纳米流体热毛细对流流型结构及换热机理研究

Study on the Flow Pattern Structure and Heat Transfer Mechanism of Nanofluid Thermocapillary Convection

摘要: 为了揭示纳米流体热毛细对流的流型结构及其流动换热特性，本文建立了二维矩形区域内纳米流体热毛细对流的数学模型，开展了系统数值研究，获得了矩形腔内热毛细对流的温度场和速度场，分析了传热温差、纳米颗粒的体积分数以及不同材料的米颗粒对热毛细对流的影响。结果表明，在一定范围内，增大传热温差和纳米颗粒的体积分数都可以增大热毛细对流的强度，提升换热强度；当传热温差较大时，矩形腔内会出现扰动，流动变得复杂；纳米流体的换热强弱与Marangoni数的大小呈正相关。

Abstract: To reveal the flow pattern structure and flow heat transfer characteristics of nanofluid thermocapillary convection, this article establishes a mathematical model of nanofluid thermocapillary convection in a two-dimensional rectangular region, conducts systematic numerical research, obtains the temperature and velocity fields of thermocapillary convection in a rectangular cavity, and analyzes the effects of heat transfer temperature difference, volume fraction of nanoparticles, and different materials of rice particles on thermocapillary convection. The results indicate that within a certain range, increasing the heat transfer temperature difference and the volume fraction of nanoparticles can enhance the strength of thermocapillary convection and improve heat transfer intensity. When the heat transfer temperature difference is large, disturbances will occur inside the rectangular cavity, and the flow becomes more complex. The heat transfer strength of nanofluids is positively correlated with the Marangoni number.

1. 引言

热毛细对流广泛存在于镀膜、晶体生长等领域，矩形液池内热毛细对流的形成如图1所示，当左、右两壁面温度分别为T_h和T_c不变，且$T_h>T_c$ ，在气液交界处，表面张力在高温壁面处较大，这时液体区域中就会形成如图所示的流动—热毛细对流。1995年，Choi等人[1]提出了具有导热系数高、同时又均匀稳定的纳米流体介质。

Figure 1. Schematic diagram of thermocapillary convection

图1. 热毛细对流示意图

1855年，James Thomson [2]通过研究酒泪现象，最早提到了表面张力驱动这一概念。不久后，Carlo Marangoni详尽地研究并解释了表面张力梯度驱动背后的流动机理，他的报道对后来学者的研究意义非凡，因此“表面张力梯度驱动流动”也被称为Marangoni对流。

1901年，Benard [3]进行了对底部加热的浅液池流动实验，发现当液池的上、下表面的温度较小时，流体几乎静止；液池上、下表面的温度梯度超过某一临界值后，液体中会出现一些六角形对流涡胞。1956年，Block [4]提出六角形对流涡胞的形成原因可能是表面张力。1958年，Pearson [5]证明了六角形对流涡胞是由表面张力所驱动的，且这个对流涡胞不同于与Benard所做实验中浮力引起的自然对流，他提出液体的一个表面是自由表面，是形成表面张力驱动流的必要条件。1964年，Nield [6]对比和分析了Benard等的研究后发现：液池的厚度较小时，表面张力梯度驱动的流体运动影响较大；液层厚度增大后，密度不同引起的自然对流影响较大，导致流动产生不稳定性；液层厚度居中时，两种作用共同存在。周小明等[7]三维数值研究了环形液池内双层流体热毛细浮力对流的流动特性，发现上、下层流体热毛细浮力对流的流动结构依赖于液池深径比的大小，并且热毛细对流的振荡周期随着深径比的减小逐渐减小。张利等[8]发现，热毛细对流和表面蒸发相互耦合、相互影响。刘佳[9]研究了双向温度梯度作用下的浮力-热毛细对流现象。关于热毛细对流的基本流动形态。Zebib等[10]在忽略边界层和表面变形、不考虑浮力的情况下，通过实验获得了矩形腔内部热毛细对流的基本流动形态。Ben Hadid [11]在不考虑重力情况下实验发现，当流体的水平温度梯度与矩形的宽深比都较大时，热毛细对流会变得复杂。Schwabe [12]和Wuest [13]实验时均观察到了热毛细对流涡胞的存在。Garcimartin [14]实验发现了一种与前人对平行流线稳定性分析得到的热力流体波机制不同的波动。Velten [15]进行的热毛细对流实验发现，对不同Pr数的流体，不同的几何尺度比，热毛细对流的临界Marangoni数不同。关于热毛细对流的不稳定性现象，周小明等[16]研究了在双层流体的环形液池中内外壁温差加热下的热毛细对流不稳定性，发现流体的流动受Marangoni效应和浮力效应的影响，并且随着温差的增大，热毛细对流的振荡逐渐增强。马力[17]等研究了双向温度梯度下环形浅液池内的硅熔体的Marangoni-热毛细对流的不稳定性。

因此，本文的目的是研究纳米流体热毛细对流现象的流动和换热特性并确定流型结构，得到了二维矩形腔内热毛细对流的温度场和速度场，揭示了传热温差、纳米颗粒的体积分数以及不同材料的纳米颗粒对热毛细对流的影响。

2. 物理数学模型

矩形腔物理模型如图2所示，其为一个长8 cm和高为10 mm的二维矩形液层。左、右边界分别维持恒定的温度为T_c和T_h，且$T_h>T_c$ ，上表面为自由表面，自由表面和底面为绝热。初始时流体处于静止。矩形上、下边界绝热，左、右边界温度分别维持在T_c和T_h，且$T_h>T_c$ 。研究区域内流体流动的控制方程如下：

Figure 2. Physical model

图2. 物理模型示意图

连续性方程：

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$ (1)

x方向动量方程：

$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{{\rho }_{nf}}\frac{\partial p}{\partial x}+{\nu }_{nf}\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$ (2)

y方向动量方程：

$u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{{\rho }_{nf}}\frac{\partial p}{\partial y}+{\nu }_{nf}\left(\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}\right)+\frac{{\left(\rho \beta \right)}_{nf}g\left(T-T_c\right)}{{\rho }_{nf}}$ (3)

能量方程：

$u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}={\alpha }_{nf}\left(\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}\right)$ (4)

式中：T——温度[K]；u——x方向速度[m/s]；v——y方向速度[m/s]；$\rho$ ——密度[kg/m³]；$\nu$ ——运动粘度[m²/s]；$\alpha$ ——导温系数[m²/s]；$\beta$ ——热膨胀系数[K⁻¹]；g——重力加速度[m/s²]。下标nf表示纳米流体的物性参数。

2.1. 边界条件

矩形腔的左、右边界分别维持恒定的温度为T_c和T_h，且$T_h>T_c$ ，上表面为自由表面，自由表面和底面为绝热。

自由表面：

$\lambda \frac{\partial T}{\partial y}=\alpha \left(T-T_f\right)$ (5)

底面：

$u=v=0$ (6)

左边界：

$u=v=0,T=T_c$ (7)

右边界：

$u=v=0,T=T_h$ (8)

2.2. 纳米流体物性参数

将纳米流体混合两相流处理为单相流体，其密度${\rho }_{nf}$ 、比热容$c_{nf}$ 和热膨胀系数${\beta }_{nf}$ 可分别按下式计算：

${\rho }_{nf}=\phi {\rho }_p+\left(1-\phi \right){\rho }_f$ (9)

${\rho }_{nf}{c}_{nf}=\phi {\rho }_p{c}_p+\left(1-\phi \right){\rho }_f{c}_f$ (10)

${\rho }_{nf}{\beta }_{nf}=\phi {\rho }_p{\beta }_p+\left(1-\phi \right){\rho }_f{\beta }_f$ (11)

式中，f表示悬浮于基液的纳米颗粒的体积分数，下标p表示纳米颗粒，下标f表示纳米颗粒，下标nf表示纳米流体。

本文使用的双组分混合物的导热系数的一种通用规范是由Hamilton等[18]发展而得，他们提出

$\frac{k_{nf}\left(\phi \right)}{k_f}=\frac{\left(n-1\right)\left(1-\phi \right)k_f+\left(n\phi +1-\phi \right)k_p}{k_p\left(1-\phi \right)+\left(n-1+\phi \right)k_f}$ (12)

对于导热系数为$k_f$ 的基础流体，该基础流体包含具有球形度n和导热系数$k_p$ 的悬浮纳米颗粒。该规范扩展了经典的麦克斯韦有效热导率模型，加入了对纳米颗粒形状的依赖，以其球形指数n的值为特征。具体来说，n = 3描述了近似球形的纳米颗粒，n = 6描述了棒状纳米颗粒，中间值n描述了纳米颗粒偏离球形几何形状的程度。本文中对不同材料的纳米颗粒的n均取值4作简化处理。

对于纳米流体的有效动态粘度。本文采用的模型由Brinkman [19]提出,

${\mu }_{nf}\left(\phi \right)={\mu }_f{\left(1-\phi \right)}^{-\frac{5}{2}}$ (13)

其中${\mu }_f$ 为基液的动力粘度，$\phi$ 为悬浮纳米粒子的体积分数。

纳米流体由硅油和纳米颗粒组成，其热物性如表1所示。

Table 1. Physical properties of nanoparticles and base liquid

表1. 纳米粒子和基液物性参数

热物理参数 基液和纳米颗粒	$\rho$ (kg/m^3)	$c_p$ (J/kg∙K)	$\lambda$ (W/(m∙K))	$\mu$ (m^2/s)	$\beta$ (1/K)	${\gamma }_T$ (N/m∙K)
硅油	950	1630	0.14	1.9 × 10^−6	0.00107	−6.23 × 10^−5
氧化铝	3880	773	36	/	/	/
铜	8978	381	387.6
碳	1600	796	3000

我们结合表面换热系数h，无量纲数Marangoni数作为判别矩形腔内换热效果的依据，表达式如下，

$h=\frac{\lambda }{\Delta T}\frac{\partial T}{\partial x}$ (14)

$Ma=-\frac{{\gamma }_{T}L\Delta T}{\mu \kappa }$ (15)

式中，其中$\lambda$ ——导热系数[W/(m²∙K)]，${\gamma }_T$ ——表面张力系数[N/m/K]，$\mu$ ——动力粘度[Pa∙s]，$\kappa$ ——导温系数[m²/s]。无量纲数Marangoni数表征热毛细效应与黏性力之比。

3. 计算结果

这部分内容介绍热毛细对流现象随着左右边界温差的不同，从不明显到明显的过程，以及不同温差下的热毛细对流的流动和传热特性。

Figure 3. Flow and heat transfer characteristics inside rectangular cavity under different temperature differences

图3. 不同温差下矩形腔内的流动和传热特性

图3显示了为硅油/氧化铝纳米流体在左、右边界不同温差下，矩形腔内的流动和传热特性，其中红色线表示温度等值线，彩色表示温度云图，箭头表速度矢量。由这三幅图可知，当温差非常低为0.001 K时，温度场与速度场几乎不耦合，温度从左到右几乎直线上升，则热量几乎是以水平方向从高温左边界向低温右边界传递的，说明此时传热是以热传导为主；当温差进一步增大时，温度不再直线下降，可以清晰地看到流动引起的等温线对流；当温差较大(图4(c)中为2 K)时，温度场与速度场之间的物理场耦合清晰可见，在冷热壁面附近的薄边界层内保持着垂直，这说明此时在冷热壁面附近的薄边界层内的换热仍以热传导形式进行，但在矩形腔内的大部分地方等温线近乎水平，说明在整个矩形腔内的换热以热对流为主。

图4为硅油/氧化铝纳米流体在不同温差下，矩形腔内的速度云图，左右边界温差分别为0.001 K、0.05 K和2 K，左边界温度不变，其中流线表示速度场，表面为速度云图。由这三幅图可知，当左右边界温差非常低为0.001 K时，纳米流体在矩形腔内的流动速度很小，速度大的区域位于自由上边界的中间位置处；当温差进一步增大为0.05 K时，由表面张力驱动的热毛细流动开始变得明显，矩形腔内的流体流动速度变大，且作为驱动流的上半区域的流体流动速度大于下半区域；当温差较大为2 K时，矩形腔内的流体流动的速度峰值变得更大，且速度大的区域位于自由上边界的左、右两端，这两处为热毛细对流现象比较强烈的地方。这部分主要介绍在热毛细对流现象已经比较明显的情况下，矩形腔内的左、右边界温差的不同对纳米流体流动和传热的影响，其中纳米流体中的材料为氧化铝，纳米颗粒的体积分数为0.05。

Figure 4. Velocity cloud map inside rectangular cavity under different temperature differences

图4. 不同温差下矩形腔内的速度云图

通过图6可以看出，由矩形腔内水平中心线上的温度分布图不能直观地看出左右边界温差对传热效果的影响，为了便于分析和比较，特将温度这一参数无量纲化，结合矩形腔内水平中心线上的无量纲温度分布图来一起分析。

图5~7分别给出了硅油/氧化铝纳米流体在不同温差下，矩形腔内水平中心线上的速度分布、温度分布和无量纲温度，左右边界温差分别为1 K、3 K和5 K。由这三张图可以得出，1) 热毛细对流基本流动特性：在水平中心线靠近两边界处，纳米流体的流体流动速度较大，温度的变化幅度较大。据此分析，由自由表面张力驱动的热毛细对流在该处的流动速度较大，从而增大了对流热交换效率。这样也可以解释在水平中心线上靠近左边界处，温度存在先升后降的情况，该处由于流动速度较大导致对流热交换效率高于其他地方，因此温度较高。2) 左右边界温差的影响：随着温差的增大，水平中心线上速度整体变大，水平中心线上靠近两边界处的速度峰值增大，说明增大矩形腔左、右边界的温差可以强化流体的内部流动；同时随着温差的增大，水平中心线上靠近两边界处，温升变快，说明此处的对流换热效果变强。

Figure 5. Velocity distribution on the horizontal centerline inside a rectangular cavity under different temperature differences

图5. 不同温差下矩形腔内水平中心线上速度分布

Figure 6. Temperature distribution on the horizontal centerline inside a rectangular cavity under different temperature differences

图6. 不同温差下矩形腔内水平中心线上温度分布

Figure 7. Non-dimensional temperature distribution on the horizontal centerline of a rectangular cavity under different temperature differences

图7. 不同温差下矩形腔内水平中心线上无量纲温度分布

图8给出了硅油/氧化铝纳米流体在不同温差下，矩形腔右边界上的表面传热系数分布，可以看出，1) 随着y的增大，右边界上的表面传热系数逐渐减小，说明右边界处纳米流体的对流换热强度越靠近自由边界变得越小，这种情况可以用热边界层效应解释，即在矩形腔区域内的纳米流体环流中，由左边界(冷边界)过来的冷流体扫掠过右边界(热边界)时，会发生对流换热，换热区域集中在一个厚度随y值不断增大的温度边界层中。且已经计算得右边界上的流体均处于层流状态，在其他条件不变的情况下，热边界层厚度增大，则对流换热效率下降。2) 随着左右边界温差的增大，右边界上的表面传热系数变大，即增大左右边界温差可以强化纳米流体的热毛细对流换热效率。

Figure 8. Distribution of heat transfer coefficient on the upper surface of the right boundary of the rectangular cavity under different temperature differences

图8. 不同温差下矩形腔右边界上表面传热系数分布

Figure 9. Flow function diagram of rectangular cavity under different temperature differences

图9. 不同温差下矩形腔内流函数图

图9给出了硅油/氧化铝纳米流体在不同温差的流动和传热特性，可以看出，当矩形腔左右边界的温差变得更大(如5 K)时，右边界(热边界)附近将首先出现扰动，并在右边界形成一个新的对流涡胞；随着温差的继续增大，对流涡胞不断增大并向流体内部扩散，结合Garcimartin [14]的分析，认为这种现象是由右边界的热边界层效应引起的，热液不稳定性和垂直边界层不稳定性使矩形腔内热边界层附近出现扰动，这种扰动随后被拖拽，进而顺延放大。这部分研究在不同体积分数下，矩形腔内的流动和传热特性，其中纳米颗粒为氧化铝，矩形腔左右边界的温差为3 K。表2给出了不同体积分数下，硅油/氧化铝纳米流体的热物性参数。

Table 2. Thermal properties parameters of silicone oil/alumina nanofluid

表2. 硅油/氧化铝纳米流体的热物性参数

硅油/氧化铝纳米流体	$\rho$ (kg/m^3)	$c_p$ (J/kg∙K)	$\lambda$ (W/ (m∙K))	$\nu$ (m^2/s)	$\mu$ (Pa∙s)
0%	950	1630	0.14	1.90 × 10^−^6	0.001805
1%	979.3	1596	0.1456	1.94 × 10^−^6	0.001908
2%	1008.6	1564.1	0.1512	1.99 × 10^−^6	0.002015
5%	1096.5	1478.4	0.169	2.10 × 10^−^6	0.002245
10%	1243	1362.5	0.2012	2.15 × 10^−^6	0.002368
15%	1389.5	1271	0.237	2.47 × 10^−^6	0.003073

图10、图11分别给出了硅油/氧化铝纳米流体在矩形腔内水平中心线上左边界附近的温度和速度分布，纳米颗粒的体积分数分别为0、0.02和0.05。在靠近壁面处，由于流体的粘滞力大，壁面附近流动速度为0，静止不动。从图7中可以看出，在左右边界温差相同的情况下，随着体积分数的增大，纳米流体的温度在水平中心线上的分布更加均匀，说明纳米流体在矩形腔内部的换热特性增强。其原因是：1) 随着体积分数的增大，纳米流体的有效导热系数增大；2) 从图11中可以看出，随着体积分数的增大，水平中心线上速度的峰值变大，这说明纳米颗粒的运动增强，使得纳米颗粒和基液之间的相互作用增强，从而使纳米流体内部热交换率增强，因此强化了纳米流体的换热特性。

Figure 10. Temperature distribution near the left boundary of the horizontal centerline within a rectangular cavity at different volume fractions

图10. 不同体积分数下矩形腔内水平中心线上左边界附近的温度分布

Figure 11. Velocity distribution near the left boundary of the horizontal centerline within a rectangular cavity at different volume fractions

图11. 不同体积分数下矩形腔内水平中心线上左边界附近的速度分布

图12、图13分别给出了硅油/氧化铝纳米流体在矩形腔内水平中心线上左边界附近的温度峰值和速度峰值变化。可以注意到，当纳米颗粒的体积分数进一步增大时(≥0.05)，纳米流体在中心线上的温度分布更加均匀，纳米流体的换热特性进一步增强；但是水平中心线上y方向速度的峰值变小。原因主要为：1) 由式(13)可知，随着体积分数的增大，纳米流体的动力粘度增大从而减缓了纳米流体的流动，纳米流体速度峰值减小；2) 由式(12)可知，随着体积分数的增大，纳米流体的有效导热系数增大，导热系数增大对传热的增强效果大于动力粘度增大、流动减缓对传热的弱化效果，整体上依然是纳米流体的换热效果增强。

Figure 12. Temperature peak variation near the left boundary of the horizontal centerline within a rectangular cavity at different volume fractions

图12. 不同体积分数下矩形腔内水平中心线上左边界附近的温度峰值变化

图14给出了不同体积分数下矩形腔内的流函数图，纳米颗粒的体积分数分别为0、0.1和0.2。从图中我们可以看出，提升纳米颗粒的体积分数，纳米颗粒的热毛细对流强度增加；先前由热边界效应引起的矩形右上角的对流涡胞逐渐消失，这说明矩形腔内热毛细对流的稳定性增加，分析是随着纳米颗粒体积分数的增加，纳米流体的粘度增加，雷诺数减小，对流的稳定性变大。这部分研究在不同纳米颗粒的情况下，矩形腔内部的流动和传热特性，其中纳米颗粒的体积分数均为0.04，矩形腔左右边界的温差为3 K。表3给出了不同纳米流体的物性参数。

Figure 13. Peak velocity variation near the left boundary of the horizontal centerline within a rectangular cavity at different volume fractions

图13. 不同体积分数下矩形腔内水平中心线上左边界附近的速度峰值变化

Figure 14. Flow function diagram of rectangular cavity under different volume fractions

图14. 不同体积分数下矩形腔内的流函数图

Table 3. Physical property parameters of different nanofluids

表3. 不同纳米流体的物性参数

	$\rho$ (kg/m^3)	$c_p$ (J/kg∙K)	$\lambda$ (W/m∙K)	$\nu$ (m^2/s)	$\mu$ (Pa∙s)	Ma
硅油/氧化铝纳米流体	1067.2	1505.4	0.1629	2.1 × 10^−^6	0.002245	65,642
硅油/铜纳米流体	1271.1	1277.1	0.1632	2.1 × 10^−^6	0.002674	55,574
硅油/碳纳米流体	976	1575.3	0.1633	2.1 × 10^−^6	0.002053	68,537

图15为不同材料下二维矩形液层表面的流函数图，在同样是硅油基液中的纳米颗粒分别为氧化铝、铜和碳。由这三幅图可以看出在纳米颗粒体积分数不大的情况下，硅油/碳纳米流体的热毛细对流最强烈，依次是硅油/氧化铝纳米流体和硅油/铜纳米流体。

Figure 15. Flow function diagram of rectangular cavity under different materials

图15. 不同材料下矩形腔内的流函数图

图16给出了不同材料下矩形腔内右边界表面x的分布情况，图上的水平轴代表二维矩形液层的y轴正方向，可见在右边界越靠近自由表面处对流换热系数越来越小，说明换热强度越小；对比三种不同材料，硅油/碳纳米流体的对流换热系数最大，依次是硅油/氧化铝纳米流体、硅油/铜纳米流体。表明在矩形腔的右边界处，硅油/碳纳米流体的换热效果最好，这与由温度分布得出的结论一致。同时，对比单相化处理之后纳米流体的物性参数，发现纳米流体的换热效果与流体的Marangoni数成正相关，即随着Marangoni数的增大，纳米流体的换热效果增强，这与之前学者的研究结论相符合。

Figure 16. Convective heat transfer coefficient on the upper surface of the right boundary of a rectangular cavity under different materials

图16. 不同材料下矩形腔右边界上表面对流换热系数

4. 结论

本文数值研究了矩形腔内纳米流体的对流和换热特性，分析了不同温差、不同纳米颗粒的体积分数和不同纳米颗粒材料对热毛细对流换热的影响，主要结论如下：

(1) 增大矩形腔左、右边界的温差可以强化纳米流体热毛细对流的内部流动，继而强化矩形腔内部的对流换热；

(2) 随着纳米颗粒体积分数的增加，纳米流体的粘度增加，雷诺数减小，热毛细对流的稳定性变大；

(3) 纳米颗粒为碳的纳米流体传热效果最好，其次是纳米颗粒为铝的纳米流体，最后是纳米颗粒为铜的纳米流体。

基金项目

江苏省特检院科技计划项目(KJ(Y)202409)。

NOTES

^*通讯作者。