柯西中值定理的结构分析与应用

Structural Analysis and Application of Cauchy Mean Value

摘要: 柯西中值定理涉及两个函数及其导函数之间的关系，其应用是高等数学的一个难点。通过对柯西中值定理结构的分析，得出其可以作用对象的结构特征，解决“为何用”和“如何用”柯西中值定理的问题，有利于帮助学生理解和掌握柯西中值定理的应用。

Abstract: Due to the fact that Cauchy Mean Value involves the relationship between two functions and their derivatives, its application is a difficult point in advanced mathematics. By analyzing the structure of Cauchy Mean Value, the structural characteristics of the objects it can affect are obtained, solving the problems of “why to use” and “how to use” Cauchy Mean Value, which is conducive to helping students understand and master the application of Cauchy Mean Value.

1. 引言

柯西中值定理是微分中值定理的三大定理之一，它比罗尔定理和拉格朗日中值定理更具一般性，也具有更广泛的应用，许多定理和法则都是建立在柯西中值定理之上的，比如洛必达法则。但大多高等数学[1]-[3]的教材中仅介绍了柯西中值定理及其证明，对该定理的应用涉及较少，不利于学生对该定理的理解并发挥其应用价值。本文通过对柯西中值定理的结构进行分析，利用其结构特征解决“为何用”和“如何用”柯西中值定理的问题，帮助学生更好地理解和应用该定理。

2. 柯西中值定理及其结构分析

(一) 柯西中值定理

定理(Cauchy中值定理) 若函数$f\left(x\right)$ 和$g\left(x\right)$ 满足如下条件：在$[a,b]$ 上连续；在$\left(a,b\right)$ 内可导；$g^{\prime }\left(\xi \right)\ne 0$ ，则存在$\xi \in \left(a,b\right)$ ，使得$\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}$ 。

证明思路分析 要证的结论是与导数中值相关的等式，与导数中值相关的已知知识有罗尔定理和拉格朗日中值定理，而拉格朗日中值定理是利用罗尔定理进行证明的，因此，与导数中值相关的已知知识的本源是罗尔定理，故，本定理的证明用罗尔定理来证明；难点：辅助函数的构造；方法设计：应用形式统一法，即将预证结论的形式转化成与罗尔定理的结论形式一致的形式，先将预证结论转化成$f^{\prime }\left(\xi \right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{g}^{\prime }\left(\xi \right)$ ，再进一步转化成$f^{\prime }\left(\xi \right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{g}^{\prime }\left(\xi \right)=0$ ，这种形式就是罗尔定理结论的标准形式——导函数的零点问题，由此构造辅助函数。

证明 显然，$g\left(a\right)\ne g\left(b\right)$ ，否则，由罗尔定理，存在$\xi$ $\in$ (a, b)，使得$g^{\prime }\left(\xi \right)=0$ ，与条件$g^{\prime }\left(\xi \right)\ne 0$ 矛盾。因而，构造辅助函数

$\phi \left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}g\left(x\right)$ ，

可验证$\phi \left(a\right)=\phi \left(b\right)$ ，由罗尔定理，存在$\xi$ $\in$ (a, b)，使得${\phi }^{\prime }\left(\xi \right)=0$ ，即

$\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}$ 。

(二) 柯西中值定理的结构分析

1) 柯西中值定理的证明和结论表明，此定理作用对象仍是中值问题，也可以视为特殊的函数零点问题或方程根的问题。

2) 定理的结论建立了两个函数在端点处的函数值差商结构及其导函数之间的关系，本质上建立了两个函数的平均变化率与两个函数瞬时变化率之间的关系。

3) 定理的结构特征：等式涉及两个中值点，属于双中值点问题，左端是两个函数导数的商结构，右端是两个函数差值的商结构，且中值与端点分离，两个端点也是分离的结构特征。

4) 若取$g\left(x\right)=x$ 即得到拉格朗日中值定理，因此，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它比罗尔定理和拉格朗日中值定理更具一般性。

3. 柯西中值定理的应用

从柯西中值定理的结构分析可以总结出其作用对象的特点：当研究对象涉及两个函数的导数或明显涉及两函数差商结构时，优先考虑使用柯西中值定理。

其常见的应用如下：

(一) 证明洛必达法则

定理(洛必达法则) ($\frac{0}{0}$ 型)设$f\left(x\right)$ 、$g\left(x\right)$ 在$\left(a,a+\delta \right)$ 内可导且满足：

1) $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0,\underset{x\to a^{+}}{\lim }g\left(x\right)=0$ ；

2) $g^{\prime }\left(x\right)\ne 0,$ $\forall x\in \left(a,a+\delta \right)$ ；

3) $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=A$ ($A$ 为有限或$+\infty$ 或$-\infty$ )，

则$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=A$ 。

结构分析 从定理的结构形式可以知道，涉及两个函数的导函数商的关系，类比已知：柯西中值定理；确立思路：利用柯西中值定理证明。关键要建立两个满足柯西中值定理条件的函数。

证明 令$F\left(x\right)=\{\begin{array}{c}f\left(x\right),x\in \left(a,a+\delta \right)\\ 0,x=a\end{array}$ ，$G\left(x\right)=\{\begin{array}{c}g\left(x\right),x\in \left(a,a+\delta \right)\\ 0,x=a\end{array}$ ，

则$F\left(x\right),G\left(x\right)$ 在$\left[a,a+{\delta }_1\right]$ 连续，在$\left(a,a+{\delta }_1\right)\left(0<{\delta }_1<\delta \right)$ 可导，且$G^{\prime }\left(x\right)=g^{\prime }\left(x\right)\ne 0,x\in \left(a,a+{\delta }_1\right)$ 。因而，对任意$x\in \left(a,a+{\delta }_1\right)$ ，利用柯西中值定理，存在${\xi }_x\in \left(a,x\right)$ ，使得

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)}{G\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)-F\left(a\right)}{G\left(x\right)-G\left(a\right)}=\frac{F^{\prime }\left({\xi }_x\right)}{G^{\prime }\left({\xi }_x\right)}=\frac{f^{\prime }\left({\xi }_x\right)}{g^{\prime }\left({\xi }_x\right)}$ ，

故$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left({\xi }_x\right)}{g^{\prime }\left({\xi }_x\right)}=A$ 。

(二) 证明泰勒公式

定理(泰勒公式) 若$f\left(x\right)$ 在$\left[a,b\right]$ 上有直到$n$ 阶的连续导数，在$\left(a,b\right)$ 内存在$n+1$ 阶导数，$x_0\in \left[a,b\right]$ ，则对任意$x\in \left[a,b\right]$ ，有

$f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime }\left(x_0\right)}{1!}\left(x-x_0\right)+\cdots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n+R_n\left(x\right)$ ，

其中，$R_n\left(x\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi \right)}{\left(n+1\right)!}{\left(x-x_0\right)}^{n+1}$ ($\xi =x_0+\theta \left(x-x_0\right),\theta \in \left(0,1\right)$ )。

结构分析 从结构的角度进行分析，实质上是建立差值结构$f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$ 与各阶导数之间的关系；类比已知：研究差值结构的理论工具就是微分中值定理；确立思路：利用微分中值定理证明。此定理是首次涉及高阶中值点问题，方法设计：将等式中的某个常量变易为自变量，构造一个新函数的差值问题，用微分中值定理研究新函数得到中值点。

证明 将常量$x_0$ 变易为变量t，构造辅助函数

$\phi \left(t\right)=f\left(x\right)-\left[f\left(t\right)+\frac{f^{\prime }\left(t\right)}{1!}\left(x-t\right)+\cdots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(t\right)}{n!}{\left(x-t\right)}^n\right]$ ，

则$\phi \left(x\right)=0$ ，$\phi \left(x_0\right)=f\left(x\right)-\left[f\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime }\left(x_0\right)}{1!}\left(x-x_0\right)+\cdots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n\right]\triangleq F_n\left(x\right)$ ，

对$\phi \left(t\right)$ 直接求导得${\phi }^{\prime }\left(t\right)=-\frac{1}{n!}{f}^{\left(n+1\right)}\left(t\right){\left(x-t\right)}^n$ ，$t\in \left(a,b\right)$ 。

再令$\psi \left(t\right)={\left(x-t\right)}^{n+1}$ ，则$\psi \left(x\right)=0,\psi \left(x_0\right)={\left(x-x_0\right)}^{n+1}$ ，且

${\psi }^{\prime }\left(t\right)=-\left(n+1\right){\left(x-t\right)}^n$ ，$t\in \left(a,b\right)$ ，

由柯西中值定理，在$x_0$ 与$x$ 之间存在$\xi$ ，使得

$\frac{\phi \left(x\right)-\phi \left(x_0\right)}{\psi \left(x\right)-\psi \left(x_0\right)}=\frac{{\phi }^{\prime }\left(\xi \right)}{{\psi }^{\prime }\left(\xi \right)}$ ，

即$\frac{-F_n\left(x\right)}{-{\left(x-x_0\right)}^{n+1}}=\frac{-\frac{1}{n!}{f}^{\left(n+1\right)}\left(\xi \right){\left(x-\xi \right)}^n}{-\left(n+1\right){\left(x-\xi \right)}^n}$ ，

故，$F_n\left(x\right)=R_n\left(x\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi \right)}{\left(n+1\right)!}{\left(x-x_0\right)}^{n+1}$ 。

(三) 证明与函数导数中值相关的等式

由柯西中值定理的结构分析可以看出，柯西中值定理可用于研究涉及两个函数导数中值或隐藏的两个导数中值相关的等式的证明。下面我们通过一些典型题目的解题思路和解题方法进行说明。

例1 设$b>a>0$ ，$f\left(x\right)$ 在$\left[a,b\right]$ 上连续，在$\left(a,b\right)$ 内可导，证明：存在$\xi \in \left(a,b\right)$ ，使得$f\left(b\right)-f\left(a\right)=\xi f^{\prime }\left(\xi \right)\ln \frac{b}{a}$ 。

结构分析 题型为典型的中值问题；思路基本确定为使用中值定理解决；具体方法的设计：根据两个分离的结构特征，需要将中值与端点分离，并将两个端点分离，即

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{\ln b-\ln a}=\xi f^{\prime }\left(\xi \right)$ ，

出现两个函数差值的商结构，考虑选择应用柯西中值定理，比对柯西中值定理的标准形式，右端应为两个函数的导数的商的结构形式，即$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{\ln b-\ln a}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{\frac{1}{\xi }}$ ，因此，对函数$f\left(x\right)$ 和$\ln x$ 应用柯西中值定理。

证明 记$g\left(x\right)=\ln x$ ，$x\in \left[a,b\right]$ ，由柯西中值定理，存在$\xi \in \left(a,b\right)$ ，使得

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}$ ，

即

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{\ln b-\ln a}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{\frac{1}{\xi }}$ ，

整理得$f\left(b\right)-f\left(a\right)=\xi f^{\prime }\left(\xi \right)\ln \frac{b}{a}$ 。

例2 设$b>a>0$ ，$f\left(x\right)$ 在$\left[a,b\right]$ 上连续，在$\left(a,b\right)$ 内可导，证明：存在$\xi \in \left(a,b\right)$ ，使得$\frac{1}{b-a}\left|\begin{array}{cc}f\left(a\right)& f\left(b\right)\\ a& b\end{array}\right|=f\left(\xi \right)-\xi f^{\prime }\left(\xi \right)$ 。

结构分析 题型为典型的中值问题；使用中值定理解决；具体方法的设计：根据两个分离的结构特征，需要将左端进行端点分离，左端为$\frac{bf\left(a\right)-af\left(b\right)}{b-a}$ ，为将两个端点分离，需要将分子中的第一项去掉b，第二项去掉a，即

$\frac{bf\left(a\right)-af\left(b\right)}{b-a}=\frac{\frac{1}{a}f\left(a\right)-\frac{1}{b}f\left(b\right)}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$ 或$\frac{bf\left(a\right)-af\left(b\right)}{b-a}=\frac{\frac{1}{b}f\left(b\right)-\frac{1}{a}f\left(a\right)}{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}$ ，

至此，对何函数应用柯西中值定理就很清楚了。

证明 记$F(x)=\frac{f(x)}{x}$ ，$G(x)=\frac{1}{x}$ ，由柯西中值定理，存在$\xi \in \left(a,b\right)$ ，使得

$\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F^{\prime }(\xi )}{G^{\prime }(\xi )}$ ，

代入即得

$\frac{1}{b-a}\left|\begin{array}{cc}f\left(a\right)& f\left(b\right)\\ a& b\end{array}\right|=f\left(\xi \right)-\xi f^{\prime }\left(\xi \right)$ 。

例3 [4] 设$f\left(x\right)$ 在$\left[a,b\right]$ 上连续，在$\left(a,b\right)$ 内可导，证明：存在$\xi 、\eta \in \left(a,b\right)$ ，使得$2f\left(\xi \right)f^{\prime }\left(\xi \right)=f^{\prime }\left(\eta \right)\left(f\left(b\right)+f\left(a\right)\right)$ 。

结构分析 题目条件具有明显的中值定理的特征，由此确定思路是利用中值定理求解；题型是双中值问题，但是，从结论看，不是两个函数的中值问题，而是同一个函数的两个中值点，具体方法设计是：根据中值定理结构中的差值结构，考虑从产生差值结构为切入点进行方法设计，对结论匹配差值形式，即结论两端同乘以$f\left(b\right)-f\left(a\right)$ ，则有

$2f\left(\xi \right)f^{\prime }\left(\xi \right)\left(f\left(b\right)-f\left(a\right)\right)=f^{\prime }\left(\eta \right)\left(f^2\left(b\right)-f^2\left(a\right)\right)$ ，

进一步产生差值比的结构

$2f\left(\xi \right)f^{\prime }\left(\xi \right)\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f^{\prime }\left(\eta \right)\frac{f^2\left(b\right)-f^2\left(a\right)}{b-a}$ ，

比较两端，且注意中值结构，应该是两次应用中值定理

$2f\left(\xi \right)f^{\prime }\left(\xi \right)=\frac{f^2\left(b\right)-f^2\left(a\right)}{b-a},\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\text{=}{f}^{\prime }\left(\eta \right)$ ，

显然，两个相关联的不同函数分别为$f\left(x\right)$ 和$f^2\left(x\right)$ ，对这两个函数分别使用中值定理，产生两个中值点，联系两个中值的桥梁是$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ 。

证明 对$f^2\left(x\right)$ 应用中值定理，则存在$\xi \in \left(a,b\right)$ ，使得

$2f\left(\xi \right)f^{\prime }\left(\xi \right)=\frac{f^2\left(b\right)-f^2\left(a\right)}{b-a}$ ，

对$f\left(x\right)$ 应用中值定理，则存在$\eta \in \left(a,b\right)$ ，使得

$f^{\prime }\left(\eta \right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ ，

于是$2f\left(\xi \right)f^{\prime }\left(\xi \right)=\left(f\left(b\right)+f\left(a\right)\right)\cdot \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\left(f\left(b\right)+f\left(a\right)\right)\cdot f^{\prime }\left(\eta \right)$ ，

故结论成立。

(四) 证明与导数中值相关的不等式

还可以利用$\xi$ 的中值性(即$a<\xi <b$ )来证明与两个函数有关的不等式问题。其原理是：由于

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}$ ，

若$\left|\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}\right|\le M$ ，则可以得到双参量不等式

$\left|f\left(b\right)-f\left(a\right)\right|\le M\left|g\left(b\right)-g\left(a\right)\right|$ ，

因此，选择不同的函数$f\left(x\right)$ 和$g\left(x\right)$ ，可以得到不同的不等式。

例4 [5] 证明：$e^{x_2}-e^{x_1}>\left(\cos x_1-\cos x_2\right)e^{x_1}$ ，其中$0<x_1<x_2<\frac{\pi }{2}$ 。

结构分析 题型为双参量不等式，且具有函数差值结构，涉及两个函数$e^x$ 和$\cos x$ ，且同类函数呈现差值结构$e^{x_2}-e^{x_1}$ 和$\cos x_1-\cos x_2$ ，不同类函数呈现商的结构，$\frac{e^{x_2}-e^{x_1}}{\cos x_1-\cos x_2}>e^{x_1}$ ，因此，考虑柯西中值定理证明。

证明 令$f\left(x\right)=e^x$ ，$g\left(x\right)=\cos x$ ，则利用柯西中值定理，存在$\xi \in \left(x_1,x_2\right)\subset \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ ，使得

$\frac{e^{x_2}-e^{x_1}}{\cos x_2-\cos x_1}=\frac{e^{\xi }}{-\sin \xi }$ ，即$e^{x_2}-e^{x_1}=\left(\cos x_1-\cos x_2\right)\frac{e^{\xi }}{\sin \xi }$ ，

又因为$0<x_1<\xi <x_2<\frac{\pi }{2}$ ，所以${\text{e}}^{\xi }>e^{x_1}>0$ ，$0<\sin \xi <1$ ，$\cos x_1>\cos x_2$ ，

故$\frac{e^{\xi }}{\sin \xi }>e^{\xi }>e^{x_1}>0$ ，$\cos x_1-\cos x_2>0$ ，

从而$e^{x_2}-e^{x_1}=\left(\cos x_1-\cos x_2\right)\frac{e^{\xi }}{\sin \xi }>\left(\cos x_1-\cos x_2\right)e^{x_1}$ ，

结论得证。

例5 [6] 证明：当$x>0$ 时，$\ln \left(1+x\right)>\frac{\arctan x}{1+x}$ 。

结构分析 题型为不等式的证明，注意到涉及当$x>0$ 时，$\arctan x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ ，要证$\ln \left(1+x\right)>\frac{\arctan x}{1+x}$ ，即证，$\frac{\ln \left(1+x\right)}{\arctan x}>\frac{1}{1+x}$ ，涉及两个函数$\ln \left(1+x\right)$ 和$\arctan x$ 商的结构，考虑利用柯西中值定理，按照形式统一的原则，将两个函数商的结构修正为$\frac{\ln \left(1+x\right)}{\arctan x}=\frac{\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1+0\right)}{\arctan x-\arctan 0}$ ，所以，柯西中值定理的研究对象为$\ln \left(1+x\right)$ 和$\arctan x$ ，研究区间为$[0,x]$ 。

证明 令$f\left(t\right)=\ln \left(1+t\right),g\left(t\right)=\arctan t,t\in \left[0,x\right]$ ，利用柯西中值定理，存在$\xi \in \left(0,x\right)$ ，使得

$\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{g\left(x\right)-g\left(0\right)}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}$ ，

即$\frac{\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1+0\right)}{\arctan x-\arctan 0}=\frac{\ln \left(1+x\right)}{\arctan x}=\frac{\frac{1}{1+\xi }}{\frac{1}{1+{\xi }^2}}=\frac{1+{\xi }^2}{1+\xi }$ ，其中$0<\xi <x$ 。

由于$0<\xi <x$ ，故$\frac{1+{\xi }^2}{1+\xi }>\frac{1}{1+x}$ 。

即证$\ln \left(1+x\right)>\frac{\arctan x}{1+x}$ 。

(五) 用于求函数极限

由于柯西中值定理涉及函数差值结构，因此，柯西中值定理也可以用来求解一些函数差值结构的极限问题，尤其是两个函数差值结构商的形式。

例6 [7] 求极限：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}$ 。

结构分析 题型为$\frac{\text{0}}{\text{0}}$ 型极限问题，结构特点是分子分母均为差值的形式，因此，方法设计考虑柯西中值定理，从函数的具体形式看，无法直接使用柯西中值定理，为此利用形式统一的方法，将分母在函数形式上进行统一，将$x-\sin x$ 变形为$\sin \left(\arcsin x\right)-\sin x$ ，相当于对正弦函数$\sin x$ ，在区间$\left[x,\arcsin x\right]$ (或$\left[\arcsin x,x\right]$ )上进行研究，相应地，分子$e^x-e^{\sin x}$ 变形为$e^{\sin \left(\arcsin x\right)}-e^{\sin x}$ ，这样，就确定了应用柯西中值定理的两个辅助函数分别为$F\left(x\right)=e^{\sin x}$ 、$f\left(x\right)=\sin x$ 。

解 设$F\left(t\right)=e^{\sin t}$ ，$f\left(t\right)=\sin t$ ，$t\in \left[x,\arcsin x\right]$ (或$t\in \left[\arcsin x,x\right]$ )。

利用柯西中值定理，存在$\xi \in (x,\arcsin x)$ (或$\xi \in (\arcsin x,x)$ )，使得

$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\sin \left(\arcsin x\right)}-e^{\sin x}}{\sin \left(\arcsin x\right)-\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F\left(\arcsin x\right)-F\left(x\right)}{f\left(\arcsin x\right)-f\left(x\right)}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F^{\prime }\left(\xi \right)}{f^{\prime }\left(\xi \right)}(\xi 介于x与\arcsin x之间)\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\sin \xi }\cdot \cos \xi }{\cos \xi }=1\end{array}$ 。

(六) 证明函数的单调性

由于柯西中值定理的结论与两函数差商结构有关，因此，涉及分式结构或者可以变形为分式结构的函数的单调性的证明，可以考虑应用柯西中值定理进行证明。

例7 [8] 设$f\left(0\right)=0$ ，$f^{\prime }\left(x\right)$ 在$\left(0,+\infty \right)$ 上单调增加，证明：$\frac{f\left(x\right)}{x}$ 在$\left(0,+\infty \right)$ 上单调增加。

结构分析 结论涉及分式结构的函数单调性的研究，单调性一般应用导数进行研究，与函数的分式结构和导数都相关的知识是柯西中值定理，因此，确立思路：应用柯西中值定理；方法设计：应用形式统一法，将预证结论$\frac{f\left(x\right)}{x}$ 统一成柯西中值定理的标准形式，即将$\frac{f\left(x\right)}{x}$ 变形为$\frac{f\left(x\right)}{x}=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ ，应用柯西中值定理即可证明。

证明 由于$f\left(0\right)=0$ ，利用柯西中值定理，

$\frac{f\left(x\right)}{x}=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{1}=f^{\prime }\left(\xi \right)$ ，$\left(0<\xi <x\right)$ ，

由$f^{\prime }\left(x\right)$ 在$\left(0,+\infty \right)$ 上单调增加，$0<\xi <x$ ，故$f^{\prime }\left(\xi \right)<f^{\prime }\left(x\right)$ ，于是有

$\frac{f\left(x\right)}{x}<f^{\prime }\left(x\right)$ ，

即$x{f}^{\prime }\left(x\right)-f\left(x\right)>0$ ，则$\frac{x{f}^{\prime }\left(x\right)-f\left(x\right)}{x^2}>0$ ，也即${\left[\frac{f\left(x\right)}{x}\right]}^{\prime }>0$ ，

故$\frac{f\left(x\right)}{x}$ 在$\left(0,+\infty \right)$ 上单调增加。

4. 结语

柯西中值定理是微分中值定理的核心结论之一，也是研究函数分析性质的主要工具之一，必须熟练掌握定理的应用。本文从结构的角度对柯西中值定理进行分析，掌握其结构特征，利用其结构特征对典型应用进行分析、研究和设计解决问题的思想方法，抛砖引玉，以提高学生的数学思维与应用能力。

基金项目

2024年信息工程大学教育教学研究课题 + 建构主义认知理解下的军队院校教学改革研究——以高等数学为例(JXYJ2024A003)。