基于综合难度模型的“几何与代数”试题难度分析——以2021~2024年全国高考数学甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷为例

doi:10.12677/ae.2025.151119

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基于综合难度模型的“几何与代数”试题难度分析——以2021~2024年全国高考数学甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷为例
Difficulty Analysis of “Geometry and Algebra” Exam Questions Based on a Comprehensive Difficulty Model—Taking the National College Entrance Examination Mathematics (Science) I, II and III from 2021 to 2024 as Examples

DOI: 10.12677/ae.2025.151119, PDF, HTML, XML,
作者: 赵本银, 黄苏南, 黄子依：贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳
关键词: 高考数学；综合难度模型；“几何与代数”；College Entrance Exam Mathematics； Integrated Difficulty Model； “Geometry and Algebra”

摘要: 文章基于武小鹏等人提出的数学高考试题综合难度模型，对2021~2024年全国甲卷(理科)、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷共12套试卷中涉及“几何与代数”的试题进行难度比较分析。研究发现：“几何与代数”试题编制背景单调，整体难度变化不大；强调综合性知识的理解与应用。因此，在此基础上提出：丰富试题情境，拓展学生思维；重视逆向思考，提高解题能力；强调数学运算，加强数学素养，这几点建议。

Abstract: Based on the mathematical high examination test comprehensive difficulty model proposed by Wu Xiaopeng et al., this paper conducts a comparative analysis of the difficulty of “Geometry and Algebra” questions in 12 sets of national level I (science) examination papers from 2021 to 2024, including the new national college entrance examination I and II. The study found that the background of “Geometry and Algebra” question formulation was monotonous, and the overall difficulty changed little; it emphasized the understanding and application of comprehensive knowledge; accordingly, the following suggestions were put forward: enrich the question context to broaden students’ thinking; attach importance to reverse thinking to improve problem-solving ability; emphasize mathematical operations to enhance mathematical literacy.

文章引用：赵本银, 黄苏南, 黄子依. 基于综合难度模型的“几何与代数”试题难度分析——以2021~2024年全国高考数学甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷为例[J]. 教育进展, 2025, 15(1): 869-879. https://doi.org/10.12677/ae.2025.151119

1. 问题提出

2001年Nohara在提交给美国国家教育统计中心的报告中首次提出总体难度的概念，其中涉及四个难度因素；国内学者鲍建生在此基础上结合我国数学课程实际情况构建形成涉及“背景、运算、推理、知识含量、探究”五因素的综合难度模型[1]。武小鹏等人发现针对标准化测试，尤其是对于中考和高考的试卷难度分析存在不足，由此借助鲍建生等人的综合难度系数模型建立涉及“背景因素、是否含参、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向、认知水平”的综合难度分析，致力于中考试题和高考试题的难度分析[2]。《普通高中数学课程标准》(2017年版2020年修订)中明确指出：“学业水平考试应该注重学生数学学科核心素养的考查，处理好学科核心素养和知识技能的关系[3]”。2019年由教育部考试中心发布的《中国高考评价体系》指出高考评价体系的主要内容为“一核四层四冀”，“四层”指要考查学生的“核心价值、关键能力、必备知识、学科素养”四个层面[4]。“几何与代数”是高中数学课程的主线之一，贯穿在必修课程与选择性必修课程中，“几何与代数”作为独立主题，占据着高中数学课程的重要部分。该主题是数形结合、转化与化归等数学思想的综合体现；结合分析法，坐标法，图象法等多种数学方法的综合运用；培养学生空间想象能力以及从整体到局部、从具体到抽象的问题分析能力；提高学生直观想象和数学运算的能力，培养数学运算和数学抽象思维，促进学生数学学科核心素养的发展。随着高考不断改革以及社会的普遍关注，对高考试题进行分析逐渐成为高中数学重点研究方向。通过检索文献发现，以“几何与代数”为具体知识单元的难度分析较少，因此，本文借助武小鹏等人提出的综合难度模型(即AHP模型)，选取2021~2024年全国甲卷(理科)、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷共12套试卷中涉及“几何与代数”的试题进行难度比较分析，帮助一线教师把握命题方向，制定针对性的高考复习计划。

2. 研究设计

2.1. 研究对象

本文选取2021~2024年高考数学理科全国甲卷(理科)、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷(以下分别简称为甲卷，Ⅰ卷和Ⅱ卷)共12套试卷中涉及“几何与代数”的试题作为研究对象。“几何与代数”内容包括平面向量及其应用，复数以及立体几何初步，因此试题中涉及以上相关内容的均纳入本研究的统计范围，具体样本数量统计见表1。

Table 1. Statistics of “Geometry and Algebra” questions on the national college entrance examination from 2021 to 2024

表1. 2021~2024年高考数学“几何与代数”试题统计

样本	选择题	填空题	解答题	总计
全国甲卷(理科)	13	4	4	21
新高考Ⅰ卷	14	1	4	19
新高考Ⅱ卷	12	3	4	19

由表1可以发现，“几何与代数”试题总体数量十分稳定，并且每种题型的波动不大。近四年甲卷考查“几何与代数”试题总数最多，总共包含20道题，其次为Ⅱ卷和Ⅰ卷。从考查方式可以发现主要侧重于选择题和解答题，填空题出现得较少，并且主要围绕复数的基本运算、线面平行的性质判定、柱体的体积计算以及建立平面直角坐标系求解二面角夹角余弦公式。

2.2. 研究工具

2.2.1. 综合难度模型

本研究基于武小鹏等人构建的基于测试项目的综合难度模型对所选试题进行难度分析。该模型由背景因素、是否含参、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向、认知水平7个要素构成。基于此，模型对“几何与代数”综合难度进行分析，按A-G对每个难度因素水平进行编码，每个因素都分为2~4级，依次赋值为1~4，详情见表2。

Table 2. Structure and essence of the “Geometry and Algebra” integrated difficulty model

表2. “几何与代数”综合难度模型的结构与内涵

难度因素	水平	编码	内涵	赋值
背景因素	无背景	A1	以纯数学知识为背景	1
	生活背景	A2	以生产生活中的实际为背景	2
	科学背景	A3	以科学情境为背景	3
参数因素	无参数	B1	试题中没有出现参数	1
参数因素	有参数	B2	试题中出现参数	2
运算水平	简单数值运算	C1	运算仅存在加、减、乘、除及其混合运算	1
	复杂数值运算	C2	运算存在三角、指数、对数、微积分等复杂运算	2
	简单符号运算	C3	运算涉及简单符号的推导，基本公式的变形、代数式的运算等	3
	复杂符号运算	C4	运算涉及复杂关系的逻辑演绎，如运动轨迹，参数方程等	4
推理能力	简单推理	D1	推理过程在3步以内完成	1
推理能力	复杂推理	D2	推理过程在3步以上完成	2
思维方向	顺向思维	E1	解决问题时按数学逻辑顺序展开	1
思维方向	逆向思维	E2	解决问题时存在逆向思考的过程	2
知识含量	一个知识点	F1	知识点在一个单元以内	1
	两个知识点	F2	知识点涉及两个单元	2
	三个知识点及以上	F3	知识点涉及三个单元及以上	3
认知水平	理解	G1	对数学概念、性质、理论的领会，与理论性知识密切相关	1
	运用	G2	对数学概念、性质、理论的运用，与程序性知识密切相关	2
	分析	G3	需要深入分析研究和综合应用题目中各个条件，建立适当的数学模型解决问题	3

根据表2的综合难度模型，对所选试题进行分析。模型确定的试题综合难度系数计算公式为：

$d_{i} = \frac{\sum_{j} n_{i j} d_{i j}}{n} (\sum_{j} n_{i j} = n, i = 1, 2, \dots, 7; j = 1, 2, \dots)$ (1)

其中， $d_{i} (i = 1, 2, \dots, 7)$ 表示“背景因素”、“是否含参”、“运算水平”、“推理能力”、“知识含量”、“思维方向”、“认知水平”七个难度因素的难度系数； $d_{i j}$ 表示第i个难度因素中第j个水平权重； $n_{i j}$ 表示本组题目中属于第i个难度因素中第j个水平的题目数；n表示本组题目总数。

在公式(1)的基础上再计算试题综合难度系数值 $X_{d}$ ，难度值等于各个因素综合难度系数的平均值：

$X_{d {}_{i}} = \frac{\sum_{i = 1}^{7} d_{i}}{7}$ . (2)

2.2.2. 数据收集与整理

根据表2中试题难度因素水平的划分，邀请了2位数学教育硕士对2021~2024年全国甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷中涉及“几何与代数”的试题进行分类与编码，对结果进行一致性检验。下面以2024年新高考Ⅰ卷第17题为例，进行编码说明。

例题：(2024年新高考Ⅰ卷第17题)如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $P A = A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ 。

(1) 若 $A D ⊥ P B$ ，证明： $A D ∥$ 平面PBC；

(2) 若 $A D ⊥ D C$ ，且二面角 $A - C P - D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求AD。

解析：

(1) 因为 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，而 $A D \subset$ 平面ABCD，所以 $P A ⊥ A D$ ，

又因为 $A D ⊥ P B$ ， $P B \cap P A = P$ ， $P B, P A \subset$ 平面PAB，

所以 $A D ⊥$ 平面PAB，而 $A B \subset$ 平面PAB，所以 $A D ⊥ A B$ 。

因为 $B C^{2} + A B^{2} = A C^{2}$ ，所以 $B C ⊥ A B$ ，根据平面知识可知 $A D ∥ B C$ ，

又 $A D ⊄$ 平面PBC， $B C \subset$ 平面 $P B C$ ，所以 $A D ∥$ 平面 $P B C$ 。

(2) 如图所示，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于E，再过点E作 $E F ⊥ C P$ 于F，连接DF，

得出 $C P ⊥$ 平面DEF，根据二面角的定义可知， $∠ D F E$ 即为二面角 $A - C P - D$ 的平面角，即 $\sin ∠ D F E = \frac{\sqrt{42}}{7}$ ，即 $\tan ∠ D F E = \sqrt{6}$ 。设 $A D = x$ ，由等面积法可得 $D E = \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2}$ ，以及 $C E = \sqrt{(4 - x^{2}) - \frac{x^{2} (4 - x^{2})}{4}} = \frac{4 - x^{2}}{2}$ ，而 $△ E F C$ 为等腰直角三角形，故 $\tan ∠ D F E = \frac{\frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2}}{\frac{4 - x^{2}}{2 \sqrt{2}}} = \sqrt{6}$ ，得出 $A D = \sqrt{3}$ 。

难度水平分析：此题位于解答题第三大问，题目本身有一定难度。通过解题过程可以看出，该题考查学生对立体几何知识的综合应用，涉及线面垂直、线面平行、二面角求法等知识点，将其编码为：A1无背景(该题属于纯数学知识)；B1无参数(该题不涉及参数)；C4复杂符号运算(该题运算属于复杂关系的逻辑演绎)；D2复杂推理(该题推理过程需要3步以上完成)；E1顺向思维(该题解题过程按数学逻辑顺序展开)；F2两个知识点(该题包括立体几何初步，三角函数两个章节的相关内容)；G3分析(作辅助线建立二面角，根据二面角的定义对题目进行求解)。

3. 研究结果

根据表2呈现的分析框架，对2021~2024年全国高考数学甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷中涉及“几何与代数”的试题进行编码，并对数据进行分析汇总，对所占的百分比和综合难度系数进行计算，如表3所示。

Table 3. Analysis and statistics of the difficulty of the 2021~2024 college entrance examination mathematics “Geometry and Algebra” test questions

表3. 2021~2024年高考数学“几何与代数”试题难度分析统计

难度因素	水平	题目数			百分比			综合难度系数
难度因素	水平	甲卷	Ⅰ卷	Ⅱ卷	甲卷	Ⅰ卷	Ⅱ卷	甲卷	Ⅰ卷	Ⅱ卷
背景因素	无背景	21	19	19	100.00%	100.00%	100.00%	1.00	1.00	1.00
	生活背景	0	0	0	0.00%	0.00%	0.00%
	科学背景	0	0	0	0.00%	0.00%	0.00%
参数因素	无参数	20	15	18	95.24%	78.95%	94.74%	1.05	1.21	1.05
参数因素	有参数	1	4	1	4.76%	21.05%	5.26%	1.05	1.21	1.05
运算水平	简单数值运算	6	6	7	28.57%	31.58%	36.84%	2.76	2.84	2.68
	复杂数值运算	0	0	0	0.00%	0.00%	0.00%
	简单符号运算	8	4	4	38.10%	21.05%	21.05%
	复杂符号运算	7	9	8	33.33%	47.37%	42.11%
推理能力	简单推理	4	2	5	19.04%	10.53%	26.32%	1.81	1.89	1.74
推理能力	复杂推理	17	17	14	80.95%	89.47%	73.68%	1.81	1.89	1.74
思维方向	顺向思维	16	16	18	76.19%	84.21%	94.74%	1.24	1.16	1.05
思维方向	逆向思维	5	3	1	23.81%	15.79%	5.26%	1.24	1.16	1.05
知识含量	一个知识点	6	8	7	28.57%	42.11%	36.84%	2.24	1.95	2.16
	两个知识点	4	4	2	19.05%	21.05%	10.53%
	三个知识点及以上	11	7	10	52.38%	36.84%	52.63%
认知水平	理解	0	0	0	0.00%	0.00%	0.00%	2.52	2.47	2.53
	运用	10	10	9	47.62%	52.63%	47.37%
	分析	11	9	10	52.38%	47.37%	52.63%

为了更加直观展示2021~2024年全国高考数学甲卷、Ⅰ卷、Ⅱ卷中涉及“几何与代数”试题各难度因素水平的变化趋势，结合表3呈现的数据，通过软件绘制各难度的柱形图，并对之进行简要分析。

3.1. 背景因素

背景因素包括无背景、生活背景、科学背景。从图1可以看出，12套试卷中“几何与代数”试题侧重对数学学科知识本身的考查，甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷三类试卷中无背景因素的占比都高达100%，三类试卷中均未出现与生活背景和科学背景相关的试题。因此“几何与代数”相关试题很少结合生活背景和科学背景进行考查，主要是对数学知识内容本身进行考查。

Figure 1. Comparison of different levels of background factors

图1. 背景因素不同水平对比图

3.2. 参数因素

试题中出现参数是指试题中至少出现一个参数，并且需要对参数进行分析，试题处于动态变化的状态，而非静止状态，进而提高试题的难度。从图2可以发现，近四年三类试卷试题均涉及对无参数类试题和含参数类试题的考查，其中无参数类试题占比较大；甲卷(理科)占比最高，为95.24%；Ⅱ卷占比次之，为94.74%；Ⅰ卷占比最低，为78.95%；含参数试题占比较小，甲卷和Ⅱ卷分别为4.76%、5.26%；Ⅰ卷占比为21.05%。因此“几何与代数”相关试题主要考查对复数、平面向量以及几何体面积或体积的理解与应用，大部分属于基础题，较少涉及参数的讨论和分析。

3.3. 运算水平因素

运算水平因素的分析包括简单数值运算、复杂数值运算、简单符号运算以及复杂符号运算。从图3可以直观地发现，三类试卷复杂符号运算水平整体占比大，其中Ⅰ卷占比最高，为47.37%；甲卷和Ⅱ卷占比分别为33.33%和42.11%，均高于同类试卷的简单数值运算和简单符号运算。说明“几何与代数”试题对学生运算水平要求中等。

Figure 2. Comparison of different levels of parameter factors

图2. 参数因数不同水平对比图

Figure 3. Comparison of operational horizontal factors

图3. 运算水平因素对比图

3.4. 推理因素

复杂推理是指解题过程中涉及复杂过程的分析和转化，至少存在3步推导。通过对“几何与代数”试题中推理因素的数据绘图(如图4所示)，复杂推理的占比远高于简单推理，甲卷和Ⅰ卷的占比均高于80.00%。说明高考试题对学生推理能力的关注，强调学生具备一定的复杂逻辑推理能力，学生的数学思维在学习过程中需要得到重视与加强。

Figure 4. Comparison of different levels of reasoning factors

图4. 推理因素不同水平对比图

3.5. 思维方向因素

观察图5不难发现，三类试卷中“几何与代数”试题内容的考查大多属于顺向思维，占比均高于75.00%，Ⅱ卷占比高达94.74%；逆向思维试题的考查较少。说明，“几何与代数”试题对学生思维能力的要求并不是很高，学生只需掌握相应的公式和定理，利用公式和图形之间的位置关系求解即可得出答案。需要注意的是，虽然逆向思维试题的考查较少，但是对学生逆向思维的训练不可或缺，这对学生思维方式和解题速度的提升具有积极作用。

Figure 5. Comparison of different levels of thinking directions

图5. 思维方向不同水平对比图

3.6. 知识含量因素

从图6可知，三类试卷对“几何与代数”试题中涉及知识含量的考查主要集中在3个知识点及以上水平，甲卷和Ⅱ卷占比差别不大，分别为52.38%和52.36%；Ⅰ卷占比则相对较低，为36.84%；涉及单个知识点占比在28%~42%之间，涉及两个知识点占比在10%~21%之间。说明“几何与代数”试题更侧重于综合性应用的考查，试题将向量的应用、空间中线面位置关系的证明以及三角函数等知识点结合起来，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力。

Figure 6. Comparison of different levels of knowledge content factors

图6. 知识含量因素不同水平对比图

3.7. 认知水平因素

从图7可以看出，近四年三类试卷中“几何与代数”试题认知水平的考查侧重运用和分析两方面，占比均在50.00%左右；对数学概念或原理的理解直接阐述几乎不考查，占比为0.00%。由此说明，检验学生将数学知识应用在具体问题中并对之进行求解的能力必不可少；对于难度较大的综合性问题，需要学生阅读试题找到知识之间的联系，建立数学模型对数学题目进行求解，进而提高学生的数学思维，起到选拔人才的作用。

Figure 7. Comparison of different levels of cognitive level factors

图7. 认知水平因素不同水平对比图

3.8. 综合难度分析

为了进一步讨论2021~2024年全国高考数学甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷中“几何与代数”试题综合难度的主要因素，本文对各个因素的综合难度系数进行取平均值的计算，得到了试题的平均难度系数 $X_{d}$ ，如表4所示。基于表4，绘制出试题综合难度系数雷达图，见图8。

从表4可知，全国甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷“几何与代数”试题的平均难度系数分别为1.80、1.79、1.74，基本保持一致，这说明我国高考试卷“几何与代数”内容的命题在综合难度上的标准较为一致。具体来说，全国甲卷要难于新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷，平均难度系数上高出0.06，而甲卷又以微小的差距高于Ⅰ卷，平均难度系数仅高出0.1。当然，平均难度系数的计算是理论难度，具体会根据不同学生的表现而存在差异。

Table 4. The difficulty coefficient of each factor in the 2021~2024 national college entrance examination mathematics “Geometry and Algebra” test questions

表4. 2021~2024年全国高考数学“几何与代数”试题各因素难度系数

	背景因素	参数因素	运算水平	推理能力	思维方向	知识含量	认知水平	平均难度系数 $X_{d}$
甲卷	1.00	1.05	2.76	1.81	1.24	2.24	2.52	1.80
Ⅰ卷	1.00	1.21	2.84	1.89	1.16	1.95	2.47	1.79
Ⅱ卷	1.00	1.05	2.68	1.74	1.05	2.16	2.53	1.74

如图8所示，“几何与代数”试题在近四年全国甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷中各难度因素水平波动不大，侧重于对认知水平、知识含量、运算水平三方面的考查，难度系数均在2.00以上，高于其它四个因素。值得注意的是，三类试卷中运算水平难度系数均超过2.5，说明应加强学生在“几何与代数”部分的运算能力，克服考试过程中的计算压力。整体来看，全国甲卷(理科)的综合难度系数均高于新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷，符合当下高考不分科的趋势，使高考试题更加适应大部分学生的学习情况。

Figure 8. Radar chart of the comprehensive difficulty of the 2021~2024 national college entrance examination mathematics “Geometry and Algebra” test questions

图8. 2021~2024年全国高考数学“几何与代数”试题综合难度雷达图

4. 研究结论与启示

4.1. 研究结论

通过对近四年全国高考数学甲卷(理科)、Ⅰ卷、Ⅱ卷中“几何与代数”试题进行综合难度分析得到如下结论：第一，“几何与代数”试题编制背景单调，整体难度变化不大。试题的编制主要围绕纯数学背景和无参数水平，缺少将知识和生活背景及科学背景的融合，较少将数据进行动态分析。但是整体来看，试题的综合难度波动不大，这说明高考试题的编制具有稳定性。第二，“几何与代数”试题强调综合性知识的理解与应用。如图8所示，认知水平、知识含量和运算水平的综合难度系数均高于2.00，表明对知识直接和单一的考查较少，将数学知识紧密联系，运用多个知识点解决问题的比重较大。说明解决“几何与代数”试题时不仅要掌握基本知识，还要注重知识的综合理解与应用。

4.2. 研究启示

4.2.1. 丰富试题情境，拓展学生思维

将数学试题与生活背景和科学背景相结合，让学生感受数学知识来源于生活又服务于生活，同时加强学生对于学科知识之间的联系。将数学知识融入学生头脑之中建立相应的数学情境，知识有了载体，学习就不再枯燥，给试题增加活力。例如2021年全国高考数学甲卷(理科)第6题对三视图的考查可以设置具体的生活情境，从而进行判断相应的视图。学科融合一直是我国教育所提倡的重要展望，在平面向量的试题中可以增加物理力学的知识作为背景，让学生清楚知识的来源，掌握知识的本质，同时达到学科融合的目标。通过试题难度分析统计发现，近四年“几何与代数”试题中生活背景和科学背景的设置比较缺失，此后试题编制中应该引起重视。

4.2.2. 重视逆向思考，提高解题能力

数学学科注重学生思维的发展，通过分析数据可知所选取的12套试题都重视思维方向的考查，但大都是顺向思维的考查，对逆向思维的考查较少。逻辑思维能力是学习数学的基础，也是学习数学必不可少的能力，拥有较强的逻辑思维对其它学科的学习也有一定的帮助。很多学生在解决数学问题时无从下手的重要原因就是他们根本不具备数学思维，找不到方向，不会从数学的角度思考，因此教师在教学过程中要引导学生用数学的眼光看待问题，培养学生逻辑思维，激发数学学习的兴趣，循序渐进地帮助学生提高解题能力。

4.2.3. 强调数学运算，加强数学素养

数学运算是数学六大核心素养之一，所选取的12套试卷较全面地考查学生的数学运算能力，包括简单数值运算、简单符号运算和复杂符号运算。“几何与代数”部分偏向对几何知识的考查，因此对三角、指数、对数等复杂数值运算的考查较少。侧面反映出学生对知识之间的联系和理解也十分重要，对数学知识具有扎实的理解和运用才能提高解题能力。因此，为了培养国家优秀人才，教师需要加强数学知识之间的联结，帮助学生形成牢固的数学知识结构，正确地将知识进行输入和输出。同时，还要培养良好的学习习惯，提高学生自觉性。

参考文献

[1]	鲍建生. 中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J]. 全球教育展望, 2002, 31(9): 48-52.
[2]	武小鹏, 孔企平. 基于AHP理论的数学高考试题综合难度模型构建与应用[J]. 数学教育学报, 2020, 29(2): 29-34.
[3]	中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订) [S]. 北京: 人民教育出版社, 2020.
[4]	教育部考试中心. 中国高考评价体系说明[M]. 北京: 人民教育出版社, 2019.

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