钻柱涡动力学特性模拟与分析

Simulation and Analysis of Whirling Dynamics Characteristics of Drill Strings

摘要: 本研究聚焦于深井钻柱在复杂井眼环境中的涡动力学特性，系统探讨了钻柱在深井条件下横向振动作用下的动态行为。随着钻井深度的增加，钻柱所承受的载荷、钻压及井眼环境的复杂性显著增强，涡动现象尤易加剧钻柱的应力集中、磨损及结构不稳定性。为深入分析这些问题，本文基于有限元法和Euler-Bernoulli梁单元构建了三维有限元模型，并引入Newmark数值积分方法对钻柱的涡动特性进行了动态模拟。研究详细分析了钻柱在不同转速和钻压条件下的运动模式及其稳定性特征，结果表明，钻柱在高转速下明显表现出反向涡动，揭示了高转速与钻柱不稳定状态之间的密切关联。研究成果为钻柱结构的优化设计及涡动控制策略提供了理论依据，有助于提升复杂井下作业条件下的钻井稳定性和效率。

Abstract: This study focuses on the whirling dynamics characteristics of drill strings in complex wellbore environments during deep well drilling, systematically exploring the dynamic behavior of drill strings under lateral vibration. With increasing drilling depth, the loads on drill strings, weight-on-bit, and the complexity of the wellbore environment escalate, making whirling phenomena more likely to exacerbate stress concentration, wear, and structural instability in drill strings. To thoroughly analyze these issues, a three-dimensional finite element model was developed based on the finite element method and Euler-Bernoulli beam elements, incorporating the Newmark numerical integration method to simulate the whirling dynamics characteristics. This study offers an in-depth analysis of the motion patterns and stability features of drill strings under varying rotational speeds and weight-on-bit conditions. The results indicate a pronounced backward whirling in drill strings at high rotational speeds, revealing a strong correlation between high speeds and instability. These findings provide a theoretical basis for optimizing drill string design and developing whirl control strategies, which contribute to improving drilling stability and efficiency under complex downhole conditions.

1. 引言

石油钻井技术是油气资源开发中的关键技术之一，尤其在深井和超深井钻井中，钻柱的动力学特性对钻井的安全性和效率有着至关重要的影响。随着钻井深度的增加，井眼环境的复杂性显著提升，钻柱在钻井过程中不仅承受纵向载荷，还伴随扭转和横向振动，其中涡动现象尤为突出。涡动是指钻柱在井眼内同时绕自身轴线和井眼轴线进行复杂旋转运动的现象，它会导致钻柱的应力集中、剧烈振动和疲劳损伤，严重影响钻柱的稳定性和使用寿命。涡动还可能导致钻头偏磨、井眼轨迹不稳定，降低机械钻速并增加钻井成本。因此，深入研究钻柱涡动力学特性具有重要的理论和实践意义。

在钻柱涡动力学问题的研究中，与解析法和实验法相比，数值法因其便捷、经济和高效的优势，越来越受到学者们的青睐。近年来，关于数值法在钻柱涡动问题中的应用研究逐步增多，涉及多种模型和方法的探讨。胡以宝等人[1]基于空间曲梁单元提出了钻柱动力学的有限元模型，开发了迭代求解方法并分析了钻柱的涡动轨迹、速度、侧向和轴向加速度特性，为超深井和超长钻柱的动力分析提供了高效理论支持。Ritto等人[2]在钻柱力学中引入不确定性，采用杆模型对钻柱的拉伸和压缩进行建模，并利用有限元法离散化，从而分析了加速度、摩擦力以及流体力的不确定性对钻柱动力特性的影响，Lian等人[3]则建立了三维实体有限元模型，对钻柱屈曲及其与井壁的接触行为进行了深入分析，认为梁单元适用于高长细比的钻柱模型。Tran等人[4]提出了基于梁单元的流固耦合钻柱力学模型，重点分析了钻井液流速和粘稠度对钻柱横向振动的影响。刘巨保等人[5]使用有限元法研究了钻井液环境下钻柱的涡动以及钻柱与井壁的碰撞问题。Li等人[6]基于梁–柱理论改进了摩擦模型，通过有限元法探讨了钻柱在斜井中的横向振动特性，Nguyen等人[7]则利用Craig-Bampton方法缩短了计算时间。杨琼等人[8]研究了钻铤质量偏心对钻柱横向振动和涡动的影响，推导出维持同步涡动的条件，分析了外部激励频率变化对系统振动特性的影响。狄勤丰等人[9]通过Newmark法和SOR迭代法进行了钻柱动力学特性模拟，发现钻柱在不同深度表现出不同的涡动和粘滑特性，特别是中性点和近钻头处存在较强的安全隐患。以上研究表明，数值方法在钻柱涡动问题中具有广泛的应用前景，但是井下复杂运动加大了数值模拟的计算时间和难度，计算的准确性有待加强。本文使用Newmark方法进行钻柱涡动模拟，并对钻柱涡动特性进行分析。

2. 钻柱涡动力学数值模型

结合有限元方法和梁柱理论的优势，建立了一个基于三维梁单元的有限元模型，包括Euler-Bernoulli梁单元、接触模型、静动摩擦模型和Rayleigh阻尼等因素，以更精确地模拟系统的动态行为。

2.1. 基本假设

分析直井眼条件下钻柱的变形时，一般采用如下假设：

1) 井眼横截面为直径恒定的圆；

2) 钻柱为具有均质材料和几何特性的结构；

3) 接触是不连续的且可以分离；

4) 略去钻柱温度的变化。x_j

2.2. 动力学方程

BHA包括不同尺寸和数量的钻头、钻铤、稳定器和井下工具[10]。与底部钻具组合的截面长度相比，大长细比适用于一系列分段等截面钻具组合。本文的Euler-Bernoulli梁单元包含两个节点，每个节点有6个自由度：3个平动位移$\left(x_i,y_i,z_i\right)$ 和3个转动位移$\left({\theta }_{xi},{\theta }_{yi},{\theta }_{zi}\right)$ 。因此，每个梁单元含有12个自由度(见图1)。

Figure 1. Drill string unit node displacement vector

图1. 钻柱单元节点位移矢量

在有限元法中，节点位移是自变量。梁单元节点位移矢量可以表示为：

$\left\{q\right\}={\left[\begin{array}{c}{x}_i,y_i,z_i,{\theta }_{xi},{\theta }_{yi},{\theta }_{zi},x_j,y_j,z_j,{\theta }_{xj},{\theta }_{yj},{\theta }_{zj}\end{array}\right]}^T$ (1)

式中：$\left\{q\right\}$ 为梁单元节点位移矢量；x、y、z分别为节点在X、Y、Z方向上的位移；θ_x、θ_y、θ_z分别为节点在X、Y、Z方向上的旋转角度。带下标的变量表示节点号。

钻柱动力学理论基于拉格朗日方程，方程可以表示为：

$\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial \left(T-U\right)}{\partial \dot{q}}\right]-\left(\frac{\partial \left(T-U\right)}{\partial q}\right)=F$ (2)

式中：T为动能；U是势能；F是总的外力。

梁单元的动能可表示为：

$T=\frac{1}{2}{{\displaystyle \underset{V}{\int }\left\{\dot{q}\right\}}}^T\left\{\dot{q}\right\}\rho dV$ (3)

梁单元的势能可以表示为：

$U=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{V}{\int }\left[D\right]}{\left\{\epsilon \right\}}^T\left\{\epsilon \right\}dV-{{\displaystyle \underset{V}{\int }\left\{q\right\}}}^T\left\{P_V\right\}dV-{{\displaystyle \underset{A}{\int }\left\{q\right\}}}^T\left\{P_A\right\}dA-\frac{1}{2}{C}_q{\left\{\dot{q}\right\}}^T\left\{\dot{q}\right\}$ (4)

式中：{ε}为应变向量；[D]是弹性矩阵；{PV}为体力矢量；{PA}为表面力矢量；C_q为阻尼系数。

梁单元的外力可以用虚功原理计算：

$F={\tilde{F}}_{e}dq$ (5)

式中：${\tilde{F}}_e$ 是位移矢量各方向上的外力。

考虑材料内摩擦能量损失引起的结构阻尼：

$\left[C\right]=\alpha \left[M\right]+\beta \left[K\right]$ (6)

式中：α和β为常系数；[M]为全局质量矩阵；[K]为全局刚度矩阵；[C]为Rayleigh阻尼矩阵。

组装所有梁单元即可得到完整的BHA动力学方程：

$\left[M\right]\left\{\ddot{q}\right\}+\left[C\right]\left\{\dot{q}\right\}+\left[K\right]\left\{q\right\}=\left\{F\right\}$ (7)

式中：q为广义变量；{F}是外力矢量。

2.3. 边界条件及约束

在边界条件的设定上，钻柱顶部允许绕Z轴旋转，而其余五个自由度则全部固定。对于钻柱底部，仅约X和Y两个方向的平动自由度，其他方向自由度均保持自由状态。重力方向设定为与Z轴相反，钻压从底部作用于钻柱，井壁则施加了完全固定的约束[11]。

在井底钻柱的运动过程中，由于接触状态的动态变化，钻柱难以避免初始的变形和质量分布不均，这些初始缺陷导致钻柱具有一定的偏心性。当钻柱旋转时，偏心部分会产生与旋转速度同步的周期性激振力，从而引发钻柱绕井中心的同步公转。随着转速逐步接近临界转速ω，钻柱的变形幅度增加，最终可能与井壁发生接触。因此，建立一个有效的接触模型，以模拟钻柱与井壁之间的接触状态变化，是确保分析精度的必要步骤(见图2)。

Figure 2. Contact between bottom hole assembly and wellbore

图2. 底部钻具组合与井筒之间的接触

BHA的径向位移和BHA与井筒之间的间隙可以表示为：

$r_c=r-\left(D-d\right)/2$ (8)

式中：r_c为钻具组合与井筒之间的间隙；D为井筒内径；d为钻具组合的外径。

$F_n=\{\begin{array}{l}0,r_c\le 0\\ k{r}_c,r_c>0\end{array}$ (9)

式中：F_n为法向力；k为接触刚度系数。切向摩擦力和摩擦扭矩可以表示为：

$\{\begin{array}{l}{F}_{\tau }=\mu F\\ M=\frac{1}{2}{F}_{\tau }d\end{array}$ (10)

式中：F_τ为切向摩擦力；µ为摩擦系数；M为附加摩擦力矩。

2.4. 求解方法

Newmark方法是一种常用于数值求解动力学问题的时间积分方法，特别适用于结构动力学中的线性和非线性方程。

对钻柱的运动方程，通常表达为：

$M\ddot{u}\left(t\right)+C\dot{u}\left(t\right)+Ku\left(t\right)=F\left(t\right)$ (11)

我们将时间离散为$t_n$ 和$t_{n+1}=t_n+\Delta t$ ，为了进行数值积分，Newmark方法将位移、速度和加速度表达为时间的函数。通过近似，速度和加速度可以用当前时间步$t_n$ 和下一时间步$t_{n+1}$ 之间的增量来表示。

假设$u_{n+1}$ 是$t_{n+1}$ 时的位移，$u_{n+1}$ 是速度，${\ddot{u}}_{n+1}$ 是加速度，根据牛顿插值公式，有：

$u_{n+1}=u_n\Delta t{\dot{u}}_n+\frac{\Delta t^2}{2}\left[\left(1-2{\alpha }^{\prime }\right){\ddot{u}}_n+2{\alpha }^{\prime }{\ddot{u}}_{n+1}\right]$ (12)

${\dot{u}}_{n+1}={\dot{u}}_n+\Delta t\left[\left(1-{\beta }^{\prime }\right){\ddot{u}}_n+{\beta }^{\prime }{\ddot{u}}_{n+1}\right]$ (13)

式中：${\alpha }^{\prime }$ 和${\beta }^{\prime }$ 为权重参数。

将位移和速度的更新式表示为增量形式：

$\{\begin{array}{c}\Delta u=u_{n+1}-u_n\\ \Delta \dot{u}={\dot{u}}_{n+1}-{\dot{u}}_n\\ \Delta \ddot{u}={\ddot{u}}_{n+1}-{\ddot{u}}_n\end{array}$ (14)

由上式可以得出增量形式下的位移和速度更新公式：

$\Delta u=\Delta t{\dot{u}}_n+\frac{\Delta t^2}{2}\left[\left(1-2{\alpha }^{\prime }\right){\ddot{u}}_n+2{\alpha }^{\prime }{\ddot{u}}_{n+1}\right]$ (15)

$\Delta \dot{u}=\Delta t\left[\left(1-{\beta }^{\prime }\right){\ddot{u}}_n+{\beta }^{\prime }{\ddot{u}}_{n+1}\right]$ (16)

为了简化问题，将$u_{n+1}$ 和${\dot{u}}_{n+1}$ 用增量公式表示后，得到关于${\dot{u}}_{n+1}$ 的代数方程，可以迭代求解加速度。

$M{\ddot{u}}_{n+1}+C{\dot{u}}_{n+1}+K{u}_{n+1}=F_{n+1}$ (17)

求解${\ddot{u}}_{n+1}$ 后，更新$u_{n+1}$ 和${\dot{u}}_{n+1}$ 。这样逐步通过每个时间步更新位移、速度和加速度。通过这些公式，可以逐步求解时间离散后的动力学问题，最终得到系统的动态响应。

3. 钻柱涡动特性分析

涡动的主要原因是质量不平衡，而导致这种不平衡的关键因素则是钻柱的初始弯曲和由压缩载荷引发的质量偏心。涡动主要表现为两种基本形式：向前涡动(正向涡动)和向后涡动(反向涡动)。在向前涡动中，钻柱绕井眼轴线的公转方向与转盘的旋转方向相同；而在向后涡动中，二者方向相反。向前涡动通常发生在正常钻进过程中，而向后涡动则常因钻杆与井壁间的摩擦所致。

3.1. 基本参数

某井钻井基本参数如下：设计井深10,520 m，钻具组合为Φ241.3 mm钻头 + Φ178 mm全金属螺杆 + 止回阀 + Φ234 mm扶正器 + Φ177.8 mm无磁钻铤1根 + Φ177.8 mm钻铤2根 + 旁通阀 + Φ177.8 mm钻铤6根 + Φ177.8 mm随钻震击器 + Φ177.8 mm钻铤6根 + Φ139.7 mm斜坡钻杆 × S135 + Φ149.2 mm斜坡钻杆 × S135。钻井参数：转速ω = 0~120 r/min，钻压W = 0~90 kN，井斜角0.5˚。动力学计算中Newmark参数和分别取0.40和0.20。计算10 s时长对应的钻柱动力学响应，时间步长为0.01 s。

3.2. 转速对涡动的影响

为了研究转速对钻柱运动状态的影响，分别对井底钻具组合施加30 r/min、60 r/min、90 r/min和120 r/min的转速。控制单一变量，将钻压设置为90 kN，钻柱和井壁间的摩擦系数设置为0.2，监测位置设置在离钻头50米处钻柱截面的圆心。

Figure 3. Centroid motion trajectory and displacement curve of drill string at ω = 30 r/min

图3. 钻柱在ω = 30 r/min时形心运动轨迹和位移曲线

Figure 4. Centroid motion trajectory and displacement curve of drill string at ω = 60 r/min

图4. 钻柱在ω = 60 r/min时形心运动轨迹和位移曲线

当转速为30 r/min时，X、Y方向的位移变化表现出显著的周期性，频率约为0.833 Hz。经计算图3表明钻柱的公转频率与自转频率一致，二者同步。最大位移的绝对值接近30 mm，意味着下部钻具在旋转过程中与井壁(存在)没有(轻微)碰摩作用，处于较为稳定的正向涡动。当转速升高至60 r/min时(见图4)，钻柱在井内运动状态变为随机运动，钻柱运动轨迹都充满井眼且混乱，说明下部钻具在旋转过程中与井壁存在部分碰摩作用。在一个完整的公转周期内，钻柱既未呈现正涡运动，也未表现出反涡运动，而是仅仅在某些随机的空间位置短暂出现。这种不规则的运动模式表明，钻柱的运动轨迹并未遵循典型的周期性涡动行为，而是受到多重因素的干扰和影响。可能的解释包括钻柱与井壁之间的摩擦、钻头的动力不稳定性以及井斜角等地质条件的复杂性。这些因素共同作用，导致钻柱在公转周期中无法形成持续的涡动运动，而是呈现出一种不稳定、随机的位移现象。钻柱的运动轨迹更接近井壁，导致钻柱与井壁之间的接触力和摩擦力明显增强。这种接触力和摩擦力的增加可能进一步加剧钻柱的磨损和井壁的损伤。

Figure 5. Centroid motion trajectory and displacement curve of drill string at ω = 90 r/min

图5. 钻柱在ω = 90 r/min时形心运动轨迹和位移曲线

Figure 6. Centroid motion trajectory and displacement curve of drill string at ω = 1200 r/min

图6. 钻柱在ω = 1200 r/min时形心运动轨迹和位移曲线

当转速达到90 r/min时(见图5)，钻柱形心位移曲线和运动轨迹相比在转速为60 r/min变得有规律，位移绝对值的最大值在31 mm左右，回转半径等于井壁间隙，下部钻具与井壁发生了碰磨并且发生了反转。尤其转速达到120 r/min时，钻柱形心位移曲线和运动轨迹更加趋于规则。下部钻具组合几乎贴着井壁进行公转运动。求得公转频率为5.72 Hz，超过自转频率2 Hz，是自转频率的2.86倍。这个结果与r/(R − r) = 2.8 (r为钻铤半径，R为井眼半径)，在误差允许范围内认为下部钻具发生了稳定的反涡运动，处于纯滚动状态且无相对滑移。这种反涡运动状态意味着在大部分时间内，下部钻具与井壁发生全周接触和碰磨。这种全周碰磨会显著加剧下部钻具的疲劳和磨损，加速接头的失效。这种现象对钻柱的寿命和可靠性构成了潜在威胁，尤其是在长时间高转速操作条件下，持续的磨损可能导致钻具的提前失效。因此，在钻井过程中需要对钻柱的运动特性进行监控和调节，以尽量减少这种全周碰磨的现象，从而延长钻具的使用寿命。

3.3. 钻压对涡动的影响

为了研究转速对钻柱运动状态的影响，分别对井底钻具组合施加30 kN、60 kN和90 kN的钻压。为了控制单一变量，将转速设置为120 r/min，钻柱和井壁间的摩擦系数设置为0.2，监测位置设置在离钻头50米处钻柱截面的圆心。

Figure 7. Centroid motion trajectory and displacement curve of drill string at W = 30 kN

图7. 钻柱在W = 30 kN时形心运动轨迹和位移曲线

Figure 8. Centroid motion trajectory and displacement curve of drill string at W = 60 kN

图8. 钻柱在W = 60 kN时形心运动轨迹和位移曲线

对比图6、图7和图8可以看出，常值钻压的变化对钻柱的整体运动状态影响较小。尽管钻压有所增加，但位移曲线的幅值和频率基本保持稳定，钻柱依然维持反向运动的特征。然而，随着钻压的不断增大，钻柱的运动轨迹呈现出一定的混乱趋势，表现为轨迹的不规则性有所增加，说明高钻压可能对钻柱的平稳性产生一定的扰动。在实际工程应用中，在确保钻柱不会发生屈曲的前提下，选择较高的钻压不仅能够提高钻井效率，还可减少钻头磨损和钻井时间，从而降低成本。这表明，适度提高钻压在一定条件下是可行且有利的。

4. 结论

1) 基于有限元法和Euler-Bernoulli梁单元构建了三维有限元模型，并引入Newmark数值积分方法，实现了10,520 m钻柱的涡动特性模拟。

2) 钻柱在不同旋转速度下表现出显著差异的运动特征。当旋转速度较低时，钻柱主要呈现出稳定的正向涡动，且仅在井壁附近产生轻微接触。随着速度的提升，钻柱的运动状态趋于混乱，无法形成持续的周期性涡动，且在井壁位置产生随机接触；在更高的旋转速度下，钻柱逐渐转为稳定的反向涡动，表现出较为规则的轨迹，并在接近井壁时出现全周接触。高转速条件下，钻柱的反涡运动达到稳定状态，处于纯滚动状态而无相对滑移，这表明钻柱在高转速下的运动趋于均衡。

3) 钻压的变化在一定范围内对钻柱涡动形态的影响相对较小。通过模拟发现，尽管增加钻压不会改变钻柱的整体涡动形式，但较高钻压可能导致运动轨迹的轻微混乱。这种现象提示在实际钻井过程中，可以通过适度提高钻压来提高钻井效率，但需注意保持钻柱的平稳性，以避免因钻压过高而引起的剧烈涡动，从而影响钻井安全和钻具寿命。

基金项目

重庆科技大学研究生创新计划项目，项目编号：YKJCX2320137。