平面代数曲线上Birkhoff插值问题研究

Research on the Birkhoff Interpolation Problem on Plane Algebraic Curves

摘要: 本文以一元Birkhoff插值研究结果为基础，对二元Birkhoff插值泛函组的适定性问题进行了研究。通过提出弱Gröbner基的概念及其发现其性质，提出了一种利用两条不同次数代数曲线相交的点，构造出二元Birkhoff插值问题适定泛函组的新方法，从而将该方法所得到的结果推广到一般情形。并得到了构造平面代数曲线二元Birkhoff插值适定泛函组的一般性方法和实用性较强的理论，最后给出了具体实验算例，对所得研究结论给予了验证。

Abstract: This paper takes the research results of univariate Birkhoff interpolation as its foundation to study the stability problem of two-dimensional Birkhoff interpolation generalized function sets. By introducing the concept and properties of weak Gröbner bases, a new method is obtained which utilizes the intersection of any two arbitrary algebraic curves to construct the two-dimensional Birkhoff well-posed interpolation functional systems. This method extends the research direction’s findings to general cases, providing a general approach and practical theory for constructing planar algebraic curve well-posed interpolation functional systems. Finally, specific experimental examples are provided to validate the research conclusions obtained.

1. 引言

1906年，数学家Birkhoff [1]提出了一类更广泛的多项式插值问题，其典型特征是某些插值结点上的微分条件是不连续的问题。之后其又对Hermite-Birkhoff插值问题做了深入的研究，正是这种问题的不连续性使之变得更加复杂，该问题被称为Birkhoff插值问题。1992年Lorentz [2]进一步提出了多元Birkhoff插值格式方法。Birkhoff插值有着广泛的应用背景，例如微分方程边值问题的求解、有限元的构造等等，此外它也是解决应用密码学的分级秘密共享问题的重要工具之一。2008年，崔利宏等在[3]中对二元Birkhoff插值泛函组适定性问题进行了研究。近几年研究学者们更加关注于适定性的判断和插值基的求解问题。

本文基于一元Birkhoff插值适定泛函组的研究成果，致力于探讨平面代数曲线上二元Birkhoff插值泛函组的适定性问题。通过提出弱Gröbner基的概念及其发现其性质，提出了一种利用两条不同次数代数曲线相交的点，构造出二元Birkhoff插值问题适定泛函组的新方法。最后给出一个一般算例，进一步验证提出的方法。

2. 相关定义

定义2.1 [4] 一个多元Birkhoff 插值格式($E$ , $P_s$ )由如下3个部分构成：

(1) 一个结点集$Z={\left\{z_q\right\}}_{q=1}^m={\left\{\left(x_{q,1},\cdots ,x_{q,d}\right)\right\}}_{q=1}^m$ ；

(2) 一个插值空间$P_s=\left\{p|p\left(z\right)=p\left(x_1,\cdots ,x_d\right)={\displaystyle \sum _{i\in S}{a}_i}{x}_1^{j_1}\cdots x_d^{j_d}\right\}$ ；

(3) 一个关联矩阵E (实际上是一个$d+1$ 维数组) $=\left(e_{q,\alpha }\right)$ ，$q=1,\cdots ,m$ ，$\alpha \in S$ ，其中$e_{q,\alpha }=0$ 或1。

对任意给定的n + 1实数$c_{q,\alpha }$ ，对于$q$ ，$\alpha$ 应有$e_{q,\alpha }=1$ ，Birkhoff插值问题是找到一个一个多项式$p\in P_s$ ，使之满足插值条件：

$\frac{{\partial }^{{\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_d}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_d^{{\alpha }_d}}p\left(z_q\right)=c_{q,\alpha }$

对于那些$e_{q,\alpha }=1$ 的($q$ , $\alpha$ )成立。

定义2.2 [4] 设$k\in N$ ，$\mu \in N^{+}$ ，定义

$d_{n,\mu }\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}n+2\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n-\left(\mu +1\right)k+2\\ 2\end{array}\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\hfill & n<\left(\mu +1\right)k,\hfill \\ \frac{1}{2}k\left(\mu +1\right)\left[2n+3-\left(\mu +1\right)k\right]\hfill & n>\left(\mu +1\right)k,\hfill \end{array}$

其中$e_{n,r}\left(k\right)=\left(n-rk\right)k-\left(\begin{array}{c}k-1\\ 2\end{array}\right)+1$ 。考虑平面上的一条k次无重复分量代数曲线$q\left(x,y\right)=0$ ，以及定义该代数曲线上的一个Birkhoff插值泛函组$B=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right);r=0,\cdots ,\mu \right\}$ 。对于任意指定的实数集$\left\{f_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right);r=0,\cdots ,\mu \right\}$ ，若存在一个多项式$p\left(x,y\right)\in P_n^{\left(2\right)}$ ，使之满足如下插值条件：

$\frac{{\partial }^r}{\partial {\tau }^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=f_i^{\left(r\right)}i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right);r=0,\cdots ,\mu ,$

此处$\frac{{\partial }^r}{\partial {\tau }^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)$ 表示在曲线$q\left(x,y\right)=0$ 上泛函组B中定义的点$Q_i\left(i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right)\right)$ 处沿该曲线r阶的法向导数。若对于任何指定的数组$\left\{f_i^{\left(r\right)}\mid i=1,\cdots ,e_n\left(r\right);r=0,\cdots ,\mu \right\}$ ，方程组$\frac{{\partial }^r}{\partial {\tau }^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=f_i^{\left(r\right)}$ 总能求得一组解，则称为$B=\left\{Q_i^{\left(r\right)}\mid i=1,\cdots ,e_n\left(r\right);r=0,\cdots ,\mu \right\}$ 是沿平面k次代数曲线$q\left(x,y\right)=0$ 的一个n次r阶Birkhoff插值适定泛函组，并标记为$B\in I_{n,r}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ ，其中$I_{n,r}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ 表示位于曲线$q\left(x,y\right)=0$ 上的所有n次r阶Birkhoff插值适定泛函组构成的集合。

引理2.1 [5] 假设$B=\left\{Q_i^{\left(r\right)}\mid r=0,\cdots ,1;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right)\right\}$ 是一个Birkhoff插值适定泛函组，其定义在一条k次无重复分量代数曲线$q\left(x,y\right)=0$ 上，那么B能够做成沿$q\left(x,y\right)=0$ 的n次0阶Birkhoff插值适定泛函组的充分必要条件是：对于任意符合齐次Birkhoff插值条件$\frac{{\partial }^r}{\partial {\tau }^r}p\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0\left(r=0;i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right)\right)$ 的多项式$p\left(x,y\right)\in P_n^{\left(2\right)}$ ，都可以被成分解

$p\left(x,y\right)=q\left(x,y\right)r\left(x,y\right)$ ,

其中$r\left(x,y\right)\in P_{n-k}^{\left(2\right)}$ 。

3. 定理及其证明

定理1 设一个k次无重复分量代数曲线$q\left(x,y\right)=0$ 和一个l次代数曲线$p\left(x,y\right)=0$ 恰好在$lk$ 个点上相交，$lk$ 相交点记为集合C。若$\left\{p,q\right\}$ 是关于理想$I=\langle p,q\rangle$ 的弱Gröbner基，有$B\in I_{n,r}^{\left(2\right)}\left(q\right)\left(n\ge k-2\right)$ 并且满足条件$B\cup C=\varnothing$ 。则有

$B\cup C\in I_{n+l,r}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ .

(在此情形下，仅讨论$r=0$ 的情形，即证明此时$B\cup C$ 一定可以构成该曲线关于$P_{n+l}^{\left(2\right)}$ 的一个Birkhoff插值适定泛函组。)

定理2 假设一个k次代数曲线$q\left(x,y\right)=0$ 和一个圆锥曲线$p\left(x,y\right)=0$ 恰相交于2k个相异点$C={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{2k}$ ，而$B\in I_n^{\left(2\right)}\left(q\right)$ ($n\ge k-2$ ) 并且$B\cap C=\varnothing$ ，则有

$B\cup C\in I_{n+2}^{\left(2\right)}\left(q\right)$

引理3.1 [6] (弱Gröbner基)假设$p_i\in K\left[x_1,\cdots ,x_s\right],i=1,\cdots ,m,\mathrm{deg}{p}_i=l_i$ 且$I=\langle p_1,\cdots ,p_m\rangle$ 。如果对于每个多项式$p\in I\cup P_n^{\left(s\right)}$ ，能找到多项式${\alpha }_i\in K\left[x_1,\cdots ,x_s\right],i=1,\cdots ,m$ ，使得

$p={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\alpha }_i{p}_i}$

成立。$\mathrm{deg}{\alpha }_i\le n-l_i,i=1,\cdots ,m$ 。则称多项式集合$\left\{p_1,\cdots ,p_m\right\}$ 是关于$I=\langle p_1,\cdots ,p_m\rangle$ 的弱Gröbner基。

定理1的证明 设定在论证阶段采用的所有多项式均按分次字典序从高到低排列。由定义2.2知，当$n\ge k-2$ ，$r=0$ 时，而$B\cup C$ 中所含的条件数为$\left(n-rk\right)k-\left(\begin{array}{c}k-1\\ 2\end{array}\right)+lk$ ，当$r=0$ 时，$B\cup C$ 的条件个数为

$\frac{1}{2}k\left(2n+3-k\right)+lk=\frac{1}{2}k\left[2\left(n+l\right)+3-k\right]$

这正好等于沿曲线$q\left(x,y\right)=0$ 的$n+l$ 次0阶插值适定泛函组中所含的条件数。

假设存在多项式$g\left(x,y\right)\in I\cup P_{n+l}^{\left(2\right)}$ ，满足条件$B\cup C=\left\{Q_i^{\left(r\right)}|i=1,\cdots ,e_{n,r}\left(k\right);r=0\right\}$

$g\left(Q_i^{\left(r\right)}\right)=0$ .

由于$\left\{p,q\right\}$ 是关于$I=\langle p,q\rangle$ 的弱Gröbner基，根据引理3.1知，可以找到多项式$\alpha \left(x,y\right)\in P_n^{\left(2\right)},\beta \left(x,y\right)\in P_{n+l-k}^{\left(2\right)}$ 使得下式成立：

$g\left(x,y\right)=\alpha \left(x,y\right)p\left(x,y\right)+\beta \left(x,y\right)q\left(x,y\right)$ (3.1)

由于对任意$Z_i^{\left(r\right)}\in B$ 有$g\left(Z_i^{\left(r\right)}\right)=0$ ，则由(3.1)式知，$\alpha \left(Z_i^{\left(r\right)}\right)p\left(Z_i^{\left(r\right)}\right)=0$ 。但$p\left(Z_i^{\left(r\right)}\right)\ne 0$ ，故$\alpha \left(Z_i^{\left(r\right)}\right)=0$ 。又由于$B\in I_{n,r}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ ，$\alpha \left(x,y\right)\in P_n^{\left(2\right)}$ ，则由引理3.1知，存在多项式$r_1\left(x,y\right)\in P_{n-k}^{\left(2\right)}$ ，使得下式成立：

$\alpha \left(x,y\right)=q\left(x,y\right)r_1\left(x,y\right)$ (3.2)

将(3.2)式代入(3.1)式得

$g\left(x,y\right)=q\left(x,y\right)r\left(x,y\right),$

其中$r\left(x,y\right)=r_1\left(x,y\right)p\left(x,y\right)+\beta \left(x,y\right)$ ，且$r\left(x,y\right)\in P_{n+l-k}^{\left(2\right)}$ 。证毕。

定理2的证明

1) 可约情形处理：

如果$p\left(x,y\right)$ 是可以分解为多项式乘积时，能通过重复使用两次添加平面代数曲线法，从而得证定理2。

2) 不可约假设下的推导：

假设$p\left(x,y\right)$ 为不可约的多项式，并有

$p\left(x,y\right)=a_0\left(x\right)y^2+a_1\left(x\right)y+a_2\left(x\right),$ (3.3)

其中$a_j\left(x\right)$ ($j=0,1,2$ )为关于x的j次多项式。设$C={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{2k}={\left\{\left(x_i,y_i\right)\right\}}_{i=1}^{2k}$ ，这里不妨假设$x_1,\cdots ,x_{2k}$ 是相异的(否则可以通过坐标变换在新的坐标系下证明结论)。用$q\left(x,y\right)$ 除以$p\left(x,y\right)$ 得到

$q\left(x,y\right)=p_{k-2}\left(x,y\right)p\left(x,y\right)+r_k\left(x,y\right)$ (3.4)

其中

$r_k\left(x,y\right)=y{p}_{k-1}\left(x\right)+p_k\left(x\right)$ (3.5)

也就是说，对于任何$x_i$ ($i=1,\cdots ,2k$ )都有$p_{k-1}\left(x_i\right)\ne 0$ 。原因是如果存在某个$i_0$ ，$1\le i_0\le 2k$ ，使得$p_{k-1}\left(x_{i_0}\right)=0$ ，那么$p_k\left(x_{i_0}\right)=0$ 。这意味着$r_k\left(x,y\right)=\left(x-x_{i_0}\right)r_{k-1}\left(x,y\right)$ ，且$\mathrm{deg}{r}_{k-1}\left(x,y\right)\le k-1$ 。因此，$r_{k-1}\left(x,y\right)=0$ 和$p\left(x,y\right)=0$ 相交于$2k-1$ 个相异点。由Bezout定理可知，$q\left(x,y\right)=0$ 和$p\left(x,y\right)=0$ 必定相交于无穷多个点，这与定理的条件矛盾。同理，$p_{k-1}\left(x\right)$ 和$p_k\left(x\right)$ 也没有公因子。因此，$r_k\left(x,y\right)$ 是一个k次不可约多项式。

使用文献[7]中的伪除法，用$p\left(x,y\right)$ 除$r_k\left(x,y\right)$ 得

$p_{k-1}^2\left(x\right)p\left(x,y\right)=p_k\left(x,y\right)r_k\left(x,y\right)+s_{2k}\left(x\right),$ (3.6)

其中

$p_k\left(x,y\right)=\left[a_0\left(x\right)y+a_1\left(x\right)\right]p_{k-1}\left(x\right)-a_0\left(x\right)p_k\left(x\right),\mathrm{deg}{p}_k\left(x,y\right)\le k,$ (3.7)

$s_{2k}\left(x\right)=a_0\left(x\right)p_k^2\left(x\right)-a_1\left(x\right)p_k\left(x\right)p_{k-1}\left(x\right)+a_2\left(x\right)p_{k-1}^2\left(x\right),\mathrm{deg}{s}_{2k}\left(x\right)\le 2k$ . (3.8)

可知$s_{2k}\left(x\right)\ne 0$ ，如果$s_{2k}\left(x\right)=0$ ，那么(3.6)式的右端必含有$r_k\left(x,y\right)$ 关于y的一次不可约因子，然而(3.6)式的左端仅存在$p\left(x,y\right)$ 含有关于y的二次不可约因子，这将导致矛盾，故$s_{2k}\left(x\right)\ne 0$ ，从(3.4)式和(3.6)式可知，对于任意$x_i\left(i=1,\cdots ,2k\right)$ ，$s_{2k}\left(x_i\right)=0$ ，因此，存在一个非零常数c，使得

$s_{2k}\left(x\right)=c\left(x-x_1\right)\cdots \left(x-x_{2k}\right)$ .

设$I=\langle p,q\rangle$ ，则对任何$g\left(x,y\right)\in I\cap {\mathbb{P}}_n^{\left(2\right)}$ 的多项式$g\left(x,y\right)$ ，我们可以用$g\left(x,y\right)$ 除以$p\left(x,y\right)$ 得到

$g\left(x,y\right)=p_{n-2}\left(x,y\right)p\left(x,y\right)+y{p}_{n-1}\left(x\right)+p_n\left(x\right)$ . (3.9)

将(3.9)式两端同乘$p_{k-1}\left(x\right)$ ，并结合(3.5)式可以得

$p_{k-1}\left(x\right)g\left(x,y\right)=p_{n+k-1}\left(x,y\right)+p_{n+k-1}\left(x\right),$ (3.10)

这里

$p_{n+k-1}\left(x,y\right)=p_{n-1}\left(x\right)r_k\left(x,y\right)+p_{k-1}\left(x\right)p_{n-2}\left(x,y\right)p\left(x,y\right),p_{n+k-1}\left(x,y\right)\in {\mathbb{P}}_{n+k-1}^{\left(2\right)},$

$p_{n+k-1}\left(x\right)=p_{k-1}\left(x\right)p_n\left(x\right)-p_k\left(x\right)p_{n-1}\left(x\right),p_{n+k-1}\left(x\right)\in {\mathbb{P}}_{n+k-1}^{\left(2\right)}$ .

因为对于任意$Q_i\in {\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{2k}$ ，$g\left(Q_i\right)=0$ ，$r_k\left(Q_i\right)=0$ 且$p\left(Q_i\right)=0$ ，根据(2.12)式可得

$p_{n+k-1}\left(x_i\right)=0\left(i=1,\cdots ,2k\right),$

这表明$p_{n+k-1}\left(x\right)$ 包含$s_{2k}\left(x\right)$ 作为其因子，设其可表示为

$p_{n+k-1}\left(x\right)=s_{2k}\left(x\right)t_{n-k-1}\left(x\right),t_{n-k-1}\left(x\right)\in {\mathbb{P}}_{n-k-1}^{\left(2\right)}$ . (3.11)

结合(3.6)，(3.7)，(3.10)和(3.11)四个式子可以得到

$p_{k-1}\left(x\right)g\left(x,y\right)={\tilde{p}}_{n-2}\left(x,y\right)p_{k-1}\left(x\right)p\left(x,y\right)+\left[{\tilde{p}}_{n-1}\left(x\right)-{\tilde{p}}_{n-k}\left(x,y\right)p_{k-1}\left(x\right)\right]r_k\left(x,y\right),$ (3.12)

其中

${\tilde{p}}_{n-2}\left(x,y\right)=p_{n-2}\left(x,y\right)+t_{n-k-1}\left(x\right)p_{k-1}\left(x\right),{\tilde{p}}_{n-2}\left(x,y\right)\in {\mathbb{P}}_{n-2}^{(2)},$

${\tilde{p}}_{n-1}\left(x\right)=p_{n-1}\left(x\right)+a_0\left(x\right)t_{n-k-1}\left(x\right)p_k\left(x\right),{\tilde{p}}_{n-1}\left(x\right)\in {\mathbb{P}}_{n-1}^{\left(2\right)},$

${\tilde{p}}_{n-k}\left(x,y\right)=t_{n-k-1}\left(x\right)\left[a_0\left(x\right)y+a_1\left(x\right)\right],{\tilde{p}}_{n-k}\left(x,y\right)\in {\mathbb{P}}_{n-k}^{\left(2\right)}$ .

由于$r_k\left(x,y\right)$ 是一个k次不可约多项式，根据(3.12)式知，${\tilde{p}}_{n-1}\left(x\right)$ 可以被$p_{k-1}\left(x\right)$ 所整除。不妨设为

${\tilde{p}}_{n-1}\left(x\right)=p_{k-1}\left(x\right)r_{n-k}\left(x\right),$ (3.13)

其中$r_{n-k}\left(x\right)\in {\mathbb{P}}_{n-k}^{\left(2\right)}$ 。综合(3.4)，(3.12)和(3.13)式，可以得到

$g\left(x,y\right)=\alpha \left(x,y\right)p\left(x,y\right)+\beta \left(x,y\right)q\left(x,y\right),$ (3.14)

其中

$\alpha \left(x,y\right)={\tilde{p}}_{n-2}\left(x,y\right)-r_{n-k}\left(x\right)p_{k-2}\left(x,y\right)+{\tilde{p}}_{n-k}\left(x,y\right)p_{k-2}\left(x,y\right),\alpha \left(x,y\right)\in {\mathbb{P}}_{n-2}^{\left(2\right)},$

$\beta \left(x,y\right)=r_{n-k}\left(x\right)-{\tilde{p}}_{n-k}\left(x,y\right),\beta \left(x,y\right)\in {\mathbb{P}}_{n-k}^{\left(2\right)}$ .

由(3.14)式和引理1可知，$\left\{p,q\right\}$ 是关于$I=\langle p,q\rangle$ 的一个弱Gröbner基。从而由定理1知

$B\cup C\in I_{n+2，0}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ .

定理2证毕。

例如一个2次无重复曲线$p\left(x,y\right)=x^2+y^2-5$ 和一个2次代数曲线$q(x,y)=x^2-y^2-3$ 恰好相交于2个点记为$C=\left\{\left(2,1\right),\left(2,-1\right),\left(-2,1\right),\left(-2,-1\right)\right\}$ ，$B\left\{\left(\sqrt{7},2\right),\left(\sqrt{7},-2\right),\left(-\sqrt{7},2\right),\left(-\sqrt{7},-2\right),\left(\sqrt{3},0\right)\right\}\in I_{2,0}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ ，且$B\cup C=\varnothing$ 。$\left\{p,q\right\}$ 构成了关于理想$I=\langle p,q\rangle$ 的弱Groebner基。根据定理1可知$B\cup C$ 能够构成关于$P_3^{\left(2\right)}$ 的沿代数曲线$q\left(x,y\right)$ 一个三次Birkhoff插值适定泛函组。

于是，设$g\left(x,y\right)\in I\cup P_3^{\left(2\right)}$

$g\left(x,y\right)=a_1{x}^2+a_{2}xy+a_3{y}^2+a_{4}x+a_{5}y+a_6,$ (3.15)

则

$\frac{\partial q\left(x,y\right)}{\partial n}=\frac{\partial q\left(x,y\right)}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial q\left(x,y\right)}{\partial y}\sin \alpha ,$

然后，选取$Q_0=\left(1,3\right)$ 的方向导数为$\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ ，即$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}}$ ，$\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}}$ 。将上述点$\left(2,1\right),\left(2,-1\right),\left(-2,1\right),\left(-2,-1\right),\left(\sqrt{7},2\right),\left(1,3\right)$ 代入(3.3)式中，能够得到以一个以$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ 为未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵的行列式记为$\det \left(A\right)$ 。

因为$\det \left(A\right)=-2112\ne 0$ 可知，给定任意一个$\left\{f\left(x_i,y_i\right)|i=1,\cdots ,10\right\}$ ，总能找到存在唯一的多项式$g\left(x,y\right)$ 满足插值条件。因此，该插值泛函组为Birkhoff插值适定泛函组。

若给定一实数组$\left\{1,0,0,0,0,0\right\}$ ，则可构造一个对应的方程组，并将其表示成矩阵形式$AX=B$ ，其中

$A=\left[\begin{array}{cccccc}4& 2& 1& 2& 1& 1\\ 4& -2& 1& 2& -1& 1\\ 4& -2& 1& -2& 1& 1\\ 4& 2& 1& -2& -1& 1\\ 7& 2\sqrt{7}& 4& \sqrt{7}& 2& 1\\ 1& 3& 9& 1& 3& 1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ a_5\\ a_6\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

解出方程组之后，可以得到多项式

$g\left(x,y\right)=0.125x^2+0.875$

其图像如图1所示。

Figure 1. Binary Birkhoff interpolation

图1. 二元Birkhoff插值

4. 结论

本文首先介绍了平面代数曲线上的Birkhoff插值适定泛函组的相关定义与基本定理。利用弱Gröbner基的概念及其性质，提出了一种利用两条不同次数代数曲线相交的点来构造二元Birkhof插值适定泛函组的方法，并在文末提供了一个计算实例。这种方法基于两条代数曲线的交点来形成所需的Birkhoff插值适定泛函组，该方法在生产生活中有一定的实用价值。

NOTES

^*通讯作者。