一类次线性Schrödinger-Maxwell方程无穷多非平凡解的存在性

The Existence of Infinitely Many Nontrivial Solutions for a Kind of Schrödinger-Maxwell Equation with Sublinear Potentials

摘要: 本文借助变分法和临界点理论研究一类次线性Schrödinger-Maxwell方程无穷多非平凡解的存在性问题$\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u+\alpha \varphi f\left(u\right)=g\left(x,u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3,\hfill \\ -\Delta \varphi =2\alpha F\left(u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3.\hfill \end{array}$ 其中$\alpha >0$ ，$V\left(x\right)\in C^1\left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ ，$V\left(x\right)>0$ 。在$f,g$ 符合相关条件下，$p\in \left(1,2\right)$ 。

Abstract: In this paper, we discuss the existence of infinitely many nontrivial solutions for the following kind of sublinear Schrödinger-Maxwell equation by using the variational method and critical point theory. $\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u+\alpha \varphi f\left(u\right)=g\left(x,u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3,\hfill \\ -\Delta \varphi =2\alpha F\left(u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3.\hfill \end{array}$ where $\alpha >0$ , $V\left(x\right)\in C^1\left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ , $V\left(x\right)>0$ . Under certain assumptions on $f,g$ and $p\in \left(1,2\right)$ .

1. 引言

考虑一类次线性项Schrödinger-Maxwell系统无穷多非平凡解的存在性。

$\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u+\alpha \varphi f\left(u\right)=g\left(x,u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3,\hfill \\ -\Delta \varphi =2\alpha F\left(u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3.\hfill \end{array}$ (1)

这样的方程又被称为Schrödinger-Poisson方程。Schrödinger-Maxwell方程解的存在性在凝聚态物理、电磁学与量子力学的交叉领域、非线性光学、材料科学以及量子通信与量子计算等领域有十分重要的应用。

近几十年来，大批学者在现代变分法的帮助下，通过对Schrödinger-Maxwell方程中的位势函数和非线性项进行一系列的假设，取得了一系列丰硕的研究成果，具体可参考[1]-[5]。文献[6]中利用环绕定理首次研究了带有零谱点的问题(1)的非平凡解，更多关于这方面的结论可参考[7]-[11]。文献[12]中利用对称的山路定理得到了当$f\left(u\right)=u$ 时问题(1)的无穷多解。结合大部分文献考虑的是$f\left(u\right)=u$ 的情形，在文献[12]基础上，考虑$f\left(u\right)$ 为正连续函数时，系统(1)无穷多非平凡解的存在性。

对$V,f,g$ 有以下假设

(V) $V\left(x\right)\in C^1\left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ ，$\underset{x\in {\text{R}}^3}{\inf }V\left(x\right)\ge a_1>0$ ，其中$a_1>0$ 是一个常数。对每一个$M>0$ ，$\text{meas}\left\{x\in {\text{R}}^3,V\left(x\right)\le M\right\}<\infty$ 。这里的测度是${\text{R}}^3$ 空间里的Lebesgue测度。

(F₁) $f\in C^1\left({\text{R}}^{+},{\text{R}}^{+}\right)$ ，$\left|f\left(t\right)\right|\le c\left(\left|t\right|+{\left|t\right|}^{\alpha }\right),t\in \left[0,+\infty \right),c>0,\alpha \in \left(2,4\right)$ 。

(F₂) 当$t\to 0$ 时，对$\forall x\in {\text{R}}^3$ ，都有$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{g\left(x,t\right)}{t}=+\infty$ 。

(F₃) $g\in C\left({\text{R}}^3\times \text{R}\right)$ ，对$\forall t\in \text{R},x\in {\text{R}}^3$ ，$1<P<2$ ，都有$\left|g\left(x,t\right)\right|\le a\left(x\right){\left|t\right|}^{p-1}$ ，其中$a\left(x\right)\in L^{\frac{2}{2-p}}$ 为正连续函数。

(F₄) 对$\forall t\in \text{R},x\in {\text{R}}^3$ ，都有$g\left(x,-t\right)=-g\left(x,t\right)$ 。

定理1.1 若假设(V)，(F₁)~(F₄)满足，则系统(1)有无穷多非平凡解$\left(u_k,{\varphi }_k\right)$ 满足：

$\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left({\left|\nabla u_k\right|}^2+V\left(x\right)u_k^2\right)\text{d}x}+\frac{1}{2}\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\varphi }_k}F\left(u_k\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u_k\right)\text{d}x}\to 0^{-},u_k\to 0,k\to \infty .$

其中$G\left(x,u\right)={\displaystyle {\int }_0^{u}g\left(x,s\right)\text{d}s}$ 。

2. 预备工作

定义2.1. [13]设E为一个Banach空间，相应范数记为$\Vert \cdot \Vert$ ，$E=\overline{{\oplus }_{j\in N}{X}_j}$ ，$\dim X_j<\infty$ ，$j\in N$ 。$Y_k={\oplus }_{j=0}^k{X}_j$ ，$Z_k=\overline{{\oplus }_{j=k+1}^{\infty }{X}_j}$ 。

定义2.2. [13]定义函数空间：$H^1\left({\text{R}}^3\right)=u\in L^2\left({\text{R}}^3\right):\nabla u\in L^2\left({\text{R}}^3\right)$ ，对应内积和范数分别为

${\langle u,v\rangle }_1={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\nabla u\cdot \nabla v+uv\right)\text{d}x}.$

和

${\Vert u\Vert }_1={\langle u,u\rangle }_1^{\frac{1}{2}}.$

定义2.3. [13]定义函数空间$D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)=\left\{u\in L^{2^{\ast }}\left({\text{R}}^3\right):\left|\nabla u\right|\in L^2\left({\text{R}}^3\right)\right\}$ 。相应的范数为

${\Vert u\Vert }_{D^{1,2}}={\left({\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\text{d}x.$

定义2.4. [13]定义空间

$E=\left\{u\in H^1\left({\text{R}}^3\right):{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\left|\nabla u\right|+V\left(x\right){\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}<\infty \right\}$ ,

则E是一个Hilbert空间，对应的内积和范数分别为

$\langle u,v\rangle ={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\nabla u\cdot \nabla v+V\left(x\right)uv\right)\text{d}x}$ ,

和

$\Vert u\Vert ={\langle u,u\rangle }^{\frac{1}{2}}.$

定义2.5. [13]记$|\cdot |$ 为$L^s\left({\text{R}}^3\right)$ 的范数，$s\in \left(2,6\right)$ ，再记

$S=\underset{u\in D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right),{\left|u\right|}_6=1}{\inf }{\left|\nabla u\right|}_2,{\gamma }_s=\underset{u\in H^1\left({\text{R}}^3\right),\Vert u\Vert =1}{\sup }{\left|u\right|}_s.$

显然，嵌入$E\to L^s\left({\text{R}}^3\right)\left(\forall s\in \left[2,2^{\ast }\right]\right)$ 是连续的。

结合[14]知，当所有的$r>0,1\le p<2^{\ast }$ 时，从空间E到空间$L^p\left(\overline{B_r}\right)$ 的嵌入为紧的，$\overline{B_r}=\left\{x\in {\text{R}}^N:\left|x\right|\le r\right\}$。

规定泛函$I:E\times D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)\to \text{R}$ 如下：

$I\left(u,\varphi \right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\left|\nabla \varphi \right|}^2\text{d}x}+\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\varphi }_{u}F\left(u\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u\right)\text{d}x}.$

则$I\in C^1$ 的，且I的临界点为方程(1)的一个解。

有[14]可知，对每一个$u\in H^1\left({\text{R}}^3\right)$ ，有且仅有一个${\varphi }_u\in D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)$ ，满足：

$-\Delta \varphi =\alpha F\left(u\right),$ (2)

并且${\varphi }_u$ 具有下列性质：

(i) ${\Vert u\Vert }_{D^{1,2}}^2={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}$ ；

(ii) ${\varphi }_u\ge 0$ ；

(iii) ${\Vert u\Vert }_{D^{1,2}}^2\le C\left({\Vert u\Vert }^2+{\Vert u\Vert }^{1+\alpha }\right)$ ；

(iv) ${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}\le \tilde{C}\left({\Vert u\Vert }^4+{\Vert u\Vert }^{2\left(1+\alpha \right)}\right)$，其中$\tilde{C}$ 仅仅与C有关。

${\varphi }_u$ 可表示为${\varphi }_u={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\frac{\alpha F\left(u\left(y\right)\right)}{\left|x-y\right|}\text{d}y}$ 。

考虑到

${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\left|\nabla {\varphi }_u\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha F\left(u\right){\varphi }_u}\text{d}x,$

因而I可表示为$\Phi :E\to \text{R}$ ：

$\Phi \left(u\right)=I\left(u,\varphi \right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_{u}F\left(u\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u\right)\text{d}x}.$

故$\Phi \in C^1$ 的，且：

$\langle {\Phi }^{\prime }\left(u\right),v\rangle ={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\nabla u\nabla v+v\left(x\right)uv+\alpha {\varphi }_{u}f\left(u\right)v-g\left(x,u\right)v\right)\text{d}x}.$

当且仅当$u\in E$ 是$\Phi$ 的一个临界点时，$\left(u,\varphi \right)\in E\times D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)$ 是方程(1)的一个解。

定理2.6 [15]设$\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 为Hilbert空间，$e_j$ 为其对应的一组标准正交基。令$X_j=span\left\{e_j\right\}$ ，$Y_k={\oplus }_{j-0}^k{X}_j$ ，$Z_k=\stackrel{-------------------}{{\oplus }_{j-0}^k{X}_j}$ 。设泛函$\Phi \in C^1\left(X,\text{R}\right)$ ，且$\Phi \left(-u\right)=\Phi \left(u\right),u\in X$ 。若存在$k_0\in N$ ，使得对所有的$k>k_0$ ，存在${\rho }_k>r_k>0$ ，且：

(Φ1) $a_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\max }\Phi \left(u\right)\le 0$ ；

(Φ2) $b_k:=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }\Phi \left(u\right)\to \infty ,k\to \infty$ ；

(Φ3) 对任意的$c>0$ ，$\Phi$ 满足${\left(PS\right)}_c$ 条件。

则$\Phi$ 具有一列无界的临界值。

3. 定理1.1的证明

引理3.1 若(V)，(F₁)~(F₄)条件成立，则$\Phi$ 下方有界且满足${\left(PS\right)}_C$ 条件。

证明：由条件(V)，(F₃)，有：

$\left|G\left(x,u\right)\right|\le \frac{a\left(x\right)}{p}{\left|u\right|}^p,\forall \left(x,u\right)\in \left({\text{R}}^3,\text{R}\right).$ (3)

对任意给定的$v\in E$ ，令$\Omega =\left\{x\in {\text{R}}^3:\left|v\right|\le 1\right\}$ 。由上式和Hölder不等式，有：

$\begin{array}{c}\Phi \left(v\right)=\frac{1}{2}{\Vert v\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_v}F\left(v\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,v\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_v}F\left(v\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,v\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^2-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{a\left(x\right)}{p}{\left|v\right|}^p\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^2-\frac{1}{p}a{\left(x\right)}_{\frac{2}{2-p},\Omega }^{}{\Vert v\Vert }_{2,\Omega }^p\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^2-\frac{c^2}{p}a{\left(x\right)}_{\frac{2}{2-p}}^{}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^p.\end{array}$

故$\Phi$ 下方有界。

现在来证明$\Phi$ 满足${\left(PS\right)}_C$ 条件。由上述不等式知，存在常数$A>0$ ，使得：

${\Vert u_k\Vert }_2\le {\beta }^{-\frac{1}{2}}\Vert u_k\Vert \le A,k\in N.$

假定在E中$u_k$ 弱收敛于$u_0$ ，则由(F₃)得：对任意给定的$\epsilon >0$ ，选定$R_{\epsilon }>0$ ，使得：

${\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge R_{\epsilon }}{\left|a\left(x\right)\right|}^{\frac{2}{2-p}}\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{2-p}}<\epsilon .$ (4)

故有等式：

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x=0.$ (5)

成立。若等式(5)不成立，则存在一个常数${\epsilon }_0>0$ 和一个子列$\left\{u_{k_j}\right\}$ ，使得：

${\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_{k_j}\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x\ge {\epsilon }_0,\forall j\in N.$ (6)

故$\left\{u_{k_j}\right\}$ 在$L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 中有一个收敛的子列。若$\left\{u_{k_j}\right\}$ 在$L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 中收敛于$\overline{u}$ ，则：

$\underset{j\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_{k_j}\left(x\right)-\overline{u}\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x=0.$ (7)

又$\left\{u_{k_j}\right\}$ 在$E\in L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 中弱收敛于$u_0$ ，从而$\left\{u_{k_j}\right\}$ 在$L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 中弱收敛于$u_0$ 成立。结合(6)可知，当$x\in L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 时，有$u_0\left(x\right)=\overline{u}\left(x\right)$ ，故：

$\underset{j\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|<R_{\epsilon }}{\left|u_{k_j}\left(x\right)-\overline{u}\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x=0,$

这与(4)矛盾，故(5)成立。由(5)知，从而存在常数$k_0\in N$ ，使得：

$\underset{j\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x<{\epsilon }^2,\forall k>k_0.$ (8)

结合(8)，(F₃)和Hölder不等式，有：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\left|g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right|\cdot }\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|\text{d}x\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}2{\left({\left|g\left(x,u_k\left(x\right)\right)\right|}^2+\left|g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right|\right)}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\epsilon \\ \le 2{\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|a\left(x\right)\right|}^2\left({\left|u_k\right|}^{2\left(p-1\right)}+{\left|u_0\right|}^{2\left(p-1\right)}\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\epsilon \\ \le 2{\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\Vert a\left(x\right)\Vert }_{\frac{2}{2-p}}^2\left({\Vert u_k\Vert }_2^{2\left(p-1\right)}+{\Vert u_0\Vert }_2^{2\left(p-1\right)}\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\epsilon \\ \le 2{\left[{\Vert a\left(x\right)\Vert }_{\frac{2}{2-p}}^2\left(A^{2\left(p-1\right)}+{\left|u_0\right|}_2^{2\left(p-1\right)}\right)\right]}^{\frac{1}{2}}\epsilon ,\forall k\ge k_0.\end{array}$

类似地，由(F₃)，(2)，(3)和Hölder不等式，有：

${\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\left|g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right|\cdot }\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|\text{d}x\le 2\left(A^p+{\Vert u_0\Vert }_2^p\right)\epsilon ,k\in N.$ (9)

由于$\epsilon$ 是任意的，结合(7)和(8)，有：

${\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\left(g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right),u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right)\text{d}x}\to 0,k\to \infty .$ (10)

由(2)和Hölder不等式，有：

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\alpha {\varphi }_{uk}}f\left(u_k\right)\left(u_k-u_0\right)\text{d}x\right|\\ \le C\left|{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\alpha \left(\left|u_k\right|+{\left|u_k\right|}^{\gamma }\right){\varphi }_{uk}}\left|u_k-u_0\right|\text{d}x\right|\\ \le C{C}_0\left({\left|{\varphi }_{uk}\right|}_6{\Vert u_k\Vert }_{\frac{12}{5}}{\Vert u_k-u_0\Vert }_{\frac{12}{5}}+{\left|{\varphi }_{uk}\right|}_6{\left|u_k\right|}_6^{\gamma }{\left|u_k-u_0\right|}_{\beta }\right)\end{array}$

其中$\beta =6/\left(5-\alpha \right)\in \left(2,6\right)$ 。由Sobolev’s嵌入定理和${\varphi }_u$ 的性质(iii)，有：

${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_{u_k}f\left(u_k\right)\left(u_k-u_0\right)\text{d}x}\to 0,k\to \infty .$

故

${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha \left({\varphi }_{u_k}f\left(u_k\right)-{\varphi }_{u_0}f\left(u_0\right)\right)\left(u_k-u_0\right)\text{d}x}\to 0,k\to \infty .$

又

$\begin{array}{l}\langle {\Phi }^{\prime }\left(u_k\right)-{\Phi }^{\prime }\left(u_0\right),u_k-u_0\rangle \\ ={\Vert u_k-u_0\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha \left({\varphi }_{u_k}f\left(u_k\right)-{\varphi }_{u_0}f\left(u_0\right)\right)\left(u_k-u_0\right)\text{d}x}\\ -{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right)\left(u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right)\text{d}x},\end{array}$

结合(2)，(6)和(10)，有：

$\langle {\Phi }^{\prime }\left(u_k\right)-{\Phi }^{\prime }\left(u_0\right),u_k-u_0\rangle \to 0.$

即$\Phi$ 满足${\left(PS\right)}_C$ 条件。

引理3.2 若假设(V)，(F₁)~(F₄)满足，则有${\rho }_k>r_k>0$ ，且：

$a_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\sup }\Phi \left(u\right)\le 0.$

证明：由(F₂)假设，存在$M>0$ ，使得：

$\begin{array}{c}\Phi \left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_{u}F\left(u\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }G\left(x,u\right)\text{d}x}\\ \le \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\tilde{C}}{2}\left({\Vert u\Vert }^4+{\Vert u\Vert }^{2\left(1+\alpha \right)}\right)-\frac{1}{2}M{\displaystyle \int {\left|u\right|}^2\text{d}x}\\ =\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\tilde{C}}{2}\left({\Vert u\Vert }^4+{\Vert u\Vert }^{2\left(1+\alpha \right)}\right)-\frac{1}{2}M{\Vert u\Vert }^2.\end{array}$

假定M足够大，且$\Vert u\Vert ={\rho }_k$ 足够小时，得：$a_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\sup }\Phi \left(u\right)\le 0$ 。

定理1.1的证明 结合引理3.1、引理3.2可得，系统(1)对应的泛函$\Phi$ 满足定理2.6的所有条件。由定理2.6知，泛函$\Phi$ 具有一列临界点$u_k$ ，使得$\Phi \left(u_k\right)\to 0^{-}$ ，故定理1.1成立。

基金项目

本论文由2022年广西区教育厅高校中青年科研基础能力提升项目(2022KY1623)资助。

NOTES

^*通讯作者。