1. 绪论
机床主轴系统作为重要组成部分，直接影响机床加工精度。在运行中，主轴固有的振动特性对加工精度产生影响。因此，有必要研究主轴振动频率、类型以及结构参数特性，以避免振动发生，提高机床加工质量和精度。
国外早期研究机床振动信号主要用于评估设备状态。美国最早运用设备振动检测与诊断工作[1]。随着主轴转速要求的提高，大部分主轴处于柔性状态。影响系数法是主轴动平衡的主要方法，Goodman等人对此进行了改进[2]。该方法将振动响应视为叠加，整机床被视为线性系统。虽适合自动数据处理，但对振动信号检测和处理要求较高[3]。于俊一等深入探讨机床主轴刚度对切削区稳定性的影响，指出刚度对系统稳定性有显著影响[4]。哈尔滨理工大学的姜彬等人研究了主轴与刀具之间的振动特性，分析了机床振动信号并建立了刀具瞬时切削力模型[5]。
机床主轴作为机床核心组件，其静动态特性对加工精度、工件表面质量和生产率有显著影响。分析主轴静态和动态特性在机床设计中占有重要地位。本文以CA6140机床主轴为研究对象，利用ANSYS Workbench进行静态和模态分析[6]。有限元计算结果显示应力和应变分布，并得到主轴前六个固有频率[7]。模态分析揭示了主轴的动态特性，特别是固有频率，以评估主轴转速的合理性。这些研究结果可指导主轴设计，提升机床加工精度[8]。
2. 机床主轴的静力学分析
2.1. 机床主轴静力分析概述
静力分析旨在计算结构在固定不变载荷作用下的响应，例如反力、位移、应变、应力等，研究结构在外部载荷作用下的变形、应力和应变情况。所谓固定不变载荷作用指的是结构所受外力在大小和方向上都不随时间变化。在静力分析中，固定不变载荷和响应被假设为缓慢变化的，即载荷和结构响应变化的时间尺度非常缓慢。通常，静力分析所考虑的载荷包括外部施加的力和压力、稳态的惯性力(例如重力和离心力)、位移载荷(例如支座位移)以及温度载荷等[9]。Dong等[10]研究了不同初始预载和转速下机床主轴轴承的热刚度，发现热刚度的变化会影响结构的应力分布。Wang等[11]则通过多域分析和卷积神经网络对机床主轴进行健康监测，进一步验证了静力分析在实际应用中的重要性。ANSYS线性静力分析的基本步骤如下：
1. 构建有限元模型：创建几何模型、设置单元类型、设定单元选项、定义单元实常数、设置材料属性以及进行网格划分。
2. 施加载荷并求解：定义分析类型(静力分析)、施加载荷和边界条件，然后进行求解[12]。
3. 后处理：ANSYS提供了两种后处理方式，POST1和POST26。前者用于在某一载荷步(时间点)下整个模型的结果；后者用于处理模型中特定点在所有载荷步(整个瞬态过程)下的结果。这些结果通过彩色云图、矢量图和列表等形式展现。
2.2. 机床主轴三维模型的建立
使用SOLIDWORKS软件进行机床主轴部件的几何建模，并将其导入到ANSYS Workbench有限元软件中转换为有限元模型。为了便于进行计算分析，在建立实体模型时，对主轴结构进行了简化处理。这包括去除非必要的结构，例如小孔和开口，以及对结构模态分析影响较小的部分，以减少网格划分的复杂性和计算量。省略了不需要的功能和非负荷承受部件，并在适当的情况下简化了截面形状。在等效截面形状的基础上，尽可能简化了结构上的孔、槽和台阶等细节，并忽略了对横截面特性影响不大的部分。此外，对模型的节点数进行了限制，以便对主轴实体模型进行简化。简化后的主轴实体模型如图1所示。刘丹萍等[13]在研究机床主轴的SolidWorks建模与有限元分析时，也采用了类似的方法对主轴模型进行了简化，以便更好地进行有限元分析。
Figure 1. Three-dimensional model of machine tool spindle
图1. 机床主轴三维模型
2.3. ANSYS静力分析的前处理
要对主轴进行有限元分析，首先就要ANSYS中建立主轴模型，而后进行其他操作具体流程为图2所示。
Figure 2. Flow chart of static analysis
图2. 静力学分析流程图
在SOLIDWORKS中建立CA6140车床主轴的三维模型，并且将其倒入到ANSYS软件中进行模态分析，为使其在仿真中计算更为简单，应对主轴模型进行结构的优化，去除对计算结果影响不大的因素。如图3。
Figure 3. Three-dimensional model
图3. 三维模型
单元类型(Element Type)的定义用来决定用什么形状的微元来离散主轴。ANSYS包括杆、梁、板、壳、实体等200种单元可供选择。主轴分析选用的是Solid92实体单元。
用实常数来定义分析模型的截面特性。对于有些单元必须输入实常数，而对于有些单元则不需要输入实常数，Solid92实体单元就不需要输入实常数。
根据CA6140车床主轴尺寸，建立主轴物理模型，车床主轴的材料为结构钢，主轴的长度为870 mm，结构钢的材料密度7.85 g/cm3，弹性模量210 Gpa，泊松比0.3。如图4。
Figure 4. Material parameter setting
图4. 材料参数设置
结构几何模型建立后，在将它分成小网格以供后续计算。网格分得越细，计算结果的误差越小，但所需要的计算时间也就越长。单元的划分很方便，只须在相关的线或面上定义出单元的长度或要划分的比例，ANSYS会自动形成单元及节点，也可以用自适应网格划分自动生成网格，这里选择映射网格。设置单元大小为10 mm生成网格。主轴模型网格划分结果如图5所示。共有24,865个单元，13,186个节点。
Figure 5. Machine tool spindle meshing
图5. 机床主轴网格划分
对机床主轴进行网格划分后加载模型。把车床主轴系统的轴承部分的切向进行约束。而轴向和径向都自由的圆面约束，由于主轴是圆周约束没有固定约束，只需圆周约束即可。
由于分析的对象是车床主轴，为了更加贴合实际，现将两个轴承段的圆柱面处加载弹性支撑，角接触球轴承是432 N/mm3，另一处轴承是双列圆柱滚子轴承，数值是368 N/mm3，刀具对主轴的作用力为495.5 N。此时，对主轴的约束与加载是在该主轴进行加工状态下的分析。约束状况如图6所示。
Figure 6. The application of constraints and loads
图6. 约束和载荷的施加
2.4. 静态分析结果
机床主轴的静态分析结果主要涉及其变形、应力、应变以及应变能几个方面。图7展示了机床主轴的总变形云图，图8展示了机床主轴的等效应力云图，图9展示了机床主轴的等效弹簧应变云图。观察图中显示的变形情况，可得知主轴的最大变形达到了0.033539 mm。颜色分布显示，主轴变形较大的区域主要位于刀具作用力施加的区域，这些区域显示出最为显著的变化。
针对主轴的应力和应变仿真云图分析显示出相似的趋势。应力和应变主要集中在右侧轴承作用区域以及刀具对主轴施加的区域。
具体数值方面，主轴应力最大值为0.70898 MPa，最小值为2.036e−6 MPa。考虑到结构钢的屈服强度约为60 MPa，即使在考虑应力集中的情况下，根据第四强度理论，主轴的强度仍然满足要求。
至于主轴的应变方面，最大值为3.9213e−6 mm/mm。理论分析与实际验证表明，主轴设计合理、达到了要求。
Figure 7. Total deformation cloud image of spindle
图7. 主轴总变形云图
Figure 8. Spindle equivalent stress nephogram
图8. 主轴等效应力云图
Figure 9. Equivalent spring strain cloud image
图9. 等效弹簧应变云图
3. 机床主轴的模态研究
3.1. 模态分析的基本理论
模态分析用于确定所研究机床主轴结构的动态特性和模态参数[14]。这种分析方法将主轴模型的线性常微分方程的物理坐标系统转换为一组独立方程所描述的模态坐标，从而得到机床主轴的模态坐标和模态参数。主轴的模态分析依赖于已知的几何结构、边界条件(例如主轴的边界轴承支撑)、材料特性和主轴的质量、刚度以及阻尼矩阵。
通过分析主轴的多阶固有频率和模态形状，能够更好地描述机床系统的动态特性[15]。对CA6140机床主轴进行动力学模型的建立并进行模态分析，能够提取其多阶模态振型，有助于进一步了解主轴的振动状况。
3.2. 自由模态分析
自由模态分析是模态分析中的一个重要部分，它考虑了结构本身固有的特性，不受任何约束的影响。自由模态分析旨在获得物体本身的固有特性，但其结果仅供实验讨论参考，不可直接应用于实际情况。图10展示了在自由模态分析下获得的CA6140机床主轴的固有频率结果。另外，图11展示了在自由模态下主轴的整体变形情况。仿真结果显示，机床主轴在自由模态分析下的最大总变形为12.535 mm，最小体积变形为2.6437 mm。数据分析表明，变形程度较大。相关研究表明，自由模态分析能够较为准确地反映结构的固有特性，但其结果在实际应用中需要结合其他分析方法进行综合评估，以确保分析结果的可靠性和准确性[16]。
Figure 10. Free modal analysis
图10. 自由模态分析
Figure 11. Total transformation in free modalities
图11. 自由模态下的总变形
3.3. 约束模态分析
模态分析的主要目的是确定机器部件或设计结构的振动特性，即固有频率。这些频率是动态载荷结构设计中的主要参数，能够帮助判断机床部件是否存在薄弱环节，并为机床部件的优化设计提供依据，以满足机床加工质量和加工精度的要求[17]。经过在ANSYS Workbench中进行的模态分析后，得到了机床主轴的前六阶振型图如下图12。主轴的前6阶固有频率分别为0.23491、802.56、803.29、1547.7、1925.4、1927.7 Hz。根据频率随阶数变化的图13所示的趋势，可以观察到随着机床主轴的阶数增加，固有频率也随之增大。此外，通过分析还发现机床主轴的变形程度较大。其结果总结如表1所示。
Table 1. Spindle modal analysis results
表1. 主轴模态分析计算结果
模态阶数 |
固有频率/Hz |
振型特征 |
稿件 |
最大综合变形/mm |
1 |
0.23491 |
绕X轴弯曲 |
5.518 |
1 |
2 |
802.56 |
绕Z轴弯曲 |
7.3133 |
2 |
3 |
803.29 |
绕Z轴弯曲 |
7.3177 |
3 |
4 |
1547.7 |
绕X轴中部摇摆 |
7.9691 |
4 |
5 |
1925.4 |
绕Z轴中部摇摆 |
7.918 |
5 |
6 |
1927.7 |
绕X轴中部膨胀 |
13.212 |
6 |
Figure 12. Natural frequency variation trend with modal order
图12. 固有频率随模态阶数变化趋势
Figure 13. Trend of maximum comprehensive deformation with modal order
图13. 最大综合变形随模态阶数变化趋势
如图14所示为不同阶数下的机床主轴的变形，其中为了更加直观的展示出主轴的微小变形，因此我们选择变形比例因子为3.1307。
(a) 主轴一阶变形
(b) 主轴二阶变形
(c) 主轴三阶变形
(d) 主轴四阶变形
(e) 主轴五阶变形
(f) 主轴六阶变形
Figure 14. Simulation of the first six order deformation of the main shaft
图14. 主轴前六阶变形仿真图
如图15所示为机床主轴的模态分析计算结果，从图中数据可以发现，随着模态阶数的增大，机床主轴的最大等效应力逐渐增大。表2进一步展示了不同阶数下的模态分析计算结果。为了更加直观地展示出主轴的微小变形，如图16所示为不同阶数下的机床主轴的应力云图，其中我们选择变形比例因子为3.1307。
Figure 15. Trend of maximum equivalent stress with modal order
图15. 最大等效应力随模态阶数变化趋势
Table 2. Spindle modal analysis results
表2. 主轴模态分析计算结果
模态阶数 |
固有频率/Hz |
最大等效应力/MPa |
1 |
0.23491 |
0.11085 |
2 |
802.56 |
10246 |
3 |
803.29 |
9802.9 |
4 |
1547.7 |
23,442 |
5 |
1925.4 |
22,216 |
6 |
1927.7 |
25,468 |
(a) 主轴一阶应力
(b) 主轴二阶应力
(c) 主轴三阶应力
(d) 主轴四阶应力
(e) 主轴五阶应力
(d) 主轴六阶应力
Figure 16. Trend of maximum equivalent stress with modal order
图16. 最大等效应力随模态阶数变化趋势
基于以上分析结果，可以得出以下结论：首阶频率值非常接近零，表明主轴刚体会有振动；第二阶和第三阶的频率十分接近，前者是主轴绕X轴转动的振动，后者则是绕Z轴转动的振动，它们的振型表现为正交。第四阶和第五阶的振动频率也十分相近，可以视作重根，其振型仍然呈现正交关系。至于第六阶，代表了主轴端部的摇摆和弯曲振动，可视为主轴的径向跳动。这表明主轴的径向跳动振动较为剧烈，对加工影响最大。
ANSYS软件仿真得到了主轴各阶振型、振型特征以及最大变形。仿真结果显示，主轴首阶模态的振动频率极低且接近零，同时主轴整体最大综合变形也相对较小，这代表主轴的首阶振动为刚体振动。第二阶和第三阶的振动频率非常接近。此外，主轴系统支撑刚度的不同会导致主轴的固有频率变化，增加支撑刚度可以提高主轴的稳定性，增强其抵抗振动的能力。
3.4. 谐波响应分析结果
谐响应分析技术是用来求解在已知频率的简谐载荷作用下的结构响应。其输入值为大小和频率已知的谐波载荷，或者同一频率的多种载荷，其输出为每一个自由度上的谐位移等。在CA6140机床的的实际工作过程中，会有周期性的激振力作用于机床主轴之上。当机床主轴的固有频率与周期性激振力的频率相同时，就会产生共振现象。在实际生产过程中，共振不仅会降低零件的加工精度，可能致使加上的直接报废，甚至会对机床和刀具造成破坏。因此在主轴的设计阶段，有必要对主轴进行谐响应分析。在ANSYS 软件中，谐响应分析的有限元模型同模态分析的有限元模型基本相同。谐响应分析只计算结构的稳态强迫振动。在激励开始时发生的瞬态振动，在谐波分析中不考虑[18]。
Figure 17. Deformation nephogram
图17. 变形云图
本文针对机床主轴进行了谐波响应分析，如图所示为谐波响应分析结果。图17所示为谐响应下的总体变形云图，从图中可以得知，最大变形量为3.193e−5 mm。在谐波响应分析中施加的力主要是刀具对主轴的作用力，所以在主轴的右端施加了沿Z正方向的300 N的力，并且我们分析在该位置的谐响应曲线如图18，图19所示，研究在激励作用下的谐波响应。如图20，图21所示为沿Z轴方向的振幅随频率变化的关系。
Figure 18. Deformation frequency response
图18. 变形频率响应
Figure 19. Stress frequency response
图19. 应力频率响应
Figure 20. Stress phase response
图20. 应力相位响应
Figure 21. Deformation phase response
图21. 变形相位响应
4. 机床主轴的结构优化
本文主要利用ANSYS优化分析软件对主轴的结构进行优化。由于主轴的工作环境较为复杂且影响因素众多，我们侧重于主轴结构要素的优化。在本课题中，主轴结构呈现多个阶梯，其中一个较小的轴端对整体结构影响不大。为了方便参数化建模，我们简化了该轴端，使其与相邻轴段具有相同的外径。另外，主轴内径与机床所搭载的电动机相关，因此不能作为设计变量进行优化。我们将主轴内径设置为固定值，并将多个不同内径简化为统一尺寸，以便进行计算。
本次结构优化设计的主要原则是根据最小应力进行结构简化。图示展示了优化后的结构模型。图22展示了优化后的结构模型。我们将优化后的模型再次进行静态结构分析，保持原有载荷和约束条件，以便与优化前的模型进行对比分析。
Figure 22. The optimized model
图22. 优化之后的模型
运用三维软件的参数驱动功能，依据优化后的结构参数，对主轴初始模型进行修改并建立了优化后的机床主轴模型。仿效第二章原始机床主轴的静力学分析算例，我们设定了相同的载荷和约束条件，进行了静态特性分析。在分析求解中，得出了优化前后主轴的总变形、等效应力和一阶固有频率。
优化前后主轴的总变形图见图23、应力云图见图24。
(a) 优化前总变形
(b) 优化后总变形
Figure 23. Total deformation before and after optimization
图23. 优化前后的总变形
根据图19的结果显示，在相同条件下的分析中，优化前的机床主轴最大变形为0.033539毫米，而优化后的机床主轴最大变形降低至0.020306毫米。值得注意的是，这些变形参数数值均处于规定的许可范围内，符合主轴的设计要求。因此，主轴在经过优化后，总变形量相较于优化前降低了0.013233毫米。
(a) 优化前应力云图
(b) 优化后应力云图
Figure 24. Stress nephogram before and after optimization
图24. 优化前后的应力云图
从图24可以看出，在相同的条件分析下，优化前的机床主轴的最大应力为0.70898 MPa，优化之后的机床主轴的最大应力为0.42925 MPa。并且其变形的参数数值均在规定的许可范围内，满足主轴的设计要求。主轴优化前后的最大应力的差值为0.27973 MPa。
根据以上结果分析，经过ANSYS优化模块的分析后，总变形量、应力以及应变均有所减小，并且变形量均处于机床主轴合理范围之内。可以得出机床主轴的结构优化效果相当显著。
5. 总结与展望
本文首先阐述了主轴的模态分析理论、机床主轴的动力学建模以及模态分析理论的提取方法。随后，建立了主轴的模型，并按照有限元建模原理，创建了车床主轴的有限元模型。通过简化主轴模型、添加边界条件，并运用ANSYS分析软件计算机床主轴的前六阶模态参数。接着，对机床主轴进行了静态结构分析、模态分析、谐响应分析以及结构优化。结果显示主轴振动主要表现为径向跳动。通过优化仿真，发现优化后的主轴在总变形和应力方面均优于优化前的主轴，提升了机床的工作性能。此外，优化后的主轴减轻了自身重量，节约了材料，并降低了成本。
本研究聚焦于机床主轴的静动刚度和结构优化，取得了一定成果，但仍面临一些有待深入探讨和完善的问题：
(1) 研究仅独立考察了主轴，未充分考虑主轴轴承及机箱等相关零部件对性能的影响。未来的研究中可纳入这些因素以提升全面性和准确性。
(2) 对机床主轴的结构优化未能得出具体的结构数据。未来计划使用MATLAB对机床主轴进行优化，以获取具体的优化参数，进一步完善优化效果。