基柱为A₆的旗传递2-设计

Flag-Transitive 2-Designs with Socle A₆

摘要: 2-设计是一个点–区关联结构，使得每个区组与相同个数的点关联，而且任意两个点都与相同个数的区组关联。如果2-设计的自同构群在旗集合上传递，则称该自同构群是旗传递的。本文分类了基柱为交错群$A_6$ 的旗传递2-设计，得到18个两两不同构的2-设计，并决定了其对应的旗传递自同构群。

Abstract: A 2-design is point-block incidence structure, such that any block is incident with a constant number of points, and any two points are incident with a constant number of blocks. An automorphism group of a 2-design is said to be flag-transitive, if it acts transitively on the flag set of this design. In this paper, we classify the flag-transitive 2-designs with socle $A_6$ . We obtain 18 pairwise non-isomorphic designs, and determine the corresponding automorphism groups.

1. 引言

区组设计也可称为$\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，简称2-设计，是有限几何与组合数学的重要研究对象之一。一个$\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计是由v个点的集合和中点的k-子集所组成的集合构成(这些k-子集称为区组)，满足性质：中的任意2-子集恰好包含在中的$\lambda$ 个区组中。设计的旗是一个点区对$\left(\alpha ,ℬ\right)$ ，其中$\alpha \in B,B\in ℬ$ 。在一个$\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计中，b表示区组的总数，通过中任意一个点的区组个数是一个常数，记为r。

我们称设计${\mathcal{D}}_1$ 到设计${\mathcal{D}}_2$ 的点集的映射是一个同构，如果这个映射把${\mathcal{D}}_1$ 的区组映射到${\mathcal{D}}_2$ 的区组。设计到自身的同构称为它的自同构。一个设计的所有自同构关于映射乘法作成一个群，称为这个设计的全自同构群，记为$Aut\left(\mathcal{D}\right)$ 。它的任意一个子群G称为$Aut\left(\mathcal{D}\right)$ 的一个自同构群，记为$G\le Aut\left(\mathcal{D}\right)$ 。如果G在上的作用是传递(本原)的，则称G是点传递(点本原)的。如果G在上的作用是传递(本原)的，则称G是区传递(区本原)的。如果自同构群G在的旗的集合上是传递的，那么设计称为旗传递的。

人们对组合设计的研究主要沿着两条路径展开。一条路径是从组合与几何的视角深入探讨组合设计，而另一条路径则专注于研究组合设计的自同构群。我们的研究工作正是归属于后者。值得注意的是，有限群论与组合设计这两个研究领域之间存在着相辅相成的关系。对设计自同构群的研究能够启发我们发现并构造出新颖的设计；反过来，对一个具体设计的研究也能帮助我们更深入地理解其自同构群的抽象结构。

近二十年，人们对于具有特殊传递性的设计自同构群的研究尤为关注，特别是旗传递2-设计的自同构群。关于旗传递2-设计最为经典的结果之一是Kantor [1]和六人小组[2]分类了旗传递的线性空间(即2-$\left(v,k,1\right)$ 设计)。本文主要关注自同构群基柱为$A_n$ 的旗传递2-设计。例如，Delandtsheer [3]分类了旗传递点本原基柱为$A_n$ 的有限线性空间。接着，关、王、朱、周[4] [5]分类了满足$\left(r,\lambda \right)=1$ 的基柱是交错群的旗传递设计。朱，王和周[6]分类了满足$\lambda \ge {\left(r,\lambda \right)}^2$ 且基柱是交错群的旗传递对称2-设计，接着，王、本文的第一作者和周[7]分类了非对称的部分。最近，张、陈和周[8]分类了$\lambda$ 为素数平方且基柱为$A_n$ 的旗传递2-设计。本文的第一作者、陈和周[9]分类了r为素数平方且基柱为$A_n$ 的旗传递2-设计。

本文的研究不限制设计的参数，而是限制自同构群为例外的交错型几乎单群。已知如果一个几乎单群G的基柱是交错群$A_n$ ，除了$n=6$ 的情形外，群G一定是$A_n$ 或$S_n$ 。如果$n=6$ ，则G还可能是$M_{10}$ ，$PGL\left(2,9\right)$ 或$P\Gamma L\left(2,9\right)$ 。我们称这三个群为例外的交错型几乎单群，研究这些例外的群的作用下旗传递设计的分类，为后续的旗传递设计分类工作提供了参考材料。我们给出了基柱为$A_6$ 的所有旗传递设计的分类，主要定理为以下：

定理 设是一个旗传递的$\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，自同构群G的基柱是$A_6$ ，则共有18两两不同构的设计，且设计和自同构群G列在表1中。

2. 预备知识

在本文中，我们使用有限群和置换群中的常用符号，与[10] [11]保持一致。设G是2-设计的一个自同构群，对于点集中的任意一个点$\alpha$ ，记$G_{\alpha }$ 为点$\alpha$ 的点稳定子群。对于区集中的任意区组B，记$G_B$ 为区组B的区稳定子群。设${\Omega }_n=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ ，${\Omega }_n$ 上的交错群记为$Alt\left({\Omega }_n\right)$ (或$A_n$ )，对称群记为$Sym\left({\Omega }_n\right)$ (或$S_n$ )。

Table 1. Designs admitting a flag-transitive automorphism group with socle $A_6$

表1. 所有基柱是$A_6$ 的设计和对应的旗传递自同构群

设计	自同构群
2-(6,2,1)	$A_6,S_6$
2-(6,3,4)	$A_6,S_6$
2-(6,4,6)	$A_6,S_6$
2-(6,5,4)	$A_6,S_6$
2-(10,2,1)	$M_{10},PGL\left(2,9\right),P\Gamma L\left(2,9\right),A_6,S_6$
2-(10,3,4)	$A_6,S_6$
2-(10,3,8)	$M_{10},PGL\left(2,9\right),P\Gamma L\left(2,9\right)$
2-(10,4,2)	$A_6,S_6$
2-(10,4,4)	$M_{10},PGL\left(2,9\right),P\Gamma L\left(2,9\right)$
2-(10,4,24)	$M_{10},PGL\left(2,9\right),P\Gamma L\left(2,9\right)$
2-(10,5,8)	$M_{10},A_6$
2-(10,5,16)	$PGL\left(2,9\right),P\Gamma L\left(2,9\right),S_6$
2-(10,6,5)	$A_6,S_6$
2-(10,6,10)	$M_{10},PGL\left(2,9\right),P\Gamma L\left(2,9\right)$
2-(10,8,28)	$M_{10},PGL\left(2,9\right),P\Gamma L\left(2,9\right)$
2-(10,9,8)	$M_{10},PGL\left(2,9\right),P\Gamma L\left(2,9\right),A_6,S_6$
2-(15,8,4)	$A_6,S_6$
2-(36,8,8)	$P\Gamma L\left(2,9\right)$

下面给出设计及其自同构群的一些引理，它们对于本文的证明起到了基础性的作用，更多关于设计及其自同构群的命题可以参考[12] [13]。首先是设计参数的几个式子：

引理1 设是一个$\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，则下面式子成立：

1) $bk=vr$ ；

2) $\lambda \left(v-1\right)=r\left(k-1\right)$ ；

3) $b\ge v$ (Fisher不等式)，$k\le r$ ；

4) $v\le \lambda v<r^2$ 。

接下来给出设计自同构群的旗传递等价条件：

引理2 设是一个$\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，群G是设计的一个自同构群，对于点集中的任意一个点$\alpha$ 和区集中的任意区组B，则G在上是旗传递的当且仅当下列之一成立：

1) 群G在点集上是传递的，并且在集合上传递，其中为通过点的所有区组；

2) 群G在区集上是传递的，并且在区组B上传递。

设计的旗传递自同构群有以下基础性质：

引理3 设是一个设计且自同构群G是旗传递的，则下列

成立：

1) ；

2) ，其中d表示群G作用在点集上的任一非平凡的次级数。

以下引理给出设计旗传递自同构群关于点稳定子群的立方根的界。

引理4 设是一个2-设计，群G是设计的一个旗传递点本原自同构群，则对于点的点稳定子群有，即。

最后给出两个群论的基础事实：

引理5 设群G是几乎单型本原群且基柱为，则群G为，，，或其中之一。

引理6 设群G是集合上的本原群，对于点集中的任意一个点，则点的点稳定子群是群G的极大子群。

3. 定理的证明

现在我们给出旗传递点本原区组设计构造的具体方法，该方法可使用代数软件包Magma [14]实现，也可用于辅助理论分析，是本文分析自同构群基柱为的旗传递设计的核心工具。首先，给定一个有限群G，找出所有可能以G为旗传递自同构群的设计参数组。其次，对于给定的v个点上的置换群G和参数组，判断是否存在一个以G为旗传递的自同构群且参数为的2-设计。下面给出求参数组和2-设计的具体步骤。

求设计可能参数组的具体步骤：

第一步：对于给定的一个有限群G，找出群G的所有极大子群共轭类的集合，记为M。

第二步：取出M中的符合引理4的极大子群共轭类的一个代表元，记为H，它是G的一个具体的极大子群。计算，将结果记为v，这是群G的一个本原次数，也是在G作用下设计的可能的点数。

第三步：根据引理2、3，我们取的一个正因子，记为r，作为可能存在的设计的给定一个点的关联区组数。在整数区间中取一整数记为k，作为可能存在的设计的区组数。根据引理1，判断是否整除，如果整除，则记为，即可能存在的设计的两点关联区组数。

第四步：根据引理1，判断k是否整除，如果整除，则记为b，即可能存在的设计的区组数。最后得到可能的参数组。

求2-设计的具体步骤：

第一步：对于给定的v个点的集合上的置换群G，及参数组，计算，作为可能的以G为旗传递自同构群设计的区稳定子群的阶。

第二步：找出群G的以为阶的子群共轭类集合。

第三步：取子群共轭类集合中的一个子群共轭类代表元，记为H，作为可能的以G为旗传递自同构群设计的区稳定子群。

第四步：找出H的所有轨道的集合，记为O。取集合O中一个长度为k的元素，记为B，此时，B为设计可能的区组。

第五步：构造关联结构，其中，判断关联结构是否构成一个2-设计。

根据引理5，我们需要处理的群G为，，，和。我们可以从[15]中找出它们的极大子群结构，然后根据以上求设计可能参数组的具体步骤计算出。具体地，我们使用Magma命令MaximalSubgroups(G)输出G的极大子群，然后用M:=MG[i]`subgroup取出一个极大子群共轭类的代表元，记为M，并判定M的阶是否满足引理4，如果满足，则使用v:=#G div #M将M的指数记为可能的设计点数v，接着使用命令for r in Divisors(#M)和k in [2..r]取出可能的r与k，然后利用引理1得到剩下的参数和b。

由于和有相同的阶，而且它们的极大子群均有相同的个数及相同的阶数。因此，我们先针对和计算可能存在的旗传递设计的参数，并列在表2中。

Table 2. Possible parameters corresponding to and

表2. 和对应的可能参数

(36,8,2,45,10)	(10,6,5,15,9)	(10,3,8,120,36)
(36,8,4,90,20)	(10,9,8,10,9)	(10,4,12,90,36)
(36,15,8,48,20)	(10,4,4,30,12)	(10,5,16,72,36)
(45,12,4,60,16)	(10,3,4,60,18)	(10,6,20,60,36)
(10,4,2,15,6)	(10,4,6,45,18)	(10,8,28,45,36)
(10,2,1,45,9)	(10,5,8,36,18)	(10,4,24,180,72)
(10,3,2,30,9)	(10,6,10,30,18)	(10,5,32,144,72)
(10,5,4,18,9)	(10,4,8,60,24)	(10,6,40,120,72)

接下来计算对应的可能存在的旗传递设计的参数，列在表3中。

Table 3. Possible parameters corresponding to

表3. 对应的可能参数

(36,8,2,45,10)	(10,3,2,30,9)	(10,6,10,30,18)
(36,8,4,90,20)	(10,5,4,18,9)	(10,4,8,60,24)
(36,15,8,48,20)	(10,6,5,15,9)	(10,3,8,120,36)
(36,8,8,180,40)	(10,9,8,10,9)	(10,4,12,90,36)
(36,15,16,96,40)	(10,4,4,30,12)	(10,5,16,72,36)
(45,12,4,60,16)	(10,3,4,60,18)	(10,6,20,60,36)
(45,12,8,120,32)	(10,4,6,45,18)	(10,8,28,45,36)
(10,4,2,15,6)	(10,5,8,36,18)	(10,4,16,120,48)
(10,2,1,45,9)	(10,4,24,180,72)	(10,5,32,144,72)
(10,6,40,120,72)

最后，分别计算和对应的可能存在的旗传递设计的参数，列在表4和表5中。

Table 4. Possible parameters corresponding to

表4. 对应的可能参数

(15,8,4,15,8)	(10,4,4,30,12)	(6,2,1,15,5)
(15,8,12,45,24)	(10,3,4,60,18)	(6,3,2,10,5)
(15,8,4,15,8)	(10,4,6,45,18)	(6,5,4,6,5)
(15,8,12,45,24)	(10,5,8,36,18)	(6,3,4,20,10)
(10,4,2,15,6)	(10,6,10,30,18)	(6,4,6,15,10)
(10,2,1,45,9)	(10,3,8,120,36)	(6,2,1,15,5)
(10,3,2,30,9)	(10,4,12,90,36)	(6,3,2,10,5)
(10,5,4,18,9)	(10,5,16,72,36)	(6,5,4,6,5)
(10,6,5,15,9)	(10,6,20,60,36)	(6,3,4,20,10)
(10,9,8,10,9)	(10,8,28,45,36)	(6,4,6,15,10)

Table 5. Possible parameters corresponding to

表5. 对应的可能参数

(15,8,4,15,8)	(10,9,8,10,9)	(10,5,32,144,72)
(15,8,8,30,16)	(10,4,4,30,12)	(10,6,40,120,72)
(15,8,12,45,24)	(10,3,4,60,18)	(6,2,1,15,5)
(15,8,24,90,48)	(10,4,6,45,18)	(6,3,2,10,5)
(15,8,4,15,8)	(10,5,8,36,18)	(6,5,4,6,5)
(15,8,8,30,16)	(10,6,10,30,18)	(6,3,4,20,10)
(15,8,12,45,24)	(10,4,8,60,24)	(6,4,6,15,10)
(15,8,24,90,48)	(10,3,8,120,36)	(6,2,1,15,5)
(10,4,2,15,6)	(10,4,12,90,36)	(6,3,2,10,5)
(10,2,1,45,9)	(10,5,16,72,36)	(6,5,4,6,5)
(10,3,2,30,9)	(10,6,20,60,36)	(6,3,4,20,10)
(10,5,4,18,9)	(10,8,28,45,36)	(6,4,6,15,10)
(10,6,5,15,9)	(10,4,24,180,72)

对于以上五个群的可能存在的旗传递设计的参数组，我们根据求2-设计的具体步骤，针对每一组和群G一一分析，得到所有存在的旗传递2-设计及其自同构群。具体地，利用G:=PrimitiveGroup(x,y)输出点v上的本原群，然后使用gb:=#G div b和GB:=Subgroups(G:OrderEqual:=gb) 得到所有指数为b的子群共轭类，接着用GB1:=GB[i]`subgroup输出一个子群共轭类的代表元，并使用Orbits(GB1)检查其轨道，找出长度为k的轨道O后，记D:=IncidenceStructure<v|O^G>为以该轨道生成的关联结构，利用IsDesign(D,2)判定是否构成一个2-设计。

最后，我们利用Magma的命令IsIsomorphic(D1,D2)验证了对于相同参数的设计，它们是同构的，因此表中每一个参数对应的设计，都在同构意义下是唯一的。我们将所有设计及对应的自同构群列在表1中，作为基柱是的旗传递2-设计的完全分类结果。

基金项目

国家自然科学基金青年基金(No. 12201469)；广东省高校重点领域专项基金(No. 2022ZDZX1034)。

NOTES

^*通讯作者。