基于VNS-IWOA算法的定制公交出行调度与路径优化

Customized Bus Trip Scheduling and Route Optimization Based on NVS-IWOA Algorithm

摘要: 为研究定制公交系统的调度与线路集成优化问题，并充分考虑乘客需求特性，本文提出了一种定制公交与小汽车混合服务策略，旨在最小化系统运营成本和乘客出行成本。为此，构建了一个混合整数规划模型，用于优化车辆调度与路径优化。针对模型特点，设计了基于变邻域搜索的改进鲸鱼优化算法(VNS-IWOA)，并进行了算例求解。结果表明，结合小汽车与定制公交的混合服务模式使系统总成本降低了5.88%；在大规模算例求解中，VNS-IWOA算法在求解质量和收敛速度上均优于遗传算法(GA)和传统鲸鱼优化算法(IWOA)，系统成本分别降低了9.7%和8.9%，充分验证了VNS-IWOA算法的有效性和优越性。

Abstract: To address the scheduling and route integration optimization of customized bus systems while fully considering passenger demand characteristics, this study proposes a collaborative service strategy integrating customized buses and private cars. The objective is to minimize both system operating costs and passenger travel expenses. A mixed-integer programming model is developed to optimize vehicle routes, vehicle type selection, scheduling times, and passenger assignments. Given the model’s complexity, a Variable Neighborhood Search Improved Whale Optimization Algorithm (VNS-IWOA) is designed. Passenger demand was randomly generated on the road network in the Wuhan Economic and Technological Development Zone for extensive case testing. Results show that the collaborative service strategy reduces total system costs by 5.88%. For large-scale cases, the VNS-IWOA outperforms the Genetic Algorithm (GA) and the traditional Whale Optimization Algorithm (IWOA) in both solution quality and convergence speed, achieving system cost reductions of 9.7% and 8.9%, respectively, thus verifying the effectiveness and superiority of the VNS-IWOA approach.

1. 引言

定制公交(Customized Bus Service)是一种新兴的公共交通模式，旨在通过提供个性化和灵活的出行选择来满足乘客的出行需求，具有动态路线和灵活时间安排。然而，如何优化车辆调度和路径，以最大限度提高运营效率和乘客满意度，仍然是一个具有挑战性的问题。现有定制公交调度模型与算法的研究可分为以下几类：(1) 定制公交车辆调度模型。最初的研究主要集中于最小化运营成本[1]，后续研究则注重通过最大化乘客利益来提高乘客满意度[2]。但往往只考虑单一目标，即乘客或运营者的利益。为获得更优的调度方案，Ayadi等[3] [4]提出了一种同时考虑运营者与乘客利益的模型，以最小化运营成本和最大化服务质量为目标。Chen等[5]通过引入提前到达惩罚函数来优化运营成本和乘客利润，最小化车辆使用量和路线成本。为进一步提升整体服务水平，Kim等[6]研究了传统公交与CB协同调度，整合传统和灵活服务，匹配不同地区，降低系统成本并减少乘客换乘时间。Nourbakhsh等[7]通过优化网络布局和发车间隔，研究无发车线路的公交，提高服务水平。Liu等[8]将CB与发车线路联合优化，发车线路负责跨区域干线服务，CB提供第一和最后一公里接驳。(2) 车辆路径优化算法研究。Perera等[9]通过增加迭代次数改进了遗传算法，生成了更高精度的时间表并减少了乘客的出行时间。靳文舟等[10]提出了一种基于精英选择的遗传算法，通过替换低适应度个体为精英成员，加快了算法收敛速度。Santos等[11]比较了非支配排序遗传算法-II (NSGA-II)和增强Pareto进化算法(SPEA2)，发现NSGA-II具有更高的收敛性。Sun等[12]使用协同蚁群算法对模糊需求模型进行计算，重新定义了信息素和启发式信息，解决了传统蚁群算法的局限性。靳文舟等[13]研究了混合遗传蚁群算法，结合了两种算法的优势，提高了求解能力和稳定性。Galarzo等[14]开发了一种大邻域搜索启发式算法，以优化CB接驳服务，能够在短时间内生成高质量结果。马晓磊等[15]利用拉格朗日松弛方法解决模型问题，平衡了高峰时段乘客分布，提高了公交负载合理性。

现有研究在模型和算法方面仍存在不足。从模型角度来看，单一车型的定制公交虽然具备灵活性，但在需求分散或运力不足时，难以有效服务所有乘客，尤其是在偏远或需求较低的地区，导致系统的覆盖率和可达性受到限制。而从算法角度来看，许多现有研究依赖传统优化方法，未能针对模型特性进行有效改进，限制了求解的质量和效率。

本文针对这些不足，提出了一种结合小汽车与定制公交的混合服务模式，以增强系统的覆盖率和可达性。此外，本文引入基于变邻域搜索的改进鲸鱼优化算法(VNS-IWOA)，优化系统车辆调度和路径规划，以最小化运营成本和乘客出行时间，提升调度方案的质量和服务效率。

2. 定制公交系统调度与路径优化模型

2.1. 问题描述

在研究区域内，乘客需提前预约出行服务，并提供包括上下车位置及期望到达时间等基本信息。系统将根据这些信息，对具有相似出行需求的乘客进行智能整合，从而确定集中的上车和下车区域。这些区域将涵盖多个上下车站点，以便通过混合车型的定制公交服务来满足乘客需求。定制公交将从车场出发，依次在上车区域接载乘客，随后将他们送达目的地，完成服务后返回车场。在确保车辆满载率和行驶时间等关键约束条件得到满足的前提下，系统将优化线网方案，以实现服务区域内运营成本的最小化。这一过程不仅提高了车辆使用效率，还确保了乘客出行的便捷性和经济性。

为简化模型，做出以下假设：(1) 运营公司收集区域内的乘客出行申请信息并统计后，确定出行需求订单，包括出行人数、上下车站点、下车时间窗；(2) 小汽车视为特殊定制公交车型，统一处理车辆类型；(3) 已知车场和各站点之间的距离；(4) 道路状况良好，视车辆的行驶状态为匀速行驶。

2.2. 模型目标

以运营商运营成本和用户出行成本最小化为目标函数，表示为：

$\min F=F_1+F_2+F_3+F_4$ (1)

$F_1={\displaystyle \sum _{k\in K}{\displaystyle \sum _{m\in M}{x}_{k0}\cdot y_{km}\cdot f_m}}$ (2)

$F_2={\displaystyle \sum _{k\in K}{\displaystyle \sum _{m\in M}{\displaystyle \sum _{s\in S}d\left(R_s^k,R_{s+1}^k\right)\cdot c_m\cdot y_{km}}}}$ (3)

$F_3={\displaystyle \sum _{k\in K}{\displaystyle \sum _{m\in M}{\displaystyle \sum _{s\in S}{\displaystyle \sum _{p\in P}{n}_p\cdot d\left(R_s^p,R_{s+1}^p\right)\cdot g_m\cdot y_{km}\cdot z_{kp}}}}}$ (4)

$F_4=\alpha \cdot {\displaystyle \sum _{k\in K}{\displaystyle \sum _{s\in S}{\displaystyle \sum _{p\in P}{n}_p\cdot z_{kp}\cdot \left({\mu }_s^{kp}\cdot T_s^k-{\lambda }_s^{kp}\cdot T_s^k\right)}}}$ (5)

发车成本$F_1$ 包括车辆发车成本。式(2)中：K为车辆集合；M表示车辆类型集合；S表示站点集合,包括上下车站点和车场。$f_m$ 表示m类型车辆单位发车成本；$x_{ks}$ 表示车辆k经过站点s则为1，否则 = 0，用$x_{k0}$ 的取值来判断车辆k是否经过车场“0”；$y_{km}=1$ 表示车辆k的车型为m。

运营成本$F_2$ 包括车辆行驶中的操作运行成本。式(3)中：$R_s^k$ 表示车辆k路径的站点s；$c_m$ 表示m类型车辆单位距离行驶成本；$d\left(R_s^k,R_{s+1}^k\right)$ 表示车辆k路径中站点$s与s+1$ 之间的距离。

乘客出行成本$F_3$ 由车辆车费组成。式(4)中：P为出行订单集合；$R_s^p$ 表示订单p服务车辆路径中的站点s；$g_m$ 表示乘客乘坐m类型车辆的单位距离出行成本；$z_{kp}$ = 1表示车辆k被指派服务订单p；$n_p$ 表示订单p的乘客人数。

乘客时间成本$F_4$ 由乘客的乘车时间计算得到。式(5)中：$\alpha$ 表示用户乘车的单位时间成本；${\lambda }_s^{kp}$ 、${\mu }_s^{kp}$ 表示在站点s点上下车则${\lambda }_s^{kp}=1$ 、${\mu }_s^{kp}=1$ ，否则 = 0；$T_s^k$ 表示车辆k到达其行驶路径中站点s的时间。

2.3. 约束条件

为保证能够集成化优化定制公交系统的车辆调度线路规划，需要考虑车辆运营约束、乘客乘车中的时间和路径约束等限制。因此需要考虑以下约束条件：

1) 乘客乘车约束。式(6)~式(7)约束每个订单乘客上下车顺序的唯一性；式(8)~式(9)约束订单p的上下车站点为乘坐车辆路径$R_s^p$ 的起终点；式(10)要求车辆服务订单时，必须满足下车时间在其预期服务时间窗口内。

${\displaystyle \sum _{k\in K}{\displaystyle \sum _{s\in S}{\lambda }_s^{kp}=1,\forall p\in P}}$ (6)

${\displaystyle \sum _{k\in K}{\displaystyle \sum _{s\in S}{\mu }_s^{kp}=1,\forall p\in P}}$ (7)

${\displaystyle \sum _{k\in K}{\lambda }_{R_1^P}^{kp}}=1,\forall p\in P$ (8)

${\displaystyle \sum _{k\in K}{\mu }_{R_{\left|R_s^p\right|}^p}^{kp}}=1,\forall p\in P,s\in S$ (9)

$e_p\le {\displaystyle \sum _{s\in S}{\mu }_s^{kp}\cdot T_s^k}-{\displaystyle \sum _{s\in S}{\lambda }_s^{kp}\cdot T_s^k}\le l_p,\forall k\in K,p\in P$ (10)

式(6)~式(10)中：$\left[e_p,l_p\right]$ 表示订单p预期下车时间窗。

2) 车辆约束。式(11)~式(12)约束车辆从车场出发且出发时车内没有搭载乘客；式(13)约束根据上下车乘客数动态调整的载客量既不得低于最低发车载客量，也不得超过最大载客量；式(14)展示了车辆在行驶过程中载客量的计算方式。

$R_1^k=0$ (11)

$Q_0^k=0,\forall k\in K$ (12)

${Q^{\prime }}_m\le Q_s^k\le Q_m,\forall k\in K,m\in M,s\in S$ (13)

$Q_s^k=Q_{s-1}^k+{\displaystyle \sum _{p\in P}{\mu }_s^{kp}\cdot n^p}-{\displaystyle \sum _{p\in P}{\lambda }_s^{kp}\cdot n^p},\forall k\in K,s\in S$ (14)

式(11)~式(14)中“0”表示车场；$Q_s^k$ 表示车辆k从其路径中站点s出发时的载客量；$Q_m$ 、${Q^{\prime }}_m$ 分别为车型m车辆的最大载客量、最低载客量；$n_p$ 为订单p乘客人数。

3) 时间和路径约束：式(15)描述了车辆在行驶过程中到达各站点所需时间的计算方法。式(16)约束了了车辆最早服务时间和最晚服务时间不超过车辆的运行时间窗。

$T_s^k=T_{s-1}^k+\frac{d\left(R_{s-1}^k,R_s^k\right)}{v_m}$ (15)

$T_{\min }\le T_s^k\le T_{\max },\forall k\in K,s\in S$ (16)

式(15)~式(16)中：$v_m$ 表示m类型车辆速度；$\left[T_{\min },T_{\max }\right]$ 表示车辆的运行时间窗。

3. 改进的WOA算法设计

针对混合0-1整数规划这一NP-hard问题，为满足定制公交系统的快速响应需求，本文提出了一种结合变邻域搜索(VNS)与改进鲸鱼优化算法(IWOA)的VNS-IWOA算法。该算法采用贪婪算法构造初始解，并通过重新定义个体位置更新公式，使IWOA适应离散问题。同时，设计了三种改进的移动算子，结合VNS中的局部搜索策略，有效提升了算法的全局与局部寻优能力。

3.1. 编码与解码

本研究针对混合车型进行定制公交网络优化问题的特点，采取整数编码来表示车辆调度和路线，染色体编码示例说明如图1所示。示例染色体中存在两条车辆路线，分别为$0\to 3^{+}\to 4^{+}\to 3^{-}\to 4^{-}\to 0$ 和$0\to 2^{+}\to 1^{+}\to 1^{-}\to 5^{+}\to 5^{-}\to 2^{-}\to 0$ ，其中$p^{+}$ 和$p^{-}$ $\left(p =1,2,3,4,5\right)$ 分别表示上、下车站点，0代表车场，通过0把染色体分隔成不同的车辆路径并得到每辆车服务的出行订单编号。

Figure 1. Chromosome Encoding of VNS-IWOA Algorithm

图1. VNS-IWOA算法染色体编码

本研究采用“后推”解码方式，通过下车站点推导上车站点，同时考虑车辆容量、乘客下车时间窗和上下车点的约束。具体步骤包括：首先，根据分隔符“0”分解染色体，提取下车站点信息；其次，依据下车时间窗约束确定服务顺序，确保乘客在规定时间内完成下车；随后，沿路径跟踪上下车事件，实时计算路径中的最大同乘人数。在此基础上，结合混合车型合理分配车辆类型，最大化车辆利用率并降低运营成本，同时满足乘客需求。

3.2. 贪婪算法构造初始解

在鲸鱼优化算法的初始化阶段，使用贪婪算法生成初始解。为优化订单分配，本文首先根据下车时间排序，并依据乘客数量分类，如式(17)所示。

$\{\begin{array}{l}{P}_{bus}=\left\{p_i\in P|n_p>Q_{car}\right\}\\ P_{flexible}=\left\{p_i\in P|n_p\le Q_{car}\right\}\end{array}$ (17)

其中$P_{bus}$ 、$P_{flexible}$ 分别为分配给定制公交、定制公交或小汽车的订单，$n_p$ 为订单p的乘客数量，$Q_{car}$ 表示小汽车容量。

在分配过程中，优先选择$P_{bus}$ 中订单，尝试将其分配到能够满足时间窗和容量约束的定制公交车辆中。随后，对于$P_{flexible}$ 中的订单，利用贪婪策略，在小汽车和定制公交之间选择合适的车辆，以确保每个订单均能在规定的时间窗内得到服务。

3.3. 鲸鱼个体位置更新

针对定制公交系统调度与路径优化模型，本文在传统WOA算法进行改进，引入动态调整机制，重新定义位置更新公式，如式(18)所示。设随机数为p，$p\in \left[0,1\right]$ ，$A=2\cdot p$ ，则$A\in \left[0,2\right]$ ，算法根据随机数p和A动态选择捕食策略。当$A>1$ 时,引入螺旋路径的随机捕食算子，增加随机性，打破局部最优，增强搜索空间的探索性；当$A\le 1$ 时，利用直线捕食算子进行搜索，模拟多样化捕食行为，提升解的质量与算法收敛速度。

$X^{j+1}=\{\begin{array}{l}{X}^{*}+A\cdot \left|X^{*}-X^j\right|\cdot {\text{e}}^{b\cdot l}\cdot \cos \left(2\pi l\right)\text{ if}A>1\\ X^{*}-A\cdot \left|X^{*}-X^j\right|\text{if}A\le 1\end{array}$ (18)

其中，$X^{j+1}$ 表示位置更新后的鲸鱼个体，$X^j$ 表示当前鲸鱼个体，$X^{*}$ 表示当前最佳鲸鱼个体；$D=\left|X^{*}-X^j\right|$ 表示当前鲸鱼与最优解之间的距离；l是一个区间$\left[1,-1\right]$ 之间的随机数，用于调节螺旋运动的形状；b是螺旋系数，控制螺旋路径的曲率。

当$A>1$ ，根据$D=\left|X^{*}-X^j\right|$ 来计算当前鲸鱼与最优解之间的距离，通过${\text{e}}^{b\cdot l}$ 和$\cos \left(2\pi l\right)$ 的组合调制螺旋运动，通过一种复杂的动态逼近策略实现鲸鱼个体更新。

当$A\le 1$ ，基于参数p的值采用两种交叉方式进行位置更新，如式(19)所示。

$X^{j+1}=\{\begin{array}{l}Cros{s}_1\left(X^j,X^{*}\right)\text{if}p\le 0.5\\ Cros{s}_2\left(X^j,X^{*}\right)\text{ if}p>0.5\end{array}$ (19)

其中$Cros{s}_1$ 表示$X^j$ 与$X^{\text{*}}$ 进行循环交叉，$Cros{s}_2$ 表示$X^j$ 与$X^{\text{*}}$ 进行顺序交叉。交叉方式示例如图2所示。

(1) $Cros{s}_1$ 直线捕食算子–循环交叉

在鲸鱼个体$X^j$ 中随机选择一个位置$p_1$ 上的元素$l_1$ ，再找到鲸鱼个体$X^{*}$ 中$p_1$ 位置上的元素$l_2$ ，再返回鲸鱼个体$X^j$ 找到元素$l_2$ 所在的位置$p_2$ ，重复此操作，直至形成一个环；将鲸鱼个体$X^j$ 和$X^{*}$ 中未选择的元素互相交换位置，生成两个新的鲸鱼个体$X_1$ 和$X_2$ 。

(2) $Cros{s}_2$ 直线捕食算子–顺序交叉

在鲸鱼个体$X^j$ 中随机选择一组元素$L_1$ ；其次在鲸鱼个体$X^{*}$ 中找到$L_1$ 中所有元素的位置；将选择的元素依次交换$X^j$ 和$X^{*}$ 中元素的位置生成两个新的鲸鱼个体$X_1$ 和$X_2$ 。

通过述两种交叉操作生成两个新鲸鱼个体$X_1$ 和$X_2$ ，选择目标函数值较小的个体作为更新位置后的新鲸鱼个体$X^{j+1}$ 。

Figure 2. Example of cross mode

图2. 交叉方式示例

3.4. 局部优化搜索

为增强鲸鱼优化算法(WOA)的局部搜索能力，结合变邻域搜索(VNS)，对最优10%的鲸鱼执行局部搜索，并针对定制公交服务的“先上车后下车”特点，提出三种改进策略，提升算法在复杂优化问题上的表现和鲁棒性。

(1) 1-0插入：随机选择一辆车$k_j$ 及其服务的一个订单$p_i$ 。将订单$p_i$ 从$k_j$ 的服务列表中移除，并尝试将其插入另一辆车$k_j$ 的订单列表，寻找最佳插入点以优化目标函数。

(2) 1-1交换：随机选择两辆车$k_j$ 和${k^{\prime }}_j$ ，从各自订单集合中随机选取一个订单$p_i$ 和${p^{\prime }}_i$ 进行交换。确保上车站点$p_i^{+}$ 、${p^{\prime }}_i^{+}$ 和下车站点$p_i^{-}$ 、${p^{\prime }}_i^{-}$ 在各自新路径中的插入位置最优，从而最小化两辆车的总成本。

(3) 车辆删除：随机选择一辆车$k_j$ 及其订单集合，尝试将这些订单重新分配至车辆集合K中除{$k_j$ }其他车辆的订单列表中。重新分配时，确定每个订单$p_i$ 及其$p_i^{+}$ 、$p_i^{-}$ 的最佳插入点，以最小化时间和路径成本，以平衡负载并提升整体服务效率。

3.5. 修复策略

由于混合车型的容量和上下车顺序约束严格，为避免个体更新中不满足约束的情况，本研究引入了修复策略，确保上下车顺序和时间窗等符合要求。

(1) 上下车站点修正：在迭代后的鲸鱼个体$X^j$ 中，根据分隔符“0”将染色体分割成多个子序列$X_i$ 。初始化两个列表，分别存储未匹配的上车和下车编码。遍历$X_i$ ，填补缺失编码并匹配上下车站点，保持上车顺序。随后，对每个经过补全的$X_i{}^{\prime }$ ，重新安排上车编码$p^{+}$ 和下车编码$p^{-}$ ,确保所有$p^{+}$ 均在对应的$p^{-}$ 之前，具体如式(20)所示：

$X_i{}^{\prime }={\displaystyle {\cup }_{p^{+}\in up\_filled\vee p^{-}\in down\_filled}\left(\left\{p^{+}\right\}\cup \left\{p^{-}\right\}\right)}$ (20)

其中$up\_filled$ 和$down\_filled$ 表示补全后的上车和下车站点列表。

最后，将所有重构的$X^{\prime }={\displaystyle {\cup }_i\left(\left\{0\right\}\cup {X^{\prime }}_i\cup \left\{0\right\}\right)}$ 通过“0”重新为最终的编码序列，确保上下车站点都是

完整且正确匹配，解决了可能的编码缺失问题。

(2) 容量和时间窗约束修正：本研究采取两种车型，M为车辆集合，每种车型有一个最大载客量$Q_m$ ；每个订单p有一个乘客人数$n_p$ ，下车时间窗为$\left[e_p,l_p\right]$ ，实际乘车时间为$T_p$ ，预期乘车时间$T_p^{*}$ ，$\lambda$ 为最大乘车时间系数。对于每辆车$k_j\in K$ ，执行以下判断如式(21)：

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum }_{p_i\in k_j}{n}_{p_i}\cdot z_{kp}\cdot y_{km}\le Q_m\\ \left(e_p\le T_p\le l_p\right)\vee \left(T_p\le \lambda \cdot T_p^{*}\right)\end{array}$ (21)

如果超出，则将$p_i$ 分配到其他车辆$k_j$ 中。

4. 算例分析

为验证提出的改进WOA算法及模型的有效性,本研究使用MatlabR2021b编程实现，基于实例数据进行仿真实验，检验所提模型和算法的有效性。所有测试都在一台InterCorei7-8750H CPU@2.20GHz和16GBRAM个人计算机上进行。

4.1. 数据输入

为模拟多样化的乘客出行需求，本研究选择武汉经开区某路网为分析基础，参照VRP标准Solomon数据集的设计理念，生成C200集群分布的乘客需求数据集。数据集包含乘客编号、上下车位置及期望下车时间，采用多起点–多终点模式，共200个乘客需求，聚焦于早高峰时段(7:00~9:00)，定制公交最大运营时间设为120分钟，以覆盖研究时段。基于薛浩楠[16]提出的时空聚类法，设定站点最大服务半径为350米，结合时间间隔3分钟，对出行需求相近的乘客进行聚类，生成50个出行订单、6个上车站点、8个下车站点。部分订单数据如表1所示，乘客位置、订单及站点分布如图3所示。该方法显著提升了服务的可达性与便利性，降低了运营成本，满足了乘客的个性化需求。

Table 1. Travel order data

表1. 出行订单数据

订单编号	乘客数量	上车站点	下车站点	期望下车时间
1	6	2	9	39.3~42.3
2	7	2	8	61.3~64.3
……	……	……	……	……
49	7	5	13	116.66~119.6
50	3	5	11	135.6~138.6

Figure 3. Distribution of boarding and alighting stations and passengers

图3. 上下车站点与乘客分布图

本文模型中车辆发车成本、车辆行驶单位时间成本等根据经验和以往研究确定，具体取值如表2所示。

Table 2. Model information table

表2. 模型信息表

参数	取值	参数	取值
$Q_{bus}$ ，${Q^{\prime }}_{bus}$	30、10人	$Q_{car}$ 、${Q^{\prime }}_{car}$	4、1人
$v_{bus}$ 、$v_{car}$	40、60 km/h	$f_{bus}$ 、$f_{car}$	40、20元/辆
$g_{bus}$ 、$g_{car}$	4、1元/km	$c_{bus}$ 、$c_{car}$	2、3元/km

4.2. 算例求解

利用本研究提出的VNS-IWOA算法求解算例，相关参数赋值如下：迭代次数$Maxgen =200$ ，鲸鱼种群规模$po{p}_{size}=100$ ，螺旋系数$b=1$ 。算例最终求解的目标函数值M，迭代结果如图4所示。

Figure 4. Algorithm iteration curve

图4. 算法迭代曲线

如图4所示，目标函数在48代后趋于稳定，计算得到最优目标函数值$M=2469.531$ 。运营商共使用了8辆定制公交、4辆小汽车，定制公交调度、时刻及线路表如表3所示。

Table 3. Customized bus scheduling, timetable, and route table

表3. 定制公交调度、时刻及线路表

车辆类型	发车时间	路径	乘客总出行时间/min	目标函数值/元
定制公交	7:09:20	5 (16人↑)→13 (7人↓)→11 (9人↓)	74.230	192.488
	7:01:22	4 (17人↑)→11 (7人↓)→10 (6人↓)→3 (7人↑) →11 (5人↓)→4 (7人↑)→8 (13人↓)	75.249	180.669
	7:01:22	4 (13人↑)→12 (13人↓)→5 (5人↑)→8 (5人↓)	76.451	203.863
	7:04:15	6 (7人↑)→12 (7人↓)→5 (6人↑)→9 (5人↓)	81.671	226.113
	7:08:54	12 (7人↑)→3 (2人↑)→9 (9人↓)	73.992	193.271
	7:13:01	3 (7人↑)→12 (7人↓)→2 (19人↑)→3 (8人↑) →10 (9人↓)→7 (9人↓)→14 (9人↓)	249.417	457.562
	7:08:16	1 (16人↑)→10 (16人↓)→1 (7人↑)→9 (2人↓) →14 (5人↓)	98.921	252.871
	7:18:23	6 (11人↑)→14 (11人↓)→2 (8人↑)→9 (8人↓)	108.073	260.722
小汽车	7:19:15	5 (4人↑)→10 (1人↓)→7 (3人↓)→6 (3人↑) →9 (3人↓)→1 (4人↓)→8 (4人↓)	72.584	183.816
	7:09:38	4 (3人↑)→14 (3人↓)→1 (4人↑)→11 (1人↓) →8 (3人↓)	55.705	142.796
	7:15:22	5 (4人↑)→10 (4人↓)→1 (2人↑)→12 (2人↓)	40.793	119.634
	7:05:01	4 (2人↑)→6 (2人↑↓)→7 (4人↓)→6 (4人↑) →7 (4人↓)	15.971	55.727

4.3. 结果分析

在图3所示的路网上，保持其他条件不变，分析单一车型与定制公交和小汽车混合服务的对比，研究车速比对运营效率的影响。

(1) 车辆使用：本研究考虑混合车型，以上述算例方案C200为例，表4列出了在相同需求下，混合车队与同质车队最优方案成本。具体包括以下要素：Veh.为使用车辆总数；Obj.为目标函数成本；Pass.为乘客出行总成本(含乘客出行费用成本和乘客乘车时间成本)；Oper.为运营商总成本(含发车成本和运营成本)。

Table 4. Comparison between single and hybrid vehicle models

表4. 单一车型与混合车型对比

方案	Veh.	Pass.	Oper.	Obj.
混合车型	12 (定制公交：8，小汽车：4)	1524.807	944.724	2469.531
单一车型	11 (定制公交：11)	1581.159	1042.762	2623.921

从表4可见，相比单一车型，采用混合车队时乘客总出行成本减少3.56%、运营商成本减少9.40%、总成本减少5.88%。混合车队通过派遣定制公交接送乘客、派遣小汽车灵活应对分散需求，既降低了运营商成本，又减少了乘客出行总成本，符合定制公交“绿色出行，服务为导向”的宗旨。因此，采用定制公交与小汽车混合服务不仅降低了成本，还优化了服务，使交通系统能够更灵活地应对不同区域和时间的乘客需求。

(2) 车速比对运营效率的影响：通过设定定制公交与小汽车的基准车速比为2:3，并在此基础上调整小汽车的车速，分析不同车速比对运营效率的影响。

Figure 5. Changes in costs with speed

图5. 各成本随速度变化情况

从图5可以看出，以车速比2:3为基准，当车速比从2:3调整到1:2时，车辆发车成本降低5%，运营成本减少2.7%，但乘客费用增加9.1%，时间成本降低15.7%。这表明在较低车速比下，虽然车辆成本和时间成本下降，但乘客费用上升。当车速比调整到3:4时，车辆发车成本降低20%，运营成本减少5.2%，乘客费用减少3.9%，时间成本增加5.4%，同时车辆总数从14辆减少到10辆，其中定制公交与小汽车的车数比从6:8优化至4:6，适度增加车速比降低了运营成本，减少了车辆数量，提升了效率。当车速比调整到3:5时，车辆发车成本略增，乘客费用增加8.5%，但时间成本降低10.8%，车辆总数减少至9辆，车数比变化为5:4。虽然车辆总数减少，但小汽车减少部分被定制公交车增加所抵消，对整体成本产生影响。

总体而言，适度提高车速比(如3:4和3:5)有助于减少车辆成本和乘客时间支出，在经济效益与乘客体验之间取得更好的平衡，提升运营效率。

3.4. 算法有效性测试

为了评估本文提出的VNS-IWOA算法在定制公交出行规划中的正确性和有效性，本文以包含1012位乘客的大规模算例为研究对象，研究范围涵盖80个出行订单、1个公交场站、4个上车站点和6个下车站点。采用Zhang [17]提出的传统GA算法、IWOA与VNS-IWOA对大规模算例进行求解对比，Dev.为改进幅度(%)，若为负值，说明GA或IWOA算法求解结果优于VNS-IWOA。模型和算法参数取值同表2，对比结果见表5，算法迭代对比图如图6所示。

Table 5. Comparison of results of large scale case studies

表5. 大规模算例求解结果对比

算法	Veh.	Pass.	Oper.	Obj.	Dev. (%)
GA	24	1754.681	2049.678	3804.359	9.686%
IWOA	23	1740.752	2033.407	3774.159	8.963%
VNS-IWOA	19	1736.330	1699.556	3435.886	0

Figure 6. Iteration diagrams of three algorithms for large-scale examples

图6. 大规模算例三种算法迭代图

由表5可知：在车辆使用情况方面，VNS-IWOA相较于GA和IWOA，分别减少约20.83%、17.39%。这一结果显示VNS-IWOA在车辆调度上的优越性，有效提升车辆利用率。同时在乘客出行总成本和运营总成本上分别降低了1.0%、0.3%和17.1%、16.4%。总体目标函数值降低了9.7%和8.9%。这些结果表明，VNS-IWOA在降低整体成本和提高运营效率方面具有显著优势。

由图6可见，对于同一组测试数据集，采用GA、IWOA和VNS-IWOA三种算法求解的结果表现出显著差异，其表现优劣顺序为VNS-IWOA优于IWOA，IWOA优于GA。约在迭代至87次时，GA陷入局部最优，目标函数值停止变化，而IWOA和VNS-IWOA则够继续探索并获得更低的目标值，表明VNS-IWOA和IWOA在寻优能力上优于GA。GA曲线中出现多次骤降，可能是由于其交叉和变异操作的随机性过强，导致解的改进效率低下，出现停滞。相较之下，VNS-IWOA在几乎所有迭代中均表现出持续改进，且收敛速度明显快于IWOA，体现了局部搜索策略的优势，最终稳定的目标函数值也低于IWOA的结果。

综上所述，VNS-IWOA算法在定制公交出行规划中展现出更高的优化性能，尤其在减少车辆使用量和降低运营总成本方面，验证了其在大规模算例中的有效性与优势。

5. 结论

本文通过对定制公交系统调度与路径优化问题的研究，提出了一种定制公交与小汽车混合服务的策略，并构建了相应的混合整数规划模型。该模型旨在最小化系统运营和乘客出行成本，通过设计VNS-IWOA算法对模型进行求解，并在算例中验证了其有效性。研究结果归纳如下：(1) 混合服务策略的有效性：通过对比单一车型与混合车型的服务模式，发现混合服务策略能够有效扩大服务覆盖面，同时提高成本效益和乘客满意度。(2) 算法性能对比：VNS-IWOA算法在大规模算例中与GA、IWOA算法相比，展现出在定制公交网络设计中获得更高质量解的能力。(3) 运营效率的影响因素：车速比等因素的影响分析表明，合理的车速比对提升运营效率具有重要作用。(4) 未来研究方向：尽管本研究取得了一定的成果，但未考虑车辆速度的动态变化和实时需求乘客的服务。因此，未来的研究可以引入动态调度策略，并结合实时路网的拥堵情况，以提高系统的敏捷性和整体乘客体验。

综上所述，本研究不仅为定制公交系统的优化提供了新的视角和方法，也为公交公司在快速变化的交通环境中提供了灵活应对的策略建议。

基金项目

国家社会科学基金“智慧出行方案定制及服务提升策略研究”(20CGL018)。