一类分数阶中立型时滞神经网络的稳定性

Stability of a Class of Fractional-Order Neutral Time-Delay Neural Networks

摘要: 本文考虑了一类具有时变时滞的分数阶中立型神经网络模型。根据同胚映射原理证明了该系统平衡点的存在唯一性。然后通过构造Lyapunov泛函以及利用Lyapunov稳定性理论，证明了系统渐近稳定的充分条件。

Abstract: In this paper, a class of fractional-order neutral neural network models with time-varying delays was considered. The uniqueness of the existence of the equilibrium point of the system is proved by the principle of homeomorphic mapping. Then, by constructing Lyapunov functional and using Lyapunov stability theory, the sufficient conditions for asymptotic stability of the system are proved.

1. 引言

近年来，随着科技的飞速发展，神经网络模型已经广泛应用在很多智能计算的学科领域上[1] [2]，许多学者指出，分数阶微积分非常适合描述各种材料和过程的记忆性和遗传性[3]。在此基础上，越来越多的学者关注分数阶神经网络模型，研究分析其动力学行为[4] [5]。稳定性问题是动力系统的首要问题。因此，分数阶神经网络系统的稳定性是一个重要的研究领域，近年来取得了一系列有意义的结果[6]-[12]。

目前，关于分数阶神经网络的稳定性分析主要涉及有限时间稳定、全局渐近稳定、Mittag-Leffler稳定等。其中，文献[9]利用分数阶Gronwall不等式，研究了分数阶神经网络的有限时间稳定性问题。文献[10]利用比较原理、不动点定理，研究了在Caputo导数意义下，一类分数阶神经网络的渐近稳定性问题。文献[11]运用Lyapunov泛函方法，研究了Riemann-Liouville分数阶神经网络的渐近稳定性。最近，文献[12]利用同胚映射原理、Lyapunov泛函方法，研究了一类整数阶中立型时滞神经网络模型的渐近稳定性。文献[13]利用压缩映像原理、Lyapunov泛函方法，研究了一类具有分布时滞的分数阶神经网络模型的渐近稳定性。

受上述讨论的启发，我们将一类整数阶神经网络推广到分数阶情形，提出了一类Riemann-Liouville分数阶中立型时滞神经网络，利用同胚映射定理证明了平衡点的存在唯一性，得到了该分数阶神经网络渐近稳定性的一个充分条件。同胚映射定理是常用的、巧妙的证明平衡点的存在唯一性的方法之一。

本文的主要结构如下：在第2节中介绍了Riemann-Liouville导数的定义、性质和一些重要结论。在第3节中，研究证明了平衡点的存在唯一性，同时得到渐近稳定性的一个充分条件。在第4节中，通过一个数值例子来验证主要结果的有效性。最后，给出全文的主要结论。

2. 模型描述与预备知识

2.1. 模型描述

本文考虑了如下分数阶中立型神经网络系统：

${}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }{x}_i\left(t\right)=-a_i{x}_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{j=1}^n{b}_{ij}}{f}_j\left(x_j\left(t\right)\right)+{\displaystyle \sum _{j=1}^n{c}_{ij}}{g}_j\left(x_j\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+{\displaystyle \sum _{j=1}^n{d}_{ij}\left({}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }{x}_i\left(t-\delta \right)\right)}+U_i$ (1)

其中，${}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }{x}_i\left(t\right)$ 表示Riemann-Liouville分数阶导数，$i=1,2,\cdots n,0<\alpha <1$ ，$x_i\left(t\right)$ 表示第$i$ 个神经元在$t$ 时刻的状态，$n$ 为神经元的个数，$A=diag\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ ，常数$a_i>0$ 是神经元的自调节参数，$\tau \left(t\right)$ 是连续的有界时变时滞函数，$0<\tau \left(t\right)\le {\tau }_0<1$ ，连接权重矩阵$B={\left(b_{ij}\right)}_{m\times n},C={\left(c_{ij}\right)}_{m\times n},D=diag\left(d_1,d_2,\cdots ,d_n\right)$ ，$\delta$ 为常数时滞，$U_i$ 表示恒定的外部输入，$f,g$ 表示激活函数，系统(1)的初始条件为：${}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha -1}{x}_i\left(t\right)={\omega }_i\left(t\right),t\in \left[-{\tau }_0,0\right]$ 。

2.2. 预备知识

定义1 函数$y(t)$ 的$p$ 阶Riemann-Liouville分数阶积分为${}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{-p}y\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(p\right)}{\displaystyle {\int }_{t_0}^t{\left(t-s\right)}^{p-1}y\left(s\right)}ds,p>0$ ，其中$\Gamma \left(p\right)$ 表示$Gamma$ 函数，且$\Gamma \left(p\right)={\displaystyle {\int }_{t_0}^{\infty }{t}^{p-1}{e}^{-t}dt}$ 。

定义2 函数$y(t)$ 的$q$ 阶Riemann-Liouville分数阶导数为：

${}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{q}y\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-q\right)}\frac{d^n}{d{t}^n}{\displaystyle {\int }_{t_0}^t{\left(t-s\right)}^{n-q-1}y\left(s\right)}ds,n-1\le q<n\in Z^{+}$ 。

本文给出如下假设与引理：

$A1$ ：假设激活函数$f\left(x\right)$ 、$g\left(x\right)$ 满足$Lipschitz$ 条件，即存在$l_i^1>0,s.t.\Vert f_i\left(u\right)-f_i\left(v\right)\Vert \le l_i^1\left|u-v\right|$ ，$l_j^2>0,s.t.\Vert g_j\left(u\right)-g_j\left(v\right)\Vert \le l_j^2\left|u-v\right|$ 对任意的$u,v\in R,i=1,2,\cdots n$ 。

引理1 [12] 任意向量$x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^T,y={\left(y_1,y_2,\cdots y_n\right)}^T$ 以及任意的常数$p\left(p>0\right)$ ，则下列不等式成立：$\pm 2x^{T}y\le p{x}^{T}x+p^{-1}{y}^{T}y$ 。

引理2 [12] 对任意实数矩阵$A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 和向量$x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^T$ ，有：$x^T{A}^{T}Ax\le {\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i^{~}}{x}_i^2$ ，其中$a_i^{~}={\displaystyle \sum _{j=1}^n|{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_{ki}{a}_{kj}}|},i=1,2,\cdots ,n$ 。

引理3 [12] 设$f(x)$ 为连续函数，且$f$ 是$R^n$ 上的单射，若$\Vert x\Vert \to +\infty$ 时，$\Vert f\left(x\right)\Vert \to +\infty$ ，则$f\left(x\right)$ 为$R^n$ 上的同胚映射。

引理4 [13] 对$\alpha >\beta >0$ ，有以下等式成立：${}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }\left({}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{-\beta }y\left(t\right)\right)={}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha -\beta }y\left(t\right)$ 。

引理5 [13] $y\left(t\right)\in R^n$ 是一个可微的向量函数，则有以下不等式：

${}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }\left(y^T\left(t\right)Py\left(t\right)\right)\le 2y^T\left(t\right)P{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }y\left(t\right)$

3. 主要结果

3.1. 平衡点的存在唯一性

定理1 若激活函数满足条件假设$A1$ ，且存在正数$p_1$ 和$p_2$ ，使得$\phi =\psi -L^2\gamma >0$ ，则系统(1)存在唯一的平衡点，其中：

$\psi =diag\left({\zeta }_1,{\zeta }_2,\cdots ,{\zeta }_n\right),{\zeta }_i=\left(2-p_1-p_2\right)d_i^2,\gamma =diag\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n\right),{\gamma }_i=p_1^{-1}{b}_i^{\sim }+p_2^{-1}{c}_i^{\sim }$

$b_i^{\sim }={\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|{\displaystyle \sum _{k=1}^n{b}_{ki}{b}_{kj}}\right|},c_i^{\sim }={\displaystyle \sum _{j=1}^n\left|{\displaystyle \sum _{k=1}^n{c}_{ki}{c}_{kj}}\right|,}i=1,2,\cdots ,n$

证明：对于系统(1)，写成向量形式为

${}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t\right)=-Ax\left(t\right)+Bf\left(x\left(t\right)\right)+Cg\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+D\left({}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\right)+U$ (2)

假设$x_0={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^T$ 是系统(1)的一个平衡点，则有

$-A{x}_0\left(t\right)+Bf\left(x_0\left(t\right)\right)+Cg\left(x_0\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+U=0$ (3)

定义映射：$\varphi \left(x\right)=-Ax+Bf\left(x\right)+Cf\left(x\right)+U$ 。

下面证明$\varphi (x)$ 是一个单射。对任意的$x,y\in R^n$ ，且$x\ne y$ ，

那么：$\varphi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)=-A\left(x-y\right)+B(f\left(\left(x\right)-f\left(y\right)\right)+C\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)$ 。

在上式两边左乘$2{\left(x-y\right)}^{T}A$ 得到：

$\begin{array}{c}2{\left(x-y\right)}^{T}A\left(\varphi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)\right)=-2{\left(x-y\right)}^{T}AA\left(x-y\right)\\ +2{\left(x-y\right)}^{T}AB\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)+2{\left(x-y\right)}^{T}AC\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)\end{array}$ (4)

由引理1可知：

$-2{\left(x-y\right)}^{T}AA\left(x-y\right)=-2{\left(x-y\right)}^T{A}^2\left(x-y\right)$ (5)

$2{\left(x-y\right)}^{T}AB\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)\le p_1{\left(x-y\right)}^T{A}^2\left(x-y\right)+p_1^{-1}{\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)}^T{B}^{T}B\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)$ (6)

$2{\left(x-y\right)}^{T}AC\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)\le p_2{\left(x-y\right)}^T{A}^2\left(x-y\right)+p_2^{-1}{\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)}^T{C}^{T}C\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)$ (7)

将(5)~(7)式代入(4)式得到：

$2{\left(x-y\right)}^{T}A\left(\varphi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)\right)\le -2{\left(x-y\right)}^T{A}^2\left(x-y\right)+\left(p_1+p_2\right){\left(x-y\right)}^T{A}^2\left(x-y\right)+$

$p_1^{-1}{\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)}^T{B}^{T}B\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)+p_2^{-1}{\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)}^T{C}^{T}C\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)$

由引理2与假设$A1$ 可得：

$2{\left(x-y\right)}^{T}A\left(\varphi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)\right)\le -2{\left(x-y\right)}^T{A}^2\left(x-y\right)+\left(p_1+p_2\right){\left(x-y\right)}^T{A}^2\left(x-y\right)+$

$p_1^{-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{b}_i^{~}}{l}_i^2{\left(x_i-y_i\right)}^2+p_2^{-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{c}_i^{~}}{l}_i^2{\left(x_i-y_i\right)}^2$

$2{\left(x-y\right)}^{T}A\left(\varphi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)\right)\le -{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left[\left(2-p_1-p_2\right)a_i^2-p_1^{-1}{l}_i^2{b}_i^{~}-p_2^{-1}{l}_i^2{c}_i^{~}\right]}{\left(x_i-y_i\right)}^2$

$-{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left[\left(2-p_1-p_2\right)a_i^2-p_1^{-1}{l}_i^2{b}_i^{~}-p_2^{-1}{l}_i^2{c}_i^{~}\right]}{\left(x_i-y_i\right)}^2=-{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left[\left(2-p_1-p_2\right)a_i^2-l_i^2\left(p_1^{-1}{b}_i^{~}+p_2^{-1}{c}_i^{~}\right)\right]}{\left(x_i-y_i\right)}^2$

$=-{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\zeta }_i^{~}-l_i^2{\gamma }_i\right){\left(x_i-y_i\right)}^2}=-{\left(x-y\right)}^T\left(\psi -L^2\gamma \right)\left(x-y\right)=-{\left(x-y\right)}^T\phi \left(x-y\right)$

所以，$2{\left(x-y\right)}^{T}A\left(\varphi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)\right)\le -{\left(x-y\right)}^T\phi \left(x-y\right)$ ，由于$\phi =\psi -L^2\gamma >0$ ，那么对于任意的$x\ne y$ ，都有$\varphi \left(x\right)\ne \varphi \left(y\right)$ ，即$\varphi \left(x\right)$ 是一个单射。

另外，在上述证明过程中令$y=0$ ，则有：$2x^{T}A\left(\varphi \left(x\right)-\varphi \left(0\right)\right)\le -x^T\phi x\le -{\lambda }_{\min }\left(\phi \right)x^{T}x\le -{\lambda }_{\min }\left(\phi \right){\Vert x\Vert }^2$ ，由$Schwarz$ 不等式可知：

$2\Vert x^T\Vert \Vert A\Vert \Vert \varphi \left(x\right)-\varphi (0)\Vert \ge {\lambda }_{\min }\left(\phi \right){\Vert x\Vert }^2$

当$\Vert x\Vert \ne 0$ 时，$\Vert \varphi \left(x\right)-\varphi \left(0\right)\Vert \ge \frac{{\lambda }_{\min }\left(\phi \right)\Vert x\Vert }{2\Vert A\Vert }$ 。

那么$\Vert x\Vert \to +\infty$ 时，$\Vert \varphi \left(x\right)\Vert \to +\infty$ ，所以$\varphi \left(x\right)$ 是一个同胚映射。

由上述证明与引理3可得，$\varphi (x)$ 是同胚映射，由同胚映射定理知，系统(1)存在唯一的平衡点。

3.2. 渐近稳定性

定理2 假设条件$A1$ 与定理1成立，若存在正定矩阵$P$ 、$Q$ 、$R$ ，使得以下不等式成立，

$\Omega =\left[\begin{array}{cccc}-2PA+L_2^{T}Q{L}_2& \left(PB+L_1^{T}P{L}_{1}B\right)& PC& PD\\ *& -2P{L}_{1}A\left(L_1^{-1}\right)& P{L}_{1}C& P{L}_{1}D\\ *& *& -Q& 0\\ *& *& *& -R\end{array}\right]<0$ (8)

则系统(1)的解是渐近稳定的。其中，$L_1=\text{diag}\left[l_1^1,l_2^1,\cdots ,l_n^1\right],L_2=diag\left[l_1^2,l_2^2,\cdots ,l_n^2\right]$ 。

证明：构造$Lyapunov$ 泛函$V\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^4{V}_i\left(t\right)}$ ，其中：

$V_1\left(t\right)={}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha -1}{x}^T\left(t\right)Px\left(t\right)$ ，$V_2\left(t\right)={}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha -1}{f}^T\left(x\left(t\right)\right)Pf\left(x\left(t\right)\right)$

$V_3\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{t-\tau (t)}^t{g}^T}\left(x\left(s\right)\right)Qg\left(x\left(s\right)\right)ds$ ，$V_4\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{\delta }^t{\left({}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\right)}^{T}R{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)}dt$

对$V\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^4{V}_i\left(t\right)}$ 求导，并且由引理4、5可得：

${V^{\prime }}_1\left(t\right)={}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }{x}^T\left(t\right)Px\left(t\right)\le 2x^T\left(t\right)P{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t\right)$

$=-2x^T\left(t\right)PAx\left(t\right)+2x^T\left(t\right)PBf\left(x\left(t\right)\right)+2x^T\left(t\right)PCg\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+2x^T\left(t\right)PD{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)$ (9)

${V^{\prime }}_2\left(t\right)={}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }{f}^T\left(x\left(t\right)\right)Pf\left(x\left(t\right)\right)\le 2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }f\left(x\left(t\right)\right)$

$\begin{array}{l}\le -2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{L}_{1}Ax\left(t\right)+2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{L}_{1}Bf\left(x\left(t\right)\right)+\\ 2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{L}_{1}Cg\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{L}_{1}D{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\end{array}$ (10)

${V^{\prime }}_3\left(t\right)=g^T\left(x\left(t\right)\right)Qg\left(x\left(t\right)\right)-g^T\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)Qg\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)$ (11)

${V^{\prime }}_4\left(t\right)={\left({}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\right)}^{T}R{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)$ (12)

根据上述(9)~(12)式有：

$\begin{array}{l}{V}^{\prime }\left(t\right)={V^{\prime }}_1\left(t\right)+{V^{\prime }}_2\left(t\right)+{V^{\prime }}_3\left(t\right)+{V^{\prime }}_4\left(t\right)\\ \le -2x^T\left(t\right)PAx\left(t\right)+2x^T\left(t\right)PBf\left(x\left(t\right)\right)+2x^T\left(t\right)PCg\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+2x^T\left(t\right)PD{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)-\\ 2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{L}_{1}Ax\left(t\right)+2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{L}_{1}Bf\left(x\left(t\right)\right)+2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{L}_{1}Cg\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{L}_{1}D{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)+\\ g^T\left(x\left(t\right)\right)Qg\left(x\left(t\right)\right)-g^T\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)Qg\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)-{\left({}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\right)}^{T}R{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\end{array}$

由假设$A1$ 激活函数$f\left(x\right)$ 、$g\left(x\right)$ 满足$Lipschitz$ 条件，所以有：

$\begin{array}{l}{V}^{\prime }\left(t\right)={V^{\prime }}_1\left(t\right)+{V^{\prime }}_2\left(t\right)+{V^{\prime }}_3\left(t\right)+{V^{\prime }}_4\left(t\right)\\ \le -x^T\left(t\right)\left(2PA-L_2^{T}Q{L}_2\right)x\left(t\right)+x^T\left(t\right)\left(2PB+2L_1^{T}P{L}_{1}B\right)f\left(x\left(t\right)\right)+x^T\left(t\right)\left(2PC\right)g\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+\\ x^T\left(t\right)\left(2PD\right){}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)-2f^T\left(x\left(t\right)\right)P{L}_{1}A\left(L_1^{-1}\right)f\left(x\left(t\right)\right)+f^T\left(x\left(t\right)\right)\left(2P{L}_{1}C\right)g\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+\\ f^T\left(x\left(t\right)\right)\left(2P{L}_{1}D\right){}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)-g^T\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)Qg\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)-{\left({}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\right)}^{T}R{}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\end{array}$

$={\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ f\left(x\left(t\right)\right)\\ g\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\\ {}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cccc}-2PA+L_2^{T}Q{L}_2& \left(PB+L_1^{T}P{L}_{1}B\right)& PC& PD\\ *& -2P{L}_{1}A\left(L_1^{-1}\right)& P{L}_{1}C& P{L}_{1}D\\ *& *& -Q& 0\\ *& *& *& -R\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ f\left(x\left(t\right)\right)\\ g\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\\ {}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\end{array}\right]$

根据公式(8)，可以得到$V{\left(t\right)}^{\prime }<0$ ，因此系统(1)的解是渐近稳定的。

4. 数值例子

例1考虑如下的二维中立型神经网络模型：

${}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t\right)=-Ax\left(t\right)+Bf\left(x\left(t\right)\right)+Cg\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+D\left({}_{t_0}{}^{RL}D{}_t^{\alpha }x\left(t-\delta \right)\right)+U$ (13)

其中，$\alpha \in \left(0,1\right),x\left(t\right)={\left(\cos \left(x_1\left(t\right)\right),\cos \left(x_2\left(t\right)\right)\right)}^T$ ，$U={\left(0,0\right)}^T$ 。

$f\left(x\left(t\right)\right)=(2\cos \left(x_1\left(t\right)\right),2\cos {\left(x_2\left(t\right)\right)}^T$ ，$g\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)={\left(\frac{1}{2}\cos \left(x_1\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right),\frac{1}{2}\cos \left(x_2\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\right)}^T$ 。

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$

则$l_i^1=l_j^2=1$ $\left(i=1,2,j=1,2\right)$ ，那么$L_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],L_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 。

解$LMI$ 得可行解：

$P=\left[\begin{array}{cc}0.2027& -0.0148\\ -0.0148& 0.2321\end{array}\right],Q=\left[\begin{array}{cc}0.5466& 0.0695\\ 0.0695& 0.5723\end{array}\right],R=\left[\begin{array}{cc}1.0392& -0.0305\\ -0.0305& 1.0459\end{array}\right]$

根据定理2可知，神经网络模型(13)是渐近稳定的。

5. 结语

本文研究一类分数阶时滞中立型神经网络模型。利用同胚映射原理证明平衡点的存在唯一性问题。结合Lyapunov稳定性方法，得到神经网络模型渐近稳定的条件，例子表明结果是可行有效的。相对于其他神经网络模型的研究，本文的研究突出于对分数阶中立型神经网络模型的分析，对于具有时变时滞的分数阶中立型神经网络而言，其他的动力学性质仍值得我们分析。