《机械设计》教学中若干问题解释

Explanation for Several Problems in the Teaching of “Mechanical Design”

摘要: 西北工业大学濮良贵教授主编、高等教育出版社出版的《机械设计》是一本机械设计领域的经典教材，自出版以来，在很多高校的机械工程相关专业中广泛使用，深受好评和欢迎。本文捡取了该教材中我们认为或论述有问题、或解释不够简明、或没有展开深入解释、或表达有错误的若干问题，从数学角度给予了详细的解释或证明。这些问题是我们在教学实践中感到青年教师和学生理解比较困难、困惑比较多的问题，搞清楚这些问题的理论基础，有利于加深理解教材、提高教学质量。

Abstract: “Mechanical Design”, edited by Professor Pu Lianggui from Northwestern Polytechnical University and published by Higher Education Press, is a classic textbook in the field of mechanical design. Since its publication, it has been widely used in mechanical engineering related majors in many universities and has received high praise and popularity. This article selects several issues from the textbook that we believe have problems with the discussion, lack concise and clear explanations, have not been elaborated and explained in depth, or have errors in expression, and provides detailed explanations or proofs from a mathematical perspective. These issues are difficult and confusing for young teachers and students to understand in our teaching practice. Clarifying the theoretical basis of these issues is beneficial for deepening understanding of textbooks and improving teaching quality.

1. 引言

西北工业大学机械原理及机械零件教研室编著、濮良贵教授主编、高等教育出版社出版的《机械设计》 [1]是一本机械设计领域的经典教材，自出版以来，一直在很多高校的机械工程相关专业中广泛使用，深受师生的喜爱，至今已出版至第十版。

本文作者们长期教授“机械设计”课程，所用教材一直都是濮良贵教授主编的《机械设计》。濮先生主编的这本《机械设计》(下文简称“濮编《机械设计》”)，可说是一部不可多得的优秀教材。

结合我们的教学经验，本文拣选了濮编《机械设计》教材中我们认为或论述有问题、或解释不够简明、或没有展开深入解释、或表达有问题的六个问题，这些问题也是青年教师和学生比较难理解、困惑比较多的问题，给予解释、纠正或理论证明。

2. 关于“单向稳定变应力时机械零件的疲劳强度计算”

2.1. 单向稳定变应力σ_min = C < 0时零件的疲劳计算

濮编《机械设计》第三章“机械零件的强度”，介绍了机械零件的极限应力线图，并重点讲解了使用零件极限应力线图计算单向稳定变应力在r = C、σ_m = C和σ_min = C三种情况下机械零件的疲劳强度。

在介绍最小应力σ_min = C时机械零件的疲劳强度计算时，讲到当零件的工作应力点M落在图1中的AOJ区域内时说“当工作应力点位于AOJ区域内时，最小应力均为负值。这在实际的机械结构中是极为罕见的，所以无须讨论这一情况”。

Figure 1. Determination of the ultimate stress under σ_min = C

图1. σ_min = C时极限应力确定

最小应力均为负值的情况在实际工况中真的极为罕见么？像图1中M点的情况，该如何计算零件的疲劳强度呢？

实际上，σ_min = C < 0的情况在实际的机械结构中并不罕见。例如：齿根经喷丸强化处理的齿轮，单向传动时，其啮合齿面的齿根应力就是这种情况，如图2示；再比如高速转轴，当必须计入由于其不平衡量产生的离心力的作用时，转子表面的动应力就不再是r = −1的对称循环应力，如图3所示，B点应力不仅σ_min = C < 0，而且σ_m = C < 0；再比如曲轴销中央截面上的名义平均应力和名义最小应力都是负值[2]。

Figure 2. Working stress of tooth root after shot peening strengthening

图2. 经喷丸强化处理的齿根工作应力

Figure 3. Surface stress of a rotating shaft considering centrifugal force

图3. 计入离心力时转轴的表面应力

濮编《机械设计》只讲了当零件的工作应力点落在OJQI区域即σ_m > 0时如何计算零件的疲劳强度，遇到σ_m < 0或σ_min < 0的情况(即零件的工作应力点M落在AOJ区域内)，没有介绍如何处理。国内几乎所有的机械设计教材，对这一问题，要么回避不提，要么完全沿袭濮编《机械设计》中的说法。

图1以应力幅σ_a为纵坐标、以平均应力σ_m为横坐标的σ_a – σ_m极限应力线图，又称为Haigh图。零件的极限应力线图除了Haigh图，还有以最大应力σ_max和最小应力σ_min为纵坐标，以σ_m为横坐标的σ_max(σ_min) – σ_m极限应力曲线，称为Smith图，如图4所示；以及以σ_max(τ_max)为纵坐标，以σ_min(τ_min)为横坐标的σ_max(τ_max) – σ_min(τ_min)极限应力图，称为Goodman图，如图5所示。

Goodman图没有要求必须σ_m(τ_m) > 0或σ_min(τ_min) > 0，因此遇到σ_min(τ_min) = C > 0 (图1中M点)的情况，可以用Goodman图解决零件的疲劳极限问题。即若已知σ_min(τ_min) = C，在Goodman图的横坐标轴找到σ_min(τ_min)值对应点，过该点作横坐标轴的垂线，其与极限应力线的交点的纵坐标值即为零件的疲劳极限值。

Goodman图是把σ_a – σ_m图(Haigh图)旋转45˚，并把纵坐标和横坐标分别变成σ_max和σ_min而来，所以Haigh图和Goodman图本质上是相同的，只是表达方式或呈现形式不同而已。因此像图1那种工作应力点落在AOJ区域内的情况，教材中所讲的单向稳定变应力σ_min = C时机械零件的疲劳强度计算方法与公式仍然适用：过M点作与σ_m轴成45˚的直线，该直线与$\overline{AG}$ 交于点$\text{<msup> M <mo>′</mo> </msup>}\left({{\sigma }^{\prime }}_{\mathrm{m}},{{\sigma }^{\prime }}_a\right)$ ，则零件的疲劳极限值${{\sigma }^{\prime }}_{\max }={{\sigma }^{\prime }}_{\mathrm{m}}+{{\sigma }^{\prime }}_a$ 。

总之，可以明确地说，当零件的σ_min = C，无论零件的工作应力点位于AOJ区域内还是位于OJQI区域，图1都是适用的，零件疲劳强度计算方法与公式都是一样的。

不仅Haigh图与Goodman图本质上是相同的，Haigh图、Goodman图以及Smith图三者本质上也都是相同的。只不过Haigh图更方便用于轴类零件的计算，Smith图方便用于计算螺纹联接，Goodman图则方便用于计算受变载荷的弹簧。

教学中在重点介绍б_a–б_m图及其应用的同时，顺带简介一下Smith图和Goodman图，对于拓展学生们的知识面、开阔学生的思维是有益且必要的。

Figure 4. Smith ultimate stress line diagram [3]

图4. 史密斯极限应力线图[3]

Figure 5. Goodman ultimate stress line diagram [4]

图5. 古德曼极限应力线图[4]

2.2. 单向稳定变应力时机械零件的疲劳强度计算能统一么？

教材在讲解单向稳定变应力作用下机械零件的疲劳强度计算时，分了r = C、σ_m = C和σ_min = C三种情况进行讲解，为什么要分成三种情况呢？为什么不把这三种情况统一起来处理呢？

单向稳定变应力可以用σ_max、σ_min、σ_a、σ_m、r五个参数来描述，但这五个参数中只有两个是独立的。

计算单向稳定变应力作用下机械零件疲劳强度的关键，是求与零件的工作应力特性一致的零件的疲劳极限应力。计算r = C时的疲劳极限，需要知道零件工作应力的循环特性r，r包含两个参数，也就是说，要知道r，需要知道σ_max、σ_min、σ_a、σ_m中的两个参数值，除了r = −1和r = 0两种特殊情况，实际设计时是很难知道r的精确值的。

σ_m = C和σ_min = C两种情况则不然，只需要知道σ_m或σ_min一个参数的值或一种信息就够了，这是比较容易做到的。如设计紧螺栓连接时，因为知道预紧力，所以可以确切知道σ_min的大小；对弹簧，根据弹簧的静平衡位置，可以知道弹簧丝中平均应力τ_m的大小。这样根据较少的确定信息，就可以确定零件的疲劳极限值。

由于需要知道的零件工作应力的参数信息及多少不同，计算r = C、σ_m = C和σ_min = C三种情况下零件疲劳极限的方法不同且不能统一。

3. 螺栓刚度、被连接件刚度、预紧力与螺栓疲劳强度及连接可靠性的关系的数学解释

濮编《机械设计》第五章“螺纹连接和螺旋传动”第5~8节“提高螺纹连接强度的措施”分析了各种因素对螺栓强度的影响以及提高螺栓连接强度的相应措施。在“降低影响螺栓疲劳强度的应力幅”一节，讲到螺栓刚度C_b、被连接件刚度C_m、预紧力F₀对螺栓疲劳强度和连接可靠性的影响与关系时，用了3幅图进行说明和解释，显得复杂、麻烦且不易理解。

这里，我们用数学方法更加简单和直白地解释、说明C_b、C_m、F₀对螺栓疲劳强度和连接可靠性的影响与关系。

在教材第5~6节“螺纹连接的强度计算”，有：

残余预紧力$F_1=F_0-\frac{C_m}{C_b+C_m}F$ (1)

螺栓总拉力$F_2=F_0+\frac{C_b}{C_b+C_m}F$ (2)

应力幅${\sigma }_a=\frac{C_b}{C_b+C_m}\frac{2F}{\pi d_1^2}$ (3)

(2) 式两边对C_b和C_m分别求导，有：

$\frac{\partial F_2}{\partial C_b}=\frac{C_m}{{\left(C_b+C_m\right)}^2}F>0$ (4)

$\frac{\partial F_2}{\partial C_m}=-\frac{C_b}{{\left(C_b+C_m\right)}^2}F<0$ (5)

(4)式和(5)式说明，螺栓总拉力F₂对C_b是单调递增的、对C_m则是单调递减关系，所以F₂随C_b减小而减小、随C_m增大而减小。则由(2)式可知，当预紧力F₀和工作载荷F保持不变，同时减小C_b、增大C_m可使螺栓总拉力F₂变化的范围即应力幅减小，从而使螺栓的疲劳强度得到提高。

(3)式两边对C_b和C_m分别求导，则更直接地可以看到：

$\frac{\partial {\sigma }_a}{\partial C_b}=\frac{C_m}{{\left(C_b+C_m\right)}^2}\frac{2F}{\pi d_1^2}>0$ (6)

$\frac{\partial {\sigma }_a}{\partial C_m}=-\frac{C_b}{{\left(C_b+C_m\right)}^2}\frac{2F}{\pi d_1^2}<0$ (7)

即：当预紧力F₀和工作载荷F保持不变，螺栓中的应力幅随C_b减小而减小、随着C_m增大而减小。

(1)式两边对C_b和C_m分别求导，有：

$\frac{\partial F_1}{\partial C_b}=\frac{C_m}{{\left(C_b+C_m\right)}^2}F>0$ (8)

$\frac{\partial F_1}{\partial C_m}=-\frac{C_b}{{\left(C_b+C_m\right)}^2}F<0$ (9)

(8)式和(9)式意味着，随着C_b的减小和C_m的增大，残余预紧力F₁随之减小，这将导致降低连接的可靠性。

因此，要想既提高螺栓的疲劳强度、又能保证连接的可靠性和紧密性，可以在降低螺栓刚度C_b、增大被连接件刚度C_m的同时，适当增加预紧力F₀，以保证残余预紧力F₁保持不变。

4. 关于径向滑动轴承承载量系数C_p的表达式

濮编《机械设计》第十二章“滑动轴承”“径向滑动轴承工作能力计算简介”给出了径向滑动轴承承载量系数C_p的表达式。

教材中推导有限宽轴承油膜总承载力F的过程如下。

距轴承中线z处的油膜压力${P^{\prime }}_y$ 可表示为：

${p^{\prime }}_y=p_y{C}^{\prime }\left[1-{\left(\frac{2z}{B}\right)}^2\right]$ (10)

则轴承承载力：

$F={\displaystyle {\int }_{-\frac{B}{2}}^{+\frac{B}{2}}{p^{\prime }}_y\text{d}z}=6\frac{\eta \omega rB}{{\psi }^2}{\displaystyle {\int }_{-B/2}^{+B/2}{\displaystyle {\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}{\displaystyle {\int }_{{\phi }_1}^{\phi }\left[\frac{\epsilon \left(\cos \phi -\cos {\phi }_0\right)}{B{\left(1+\epsilon \cos \phi \right)}^3}\text{d}\phi \right]\left[-\cos \left({\phi }_a+\phi \right)\text{d}\phi \right]C^{\prime }\left[1-{\left(\frac{2z}{B}\right)}^2\right]\text{d}z}}}$ (11)

令：

$C_p=3{\displaystyle {\int }_{-B/2}^{+B/2}{\displaystyle {\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}{\displaystyle {\int }_{{\phi }_1}^{\phi }\left[\frac{\epsilon \left(\cos \phi -\cos {\phi }_0\right)}{B{\left(1+\epsilon \cos \phi \right)}^3}\text{d}\phi \right]\left[-\cos \left({\phi }_a+\phi \right)\text{d}\phi \right]C^{\prime }\left[1-{\left(\frac{2z}{B}\right)}^2\right]\text{d}z}}}$ (12)

则$F=\frac{\eta \omega dB}{{\psi }^2}{C}_p$ ，C_p称为承载量系数，是一个无量纲量。

但(12)式C_p表达式“ = ”右边却是有量纲量的，也就是说，(12)式表示的C_p是个有量纲量。

问题出在哪儿呢？问题出在教材中在根据一维雷诺方程推导$p_y$ 的表达式时，对雷诺方程的x方向和y方向(油膜厚度h方向)是进行了无量纲化，所以最后推导出的$p_y$ 是无量纲压力，但到了(10)式这里，没有对z方向进行无量纲化，${P^{\prime }}_y$ 是有量纲的。

正确的作法是对z方向也进行无量纲化。为此，引入z的无量纲量$\lambda$ ，并令$z=\frac{B}{2}\lambda$ ，则$\text{d}z=\frac{B}{2}\text{d}\lambda$ 。(11)式中z的变化范围为+B/2~-B/2，则$\lambda$ 的变化范围为+1 ~ −1。

将(10)式变为：${p^{\prime }}_y=p_y{C}^{\prime }\left[1-{\lambda }^2\right]$ ，这样，${P^{\prime }}_y$ 就成为无量纲的压力。则：

$F={\displaystyle {\int }_{-1}^{+1}{p^{\prime }}_y\text{d}\lambda }=3\frac{\eta \omega rB}{{\psi }^2}{\displaystyle {\int }_{-1}^{+1}{\displaystyle {\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}{\displaystyle {\int }_{{\phi }_1}^{\phi }\left[\frac{\epsilon \left(\cos \phi -\cos {\phi }_0\right)}{B{\left(1+\epsilon \cos \phi \right)}^3}\text{d}\phi \right]\left[-\cos \left({\phi }_a+\phi \right)\text{d}\phi \right]C^{\prime }\left[1-{\lambda }^2\right]\text{d}\lambda }}}$ (13)

令：

$F=\frac{\eta \omega dB}{{\psi }^2}{C}_p$

$C_p=3{\displaystyle {\int }_{-1}^{+1}{\displaystyle {\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}{\displaystyle {\int }_{{\phi }_1}^{\phi }\left[\frac{\epsilon \left(\cos \phi -\cos {\phi }_0\right)}{B{\left(1+\epsilon \cos \phi \right)}^3}\text{d}\phi \right]}\left[-\cos \left({\phi }_a+\phi \right)\text{d}\phi \right]C^{\prime }\left[1-{\lambda }^2\right]\text{d}\lambda }}$ (14)

这里(14)式等号右边所有变量都是无量纲化了，C_p就自然成为一个无量纲量。

所以，承载量系数C_p正确的表达式应该是(14)式而不是(12)式。濮编《机械设计》教材中关于径向滑动轴承承载量系数C_p的表达式是有问题的，至少等号右边无量纲化是不彻底的。

5. 载荷作用于齿顶时，齿根弯矩的力臂问题

在分析和计算齿根弯曲应力时，为简化计算，假设载荷作用于齿顶且只有一对轮齿承载，如图6(a)所示。用作用于齿顶的法向力F_n计算齿根应力，齿根所受弯矩为什么是$M=F_n\cos \gamma h$ ，而不是$M=F_n\cos \gamma H$ 呢？

这是因为F_n的作用位置不在齿顶截面的形心，所以，计算齿根的弯曲应力前，需要首先把F_n转化到齿顶截面的形心。如图6(b)所示。

Figure 6. Diagram of load on tooth crest. (a) Normal load on tooth crest; (b) Conversion of normal load

图6.齿顶受力图。(a)齿顶法向载荷；(b)法向载荷的转化

则齿根危险截面AB所受弯矩为：

$\begin{array}{c}M=F_n\cos \gamma H-F_n\sin \gamma \overline{DO}=F_n\cos \gamma \left(h+\overline{OE}\right)-F_n\sin \gamma \overline{DO}\\ =F_n\cos \gamma \left(h+\tan \gamma \overline{DO}\right)-F_n\sin \gamma \overline{DO}=F_n\cos \gamma h\end{array}$

所以，法向力F_n作用于齿顶时，齿根所受弯矩是$M=F_n\cos \gamma h$ ，而不是$M=F_n\cos \gamma H$ 。计算齿根所受弯矩时的力臂h而不是H。

6. 摩擦力导致的齿轮塑性变形问题

软齿面、重载、又润滑不良时，齿面将产生过大的摩擦力，导致齿面材料可能发生沿着摩擦力方向的金属塑性流动。在主动轮齿面，金属的流动导致节线处下凹；在从动轮齿面，金属的流动导致节线处凸起，如图7所示。

对齿面在不同啮合点处的相对速度进行分析，有助于学生更好地理解这种现象。

如图8，O₁和O₂分别为主动齿轮和从动齿轮的回转中心；P是节点，$\overline{AB}$ 为啮合线，A、B两点分别为啮合线的起点与终点，V_a、V_b分别为主动轮和从动轮在啮合点的绝对速度，V_ba为啮合点处从动轮齿面相对主动轮齿面的速度。

图8给出了在AP啮合段和PB啮合段两个任意啮合点处，从动齿面相对主动齿面的相对速度V_ba，可以看到，在AP啮合段，V_ba是背向主动齿轮齿根方向指向节点P的，在PB啮合段，V_ba是背向主动齿轮齿顶方向指向节点P的。在整个啮合段AB内，从动齿面相对主动齿面的相对速度方向如图9(a)所示。

因此，主动轮齿面上受到的摩擦力F_f，在AP啮合段是指向齿根方向的(从动齿面的情况则正好相反，摩擦力指向节点方向)，在PB啮合段，摩擦力F_f是指向齿顶方向的(从动齿面上，摩擦力指向节点方向)，如图9(b)所示。当摩擦力足够大，导致齿面发生金属塑性流动时，就会导致主动齿面上节线处下凹、从动齿面上节线处凸起，如图7所示。

Figure 7. Plastic deformation of gear tooth surface caused by friction force

图7. 摩擦力导致的齿面塑性变形

Figure 8. Relative velocity on tooth surface meshing point

图8. 齿面啮合点相对速度

Figure 9. Relative speed of the driven gear surface to the driving gear surface and direction of frictional force on driving gear surface. (a) Relative speed of the driven gear surface to the driving gear surface; (b) Direction of frictional force on driving gear surface

图9. 从动齿面相对主动齿面的速度方向及主动齿面摩擦力方向。(a)从动齿面相对主动齿面的速度；(b)主动齿面摩擦力方向

7. 为什么带传动的打滑首先发生在主动轮上？

带传动依靠带与带轮之间的摩擦力进行传动，在主动轮上，带轮通过摩擦力驱动带运动，在从动轮上，通过摩擦力驱动带轮转动。

无论在主动轮上还是在从动轮上，带与带轮之间的摩擦力或称有效拉力都是$F_{ec}^i=2F_0\frac{1-{\text{e}}^{-f{\alpha }_i}}{1+{\text{e}}^{-f{\alpha }_i}}$ $\left(i=1,2\right)$ ，一旦带传动的负载力大于摩擦力，即$F_{load}>\max \left(F_{ec}^i\right)$ ，带传动就会发生传动失效——打滑。

一般地，带传动的传动比$i>1$ ，主动轮上带的包角${\alpha }_1$ 总小于从动轮上带的包角${\alpha }_2$ ，即${\alpha }_1<{\alpha }_2$ ，所以总有$\max \left(F_{ec}^1\right)<\max \left(F_{ec}^2\right)$ ，因此$F_{ec}^1$ 的最大值$\max \left(F_{ec}^1\right)$ 决定并限制了带传动所能传递功率的上限。

当$F_{load}=\max \left(F_{ec}^1\right)$ 时，主动轮上的带就将出现打滑趋势，只要$F_{load}$ 稍微大于$\max \left(F_{ec}^1\right)$ ，主动轮上的带就会发生明显的打滑，但同时，由于$\max \left(F_{ec}^1\right)<\max \left(F_{ec}^2\right)$ ，从动轮的$F_{ec}^2$ 还未达到$\max \left(F_{ec}^2\right)$ ，还不会发生带的打滑。所以，只要带传动的传动比$i>1$ ，打滑一定首先发生在主动带轮上。

8. 总结

本文拣选了六个濮编《机械设计》教材中没有展开或详细解释的问题，给予详细的解释或数学证明，希望能对青年教师和学生深入理解《机械设计》教材有所裨益和帮助。同时也希望能够启迪青年教师或学生在教授和学习《机械设计》时，能够从数学的层面理解和思考机械零件设计准则背后的理论依据。