MPCK视角下高中数学教学有效性提升策略研究——以大连市某中学为例

Research on the Strategies for Improving the Effectiveness of High School Mathematics Teaching from the Perspective of MPCK—Taking a Middle School in Dalian City as an Example

摘要: 由于数学学科自身具有极强的逻辑性和极高的严谨性，导致了学生对高中数学的学习兴趣呈现日趋下降的局面。本文通过研究白益民等学者提出的MPCK知识概念，即数学学科知识、一般教学法知识和有关数学学习的知识，并到大连市某中学进行实地调研与实践，同时通过分析对比优秀教师与新手教师对高中数学课堂设计的把控和对学生教育方式的差异，进而从三个维度概括总结了新手教师应丰富学科知识，加强课余时间时与学生的沟通交流以及课堂教学应加强与多媒体技术的融合等研究结论来提高中学生的数学学习兴趣，基本建立了高中学生的数学学科知识体系。

Abstract: Due to the strong logic and high rigor of mathematics as a discipline, students’ interest in learning high school mathematics is showing a trend of declining. This article studies the MPCK knowledge concept proposed by scholars such as Bai Yimin, which includes mathematical subject knowledge, general pedagogical knowledge, and knowledge about mathematics learning. It also conducts field investigations and practices at a middle school in Dalian City. At the same time, it analyzes and compares the differences between excellent teachers and novice teachers in controlling high school mathematics classroom design and in their approaches to student education. From three dimensions, it summarizes research findings that novice teachers should enrich their subject knowledge, strengthen communication and interaction with students during extracurricular time, and that classroom teaching should enhance integration with multimedia technology. These conclusions aim to increase high school students’ interest in learning mathematics and have basically established a knowledge system for high school students’ mathematics subject.

1. 引言

在当今高中数学课堂教学中，在以解题训练为核心，高密度，大容量，快节奏的高中数学教学模式下，学生的课业负担逐渐加重，进而失去了对数学的学习兴趣，这就要求中学数学教师对自己的课堂的教学效果是否能达到预期的目标为标准进行系统评价。为达到这一目的，国内外专家学者建议，教师需要具备足够且渊博的数学专业知识和教学理论知识，即数学学科教学知识，又称MPCK。

2. MPCK理论来源

2.1. MPCK的源头——PCK

PCK为学科教学知识，该词最早出现在舒尔曼教授在《教育研究者》上发表的一份研究报告中，舒尔曼教授将PCK定义为“教师个人教学经验、教师学科内容知识和教育学的特殊整合”[1]。强调要综合专业学科知识与教育学知识来完善教师对单元内容的学习，并据此来组织和呈现以适应具有不同兴趣和能力的学生，这样才能有效地进行教学[2]。

此外格罗斯曼教授也对PCK进行了具体的分类：“关于学科教学目的的知识，学生对某一主题理解和误解的知识、课程和教材的知识、特定主题教学策略和呈现知识”。

2.2. MPCK的概念扩展

在2000年，我国学者以白益民为代表，开始关注并研究PCK这一知识。若结合数学学科来研究分析PCK，则得到MPCK，即数学学科教学知识，是指数学教师在进行数学内容教学时应具备的核心知识[3]。基于此，黄毅英教授将MPCK划分为三个部分，即数学学科知识(MK)，一般教学法知识(PK)和有关数学学习的知识(CK)。

数学学科知识(MK)：教师需要对数学知识的深度和广度有充分的掌握，能够理解数学的基本原理、定理及其应用，并有效地将这些内容传授给学生。

教学法知识(PK)：教师要具备有效的教学策略与方法，例如讲授方法、互动设计、评估方式等，能够根据不同的教学内容与学生需求，设计适宜的教学活动。

学生认知知识(CK)：教师要了解学生的认知发展、学习风格、个体差异等，理解学生在学习数学过程中可能遇到的困难，进而调整教学策略和内容，以适应不同学生的需求。

2.3. MPCK的核心构成及其相互关系

2.3.1. 数学学科知识(MK)

数学学科知识作为MPCK中最为基础的部分，直接影响着教师对数学知识的掌握程度，进而影响学生对数学的基本原理、定理及其应用的理解[4]。这就要求教师不仅需要掌握基础的数学概念和定理，还需要理解数学理论的内在联系，同时要有清晰明确的知识框架，以及对数学知识的实际应用的充分理解。

2.3.2. 教学法知识(PK)

教学法知识影响着教师能否有效传授数学知识，其中包括传统讲解法、探究式教学、合作学习、启发式教学等，接着教师通过有效的反馈机制，了解学生的理解情况并及时调整教学内容。

2.3.3. 学生认知知识(CK)

了解学生的认知过程和学习需求是教师能够精准教学的前提，在教学时，教师要充分了解学生间的个体差异，根据学生的认知发展阶段来调整教学方法，设计适当的教学内容。教师提前预判学生在新知学习中可能遇到的常见误解和认知障碍，并给予适当协助。

2.4. 教学有效性的界定

高中数学教学有效性是指教师通过有效实际的教学设计和策略，激发学生学习兴趣、提高学生学业成绩、增强学生数学思维能力和问题解决能力、促进学生的课堂参与度，并帮助学生建立积极的情感态度，从而实现学生在数学学科知识、技能、情感等方面的全面发展。

在本文涉及的调查实验中，通过学业成绩、学生的学习兴趣和动机、课堂参与度、学生的自主反馈等多个维度进行综合评估。

3. 问卷调查及课堂实录

在课前发放问卷时，笔者会注意向学生说明本问卷需要结合本节课的具体情况及过去学生对本班数学课堂教学的认识进行作答，课后会将问卷收回。

3.1. 回收及分析问卷(课前内容 + 课后内容)

在课程结束后，回收本班学生的问卷，根据课堂情况实录进行问卷分析。

3.1.1. 调查对象

大连市该中学全部学生，每个年级均为八个班级，其中高一年级有两位优秀教师，两位新手教师；高二年级有三位优秀教师，一位新手教师；高三年级四位均为优秀教师，每位教师均需完成两个班级的数学授课[5]。

高一年级：1班2班、5班6班为新手教师，3班4班、7班8班为优秀教师；

高二年级：1班2班、3班4班为新手教师，5班6班、7班8班为优秀教师；

高三年级：1班2班、3班4班、5班6班、7班8班均为优秀教师。

3.1.2. 调查方式

问卷调查，分为13道单选题和1道问答题。

3.1.3. 问卷分析

单选题部分：仅选取每位教师教授的一个班级进行数据对比。

高一年级数据展示如表1与表2。

单选题部分：高二年级数据展示如表3与表4。

单选题部分：高三年级数据展示如表5与表6。

Table 1. Comparison of single-choice answering situation among four classes in the first year of high school

表1. 高一年级四个班级单选答题情况对比

题目 p值 班级	1班与5班 对比	3班与7班 对比
2~4题	0.98/0.76/0.77	0.88/0.69/0.83
5~10题	0.84/0.92/0.97/0.97/0.80/0.58	0.76/0.95/0.89/0.73/0.87/0.94
11~13题	0.97/0.73/0.91	0.91/0.83/0.86

Table 2. Comparison of the single-choice answers of Class 1 and Class 7 of the first year of high school

表2. 高一年级1班与7班单选答题情况对比

题目 p值 班级	1班与7班 对比
2~4题	0.55/0.63/0.73
5~10题	0.013/0.306/0.309/0.038/0.039/0.048
11~13题	0.049/0.015/0.050

Table 3. Comparison of the single-choice answers of the four classes in the second year of high school

表3. 高二年级四个班级单选答题情况对比

题目 p值 班级	1班与3班 对比	5班与8班 对比
2~4题	0.98/0.76/0.77	0.88/0.69/0.83
5~10题	0.84/0.92/0.97/0.97/0.80/0.58	0.76/0.95/0.89/0.73/0.87/0.94
11~13题	0.97/0.73/0.91	0.91/0.83/0.86

Table 4. Comparison of the single-choice answers of Class 1 and Class 8 of the second year of high school

表4. 高二年级1班与8班单选答题情况对比

题目 p值 班级	1班与8班 对比
2~4题	0.75/0.63/0.78
5~10题	0.013/0.306/0.309/0.038/0.039/0.048
11~13题	0.049/0.015/0.050

Table 5. Comparison of the single-choice answers of the four classes in the second grade of high school

表5. 高二年级四个班级单选答题情况对比

题目 p值 班级	1班与3班 对比	5班与8班 对比
2~4题	0.98/0.76/0.77	0.98/0.85/0.86
5~10题	0.84/0.92/0.97/0.97/0.80/0.58	0.90/0.95/0.89/0.88/0.87/0.94
11~13题	0.97/0.83/0.91	0.91/0.90/0.86

Table 6. Comparison of the single-choice answers of class 3 and class 5 in the third grade of high school

表6. 高三年级3班与5班单选答题情况对比

题目 p值 班级	3班与5班 对比
2~4题	0.95/0.88/0.96
5~10题	0.76/0.77/0.87/0.86/0.88/0.79
11~13题	0.87/0.83/0.93

① 从数据中的p值来看，同一年级的不同新手教师之间与不同优秀教师之间问卷结果上不存在显著差异，因此无论是不同新手教师还是不同优秀教师之间均可以相互代表，因此高一年级选择1班与7班，高二年级选择1班与8班，高三年级选择3班与5班进行最后的数据对比。

② 数学学科知识的掌握程度(问卷第2到4题)

根据问卷数据反馈，不同年级的优秀教师和新手教师在知识掌握程度上相差甚微，从数据角度分析，二者不存在显著差异，即两类教师的知识水平已达到合格层次。

③ 数学教学策略水平(问卷第5到10题)

利用SPSS对数据进行独立样本T检验，得到在$\alpha =0.05$ 情况下，高一年级和高二年级的两位教师在教学水平上具有显著差异，优秀教师的教学水平要高于新手教师[6]。

④ 对学生的认知(问卷第11到13题)

根据数据的统计结果发现，在$\alpha =0.05$ 时，两位教师在对学生了解水平上也具有显著差异，相较于新手教师过多地专注于自身，优秀教师更倾向于主动了解本班学生的个人情况，来设计适宜的教学策略[6]。

问答题部分：

通过分析学生给出的回答，可以读出学生更加期待的课堂是活跃且形式多样的，不希望教学课堂是死板的，只有知识的讲授。而在对教师的期待上，学生希望教师能够与每位学生有更多单独的交流，能在课堂上幽默风趣，且最重要的是要能够用浅显易懂的语言讲明知识。

3.2. 优秀教师与普通教师的课堂教学分析

由于篇幅限制，本文将仅选取高一年级中具有代表性的一位优秀教师和一位新手教师的课堂实录进行对比分析。

3.2.1. 优秀教师课堂实录及相关分析

2024年4月16日高一A班

课前S教师引导学生，以测试的形式完成本节课预习部分的内容——特殊角的三角函数值，接着随机挑选并展示三位学生的作答内容，通过分析学生在问题回答时出现的不足，并总结出本题的易错点。同时根据学生提交的作答情况，利用多媒体总结本班的正确率。

环顾班级，每位同学都准备好老师课前发的导学案，上面有每个环节的问题，帮助学生更好了解整节课程，S教师在课前已经安排了班级小组分配。接着S教师让学生思考导学案的问题，如何利用已知的特殊角三角函数值求解$\cos 15˚$ 。小组讨论三分钟后，各自给出本组答案，S教师都给予充分地表扬，接着将代表性答案投屏：

$\cos {15}^{\circ }=\cos \left({45}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)=\cos {45}^{\circ }-\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$ .

此时S教师引导全班思考答案的正确性，见学生没有思路，S教师提出不同象限下锐角三角函数的正负，学生恍然大悟纷纷表示该答案错误，但仍对求解$\cos 15˚$ 毫无头绪。接着S教师在多媒体上放出GGB软件进行本节课内容的作图展示，引导学生一边观察GGB软件作图流程，一边在导学案上作图。为计算$\cos 15˚$ ，S教师引导学生回顾旧知，思考直角坐标系与三角函数的联系，进而老师和学生共同在白板上求解；

$OP\cdot OQ=\left|OP\right|\cdot \left|OQ\right|\cdot \cos \langle OP,OQ\rangle =1\times 1\times \cos {15}^{\circ }=\cos {15}^{\circ }$ .

另一方面，教学软件上给出了点P和Q的坐标，此时S教师直接引导学生从坐标角度再次计算得到：$OP\cdot OQ=\left(\cos {60}^{\circ },\sin {60}^{\circ }\right)\cdot \left(\cos {15}^{\circ },\sin {15}^{\circ }\right)=\cos {60}^{\circ }\cos {15}^{\circ }+\sin {60}^{\circ }\sin {15}^{\circ }$ ，从而建立等式 $\cos {15}^{\circ }=\cos \left({60}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)=\cos {60}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }+\sin {60}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ 。

接着S教师引导学生按照特殊到一般思路来猜想$\cos \left(\alpha -\beta \right)$ 公式并证明，学生十分钟讨论结束后，猜想$\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta$ ，小组代表在白板上给出证明，S教师对学生的证明思路给出极大表扬，但在细节处如缺少考虑$\alpha -\beta$ 是否可能大于$\pi$ 提出了建议，进而完善了证明步骤。

最后利用诱导公式的证明来完成学生对知识的巩固，并让学生从知识和问题解决上总结本节课的收获，并在评价量表上为自己的表现打分。

3.2.2. 普通教师课堂实录及相关分析

2024年4月19日高一B班

B班是由入职两年的教师进行授课，在上课铃声响起前十几秒，W教师踏入教室，在铃声响起后，W教师利用十分钟的时间对上节课的易错作业进行了细致地讲解，接着利用五分钟时间在白板上边讲边写特殊角的三角函数值，并未与学生产生过多的互动。

这里，W教师通过提问学生$\cos 15˚$ 的值来引入本节课的内容，此时W教师提问了三位同学，得到的结果仅为$\cos {15}^{\circ }=\cos \left({45}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)$ ，学生均未有过多进一步计算的猜想。这里W教师直接在白板上，画出了单位圆，$\alpha$ 和$\beta$ 两个角及对应交点，通过提问数量积公式的方式，在一旁的黑板上写下 $OP\cdot OQ=\left|OP\right|\cdot \left|OQ\right|\cdot \cos \left(\langle \alpha ,\beta \rangle +2k\pi \right)=\cos \langle \alpha ,\beta \rangle$ 。这时W教师在图上标注出了交点的坐标，并向学生提问“能否用坐标表示$OP\cdot OQ$ ？”，此时部分学生给出了自己的想法，课堂上略显混乱，W教师整理课堂后，将其中一位同学答案标注在黑板上，进而给出了

$OP\cdot OQ=\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)\cdot \left(\cos \beta ,\sin \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

推出$OP\cdot OQ=\cos \langle \alpha ,\beta \rangle =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ ，得到了两角差余弦公式。最后利用求解$\cos 105˚$ ，证明$\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$ 来巩固知识。

4. 教师MPCK掌握水平对课堂教学有效性的影响

下面将通过剖析两位教师的访谈回答及学生的问卷结果，探究在MPCK视角下新手教师应如何提升高中数学教学有效性，完成向优秀教师身份的转变。

4.1. 数学学科知识角度

S教师与W教师均强调，一名合格高中数学教师要清楚地掌握高中数学课程的目标，重难点等，同时也应熟知每节课的教学环节及知识点，并根据学生实际情况来设计教学情境，激发学生的学习兴趣。从学生的问卷结果角度也证实了这一点，学科知识的掌握程度与学生对课堂的兴趣及成绩情况有一定的正相关性。

另外教师要学会深度挖掘学科知识之间的深层逻辑，为学生构建起章节知识框架以及各章节知识之间的桥梁。教师对数学知识的深度理解直接影响学生的学习效果。优秀教师不仅能准确传授数学知识，还能有效地将数学概念与实际问题相结合，帮助学生建立全面的数学思维框架。相比之下，新手教师由于学科知识掌握不够深入，导致教学过程中出现知识点讲解不清晰、学生理解困难等问题。

4.2. 一般教学法知识角度

教师在掌握了学科知识的基础上，需要对教学方法有深入地思考与深刻地理解。从S教师的回答中发现，教学法的掌握不再只是通过学习可以得到，而是更多来自教师的实践经验，而这一点也恰是W教师在访谈中的自我反省之处，而在学生问卷的结果上也体现了更富生动性和活泼性的教学课堂对学生的吸引程度更高，因而新手教师在进行教学环节的设计与课堂氛围的调节时，要与知识契合，与学生情况匹配。

优秀教师能够根据学生的不同需求灵活调整教学策略，使用多样化的教学方法(如启发式教学、合作学习、多媒体辅助教学等)来提升学生的课堂参与度和学习兴趣。相反，新手教师可能过于依赖传统的教学模式，导致课堂气氛单一，学生参与度较低。

4.3. 有关学生的知识角度

这与教学法知识有异曲同工之妙，首先从学生个性上看，每位学生是不同的个体，访谈中多位教师都强调课堂上一定要关注到学生的基本情况。如果学生感受到教师对自己的认可与重视，会更加有信心和兴趣来学习学科知识。其次，根据学生问卷问答题的结果发现，学生更倾向于相信亲和力高，幽默且更变通的教师，因此我们在正常教学之外还要关注学生的年龄特征，青春期的学生多数会有逆反心理，教师要做的是从学生的角度出发来解决问题，而不是从问题的角度出发来解决学生，只有和学生在同一个立场，才能体会到问题的本质，从而提高学生在课堂上的学习效率。

另外通过对学生认知能力、学习习惯和个性差异的了解，教师能够更好地设计适合不同学生的教学内容和方法。优秀教师通常会根据学生的反馈调整教学进度，而新手教师可能忽视学生的认知差异，导致部分学生难以跟上教学节奏。因此，教师对学生认知差异的关注可以显著提高教学的个性化和针对性，从而提升教学效果。

5. 教师MPCK水平对高中数学课堂有效性提高的影响结论

1) 为提高高中数学课堂教学效率，教师尤其是新手教师要深入理解教材内容，重点在于知识网络的系统构建以及对数学知识背后思想和逻辑的深度挖掘。对此提出的建议是教师应定期参与学科知识的深度学习和专业培训，特别是在数学的基础理论、数学建模和实际应用方面。教师可以通过参与学术交流、阅读最新的教育研究和案例分析，不断更新自己的学科知识体系。同时参加校内外的数学教研活动，定期进行学科知识的讨论与分享。组内定期设计并汇报每月的专业发展计划，确保教师有时间进行学术阅读和专业培训，定期开展进行自我评估和同行评审，以确保数学学科知识的深度和广度[7]。

2) 从教学法的角度，教师提高课堂教学效率的关键在于采用多样化的教学策略，包括使用启发式教学来激发学生的主动思考，合作学习，同时有助于促进学生间的互动交流。同时，教师应根据学生的学习需求和课堂实际情况，灵活运用不同的教学方法(如合作学习、小组讨论、项目式学习等)，并通过多媒体和技术工具增强课堂的互动性和学生的参与度，同时注重课上及课下的评估与学生反馈，及时调整教学方法，确保每位学生都能有效地吸收和理解教学内容。

3) 从学生认知的角度，教师应关注学生的认知发展水平和学习风格，通过差异化教学满足不同学生的需求，因此教师在教学设计中要保留互动性强、富有挑战性的教学活动，以促进学生的积极参与和深入思考[8]。对此，教师可以在每个单元教学开始前，通过小测验或课堂观察了解学生的基础知识和认知水平，调整教学难度和进度。根据课前收集的学生情况，采用分层教学法，将学生按照学习能力分组，提供不同难度的任务和挑战，确保每个学生都能在自己的能力范围内取得进展。在课后教师也应定期安排一对一或小组辅导，针对学习困难的学生提供个性化支持和指导，帮助他们克服学习障碍。