基于APOS理论的初中数学概念探究——以分式为例

Inquiry into Middle School Mathematics Concepts Based on APOS Theory—Taking Fraction as an Example

摘要: 本文基于APOS理论，以初中数学中的分式概念为例，对数学概念教学进行了深入探究。文章首先系统梳理了APOS理论的核心要点，并指出了当前数学概念教学中存在的一些普遍问题。随后，结合分式的教学实际，详细分析了学生在掌握分式概念过程中可能经历的四个阶段，包括活动阶段(Action)、过程阶段(Process)、对象阶段(Object)和图式阶段(Schema)，从而揭示分式概念形成和发展的内在规律，并设计相应教学过程。依据所设计的教学过程进行教学实践，课后通过调查问卷与测试成绩分析调查学生分式概念学习情况，数据分析表明，基于APOS理论的分式概念教学过程能达到较好的效果。通过这一探究，本文旨在帮助教师更好地理解分式概念的教学过程，把握学生在不同阶段的学习特点和难点，从而采取针对性的教学策略，提升教学质量。同时，引导学生更有效地掌握分式概念，提高数学学习的效果。

Abstract: This paper conducts an in-depth exploration of mathematics concept teaching, taking the concept of fractions in junior high school mathematics as an example, based on the APOS theory. It first systematically outlines the core points of the APOS theory and points out some common issues in current mathematics concept teaching. Subsequently, combining the practical teaching of fractions, the paper analyzes in detail the four stages that students may experience in mastering the concept of fractions, including the Action stage, Process stage, Object stage, and Schema stage. This analysis reveals the internal laws governing the formation and development of the fraction concept and designs a corresponding teaching process. Teaching practice is carried out according to the designed teaching process, and a post-class survey is conducted to investigate students’ learning of the fraction concept through questionnaires and test score analysis. Data analysis shows that the fraction concept teaching process based on the APOS theory can achieve good results. Through this exploration, this paper aims to help teachers better understand the teaching process of the fraction concept, grasp the learning characteristics and difficulties of students at different stages, and thereby adopt targeted teaching strategies to improve teaching quality. At the same time, it guides students to more effectively grasp the fraction concept and enhance the effectiveness of mathematics learning.

1. 引言

数学概念是数学活动的基石，在数学教学中始终处于核心地位，其对于学生数学思维品质的发展和数学核心素养的形成具有重要意义。数学学科核心素养在不同阶段具有不同的表现，在初中阶段更侧重对概念的理解[1]。但如何帮助学生正确理解并灵活应用概念，在实际教学中仍然是一个挑战。而在初中代数概念的学习中，代数式完成了从数到式的拓展，其中分式占据着至关重要的地位。分式向上承袭了分数的一般化概念，向下则是分式方程、不等式以及反比例函数的基础。同时，在解决实际问题的过程中，分式具有整式无法替代的重要作用[2]。APOS理论构建了概念学习的四大核心步骤：活动、过程、对象和图式，这四个阶段既相互独立又紧密相连，共同构成了一个动态循环的学习路径，为概念学习提供了可行的路线，因此，本文将APOS理论与分式概念教学相结合，对于提高教学的有效性，促进学生对概念的本质理解具有积极的现实意义。

2. APOS理论概述

APOS理论由杜宾斯基(Edward Dubinsky)等人于20世纪80年代提出，是以建构主义学习理论为基础的数学概念教学理论，揭示数学概念在个体认知中的形成与发展过程。

APOS理论认为，数学概念的形成与发展都需要经历四个连续的并且相互作用的阶段：活动(Action)、过程(Processes)、对象(Objects)和图式(Schemas)。

活动阶段(Action)是数学概念形成的起点，学生通过具体的情境活动，如列式、绘图等，将具体情境抽象为数学问题并将抽象的数学问题与学生直观的感受联系起来，通过这些活动，学生可以积累感性经验，为初步形成概念奠定基础。

过程阶段(Processes)在活动阶段的基础上和教师的引导下，学生开始反思和总结他们的操作经验，逐渐找到蕴于其中的规律与其本质特点，这一阶段学生对概念的感性认识向理性认识转变，进而理解概念的本质特征。

对象阶段(Objects)，经过前两个阶段的探索与归纳，当学生能够将数学概念作为一个独立的对象来理解和处理时，就进入了对象阶段，在这个阶段，学生可以操作、比较和变换概念，进一步加深对概念的理解。

图式阶段(Schemas)，在学习进程中，当学习者将先前所掌握的“活动”“过程”“对象”等相关数学概念进行有机整合，进而构建出新的认知框架和心理结构时，我们将其称之为“图式”阶段，在这个阶段，学生可以运用概念解决问题，实现知识的迁移和应用[3]。

在概念的学习中，学生对数学概念的认识是螺旋式上升的，而APOS理论的四个阶段也并不是线性的、单向的发展过程，是循环往复、不断深化的过程，学生可能在某一阶段停留较长时间，或者在不同阶段之间反复转换[4]。因此，基于APOS理论的数学概念教学需要充分尊重学生的认知发展规律，通过合理的教学设计和引导，帮助学生逐步理解和掌握数学概念。

3. 当前初中课堂概念教学存在的问题

3.1. 忽略对数学概念本质的理解

对一个数学概念的学习，并不是仅仅能记住它，说出它的定义，认识代表它的符号，而是要真正能够把握它的本质属性[5]。也就是说我们在学习一个数学概念时，关键在于深刻领悟而非浅尝辄止，要能够洞察并把握其内在的本质属性。唯有如此，方能真正实现对数学概念的全面理解与掌握。而教学中教师往往过于注重结论的灌输，而忽视了对概念形成过程的解释和引导。这导致学生只能被动接受概念，而缺乏对概念本质的深入理解。

3.2. 对概念的展示过于抽象

在数学概念的教学中，若教师仅仅采用“一个定义，三个注意”这种高度概括且抽象的方式进行讲解，往往难以触及概念的核心与精髓，这样的教学方式无疑是对概念深刻内涵的一种简化处理。这种做法虽然看似高效，实则给学生埋下了理解浅薄的隐患。

直接给出定义的这种展示概念的方式或许能为学生提供概念的基本框架，但往往缺乏生动的背景和实例支撑，使得定义变得枯燥乏味，难以激发学生的兴趣和探索欲。而简单提醒学生“注意”则可能只是蜻蜓点水般提及了概念应用时的一些限制条件或易错点，没有深入挖掘这些条件背后的逻辑联系和原因，导致学生只能机械记忆，无法真正理解其背后的数学思想和原理。

缺乏深入揭示概念本质属性的教学，会让学生在学习过程中感到迷茫和困惑。他们可能能够复述定义，甚至背诵“三个注意”，但在面对实际问题时，却往往难以灵活运用所学知识，更别提深入分析和解决问题。长此以往，学生的数学思维能力将受到限制，难以提升数学素养。

3.3. 忽略新旧概念间的联系与知识网络的建构

数学教学过程中，如果教师忽视了新旧概念间那微妙而深刻的内在联系与独特差异，仅依循单一、孤立的轨迹教学，学生的学习体验将大打折扣，同时也违背了数学作为一门系统性、连贯性极强的学科的本质。数学的发展是一个螺旋式上升的过程，每一个新概念的出现都是对旧有知识的深化、拓展或修正，它们之间存在着千丝万缕的联系。忽视这种联系，意味着学生只能孤立地学习每一个新概念，无法将其融入已有的知识体系中，形成一张紧密相连的知识网络，这将导致新概念在学生的脑海中往往是孤立无援的，难以长期留存[6]。

4. 基于APOS理论的“分式”概念教学探究

4.1. 活动阶段

教育应当侧重于激发学生的内在动机，而最强大的学习驱动力源自于学生对所学材料的浓厚兴趣。当学生展现出对某一领域的浓厚兴趣时，他们自然而然地会采取更加积极主动的学习态度，投身于其中，不懈地探索未知领域，从而能够取得更加深远和持久的学习成效[7]。为了实现这一目标，教师应当精心设计和准备教学内容，使其既具备挑战性，又充满吸引力，以此激发学生的好奇心和求知欲。在这样的教学环境中，学生能够在愉悦的学习体验中不断成长，发展出更加全面和深入的知识与技能。

以“分式”这一数学概念的教学为例，教师在正式引入新概念之前，可以创设与“分式”紧密相关的典型问题情境。这样做可以激发学生的学习兴趣，同时为学生提供思考和探索的空间。通过这一情境，学生可以逐步进入学习状态，为后续分式概念的深入理解和掌握奠定良好的基础。这样的教学方式不仅有助于提高学生的数学思维能力，还能让其更加主动地参与到学习过程中。

活动1：请同学们独立思考并完成以下填空

① 一个课桌的表面的长方形的面积约为40 dm²，已知该长方形的长为9 dm，则宽为 dm，若用S表示长方形课桌的面积，a表示长方形课桌的长，则长方形的宽表示为 。

② 小明有一个圆柱形的水杯，底面积为37 cm²，此水杯倒入体积为200 cm³的水时正好被装满，则水杯的高为多少？如若用V表示水杯的体积，S表示水杯的底面积，则水杯的高表示为 。(杯盖的高度忽略不计)

③ 小雅计划看完500页书，原计划每天看x页，实际每天比原计划多看16页，则小雅看完500页需要 天；若小雅每天比原计划少看11页，则小雅看完500页需要 天。

设计意图：创设情境，吸引学生眼球，抓住学生注意力，且情境贴近生活，易于引发共鸣，使学生能够轻松解答并得出具有代表性的答案。在解决这一情境问题的过程中，学生不仅运用了长方形面积、圆柱体积等公式，还巧妙地借助除法来求解，这不仅锻炼了他们的问题解决能力，更为他们初步形成分式概念奠定了坚实的基础，为后续深入探究分式性质和应用做好了铺垫。

4.2. 过程阶段

在概念生成的过程中，教师需要根据学生学情及新旧知识之间的联系设计一系列问题提纲，由易到难，循序渐进地引导学生探索新知识。在此过程中不但将新旧知识串联起来，使学生在轻松愉快的氛围中自然而然地掌握概念，而且教师在引导学生形成概念的过程中应避免将简单知识复杂化，而是要注重启发学生的思维，让他们在解决问题的过程中逐步深化对概念的理解。

活动2：通过学生活动得出代数式，教师将活动1情境问题中所得到的代数式展示出来：

$\frac{40}{9}、\frac{S}{a}、\frac{200}{37}、\frac{V}{S}、\frac{500}{16+x}、\frac{500}{x-11}$

问题1：请学生仔细观察我们得到的这些代数式，能否找出大家所熟悉的部分？并请分类。

问题2：我们知道像40、9、37、200这样的数是整数，$\frac{40}{9}$ 、$\frac{200}{37}$ 这样的数是分数，而S、V、x + 16、x − 11这样的单项式和多项式统称整式，那么其余代数式$\frac{S}{a}$ 、$\frac{V}{S}$ 、$\frac{500}{16+x}$ 、$\frac{500}{x-11}$ 又该被称为什么？

问题3：思考其余的部分$\frac{S}{a}$ 、$\frac{V}{S}$ 、$\frac{500}{16+x}$ 、$\frac{500}{x-11}$ 有什么共同特征？是何种运算的结果？

设计意图：教师通过引导学生回忆整式以及单项式、多项式的概念，促进他们对新旧知识的整合与理解。通过让学生找出所熟悉的分数，引导学生对其他代数式进行观察和归纳，进而在研究其余代数式的过程中归纳出其内在规律，培养学生的观察能力和归纳思维，让他们能够发现这些代数式的共同特征。通过这样的观察和归纳过程，学生能够巩固旧知识，为建立新知识提供有力支撑，并逐步完善分式的概念。

活动3：提炼概念

问题4：我们在之前的学习中已经知道$\frac{S}{a}$ 、$\frac{V}{S}$ 、$\frac{500}{16+x}$ 、$\frac{500}{x-11}$ 这样代数式叫做分式，那我们如何用数学语言来表述分式的定义？

定义：一般地，用A、B表示两个整式，$A÷B$ 可以表示为$\frac{A}{B}$ 的形式，如果中B含有字母，那么$\frac{A}{B}$ 称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母[8]。

4.3. 对象阶段

经历活动与过程两个阶段，学生对分式的概念有了初步的认识，此时教师需要针对分式概念的本质属性及非本质属性设计一系列的正例、反例、变式及综合范例的典型例题让学生充分体会概念的内涵和外延，整体地，全面地认识概念。

活动4：辨析概念

例题1：下列代数式是整式的有，是分式的有

① $\frac{y}{x+y}$ ② $-\frac{y}{3}$ ③ $\frac{1}{x+y}$ ④ $\frac{x+y}{2}$ ⑤ $\frac{3}{\pi }$ ⑥ $\frac{a}{\pi }$ ⑦ $3y$

设计意图：引导学生从三个方面认识分式，从形式角度审视，分式的显著特征在于其含有分数线；深入到组成层面，分式的分子与分母均为整式，这是分式的基本构造；而分式的核心与关键在于其分母中包含的字母元素，分式的特性在于这些字母都为未知数。

例题2：小丽有一圆扇，已知该圆扇的周长为15 cm，则该圆扇的直径为 cm。

问题5：$\frac{15}{\pi }$ 是分数还是分式？

设计意图：在此特别注意引导学生区分$\frac{15}{\pi }$ 是分数还是分式，并让学生了然其分类的本质原因是概念中分母含有字母实质上的指分母中含有未知数，而类似于$\pi$ 表示的是数而非未知量。因此，在构建分式概念时，教师需精细引导学生进行深入辨析，确保他们精确把握分式的本质属性，而非仅停留于表面的、肤浅的认知。

问题6：分数与分式有什么联系？

设计意图：通过观察归纳，让学生清晰分数是分式的特例，其中分子和分母均为整数；两者都用于表示数量或比例关系；在某些情况下，分数和分式可相互转换。

问题7：类比分数，我们得到了分式，在之前的学习中我们知道分数有意义是有条件的，那么对于分式是否也有类似的约束条件？

例题3：当x取什么值时，下列分式有意义？

① $\frac{8}{x-1}$ ② $\frac{1}{x^2-9}$ ③ $\frac{2x-1}{3x-2}$

变式1：当x取何值时，这些分式无意义？

变式2：当x取何值时，这些分式大于零？

变式3：当x取何值时，这些分式小于零？

设计意图：通过实操代表性例题及其多样化的变式训练，使学生能够有效类比分数学习的经验，深入探索分式存在意义与无意义的界限条件，其中渗透了分类讨论这一初中极为重要的思想方法，这一过程不仅促进了学生对分式概念本质的深刻理解，还使他们在实践中逐步清晰化分式独特的数学属性与行为规律，从而实现了对分式概念的全面升华与内化。

例题4:拓展提升，应用概念

① 使得$\frac{a}{a+1}$ 有意义的a的取值范围是 。

② 若分式$\frac{1-b}{2b+1}$ 的值是负数，则b满足 。

③ 一艘轮船在静水中每小时行走a千米，水流速度是b千米每小时，此轮船在逆流中航行s千米需要的时间可用式子表示为 。

设计意图：通过由简到难的例题，让学生深刻体会分式有意义，无意义的条件，掌握分子分母分别讨论的判断方法，并引导学生将所学的分式概念应用于实际问题中，从而进一步加深他们对概念的理解和掌握。

4.4. 图式阶段

零散的知识点，如同漂浮在脑海中的孤岛，往往容易被学生遗忘。只有将这些知识点相互串联起来，编织成一张系统的知识网，它们才能被深深植根于记忆中，让学生在需要时能够自如地运用。思维导图，作为知识表征的得力助手，它以明晰的脉络展现了概念间错综复杂的关联。这一工具不仅帮助学生细致梳理当前学习中的概念要点，还巧妙地揭示了新旧知识间的内在联系。在思维导图的辅助下，学生能够更加牢固地掌握数学概念，同时激发个人潜能，逐步构建并不断完善属于自己的、独具个性的数学概念体系[9]。表格可以系统的展示概念之间的联系和区别便于分析新旧概念间的异同点使概念系统化专题化。这些非线性的思维工具，让学习变得更加高效和有趣，在图式阶段教师可以通过思维导图的形式帮助学生深化对分式概念的理解。

问题8：请同学们回忆一下本节课我们学习了有关分式的哪些内容呢？请同学们用思维导图的形式表示出来，如图1。

Figure 1. Mind map summary of fractions

图1. 分式思维导图小结

问题9：新学习的分式与我们早已熟悉的分数又有什么样的区别和联系？请同学们用表格的形式比较一下两个概念，如表1。

5. “分式”教学效果评价

笔者将上述“分式”教学设计在晋中市某中学的两个班级86名学生中进行了教学实践。课后，通过

Table 1. Similarities and differences between fractions and rational expressions

表1. 分式与分数异同

		分数	分式
相同点	有无分数线	有	有
	分母能否为零	不能	不能
不同点	分母是否含有未知量	否	是
	分子分母的组成	整数	整式

学生问卷、测试成绩分析等形式了解学生分式概念的学习情况，来评估教学设计的有效性。

5.1. “分式”概念学习情况的调查与分析

5.1.1. 问卷的编制

依据APOS理论的四阶段——活动、过程、对象、图式，结合《分式》概念的课堂实施情况，笔者设计了一份问卷，旨在评估学生在“分式”课程中的概念学习成效。问卷紧密结合“分式”教学内容，每阶段设有对应题目，并标记于表2中。题目采用李克特5级计分法，选项由“非常符合”至“非常不符合”，分值递减，以5至1计。学生得分愈高，反映其“分式”概念学习情况愈佳。

Table 2. Detailed questionnaire breakdown

表2. 问卷调查细目表

维度	题号
活动维度	1、2
过程维度	3、4
对象维度	5、6、7
图式维度	8、9、10

5.1.2. 问卷的信度分析

Table 3. Reliability analysis of the questionnaire

表3. 问卷信度分析

维度	克隆巴赫Alpha	项数
活动维度	0.835	2
过程维度	0.865	2
对象维度	0.883	3
图式维度	0.867	3
问卷整体	0.962	10

由表3可知，该调查问卷通过克隆巴赫Alpha值衡量信度，结果显示活动、过程、对象和图式各维度的信度均在0.835至0.883之间，整体信度高达0.962，均超过0.8的较好信度水平，表明该问卷具有很高的内部一致性和可靠性，适用于进一步的研究分析。

5.1.3. 问卷的效度分析

本问卷的效度采用KMO和巴特利特检验，结果见表4。

Table 4. Validity analysis of the questionnaire

表4. 问卷效度分析

KMO取样适切性量数		0.944
巴特利特球形度检验	近似卡方	776.682
	自由度	45
	显著性	<0.001

该调查问卷的KMO值为0.957，表明数据非常适合因子分析，结构效度较高；巴特利特球形度检验结果也显示变量间存在相关性，适合因子分析。因此，该问卷效度良好，可作下一步分析。

5.1.4. 调查结果与分析

问卷调查对象是授课班级的学生，共发放86份问卷，回收有效问卷80份，有效回收率93.02%。各维度平均分见表5。

Table 5. Average scores for each dimension

表5. 各维度平均分

维度	平均分
活动	3.8625
对象	3.8875
过程	3.8375
图式	3.8542

从整体来看，学生在各领域维度的平均得分都接近4分，题目对应的选项是符合到非常符合之间的某个程度，说明他们在本节课上掌握程度良好。同时可以发现，在这四个维度中，虽然各维度平均分相差不大，但相较于其他维度，某些维度(如“过程”维度，平均分为3.8375)的平均分略低。设置的问题是“你在课堂上能准确地找到分式中概念的特征”与“课堂上你有足够的时间思考分式中的概念特征”，这可能表明一部分学生在理解分式概念的形成过程中存在一定的困难。教师在教学设计时应多留给学生独立思考的时间。同时自己要多构思教学流程，思考如何更清晰地呈现分式概念的形成和应用过程，然后在课上及时解答学生的疑惑。

5.2. 《分式》测试成绩分析

5.2.1. 测试卷的编制

为了准确评估学生的学习成效，从校本作业中精选了部分题目进行测试与解析。参照《义务教育数学课程标准(2022年版)》和一线教学专家的意见，为本节课设定了以下学习目标：

1、学生需深入理解分式的概念，并熟练掌握分式有意义时以及分式值为零时字母的取值范围。

2、通过亲身参与分式概念的构建过程，以及运用分式来描述数量关系，学生将进一步发展其类比思维和抽象概括能力。

3、在探索与学习的过程中，学生将体验到成功的喜悦，进而激发其学习数学的兴趣。

通过查阅文献[10] [11]结合一线教学专家的意见与学习目标敲定了“分式”测试题，各道题目的考察内容请参见表6。

Table 6. Content assessed by each question

表6. 题目考察内容

题号	考察内容
第1题	整式与分式的区分
第2题	分式的识别
第3题	分式有意义条件
第4题	分式有意义条件
第5题	分式的值、分式无意义的条件或分式值为0的条件
第6题	分式有意义和无意义的条件
第7题	分式有意义条件(结合二次函数) (较复杂)
第8题	分式无意义及值为零的条件
第9题	通过比例关系求解实际问题中的分式问题(分式的应用)
第10题	找出使得分式值为0的x值

5.2.2. 课后测试成绩的分析

本次共收集了80本校本作业，通过批改统计，正确率83.5%，具体的答题情况如图2。

Figure 2. Post-class test results on students’ understanding of the concept of “Fractions”

图2. 学生《分式》概念课后测试情况

由图可知，基于APOS理论的《分式》教学案例能让85%左右的学生理解分式的概念，教学效果较好，通过课后测试，可以全面了解到学生对本节内容的掌握情况。试卷中的题目涵盖了分数与分式的转换、分式的定义、分式是否有意义以及分式相等等多个方面，旨在全面考察学生的理解程度。

从整体上看，大部分学生能够较好地掌握分数与分式之间的转换关系，理解分式的基本概念，并能够运用所学知识解决一些简单的分式问题。例如，在判断两个分数相乘的结果是否为分式时，学生能够准确给出答案；在回答分式的定义时，也能够准确表述出分式的特征。

同时，学生在处理分式是否有意义以及分式相等的问题时也表现出了一定的解题能力。他们能够理解分母为零时分式无意义的数学原理，并能够根据给定条件判断两个分式是否相等。这些都表明学生在本节内容的学习上取得了较为显著的进步。

然而，也有少数学生在某些题目上出现了错误，这可能与他们的学习状态、数学基础或解题技巧等因素有关。因此，在未来的教学中，教师需要继续加强对学生分式概念的理解和应用的训练，特别是针对那些容易出现错误的知识点进行重点讲解和练习，以提高学生的数学素养和解题能力。

6. 结语

APOS教学理论在初中数学概念教学中有显著的推动作用，本文以此为基石，深度融合数学核心素养的培育目标，从概念发现、拓展深化、深入理解到体系构建四个维度，系统阐述了数学概念教学的策略框架。以“分式”概念教学为具体案例，生动展示了APOS理论如何助力学生从直观操作起步，逐步过渡到抽象理解，最终构建起稳固的知识体系。这一过程不仅加深了学生对分式本质的认识，还促进了其数学思维能力、问题解决能力等的全面发展，凸显了APOS理论在初中数学概念教学中的实践价值与应用前景。

教学是一项长期的并需要与时俱进的工作，面对不断变化的教育环境与学生需求，提升初中数学概念教学的实效性仍是一个重大课题。因此，教师需持续探索，灵活运用APOS理论，结合学生实际，创新教学方法，增强教学互动性，进一步激发学生的学习兴趣与潜能，推动初中数学概念教学向更高层次迈进，为学生的全面发展奠定坚实的数学基础。

基金项目

太原师范学院基础教育教学改革项目(YJSJCJY-2320)，山西省科技创新人才团队专项资助(202204051002018)，太原师范学院研究生教育创新项目(SYYJSYC-2445)。