基于饱和度–明度全变差的泊松噪声去除方法研究

A Study on Poisson Noise Removal Method Based on Saturation-Value Total Variation

摘要: 本文提出了一种基于饱和度–明度全变差(SVTV)的泊松噪声去除方法。该方法旨在克服传统泊松噪声保真项非线性问题的限制，提高彩色图像复原效果。首先，本文通过将图像转换至HSV颜色空间，利用饱和度和明度的全变差约束来保持图像边缘和细节。其次，使用泰勒展开对泊松保真项进行近似，以简化计算复杂度。实验结果表明，该方法在去除泊松噪声方面效果显著，相比基于RGB空间的传统方法，其在图像保真度、噪声抑制和视觉效果上均有较大提升。本文结论表明，SVTV与泊松保真项的结合具有较好的去噪能力，能够有效平衡噪声抑制和图像细节的保留。

Abstract: This paper proposes a novel Poisson noise removal method based on Saturation-Value Total Variation (SVTV) aimed at enhancing color image restoration. The objective of this study is to address the limitations associated with the nonlinearity of the classical Poisson fidelity term, thereby improving image restoration performance in the presence of Poisson noise. Initially, images are transformed into the HSV color space to apply total variation constraints on saturation and value channels, thus preserving edges and details more effectively. Subsequently, the Poisson fidelity term is approximated using a Taylor series expansion to reduce computational complexity and facilitate efficient optimization. Experimental results demonstrate that the proposed method achieves significant performance improvements in denoising compared to traditional RGB-space-based approaches. It offers better fidelity, noise suppression, and visual quality, showing the advantages of combining SVTV with the Poisson fidelity term. Conclusively, the study indicates that the SVTV method effectively balances noise suppression and detail preservation, making it a promising approach for Poisson noise removal in color image restoration.

1. 引言

彩色图像在现代视觉传达、计算机视觉和数字影像处理中扮演着重要角色。相比于灰度图像，彩色图像能够更真实地反映场景的视觉特征，提供丰富的信息。彩色图像通常由红、绿、蓝(RGB)三个通道组成，每个通道都包含不同的亮度信息，形成细致的色彩和层次感。这种色彩信息的丰富性使得彩色图像在医学成像、卫星成像和监控视频等多个领域中具有广泛的应用[1]。

由于图像采集过程中存在多种噪声源，尤其是在低光照或高感光度条件下，图像噪声的去除显得尤为重要。常见的噪声类型包括高斯噪声、椒盐噪声以及泊松噪声。高斯噪声通常来源于传感器的测量误差，而泊松噪声则常见于低光照条件下的图像采集，尤其是在摄影过程中，光的量子效应导致的噪声。泊松噪声的去除通常更具挑战性，因为其噪声模型是与图像本身的亮度值相关的非线性噪声，且其概率分布函数通常采用泊松分布建模[2]。泊松噪声的方差与图像强度成正比，这使得在低强度区域，噪声的影响更加显著，导致图像质量的降低与可用性的问题。因此，研究者们在过去的几十年中提出了多种去噪算法，以有效减少泊松噪声的影响并保留图像的细节[3]。

早期的去噪方法主要依赖于简单的滤波技术，如均值滤波和中值滤波。尽管这些方法能够在一定程度上去除噪声，但往往会导致图像细节的损失。随着对图像特性理解的深入，研究者们逐渐转向基于全变差(TotalVariation, TV)的方法。全变差(TV)正则化最早由Rudin等人[4]提出，用于解决图像去噪问题。其核心思想是在保留图像边缘的同时，抑制噪声的影响。TV正则化方法能够有效去除加性高斯噪声，但在去除非高斯噪声(如脉冲噪声)时效果较差。对于单色图像，电视去噪已经扩展到其他噪声分布。根据泊松分布的特点，研究者推导出一种以Kullback-Leibler散度作为保真度项的TV正则化模型[5]-[7]。然而，传统TV正则化的扩展形式主要针对灰度图像，彩色图像中的颜色信息却未得到充分利用，Blomgren和Chan [8]首次将全变差方法应用于彩色图像恢复，开辟了基于全变差的图像去噪研究的新方向。在此基础上Chen等人[9]提出了一种结合全变差与泊松噪声模型的方法，通过构建新的能量函数，有效地提高了彩色图像的去噪效果。

全变差方法通过最小化图像的全变差来保持边缘信息，同时去除噪声。近年来，随着算法的不断改进，研究者们探索了更高效的去噪方法。饱和度–明度全变差(SVTV)方法应运而生。Jia等人[10]提出的SVTV方法考虑了图像的饱和度和明度信息，通过构建新的能量函数实现去噪。与RGB通道相比，HSV通道将色彩信息分离为色调、饱和度和明度，这样的分离可以更好地捕捉和处理颜色变化，减少噪声影响，尤其在低光照条件下表现更为优越。Wang和Song [11]的研究则在Jia等人的基础上进一步提出了一种结合SVTV与L1范数的去噪方法。他们指出，由于边缘的存在，图像的先验分布往往无法很好地满足高斯假设，因此引入L1范数以增强去噪效果。这种结合方法在保留图像细节方面表现出色，尤其是在处理泊松噪声时具有更好的效果。然而，L1保真项在降噪的同时容易引入过平滑效应，导致细节的丢失。

经典的泊松噪声保真项能够更好地捕捉图像的非线性特性，特别是在低强度区域的处理上表现优越。研究表明，基于泊松保真项的去噪算法在SSIM和PSNR等指标上均优于L1保真项[12]-[19]。Zhou与Zhang [20]提出的非局部全变差模型更是在处理泊松噪声时进一步提升了去噪性能。然而，经典的泊松保真项在处理非线性问题时仍存在一定的不足。由于公式中使用负对数似然，这种扩展很难计算，并且已经提出了不同的优化方法[21] [22]。

本文为了解决这一局限性，经典泊松保真项的非线性问题可以通过泰勒展开等方法进行近似，从而与SVTV模型相结合。通过引入SVTV与泊松噪声保真项的结合，我们的模型能够有效保留图像细节，同时在去噪效果上优于传统方法。具体而言，结合SVTV方法与泊松噪声保真项的模型能够在去噪性能上获得提升，从而提高图像的整体质量。未来的研究可以进一步探索SVTV模型在不同场景下的应用，并结合深度学习等新兴技术，以提高去噪效果和处理效率。

2. 提出的模型

2.1. SVTV方法

本文中，$f=k*u+n$ ，其中$f={\left[f_r,f_g,f_b\right]}^{\text{T}}$ 为RGB颜色空间下观测到的带噪声的彩色图像，$u={\left[u_r,u_g,u_b\right]}^{\text{T}}$ 为RGB色彩空间各通道下的原始清晰的彩色图像，$\Omega \subseteq R2$ 表示具有Lipschitz边界的有界图像域。JIA等人提出的SVTV正则化项[10]如下：

$\underset{u}{\min }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\sqrt{{\left|{\partial }_{x}u\right|}_s^2+{\left|{\partial }_{y}u\right|}_s^2}}+\alpha \sqrt{{\left|{\partial }_{x}u\right|}_v^2+{\left|{\partial }_{y}u\right|}_v^2}\text{d}x\text{d}y,$ (1)

其中，${\partial }_{x}u=\left[\begin{array}{c}{\partial }_x{u}_r\\ {\partial }_x{u}_g\\ {\partial }_x{u}_b\end{array}\right],{\partial }_{y}u=\left[\begin{array}{c}{\partial }_y{u}_r\\ {\partial }_y{u}_g\\ {\partial }_y{u}_b\end{array}\right]$ ，$\alpha$ 为明度通道权重。

然后我们可以用下面的公式推导出饱和度和值分量[23]：

$\begin{array}{l}{\left|{\partial }_{x}u\right|}_s=\frac{1}{3}{\Vert C{\partial }_{x}u\Vert }_2,\left|{\partial }_{y}u\right|{}_s=\frac{1}{3}{\Vert C{\partial }_{y}u\Vert }_2,\\ {\left|{\partial }_{x}u\right|}_v=\frac{1}{\sqrt{3}}\left|{\partial }_x{u}_r+{\partial }_x{u}_g+{\partial }_x{u}_b\right|,\\ {\left|{\partial }_{y}u\right|}_v=\frac{1}{\sqrt{3}}\left|{\partial }_y{u}_r+{\partial }_y{u}_g+{\partial }_y{u}_b\right|.\end{array}$ (2)

这里，$C=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right]$ 。

2.2. 泊松噪声保真度项

经典的泊松噪声保真度项[5]为

$F\left(k*u\right)=k*u-f\log k*u$ . (3)

我们观察式子可以看出，该保真项为非线性形式，在求解的过程中较为复杂。而在高信噪比或噪声稀疏的情况下，可以通过泰勒展开方法近似其保真项。令$t=k*u$ 则有，

$F\left(t\right)=F\left(f\right)+\frac{F^{\prime }\left(f\right)\left(t-f\right)}{1!}+\frac{F^{″}\left(f\right){\left(t-f\right)}^2}{2!}+o\left[{\left(t-f\right)}^2\right],$ (4)

通过求解一阶导和二阶导得：

$F^{\prime }\left(t\right)=1-\frac{f}{t},F^{\prime }\left(f\right)=1-1=0,$ (5)

$F^{″}\left(t\right)=\frac{f}{{\left(t\right)}^2},F^{″}\left(f\right)=\frac{1}{f},$ (6)

$F\left(t\right)\approx F\left(f\right)+\frac{{\left(t-f\right)}^2}{2f}.$ (7)

所以，本文将我们利用[10]中提出的SVTV正则化和经过泰勒展开方法近似得到泊松保真度项来制定所提出的彩色图像恢复模型。提出的模型，如下：

$\underset{u}{\min }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\sqrt{{\left|{\partial }_{x}u\right|}_s^2+{\left|{\partial }_{y}u\right|}_s^2}}+\alpha \sqrt{{\left|{\partial }_{x}u\right|}_v^2+{\left|{\partial }_{y}u\right|}_v^2}\text{d}x\text{d}y+\lambda {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|k*u-f\right|}^2}{2f}\text{d}x\text{d}y}.$ (8)

其中，$\lambda$ 为保真度项的参数。

3. 本文算法

设$D_x$ 和$D_y$ 分别为x和y方向上的差分算子，定义如下：

${\left(D_{x}u\right)}_{i,j}=u\left(i,j\right)-u\left(i-1,j\right),$ ${\left(D_{y}u\right)}_{i,j}=u\left(i,j\right)-u\left(i,j-1\right).$ (9)

则离散SVTV正则化项定义为：

$SVTV\left(u\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(\sqrt{{\left|{\left(D_{x}u\right)}_{ij}\right|}_s^2+{\left|{\left(D_{y}u\right)}_{ij}\right|}_s^2}+\partial \sqrt{{\left|{\left(D_{x}u\right)}_{ij}\right|}_v^2+{\left|{\left(D_{y}u\right)}_{ij}\right|}_v^2}\right)}},$ (10)

其中m和n分别为离散后彩色图像的垂直和水平像素数。然后我们引入下面的变换矩阵，记为P，

$P=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}I& \frac{-1}{\sqrt{2}}I& 0\\ \frac{1}{\sqrt{6}}I& \frac{1}{\sqrt{6}}I& \frac{-2}{\sqrt{6}}I\\ \frac{1}{\sqrt{3}}I& \frac{1}{\sqrt{3}}I& \frac{1}{\sqrt{3}}I\end{array}\right],q=\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}{u}_r\\ u_g\\ u_b\end{array}\right].$

则本文模型(8)等价于以下约束优化问题，

$\underset{q}{\min }{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(\sqrt{{\left(D_x{q}_1\right)}_{ij}^2+{\left(D_x{q}_2\right)}_{ij}^2+{\left(D_y{q}_1\right)}_{ij}^2+{\left(D_y{q}_2\right)}_{ij}^2}+\partial \sqrt{{\left(D_x{q}_3\right)}_{ij}^2+{\left(D_y{q}_3\right)}_{ij}^2}\right)}}+\lambda {\Vert \frac{K{P}^{\text{T}}q-f}{2f}\Vert }_2^2,$ (11)

其中，K为模糊核K对应的离散矩阵。然后，为了应用ADMM算法，我们引入了一些辅助变量。中的最小化问题可以改写为约束最小化问题，

$\underset{q}{\min }{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(\sqrt{{\left|{\left(w_1^x\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_2^x\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_1^y\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_2^y\right)}_{i,j}\right|}^2}+\partial \sqrt{{\left|{\left(w_3^x\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_3^y\right)}_{i,j}\right|}^2}\right)}}+\lambda {\Vert \gamma \Vert }_2^2.$

$s.t.w_1^x=D_x{q}_1,w_2^x=D_x{q}_2,w_1^y=D_y{q}_1,w_2^y=D_y{q}_2,w_3^x=D_x{q}_3,w_3^y=D_y{q}_3,\gamma =\frac{K{P}^{\text{T}}q-f}{2f}.$ (12)

通过引入拉格朗日乘子${\tau }_j^x,{\tau }_j^y\left(j=1,2,3\right),\tau$ 和惩罚项(β > 0)，我们得到增广拉格朗日函数，

$\begin{array}{c}{ℒ}_{\beta }\left(w_1^x,w_2^x,w_3^x,w_1^y,w_2^y,w_3^y,\gamma ,q_1,q_2,q_3,{\tau }_1^x,{\tau }_2^x,{\tau }_3^x,{\tau }_1^y,{\tau }_2^y,{\tau }_3^y\right)\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(\sqrt{{\left|{\left(w_1^x\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_2^x\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_1^y\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_2^y\right)}_{i,j}\right|}^2}+\partial \sqrt{{\left|{\left(w_3^x\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_3^y\right)}_{i,j}\right|}^2}\right)}}+\lambda {\Vert \gamma \Vert }_2^2+\left({\tau }_1^x,w_1^x-D_x{q}_1\right)\\ +\left({\tau }_2^x,w_2^x-D_x{q}_2\right)+\left({\tau }_3^x,w_3^x-D_x{q}_3\right)+\left({\tau }_1^y,w_1^y-D_y{q}_1\right)+\left({\tau }_2^y,w_2^y-D_y{q}_2\right)+\left({\tau }_3^y,w_3^y-D_y{q}_3\right)+\left(\tau ,\gamma -\left(\frac{K{P}^{\text{T}}q-f}{2f}\right)\right)\\ +\frac{\beta }{2}\left({\Vert w_1^x-D_x{q}_1\Vert }^2+{\Vert w_2^x-D_x{q}_2\Vert }^2+{\Vert w_3^x-D_x{q}_3\Vert }^2+{\Vert w_1^y-D_y{q}_1\Vert }^2+{\Vert w_2^y-D_y{q}_2\Vert }^2+{\Vert w_3^y-D_y{q}_3\Vert }^2+{\Vert \gamma -\left(\frac{K{P}^{\text{T}}q-f}{2f}\right)\Vert }^2\right).\end{array}$ (13)

求解子问题。

对于$w_i^x,w_i^y\left(j=1,2,3\right)$ ，

$\begin{array}{c}{\left(w_1^x\right)}^{k+1}=\arg \underset{w_1^x}{\min }{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\sqrt{{\left|{\left(w_1^x\right)}_{i,j}^k\right|}^2+{\left|{\left(w_2^x\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_1^y\right)}_{i,j}^k\right|}^2+{\left|{\left(w_2^y\right)}_{i,j}^k\right|}^2}}}+\left({\left({\tau }_1^x\right)}^k,w_1^x-D_x{\left(q_1\right)}^k\right)+\frac{\beta }{2}{\Vert w_1^x-D_x{q}_1\Vert }^2\\ =\arg \underset{w_1^x}{\min }{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\sqrt{{\left|{\left(w_1^x\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_2^x\right)}_{i,j}^k\right|}^2+{\left|{\left(w_1^y\right)}_{i,j}^k\right|}^2+{\left|{\left(w_2^y\right)}_{i,j}^k\right|}^2}}}+\frac{\beta }{2}{\Vert w_1^x-D_x{\left(q_1\right)}^k+\frac{{\left({\tau }_1^x\right)}^k}{\beta }\Vert }^2.\end{array}$ (14)

令$w_{i,j}={\left[{\left(w_1^x\right)}_{i,j},{\left(w_2^x\right)}_{i,j},{\left(w_1^y\right)}_{i,j},{\left(w_2^y\right)}_{i,j}\right]}^{\text{T}}$ ，

${\left(s_1\right)}^k={\left[D_x{\left(q_1\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_1^x\right)}^k}{\beta },D_x{\left(q_2\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_2^x\right)}^k}{\beta },D_y{\left(q_1\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_1^y\right)}^k}{\beta },D_y{\left(q_2\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_2^y\right)}^k}{\beta }\right]}^{\text{T}}.$ (15)

则有：

$\left({\left(w_1^x\right)}^{k+1},{\left(w_2^x\right)}^{k+1},{\left(w_1^y\right)}^{k+1},{\left(w_2^y\right)}^{k+1}\right)=\arg \underset{w_1^x,w_2^x,w_1^y,w_2^y}{\min }{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\Vert w_{i,j}\Vert +}}\frac{\beta }{2}{\Vert w_{i,j}-{\left(s_1\right)}^k\Vert }^2.$ (16)

利用收缩公式得出：

${\left(w_i^x\right)}^{k+1}=\max \left\{0,\Vert {\left(s_1\right)}^k\Vert -\frac{1}{\beta }\right\}\cdot \frac{D_x{\left(q_i\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_i^x\right)}^k}{\beta }}{\Vert {\left(s_1\right)}^k\Vert }\left(i=1,2\right),$ (17)

${\left(w_i^y\right)}^{k+1}=\max \left\{0,\Vert {\left(s_1\right)}^k\Vert -\frac{1}{\beta }\right\}\cdot \frac{D_y{\left(q_i\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_i^y\right)}^k}{\beta }}{\Vert {\left(s_1\right)}^k\Vert }\left(i=1,2\right).$ (18)

同样地，令

${\left(s_2\right)}^k={\left[D_x{\left(q_3\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_3^x\right)}^k}{\beta },D_y{\left(q_3\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_3^y\right)}^k}{\beta }\right]}^{\text{T}}.$ (19)

利用收缩公式得出：

${\left(w_3^x\right)}^{k+1}=\max \left\{0,\Vert {\left(s_2\right)}^k\Vert -\frac{\partial }{\beta }\right\}\cdot \frac{D_x{\left(q_3\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_3^x\right)}^k}{\beta }}{\Vert {\left(s_2\right)}^k\Vert },$ (20)

${\left(w_3^y\right)}^{k+1}=\max \left\{0,\Vert {\left(s_2\right)}^k\Vert -\frac{\partial }{\beta }\right\}\cdot \frac{D_y{\left(q_3\right)}^k-\frac{{\left({\tau }_3^y\right)}^k}{\beta }}{\Vert {\left(s_2\right)}^k\Vert }.$ (21)

对于${\gamma }_i\left(i=1,2,3\right)$ ：

$\begin{array}{c}{\left({\gamma }_i\right)}^{k+1}=\arg \underset{{\gamma }_i{}^x}{\min }\lambda {\Vert {\gamma }_i\Vert }_2^2+\left({\tau }_i,{\gamma }_i-\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)\right)+\frac{\beta }{2}{\Vert {\gamma }_i-\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)\Vert }^2\\ =\arg \underset{{\gamma }_i{}^x}{\min }\lambda {\Vert {\gamma }_i\Vert }_2^2+\frac{\beta }{2}{\Vert {\gamma }_i-\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)+\frac{{\tau }_i}{\beta }\Vert }^2.\end{array}$ (22)

求解得到：

${\left({\gamma }_i\right)}^{k+1}=\max \left\{0,{\Vert \left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)-\frac{{\tau }_i}{\beta }\Vert }_2^2-\frac{\lambda }{\beta }\right\}\cdot \frac{\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)-\frac{{\tau }_i}{\beta }}{{\Vert \left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)-\frac{{\tau }_i}{\beta }\Vert }_2^2}.$ (23)

对于$q_i\left(i=1,2,3\right)$ ：

$\begin{array}{c}{\left(q_i\right)}^{k+1}=\arg \underset{q_i}{\min }\left({\left({\tau }_i^x\right)}^k,{\left(w_i^x\right)}^{k+1}-D_x\left(q_i\right)\right)+\frac{\beta }{2}{\Vert {\left(w_i^x\right)}^{k+1}-D_x\left(q_i\right)\Vert }^2+\left({\left({\tau }_i^y\right)}^k,{\left(w_i^y\right)}^{k+1}-D_y\left(q_i\right)\right)\\ +\frac{\beta }{2}{\Vert {\left(w_i^y\right)}^{k+1}-D_y\left(q_i\right)\Vert }^2+\left({\tau }_i^k,{\gamma }_i^{k+1}-\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)\right)+\frac{\beta }{2}{\Vert {\gamma }_i^{k+1}-\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)\Vert }^2\\ =\arg \underset{q_i}{\min }\frac{\beta }{2}({\Vert {\left(w_i^x\right)}^{k+1}-D_x\left(q_i\right)+\frac{{\left({\tau }_i^x\right)}^k}{\beta }\Vert }^2+{\Vert {\left(w_i^y\right)}^{k+1}-D_y\left(q_i\right)+\frac{{\left({\tau }_i^y\right)}^k}{\beta }\Vert }^2\\ +{\Vert {\gamma }_i^{k+1}-\left(\frac{{\left(k*u\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)+\frac{{\tau }_i^k}{\beta }\Vert }^2).\end{array}$ (24)

令$\tilde{k}=Pk{P}^{\text{T}}$，

$\begin{array}{c}{\left(q_i\right)}^{k+1}=\arg \underset{q_i}{\min }\frac{\beta }{2}{({\Vert {\left(w_i^x\right)}^{k+1}-D_x\left(q_i\right)+\frac{{\left({\tau }_i^x\right)}^k}{\beta }\Vert }^2+\Vert {\left(w_i^y\right)}^{k+1}-D_y\left(q_i\right)+\frac{{\left({\tau }_i^y\right)}^k}{\beta }\Vert }^2\\ +{\Vert {\left(P\gamma \right)}_i^{k+1}-\left(\frac{{\left(\tilde{k}*q\right)}_i-{\left(Pf\right)}_i}{2{\left(Pf\right)}_i}\right)+\frac{{\left(P\tau \right)}_i^k}{\beta }\Vert }^2),\end{array}$ (25)

等同于以下矩阵方程的解

$\begin{array}{c}\left(D_x^{\text{T}}{D}_x+D_y^{\text{T}}{D}_y+{\tilde{k}}^{\text{T}}\tilde{k}\right)q_i=D_x^{\text{T}}\left({\left(w_i^x\right)}^{k+1}+\frac{{\left({\tau }_i^x\right)}^k}{\beta }\right)+D_y^{\text{T}}\left({\left(w_i^y\right)}^{k+1}+\frac{{\left({\tau }_i^y\right)}^k}{\beta }\right)\\ +{\tilde{k}}^T\left(2{\left(Pf\right)}_i{\left(P\gamma \right)}_i^{k+1}+2{\left(Pf\right)}_i+\frac{2{\left(Pf\right)}_i{\left(P\tau \right)}_i^k}{\beta }\right),\end{array}$ (26)

利用快速傅里叶变换，得到

(27)

其中$ℱ$ 表示傅里叶变换，*表示复共轭，◦表示分量乘法。详见[24]。

综上，本文交替最小化算法的具体步骤为：

步骤1选择一组合适的参数$\lambda ,\beta ,\epsilon$ ；

步骤2初始参数$w^x,w^y,\gamma ,{\tau }^x,{\tau }^y,\tau$ ；

步骤3迭代更新k步。

${\left(w_1^x\right)}^{k+1}=\arg \underset{w_1^x}{\min }{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^n\sqrt{{\left|{\left(w_1^x\right)}_{i,j}^k\right|}^2+{\left|{\left(w_2^x\right)}_{i,j}\right|}^2+{\left|{\left(w_1^y\right)}_{i,j}^k\right|}^2+{\left|{\left(w_2^y\right)}_{i,j}^k\right|}^2}}}+\left({\left({\tau }_1^x\right)}^k,w_1^x-D_x{\left(q_1\right)}^k\right)+\frac{\beta }{2}{\Vert w_1^x-D_x{q}_1\Vert }^2,$

${\left({\gamma }_i\right)}^{k+1}=\arg \underset{{\gamma }_i{}^x}{\min }\lambda {\Vert {\gamma }_i\Vert }_2^2+\left({\tau }_i,{\gamma }_i-\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)\right)+\frac{\beta }{2}{\Vert {\gamma }_i-\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)\Vert }^2,$

$\begin{array}{c}{\left(q_i\right)}^{k+1}=\arg \underset{q_i}{\min }\left({\left({\tau }_i^x\right)}^k,{\left(w_i^x\right)}^{k+1}-D_x\left(q_i\right)\right)+\frac{\beta }{2}{\Vert {\left(w_i^x\right)}^{k+1}-D_x\left(q_i\right)\Vert }^2+\left({\left({\tau }_i^y\right)}^k,{\left(w_i^y\right)}^{k+1}-D_y\left(q_i\right)\right)\\ +\frac{\beta }{2}{\Vert {\left(w_i^y\right)}^{k+1}-D_y\left(q_i\right)\Vert }^2+\left({\tau }_i^k,{\gamma }_i^{k+1}-\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)\right)+\frac{\beta }{2}{\Vert {\gamma }_i^{k+1}-\left(\frac{{\left(K{P}^{\text{T}}q\right)}_i-f_i}{2f_i}\right)\Vert }^2,\end{array}$

${\left({\tau }_i^x\right)}^{k+1}={\left({\tau }_i^x\right)}^k+\beta \left({\left(w_i^x\right)}^{k+1}-D_x{\left(q_i\right)}^{k+1}\right)\left(i=1,2,3\right),$

${\tau }^{k+1}={\tau }^k+\beta \left({\gamma }^k-\left(\frac{K{P}^{\text{T}}q-f}{2f}\right)\right).$

步骤4设置迭代终止条件

$\frac{{\Vert {\left(q_3\right)}^{k+1}-{\left(q_3\right)}^k\Vert }_2}{{\Vert {\left(q_3\right)}^k\Vert }_2}\le \epsilon$ 。

4. 实验结果及分析

本节通过数值实验，验证了本文所提出模型与算法在去噪性能上的有效性。为评估本文提出的SVTV模型，我们在一系列对比实验中展示了其优越性。本研究选择了经典的TV-KL模型[7]和PIDSplit算法[25]，以及SVTV-L1模型[11]，作为对比基准，分析它们在图像恢复方面的表现。对于结构化图像的实验，我们使用SSIM (结构相似性指数) [26]和PSNR (峰值信噪比)指标，后者被认为能很好地反映人眼的视觉感知来衡量去噪后图像的质量。另一方面，对于带噪的真实彩色图像，由于没有对应的无噪图像作为参照，无法计算PSNR和SSIM值，因此本文引入了平均梯度(Average Gradient, AG)作为另一种评价指标[27]，以更全面地评估图像复原效果。

在实验的设置方面，我们为每种方法设定了相同的停止准则，即当连续迭代的相对误差小于等于$1\times {10}^{-6}$ 时中断迭代，以保证结果的公平性。具体参数的设置上，对于TV模型，参数值与Wu等人[7]研究中的设定一致；而对于提出的SVTV模型，将值通道的参数设为$\alpha =1$ ，以确保在色度和亮度调控上达到最优效果。此外，为了获得最佳的去噪效果，SVTV模型中的保真度项$\lambda$ 参数取值范围为$\left[\sqrt{N}/1000，\sqrt{N}/10\right]$ ，步长为0.5，其中$N$ 为总像素数，并通过PSNR值进行优化选择。与此同时，在ADMM方法的迭代过程中，惩罚参数$\beta$ 被设定为0.01和0.1两种情况，以在不同条件下检验算法的稳健性。主要算法在MATLAB中实现，所有实验均在配置为Intel(R)Core(TM)i7-10710U处理器和16GBRAM的计算机上运行，并使用MATLAB2020a进行处理。

4.1. 结构图像去噪

本节展示了不同模型和算法在彩色结构化图像去噪中的性能。我们选取了六幅干净的结构化图像(如图1第一列所示)，并通过MATLAB命令生成带有泊松噪声的退化图像，

$Z=\text{poissrnd}\left(\max \left(0,I/d^2\right)*d^2\right),$ (28)

其中，$I$ 表示原始图像，$Z$ 表示噪声图像，$d$ 为控制噪声强度的比例因子。通过调整$d$ 的大小，使泊松噪声的平均值降低，以模拟不同噪声水平的影响(如图1第二列所示)。然后，我们分别使用TV-KL模型[7]和PIDSplit算法[25]，以及SVTV-L1模型[11]和本文提出的SVTV模型对这些噪声图像进行去噪处理，结果展示在图1第三至第六列中。

为了进一步对提出算法的去噪效果进行客观、定量的评估，本文对比分析了各类模型在彩色结构图像去噪任务中的表现。通过对表1中数据的深入分析可以发现，本文所提出的模型在PSNR和SSIM两项指标上均优于其他主流方法。

Table 1. PSNR and SSIM values of structural image denoising results

表1. 结构图像去噪结果的PSNR和SSIM值

图像	PSNR				SSIM
	CTV-KL	PIDSplit	SVTV-L1	Ours	CTV-KL	PIDSplit	SVTV-L1	Ours
Ⅰ	26.2052	26.1703	29.8415	31.1895	0.7783	0.77783	0.87805	0.90052
Ⅱ	26.0045	25.9796	29.0901	30.932	0.7901	25.9796	0.87245	0.91878
Ⅲ	26.1608	25.9796	31.0172	31.6163	0.7857	25.9796	0.91554	0.92367
Ⅳ	26.0159	25.9844	29.1949	31.1252	0.8885	0.88869	0.94569	0.96344
Ⅴ	27.0970	27.1211	30.4957	30.7284	0.5972	0.59932	0.65451	0.64126
Ⅵ	26.0024	26.968	29.9504	31.4345	0.7360	0.73601	0.8939	0.91308

Figure 1. The denoising results of structural images using different models and algorithms

图1. 不同模型与算法对结构图像的去噪结果

与TV-KL和PIDSplit算法相比，本文算法在彩色图像的色度信息利用上表现出色。TV-KL模型在保持边缘细节方面有优势，但对色彩信息的充分利用相对有限，而PIDSplit算法则主要侧重于提高处理速度，其对彩色图像的结构还原略显不足。相较之下，本文提出的模型在多个关键环节的设计上展现出显著优势。通过在HSV颜色空间中引入饱和度–明度全变差(SVTV)，模型充分利用了色度信息，有效提升了去噪后图像的视觉质量，相比传统的TV-KL模型克服了其主要关注亮度信息而忽视色彩信息利用的局限性。此外，模型通过对泊松噪声保真项进行近似处理(如泰勒展开)，解决了其非线性问题，从而在噪声去除与边缘细节保持之间达到了更优的平衡。同时，通过引入边缘保护机制并采用优化的迭代算法，在去噪过程中保留了丰富的边缘和细节信息，从而提升了去噪后的图像视觉质量。

此外，与SVTV-L1模型相比，本文模型在应对泊松噪声方面表现更优。SVTV-L1模型虽然结合了饱和度–明度全变差和L1保真度项，具备一定的噪声抑制效果，但在处理带有泊松噪声的复杂彩色图像时，其去噪能力相对有限。本文模型在设计上更加注重泊松噪声的特性，采用适当的保真度项与SV-TV方法相结合，增强了对噪声分布的自适应性，使其能够在去噪的同时保留图像的色彩和细节层次。最终实验结果表明，本文提出的算法在PSNR和SSIM指标上显著优于SVTV-L1和其他对比方法，展示出更为卓越的去噪效果。

综上所述，本文提出的模型在去噪性能上具有显著优势，能够在去除噪声的同时保持图像的高视觉质量，为彩色图像复原领域提供了更加理想的解决方案。

4.2. 真实图像去噪

为了更全面地验证本文算法在处理真实图像中的有效性，本文精心选取了四幅典型的真实彩色图像，这些图像均受到高斯–泊松混合噪声的干扰，具体如图2第一列所示。这些图像的噪声水平未知，可以真实地模拟实际拍摄环境中常见的复杂噪声情况。为评估算法的去噪效果，我们将本文提出的模型与几种主流算法进行了对比，包括TV-KL模型[7]和PIDSplit算法[25]，以及SVTV-L1模型[11]。通过对比不同方法在去噪方面的表现，本文选取图2第二至五列分别展示各模型处理后的图像结果，从多个角度观察它们在去除噪声、保留细节以及色彩还原方面的表现。

Figure 2. The denoising results of different models and algorithms on real images

图2. 不同模型与算法对真实图像的去噪结果

特别地，通过本次对比实验，我们希望深入分析不同算法的优缺点，验证本文方法在去噪效果上的优势。TV-KL模型作为经典的去噪模型，因其具有较强的边缘保持能力而被广泛应用。PIDSplit算法在提高算法收敛速度和处理效果方面表现突出；而SVTV-L1模型结合了饱和度–明度全变差与L1范数保真度，使得该方法在去除噪声的同时能够较好地保留图像的结构信息。相比之下，本文提出的模型在综合多种去噪策略的基础上进行了优化，不仅能有效去除高斯–泊松混合噪声，还在边缘保护、色彩还原等方面达到了良好的平衡，特别适用于复杂场景的真实图像去噪处理。

实验结果显示，本文模型在去噪性能、细节保护和色彩真实还原等方面均优于对比模型，展示出显著的改进效果。这表明，本文方法在高斯–泊松混合噪声背景下具有更强的鲁棒性和适用性，能够更好地满足实际应用中对高质量图像去噪的需求。

从表2的实验结果中可以明显看出，在真实噪声环境下，本文算法在各项指标上表现突出，尤其是取得了最高的AG (Average Gradient)值。AG值作为衡量图像边缘和细节信息保留能力的重要指标，其数值越高，说明算法在去噪过程中越能有效地保留图像的细节结构和边缘特征。因此，本文算法在AG值上的优异表现表明其能够更好地应对真实噪声下的图像处理任务，特别是在彩色图像去噪方面展示出较强的优势。

Table 2. AG values of the enlarged area for real image denoising results

表2. 真实图像去噪结果放大区域的AG值

图像	评价指标	CTV-KL	PIDSplit	SVTV-L1	Ours
Ⅶ	AG	0.0361	0.0466	0.0441	0.0623
Ⅷ	AG	0.0223	0.0267	0.0304	0.0386
Ⅸ	AG	0.0415	0.0324	0.0354	0.0719
Ⅹ	AG	0.0093	0.0098	0.0089	0.0161

具体而言，AG值的提升意味着本文算法在降噪的同时并未过度平滑图像，从而能够显著减少边缘模糊现象，最大限度地保持了图像的清晰度和细节层次。这一性能在真实彩色图像的去噪应用中尤为重要，因为真实场景中复杂噪声的存在使得图像的边缘和细节信息往往容易丢失，而本文算法的高AG值则显示出其在噪声抑制和细节保护上的平衡性。此外，相较于其他算法，本文方法能够在噪声水平不确定的情况下实现自适应的去噪处理，使得其在真实场景中的适用性和鲁棒性得到了进一步验证。

总的来说，本文算法在去除噪声的同时有效保留了图像的边缘和细节信息，从而显著提升了去噪后图像的视觉质量。这不仅体现了算法在彩色图像处理领域的优势，也为高质量图像去噪提供了更加理想的解决方案。

5. 结语

本文研究提出了一种结合饱和度–明度全变差(SVTV)模型与泊松噪声保真项的彩色图像去噪方法，旨在实现更高效的噪声去除与细节保护效果。通过利用泰勒展开对泊松噪声保真项进行线性化处理，模型克服了传统保真项非线性优化的困难，使其能够与SVTV模型有机结合。这种设计显著提升了模型在噪声抑制和边缘细节保留方面的性能，尤其是相较于传统的L1保真项方法，表现出更优越的图像还原能力。在实验对比中，本文模型在PSNR和SSIM指标上均优于TV-KL模型[7]、PIDSplit算法[25]和SVTV-L1模型[11]，展现了在泊松噪声处理中的先进性。具体来说，本文方法不仅能够在去除噪声的同时保留更多图像的纹理与结构信息，还有效利用了彩色图像的色度信息，从而显著提升了图像的整体视觉质量。这一成果为彩色图像去噪领域提供了新思路，也验证了SVTV模型结合泊松保真项在处理非加性噪声问题上的应用潜力。综上，本文所提出的方法通过有效整合泊松保真项与SVTV模型，在保留图像细节、增强色彩利用以及提升视觉质量方面展现了显著优势，为未来彩色图像去噪方法的开发奠定了坚实基础。