多方式保偏光子晶体光纤建模仿真及优化

Multi-Mode Bias-Preserving Photonic Crystal Fiber Modelling Simulation and Optimization

摘要: 光子晶体光纤具有大模场面积、高功率载能、高保偏性能等诸多优势。目前性能优良的光子晶体光纤依赖进口且价格昂贵，急需实现国产化。本文按照稳定的正六边形结构排布光子晶体光纤的空气孔，然后分别以对边中线和对角线为对称轴制造空气孔缺陷，得到6种不同结构的几何型保偏光子晶体光纤。经过比较以上6种光纤的双折射大小，得出空气孔缺陷以对角线为轴对称排布的光子晶体光纤具有更佳的保偏性能。之后在光子晶体光纤内部添加一对以对角线为轴对称分布的圆形应力区，使得光纤的双折射达到了10⁻⁴量级。对比最内层无空气孔缺陷的光纤而言，有空气孔缺陷后双折射得到了5 × 10⁻⁶的提升。同时证明了增大应力区面积和减小应力区偏离纤芯距离均对双折射有提升效果。最后分析光纤在不同纤芯折射率和空气孔尺寸下的双折射、限制性损耗和基模有效面积变化。结果表明，增大纤芯折射率和空气孔尺寸会略微减小光纤的双折射，但是基模模场面积得到了极大的优化。本篇文章对几何和应力双折射进行了详细分析和探究，为光子晶体光纤的设计和制备提供了新思路。

Abstract: Photonic crystal fiber has many advantages such as large mode field area, high power carrying capacity, high bias preserving performance and so on. At present, photonic crystal fibers with excellent performance are imported and expensive, and there is an urgent need for localization. In this paper, the air holes of the photonic crystal fiber are arranged according to the stable hexagonal structure, and then the air hole defects are fabricated by taking the middle line of the opposite side and the diagonal line as the symmetry axis respectively, so as to obtain six kinds of geometrically bias-preserving photonic crystal fibers with different structures. After comparing the birefringence sizes of the above six optical fibers, it is concluded that the photonic crystal fiber with the air hole defects arranged symmetrically on the diagonal axis has a better bias preserving performance. Afterwards, a pair of circular stress zones with diagonally symmetric distribution were added inside the photonic crystal fiber, which made the birefringence of the fiber reach the magnitude of 10⁻⁴. In comparison with the fiber without air hole defects in the innermost layer, the birefringence was enhanced by 5 × 10⁻⁶ with air hole defects. It is also demonstrated that both increasing the area of the stress region and decreasing the distance of the stress region away from the core have an enhancing effect on the birefringence. Finally, the changes of birefringence, limiting loss and effective area of fundamental mode are analyzed for fibers with different core refractive indices and air hole sizes. The results show that increasing the core refractive index and air hole size slightly reduces the birefringence of the fiber, but the fundamental mode field area is greatly optimized. In this article, geometrical and stress birefringence is analyzed and investigated in detail, providing new ideas for the design and preparation of photonic crystal fibers.

1. 引言

光纤激光器有输出能量高和光束质量高等特点，在精密加工、芯片切割、激光医疗等领域[1] [2]得到了广泛应用。通常这类激光器的光纤器件需要承载巨大的能量，传统的较小芯径的普通双包层光纤在导入高能光波时很容易产生非线性效应[3]，会使光纤激光器主要性能受到限制，很难适配大功率的激光应用。

光子晶体光纤(photonic crystal fiber, PCF)是一种包层由特殊微结构规律排列形成的特殊光纤[4]，通过控制芯区和包层区微结构的形状大小，可以实现诸多特性，如无截止单模输出[5]，大模场有效面积[6]，高散热性能[7]等。PCF一系列的独特优势也可大大削减非线性效应的影响，因此被广泛应用于光学传感[8]、光波放大[9]、超快激光[10]等领域。

光纤制作过程中难以避免的缺陷会破坏光波的双简并态，导致模式质量下降，增加偏振特性可极大破坏其简并度，使模态趋于单偏振。光子晶体光纤结构灵活，这为光纤引入各向异性设计提供了巨大空间。保偏光子晶体光纤要求能够达到一定量级的双折射。形成光纤双折射主要有两种方式，分别是几何双折射[11]和应力双折射[12]。通常在常规PCF设计基础之上，通过改变各种内部结构或材料来达到较高的模式双折射。制造PCF几何双折射有诸多方法，其一是添加非完全对称的纤芯，其中椭圆纤芯[13]最常见。最近，一种双矩形夹层的纤芯[14]也被研究，该设计是通过在PCF核心区域嵌入两个高折射率矩形硅条，中间留有纳米级尺寸的低折射率空气缝隙。由于这种结构设计的x极化方向模式可以很好地限制在低折射率气隙区，而光波模式在y方向上主要由内包层椭圆气孔引起全内反射(total internal reflection, TIR)主导，不同导模机制使电位移场矢量不连续，该研究设计的PCF双折射高达10⁻¹。此外，包层微结构不对称也可实现偏振保持。例如利用不同尺寸大小的空气孔在xy两个方向上对称分布[15]，使得两方向上的极化损失不同，得到固定波段单极化；或是在包层区域制造微结构缺陷[16]，研究人员通过对圆形微气孔进行六边形、圆形和矩形晶格排布，并结合气孔大小变化对各种排布类型的模式双折射进行比较分析，其中基于三角形晶格几何设计在归一化频率0.48下双折射高达12.6 × 10⁻³。

应力型保偏光纤是利用机械应力使得两个相互垂直极化方向折射率不等，折射率高的方向为快轴，反之为慢轴。如传统的熊猫型光纤和领结型光纤，通过在其中一个轴向对称区域的“熊猫眼”或“领结”处添加应力，来达到该效果。一些研究发现，椭圆孔辅助型熊猫型光纤[17]可以进一步增加双折射大小。在保偏光子晶体光纤中，引入高应力会使得相互垂直的两个方向上折射率差值进一步增大，使得光束传播常数不同。在这种条件下，即使光纤受到外部环境干扰(如微弯曲、扭曲)，两个正交模也无法发生耦合。PM-PCF的双折射率越高，其维持偏振能力就越强。

本篇文章针对PCF的结构、模式和保偏性能展开研究。首先分析了不同位置和不同数量共6种缺陷类型的几何双折射类PCF结构，并对各种类型双折射进行对比分析。后采用各项参数较优结构，在此基础之上叠加应力区，并分析应力区位置和大小变化给双折射带来的影响。然后通过改变纤芯折射率优化模场，从而得到模场质量更优、保偏效果更强的新型保偏光子晶体光纤。最后对该PCF进行分析，得到对应的模场面积和损耗参数。

2. 理论基础与数学模型

高质量光纤需要满足一系列性能参数。常规单模光纤(single mode fiber, SMF)的一个重要参数标准就是其归一化频率V小于2.405。光子晶体光纤和普通单模光纤的归一化截止频率计算方法略有不同，且根据公式(1)计算，PCF单模运作条件是V_PCF ≤ π。下面是PCF归一化截止频率计算公式[18]：

$V_{\text{PCF}}=\frac{2\pi \Lambda }{\lambda }\sqrt{n_{\text{core}}^2+n_{\text{eff}}^2}$ (1)

其中Λ是微结构间距，λ为波长，n_eff为包层等效折射率，其大小取决于空间填充模(fundamental space-filling mode, FSM)的传播常数β_FSM大小，n_core为纤芯折射率，对于SiO₂纤芯材料而言，可利用sellmeier色散公式进行精确计算[19] [20]：

$n^2-1=\frac{0.6961663{\lambda }^2}{{\lambda }^2-{\left(0.0684043\right)}^2}+\frac{0.4079426{\lambda }^2}{{\lambda }^2-{\left(0.1162414\right)}^2}+\frac{0.897479{\lambda }^2}{{\lambda }^2-{\left(9.896161\right)}^2}\cdots$ (2)

根据上式计算可以得到，当波长为1.06 μm时，纤芯折射率为1.44968。PCF包层中的空气占空比f大小为$d/\Lambda$ ，空气孔相对尺寸为$\Lambda /\lambda$ ，按照参考文献结果分析[21]，在f ≤ 0.3的条件下，若空气孔相对尺寸小于15，即可实现单模条件。

理想单模光纤具有完美的对称性，使得所有光波传输基模HE都以双简并度相互正交。单偏振要求能够得到较高的双折射值，即在两个极化方向上有效模式折射率之差更大。为了使光波在PCF中保持线偏振传输，同时避免破坏基模双简并性，引入较高应力来增加偏振模${\text{HE}}_{11}^x$ 和${\text{HE}}_{11}^y$ 的传播常数β_x和β_y之差，进一步提高PCF双折射效率。

本篇文章基于全矢量有限元分析方法(finite element method, FEM)，利用多物理场仿真软件COMSOL作为运算工具，对所提出的各种PCF结构进行了电磁学的模式分析。在分析应力双折射时加入了固体力学，模拟高温下光纤退火过程，得到了光纤在冷却到玻璃凝固温度时在应力区域产生热应力，进而得到x和y方向直接应力。再通过光弹性效应[22]表达式计算两垂直方向上的折射率：

$\begin{array}{l}{n}_x=n_0-\left(C_1{\sigma }_x+C_2{\sigma }_y\right)\\ n_y=n_0-\left(C_2{\sigma }_x+C_1{\sigma }_y\right)\end{array}$ (3)

其中n₀为无应力材料添加时基底折射率，C₁和C₂分别为第一和第二应力光弹性系数，σ_x和σ_y分别为x和y方向上的应力张量[23]。进而得到应力双折射表达式为：

$B_s=n_y-n_x=\left(C_2-C_1\right)\cdot \left({\sigma }_y-{\sigma }_x\right)$ (4)

根据式(4)可得，由于材料应力使折射率发生变化，导致光纤双折射升高，从而带来光波传播的各向异性。对光纤而言，沿其长度即光束传播z方向尺寸远大于光纤截面尺寸，因此z轴折射率是一个常数。光纤中电场矢量传播[24]满足下列表达式：

$E_{(x,y,z,t)}=E_{(x,y)}\exp \left[i\left(\omega t-\beta z\right)\right]$ (5)

式中，β为光纤传播常数，ω为角频率。由亥姆霍兹方程得到了电场本征值方程[25]：

$\nabla \times \left(n^{-2}\nabla \times E\right)-k_0^{2}E=0$ (6)

式中，$k_0=2\text{π}/\lambda$ 为在真空中传播的波数，λ为工作波长。利用波动光学解析方法得到了光纤有效折射率。据此可以得到添加应力后PM-PCF的模式双折射[26]，其计算公式如下：

$B=\frac{{\beta }_x-{\beta }_y}{k_0}=n_{\text{eff}}^x-n_{\text{eff}}^y$ (7)

其中，β_x和β_y为传播常数，$n_{\text{eff}}^x$ 和$n_{\text{eff}}^y$ 分别为x方向和y方向上有效模态折射率。一般来说，光波模式中心电场强度最强，由中心光强最大值到其大小的1/e²倍所围剖面面积即为光斑模态有效面积(A_eff) [27]，A_eff也是评价光纤性能的一项重要指标，其大小可通过下式进行计算：

$A_{\text{eff}}=\frac{{\left({\displaystyle \underset{s}{\iint }{\left|E\right|}^2}\text{d}x\text{d}y\right)}^2}{{\displaystyle \underset{s}{\iint }{\left|E\right|}^4}\text{d}x\text{d}y}$ (8)

式中，S为纤芯面积，E为电场分量。

公式(9)是光纤传输中限制性损耗L的计算表达式[28]：

$L=\frac{20}{\ln \left(10\right)}\cdot \frac{2\text{π}}{\lambda }\cdot \mathrm{Im}\left(n_{\text{eff}}\right)$ (9)

其中Im(n_eff)表示有效指数虚部。利用COMSOL计算出基模有效折射率n_eff，将其虚部代入计算，即可算出PCF的限制损耗。

3. 器件设计与优化分析

六边形具有良好的结构稳定性，常规的大模场光子晶体光纤设计一般都是按照正六边形排列堆叠空气孔，图1所示是本设计基于一个二氧化硅实体纤芯替代的常规PCF结构。以6层空气孔PCF为基础，纤芯和包层的基底材料为SiO₂，其折射率根据公式(2)随光波波长变化，空气孔折射率为1。该结构尺寸设计为：纤芯直径a为20 μm，空气孔直径d大小3 μm，占空比d/Λ为0.3。计算在1.06 μm波长下孔径相对尺寸为9.434，满足单模条件。

Figure 1. Design drawing of a conventional PCF

图1. 常规PCF设计图

本篇文章按照常规六边形空气孔排列的PCF设计为基础，对多空气孔缺陷的新型PCF结构进行仿真研究。设计思路是填充横向对称的部分空气孔并保持纵向空气孔结构完整，形成相互垂直方向上的结构不对称。对于正六边形而言，沿着对角线和对边中线对称的图形形状不同，在此分别探究了两种对称方式下共六种缺陷类型PCF的模场分布及双折射大小，具体构造及模场分布见图2。

(a) 以对边中线为对称轴的几何缺陷PCF

(b) 以对角线为对称轴的几何缺陷PCF

Figure 2. PCF design and light field mode diagram of microstructural defects in air porosity

图2. 空气孔微结构缺陷PCF设计和模式图

其中，Ⅰ型PCF是以对边中线为对称轴设计空气孔缺陷，Ⅱ型PCF缺陷是以对角线作为对称轴。Type1、2、3分别代表着空气孔缺少数量分别是2个、6个和12个。根据以上设计分别计算各个类型PCF双折射随波长的变化，结果如下。

Figure 3. Birefringence plot of PCF with wavelength for each type of geometric defect

图3. 各个类型几何缺陷PCF双折射随波长变化图

根据图3可以明确看出，常规PCF的双折射无明显变化，其他类型的双折射大小都随着波长增大而增加。同时，几何缺陷的不同对称方式对双折射影响也有不同，经比较得出，Ⅱ型PCF各个类型双折射明显大于Ⅰ型PCF，原因是Ⅱ型PCF的缺陷结构是以对角线为轴对称分布的，该结构缺陷对横向和竖向光波简并态的影响更大，因此双折射更高。在1.06 μm波长下，Ⅱ型type3结构双折射达到了2.8415 × 10⁻⁷。结合空气孔微结构缺陷PCF的模式分布结果，按照基本的模场圆度进行分析，可以判断Ⅰtype1具有最理想的模场分布，然而其双折射不能达到较高标准。反观Ⅱtype1光子晶体光纤，去除了最内层对称的2个空气孔，模式仅发生微小畸变，然而双折射在所有类型的第四个梯度上，在1.06 μm波长下的双折射达到了2.0222 × 10⁻⁷。因此下文将进一步讨论该类型光子晶体光纤。

几何保偏型PCF多是对空气孔大小及排布进行设计或是制造结构缺陷，通过干扰光波模式的简并性形成偏振光。然而这种方法对光纤光波导的基模偏振影响较小，为了进一步提高双折射性能，对上文Ⅱtype1添加应力区优化双折射效率。表1展示的是各个区域添加材料属性以及仿真参数。为了达到进一步提高双折射性能的目标，表中各项数据是在被验证的基础之上进行了部分优化。通过添加固体力学研究，在变量计算下得到相应结果。

Table 1. Material property parameters for each region

表1. 各个区域材料属性参数

参数	纤芯	包层	应力区
热膨胀系数α/(1/˚C)	5.4 × 10^−7	5.4 × 10^−7	5.4 × 10^−6
杨氏模量E/Pa	7.83 × 10^10	7.8 × 10^10	5.26 × 10^10
泊松比v	0.186	0.186	0.265
密度ρ/(Kg/m^3)	2203
第一弹光系数C1/(1/Pa)	−6.9 × 10^−13
第二弹光系数C2/(1/Pa)	−4.19 × 10^−12
起始温度TO/˚C	20
工作温度TD/˚C	1250

保持原先空气孔大小和孔间距不变，在去除部分外层空气孔的区域添加圆形应力区，图4所示即为添加应力区的PCF初始模型。该模型在常规PCF分布基础上，靠近纤芯区的内3层微气孔排布保持完整六边形结构不变，在横向方向上对称两边去除部分外层空气孔，在距纤芯圆心D = 40sin(π/6) μm处添加直径R = 10 μm的圆形应力区，建构初始应力保偏PCF模型。

纤芯和包层折射率仍按照1.06 μm波长下SiO₂的折射率计算，应力区折射率为1.436。基于图4所示结构，通过填充空气孔及改变应力区位置和大小的方式，探究各种情况下对模场以及双折射大小的影响。各个类型PCF结构图与波长为1.06 μm的模场图案详见图5。

为了保持光波模式的完整简并态和一定的几何双折射大小，选取了上述Ⅱtype1 PCF作为进一步的研究对象，将横向轴上的两个空气孔填充，即Ⅲ type1 PCF。之后在保持最内层微结构不变的条件下改动应力区。type2是缩小应力区距纤芯距离(D = 30sin(π/6) μm)；type3则是在type2基础上进一步扩大应力区面积(R = 15 μm)。通过仿真计算，得到以上描述的各个类型基模双折射大小随波长变化，所得数据变化如图6所示。

根据图6可判断，初始模型与Ⅲ type1比较而言，后者双折射较初始模型有4 × 10⁻⁶的提升，这说明PCF可以实现多种保偏方式的性能叠加；类型1、2对比可以看出，将应力区和纤芯距离拉近10 μm，双折射可得到约2.4 × 10⁻⁴的提升；从应力区大小来看，对type2、3比较分析可以发现，当应力区半径从10 μm扩大到15 μm时，双折射系数可以扩大到之前的2倍。由此可以发现，应力双折射效果较前文讨论的几何双折射来说更加明显。

Figure 4. Initial model of PCF with added stress zones

图4. 添加应力区PCF初始模型

Figure 5. Structural design and light field mode diagram of PCF with added stress zone

图5. 添加应力区PCF结构设计和模式图

Figure 6. Birefringence plot of PCF with wavelength for each type of superimposed PCF

图6. 各个类型双折射叠加PCF双折射随波长变化图

从上述应力双折射PCF仿真基模模式图可以看到，在较大应力作用下，虽然双折射显著提高，但是模场出现了较大失真。为了使基模模场圆度更高，在可以实现单模输出的前提下适当提升PCF芯区折射率来探究Ⅲ type3的双折射变化和模场面积大小。

(a) 双折射及偏振损耗变化图

(b) 模场面积变化图

Figure 7. Parameter curve of the refractive index change of the core.

图7. 纤芯折射率变化的参数曲线

(a) 双折射及偏振损耗变化图

(b) 模场面积变化图

Figure 8. Parametric curve of the change in the diameter of the air hole

图8. 空气孔直径变化的参数曲线

图7所示的结果表明，增加纤芯折射率可以增强纤芯束光能力，光波易发生简并进而双折射降低。然而在高应力作用下，该结构双折射仍然能够保持在7 × 10⁻⁴以上。纤芯折射率大小在接近SiO₂折射率前后，x方向限制性损耗有较大突变，分析原因是纤芯和包层折射率越接近则NA越小，纤芯内部传输光泄露程度就会增加。计算纤芯的剖面实际面积为314 μm²，根据模场面积变化情况来看，在1.4496的纤芯折射率下的模场面积高达600 μm²，而经折射率调节过后的芯处模场面积在350 μm²左右。由此可见，纤芯折射率增加在很大程度上调节了模场失真度，纤芯和包层间折射率差越大，两个极化方向模场面积越靠近纤芯实际大小。

通常空气孔大小也会对PCF的性质造成一定影响。基于上述模场面积接近纤芯实际大小的折射率研究了不同空气孔大小对双折射和基模损耗的影响并进一步对模场面积进行分析。

根据图8数据变化可以发现，双折射随空气孔增大而减小，由于主应力的影响， PCF双折射大小仍保持在7 × 10⁻⁴以上。两种简并模式的限制性损耗之差随着孔径增大呈指数式衰减，该结果说明PM-PCF设计思路是空气孔越小，越容易实现单模偏振。然而模场的质量的变化与之相反，当PCF微结构孔径越大，内部结构对纤芯光场限制更加明显，导致模场面积线性下降，光斑的面积与纤芯实际面积更加接近，提高了输出光的光束质量。

4. 结论

本文首先设计了多种类型的几何型保偏PCF，并且探究了在两种包层微结构对称方式下各自双折射大小。之后在PCF内部添加一对圆形应力区，就其有无微结构缺陷、应力区大小和与纤芯距离对双折射的影响进行对比分析。最后探究了双折射最大的PCF结构在改变其纤芯折射率和包层空气孔直径时光纤的损耗以及模场面积。一系列的探究可以得到，沿对角线对称制造的PCF微结构缺陷设计可以达到更高双折射，添加应力区的光纤双折射均达到了10⁻⁴量级，并且制造双空气孔缺陷可以给光纤带来10⁻⁶的提升。对应力区的进一步分析可以得出应力区越大或距纤芯越近，PCF双折射越大。同时，增大纤芯折射率和空气孔直径可以得到输出模场面积接近纤芯面积的光束质量。本文对保偏光子晶体光纤结构和性能进行了详细的探究及分析，为保偏光子晶体光纤的设计和制备提供了可靠思路。