi ,\sin \phi \right),\\ h\left(C,x\right)=\left(\frac{a^2\frac{x}{y}}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}},\frac{b^2}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}}\right)\cdot \left(x,y\right)\end{array}$

$\frac{1}{\tan \phi }=\frac{x}{y}$ ，$\left(\cos \phi ,\sin \phi \right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$ ，有

$\begin{array}{c}p\left(\phi \right)=\left(\frac{\frac{a^2}{\tan \phi }}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}},\frac{b^2}{\sqrt{b^2+\frac{a^2}{{\tan }^2\phi }}}\right)\cdot \left(\cos \phi ,\sin \phi \right)\\ =\left(\frac{a^2\frac{x}{y}}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}},\frac{b^2}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}}\right)\cdot \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \left(\frac{a^2\frac{x}{y}}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}},\frac{b^2}{\sqrt{b^2+a^2\frac{x^2}{y^2}}}\right)\cdot \left(x,y\right)\\ =\frac{h\left(C,x\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ =\frac{h\left(C,x\right)}{\left|x\right|}.\end{array}$

所以

$p\left(\phi \right)=\frac{h\left(C,x\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{h\left(C,x\right)}{\left|x\right|}$ 。

对于任意一个凸集的支持函数和支撑函数之间的关系，我们得到如下定理：

定理2设C是欧氏平面$R^2$ 中一紧凸集，若C的支持函数和支撑函数分别为$p\left(\phi \right)$ 和$h\left(C,x\right)$ ，则

$p\left(\phi \right)=\frac{h\left(C,x\right)}{\left|x\right|}$

其中$\phi$ 表示由原点引出的非零向量$x$ 与x轴正向的夹角。

证明：如图2所示，$\phi$ 表示由坐标原点O引出的非零向量$x$ 与x轴正向的夹角。事实上，当$x$ 取定后，根据定义1可知，$x$ 方向上的支持线$G\left(p,\phi \right)$ 被唯一确定。记支持线$G\left(p,\phi \right)$ 与凸集C的交点为A。若$\forall P\in C$ ，都有$OP\cdot x\le OA\cdot x$ ，不妨记$y=OA$ ，$OA$ 与$x$ 的夹角为$\theta$ (如图2所示)，则支持线$G\left(p,\phi \right)$ 与凸集C的交点A的向径在$x$ 方向上的投影也是唯一确定的，即

$p\left(\phi \right)=pr{j}_x^y=\frac{\left|x\right|pr{j}_x^y}{\left|x\right|}$ ，$y\in C$ ，$\theta =\angle AOB$

Figure 2. The support function 1 and support function 2 of the convex set

图2. 凸集的支持函数与支撑函数

根据支撑函数$h\left(C,x\right)$ 定义2有：$h\left(C,x\right)=\left|x\right|\left|y\right|\cos \theta$ ，$y\in C$ ，

从而

$p\left(\phi \right)=pr{j}_x^y=\frac{\left|x\right|pr{j}_x^y}{\left|x\right|}=\frac{\left|x\right|\left|y\right|\cos \theta }{\left|x\right|}=\frac{h\left(C,x\right)}{\left|x\right|}$ 。

故定理得证。

推论1若C是欧氏平面$R^2$ 中一紧凸集，C的支持函数和支撑函数分别为$p\left(\phi \right)$ 和$h\left(C,x\right)$ ，且$x$ 是单位向量，则

$p\left(\phi \right)=h\left(C,x\right)$ 。

本文通过研究椭圆的支持函数和支撑函数之间的关系，进一步得到了对于一般凸集的支持函数和支撑函数之间的关系。在凸几何基础中，利用凸集的支持函数刻画了凸集的周长和面积，一个自然的问题，能否利用凸集的支撑函数刻画凸集的周长和面积呢？这将是我们后续研究的内容。

基金项目

2019年度贵州省基础研究计划(黔科合基础[2019]1228 号)。

NOTES

^*通讯作者。