分段拟合法在求解函数列问题中的重要应用

The Important Application of the Piecewise Fitting Method in Solving the Sequence of Functions Problems

摘要: 数学分析中部分求解函数极限的问题，实质上就是求解函数列积分的极限。分段拟合法作为一种研究函数极限的关键方法，同样在研究函数列问题中发挥着重要作用。本文将借助分段拟合的思想，讨论研究$\underset{n\to \infty }{lim}{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ 这类极限问题以及迭代函数列的相关问题。

Abstract: In mathematical analysis, partially solving the function limit problem is essentially solving the limit of the sequence of functions integral. As a key method to study the limit of function, piecewise fitting method also plays an important role in the study of function sequence. In this paper, we will discuss the limit problem of $\underset{n\to \infty }{lim}{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ and the related problems of iterative function sequence by means of the idea of piecewise fitting.

1. 引言

极限处理的是变量变化的问题。具体而言，是描述数列和函数的变化趋势，归根结底是研究函数的各种问题，因为数列$\left\{x_n\right\}$ 可看作自变量为$n$ 的函数$x_n=f\left(n\right),n\in N_{+}$ 。高等数学所研究的是在自变量的某个变化过程中，因变量或函数值能够趋向于某个固定的常数值，且自变量的变化过程不同，函数的极限也表现为不同的形式。特别地，极限在处理诸如变速运动、变力做功、求解不规则图形面积等方面发挥着不可替代的作用，并且极限是进一步学习函数的连续性、导数、积分、级数等知识的基本工具和重要铺垫。另外，借助收敛数列(或数项级数)，可以表示或定义一个数。同理，利用函数列(或函数项级数)可以表示或定义一个函数，这也反映出数学分析的精髓就是抽象地看待和研究函数，同时说明研究函数列的相关问题是十分必要的。基于此，我们讨论研究了一类函数列的极限问题。首先回顾对于闭区间$\left[a,b\right]$ 上一致收敛于$f\left(x\right)$ 的可积函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ ，有

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)dx}}}。$ (1)

例如${\sin }^{n}x$ 在$\left[0,1\right]$ 上一致收敛于零，所以$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1{\sin }^{n}xdx={\displaystyle {\int }_0^{1}0dx=0}}$ 。但现实中往往遇到的是$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 收敛但非一致收敛于$f\left(x\right)$ 的情况，在这种情况下，对$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 与$f\left(x\right)$ 需要加上什么样的限制后，使得(1)式仍然成立？这就是本文所研究的主要内容，处理这类问题的手段是：分段法。

分段思想在求解函数极限时的重要性不言而喻，并且其中很多极限问题就是函数列积分的极限，并且往往许多用到分段法的题目均要结合拟合法进行求解[1] [2]。

将这些题目总结抽象出来，就得出如下结论：

定理1 [3]：设可积函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上收敛于可积函数$f\left(x\right)$ ，且在$[a,b)$ 上内闭一致收敛于$f\left(x\right)$ ，若$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上一致有界，则：

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)dx}}}。$

推论1：设可积函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上收敛于可积函数$f\left(x\right)$ ，且在$(a,b]$ 上内闭一致收敛于$f\left(x\right)$ ，若$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上一致有界，则：

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)dx}}}。$

推论2：设连续的函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上收敛，且在$[a,b)$ 上内闭一致收敛，若存在$\left[a,b\right]$ 上的可积函数$g\left(x\right)$ ，满足对任意的正整数$n$ 及$x\in \left[a,b\right]$ ，有$\left|f_n\left(x\right)\right|\le g\left(x\right)$ ，则

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)dx}}。$

注：上述定理以及其推论实际上是对某些函数极限问题抽象化所得出的结论。进一步，定理以及其推论的条件还可以简化，如下面的“Arzela控制收敛定理”，总结为命题：

命题1 [4]：(Arzela控制收敛定理)设可积的函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上收敛于可积函数$f\left(x\right)$ ，且满足函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 一致有界，那么有

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}={\displaystyle {\int }_a^b\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)dx}}。$

由于其直接绕开了一致收敛的条件，所以显得十分强大。同时，“Arzela控制收敛定理”说明(内闭)一致收敛并不是必要条件，并且命题中的“一致有界”是必不可少的条件。

2. 分段拟合法

拟合法，即为了便于变形与运算，将一个数或者函数表示为有限和、级数、定积分或者反常积分的形式，使之与所讨论的问题形式上保持一致的方法[1] [5]。其定义是：若$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n-y_n)=0$ ，且$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=a$ ，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$ 。拟合法不仅是数学上的常用方法，还在工程中解决如复合材料的常数、极限承载力的计算[6]、传染病传播情况的预测[7]等方面有重要应用。

拟合法最早可追溯到古代的曲线拟合法。曲线拟合法作为一种数学技术，用于找到最能代表给定数据点的最佳拟合曲线。它涉及使用各种数学函数和算法来尽可能地逼近数据。最早的例子是在几何学和天文学中出现，并且在18和19世纪随着微积分的发展和统计分析的出现而实现重大发展。高等数学中对于数列极限$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$ 而言，证明的思路一般是改写数列通项或改写极限式来实现，即使得$\left|x_n-a\right|$ 的表达式尽可能简单，但这个往往是不容易实现的。为此，实际应用中，考虑通过考察数列项的结构特征，通过改写极限值$a$ ，使得其具有与数列通项类似的结构形式来进行问题的验证，这就是拟合法。拟合法的思想实质是将单位1做适当分解。

拟合法的使用多是同分段法相辅相成的，尤其在处理涉及极限问题的求解和函数列的相关问题中发挥着重要的作用。如处理下述的极限问题：

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1{e}^{x^n}dx}$

证明思路是：先证明$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1\left(e^{x^n}-1\right)}dx=0$ ，进而得到$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1{e}^{x^n}}dx=1$ 。

可以发现，被积函数在积分区间$\left[0,1\right]$ 上的点$x=1$ 处有问题，于是需要在点$x=1$ 处分隔开，故采用分

段拟合法。对任意给定的正数$\epsilon \in \left(0,1\right)$ ，记$\delta =\frac{\epsilon }{e-1}\in \left(0,1\right)$ ，所以$\underset{n\to +\infty }{\lim }{e}^{{\left(1-\delta \right)}^n}=1$ ，于是$\exists N\in N^{+}$ ，当$n>N$ 时，有$e^{{\left(1-\delta \right)}^n}-1<\epsilon$ 成立，于是$n>N$ 时，$0<{\displaystyle {\int }_0^1{e}^{x^n}dx}={\displaystyle {\int }_0^{1-\delta }\left(e^{x^n}-1\right)dx}+{\displaystyle {\int }_{1-\delta }^1\left(e^{x^n}-1\right)dx}\le {\displaystyle {\int }_0^{1-\delta }(e^{{\left(1-\delta \right)}^n}-1)dx}+{\displaystyle {\int }_{1-\delta }^1\left(e-1\right)dx}<\epsilon \left(1-\delta \right)+\left(e-1\right)\cdot \delta <\epsilon +\epsilon =2\epsilon 。$ 从而求极限$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1{e}^{x^n}dx=1}$ 。

关于分段拟合法求解极限的问题还有很多[8]-[14]，这里不再赘述。本节主要研究分段法与拟合法在

求解函数列问题中的重要作用，主要针对$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ 这类极限问题。首先将其抽象出来，便得到

下述两个例题：

例1 设$f_n\left(x\right)\ge 0$ 与$g\left(x\right)$ 均为$\left[a,b\right]$ 上的可积函数，且$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$[a,b)$ 上内闭一致收敛于零，同时$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx=1,}\underset{x\to b^{-}}{\lim }g\left(x\right)=C$ ，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)g\left(x\right)dx}=C。$

证：由$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx=1}$ ，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^{b}C{f}_n\left(x\right)dx}=C。$ 故采用分段拟合法，即证明：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)g\left(x\right)dx}-{\displaystyle {\int }_a^{b}C{f}_n\left(x\right)dx}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)\left(g\left(x\right)-C\right)dx}=0$ 。

由题可知函数$g(x)$ 可积，从而有界。不妨设对$\forall x\in \left[a,b\right]$ ，有$\left|g\left(x\right)-C\right|\le M$ 。对任意给定的$\epsilon >0$ ，由$\underset{x\to b^{-}}{\lim }g\left(x\right)=C$ ，知$\exists \delta \in \left(0,b-a\right)$ ，s.t.对$\forall x\in [b-\delta ,b)$ ，有$\left|g\left(x\right)-C\right|<\frac{\epsilon }{2}$ 。

由函数列$f_n\left(x\right)\ge 0$ ，且$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx=1,}$ 故$\exists N_1>0$ ，s.t.当$N>N_1$ ，有$0<{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx<2}$ ，于是

${\displaystyle {\int }_{b-\delta }^b{f}_n\left(x\right)\left|g\left(x\right)-C\right|dx}<\frac{\epsilon }{2}{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx}<\frac{\epsilon }{2}\cdot 2=\epsilon 。$

且对上述$\delta >0$ ，由$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$[a,b-\delta ]$ 上一致收敛于零，故$\exists N_2>0$ ，s.t.当$N>N_2$ ，对$\forall x\in \left[a,b-\delta \right]$ ，有$\left|f_n\left(x\right)\right|\le \frac{\epsilon }{M\left(b-a\right)}$ ，那么：

${\displaystyle {\int }_a^{b-\delta }{f}_n\left(x\right)\left|g\left(x\right)-C\right|dx}\le {\displaystyle {\int }_a^b\frac{\epsilon }{M\left(b-a\right)}\cdot Mdx}=\epsilon 。$

取$N=\max \left\{N_1,N_2\right\}$ ，则当$n>N$ 时，有

$\left|{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)\left(g\left(x\right)-C\right)dx}\right|\le {\displaystyle {\int }_a^{b-\delta }{f}_n\left(x\right)\left|g\left(x\right)-C\right|dx}+{\displaystyle {\int }_{b-\delta }^b{f}_n\left(x\right)\left|g\left(x\right)-C\right|dx}<\epsilon +\epsilon =2\epsilon$ 。

即$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)\left(g\left(x\right)-C\right)dx}=0,\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)g\left(x\right)dx}=C$ 。

推论3：设$f_n\left(x\right)\ge 0$ 与$g\left(x\right)$ 均为$\left[a,b\right]$ 上的可积函数，且函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$(a,b]$ 上内闭一致收敛于零，同时$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx=1,}\underset{x\to a^{+}}{\lim }g\left(x\right)=C$ ，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)g\left(x\right)dx}=C$ 。

注：题干$f_n\left(x\right)\ge 0$ 为必要条件，当这一条件换成函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 一致有界时，结论仍然是成立的。证明也是容易的。

例2 设函数列$\left\{h_n\left(x\right)\right\}$ 满足下列条件：

1) $h_n(x)$ 在$[-1,1]$ 上非负连续，且$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-1}^1{h}_n\left(x\right)dx=1}$ 。

2) $\forall a\in \left(0,1\right)$ ，$\left\{h_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[-1,-a\right]$ 和$\left[a,1\right]$ 上均一致收敛于零。

证明：对$\left[-1,1\right]$ 上的任意连续函数$f\left(x\right)$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)h_n\left(x\right)dx}=f\left(0\right)$ 。

思路：由$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-1}^1{h}_n\left(x\right)dx=1}$ ，那么$f\left(0\right)=f\left(0\right)\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-1}^1{h}_n\left(x\right)dx}={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(0\right)h_n\left(x\right)dx}。$ 故采用拟合法，即证

明下式成立即可：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)h_n\left(x\right)dx}-{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(0\right)h_n\left(x\right)dx}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-1}^1{h}_n\left(x\right)\left(f\left(x\right)-f\left(0\right)\right)dx}=0$ 。

证：由函数$f\left(x\right)$ 在$\left[-1,1\right]$ 上连续，故函数在点$x=0$ 连续，所以$\exists M>0$ ，s.t.对$\forall x\in \left[-1,1\right]$ ，有$\left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|\le M$ 。同时，对$\forall \epsilon >0$ ，$\exists \delta \in \left(0,1\right)$ ，s.t. $x\in \left[-\delta ,\delta \right]$ ，有$\left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|<\frac{\epsilon }{2}$ 。

对上述固定的$\delta \in \left(0,1\right)$ ，由函数列$\left\{h_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[-1,-\delta \right]$ 与$\left[\delta ,1\right]$ 上一致收敛于零，故$\exists N_3>0$ ，s.t.当$N>N_3$ ，对$\forall x\in \left[-1,-\delta \right]\cup \left[\delta ,1\right]$ ，有

$0\le h_n\left(x\right)\le \frac{\epsilon }{M}$ 。

另外，由$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-1}^1{h}_n\left(x\right)dx=1}$ ，则$\exists N_4>0$ ，当$n>N_4$ 时，有

$0\le {\displaystyle {\int }_{-1}^1{h}_n\left(x\right)dx}<2$ 。

取$N=\max \left\{N_3,N_4\right\}$ ，则当$n>N$ 时，有

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{-1}^1{h}_n\left(x\right)\left(f\left(x\right)-f\left(0\right)\right)dx}\right|\le M{\displaystyle {\int }_{-1}^{-\delta }{h}_n\left(x\right)dx}+\frac{\epsilon }{2}{\displaystyle {\int }_{-\delta }^{\delta }{h}_n\left(x\right)dx+}M{\displaystyle {\int }_{\delta }^1{h}_n\left(x\right)dx}\\ \le M{\displaystyle {\int }_{-1}^{-\delta }\frac{\epsilon }{M}dx}+\frac{\epsilon }{2}{\displaystyle {\int }_{-\delta }^{\delta }{h}_n\left(x\right)dx+}M{\displaystyle {\int }_{\delta }^1\frac{\epsilon }{M}dx}\\ <M{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\epsilon }{M}dx}+\epsilon +M{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\epsilon }{M}dx=3\epsilon }\end{array}$ 。

这便证明了$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-1}^1{h}_n\left(x\right)\left(f\left(x\right)-f\left(0\right)\right)dx}=0$ ，即

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)h_n\left(x\right)dx}=f\left(0\right)$ 。

可以发现，上述两个例题均针对有限区间进行研究。同样，对于无穷区间，结论也是成立的，总结为下述命题：

命题2 设函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$[a,+\infty )$ 上连续，对$\forall b\ge a$ ，$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上一致收敛于函数$f\left(x\right)$ ，且存在可积非负函数$F\left(x\right)$ ，满足${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }F\left(x\right)dx}$ 收敛，同时对任意的正整数$n\ge 1$ 和$x\ge a$ ，有$\left|f_n\left(x\right)\right|\le F\left(x\right)$ 。

证明：对$\forall n\in N^{+}$ ，有${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }{f}_n\left(x\right)dx}$ 收敛，且${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }f\left(x\right)dx}$ 收敛，同时

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^{+\infty }{f}_n\left(x\right)dx}={\displaystyle {\int }_a^{+\infty }f\left(x\right)dx}。$

证：证明分两部分。

第一部分：由${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }F\left(x\right)dx}$ 收敛，故对$\forall \epsilon >0$ ，$\exists A>a$ ，s.t.对任意的$A_2>A_1>A$ ，有${\displaystyle {\int }_{A_1}^{A_2}F\left(x\right)dx}<\epsilon$ 。进而对$\forall n\in N^{+}$ ，由$\left|f_n\left(x\right)\right|\le F\left(x\right)$ 知，有

$\left|{\displaystyle {\int }_{A_1}^{A_2}{f}_n\left(x\right)dx}\right|\le {\displaystyle {\int }_{A_1}^{A_2}\left|f_n\left(x\right)\right|dx}\le {\displaystyle {\int }_{A_1}^{A_2}F\left(x\right)dx}<\epsilon$ 。

这说明${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }{f}_n\left(x\right)dx}$ 收敛。同时，根据$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[A_1,A_2\right]$ 上一致收敛于$f\left(x\right)$ ，所以上式关于$n\to \infty$ 取极限可得$\left|{\displaystyle {\int }_{A_1}^{A_2}f\left(x\right)dx}\right|\le \epsilon$ ，这说明${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }f\left(x\right)dx}$ 收敛。

第二部分：由${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }F\left(x\right)dx}$ 、${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }f(x)dx}$ 收敛，故对$\forall \epsilon >0$ ，存在公共的$A_3>a$ ，s.t. $\left|{\displaystyle {\int }_{A_3}^{+\infty }F\left(x\right)dx}\right|<\epsilon$ ，$\left|{\displaystyle {\int }_{A_3}^{+\infty }f\left(x\right)dx}\right|<\epsilon$ 。对上述固定的$A_3$ ，由$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,A_3\right]$ 上一致收敛于$f\left(x\right)$ ，所以对上述$\epsilon >0$ ，$\exists N>a$ s.t. $n>N$ ，对任意的$x\in \left[a,A_3\right]$ ，有$\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\frac{\epsilon }{A_3-a}$ 。于是，当$n>N$ 时，有：

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_a^{+\infty }{f}_n\left(x\right)dx-{\displaystyle {\int }_a^{+\infty }f\left(x\right)dx}}\right|\le {\displaystyle {\int }_a^{A_3}\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|dx}+\left|{\displaystyle {\int }_{A_3}^{+\infty }{f}_n\left(x\right)}dx\right|+\left|{\displaystyle {\int }_{A_3}^{+\infty }f\left(x\right)}dx\right|\\ <{\displaystyle {\int }_a^{A_3}\frac{\epsilon }{A_3-a}dx+}{\displaystyle {\int }_{A_3}^{+\infty }F\left(x\right)dx+\epsilon }\\ <\epsilon +\epsilon +\epsilon \\ =3\epsilon \end{array}$ 。

因此，命题得证。

可以发现，运用分段拟合法在处理涉及极限的相关问题时相较于传统方法有其独特的优势。如例1中，运用拟合法，将常数值$C$ 改写为$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^{b}C{f}_n\left(x\right)dx}=C$ ，这与函数列的形式一致，并且这里的函数列的选择是源于其性质$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)dx=1}$ 。这样处理的好处是将所证明问题直接转化为证明下式的成立：

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)g\left(x\right)dx}-{\displaystyle {\int }_a^{b}C{f}_n\left(x\right)dx}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_a^b{f}_n\left(x\right)\left(g\left(x\right)-C\right)dx}=0$

采用分段法的原因在于注意到了条件：$\underset{x\to b^{-}}{\lim }g\left(x\right)=C$ ，利用分段拟合法将快速给出问题的求解过程。

拟合法的误差估计，实际上，在一类传染病传播情况的预测上[7]，建立模型，对数据预测的过程中，可发现，对数据采用拟合法进行传染病问题的应用分析，相较于插值法处理能得到更加精准的结果。

数学解题讲究化繁为简，拟合法是将形式复杂化，对某些题目有一定的便捷性，但并不是对所有的问题，包括函数极限问题、函数列的问题都是能够用拟合法做出来的，从上面的分析不难看出对函数列的要求较高，往往做题时很难保证，这说明其具有一定的局限性。

分段法的思想还可以运用到下述函数列问题中。

例3 (迭代函数列问题)设$f\left(x\right)$ 为$\left(-\infty ,+\infty \right)$ 上的连续函数，且当$x\ne 0$ 时，$\left|f\left(x\right)\right|\le \left|x\right|$ 。定义$f_1\left(x\right)=f\left(x\right)$ ，且$f_{n+1}\left(x\right)=f\left(f_n\left(x\right)\right)$ 。证明：函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在任意有限区间$\left[-a,a\right]$ 上一致收敛。

分析：采用分段法。证明的过程可以参考文献[2]-181页–例题15的解答。

值得注意的是，对于迭代生成的函数列，有些题目则是不需要用到分段思想的，如下面的例题4。

例4 设$f\left(x\right)=ax+b$ ，其中$a\in \left(0,1\right)$ 。定义$f_1\left(x\right)=f\left(x\right)$ ，且$f_{n+1}\left(x\right)=f\left(f_n\left(x\right)\right)$ 。证明：函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在任意有限区间$\left[-a,a\right]$ 上一致收敛，但是在$\left(-\infty ,+\infty \right)$ 上非一致收敛。

分析：根据$f\left(x\right)=ax+b$ 以及定义$f_1\left(x\right)=f\left(x\right)$ ，且$f_{n+1}\left(x\right)=f\left(f_n\left(x\right)\right)$ ，可求出函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 的递推表达式为：$f_n\left(x\right)=a^{n}x+\left(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots +a+1\right)b=a^{n}x+\frac{1-a^n}{1-a}b$ 。结合$a\in \left(0,1\right)$ ，可得函数列$f_n\left(x\right)$ 收敛到$\frac{b}{1-a}$ 。研究一致收敛，经分析可知函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 的一致收敛性取决于$a^{n}x$ ，且在任意有限区间$\left[-a,a\right]$ 上，$x$ 可以放大为它的上界，不妨记$\left|x\right|\le M$ ，显然在任意有限区间上函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 是一致收敛性的。但对于无穷区间$\left(-\infty ,+\infty \right)$ ，可令$x=\frac{1}{a^n}\to +\infty$ ，此时$a^{n}x=a^n\cdot \frac{1}{a^n}=1\ne 0$ ，说明在$\left(-\infty ,+\infty \right)$ 上非一致收敛。结论得证。

最后我们研究一类利用分段法，即利用将有限区间分成有限子区间的思想，去求解相关的问题。如下面的例题5。

例5 设函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上收敛，且满足利普西茨条件，即存在$L>0$ ，使得对任意的正整数$n$ 及$x_1,x_2\in \left[a,b\right]$ ，均有：

$\left|f_n\left(x^{\prime }\right)-f_n\left(x^{″}\right)\right|\le L\left|x^{\prime }-x^{″}\right|$ 。

证明：函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在区间$\left[a,b\right]$ 上一致收敛。

分析：只需证明：$\left|f_n\left(x\right)-f_m\left(x\right)\right|\le \left|f_n\left(x\right)-f_n\left(x_i\right)\right|+\left|f_n\left(x_i\right)-f_m\left(x_i\right)\right|+\left|f_m\left(x_i\right)-f_m\left(x\right)\right|<\epsilon +\epsilon +\epsilon =3\epsilon$ 。

证：对$\forall \epsilon >0$ ，取$\delta =\frac{\epsilon }{L}$ ，则对任意的正整数$n$ 及$x^{\prime },x^{″}\in \left[a,b\right]$ ，只要$\left|x^{\prime }-x^{″}\right|<\delta$ ，就有：

$\left|f_n\left(x^{\prime }\right)-f_n\left(x^{″}\right)\right|\le L\left|x^{\prime }-x^{″}\right|<L\cdot \delta =\epsilon$ 。

现将$\left[a,b\right]$ 平均分割为$k=\left[\frac{b-a}{\delta }\right]+1$ 份，记为$T=\left\{a=x_0,x_1,\cdots ,x_{k-1},x_k=b\right\}$ 。则每个小区间的长度小于$\delta$ 。于是对$\forall i=1,2,\cdots ,k$ ，当$x\in \left[x_{i-1},x_i\right]$ 时，由$\left|x-x_i\right|\le \left|x_i-x_{i-1}\right|<\delta$ 知

$\left|f_n\left(x\right)-f_n\left(x_i\right)\right|<\epsilon ,\forall n\in N$ 。

另外，由函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在区间$\left[a,b\right]$ 上收敛，所以对上述有限个$x_0,\cdots ,x_k$ ，存在公共的$N$ ，当$m,n>N$ 时，对任意的$i=0,1,2,\cdots ,k$ ，成立

$\left|f_n\left(x\right)-f_m\left(x_i\right)\right|<\epsilon$ 。

于是当$m,n>N$ 时，对任意的$x\in \left[a,b\right]$ ，不妨设$x\in \left[x_{i-1},x_i\right]$ ，有

$\left|f_n\left(x\right)-f_m\left(x\right)\right|\le \left|f_n\left(x\right)-f_n\left(x_i\right)\right|+\left|f_n\left(x_i\right)-f_m\left(x_i\right)\right|+\left|f_m\left(x_i\right)-f_m\left(x\right)\right|<\epsilon +\epsilon +\epsilon =3\epsilon$ ，

这便证明了函数列$\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在区间$\left[a,b\right]$ 上一致收敛。

例题5证明的关键在于将有限区间$\left[a,b\right]$ 平均分割为有限段小区间，这种思想最早可以追溯到定积分章节中的分段积分问题，即按照定积分的定义，若$f\left(x\right)$ 为$\left[a,b\right]$ 上的可积函数，则有

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(a+\frac{i}{n}\left(b-a\right)\right)}={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$ 。

这也意味着$\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(a+\frac{i}{n}\left(b-a\right)\right)}-{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$ 是一个无穷小量。同样，在涉及函数列一致收敛性判定的方法——Dini定理，其证明中也应用了这种对有限区间平均分割为有限子区间的重要思想。这充分说明分段法在数学分析学习中发挥着重要的作用。

3. 结论

本文基于极限的基本知识与逻辑方法，讨论并研究了极限在处理函数列问题中的重要作用。通过分段拟合的思想，主要对涉及函数列的积分(包括正常积分与无穷积分)问题，以及一类迭代函数列的极限问题进行了研究，并给出求解这类函数列极限问题的一般步骤与方法。同时，这也是对先前利用分段拟合思想求解函数极限问题的进一步拓展与延伸。

拟合的算例表明，基于分段拟合的思想使得复杂问题简单化，而且为某些看似无法解决的问题提供了一种全新的思路，极大地拓展了其所适用的范围。分段法的关键在于如何正确地选择分段点；拟合法的关键则在于在论证过程中，同分段法结合，采用放缩的方法以提高解决问题的进程。上述例题的证明也表明拟合法具有易掌握、证明思路简单的优势。

分段法与拟合法作为处理极限问题的重要思想，一般而言，大部分利用分段法求极限的问题都是容易拟合的，但也存在相关的例题是不能够拟合的，最直观的例题例子便是读者无法将极限值复杂化为与数列、函数、函数列或级数相类似的形式，这一点读者要特别注意。另外，针对不同类型的极限，读者要适时地选择最合适的、最优的方法进行求解。

作者希望本文所研究的内容，能够对广大从事高等数学研究的教师的教学起到一定的辅助作用，能够对广大学生学习高等数学或数学分析这些基础课程以启发，帮助其快速建立数学各部分知识之间的联系，从而能够更快、更好、更扎实地掌握数学知识。

NOTES

^*通讯作者。