二维耦合无序体系量子扩散的周期性振荡

Periodic Oscillations of Quantum Diffusion in Two-Dimensional Coupled Disordered Systems

摘要: 本文首先介绍了二维材料与耦合机制，随后基于紧束缚近似理论研究二维耦合无序量子扩散现象，运用解析及数值的方法证实了二维耦合体系横向及纵向传播中的同步量子扩散周期性振荡。研究表明：双层无序石墨烯体系周期性振荡对无序度承受能力相对双层无序四方晶格体系更强。边界无序体系周期性振荡任意无序度下均存在。当无序仅处于系统边界，$P_k\left(t\right)$ ，$d_k\left(t\right)$ 振荡在波包到达边界后开始以$y_k\left(t\right)=0.5\pm 0.5e^{-t/t_0}cos\left(2vt+\varphi \right)$ ，$y_k\left(t\right)=P_k\left(t\right)$ 或${\overline{d}}_k^2\left(t\right)$ 函数衰减，衰减速度符合$1/t_0~W^{1.75}$ ，较双层无序系统衰减更慢。边界无序系统周期性衰减速度随$W$ 存在由增加到降低的转变，强无序下出现$W$ 越大衰减速度越慢的反常量子扩散现象。边界无序体系中量子扩散周期性振荡始终存在。研究表明：这一周期性振荡是由层间量子跳跃导致，是各层无差异能谱的结果，与体系形状、大小、边界条件、以及格点能大小无关，且适用于不同原子结构体系。无序系统中层间能谱差异性导致了周期性振荡的衰减，其衰减速度与频率可分别通过体系无序度$W$ 与层间耦合强度$u$ 进行调控。

Abstract: This paper first introduces two-dimensional materials and their coupling mechanisms. It then investigates the phenomenon of two-dimensional coupled disordered quantum diffusion based on the tight-binding approximation theory. Using both analytical and numerical methods, the study confirms the existence of synchronous quantum diffusion periodic oscillations in the transverse and longitudinal propagation of two-dimensional coupled systems. The results indicate that the periodic oscillations in a bilayer disordered graphene system exhibit greater resilience to disorder compared to a bilayer disordered square lattice system. Periodic oscillations persist in boundary disordered systems across various levels of disorder. When disorder is confined solely to the system’s boundary, the oscillations of $P_k\left(t\right)$ and $d_k\left(t\right)$ commence after the wave packet reaches the boundary, described by $y_k\left(t\right)=0.5\pm 0.5e^{-t/t_0}cos\left(2vt+\varphi \right)$ . Here, $y_k\left(t\right)$ can be either $P_k\left(t\right)$ or ${\overline{d}}_k^2\left(t\right)$ and the decay of the function follows the relationship $1/t_0~W^{1.75}$ , indicating a slower decay rate compared to bilayer disordered systems. The decay rate of periodic oscillations in boundary disordered systems transitions from increasing to decreasing as the disorder strength $W$ varies. An anomalous quantum diffusion phenomenon is observed, where a larger $W$ results in a slower decay rate under strong disorder. Periodic oscillations of quantum diffusion are always present in boundary disordered systems. Research indicates that these periodic oscillations are caused by interlayer quantum jumps and result from the degenerate energy spectra between layers, independent of the system’s shape, size, boundary conditions, or lattice energy scale, and are applicable to different atomic structures. In disordered systems, the differences in interlayer energy spectra lead to the decay of periodic oscillations, and both the decay rate and frequency can be adjusted through the disorder strength $W$ and the interlayer coupling strength $u$ .

1. 引言

1.1. 二维材料的概念与性质

二维材料(2D materials)是指在一个维度上仅包含单层或几层原子的材料，常见的有石墨烯、过渡金属二硫化物(TMDs)、黑磷、二氧化钼等。其主要性质与应用有：

(1) 石墨烯作为最著名的二维材料，结构由单层碳原子排列成蜂窝状，是已知的最薄材料，其超大表面积可以提供大量的反应活性位点[1]。同时，因其电子结构特殊，独特的二维结构可以将电子的自由运动限制在二维平面内，这导致了它有极高的电导率(电子迁移率高达200，000 cm²/V·s)和强度，广泛应用于透明导电膜和超级电容器等[2]。

(2) 黑磷被誉为第二石墨烯，是一种新兴的二维材料，结构上由磷原子以层状形式排列[3]。黑磷能够有效吸收可见光，具有较强的光致发光能力；同时，黑磷的热导率相对较高，约为30~50 W/m·K (依据层数变化而不同) [4]。这使得它在激光器、光探测器，太阳能电池以及热管理和电子散热应用等领域具有极高应用潜力。

(3) 过渡金属二硫化物(TMDs)通常具有层状结构，由二维单层组成，每层由一个过渡金属原子夹在两个硫原子之间，如MoS₂和TaS₂ [5]。单层TMDs通常具有直接带隙特性，而多层TMDs可能表现出间接带隙特性。这有效的弥补了石墨烯无带隙的缺陷，使其成为光学设备备选材料，同时也可用于制作光发射器、激光、光电探测器等[6]。

1.2. 耦合机制的概念与性质

二维耦合系统通常是由多个个体或元素组成，这些元素在二维空间中排列，并通过某种形式的耦合(机制)相互影响，该系统在x、y方向上可无限延展，但在z方向尺度是有限的[7] [8]。该系统主要具有以下性质：

(1) 带隙调控：与单层二维材料相比，二维材料耦合量子薄膜由于层间的相互作用，能够实现带隙的调控。这种调控可以通过压力、电场和化学修饰等方式实现[9]。

(2) 机械性能：二维材料耦合量子薄膜由于层间的相互作用，使得多层量子薄膜的层与层之间更加牢固，从而具有更好的机械稳定性和强度[10]。

(3) 光学性能：二维材料耦合量子薄膜的光学性质与单层二维材料有所不同[11]。

综上所述：低维层状材料无序系统的研究受到人们的广泛关注，极具现实研究意义，也取得了一定进展，但依然面临巨大挑战。本课题紧扣科研热点通过矩阵对角化解薛定谔方程的方法，以二维周期耦合体系及二维Anderson无序耦合体系为例介绍一种存在于二维耦合系统中的新型普适量子扩散行为。通过对双层四方晶格及双层石墨烯体系的理论分析和数值计算，我们证明了对于二维周期或非周期耦合体系，其波包对外扩散的同时在上下层间周期性交替传播，交替振荡频率取决于层间耦合强度。运用数值方法进一步探究层内格点能无序及边界格点能对振荡行为的影响，发现双层无序耦合体系各层找到粒子概率随时间成周期性衰减振荡，振荡时长由格点能无序度及层间耦合强度共同决定，强无序下周期性振荡消失。若仅边界格点能无序，则周期性振荡不随无序度增加而消失。由于周期性振荡频率仅取决于层间耦合项，而波包传播宽度取决于链内格点能项，因此这一发现可用于各类非周期体系，以得到波包空间分布不均、频率可调的量子扩散周期性振荡。文章一共分四部分：第一部分引言，第二部分介绍理论方法与模型；第三部分展示数值结果与分析；第四部分总结。

2. 理论方法与模型

Figure 1. Schematic of a two-dimensional bilayer coupling system. u, h, and ${\epsilon }_i$ represent the interlayer nearest-neighbor hopping energy, the intralayer nearest-neighbor hopping energy, and the lattice energy

图1. 二维双层耦合体系示意图。u、h、${\epsilon }_i$ 分别表示层间最近邻跳跃能、层内最近邻跳跃能及格点能

如图1所示，考虑一格点数2N，晶格常数为a，上下层结构完全相同的双层二维耦合体系，其紧束缚哈密顿量形式为：

$H=H_1+H_2+H_{int}$ (1)

其中$H_1$ 表示上层哈密顿量，$H_2$ 表示下层哈密顿量，$H_{int}$ 为哈密顿量上下层相互作用项。

$H_1={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{\epsilon }_i^{\left(1\right)}}|1,i\rangle \langle 1,i|+{\displaystyle {\sum }_{i\ne j}^N{V}_{ij}^{\left(1\right)}}|1,i\rangle \langle 1,j|,\left(i,j\in 上�\right)$ (2)

$H_2={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{\epsilon }_i^{\left(2\right)}}|2,i\rangle \langle 2,i|+{\displaystyle {\sum }_{i\ne j}^N{V}_{ij}^{\left(2\right)}}|2,i\rangle \langle 2,j|,\left(i,j\in 下�\right)$ (3)

$H{\displaystyle {\sum }_{i=1,j=1}^N{V}_{ij}^{\left(1,2\right)}}|1,i\rangle \langle 2,j|{\displaystyle {\sum }_{i=1,j=1}^N{V}_{ij}^{\left(2,1\right)}}|2,i\rangle {\langle 1,j|}_{int}$ (4)

其中$|1,i\rangle$ 及$|2,i\rangle \left(i=1,2,3,\cdots ,N\right)$ 分别为上下层基矢。${\epsilon }_i^{\left(1\right)}$ 和${\epsilon }_i^{\left(2\right)}$ 为格点能，在无序耦合体系中取$\left[-W,W\right]$ 随机数，W为无序度，周期链对应$W=0$ 。$V_{ij}^{\left(1\right)},V_{ij}^{\left(2\right)}$ 为层内跳跃项，$V_{ij}^{\left(1,2\right)},V_{ij}^{\left(2,1\right)}$ 为层间跳跃项，以下推导仅考虑最近邻跳跃项，$V_{ij}^{\left(1\right)}=V_{ij}^{\left(2\right)}=h$ 及$V_{ij}^{\left(1,2\right)}=V_{ij}^{\left(2,1\right)}=u$ 。为方便计算我们将晶格常数及链内跳跃项统一设置为$a=1,h=1$ 。无序度W及层间跳跃强度u为量子扩散调制参数。

已知二维耦合体系本征态可通过以下静态薛定谔方程获得：

$H|\psi \rangle =E|\psi \rangle$ (5)

式中，E为本征能量，$|\psi \rangle$ 为本征波函数，$H_1$ ，$H_2$ 具有相同本征能谱$e_l\left(l=1,2,3,\cdots ,N\right)$ ，其本征波函数分别为$|{\phi }_l^{\left(1\right)}\rangle ，|{\phi }_l^{\left(2\right)}\rangle$ 可由以下公式展开：

$|{\varphi }_l^{\left(1\right)}\rangle ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^N{C}_{l,j}^{\left(1\right)}}|1,j\rangle ,|{\varphi }_l^{\left(2\right)}\rangle ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^N{C}_{l,j}^{\left(2\right)}}|2,j\rangle$ (6)

因此双层二维耦合体系静态波函数可表示为：

$|\psi \rangle ={\displaystyle {\sum }_{l=1}^N|{\varphi }_l^{\left(1\right)}\rangle \langle {\varphi }_l^{\left(1\right)}|\psi \rangle +|{\varphi }_l^{\left(2\right)}\rangle \langle {\varphi }_l^{\left(2\right)}|\psi \rangle }$ (7)

将(7)代入方程(5)得，结合公式(1)~(4)，得到二维耦合体系本征能量及本征波函数为：

$E_l^{\pm }=e_l\pm u$ (8)

$|{\psi }_l^{\pm }\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|{\varphi }_l^{\left(1\right)}\rangle \pm |{\varphi }_l^{\left(2\right)}\rangle \right)$ (9)

体系波包随时间演化可由以下含时薛定谔方程给出：

$i\frac{\text{d}}{\text{d}t}|\Psi \left(t\right)\rangle =H$ (10)

t时刻波函数可表示为：$\Psi \left(t\right)={\left({\Psi }_1,{\Psi }_2,{\Psi }_3,\cdots ,{\Psi }_{2N}\right)}^{\text{T}}$ 其中${\Psi }_n\left(t\right)$ 表示$|\Psi \left(t\right)\rangle$ 在第n个格点的分量。

设波包初始状态位于上层中心位置m，即${|\Psi \left(t\right)\rangle }_{t=0}=|1,m\rangle$ ，则体系波函数$|\Psi \left(t\right)\rangle$ 表示为：

$|\Psi \left(t\right)\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}{\displaystyle {\sum }_{l=1}^N{C}_{lm}^{\text{*}}{\text{e}}^{-i{e}_{l}t}}\left({\text{e}}^{-iut}|{\psi }_l^{+}\rangle +{\text{e}}^{iut}|{\psi }_l^{-}\rangle \right)$ (11)

其中$C_{lm}^{*}$ 为$C_{lm}$ 共轭复数，将体系波函数投影至上下层，按其基矢展开可得：

${\Psi }_n^{\left(1\right)}\left(t\right)=\langle 1,n|\Psi \left(t\right)\rangle =\cos \left(ut\right){\Psi }_{nm}^{\left(s\right)}\left(t\right)$ (12a)

${\Psi }_n^{\left(2\right)}\left(t\right)=\langle 2,n|\Psi \left(t\right)\rangle =\sin \left(ut\right){\Psi }_{nm}^{\left(s\right)}\left(t\right)$ (12b)

其中${\Psi }_n^{\left(s\right)}\left(t\right)=C_{ln}{C}_{lm}^{*}{\text{e}}^{-i{e}_{l}t}$ 是包含波包初始分布的独立层波函数[12]。已知t时刻电子出现在n格点位置的几率为${\left|{\psi }_n\left(t\right)\right|}^2$ ，则任意时刻粒子出现在上、下层的概率分别表示为：

$P_n^{\left(1\right)}\left(t\right)={\cos }^2\left(ut\right)P_{nm}^{\left(s\right)}\left(t\right)$ (13a)

$P_n^{\left(2\right)}\left(t\right)={\cos }^2\left(ut\right)P_{nm}^{\left(s\right)}\left(t\right)$ (13b)

其中$P_{nm}^{\left(s\right)}\left(t\right)={\left({\displaystyle {\sum }_{l=1}^N{C}_{ln}{C}_{lm}^{*}{\text{e}}^{-i{e}_{l}t}}\right)}^2$ 表示单个孤立层格点n出现粒子概率。将分别在上、下层找到粒子的概率定义为$P_1\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{n=1}^N{P}_n^{\left(1\right)}\left(t\right)}$ ，$P_2\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{n=1}^N{P}_n^{\left(2\right)}\left(t\right)}$ ，又因为$P_1\left(t\right)+P_2\left(t\right)=1$ ，则有：

$P_1\left(t\right)={\cos }^{2}ht=0.5+0.5\cos \left(2ut\right)$ (14a)

$P_2\left(t\right)={\sin }^{2}ht=0.5-0.5\cos \left(2ut\right)$ (14b)

定义$d_1\left(t\right)$ ，$d_2\left(t\right)$ 为上、下独立层波包传播宽度，则有：

$d_1^2\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{n=1}^N{P}_n^{\left(1\right)}\left(t\right){\left(n-m\right)}^2}={\cos }^2\left(ut\right)d^2\left(t\right)$ (15a)

$d_2^2\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{n=1}^N{P}_n^{\left(2\right)}\left(t\right){\left(n-m\right)}^2}={\sin }^2\left(ut\right)d^2\left(t\right)$ (15b)

其中$d\left(t\right)$ 为二维耦合体系波包传播宽度可表示为：

$d^2\left(t\right)=d_1^2\left(t\right)+d_2^2\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{n=1}^N{P}_{nm}^{\left(s\right)}\left(t\right){\left(n-m\right)}^2}$ (16)

因此，波包的传播宽度可表示为：

$d_1\left(t\right)=d\left(t\right)\left|\cos \left(ut\right)\right|$ (17a)

$d_2\left(t\right)=d\left(t\right)\left|\sin \left(ut\right)\right|$ (17b)

根据公式(17)可得比率${\overline{d}}_k\left(t\right)=d_k\left(t\right)/d\left(t\right)$ 平方，与方程(14)$p_k\left(t\right)$ 表达式相同。$p_k\left(t\right)$ 为各独立层发现粒子的概率，用于描述量子扩散横向传播。${\overline{d}}_k^2\left(t\right)$ 可描述纵向传播，表明波包纵向与横向为同频$f=u/\pi$ 三角函数周期振荡，频率大小与层内格点能无关仅取决于层间耦合强度。双层周期体系能谱的无差异性是形成横、纵方向同频率周期性量子振荡的根本原因，此振荡与体系大小、边界条件、以及格点能大小无关。因此，此周期性振荡适用于任意两周期或两相同非周期二维耦合体系，时间可由波包到达边界前持续至到达边界后。由于$P_1\left(t\right)+P_2\left(t\right)=1$ ，${\overline{d}}_1^2\left(t\right)+{\overline{d}}_2^2\left(t\right)=1$ 以下所有模型仅专注分析$p_1\left(t\right)$ 及$d_1^2\left(t\right)$ 数值分析结果。

3. 数值结果分析

3.1. 双层四方晶格体系量子扩散的周期性振荡

我们运用数值方法证实了AA型(上下层原子正对)双层四方晶格耦合体系量子扩散的周期性振荡。体系格点数$N=51\times 51\times 2$ ，取$W=0$ 及$W>0$ 对应周期及非周期体系，设波包起点为layer1中心，开放边界条件，通过哈密顿量矩阵对角化方法解薛定谔方程计算体系波函数，粒子出现概率及波包传播宽度，计算中仅考虑最近邻格点间跃迁。

图2(a) $d_k\left(t\right)$ 插图展示$0\le t\le 10.5$ ，$75\le t\le 85$ 时段量子扩散周期性振荡行为，时段分别对应波包到达边界前与到达边界后，$d_k\left(t\right)$ 为独立单层波包传播宽度。图2(b)为$W=0$ 及$W=5$ 概率函数$p_1\left(t\right)$ 及比率${\overline{d}}_1\left(t\right) =d_1\left(t\right)/d\left(t\right)$ 平方在$0\le t\le 30$ ，$4\text{70}\le t\le 500$ 时段内量子扩散行为(空心点)，与公式14(a)、17(a)函数曲线(红色)对比，两时段分别说明体系周期性振荡可由起始时间持续至波包到达边界后，且周期性振荡长时间持续。$p_1\left(t\right)$ 及${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 数值结果表明二维结构耦合体系量子扩散横向及纵向周期性振荡频率相同($f=u/\pi$ )。为进一步理解不同时刻几率分布细节，图2(c)对不同振荡周期后粒子概率$p_k\left(t\right) \left(k=1,2\right)$ 空间分布进行展示。图中清晰可见，波包在向边界扩展的同时持续在上下层间周期性交替传播，到达边界前第1 ($t=3.14$ )或1.5 ($t=4.71$ )振荡周期波包仅分布于下层或上层，到达边界后，波包依然持续周期性交替，图中第160 ($t=502.65$ )或160.5 ($t=504.23$ )振荡周期为之前行为的重复。我们对不同耦合强度体系量子扩散行为进行系统性研究，图2(d)为不同耦合强度$p_k\left(t\right) \left(k=1,2\right)$ 振荡频率f数值结果(空心点)，与线性函数(虚线)$f=u/\pi$ 的对比。

Figure 2. Quantum diffusion behavior of a two-dimensional periodic coupling system ($W=0$ ) and an identical disordered layer coupling system ($W=5$ ). (a) Wave packet spreading width $d\left(t\right)$ , boundary wave function square sum $P_b\left(t\right)$ ) (inset), and the quantum oscillation behavior of the independent single-layer wave packet spreading width $d_1\left(t\right)$ (black) and $d_2\left(t\right)$ (red) at different time intervals (inset). (b) Probability function$p_1\left(t\right)$ and the ratio ${\overline{d}}_1\left(t\right) =d_1\left(t\right)/d\left(t\right)$ for quantum oscillation behavior (hollow black dots), compared with the function curves $y\left(t\right)=0.5+0.5\cos \left(2ut\right)$ , $y\left(t\right)=P_1\left(t\right)$ , or ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ . (c) Probability lattice distribution at nodes for 1 ($t=3.14$ ), 1.5 ($t=4.71$ ), 160 ($t=502.65$ ), and 160.5 ($t=504.23$ ) cycles, where black indicates the absence of probability at that lattice point. (d) Oscillation frequency of $P_1\left(t\right)$ corresponding to different coupling strengths u compared with the linear function $f=u/\pi$ (dashed line)

图2. 二维周期($W=0$ )耦合体系及相同无序层($W=5$ )耦合体系量子扩散行为。(a) 波包传播宽度$d\left(t\right)$ ，边界波函数平方和$P_b\left(t\right)$ (插图)，及不同时段独立单层波包传播宽度$d_1\left(t\right)$ (黑色)$d_2\left(t\right)$ (红色)量子振荡行为(插图)。(b) 不同时段几率函数$p_1\left(t\right)$ 及比率${\overline{d}}_1\left(t\right) =d_1\left(t\right)/d\left(t\right)$ 平方量子振荡行为(黑色空心点)，与$y\left(t\right)=0.5+0.5\cos \left(2ut\right)$ ，$y\left(t\right)=P_1\left(t\right)$ 或${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 函数曲线对比。(c) 第1 ($t=3.14$ )，1.5 ($t=4.71$ )，160 ($t=502.65$ )，160.5 ($t=504.23$ )个周期结点几率格点分布情况，黑色表示该格点不存在几率。(d) 不同耦合强度u对应$P_1\left(t\right)$ 振荡频率，与$f=u/\pi$ 线性函数(虚线)的对比

然而上、下层完全相同是一种理想情况，在实际制备或应用中会出现各种随机无序，因此研究非关联、无相互作用二维无序耦合体系量子扩散行为至关重要。我们以双层无序AA型四方晶格体系为例进一步研究随机无序对系统周期性量子扩散的影响。模型如图1，格点数取$N=51\times 51\times 2$ ，格点能${\epsilon }_i$ 取$\left[-W,W\right]$ 随机数，其中W代表体系格点能无序程度，层间跃迁项表示为u，层内跃迁项为$h=1$ 。为达到好的统计效果，取20个不同样本求平均值。研究表明：存在随机无序的二维耦合体系$p_k\left(t\right)$ 及${\overline{d}}_k^2\left(t\right)$ 成周期性指数衰减振荡，符合函数关系。

$P_k\left(t\right)=0.5\pm 0.5{\text{e}}^{-\frac{t}{t_0}}\cos \left(2vt\right)\left(k=1,2\right)$ (18a)

${\overline{d}}_k^2\left(t\right)=d_k^2\left(t\right)/d^2\left(t\right)=0.5\pm 0.5{\text{e}}^{-\frac{t}{t_0}}\cos \left(2vt\right)\left(k=1,2\right)$ (18b)

其中$t_0$ 为衰减时间，$1/t_0$ 为衰减速度，受W调控，v为频率参数受W微扰。研究发现上式指数衰减振荡类似于经典欠阻尼振荡的行为。周期性振荡所能承受的无序度极限值$W_{\max }$ 与层间耦合能成正比($W_{\max }~u$ )，$W<W_{\max }$ ，存在周期性衰减振荡，衰减速度$1/t_0~W^2$ ，频率参量$\Delta v=v-u~W^2$ ，$W\ge W_{\max }$ 周期性振荡消失。

Figure 3. Quantum oscillation behavior of the double-layer AA-type square lattice disordered system $P_1\left(t\right)$ . (a) Fitting lines for the probability function $P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$ corresponding to different disorder strengths W, where $t_0$ is the decay time, $1/t_0$ is the decay rate, and v is the frequency parameter. (b) The upper, middle, and lower panels show the FFT spectrum of $P_1\left(t\right)$ quantum oscillations, with the frequency parameter v related to the disorder dimension W as $\Delta v=v-u~W^2$ , and the linear relationship between $W_{\max }$ and the interlayer coupling strength u. (c) The linear relationship between $-\ln \left(2P_{1\max }-1\right)$ and time t for different W, where，$P_{1\max }$ is the peak of the quantum oscillation $P_1\left(t\right)$

图3. 双层AA型四方晶格无序体系$P_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 为不同无序度W对应概率函数$P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$ 拟合线，$t_0$ 为衰减时间，$1/t_0$ 为衰减速度，v为频率参数。(b) 上，中，下图分别表示$P_1\left(t\right)$ 量子振荡FFT频谱图，频率参量v与无序维度W关系$\Delta v=v-u~W^2$ ，$W_{\max }$ 与层间耦合强度u线性关系。(c) 为不同W对应$-\ln \left(2P_{1\max }-1\right)$ 与时间t线性关系，$P_{1\max }$ 为$P_1\left(t\right)$ 量子振荡波峰

图3(a)插图为部分时间段($0\le t\le 50$ )拟合细节展示，空心圆点为数值结果，红色曲线为函数$P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$ 拟合线，$t_0$ 为衰减时间，$1/t_0$ 为衰减速度，v为频率参数。图3(b)中间图形表明，频率参量v与周期体系振荡频率参量接近，随W小幅变化，变化规律符合$\Delta v=v-u~W^2$ 。根据$1/t_0$ 与W关系以及FFT频谱图推断，体系必然存在临界无序度$W_{\max }$ ，当$W>W_{\max }$ 周期性衰减振荡消失。若体系周期性衰减振荡所承受的最大无序度表示为$W_{\max }$ ，分析可知$W_{\max }$ 与层间耦合强度存在$W_{\max }~u$ 关系展示于图3(b)底部，表明随u增加体系周期性振荡对无序的承受能力线性增强。$W_{\max }$ 判断标准为，若$W\ge W_{\max }$ 衰减时间$t_0\le \pi /u$ 则此时系统无序度为$W_{\max }$ ，我们以0.1为间隔通过数值拟合求解$W_{\max }$ 。

为进一步了解量子扩散纵向传播，我们对体系$d\left(t\right)$ 及各独立层波包传播宽度$d_k\left(t\right) \left(k=1,2\right)$ 进行计算。

Figure 4. Depicts the quantum oscillation behavior of $d_1\left(t\right)$ in a disordered double-layer AA-type square lattice system. (a) The graph illustrates the quantum diffusion behavior of the ratio ${\overline{d}}_1\left(t\right)=d_1\left(t\right)/d\left(t\right)$ over the time interval$0\le t\le 500$ , along with fitting details for the period $0\le t\le 50$ (inset). (b) The graph presents the results of the FFT of ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ . (c) The graph shows the numerical results of $-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$ (hollow points), compared with the function $-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)=t/t_0$ (dashed line), where ${\overline{d}}_{1\text{max}}^2$ denotes the amplitude of the oscillation peak

图4. 为双层AA型四方晶格无序体系$d_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 图展示$0\le t\le 500$ 时段内比率${\overline{d}}_1\left(t\right)=d_1\left(t\right)/d\left(t\right)$ 平方量子扩散行为及$0\le t\le 50$ 时段拟合细节(插图)。(b) 图为${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ FFT变换结果。(c) 图为$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$数值结果(空心点)，与函数$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)=t/t_0$图形(虚线)对比，${\overline{d}}_{1\text{max}}^2$为振荡波峰

结果显示：运用公式${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$参数$t_0$ 、v选取与$p_1\left(t\right)$ 相同，可对${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=d_1^2\left(t\right)/d^2\left(t\right)$ 数值结果进行拟合。其FFT信号及波峰变化规律均与$p_1\left(t\right)$ 振荡同步。表明二维无序耦合体系波包纵向传递表现出与横向传递频率相等，衰减速度相同的周期性衰减振荡。图4(b)顶部快速傅里叶变换FFT频谱图显示，弱无序下$p_1\left(t\right)$ 为单频振荡信号，振荡频率与$W=0$ 相近。随无序增强，频谱线变宽，信号强度降低最后消失。将$p_1\left(t\right)$ 量子振荡波峰$P_{1\max }$ 取$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$ (空心点)展示于图4(c)，拟合(虚线)发现其与时间t符合$-\ln \left(2P_{1\text{max}}-1\right)=t/t_0$ 函数关系。图4(c)插图为拟合结果$t_0$ 与W取对数后(空心圆点)，与函数$\log t_0~-2\log W$ (虚线)的对比，由此可知$1/t_0~W^2$ 。根据图4(b)顶部快速傅里叶变换FFT频谱图显示，弱无序下$p_1\left(t\right)$ 为单频振荡信号，以上分析可推断$p_1\left(t\right)$ 为周期性指数衰减振荡，精确拟合发现振荡函数为$P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$ 。

3.2. 双层石墨烯耦合体系量子扩散中的周期性振荡

为证实以上周期性振荡的普适性，我们进一步计算了双层石墨烯耦合体系量子扩散行为。计算模型如图5，图为AA型双层石墨烯(上层原子与下层原子正对)，模型大小采用格点数$N=\left(31\times 31\times 4\right)\times 2$ ，数值计算中开放边界条件，晶格常数取$a_0=0.142\text{nm}$ ，层间距离d取0.335 nm，跳跃项仅考虑最近邻格点间跃迁，层间跃迁项表示为u，层内跃迁项为$h=2.7$ [13] [14]，格点能${\epsilon }_i$ 设置为$\left[-W,W\right]$ 随机数，W代表体系格点能无序程度。取$W=0$ 及$W>0$ 分别对应周期及非周期体系。为达到好的统计效果，无序系统计算采用20个不同样本取平均值。

Figure 5. (a) Schematic diagram of the AA-type bilayer graphene coupling system (where the atoms of the upper layer are aligned with those of the lower layer). (b) Schematic diagram of the results for independent monolayer graphene atoms. u, h and ${\epsilon }_i$ represent the interlayer nearest-neighbor hopping energy, the intralayer nearest-neighbor hopping energy, and the lattice energy

图5. (a) AA型双层石墨烯耦合体系示意图(上层原子与下层原子正对)。(b) 独立单层石墨烯原子结果示意图。u、h、${\epsilon }_i$ 分别表示层间最近邻跳跃能、层内最近邻跳跃能及格点能

Figure 6. Quantum diffusion behavior of the bilayer graphene periodic system. (a) The width of the wave packet propagation $d\left(t\right)$ as a function of time. The inset shows the sum of the boundary wave functions $P_b\left(t\right)$ and the oscillation behavior of independent monolayer graphene $d_1\left(t\right)$ (black) and $d_2\left(t\right)$ (red) at different time intervals. (b) The probability $p_1\left(t\right)$ and the ratio ${\overline{d}}_1\left(t\right)=d_1\left(t\right)/d{\left(t\right)}^2$ (hollow black points) showing quantum oscillation behavior at different time intervals, compared with the function curve $y\left(t\right)=0.5+0.5\cos \left(2ut\right)$ , $y\left(t\right)=P_1\left(t\right)$ or ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ (solid red line). (c) Numerical results of the oscillation frequency f of $P_1\left(t\right)$ at different coupling strengths (hollow points), compared with the linear function (dashed line) $f=u/\pi$ . (d) Probability lattice distribution at specific time points: 1 ($t=3.14$ ), 1.5 ($t=4.71$ ), 188 ($t=502.65$ ), 188.5 ($t=504.23$ ). Black indicates that there is no probability distribution at that lattice point

图6. 双层石墨烯周期体系的量子扩散行为。(a) 体系波包传播宽度$d\left(t\right)$ 随时间演化。插图为边界波函数之和$P_b\left(t\right)$ ，及不同时段独立单层石墨烯$d_1\left(t\right)$ (黑色)$d_2\left(t\right)$ (红色)振荡行为。(b) 不同时段几率$p_1\left(t\right)$ 及比率${\overline{d}}_1\left(t\right)=d_1\left(t\right)/d{\left(t\right)}^2$ (黑色空心点)量子振荡行为，与$y\left(t\right)=0.5+0.5\cos \left(2ut\right)$ ，$y\left(t\right)=P_1\left(t\right)$ 或${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 函数曲线(红色实线)对比。(c) 不同耦合强度$P_1\left(t\right)$ 振荡频率f数值结果(空心点)，与线性函数(虚线)$f=u/\pi$ 的对比。(d) 第1 ($t=3.14$ )，1.5 ($t=4.71$ )，188 ($t=502.65$ )，188.5 ($t=504.23$ )周期时间点几率格点分布情况，黑色表示该格点没有几率分布

图6为双层石墨烯周期体系量子扩散行为。(a)为体系波包传播宽度$d\left(t\right)$ 随时间演化关系，下方插图$P_b\left(t\right)$ 显示$t_b\approx 5$ 波包开始到达距起点较近两边界，由于体系为长方形(参考图7(c))，波包到达各边界时间存在差异，${t^{\prime }}_b\approx 10$ 波包到达距中心较远两边界，${t^{″}}_b\approx 12.5$ 边界波函数达到最大值波包完全扩展至各边界。$d\left(t\right)$ 图显示$t<t_b$ 时$d\left(t\right)~t$ ，体系为扩展态。(a)上方插图为时段$0\le t\le 12.5$ ，$90\le t\le 100$ 内独立单层石墨烯量子扩散$d_k\left(t\right)$ 周期性振荡行为，图形显示$d_k\left(t\right)$ 周期性振荡从起始时间至波包到达边界后持续存在。(b) 为概率函数$p_1\left(t\right)$ 及比率${\overline{d}}_1\left(t\right)=d_1\left(t\right)/d\left(t\right)$ 平方$0\le t\le 30$ ，$4\text{70}\le t\le 500$ 时段周期性振荡行为(黑色空心点)，与公式18(a)(b)函数曲线(红色)的对比。分析表明改变层间耦合能周期振荡频率改变，图6(c)展示$p_1\left(t\right)$ 振荡频率数值结果(空心圆点)与$f=u/\pi$ 线性函数图像(虚线)对比。为进一步了解周期振荡细节，(d)图展示了$p_k\left(t\right) \left(k=1,2\right)$ 不同振荡周期后粒子概率空间分布情况。图中显示第1 ($t=3.14$ )，2 ($t=6.28$ )振荡周期波包仅分布于下层，而第1.5 ($t=4.71$ )，2.5 ($t=7.85$ )振荡周期波包仅分布于上层，波包于第1.5 ($t=4.71$ )周期后开始到达较近边界，对外扩展的同时在上下层间周期性交替传播，188 ($t=590.62$ )，188.5 ($t=592.19$ )周期再次重复以上交替行为，此周期性交替不受薄膜形状影响。

无序的普遍存在，促使我们进一步研究双层石墨烯无序系统量子扩散行为。采用与周期体系相同结构，其他参数不变，取$W>0$ ，计算双层石墨烯无序体系$p_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。

Figure 7. Quantum oscillation behavior of $p_1\left(t\right)$ in a disordered bilayer graphene system. (a) Quantum diffusion behavior of the probability function $p_1\left(t\right)$ corresponding to different disorder strengths W over the time interval `$0\le t\le 500$ , with an inset showing fitting details for $0\le t\le 50$ . The fitting curve (in red) is given by the function $P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$ . (b) The top, middle, and bottom graphs represent the FFT spectra of the quantum oscillation $p_1\left(t\right)$ . The frequency parameter v is related to the disorder strength W as $\Delta v=v-u~W^2$ , and there is a linear relationship between $W_{\max }$ and u denoted as $W_{\max }~u$ . (c) The relationship between $-\ln \left(2P_{1\max }-1\right)$ (hollow points) for different W and time t shows a linear relationship with $-\ln \left(2P{0}_{1\max }-1\right)$ (dashed line). The inset indicates a linear relationship $\log t_0~-2\log W$ showing that $1/t_0~W^2$

图7. 双层无序石墨烯体系$p_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 不同无序度W对应概率函数$p_1\left(t\right)$ $0\le t\le 500$ 时段量子扩散行为，插图为$0\le t\le 50$ 拟合细节，拟合曲线(红色)函数$P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$ 。(b) 上、中、下图分别表示$p_1\left(t\right)$ 量子振荡FFT频谱图，频率参量v与无序度W关系$\Delta v=v-u~W^2$ ，以及$W_{\text{ma}x}$ 与u线性关系$W_{\text{ma}x}~u$ 。(c) 为不同W对应$-\ln \left(2P_{1\max }-1\right)$ (空心点)与时间t线性关系$-\ln \left(2P{0}_{1\max }-1\right)$ (虚线)，插图$\log t_0~-2\log W$ 线性关系表明$1/t_0~W^2$

图7分析表明二维无序耦合体系量子扩散为周期性衰减振荡，振荡及衰减规律不受薄膜形状影响。(a)图显示不同无序度W对应$0\le t\le 500$ 时段内概率函数$p_1\left(t\right)$ 量子扩散行为，与四方晶格无序体系相同，双层无序石墨烯$p_1\left(t\right)$ 振荡符合$P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$ ，插图显示$0\le t\le 50$ 量子振荡拟合细节，黑色空心点为数值结果，红色为拟合曲线。图7(b)顶部为$p_1\left(t\right)$ FFT频谱图。中间展示频率参量v拟合结果与W关系$\Delta v=v-u~W^2$ (虚线)。底部图形展示$W_{\max }$ 与层间耦合强度u符合$W_{\max }~u$ 线性关系，$W_{\max }$ 表示体系周期性振荡所承受的最大无序度，判断方法与四方晶格无序体系相同，对比图3(b)底部图形可知，双层石墨烯体系对无序的承受力更强。图7(c)为不同W对应$p_1\left(t\right)$ 振荡波峰$P_{1\max }$ 衰减情况。图中$-\ln \left(2P_{1\max }-1\right)$ (空心点)随时间t呈线性关系，斜率$1/t_0$ 为衰减速度，插图$\log t_0~-2\log W$ 线性关系表明$1/t_0~W^2$ 。

为进一步了解波包纵向传播情况，我们对$d_k\left(t\right)\left(k=1,2\right)$ 进行计算。

Figure 8. Quantum oscillation behavior of $d_1\left(t\right)$ in a disordered bilayer AA-type graphene system. (a) The quantum diffusion behavior of the ratio ${\overline{d}}_1\left(t\right)=d_1\left(t\right)/d\left(t\right)$ over the time interval $0\le t\le 500$ , along with fitting details for the interval $0\le t\le 100$ (inset). The fitting curve (in red) is given by the function ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$, with the parameters $t_0$ and v being the same as the fitting parameters for $p_1\left(t\right)$ . (b) The FFT spectrum of the quantum oscillation ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ . (c) A comparison of the numerical results of $-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$ (hollow points) for different W with the function $-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)=t/t_0$ (dashed line)

图8. 双层AA型石墨烯无序体系$d_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 为$0\le t\le 500$ 时段内比率${\overline{d}}_1\left(t\right)=d_1\left(t\right)/d\left(t\right)$ 平方量子扩散行为及$0\le t\le 100$ 时段拟合细节(插图)。拟合曲线(红)函数${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$，参数$t_0$ 、v与$p_1\left(t\right)$ 拟合参数相同。(b) ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 量子振荡FFT频谱图。(c) 不同W对应$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$数值结果(空心点)与$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)=t/t_0$函数图形(虚线)的对比

图8为双层无序石墨烯$d_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 为不同无序度W对应$0\le t\le 500$ 时段${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 量子振荡，运用公式18(b) ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt\right)$选取与$p_1\left(t\right)$ 相同拟合参数$t_0$ 、v，可对${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 数值结果进行拟合。(b) 为${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ FFT频谱图。(c)图展示$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$数值结果(空心点)与$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)=t/t_0$函数图形(虚线)的对比，${\overline{d}}_{1\text{max}}^2\left(t\right)$为${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 量子振荡波峰，拟合参数$t_0$ 与$p_1\left(t\right)$ 相同。与双层无序四方晶格体系相同，双层无序石墨烯体系横向及纵向量子扩散周期性振荡同步衰减。

综上所述：二维耦合体系周期性量子振荡具有普适性，由层间量子跳跃导致，是各层能谱无差异性的结果，与薄膜形状、体系大小、边界条件、以及格点能大小无关。无序系统中层间能谱差异性导致了周期性振荡的衰减，其衰减时长与频率可分别通过体系无序度W与层间耦合强度u进行调控。系统周期性振荡对无序的承受能力受层间耦合能及原子结构影响，对比四方晶格体系，我们发现双层石墨烯体系周期性振荡对无序的承受力更强，且系统周期性振荡对无序承受能力随层间耦合强度u线性增加。

3.3. 边界无序双层四方晶格体系量子扩散中的周期性振荡

无序无处不在，材料切割，分离时界面出现无序概率极大。研究表明无序仅存在某一区域会引起反常量子扩散行为，纳米线表面无序及有序-无序分离量子薄膜都证实了这一点[15]。因此边界无序的研究具有重要的现实意义。我们假设无序仅存在于边界，内部为周期结构，计算模型如图9，模型大小$N=71\times 71\times 2$ ，层间跃迁项u及层内跃迁项为h取1，${\epsilon }_{id}$ 为边界无序格点(彩色)能取为$\left[-W,W\right]$ 随机数，${\epsilon }_{io}=0$ 为内部周期结构格点能。为了达到好的统计效果，我们计算了20个不同样本取平均值。

Figure 9. Schematic diagram of a bilayer system with boundary disorder coupling. The boundary lattice site energies are disordered, while the interior has a periodic structure. u and h are set to 1, representing the interlayer and intralayer nearest-neighbor hopping energies, respectively, ${\epsilon }_{io}$ is the energy of the interior periodic lattice sites, set to 0, and ${\epsilon }_{id}$ is the energy of the boundary lattice sites, taking random values from the range $\left[-W,W\right]$

图9. 双层边界无序耦合体系示意图。模型边界格点能无序，内部为周期结构。u，h取1分别表示层间、层内最近邻跳跃能，${\epsilon }_{io}$ 内部周期结构格点能取0，${\epsilon }_{id}$ 为边界格点能取$\left[-W,W\right]$ 随机数

图10为双层AA型边界无序四方晶格体系$p_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 为不同无序度W对应$0\le t\le 100$ 时段概率函数$p_1\left(t\right)$ (空心点)周期性衰减振荡。与双层无序体系不同，边界无序$p_1\left(t\right)$ 振荡由两部分构成，波包到达边界前$0\le t\le 15.7$ 为周期性振荡(蓝色)函数为$P_1\left(t\right)=0.5+0.5\cos (2ut)$ ，到达边界后$15.7\le t\le 100$ 为周期性衰减振荡(红色)符合函数$P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt+\varphi \right),v\approx u$ 。波包到达边界时间$t_b\approx 15.7$ 由图11(b)边界波函数平方和$P_b\left(t\right)$ 给出。到达边界前波包仅在内部周期结构范围内扩散，振荡规律与周期体系一致，到达边界后无序格点能谱差异性导致振荡衰减，衰减速度受无序度W调控。与双层无序体系不同，边界无序体系周期性衰减振荡不随W增加而消失，图(a)直观显示强无序下($W=8$ )振荡依然存在，且衰减速度较$W=3$ 更慢。图10(c)$p_1\left(t\right)$ FFT频谱图进一步证实边界无序周期性衰减振荡的持续存在。图形显示单频信号强度在$W=3$ 处存在由降低到增强的转折。图10(d)$-\ln \left(2P_1{}_{\text{max}}-1\right)$ (空心点)与时间$t$ ($t\ge 15.7$ )拟合结果直观展示了衰减速度$1/t_0$ 变化情况。拟合曲线(虚线)函数为$-\ln \left(2P_{\text{1max}}-1\right)~t/t_0$ ，$p_1{}_{\text{max}}$ 为$p_1\left(t\right)$ 振荡波峰，斜率$1/t_0$ 为衰减速度。图中$W<3$ 斜率$1/t_0$ 随W增加，$W\ge 3$ 后斜率$1/t_0$ 趋势反转为随W减小，这与之前FFT分析一致。我们推断转折是强无序下内部周期结构贡献占主导所致，这与之前表面参杂纳米线的研究结论极为相似[15]。图10(d)插图显示$\log t_0~-1.7\log W$ ，表明$W<3$ 范围内$1/t_0~W^{-1.7}$ ，相对双层无序体系衰减速度明显变慢。

Figure 10. Quantum oscillation behavior of $p_1\left(t\right)$ in a disordered bilayer square lattice system with boundary disorder. (a) The quantum diffusion behavior of the probability function $p_1\left(t\right)$ corresponding to different disorder strengths W. The numerical results for. $0\le t\le 15.7$ (hollow black points) match the periodic oscillation function $P_1\left(t\right)=0.5+0.5\cos \left(2ut\right)$ (blue curve). For $15.7\le t\le 100$ , the numerical results (hollow black points) correspond to the periodic decay function$P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt+\varphi \right),v\approx u$ (red curve). (b) The relationship of the sum of the squares of the boundary wave functions $p_b\left(t\right)$ over time. (c) The FFT spectrum of the quantum oscillation $p_1\left(t\right)$ . (d) A linear fit (dashed line) of$-\ln \left(2P_{1\max }-1\right)$ (hollow points) for different W with respect to time t. The fitting function is $-\ln \left(2P{0}_{1\max }-1\right)$ , where $P_{1\max }$ represents the peaks of the quantum oscillation $p_1\left(t\right)$ . The inset shows that $\log t_0~-1.7\log W$ indicating that$1/t_0~W^{1.7}$

图10. 双层边界无序四方晶格体系$p_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 不同无序度W对应概率函数$p_1\left(t\right)$ 量子扩散行为。$0\le t\le 15.7$ 数值结果(黑色空心点)与周期性振荡函数$P_1\left(t\right)=0.5+0.5\cos \left(2ut\right)$ 曲线(蓝色)吻合，$15.7\le t\le 100$ 数值结果(黑色空心点圆点)与周期性衰减函数$P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt+\varphi \right),v\approx u$ 曲线(红色)吻合。(b) 为边界波函数平方之和$p_b\left(t\right)$ 随时间关系。(c) $p_1\left(t\right)$ 量子振荡FFT频谱图。(d) 不同W对应$-\ln \left(2P_{1\max }-1\right)$ (空心点)与时间t线性拟合(虚线)，拟合函数$-\ln \left(2P{0}_{1\max }-1\right)$ ，$P_{1\max }$ 为$p_1\left(t\right)$ 量子振荡波峰，插图$\log t_0~-1.7\log W$ 表明$1/t_0~W^{1.7}$

为进一步了解波包纵向传播，我们运用相同方法对$d_k\left(t\right)\left(k=1,2\right)$ 进行数值计算。

Figure 11. Quantum oscillation behavior of $d_1\left(t\right)$ in a disordered bilayer square lattice system with boundary disorder.(a) The quantum oscillation of the ratio ${\overline{d}}_1\left(t\right)=d_1\left(t\right)/d{\left(t\right)}^2$ (hollow points) along with the fitting function ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt+\varphi \right)$ (red curve). The parameters $t_0$ , v, and $\varphi$ are the same as those in the fitting for $p_1\left(t\right)$ . (b) The FFT spectrum of the quantum oscillation ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ .(c) A comparison of the numerical results of $-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$ (hollow points) for different W with the fitted function $-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)~t/t_0$ (dashed line)

图11. 双层边界无序四方晶格$d_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 为比率${\overline{d}}_1\left(t\right)=d_1\left(t\right)/d{\left(t\right)}^2$ 量子振荡(空心原点)及函数${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt+\varphi \right)$拟合(红色)，参数$t_0$ 、v、$\varphi$ 与$p_1\left(t\right)$ 拟合参数相同。(b) ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 量子振荡FFT频谱图。(c) 不同W对应$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$数值结果(空心点)与$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)~t/t_0$函数拟合(虚线)

图11为双层边界无序四方晶格$d_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 展示$0\le t\le 100$ 时段${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 量子振荡及拟合，拟合(红色)函数${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt+\varphi \right)$，参数$t_0$ 、v、$\varphi$ 选取与$p_1\left(t\right)$ 相同。(b) 为${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ FFT频谱图，单频信号随W先减弱在增强。(c)图为$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$ (空心点)与t ($t\ge 15.7$ )线性拟合(虚线)图，${\overline{d}}_{1\text{max}}^2$为振荡波峰，拟合结果为$-\ln \left(2P_{\text{1max}}-1\right)~t/t_0$ 。说明双层边界无序体系量子扩散周期性衰减振荡横向与纵向传播同步。

3.4. 边界无序双层石墨烯量子扩散中的周期性振荡

我们运用相同方法研究边界无序双层石墨烯量子扩散行为。计算模型如图6，体系大小N，及参数$a_0$ ，d，u，h与双层无序石墨烯体系一致。格点能设置分为两部分，边界格点能${\epsilon }_{id}$ 取$\left[-W,W\right]$ 随机数，内部周期结构格点能为${\epsilon }_{io}=0$ (参考图10)。

Figure 12. Quantum oscillation behavior of the probability function $p_1\left(t\right)$ in a disordered bilayer graphene system with boundary disorder.(a) The numerical results of $p_1\left(t\right)$ (hollow black points) for different disorder strengths W compared with fitted functions.(b) The FFT spectrum of the quantum oscillation $p_1\left(t\right)$ .(c) A linear fit (dashed line) of the numerical results of $-\ln \left(2P_{1\max }-1\right)$ (hollow points), with the fitting function $-\ln \left(2P_{\text{1max}}-1\right)=a+t/t_0$ , where$P_{1\max }$ represents the peaks of the quantum oscillation$p_1\left(t\right)$ . The inset shows that $\log t_0~-1.7\log W$ indicating that $1/t_0~W^{1.7}$

图12. 双层边界无序石墨烯概率函数$p_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 不同无序度W对应$p_1\left(t\right)$ 数值结果(黑色空心点)及函数拟合对比。(b) $p_1\left(t\right)$ 量子振荡FFT频谱图。(c) $-\ln \left(2P_{1\max }-1\right)$ 数值结果(空心点)线性拟合(虚线)，拟合函数$-\ln \left(2P_{\text{1max}}-1\right)=a+t/t_0$ ，$P_{1\max }$ 为$p_1\left(t\right)$ 量子振荡波峰，插图$\log t_0~-1.7\log W$ 表明$1/t_0~W^{1.7}$

图12为边界无序双层石墨烯$p_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a) 为不同无序度W对应$0\le t\le 100$ 时段概率函数$p_1\left(t\right)$ (空心点)量子振荡拟合细节。与四方晶格体系结论相同，边界无序双层石墨烯$p_1\left(t\right)$ 振荡由周期性振荡(蓝色)及周期性衰减振荡(红色)两部分构成，分别对应函数$P_1\left(t\right)=0.5+0.5\cos \left(2ut\right)$ (波包到达边界前$0\le t\le 5$ )，及$P_1\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt+\varphi \right),v\approx u$ (到达边界后$5\le t$ )。波包到达边界时间$t\approx 5$ 参考图7(a)$P_b\left(t\right)$ 插图。图(a)显示$W>5$ 衰减速度不在随W下降，强无序下($W=10$ )$p_1\left(t\right)$ 周期性衰减振荡依然存在。图13(b) $p_1\left(t\right)$ FFT频谱图进一步证实这一结论。右侧分图表示振幅在0.03~0.04范围FFT频谱图局部放大。图(b)显示$W<5$ 时单频信号强度随W变弱，$W>5$ 后信号强度出现缓慢增强。为进一步了解W对周期振荡衰减速度的影响，图12(d)展示$t\ge 5$ 时段$-\ln \left(2P_1{}_{\text{max}}-1\right)$ 数值结果(空心点)进行拟合，拟合函数$-\ln \left(2P_{\text{1max}}-1\right)=a+t/t_0$ (虚线)，$p_1{}_{\text{max}}$ 为$p_1\left(t\right)$ 振荡波峰。图形显示$W\le 5$ 衰减速度随W增加，图(c)插图将衰减时间取对数有$\log t_0~-1.7\log W$ 线性关系，表明$W\le 5$ 衰减速度(斜率)符合$1/t_0~W^{1.7}$ ，与四方晶格边界无序体系衰减速度相同，对比双层无序双石墨烯体系随W衰减更慢，$W>5$ 后衰减速度$1/t_0$ 不在随W增加，在纵向上我们得到与横向传播同步衰减波。

Figure 13. Quantum oscillation behavior of the probability function $d_1\left(t\right)$ in a disordered bilayer graphene system with boundary disorder. (a) The numerical results of ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ (hollow black points) for different disorder strengths W, compared with fitted functions.(b) The FFT spectrum of the quantum oscillation ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ .(c) A linear fit (dashed line) of the numerical results of $-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$ (hollow points), with the fitting function $-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)=a+t/t_0$, where ${\overline{d}}_{1\max }^2\left(t\right)$ represents the peaks of the quantum oscillation ${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ . The fitting parameters a、$t_0$ are consistent with those in $p_1\left(t\right)$

图13. 双层边界无序石墨烯概率函数$d_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a)不同无序度W对应${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 数值结果(黑色空心点)及函数拟合对比。(b)${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 量子振荡FFT频谱图。(c)$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$数值结果(空心点)线性拟合(虚线)，拟合函数$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)=a+t/t_0$，${\overline{d}}_{1\max }^2\left(t\right)$ 为${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 量子振荡波峰，拟合参数a、$t_0$ 与$p_1\left(t\right)$ 一致

图13为边界无序双层石墨烯$d_1\left(t\right)$ 量子振荡行为。(a)图为$0\le t\le 100$ 时段内${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 拟合细节，与$p_1\left(t\right)$ 结论相同，${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ 振荡包含周期性振荡(波包到达边界前)和周期性衰减振荡(波包到达边界后)两部分，拟合函数分别为${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=0.5+0.5\cos \left(2ut\right)$ (蓝色)，${\overline{d}}_1^2\left(t\right)=0.5+0.5{\text{e}}^{-t/t_0}\cos \left(2vt+\varphi \right)$ (红色)，参数$t_0$ ，v，$\varphi$ 及拟合时段的选取与$p_1\left(t\right)$ 一致。(b)为$0\le t\le 500$ 时段内${\overline{d}}_1^2\left(t\right)$ FFT变换结果，右侧为FFT振幅0.03至0.04范围放大细节，图形显示$W\ge 5$ 信号值随W升高，与$p_1\left(t\right)$ 振荡规律相同，单频信号强无序下($W=10$ )始终存在。图(c)表示$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)$随t关系，空心点为数值结果，虚线为函数$-\ln \left(2{\overline{d}}_{1\text{max}}^2-1\right)=a+t/t_0$拟合结果，参数a、$t_0$ 选取与$p_1\left(t\right)$ 振荡一致。

4. 总结

本文从单粒子紧束缚哈密顿量出发，研究二维耦合体系量子扩散行为。运用解析及数值的方法证实，在任意周期或相同非周期二维耦合体系中，波包横向与纵向传播为同步周期性量子振荡行为，频率由层间耦合强度决定。研究结果显示对于无关联、无相互作用的二维无序耦合体系量子扩散周期性振荡呈指数衰减，类似于经典欠阻尼振荡行为。周期性衰减速度受格点能调控，强无序下周期性振荡消失。若无序仅存在于边界，内部周期结构使得周期性振荡持续存在，强无序下出现无序越大周期性衰减越慢的反常量子扩散现象。我们可以将这种双层耦合体系类比为一个双原子分子，各层找到粒子概率的周期性振荡，类似于电子动力学中电子在双原子分子内部两原子间的局部振荡。然而我们研究的独特之处在于，二维耦合体系周期性振荡频率及传播宽度可分别由层间耦合能及层内格点能独立调节。

基金项目

本文章由贵州省教育厅高等学校自然科学研究项目(青年科技人才成长项目)，项目号：黔教技[2024]178号，贵州商学院校级科研课题学生项目(项目编号[2023ZKX007])支持。