基于观测器的四旋翼无人机自适应容错控制

Observer-Based Adaptive Fault-Tolerant Control of Quadrotor UAVs

摘要: 本文提出了一种基于观测器的自适应滑模容错控制方法，用于四旋翼无人机在存在外部未知干扰、执行器存在加性故障和乘性故障条件下的稳定控制。该方法采用观测器实时监测系统中的外部干扰和加性故障，并设计自适应律来应对乘性故障，实现对故障的动态补偿。四旋翼无人机的控制策略采用内外环结构，其中内环姿态控制采用全局快速终端滑模控制，以确保在干扰作用下的快速收敛和全局稳定性；外环位置控制则通过积分滑模控制提高系统的抗干扰能力和跟踪精度。仿真结果表明，该方法在执行器故障和扰动条件下具有优异的容错性和鲁棒性，为无人机在复杂环境下的稳定飞行提供了有效保障。

Abstract: In this paper, an observer-based adaptive sliding mode fault-tolerant control method is proposed for the stable control of a quadrotor UAV in the presence of unknown external disturbances, additive faults and multiplicative faults in the actuator. The method employs an observer to monitor external disturbances and additive faults in the system in real time, and designs an adaptive law to cope with the multiplicative faults to realize dynamic compensation for the faults. The control strategy of the quadrotor UAV adopts an inner and outer loop structure, in which the inner loop attitude control adopts global fast terminal sliding mode control to ensure fast convergence and global stability under disturbances, while the outer loop position control improves the system’s anti-disturbance capability and tracking accuracy through integral sliding mode control. The simulation results show that the method has excellent fault tolerance and robustness under actuator failure and disturbance conditions, which provides an effective guarantee for the stable flight of UAVs in complex environments.

1. 引言

四旋翼无人机因其具备垂直起降、多自由度控制以及优异的机动性能，已在环境监测、精准农业、军事侦察等领域获得了广泛应用[1]。然而，在实际应用中，四旋翼无人机经常面临执行器故障和外部扰动等不确定因素的挑战，这些因素会严重影响其控制精度与飞行安全性。例如，执行器故障，如电机部分失效或完全失效，会导致无人机推力不对称，使得系统难以保持姿态平衡。此外，由风等环境扰动所引起的外部干扰会进一步加剧系统的不确定性，影响轨迹跟踪和姿态稳定[2]。因此，设计一种能够应对复杂故障和不确定扰动的容错控制方法对于保证四旋翼无人机的安全稳定飞行具有重要意义。

针对四旋翼无人机的故障与扰动问题，已有大量研究提出了多种容错控制方法。传统的比例-积分-微分(PID) [3]控制方法虽然在简单故障情况下具有较好的性能，但在多变的环境下表现出较弱的鲁棒性。为提升系统的鲁棒性，一些研究者将滑模控制(SMC) [4]应用于无人机容错控制中。滑模控制因其对系统参数不确定性和外部扰动的鲁棒性，使得系统能在执行器故障情况下能够实现一定的稳定性。然而，传统滑模控制存在抖振现象，且对动态故障的适应能力有限。一些改进的滑模控制策略，如反步滑模控制和终端滑模控制，被提出以增强系统在故障情况下的稳定性。然而，这些方法在实际应用中仍存在不足，尤其是在面对复杂、非线性、故障和干扰并存的环境时表现出局限性。

近年来研究者提出了将观测器设计与滑模控制相结合的策略，旨在利用观测器实时估计系统中可能存在的未知干扰和故障。为提升四旋翼无人机在加性故障和干扰条件下的飞行性能，文献[5]提出基于滑模观测器设计容错控制策略，通过建模、故障信息重构和扰动估计，结合反步法控制，实现对故障和干扰的补偿，以保证无人机稳定的轨迹跟踪性能。文献[6]针对四旋翼无人机执行器故障和传感器偏差问题，采用自适应容错控制策略，通过二阶卡尔曼滤波器在线检测故障和偏差，并通过自适应调节控制参数和补偿偏差，确保四旋翼无人机飞行的可靠性和稳定性。然而，这些上述方法通常假设故障类型单一，难以在多种故障交替或叠加时提供有效的稳定性保证。

为应对上述挑战，本文提出了一种基于观测器的自适应滑模容错控制方法。首先，本文建立了四旋翼无人机的内外环控制模型，其中外环(位置控制)采用积分滑模控制(ISMC)，以增强系统在轨迹跟踪中的鲁棒性，减小系统抖振；内环(姿态控制)则采用全局快速终端滑模控制(GFTSMC)，以提高系统姿态调整的快速性和精确性。其次，所设计的观测器用于实时观测系统的外部未知干扰和加性故障，实现对不确定性扰动和故障的实时估计与补偿。同时，设计了自适应律以应对乘性故障的故障因子，实现对动态变化故障的自动补偿，使控制系统能够在不同类型的执行器故障环境下进行自适应调节，提升系统的容错性和鲁棒性。

2. 四旋翼无人机故障模型

如图1所示，本文以“X”型四旋翼无人机为研究对象。为便于四旋翼无人机动力学模型的建立，定义地球坐标系为$\left\{o_e,x_e,y_e,z_e\right\}$ ，机体坐标系为$\left\{o_b,x_b,y_b,z_b\right\}$ 。

为便于分析，且对四旋翼无人机的建模不失一般性，做如下假设[7]：

1) 四旋翼无人机被视为质量均匀分布且中心对称的刚体；

2) 四旋翼无人机各机翼上的电机产生的推力与电机转速成正比；

3) 四旋翼无人机的转动惯量保持恒定。

Figure 1. Structural diagram of quadcopter unmanned aerial vehicle

图1. 四旋翼无人机结构图

四旋翼无人机通过四个电机驱动四个旋翼旋转以产生升力，升力的大小取决于旋翼的转速。在实际飞行中，四旋翼无人机的旋翼作为执行器，可能因老化、磨损或环境因素出现故障，导致控制效果下降。本文考虑了两类执行器故障：加性故障和乘性故障。加性故障通常表现为控制信号中的偏差或噪声影响，可能由电机输出不稳定或传感器故障等原因引起。加性故障会导致实际执行的控制输入与理想输入之间产生偏差。乘性故障主要表现为执行器效率下降或推力衰减，常见于电机因磨损等原因造成的动力输出下降。为了研究四旋翼无人机在未知干扰和执行器发生故障时的容错控制问题，将四旋翼无人机的故障动力学模型表示为[8]：

$\{\begin{array}{l}\ddot{x}=\frac{U_1}{m}\left(\cos \varphi sin\theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi \right)-\frac{k_1\dot{x}}{m}+{\zeta }_1+d_1\\ \ddot{y}=\frac{U_1}{m}\left(\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi \right)-\frac{k_2\dot{y}}{m}+{\zeta }_2+d_2\\ \ddot{z}=\frac{U_1}{m}\left(\cos \varphi \cos \theta \right)-g-\frac{k_3\dot{z}}{m}+{\zeta }_3+d_3\\ \ddot{\varphi }=\frac{U_2}{I_1}-\frac{k_{4}l}{I_1}\dot{\varphi }+{\zeta }_4+d_4\\ \ddot{\theta }=\frac{U_3}{I_2}-\frac{k_{5}l}{I_2}\dot{\theta }+{\zeta }_5+d_5\\ \ddot{\psi }=\frac{U_4}{I_3}-\frac{k_{6}l}{I_3}\dot{\psi }+{\zeta }_6+d_6\end{array}$ (1)

式中：m表示四旋翼无人机的总质量；$\varphi ,\theta ,\psi$ 分别表示四旋翼无人机的横滚角、俯仰角、和偏航角；g表示重力加速度；l表示旋翼到四旋翼无人机质心的距离；$I_1,I_2,I_3$ 分别表示机体绕$x,y,z$ 轴的转动惯量；$k_i\left(i=1,\cdots ,6\right)$ 表示阻力系数；$d_i\left(i=1,\cdots ,6\right)$ 表示外部未知干扰；${\zeta }_i\left(i=1,\cdots ,6\right)$ 表示加性故障；$U_i={\rho }_i{u}_i\left(i=1,\cdots ,4\right)$ ，$U_i$ 表示实际控制输入，$u_i$ 表示期望控制输入，${\rho }_i$ 表示执行器健康因子；${\rho }_i=1$ 时，表明执行器未发生故障；$0<{\rho }_i<1$ 时，表明执行器发生效率损失的乘性故障。

考虑欠驱动的位置子系统，定义如下虚拟控制输入：

$\{\begin{array}{l}{u}_x=\frac{u_1}{m}\left(\cos \varphi sin\theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi \right)\\ u_y=\frac{u_1}{m}\left(\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi \right)\\ u_z=\frac{u_1}{m}\left(\cos \varphi \cos \theta \right)\end{array}$ (2)

由虚拟控制输入可得：

$\{\begin{array}{l}{\theta }_d=\arctan \left(\frac{u_x\cos {\psi }_d+u_y\sin {\psi }_d}{u_z}\right)\\ {\varphi }_d=\arctan \left(\frac{\cos {\theta }_d\left(u_x\sin {\psi }_d-u_y\cos {\psi }_d\right)}{u_z}\right)\\ u_1=\frac{u_{z}m}{\cos {\theta }_d\cos {\varphi }_d}\end{array}$ (3)

3. 基于观测器的自适应滑模容错控制器设计

四旋翼无人机是一个具有强耦合、欠驱动、高度非线性特性的飞行系统。为提高系统在未知干扰和执行器故障条件下的稳定性，本文采用内外环控制结构(如图2所示)，将系统分为位置和姿态两个子系统。

Figure 2. Control block diagram

图2. 控制框图

位置环负责控制无人机的空间定位和轨迹跟踪，而姿态环用于实现姿态的稳定控制和调整。位置环采用积分滑模控制稳定位置子系统，并为姿态环提供期望俯仰角和横滚角。在姿态环中，为了实现快速收敛并提高系统的鲁棒性，采用全局快速终端滑模控制策略，以应对因执行器故障和外部干扰引起的不确定性。同时，本文设计了观测器，用于实时估计外部未知干扰和加性故障；并采用自适应律来动态调整控制输入，以补偿乘性故障的影响，确保系统在故障条件下的稳定性和容错性。无人机的期望位置表示为$P_d={\left[x_d,y_d,z_d\right]}^{\text{T}}$ ，期望姿态角度为${\Theta }_d={\left[{\varphi }_d,{\theta }_d,{\psi }_d\right]}^{\text{T}}$ ；对应的实际位置和姿态角度分别为$P={\left[x,y,z\right]}^{\text{T}}$ 和$\Theta ={\left[\varphi ,\theta ,\psi \right]}^{\text{T}}$ 。

3.1. 观测器设计

在实际飞行中，四旋翼无人机常受到风等外部扰动的影响，同时执行器可能因老化或损坏出现故障，直接影响飞行稳定性和控制精度。通过引入观测器，可以对这些未知干扰和故障进行估计，并补偿到控制系统中，使控制系统能够更有效地应对不确定性因素，保持飞行的稳定性和轨迹跟踪的准确性，从而提高无人机在复杂环境下的自主性和安全性。为了便于后续分析，将干扰和加性故障看作系统的一个总扰动，表示为$f_i=d_i+{\zeta }_i\left(i=1,\cdots ,6\right)$ 。

对于位置子系统，以z通道为例，根据模型(1)，得到z通道的状态方程为：

$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{1z}=x_{2z}\\ {\dot{x}}_{2z}=F_z\left(x\right)+u_z-g+f_3\end{array}$ (4)

式中：$F_z\left(x\right)=-k_3\dot{z}/m$ ，$u_z=U_1\left(\cos \varphi \cos \theta \right)/m$ 。

对系统(4)设计观测器为：

$\{\begin{array}{l}{\dot{Z}}_z=L_z\left(g-F_z\left(x\right)-u_z\right)-L_z{\widehat{f}}_3\\ {\widehat{f}}_3=Z_z+L_z{x}_{2z}\end{array}$ (5)

式中：$Z_z$ 为辅助变量；$L_z$ 为观测器增益；${\widehat{f}}_3$ 为$f_3$ 的估计值。

将估计误差定义为：

${\tilde{f}}_3=f_3-{\widehat{f}}_3$ (6)

对(6)求导得：

${\dot{\tilde{f}}}_3={\dot{f}}_3-{\dot{\widehat{f}}}_3$ (7)

将(4)、(5)带入(7)得：

$\begin{array}{l}{\dot{\tilde{f}}}_3={\dot{f}}_3-{\dot{\widehat{f}}}_3\\ =-{\dot{Z}}_z-L_z{\dot{x}}_{2z}\\ =-\left[L_z\left(g-F_z\left(x\right)-u_z\right)-L_z{\widehat{f}}_3\right]-L_z{\dot{x}}_{2z}\\ =-\left[L_z\left(g-F_z\left(x\right)-u_z\right)-L_z{\widehat{f}}_3\right]-L_z\left[F_z\left(x\right)+u_z-g+f_3\right]\\ =L_z\left({\widehat{f}}_3-f_3\right)\\ =-L_z{\tilde{f}}_3\end{array}$ (8)

由(8)得到观测器误差方程为：

${\dot{\tilde{f}}}_3+L_z{\tilde{f}}_3=0$ (9)

解这个方程得：

${\tilde{f}}_3\left(t\right)={\tilde{f}}_3\left(t_0\right){\text{e}}^{-L_{z}t}$ (10)

由(10)可知观测器(5)是渐进稳定的，其观测误差的收敛速度取决于$L_z$ 值的选取。

同理，其他通道观测器的设计思路相同。这样就可以得到每个通道的干扰和加性故障总和的估计值${\widehat{f}}_i\left(i=1,\cdots ,6\right)$ 。

3.2. 位置子系统容错控制器设计

在位置子系统中，考虑无人机受外部干扰和执行器故障的影响，本文采用自适应积分滑模控制方法进行位置环的设计。其控制目标是保证无人机稳定的跟踪期望轨迹，并为姿态环提供精确的参考姿态角${\varphi }_d$ 和${\theta }_d$ 。

由(1)和(2)，位置子系统可改写为：

$\{\begin{array}{l}\ddot{x}={\rho }_1{u}_x-\frac{k_1\dot{x}}{m}+f_1\\ \ddot{y}={\rho }_1{u}_y-\frac{k_2\dot{y}}{m}+f_2\\ \ddot{z}={\rho }_1{u}_z-g-\frac{k_3\dot{z}}{m}+f_3\end{array}$ (11)

定义x、y、z的跟踪误差为：

$\{\begin{array}{l}{e}_x=x-x_d\\ e_y=y-y_d\\ e_z=z-z_d\end{array}$ (12)

由于三个通道控制器设计类似，故以z通道控制器设计为例。对z通道误差求导得：

${\dot{e}}_z=\dot{z}-{\dot{z}}_d$ (13)

选取积分滑模面为：

$S_z={\dot{e}}_z+a_z{e}_z+b_z{\displaystyle {\int }_0^t{e}_z}\text{d}\tau$ (14)

其中：$a_z$ 和$b_z$ 为正数：

对(14)求导得：

$\begin{array}{l}{\dot{S}}_z={\ddot{e}}_z+a_z{\dot{e}}_z+b_z{e}_z\\ =\ddot{z}-{\ddot{z}}_d+a_z{\dot{e}}_z+b_z{e}_z\end{array}$ (15)

将(11)带入(15)得：

${\dot{S}}_z={\rho }_1{u}_z-g-\frac{k_3\dot{z}}{m}+f_3-{\ddot{z}}_d+a_z{\dot{e}}_z+b_z{e}_z$ (16)

令$p_z=1/{\rho }_1$ ，${\tilde{p}}_z={\widehat{p}}_z-p_z$ ，设计z通道的控制输入为：

$u_z=-{\widehat{p}}_z{\alpha }_z$ (17)

设计自适应律为：

${\dot{\widehat{p}}}_z={\gamma }_z{S}_z{\alpha }_z$ (18)

其中，${\gamma }_z>0$ ；${\alpha }_z=a_z{\dot{e}}_z+b_z{e}_z-g-k_3\dot{z}/m+{\widehat{f}}_3-{\ddot{z}}_d+K_z{S}_z+{\eta }_{z}sign\left(S_z\right)$ ，$K_z$ 和${\eta }_z$ 为已知正常数。

定理1：在z通道系统中，对于四旋翼无人机具有干扰和执行器故障时，所设计的控制器(17)和自适应律(18)，可保证系统跟踪误差渐近到滑模面，并快速收敛到零。

证明：选取李雅普诺夫函数为：

$V_z=\frac{1}{2}{S}_z^2+\frac{\left|{\rho }_1\right|}{2{\gamma }_z}{\tilde{p}}_z^2$ (19)

对(19)求导，并将(16)~(18)代入得：

$\begin{array}{l}{\dot{V}}_z=S_z{\dot{S}}_z+\frac{\left|{\rho }_1\right|}{{\gamma }_z}{\tilde{p}}_z{\dot{\tilde{p}}}_z\\ =S_z\left({\rho }_1{u}_z-g-\frac{k_3\dot{z}}{m}+f_3-{\ddot{z}}_d+a_z{\dot{e}}_z+b_z{e}_z\right)+\frac{\left|{\rho }_1\right|}{{\gamma }_z}{\tilde{p}}_z{\dot{\widehat{p}}}_z\\ =S_z\left[{\alpha }_z+{\rho }_1{u}_z+f_3-{\widehat{f}}_3-K_z{S}_z-{\eta }_{z}sign\left(S_z\right)\right]+\frac{\left|{\rho }_1\right|}{{\gamma }_z}{\tilde{p}}_z{\gamma }_z{S}_z{\alpha }_z\\ =S_z\left[{\alpha }_z-{\rho }_1{\widehat{p}}_z{\alpha }_z+{\tilde{f}}_3-K_z{S}_z-{\eta }_{z}sign\left(S_z\right)+{\rho }_1{\tilde{p}}_z{\alpha }_z\right]\\ =S_z\left[{\alpha }_z+{\tilde{f}}_3-K_z{S}_z-{\eta }_{z}sign\left(S_z\right)-{\rho }_1{p}_z{\alpha }_z\right]\\ =S_z\left[{\tilde{f}}_3-K_z{S}_z-{\eta }_{z}sign\left(S_z\right)\right]\\ =-K_z{S}_z^2-{\eta }_z\left|S_z\right|+S_z{\tilde{f}}_3\end{array}$ (20)

由(10)可知扰动误差可以快速收敛到零，那么(20)可写为：

${\dot{V}}_z=-K_z{S}_z^2-{\eta }_z\left|S_z\right|\le 0$ (21)

因此根据李雅普诺夫稳定性理论可知，所设计的控制器保证系统稳定，即当$t\to \infty$ 时，$S_z$ 指数收敛到零，跟踪误差$e_z$ 指数收敛到零。

同理，可得x，y通道的控制输入和自适应律为：

$\{\begin{array}{l}{u}_x=-{\widehat{p}}_x{\alpha }_x\\ u_y=-{\widehat{p}}_y{\alpha }_y\end{array}$ (22)

$\{\begin{array}{l}{\dot{\widehat{p}}}_x={\gamma }_x{S}_x{\alpha }_x\\ {\dot{\widehat{p}}}_y={\gamma }_y{S}_y{\alpha }_y\end{array}$ (23)

其中，${\alpha }_x=a_x{\dot{e}}_x+b_x{e}_x-k_1\dot{x}/m+{\widehat{f}}_1-{\ddot{x}}_d+K_x{S}_x+{\eta }_{x}sign\left(S_x\right)$ ，${\alpha }_y=a_y{\dot{e}}_y+b_y{e}_y-k_2\dot{y}/m+{\widehat{f}}_2-{\ddot{y}}_d+K_y{S}_y+{\eta }_{y}sign\left(S_y\right)$ 。

3.3. 姿态子系统容错控制器设计

在姿态子系统中，为了保证无人机的姿态角($\varphi$ 、$\theta$ 、$\psi$ )快速的跟踪位置控制器产生的中间指令(${\varphi }_d$ 、${\theta }_d$ )和参考轨迹给定的航向角(${\psi }_d$ )，本文采用自适应全局快速终端滑模控制方法进行设计。

由(1)姿态子系统表示为：

$\{\begin{array}{l}\ddot{\varphi }=h_{\varphi }{u}_2-\frac{k_{4}l}{I_1}\dot{\varphi }+f_4\\ \ddot{\theta }=h_{\theta }{u}_3-\frac{k_{5}l}{I_2}\dot{\theta }+f_5\\ \ddot{\psi }=h_{\psi }{u}_4-\frac{k_{6}l}{I_3}\dot{\psi }+f_6\end{array}$ (24)

其中：$h_{\varphi }={\rho }_2/I_1$ ，$h_{\theta }={\rho }_3/I_2$ ，$h_{\psi }={\rho }_4/I_3$ 。

定义$\varphi$ ，$\theta$ ，$\psi$ 的跟踪误差为：

$\{\begin{array}{l}{e}_{\varphi }=\varphi -{\varphi }_d\\ e_{\theta }=\theta -{\theta }_d\\ e_{\psi }=\psi -{\psi }_d\end{array}$ (25)

由于三个姿态角的控制器设计类似，故选取横滚角$\varphi$ 的控制器设计为例。对横滚角误差求导得：

${\dot{e}}_{\varphi }=\dot{\varphi }-{\dot{\varphi }}_d$ (26)

选取全局快速终端滑模面为：

$S_{\varphi }={\dot{e}}_{\varphi }+a_{\varphi }{e}_{\varphi }+b_{\varphi }{\left|e_{\varphi }\right|}^{\frac{p_{\varphi }}{q_{\varphi }}}sign\left(e_{\varphi }\right)$ (27)

其中：$a_{\varphi }$ 和$b_{\varphi }$ 为正数；$p_{\varphi }$ 和$q_{\varphi }$ 为正奇数，且$q_{\varphi }>p_{\varphi }$ 。

对(27)求导得：

$\begin{array}{l}{\dot{S}}_{\varphi }={\ddot{e}}_{\varphi }+a_{\varphi }{\dot{e}}_{\varphi }+b_{\varphi }\frac{p_{\varphi }}{q_{\varphi }}{\left|e_{\varphi }\right|}^{\frac{p_{\varphi }}{q_{\varphi }}-1}{\dot{e}}_{\varphi }\\ =\ddot{\varphi }-{\ddot{\varphi }}_d+a_{\varphi }{\dot{e}}_{\varphi }+b_{\varphi }\frac{p_{\varphi }}{q_{\varphi }}{\left|e_{\varphi }\right|}^{\frac{p_{\varphi }}{q_{\varphi }}-1}{\dot{e}}_{\varphi }\end{array}$ (28)

将(24)代入(28)得：

${\dot{S}}_{\varphi }=h_{\varphi }{u}_2-\frac{k_{4}l}{I_1}\dot{\varphi }+f_4-{\ddot{\varphi }}_d+a_{\varphi }{\dot{e}}_{\varphi }+b_{\varphi }\frac{p_{\varphi }}{q_{\varphi }}{\left|e_{\varphi }\right|}^{\frac{p_{\varphi }}{q_{\varphi }}-1}{\dot{e}}_{\varphi }$ (29)

令$p_{\varphi }=1/h_{\varphi }$ ，${\tilde{p}}_{\varphi }={\widehat{p}}_{\varphi }-p_{\varphi }$ ，设计$\varphi$ 通道的控制输入为：

$u_2=-{\widehat{p}}_{\varphi }{\alpha }_{\varphi }$ (30)

设计自适应律为：

${\dot{\widehat{p}}}_{\varphi }={\gamma }_{\varphi }{S}_{\varphi }{\alpha }_{\varphi }$ (31)

其中，${\gamma }_{\varphi }>0$ ；${\alpha }_{\varphi }=a_{\varphi }{\dot{e}}_{\varphi }+b_{\varphi }{p}_{\varphi }{\left|e_{\varphi }\right|}^{p_{\varphi }/q_{\varphi }-1}{\dot{e}}_{\varphi }/q_{\varphi }-k_{4}l\dot{\varphi }/I_1+{\widehat{f}}_4-{\ddot{\varphi }}_d+K_{\varphi }{S}_{\varphi }+{\eta }_{\varphi }sign\left(S_{\varphi }\right)$ ，$K_{\varphi }$ 和${\eta }_{\varphi }$ 为已知正常数。

定理2：在$\varphi$ 通道中，针对四旋翼无人机具有干扰和执行器故障，所设计的控制器(30)和自适应律(31)，可保证系统跟踪误差渐近到滑模面，并快速收敛到零。

证明：选取李雅普诺夫函数为：

$V_{\varphi }=\frac{1}{2}{S}_{\varphi }^2+\frac{\left|h_{\varphi }\right|}{2{\gamma }_{\varphi }}{\tilde{p}}_{\varphi }^2$ (32)

对(32)求导，并将(29)~(31)代入得：

$\begin{array}{l}{\dot{V}}_{\varphi }=S_{\varphi }{\dot{S}}_{\varphi }+\frac{\left|h_{\varphi }\right|}{{\gamma }_{\varphi }}{\tilde{p}}_{\varphi }{\dot{\tilde{p}}}_{\varphi }\\ =S_{\varphi }\left(h_{\varphi }{u}_2-\frac{k_{4}l}{I_1}\dot{\varphi }+f_4-{\ddot{\varphi }}_d+a_{\varphi }{\dot{e}}_{\varphi }+b_{\varphi }\frac{p_{\varphi }}{q_{\varphi }}{\left|e_{\varphi }\right|}^{\frac{p_{\varphi }}{q_{\varphi }}-1}{\dot{e}}_{\varphi }\right)+\frac{\left|h_{\varphi }\right|}{{\gamma }_{\varphi }}{\tilde{p}}_{\varphi }{\dot{\widehat{p}}}_{\varphi }\\ =S_{\varphi }\left[{\alpha }_{\varphi }+h_{\varphi }{u}_2+f_4-{\widehat{f}}_4-K_{\varphi }{S}_{\varphi }-{\eta }_{\varphi }sign\left(S_{\varphi }\right)\right]+\frac{\left|h_{\varphi }\right|}{{\gamma }_{\varphi }}{\tilde{p}}_{\varphi }{\gamma }_{\varphi }{S}_{\varphi }{\alpha }_{\varphi }\\ =S_{\varphi }\left[{\alpha }_{\varphi }-h_{\varphi }{\widehat{p}}_{\varphi }{\alpha }_{\varphi }+{\tilde{f}}_4-K_{\varphi }{S}_{\varphi }-{\eta }_{\varphi }sign\left(S_{\varphi }\right)+h_{\varphi }{\tilde{p}}_{\varphi }{\alpha }_{\varphi }\right]\\ =S_{\varphi }\left[{\alpha }_{\varphi }+{\tilde{f}}_4-K_{\varphi }{S}_{\varphi }-{\eta }_{\varphi }sign\left(S_{\varphi }\right)-h_{\varphi }{p}_{\varphi }{\alpha }_{\varphi }\right]\\ =S_{\varphi }\left[{\tilde{f}}_4-K_{\varphi }{S}_{\varphi }-{\eta }_{\varphi }sign\left(S_{\varphi }\right)\right]\\ =-K_{\varphi }{S}_{\varphi }^2-{\eta }_{\varphi }\left|S_{\varphi }\right|+S_{\varphi }{\tilde{f}}_4\end{array}$ (33)

由对观测器的设计分析可知扰动误差${\tilde{f}}_4$ 可以快速收敛到零，那么(33)可写为：

${\dot{V}}_{\varphi }=-K_{\varphi }{S}_{\varphi }^2-{\eta }_{\varphi }\left|S_{\varphi }\right|\le 0$ (34)

因此由李雅普诺夫稳定性理论可知，所设计的控制器和自适应律可以保证系统稳定，即当$t\to \infty$ 时，$S_{\varphi }$ 指数收敛到零，跟踪误差$e_{\varphi }$ 指数收敛到零。

同理，可得$\theta$ ，$\psi$ 通道的控制输入和自适应律为：

$\{\begin{array}{l}{u}_3=-{\widehat{p}}_{\varphi }{\alpha }_{\varphi }\\ u_4=-{\widehat{p}}_{\psi }{\alpha }_{\psi }\end{array}$ (35)

$\{\begin{array}{l}{\dot{\widehat{p}}}_{\theta }={\gamma }_{\theta }{S}_{\theta }{\alpha }_{\theta }\\ {\dot{\widehat{p}}}_{\psi }={\gamma }_{\psi }{S}_{\psi }{\alpha }_{\psi }\end{array}$ (36)

其中：${\alpha }_{\theta }=a_{\theta }{\dot{e}}_{\theta }+b_{\theta }{p}_{\theta }{\left|e_{\theta }\right|}^{p_{\theta }/q_{\theta }-1}{\dot{e}}_{\theta }/q_{\theta }-k_{5}l\dot{\theta }/I_2+{\widehat{f}}_5-{\ddot{\theta }}_d+K_{\theta }{S}_{\theta }+{\eta }_{\theta }sign\left(S_{\theta }\right)$ ，${\alpha }_{\psi }=a_{\psi }{\dot{e}}_{\psi }+b_{\psi }{p}_{\psi }{\left|e_{\psi }\right|}^{\left(p_{\psi }/q_{\psi }-1\right)}{\dot{e}}_{\psi }/q_{\psi }-k_{6}l\dot{\psi }/I_3+{\widehat{f}}_6-{\ddot{\psi }}_d+K_{\psi }{S}_{\psi }+{\eta }_{\psi }sign\left(S_{\psi }\right)$ 。

为了减少四旋翼无人机的抖振现象，本文将上述符号函数$sign(\cdot )$ 替换为双曲正切函数：

$\tanh \left(\frac{s}{\Delta }\right)=\frac{{\text{e}}^{s/\Delta }-{\text{e}}^{-s/\Delta }}{{\text{e}}^{s/\Delta }+{\text{e}}^{-s/\Delta }}$ (34)

其中：$\Delta$ 为一个极小的正常数。

4. 仿真结果与分析

为了验证本文设计的控制器的有效性，使用Simulink仿真平台来进行数值仿真。仿真中四旋翼无人机模型的参数如表1所示，控制器的相关参数如表2所示。

在仿真实验中，四旋翼无人机的期望轨迹设定为一个空间螺旋轨迹，即$x_d=0.5\cos \left(0.5t\right)$ ，$y_d=0.5\sin \left(0.5t\right)$ ，$z_d=0.3t+2$ ；偏航角期望信号为${\psi }_d=\pi /3$ ；位置和姿态的初始值均设置为0。

为了验证所提控制器在四旋翼无人机具有未知干扰和执行故障时的容错控制性能，设置仿真总时长为30 s，在整个仿真时间内，四旋翼无人机都受到干扰$d_1=0.1\cos \left(0.1\pi t\right)$ ，$d_2=0.1\cos \left(0.2\pi t\right)$ ，$d_3=0.1\cos \left(0.3\pi t\right)$ ，$d_4=0.1\sin \left(0.1\pi t\right)$ ，$d_5=0.1\sin \left(0.2\pi t\right)$ ，$d_6=0.1\sin \left(0.3\pi t\right)$ ；在$t=10\text{s}$ 时，四旋翼无人机发生乘性故障，即${\rho }_1=0.4$ ，${\rho }_2={\rho }_3={\rho }_4=0.35$ ，同时还发生加性故障，即${\zeta }_1={\zeta }_2={\zeta }_3=1.5$ ，${\zeta }_4={\zeta }_5={\zeta }_6=1$ 。同时，为了体现本文所设计的控制器的优越性，与文献[9]中的传统滑模控制器进行仿真对比。文献[9]的控制器称为Controller 1，本文提出的控制器称为Controller 2。

Table 1. Model parameters of quadcopter unmanned aerial vehicle

表1. 四旋翼无人机模型参数

数量	质量	排序
m	0.48	kg
l	0.2	m
$I_1$	3.8 × 10^−^3	kg∙m^2
$I_2$	3.8 × 10^−^3	kg∙m^2
$I_3$	7.6 × 10^−^3	kg∙m^2
$k_i\left(i=1,2,\cdots ,6\right)$	5.6 × 10^−^4	N/m/s
g	9.8	m/s^2

Table 2. Related parameters of quadcopter controller

表2. 四旋翼无人机控制器相关参数

参数	值	参数	值
$a_i\left(i=x,y,z\right)$	2	$L_i\left(i=x,y,z\right)$	50
$a_i\left(i=\varphi ,\theta ,\psi \right)$	20	$L_i\left(i=\varphi ,\theta ,\psi \right)$	60
$b_i\left(i=x,y,z\right)$	5	$K_i\left(i=x,y,z\right)$	5
$b_i\left(i=\varphi ,\theta ,\psi \right)$	15	$K_i\left(i=\varphi ,\theta ,\psi \right)$	50
$p_i\left(i=\varphi ,\theta ,\psi \right)$	7	${\eta }_i\left(i=x,y,z,\varphi ,\theta ,\psi \right)$	0.1
$q_i\left(i=\varphi ,\theta ,\psi \right)$	9	${\gamma }_i\left(i=x,y,z\right)$	10
$\Delta$	0.01	${\gamma }_i\left(i=\varphi ,\theta ,\psi \right)$	15

仿真结果如图3到图6所示。图3为四旋翼无人机的三维空间运动轨迹，从图中可以很直观地看出，本文所提出的控制器可以很好地跟踪上期望轨迹，即使在10 s时发生执行器故障，依然可以稳定地跟踪期望轨迹，而Controller 1在发生故障时出现了明显的跟踪误差。图4为位置跟踪误差曲线，由图可知，Controller 2相较于Controller 1具有更快的收敛速度，更小的跟踪误差，尤其在发生执行器故障时，Controller 2的跟踪误差可以在极短的时间内重新收敛到零，且波动较小，而Controller 1在发生故障时立刻就产生较大的跟踪误差，并且之后误差就无法继续收敛。图5为姿态跟踪误差曲线，从图中可以看出，Controller 2在收敛速度和跟踪误差方面同样比Controller 1具有更好的性能表现。图6为干扰和加性故障总和$f_i\left(i=1,\cdots ,6\right)$ 的估计曲线，从图中可以看出，观测器能够确保干扰和加性故障的估计快速准确地收敛到其实际值，即使在故障发生的瞬间，观测器的性能表现依然优秀。通过仿真结果可以看出，本文提出的基于观测器的自适应滑模容错控制器(Controller 2)在故障前后均具有显著的优越性。相比于其他文献控制方法(Controller 1)，本文控制器不仅提高了系统的轨迹跟踪精度，还表现出卓越的容错性能和快速动态响应能力，能够有效应对未知干扰和执行器故障。这都得益于积分滑模控制的抗干扰能力和全局快速终端滑模控制的快速收敛能力，并且观测器和自适应律的引入也极大的补偿了故障对无人机系统的影响。

Figure 3. 3D rendering of trajectory tracking

图3. 轨迹跟踪三维效果图

Figure 4. Position tracking error curve

图4. 位置跟踪误差曲线

Figure 5. Attitude tracking error curve

图5. 姿态跟踪误差曲线

Figure 6. Estimation curve of interference and additive fault $f_i\left(i=1,\cdots ,6\right)$

图6. 干扰与加性故障$f_i\left(i=1,\cdots ,6\right)$ 的估计曲线

5. 结论

本文提出的基于观测器的自适应滑模容错控制方法有效提升了四旋翼无人机在未知干扰和执行器故障条件下的轨迹跟踪性能。通过内外环结构设计，位置控制器和姿态控制器实现了精准协同，确保了系统的稳定性和鲁棒性。仿真结果表明，与对比控制方法相比，本文方法在轨迹跟踪精度、故障补偿能力和动态响应速度方面具有显著优势，为复杂环境下无人机的容错控制提供了理论支持和实践指导。