局部共形平坦黎曼流形上特征值的一些估计

Some Estimates of Eigenvalues on Locally Conformally Flat Riemannian Manifolds

摘要: 利用黎曼几何的热核性质和局部共形平坦黎曼流形上的Sobolev不等式，得到了局部共形平坦黎曼流形上高阶特征值的一个估计。并且通过相关特征值不等式给出了局部共形平坦黎曼流形上Schrödinger算子的特征值的个数的一个上界估计。

Abstract: Using the thermal kernel property of Riemann geometry and the Sobolev inequality on a locally conformally flat Riemannian manifold, we obtained an estimate for high-order eigenvalues on such a manifold. And using the correlated eigenvalue gives an upper bound of the number of eigenvalues of Schrödinger operators on a locally conformally flat Riemannian manifold.

1. 引言

1867年，Beltrami介绍了黎曼流形上的一类2阶椭圆算子[1]，其定义为Δ =div ◦ grad，是Rⁿ上的Laplace算子的推广，称之为Laplace-Beltrami算子(一般简称为Laplace算子)。这个算子在数学物理中被广泛应用，比如在微分几何、偏微分方程、概率论、势论等方面。同时，在一些研究物理现象的微分方程(比如Laplace方程、极小曲面等)中应用广泛。对于任意给定的黎曼流形，具体描述其Laplace算子的谱并不容易。因此，很多研究者感兴趣的是紧致黎曼流形(带边或不带边)和非紧致完备黎曼流形中有界区域上关于Laplace算子的谱性质，比如谱比较定理、Laplace算子的不同类型特征值估计。在黎曼流形上的Laplace算子特征值问题研究中，学者最主要感兴趣的是Laplace算子的特征值估计，主要涉及Laplace算子第一特征值上下界的估计，高阶特征值的估计与特征值间隙的估计等三个方面。本文主要想研究Dirichlet边界条件下的Laplace特征值问题中的高阶特征值的估计，以下是已有的一些相关研究。

设Ω是Rⁿ中有界带边区域，众所周知，Ω上Dirichlet特征值问题有实的离散的谱：

$0<{\lambda }_1<{\lambda }_2\le {\lambda }_3\le \cdots \to \infty .$

著名的Weyl渐进公式为

${\lambda }_k\left(\Omega \right)~C_n{\left(\frac{k}{vol(\Omega )}\right)}^{\frac{2}{n}},\text{as}k\to \infty ,$

其中$C_n=\left(4{\pi }^2\right){\omega }_n^{-\frac{2}{n}}$ 并且${\omega }_n=vol\left({\mathbb{S}}^n\right)$ 。基于这个公式，Pólya [2]证明了当n = 2且Ω是R²中嵌入区域时，有

${\lambda }_k\left(\Omega \right)\ge C_n{\left(\frac{k}{vol\left(\Omega \right)}\right)}^{\frac{2}{n}},k=1,2,\cdots .$

通过上述结果，Pólya猜测以上的特征值不等式对Rⁿ中的有界区域都成立。

对于有界区域$\Omega \subset R^n$ ，Li-Yau [3]证明了不等式

${\displaystyle \sum _{i=1}^k{\lambda }_i}\ge \frac{nk{C}_n}{n+2}{\left(\frac{k}{vol\left(\Omega \right)}\right)}^{\frac{2}{n}}.$

其中λ_k是带Dirichlet边界条件的Ω上的第k个特征值。

从渐进公式来看，Li-Yau的不等式是最接近Pólya猜想的结果，因为它可以推出

${\lambda }_k\ge \frac{n{C}_n}{n+2}{\left(\frac{k}{vol\left(\Omega \right)}\right)}^{\frac{2}{n}}.$

在过去30年中，在推广欧几里得空间中有界域的高阶特征值的下界估计方面已经有一些进展，可以参考[4]-[8]。例如Cheng, Li and Yau [6]得到，如果M是非正常曲率完备单连通空间形式中的n维紧致带边极小子流形，则有

${\lambda }_k\ge 4\pi {\text{e}}^{-\frac{2}{n}}{\left(\frac{k}{vol\left(M\right)}\right)}^{\frac{2}{n}}$

其中λ_k是M上Dirichlet第k个Dirichlet特征值。但Pólya猜想至今仍是开放的。

最近，通过使用黎曼几何中热核的性质和比较定理，Xu-Xu [9]证明了当M是Cartan-Hadamard流形中的紧致带边极小子流形时，则有

${\displaystyle \sum _{i=1}^k{\lambda }_i}\left(M\right)\ge \frac{2kn\pi }{e}{\left(\frac{k}{vol\left(M\right)}\right)}^{\frac{2}{n}}.$

特别地，

${\lambda }_k\ge \frac{2n\pi }{e}{\left(\frac{k}{vol\left(M\right)}\right)}^{\frac{2}{n}}.$

受到上述结果的启发，我们研究局部共形平坦黎曼流形上的特征值问题。如果一个n维黎曼流形$\left(M^n,g\right)$ 容许一个坐标覆盖$\left\{U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }\right\}$ 使得映射${\varphi }_{\alpha }:\left(U_{\alpha },g_{\alpha }\right)\to \left(S^n,g_0\right)$ 是一个共形映射，其中$g_0$ 是$S^n$ 上的标准度量，则称n维黎曼流形是局部共形平坦的。Sobolev不等式是几何分析中一个重要工具，不同曲率条件下的Sobolev常数估计已有很长的历史，Sobolev常数的估计通常依赖于体积比较定理，因此它与流形的曲率密切相关。我们利用局部共形平坦黎曼流形上的Sobolev不等式和热核方法，我们得到了局部共形平坦黎曼流形上的一个高阶特征值的估计。关于局部共形平坦黎曼流形特征值估计的更多结果可以参考文献[10]-[12]。

1.1. 定理1

设$M^n$ 是$n\left(n\ge 3\right)$ 维单连通的、局部共形平坦的完备黎曼流形，并且$R\le 0$ 或${\displaystyle {\int }_M{\left|R\right|}^{\frac{n}{2}}}<\infty$ 。令Ω是M的一个紧致区域，则Ω上的第k个Dirichlet特征值满足

${\lambda }_k\left(\Omega \right)\ge \frac{1}{e\tilde{S}}{\left(\frac{k}{vol\left(\Omega \right)}\right)}^{\frac{2}{n}},$ (1.1)

其中$\tilde{S}$ 是不等式(2.2)中的Sobolev常数。

注：我们可以知道当$\tilde{S}=Q{\left({\mathbb{S}}^n\right)}^{-1}$ 时，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(e\tilde{S}\right)}^{-1}}{C_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{n\left(n-2\right){\omega }_n^{\frac{2}{n}}}{4e}}{\left(4{\pi }^2\right){\omega }_n^{-\frac{2}{n}}}=\infty .$ 因此在n充分大的时候，上述估计提供的系数要比C_n更精确。

其次，我们考虑$M^n$ 上Schrödinger算子的特征值问题

$-\Delta \varphi \left(x\right)+V\left(x\right)\varphi \left(x\right)=\mu \varphi \left(x\right),$ (1.2)

其中$V\left(x\right)$ 是位势函数。用$V_{-}$ 表示V的负部，即$V_{-}=\max \left\{0,-V\right\}$ 当$V_{-}\in L^{\frac{n}{2}}\left(M\right)$ 时，算子$L_V=-\Delta +V$ 在负实轴上有离散的谱。对任意的$\alpha \le 0$ ，用$N_{\alpha }\left(V\right)$ 表示特征值问题(1.2)的满足$\mu \le \alpha$ 的特征值µ的个数。特别地，当$\alpha =0$ 时，$N_0\left(V\right)=Ind{L}_V\left(M\right)$ 表示算子$L_V$ 非正特征值的个数，同时在物理上被视作束缚态的个数，并且$N_0\left(V\right)$ 是有限的。Rosenbljum [13]通过${\left(V+\alpha \right)}_{-}$ 的$L^{\frac{n}{2}}$ 范数来得到关于$N_{\alpha }\left(V\right)$ 的估计。与此同时，Cwikel和lieb [14]-[16]独立证明了以下不等式

$C_n{N}_{\alpha }\left(V\right)\le {\displaystyle {\int }_{R^n}{\left(V+\alpha \right)}_{-}^{\frac{n}{2}}}\text{d}x.$

我们通过局部共形平坦黎曼流形上高阶特征值的不等式证明了以下关于算子$L_V$ 的非正特征值的个数的一个上界估计。

1.2. 定理2

设$M^n$ 是$n\left(n\ge 3\right)$ 维单连通的、局部共形平坦的紧致完备黎曼流形，并且$R\le 0$ 或${\displaystyle {\int }_M{\left|R\right|}^{\frac{n}{2}}}<\infty$ 。如果V的负部满足$V_{-}\in L^{\frac{n}{2}}\left(M\right)$ ，则

$N_{\alpha }\left(V\right)\le {\left(\tilde{S}e\right)}^{\frac{n}{2}}{\displaystyle {\int }_M{\left(V-\alpha \right)}_{-}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}v,$ (1.3)

其中$\tilde{S}$ 是不等式(2.2)中的Sobolev常数。

2. 预备知识

设$\left(M^n,g\right)$ 是完备黎曼流形，用$\nabla$ ，$\Delta$ 分别表示M上的黎曼联络和Laplace算子。对于M上的热方程，存在热核(即热方程的基本解)$H\left(x,y,t\right)\in C^{\infty }\left(M,M,{ℝ}^{+}\right)$ ，使得对任意$f\in L^2\left(M\right)$ 有$\left({\text{e}}^{-\Delta t}f\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{M}H}\left(x,y,t\right)f\left(y\right).$ 由文献[17]可知黎曼流形上的热核满足：

1) $H\left(x,y,t\right)=H\left(y,x,t\right),$

2) $\underset{t\to 0}{\lim }H\left(x,y,t\right)={\delta }_x\left(y\right),$

3) $\left(\Delta -\frac{\partial }{\partial t}\right)H=0,$

4) $H\left(x,y,t\right)={\displaystyle {\int }_{M}H}\left(x,z,t-s\right)H\left(z,y,s\right)\text{d}z.$

若M是紧致黎曼流形，${\varphi }_i$ 是M上的特征函数构成的一组正交基，${\lambda }_i$ 是其对应的特征值，那么热方程的基本解，即热核可以写成

$H\left(x,y,t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\text{e}}^{-{\lambda }_{i}t}}{\varphi }_i\left(x\right){\varphi }_i\left(y\right),$

特别地，

${\displaystyle {\int }_{M}H}\left(x,y,t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\text{e}}^{-{\lambda }_{i}t}}.$

我们知道单连通的、局部共形平坦的流形$M^n\left(n\ge 3\right)$ 可以共形浸入到$S^n$ 上，并且根据Schoen和Yau的结果[17]，$M^n$ 的Yamabe常数满足$Q\left(M^n\right)=Q\left({\mathbb{S}}^n\right)=\frac{n\left(n-2\right){\omega }_n^{\frac{2}{n}}}{4},$ 其中ω_n是Rⁿ中单位球面的体积。因此对于任意的$f\in C_0^{\infty }\left(M\right)$ 有以下不等式

$Q\left({\mathbb{S}}^n\right){\left({\displaystyle {\int }_M{f}^{\frac{2n}{n-2}}}\text{d}v\right)}^{\frac{n-2}{n}}\le {\displaystyle {\int }_M{\left|\nabla f\right|}^2}\text{d}v+{\displaystyle {\int }_M\frac{n-2}{4\left(n-1\right)}}R{f}^2\text{d}v.$ (2.1)

由Lin [18]，我们可以从上式得到以下的L²-Sobolev不等式。

引理1

设$M^n$ 是$n\left(n\ge 3\right)$ 维单连通的、局部共形平坦的完备黎曼流形，并且$R\le 0$ 或${\displaystyle {\int }_M{\left|R\right|}^{\frac{n}{2}}}<\infty$ 。则对于某个常数$\tilde{S}>0$ 有以下L²-Sobolev不等式成立

${\left({\displaystyle {\int }_M{f}^{\frac{2n}{n-2}}}\text{d}v\right)}^{\frac{n-2}{n}}\le \tilde{S}{\displaystyle {\int }_M{\left|\nabla f\right|}^2}\text{d}v,\forall f\in C_0^{\infty }\left(M\right),$ (2.2)

其中当$R\le 0$ 时，$\tilde{S}=Q{\left({\mathbb{S}}^n\right)}^{-1}.$

证明：当$R\le 0$ 时，由于式(2.1)右侧第二项为负，可直接得到

$Q\left({\mathbb{S}}^n\right){\left({\displaystyle {\int }_M{f}^{\frac{2n}{n-2}}}\text{d}v\right)}^{\frac{n-2}{n}}\le {\displaystyle {\int }_M{\left|\nabla f\right|}^2}\text{d}v.$

当${\displaystyle {\int }_M{\left|R\right|}^{\frac{n}{2}}}<\infty$ 时，在Carron [19]中的定理A证明了对某个常数C(n,M)成立

$C\left(n,M\right){\left({\displaystyle {\int }_M{f}^{\frac{2n}{n-2}}}\text{d}v\right)}^{\frac{n-2}{n}}\le {\displaystyle {\int }_M{\left|\nabla f\right|}^2}\text{d}v,\forall f\in C_0^{\infty }\left(M\right).$ $\square$

3. 定理1的证明

定理1的证明：由热核的半群性质和对称性，有

$H\left(x,x,2t\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }{H}^2}\left(x,y,t\right)\text{d}y.$ (3.1)

两边同时微分得

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial t}H\left(x,x,2t\right)=2{\displaystyle {\int }_{\Omega }H}\left(x,y,t\right)\frac{\partial }{\partial t}H\left(x,y,t\right)\text{d}y\\ =2{\displaystyle {\int }_{\Omega }H}\left(x,y,t\right)\Delta H\left(x,y,t\right)\text{d}y\\ =-2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla H\left(x,y,t\right)\right|}^2}\text{d}y.\end{array}$ (3.2)

利用引理1中的Sobolev不等式，我们有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla H\left(x,y,t\right)\right|}^2}\text{d}y\ge \frac{1}{\tilde{S}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|H\left(x,y,t\right)\right|}^{\frac{2n}{n-2}}}\right)}^{\frac{n-2}{n}}.$ (3.3)

另一方面，通过Hölder不等式和${\displaystyle {\int }_{\Omega }H}\left(x,y,t\right)\text{d}y\le 1$ 可以得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{H}^2}\left(x,y,t\right)\text{d}y\le {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|H\left(x,y,t\right)\right|}^{\frac{2n}{n-2}}}\right)}^{\frac{n-2}{n+2}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|H\left(x,y,t\right)\right|}\right)}^{\frac{4}{n+2}}\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|H\left(x,y,t\right)\right|}^{\frac{2n}{n-2}}}\right)}^{\frac{n-2}{n+2}}.\end{array}$ (3.4)

将式(3.3)和式(3.4)代入式(3.2)，结合式(3.1)得到

$\frac{\partial }{\partial t}H\left(x,x,2t\right)\le -\frac{2}{\tilde{S}}{H}^{\frac{n+2}{n}}\left(x,x,2t\right),$

整理得

$\frac{\partial }{\partial r}{H}^{-\frac{2}{n}}\left(x,x,r\right)\ge \frac{2}{n\tilde{S}}.$ (3.5)

对上式两边积分得

$H^{-\frac{2}{n}}\left(x,x,t\right)-H^{-\frac{2}{n}}\left(x,x,ϵ\right)\ge \frac{2}{n\tilde{S}}(t-ϵ).$ (3.6)

由文献[17]可知

$H\left(x,x,ϵ\right)~{\left(4\pi ϵ\right)}^{-\frac{n}{2}},$

因此

$\underset{ϵ\to 0}{\lim }H\left(x,x,ϵ\right)=0.$ (3.7)

结合式(3.6)和式(3.7)，有

$H\left(x,x,t\right)\le {\left(\frac{2}{n\tilde{S}}t\right)}^{-\frac{n}{2}}.$ (3.8)

对于任意的$k\le 1$ ，利用平均值不等式和迹公式可以得到

$\begin{array}{c}k{\left[\text{exp}\left(-t{\displaystyle \sum _{i=1}^k{\lambda }_i}\right)\right]}^{\frac{1}{k}}\le {\displaystyle \sum _{i=1}^k{\text{e}}^{-{\lambda }_{i}t}}\le {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\text{e}}^{-{\lambda }_{i}t}}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }H}\left(x,x,t\right)\text{d}x\\ \le {\left(\frac{2}{n\tilde{S}}t\right)}^{-\frac{n}{2}}vol\left(\Omega \right).\end{array}$

因此

${\displaystyle \sum _{i=1}^k{\lambda }_i}\ge -\frac{k}{t}ln\left[\frac{vol\left(\Omega \right)}{k}{\left(\frac{2}{n\tilde{S}}t\right)}^{-\frac{n}{2}}\right],\forall t>0,$ (3.9)

即

${\displaystyle \sum _{i=1}^k{\lambda }_i}\ge \underset{t>0}{\max }\left\{-\frac{k}{t}ln\left[\frac{vol\left(\Omega \right)}{k}{\left(\frac{2}{n\tilde{S}}t\right)}^{-\frac{n}{2}}\right]\right\},$ (3.10)

并且式(3.10)的右边在$t=\frac{ne\tilde{S}vol{\left(\Omega \right)}^{\frac{2}{n}}}{2k^{\frac{2}{n}}}$ 处达到最大值。因此可以得到

${\displaystyle \sum _{i=1}^k{\lambda }_i}\ge \frac{k}{e\tilde{S}}{\left(\frac{k}{vol\left(\Omega \right)}\right)}^{\frac{2}{n}}.$ (3.11)

特别地，我们有

${\lambda }_k\ge \frac{1}{e\tilde{S}}{\left(\frac{k}{vol\left(\Omega \right)}\right)}^{\frac{2}{n}}.\square$

4. 定理2的证明

为了证明定理2，利用参考文献[9]中类似的方法，我们可以证明以下引理。

引理2

设$M^n$ 是$n\left(n\ge 3\right)$ 维单连通的、局部共形平坦的紧致完备黎曼流形，并且$R\le 0$ 或${\displaystyle {\int }_M{\left|R\right|}^{\frac{n}{2}}}<\infty$ 。令$q\left(x\right)$ 是M上的一个正函数，并且${\mu }_k$ 是以下问题的第k个特征值

$\{\begin{array}{ll}\Delta \varphi \left(x\right)=-\mu q\left(x\right)\varphi \left(x\right),\hfill & x\in M,\hfill \\ \varphi \left(x\right)=0,\hfill & x\in \partial M,\hfill \end{array}$ (4.1)

则

${\mu }_k^{\frac{n}{2}}{\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}v\ge k{\left(\tilde{S}e\right)}^{-\frac{n}{2}},$ (4.2)

其中$\tilde{S}$ 是不等式(2.2)中的Sobolev常数。

证明：令${\left\{{\varphi }_i\left(x\right)\right\}}_{i=1}^{\infty }$ 是一组满足方程$\Delta {\varphi }_i\left(x\right)=-\mu q\left(x\right){\varphi }_i\left(x\right)$ 的关于新度量$q\left(x\right)dv$ 的正交特征函数，则抛物型算子$\frac{\Delta }{q}-\frac{\partial }{\partial t}$ 的热核满足

$H\left(x,y,t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\text{e}}^{-{\mu }_{i}t}}{\varphi }_i\left(x\right){\varphi }_i\left(y\right),$ (4.3)

并且该热核满足以下性质

$\{\begin{array}{ll}\frac{{\Delta }_{x}H\left(x,y,t\right)}{q\left(x\right)}=\frac{\partial H\left(x,y,t\right)}{\partial t},\hfill & t>0,x,y\in M,\hfill \\ H\left(x,y,t\right)=0,\hfill & x,y\in \partial M.\hfill \end{array}$ (4.4)

定义函数$h\left(t\right)$ 为

$\begin{array}{c}h(t)={\displaystyle {\int }_M{\displaystyle {\int }_M{H}^2}}\left(x,y,t\right)q\left(x\right)q\left(y\right)\text{d}x\text{d}y\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\text{e}}^{-2{\mu }_{i}t}}.\end{array}$ (4.5)

对式(4.5)两边同时微分，并利用散度定理可以得到

$\begin{array}{c}\frac{\partial h\left(t\right)}{\partial t}=2{\displaystyle {\int }_M{\displaystyle {\int }_{M}H}}\left(x,y,t\right)q\left(x\right)q\left(y\right)\frac{\partial H\left(x,y,t\right)}{\partial t}\text{d}x\text{d}y\\ =2{\displaystyle {\int }_M{\displaystyle {\int }_{M}H}}\left(x,y,t\right)q\left(x\right){\Delta }_{y}H\left(x,y,t\right)\text{d}y\text{d}x\\ =-2{\displaystyle {\int }_{M}q}\left(x\right){\displaystyle {\int }_M{\left|{\nabla }_{y}H\left(x,y,t\right)\right|}^2}\text{d}y\text{d}x.\end{array}$ (4.6)

另一方面，对$h\left(t\right)$ 使用Hölder不等式有

$\begin{array}{c}h\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{M}q}\left(x\right){\displaystyle {\int }_M{H}^2}\left(x,y,t\right)q\left(y\right)\text{d}y\text{d}x\\ \le {\displaystyle {\int }_{M}q}\left(x\right){\left({\displaystyle {\int }_M{H}^{\frac{2n}{n-2}}}\left(x,y,t\right)\text{d}y\right)}^{\frac{n-2}{n+2}}{\left({\displaystyle {\int }_{M}H}\left(x,y,t\right)q^{\frac{n+2}{4}}\left(y\right)\text{d}y\right)}^{\frac{4}{n+2}}\text{d}x\\ \le {\left[{\displaystyle {\int }_{M}q}\left(x\right){\left({\displaystyle {\int }_M{H}^{\frac{2n}{n-2}}}\left(x,y,t\right)\text{d}y\right)}^{\frac{n-2}{n}}\text{d}x\right]}^{\frac{n}{n+2}}\times {\left[{\displaystyle {\int }_{M}q}\left(x\right){\left(H\left(x,y,t\right)q^{\frac{n+2}{4}}\left(y\right)\text{d}y\right)}^2\text{d}x\right]}^{\frac{2}{n+2}}.\end{array}$ (4.7)

为了估计式(4.7)右边的第二项，我们令

$Q\left(x,t\right)={\displaystyle {\int }_{M}H}\left(x,y,t\right)q^{\frac{n+2}{4}}\left(y\right)\text{d}y,$

其满足

$\frac{{\Delta }_{x}Q\left(x,t\right)}{q(x)}=\frac{\partial Q\left(x,t\right)}{\partial t},$

并且对于$t>0$ ，$x\in \partial M$ 有$Q\left(x,t\right)=0$ 。因为$\underset{t\to 0}{\lim }H\left(x,y,t\right)={\delta }_x\left(y\right)$ ，所以

$\begin{array}{c}Q\left(x,0\right)=\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{M}H}\left(x,y,t\right)q^{\frac{n-2}{4}}\left(y\right)q\left(y\right)\text{d}y\\ ={\displaystyle {\int }_M{\delta }_x}\left(y\right)q^{\frac{n-2}{4}}\left(y\right)q\left(y\right)\text{d}y\\ =q^{\frac{n-2}{4}}\left(x\right).\end{array}$

由$Q\left(x,t\right)$ 满足的性质和散度定理得到

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial t}{\displaystyle {\int }_M{Q}^2}\left(x,t\right)q\left(x\right)\text{d}x=2{\displaystyle {\int }_{M}Q}\left(x,t\right)\frac{\partial Q\left(x,t\right)}{\partial t}q\left(x\right)\text{d}x\\ =2{\displaystyle {\int }_{M}Q}\left(x,t\right){\Delta }_{x}Q\left(x,t\right)\text{d}x\\ =-2{\displaystyle {\int }_M{\left|{\nabla }_{x}Q\left(x,t\right)\right|}^2}\text{d}x\\ \le 0,\end{array}$ (4.8)

故由式(4.8)可以推出

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_M{Q}^2}\left(x,t\right)q\left(x\right)\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_M{Q}^2}\left(x,0\right)q\left(x\right)\text{d}x\\ ={\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x.\end{array}$ (4.9)

结合式(4.6)，(4.7)，(4.9)，并使用引理1中的式(2.2)，则可以得到

$\begin{array}{c}{h}^{\frac{n+2}{n}}\left(t\right)\le \left({\displaystyle {\int }_{M}q}\left(x\right){\left({\displaystyle {\int }_M{H}^{\frac{2n}{n-2}}}\left(x,y,t\right)\text{d}y\right)}^{\frac{n-2}{n}}\text{d}x\right){\left({\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x\right)}^{\frac{2}{n}}\\ \le \left(\tilde{S}{\displaystyle {\int }_{M}q}\left(x\right){\displaystyle {\int }_M{\left|{\nabla }_{y}H\left(x,y,t\right)\right|}^2}\text{d}y\text{d}x\right){\left({\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x\right)}^{\frac{2}{n}}\\ =-\frac{\tilde{S}}{2}\frac{\partial h\left(t\right)}{\partial t}{\left({\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x\right)}^{\frac{2}{n}}.\end{array}$ (4.10)

对式(4.10)进行移项再积分，因此有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^t{h}^{-\frac{n+2}{n}}}\left(s\right)\frac{\partial h\left(s\right)}{\partial s}\text{d}s\le -\frac{2}{\tilde{S}}{\displaystyle {\int }_0^t{\left({\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x\right)}^{-\frac{2}{n}}}\text{d}s\\ =-\frac{2t}{\tilde{S}}{\left({\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x\right)}^{-\frac{2}{n}}.\end{array}$(4.11)

进一步将式(4.11)左侧写成

$-\frac{n}{2}{h}^{-\frac{2}{n}}\left(t\right)-\left(-\frac{n}{2}\underset{s\to 0}{\lim }{h}^{-\frac{2}{n}}\left(t\right)\right)\le -\frac{2t}{\tilde{S}}{\left({\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x\right)}^{-\frac{2}{n}}.$

因为$\underset{t\to 0}{\lim }{h}^{-\frac{2}{n}}\left(t\right)=0$ ，所以我们由上式可知

$\begin{array}{c}h\left(t\right)\le {\left[\frac{4t}{n\tilde{S}}{\left({\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x\right)}^{-\frac{2}{n}}\right]}^{-\frac{n}{2}}\\ ={\left(\frac{4}{n\tilde{S}}\right)}^{-\frac{n}{2}}{t}^{-\frac{n}{2}}{\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x.\end{array}$(4.12)

将式(4.12)代入式(4.5)得

$k{e}^{-2{\mu }_{k}t}\le {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\text{e}}^{-2{\mu }_{i}t}}\le {\left(\frac{4}{n\tilde{S}}\right)}^{-\frac{n}{2}}{t}^{-\frac{n}{2}}{\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x.$(4.13)

令$t=\frac{n}{4{\mu }_k}$ ，我们有

$k{e}^{-\frac{n}{2}}\le {\left(\tilde{S}{\mu }_k\right)}^{\frac{n}{2}}{\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x.$(4.14)

因此

${\left({\mu }_k\right)}^{\frac{n}{2}}{\displaystyle {\int }_M{q}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}x\ge k{\left(\tilde{S}e\right)}^{-\frac{n}{2}}.\square$

定理1.2的证明：根据$N_0\left(V\right)$ 关于位势函数$V\left(x\right)$ 的单调性，我们可以用$-V_{-}\left(x\right)$ 代替$V\left(x\right)$ ，从而假设$V\left(x\right)\le 0$ 。进一步，我们可以用$L^{\frac{n}{2}}$ 范数中的严格负函数列逼近$-V_{-}\left(x\right)$ ，所以我们可以在下面的论证中假设$V\left(x\right)\le 0$ 。用${\tilde{N}}_{\alpha }\left(V\right)$ 表示以下特征值问题的特征值小于等于α的个数

$\{\begin{array}{ll}\Delta \phi \left(x\right)=\mu V\left(x\right)\phi \left(x\right),\hfill & x\in M,\hfill \\ \phi =0,\hfill & x\in \partial M.\hfill \end{array}$ (4.15)

因为Schrödinger方程(1.2)的二次型满足

$\frac{{\displaystyle {\int }_M{\left|\nabla \varphi \right|}^2}\text{d}v+{\displaystyle {\int }_{M}V}{\varphi }^2\text{d}v}{{\displaystyle {\int }_M{\varphi }^2}\text{d}v}=\frac{{\displaystyle {\int }_M\left|V\right|}{\varphi }^2\text{d}v}{{\displaystyle {\int }_M{\varphi }^2}\text{d}v}\left(\frac{{\displaystyle {\int }_M{\left|\nabla \varphi \right|}^2}\text{d}v}{{\displaystyle {\int }_M\left|V\right|}{\varphi }^2\text{d}v}-1\right),$ (4.16)

并且$\frac{{\displaystyle {\int }_M\left|V\right|}{\varphi }^2\text{d}v}{{\displaystyle {\int }_M{\varphi }^2}\text{d}v}$ 是Dirichlet问题(4.15)的二次型。因此上式左侧为非正的子空间的维数等于二次型$\frac{{\displaystyle {\int }_M\left|V\right|}{\varphi }^2\text{d}v}{{\displaystyle {\int }_M{\varphi }^2}\text{d}v}$ 小于等于1的子空间的维数，而后者正是问题(4.15)的二次型。于是我们可以得到$N_0\left(V\right)={\tilde{N}}_1\left(V\right)$ 。

若µ_k是(4.15)中满足${\mu }_k\le 1$ 的最大特征值，则由引理2，我们可以得到

$N_0\left(V\right)={\tilde{N}}_1\left(V\right)=k\le {\left(\tilde{S}e\right)}^{\frac{n}{2}}{\mu }_k^{\frac{n}{2}}{\displaystyle {\int }_M{\left|V\right|}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}v\le {\left(\tilde{S}e\right)}^{\frac{n}{2}}{\displaystyle {\int }_M{V}_{-}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}v.$(4.17)

对任意的$\alpha \le 0$ ，$\lambda$ 是$-\Delta +V$ 的一个特征值当且仅当$\lambda -\alpha$ 是$-\Delta +\left(V-\alpha \right)$ 的一个特征值。因此，由式(4.17)可以得到

$N_{\alpha }\left(V\right)\le {\left(\tilde{S}e\right)}^{\frac{n}{2}}{\displaystyle {\int }_M{\left(V-\alpha \right)}_{-}^{\frac{n}{2}}}\left(x\right)\text{d}v.\square$

基金项目

福建省自然科学基金资助项目(2021J01165)。