时变混合双分数Brown运动下的欧式期权定价

Pricing of European Options under Time Varying Mixed Bifractional Brown Motion

摘要: 金融资产价格具有“尖峰厚尾”和长期记忆等分形特征，采用具有GARCH结构的时变混合双分数Brown运动可以描述其动态变化过程。首先，构建混合双分数Brown运动下的期权定价模型和时变参数模型；再选取上证50ETF指数、香港恒生指数、日本东证指数的历史收盘价进行实证分析，并与传统的BS模型、混合双分数Brown运动定价等模型进行对比研究。结果发现：时变混合双分数Brown运动下的欧式期权定价模型在期权定价精度方面具有明显优势，特别是在发达证券市场上表现更好，同时具有较强的预测能力。对金融衍生品、风险管理、投资管理等方面都具有一定的参考意义和实用价值。

Abstract: Financial asset prices have fractal characteristics such as “sharp peaks and thick tails” and long-term memory, and its dynamic process can be described by the time-varying mixed double-fractional Brownian motion with GARCH structure. Firstly, the option pricing model and the time-varying parameter model are constructed under the hybrid two-fractional Brown’s motion; then, the historical closing prices of SSE 50 ETF index, Hong Kong Hang Seng index, and Japan TSE index are selected for the empirical analysis, and compared with the traditional BS model and the hybrid two-fractional Brown’s motion pricing model. The results show that the European option pricing model with time-varying hybrid bifractional Brownian motion has obvious advantages in terms of option pricing accuracy, especially in the developed stock markets, and has strong forecasting ability. It has certain reference significance and practical value for financial derivatives, risk management and investment management.

1. 引言

在过去的几十年里，国内外金融市场不断创新和进化，金融工程师们开始研究设计新型金融工具，以提供更多的投资和风险管理选择来满足市场需求。在商品市场中，投资者渴望寻求多样化的投资组合，保护自己免受价格波动的影响，而价格的波动会给交易者带来风险。期权因其可以满足市场风险对冲、资金运用、套利机会以及投资者保值投机的渴望等方面的需求，得到飞速的发展。目前，契合我国国内发展状况的主要是欧式期权，它是一种只有到期日才能够行使权利的期权，因其自带的规避风险的特性，受到了更多业内人士的追捧。同时，所设定的期权价格也会对市场的稳定性产生较大影响，大量金融市场的实证研究表明，金融资产价格收益率具有“尖峰厚尾”的特点，这说明金融资产价格的变动不是随机的，而是具有不同的长期记忆性。那么，如何才能准确描述金融资产价格动态，提高期权定价的准确性，规避与宏观经济不确定性带来的投资风险，是专家们一直在讨论的问题[1]。

在现代金融数学领域中，期权定价模型的发展经历了几个重要里程碑时期。最初的现代期权定价理论基础是根据Black和Scholes [2]提出的著名的BS期权定价模型所建立的，该模型基于连续时间的风险中性评估，使用假设无风险利率和贝尔曼方程推导出了期权定价的解析解。但BS模型是建立在金融资产价格遵循几何布朗运动的基础之上的。许多研究人员洞悉到几何布朗运动模型仍然无法准确捕捉到金融市场的真实动态，在描述实际的金融时间序列时，该模型的局限性逐渐显露出来。比如1977年Greene [3]等人发现股票数据的波动具有明显持续的相关性，这表明股票价格的变动并非是随机的，而是受到之前的价格变动的影响；1991年LoAw [4]通过实证分析发现了金融资产收益率的自相似性，这表明金融资产收益率的波动并非是随机的，而是存在一定的模式和结构。这些特性的存在说明金融市场存在某种程度的可预测性。为了更好地捕捉金融资产价格和波动性的动态变化过程，Peter [5]通过分数阶导数的概念，创造性地提出了一种新的期权定价模型——分数Brown运动模型，该模型能够更准确地捕捉到金融资产价格序列中的长期记忆性和非线性特征。其后，许多学者围绕分数Brown运动对各种期权定价模型进行了研究和实证分析[6]。由于分数Brown运动基于价格的增量是独立且平稳的假设，所以仅适用于市场相对稳定的状态。在现实中，非平稳的过程可能会展现出趋势性或季节性的特征，这些特征无法用分数Brown运动来描述。另外，金融市场的价格变动可能会出现相关性，即过去的价格变动会对未来的价格变动产生影响。考虑到金融市场的对数收益率时间序列不具有独立增量和平稳增量的特性，2003年Houdre和Villa [7]引入了双分数Brown运动。这是一种具有两个分数维度的随机过程，相比传统BS模iai型更加灵活，能更好地捕捉金融市场价格的特征。从此以后，双分数Brown运动期权定价模型成为金融学者们的热门研究模型。但是，基于模型的理论价格和真实的市场价格之间是不允许存在差异，而双分数Brown运动下的期权定价模型是存在套利机会的，这意味着投资者可以通过特定的交易策略达到低风险、高回报的目的，显然与期权定价模型的基本假设相违背，所以该模型不能直接用来描述金融资产价格的动态变化过程。后来，研究发现几何Brown运动和双分数Brown运动复合而成的混合双分数Brown运动[8]很好地解决了这个问题，既不存在套利机会，并且在一定的条件下，混合双分数Brown运动可以转化为半鞅，可以对价格变化进行更加精确地建模和分析。因此，本文在混合双分数Brown运动视域下刻画金融资产价格的动态变化过程。

通常来说，不同时刻的金融资产价格的波动率是不同的。而在传统的BS模型中，波动率被视为常数，这显然与真实的变动市场是不相符的，也在一定程度上降低了期权定价的精确度。为了能够更准确地刻画金融资产价格动态变化过程，学者们尝试了多种随机模型对期权定价问题的波动率建模，现有方法大致可分为3大类：第一类是隐含波动率模型，即通过倒推期权价格对风险资产价格未来波动幅度进行预判。杨晓辉和王裕彬[9] (2019年)以上证50ETF期权为例，对比研究了以BS模型反推出的隐含波动率和通过建立GARCH模型所计算出的期权市场的历史波动率；第二类是已实现波动率模型，Andersen和Bollerslev [10]基于Merton [11]发现的采样间隔与得到的数值精度之间关系，首次对“已实现波动率”这一概念作出阐述，方法是通过利用历史的波动率数据，得到已实现波动率模型。Bandi等[12]、Stentoft [13]与Corsi [14]等基于已建立的波动率模型深入研究期权定价问题。他们发现，衡量日内波动率的指标是交易日内高频收益数据的实现波动率时，期权定价模型的准确性显著提高。同时，随着高频数据的增加，期权定价模型的精确度有望得到进一步提升；第三类是历史波动率模型，自从Heston和Nandi [15] (2000年)首次提出使用GARCH模型来建立金融资产的波动率模型以来，GARCH系列已被广泛用于研究金融衍生品问题。张波和蒋远营[16] (2017年)通过构建随机波动率模型，对我国股票数据的高频交易情况进行了研究；Huang和Hansen等人[17] (2017年)基于Edgeworth展开计算累积收益密度的分析，近似推导出了已实现GARCH框架的欧式期权定价公式；郑尊信和王华然等人[18] (2019年)研究了Levy-GARCH模型下的波动特征，并进行了实证分析。除此之外，还有许多其他波动率模型[19]和时变类期权定价模型[18]在不断发展中。

为了能够更准确地描述金融资产价格的动态变化，学者们采用GARCH [20]等随机模型对波动率进行了建模，以及用AR模型[21]来构建可以描述长期记忆性的Hurst指数[22]的时变参数模型。余湄[23]等人在GARCH结构的时变混合次分数Brown运动视域下刻画风险资产价格的动态变化。受该文的启发，同时考虑到双分数Brown运动与次分数Brown运动相比，具有更广泛的自相似性质和Gauss过程的特性，其适用范围更加广泛。针对上述情况，同时结合数据的特点，本文采用具有GARCH结构的混合双分数Brown运动对金融资产价格进行了“尖峰厚尾”以及长期记忆性描述，将用于描述金融资产价格长期记忆性的Hurst指数建立时变参数模型的AR模型改进为ARIMA模型，从而可以捕捉数据中的移动平均性，减少模型复杂度，并在时变情形下考虑混合双分数Brown运动驱动的欧式期权定价模型，选取具有代表性的指数期权进行实证分析。可能的边际贡献主要表现在如下三个方面：第一，现有文献通常局限于研究视波动率为常数的分数Brown运动模型，这无法展现出金融市场趋势性或季节性的特征以及价格变动可能会出现相关性。本文从时变视角出发，采用混合双分数Brown运动刻画金融资产价格的动态变化过程，可以对价格变化进行更加精确地建模和分析，也不存在套利机会。第二，相关文献通常缺少实证分析，或使用数据为非真实数据或单一市场数据，这会加剧信息摩擦、显著降低预测准确性，从而对期权定价结果产生负面影响。本文收集国内外特征相异的证券市场真实数据，分为三个版面独立进行实证分析，从而增加实证结果的稳健性和可信度。第三，虽然期权定价是金融工程的核心内容之一，但在理论研究和实际应用中，BS模型仍在被广泛应用，本文的研究有助于理解市场估值情况，帮助投资者进行有效的资产配置和风险管理，为政策制定提供依据，同时也为期权定价模型改进提供参考。

2. 模型推导

定义2.1. (Bi-mFBM的定义) [24]设为概率空间，Hurst指数$H\in \left(0,1\right),K\in \left(0,1\right]$ ，若随机过程$W^{H,K}:=\left\{W^{H,K},t\ge 0\right\}$ 是一个连续的分数中心Gauss过程,

$W^{H,K}={\sigma }_1{B}_t+{\sigma }_2{B}_t^{H,K},$ (1)

其中$B_t$ 为标准Brown运动；$B_t^{H,K}$ 为双分数Brown运动，即$W^{H,K}$ 为标准Brown运动和双分数Brown运动的线性组合；${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 分别为标准Brown运动$B_t$ 和双分数Brown运动$B_t^{H,K}$ 的标准差，且均为正常数。$W_t{}^{H,K}$ 同时满足以下条件:

(1) 初始时刻$t=0$ 时，$W_0^{H,K}=0$ ；

(2) 期望$E\left(W^{H,K}\right)=0$ ；

(3) 协方差

$\mathrm{cov}\left(W_t^{H,K},W_s^{H,K}\right):=R^{H,K}\left(t,s\right)={\sigma }_1^2\min \left(t,s\right)+\frac{{\sigma }_2^2}{2^K}\left[{\left(t^{2H}+s^{2H}\right)}^K-{\left|t-s\right|}^{2HK}\right],t,s\ge 0$

则称$W^{H,K}$ 为混合双分数Brown运动(bmFBM)。

需注意的特殊情况，当${\sigma }_1=0$ 时，$W^{H,K}$ 退化为双分数Brown运动，当${\sigma }_2=0$ 时，$W^{H,K}$ 退化为标准Brown运动。

2.1. 混合双分数Brown运动的性质[25]

(P1) $W^{H,K}$ 为一个具有HK-自相似性的过程，即对任意常数c，随机过程$\left\{W_{ct}^{H,K},t\ge 0\right\}$ 和 $\left\{c^{HK}{W}_{ct}^{H,K},t\ge 0\right\}$ 具有相同的分布。

(P2) 长期记忆性。当$HK>1/2$ 时，$W^{H,K}$ 具有长期记忆性，即${\displaystyle {\sum }_{i=0}^{n}R\left(n\right)}=\infty$ ；当$HK<1/2$ 或$HK=1/2$ ，$K\ne 1$ 时，具有短期记忆性，即${\displaystyle {\sum }_{i=0}^{n}R\left(n\right)}<\infty$ 。

(P3) 当$HK\ne 1/2$ 时，$W^{H,K}$ 不是半鞅。

(P4) 当$K=1$ 时，$W^{H,K}$ 是混合分数Brown运动。

(P5) 当$H=1/2,K=1$ 时，$W^{H,K}$ 退化为标准Brown运动。

(P6) 当$HK>3/4$ 时，$B_t+B_t^{H,K}$ 是一个Wiener过程。

最重要的是，Bi-mFBM不存在套利机会，在一定程度上，近似于几何Brown运动，可以直接用来建模；同时，符合自融资的假设条件。

2.2. 欧式期权定价模型[26]

简化模型推导过程，首先进行以下假设:

(H1) 市场无摩擦，即无交易成本和税收等费用；

(H2) 不存在无风险套利机会；

(H3) 股票交易是连续进行的(完全可分)，且可以售空；

(H4) 无风险利率$r\ge 0$ 的常数；

(H5) 股票连续支付红利，红利率为常数，且$q>0$ ；

(H6) 无风险资产价格$M_t$ 满足微分方程

$\text{d}{M}_t=r{M}_t\text{d}t,t\in \left[0,T\right];$ (2)

(H7) 风险资产(股票)价格$S_t$ 满足微分方程

$\text{d}{S}_t=\left(\mu -q\right)S_t\text{d}t+{\sigma }_1{S}_t\text{d}{B}_t+{\sigma }_2{S}_t{B}_t^{H,K},t\in \left[0,T\right];$ (3)

其中$\mu$ 为$S_t$ 的期望收益率；${\sigma }_1$ 和${\sigma }_2$ 分别为服从几何Brown运动$B_t$ 和双分数Brown运动$B_t^{H,K}$ 的风险投资价格的波动率，均为正常数且$HK>1/2,H\in \left(0.5,1\right),K\in \left(0.5,1\right]$ 。

在风险中性测度$\mathcal{Q}$ 下，$S_t$ 所产生的期望收益率$\mu$ 等于无风险利率r，由此可知满足(3)式的$S_t$ 为

$S_t=S_0\exp \left\{\left(r-q\right)t-\frac{1}{2}{\sigma }_1^{2}t-\frac{1}{2}{\sigma }_2^2{t}^{2HK}+{\sigma }_1{B}_t+{\sigma }_2{B}_t^{H,K}\right\};$ (4)

则执行价格为D，到期日为T时，有看涨期权合约多头和看跌期权合约空头的价值分别为:

$\max \left\{S_T-D,0\right\},\max \left\{D-S_T,0\right\}.$ (5)

根据鞅方法可知:t时刻，看涨期权$C\left(t,S_t\right)$ 和看跌期权价格$P\left(t,S_t\right)$ 分别为

$\begin{array}{l}C\left(t,S_t\right)={\text{e}}^{-r\left(T-t\right)}{E}_t^Q\left[\max \left\{S_T-D,0\right\}\right],\\ P\left(t,S_t\right)={\text{e}}^{-r\left(T-t\right)}{E}_t^Q\left[\max \left\{D-S_T,0\right\}\right].\end{array}$ (6)

2.3. Bi-mFBM下的期权定价模型

在Bi-mFBM的驱动下，执行价格为D，到期日为T的欧式看涨期权在$t\in \left[0,T\right]$ 时的价格$C\left(t,S_t\right)$ 为

$C\left(t,S_t\right)=S_{t}N\left(d_1\right)-D{\text{e}}^{-r\left(T-t\right)}N\left(d_2\right).$ (7)

其中

$d_1=\frac{\ln \frac{S_t}{D}+\left(r-q\right)\left(T-t\right)+\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\left(T-t\right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\left(T^{2HK}-t^{2HK}\right)}{\sqrt{{\sigma }_1^2\left(T-t\right)+{\sigma }_2^2\left(T^{2HK}-t^{2HK}\right)}};$ (8)

$d_2=d_1-\sqrt{{\sigma }_1^2\left(T-t\right)+{\sigma }_2^2\left(T^{2HK}-t^{2HK}\right)};$ (9)

$N\left(d\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{-\frac{2}{x^2}}.$ (10)

在套利驱动的均衡状态下，根据看涨–看跌的期权平价公式得，$t\in \left[0,T\right]$ 时欧式看跌期权价格$P\left(t,S_t\right)$ 为

$P\left(t,S_t\right)=D{\text{e}}^{-r\left(T-t\right)}N\left(-d_2\right)-S_{t}N\left(-d_1\right),$ (11)

其中$d_1,d_2$ 同欧式看涨期权。

2.4. 传统BS期权定价模型

在传统BS期权定价模型中，(3)式退化为以下形式

$\text{d}{S}_t=\left(\mu -q\right)S_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}{B}_t,t\in \left[0,T\right].$ (12)

$t\in \left[0,T\right]$ 时，欧式看涨期权价格为

$C\left(t,S_t\right)=S_{t}N\left(d_1\right)-D{\text{e}}^{-r\left(T-t\right)}N\left(d_2\right).$ (13)

其中

$d_1=\frac{\ln \frac{S_t}{D}+\left(r-q\right)\left(T-t\right)+\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\left(T-t\right)}{\sqrt{{\sigma }_1^2\left(T-t\right)}},$ (14)

$d_2=d_1-\sqrt{{\sigma }_1^2\left(T-t\right)},$ (15)

$t\in \left[0,T\right]$ 时，欧式看跌期权价格为

$P\left(t,S_t\right)=D{\text{e}}^{-r\left(T-t\right)}N\left(-d_2\right)-S_{t}N\left(-d_1\right),$ (16)

其中，d₁和d₂同上。

3. 时变参数模型的构建

有研究表明，除了标的资产价格之外，执行价格、波动率和Hurst指数H等也会对期权定价结果有着显著影响。因此采用ARIMA和GARCH模型分别来估计H和波动率，可以更加精确地刻画金融市场的分形特征(长期记忆性、自相似性和“尖峰厚尾”等特征)和波动率的聚集现象。

ARIMA模型由于分形市场的时变性，在混合双分数Brown运动下的期权定价模型中，采用自回归差分移动平均模型(ARIMA)对时变参数Hurst指数H进行建模。即

$H_t={\alpha }_0+{\alpha }_1{H}_{t-1}+\cdots +{\alpha }_p{H}_{t-p}+{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+\cdots +{\theta }_q{\epsilon }_{t-q},$ (17)

其中${\epsilon }_t$ 为白噪声过程，即${\epsilon }_t$ 满足零均值$E\left({\epsilon }_t\right)=0$ ,等方差$Var\left({\epsilon }_t\right)={\sigma }_t^2$ ,以及$Cov\left({\epsilon }_t,{\epsilon }_s\right)=0,t\ne s$ 的假定。

GARCH模型[20]由于金融时间序列数据存在条件异方差，故采用广义回归异方差模型对上节中期权定价模型中的波动率${\sigma }_i,i=1,2$ 进行建模。

${\sigma }_t^2={\beta }_0+{\beta }_1{\epsilon }_{t-1}^2+\cdots +{\beta }_q{\epsilon }_{t-q}^2+{\gamma }_1{\sigma }_{t-1}^2+\cdots +{\gamma }_q{\sigma }_{t-q}^2,$ (18)

其中${\epsilon }_t$ 为白噪声过程，p为${\sigma }^2$ 的AR阶数，q为滞后阶数。

总之，对Bi-mFBM模型中描述长期记忆性和波动率的参数,采用ARIMA模型对Hurst指数建模以及GARCH模型对波动率进行建模。最终形成复合模型Hbi-mFBM模型。

4. 实证分析

4.1. 数据选取

为了对本文构建的时变混合双分数Brown运动期权定价模型的适用性和有效性等进行验证，选取2017年10月19日~2022年10月23日的上证50ETF指数、香港恒生指数期权和日本东证指数期权这3种具有一定代表性且交易量较大的期权合约作为研究对象，对本文构建的模型进行实证分析。由于期权市场中存在大量的不确定因素以及投资者对信息反映的有限合理性等原因，使得样本内期权定价结果并不能完全反映真实期权价格的走势。本文先将所有期权数据进行分成9个不同的类别，分类标准为期权合约的价值程度(moneyness)和到期期限(daytomaturity)。其中，上证50ETF期权合约标的资产是上证50ETF指数，合约单位是人民币；香港恒生指数期权合约标的资产是香港恒生指数，合约单位是港币；日本东证指数期权合约标的资产是日本东证指数，合约单位是日元数据均来自网易金融网易财经(https://money.163.com)。

4.2. 标的资产价格的收益率特征检验

我们选取上证50ETF指数，香港恒生指数和日本东证指数2017年10月19日~2022年10月23日的收盘价历史数据进行分析，并利用$R_t=\ln S_t-\ln S_{t-1}$ 来将原始数据$S_t$ 转化为对数收益率数据$R_t$ ，对其进行描述性统计分析，ARCH检验(见表1)。

Table 1. Descriptive statistics of various index options

表1. 各指数期权描述性统计

期权	均值µ	标准差S	偏度	峰度	J-B检验
上证50ETF	0.0001	0.0126	−0.1560	4.7911	0.000
香港恒生指数	−0.0003	0.0127	−0.0651	3.3638	0.000
日本东证指数	−0.0001	0.0109	−0.1483	3.6580	0.000

由表1可知，各标的资产价格的$R_t$ 时间序列的J-B检验的p值均小于0.05，即不满足正态分布；峰度大于3，即存在明显的“尖峰”特征；偏度小于0，即存在明显的“左偏”现象。

4.2.1. 模型参数估计

本文将利用极大似然法给出一种新的无套利定价模型，该模型可以较好地处理不确定因素对模型定价结果的影响。首先，我们使用极大似然估计方法来估算各个模型中的$\sigma$ 和$\rho$ 未知参数；根据重标极差法生成时变Hurst指数$H\left(t\right)$ 序列，并对其建立自回归差分移动平均(ARIMA)模型，对波动率$\sigma \left(t\right)$ 建立GARCH模型，从而得到时变Hurst指数$H\left(t\right)$ 和波动率$\sigma \left(t\right)$ 中的未知参数。

Table 2. Parameter estimation results

表2. 参数估计结果

	BS	Bi-mFBM	Hbi-mFBM	BS	Bi-mFBM	Hbi-mFBM	BS	Bi-mFBM	Hbi-mFBM
	面板A:上证50ETF期权			面板B:香港恒生指数期权			面板C:日本东证指数期权
${\sigma }_1$	0.0126	0.1177		0.0127	0.0778		0.0109	0.1315
${\sigma }_2$		0.1330			0.1325			0.1096
$\rho$		0.7498	0.7498		0.7498	0.7498		0.7498	0.7498
$K$		0.7365	0.7365		0.6789	0.6789		0.7194	0.7194
$H$		0.6054			0.6337			0.6581
${\alpha }_0$			0.4517 (0.0080)			0.4517 (0.0080)			0.4517 (0.0080)
${\alpha }_1$			0.9640 (0.0321)			0.8008 (0.0635)			0.9539 (0.0371)
${\alpha }_2$			−0.0278 (0.0446)
${\alpha }_3$			0.0514 (0.0446)
${\alpha }_4$			−0.0078 (0.0321)
${\theta }_1$			0.0106 (0.1236)			0.8717 (0.0508)			−1.1344 (0.0546)

续表

${\theta }_2$			−0.7668 (0.1081)			0.9716 (0.0000)
${\theta }_3$			0.2271 (0.1003)
${\theta }_4$			0.6362 (0.1175)
${\beta }_0$			0.0000004 (0.0000)			0.2372 (0.0274)			0.2029 (0.0407)
${\beta }_1$			0.1966 (0.0128)			0.1744 (0.0033)			0.9683 (0.0000)
${\gamma }_1$			0.7002 (0.0097)			1.74e−6 (0.0303)			8.59e−6 (0.0324)

根据表2的参数估计，三种期权合约的H值都是大于0.5的小数，这表明这三种期权合约标的资产价格的对数收益率都具有长期记忆性。Hurst指数从小到大的顺序是上证50ETF期权合约(H = 0.6054)、香港恒生期权合约(H = 0.6337)和日本东证期权合约(H = 0.6581)。同时，通过极大似然估计方法得到双分数Brown运动参数K的估计值分别为0.7365，0.6789和0.7194；标准Brown运动和双分数Brown运动线性组合系数$\rho$ 为0.7498，符合要求$\left|\rho \right|\le 1$ ，即用Bi-mFBM来刻画的长期记忆性和自相似性等是合理的。对于时变参数模型，ARIMA (4, 1, 4)模型，ARIMA (1, 1, 1)和ARIMA (2, 1, 1)能够准的拟合出的时变特征，而GARCH (1, 1)模型能够对模型中的波动率$\sigma \left(t\right)$ 进行有效拟合。

4.2.2. 定价结果

以初始收盘价为初始值，分别取执行价格。

上证50ETF D = 2.5，2.55，2.6，2.65，2.7，2.75，2.8，2.85，2.9，2.95，3，3.1；

香港恒生指数D = 2.5，2.55，2.6，2.65，2.7，2.75，2.8，2.85，2.9，2.95，3，3.1；

日本东证指数D = 1，1.05，1.1，1.15，1.2，1.25，1.3，1.35，1.4，1.45，1.5，1.55；

通过以上关于3种期权合约标的资产价格对数收益率的描述性统计量、特征检验和参数估计结果为本文构建模型的依据提供支撑。接下来，将根据参数估计的结果计算出3种期权合约在不同定价模型下的理论价格，以此验证本文所构建模型的有效性。Zhang [24]等以均方根误差(RMSE)和定价精度提高的百分比(PIA)作为衡量定价模型优劣的指标，各模型样本内的期权定价结果见表3。

从表3可以看出，对于样本内的期权定价，无论是在发展中的新兴证券市场还是发达证券市场，传统的BS模型具有最大的RMSE，平均值分别为0.1511，0.1441，0.1387；Bi-mFBM模型明显优于BS模型，平均值分别为0.0687，0.0417，0.0615，其RMSE普遍小于BS模型的RMSE；而本文所构建的Hbi-mFBM模型的RMSE平均值分别为0.0482，0.0721，0.0395，除在香港恒生指数期权中的RMSE平均值略大于Bi-mFBM模型中的RMSE平均值，在中国与日本证券市场均表现更好。此外，随着市场逐渐成熟，BS模型在定价方面的效能也在逐步增强。

从平均定价精度提升百分比结果来看，Hbi-mFBM模型的相对于传统的BS模型定价精度的百分比PIA平均值比Bi-mFBM模型的PIA平均值分别提高12.07% (42.87% − 30.80% = 12.07%)，(51.16% − 29.98% = 21.18%)，(49.54% − 35.66% = 13.88%)。很显然，Hbi-mFBM模型定价精度比Bi-mFBM模型和BS模型的定价精度更高。其中，在香港恒生指数期权中表现最好。

因此，在3种模型定价精度，Hbi-mFBM模型 > Bi-mFBM模型 > BS模型。

Table 3. Pricing results of options within each model sample

表3. 各模型样本内期权定价结果

行权价	BS	Bi-mFBM				Hbi-mFB
	RMSE	RMSE	PIA			RMSE		PIA
面板A：上证50ETF期权
2.5	0.1307	0.0512	25.30%		0.0456		36.08%
2.55	0.1247	0.0676	32.68%		0.0580		54.23%
2.6	0.1215	0.0795	11.18%		0.0372		37.20%
2.65	0.1210	0.0664	19.76%		0.0496		49.57%
2.7	0.1233	0.0685	39.05%		0.0459		51.24%
2.75	0.1284	0.0632	34.83%		0.0637		57.63%
2.8	0.1366	0.0565	58.52%		0.0405		25.05%
2.85	0.1477	0.0703	14.03%		0.0628		41.65%
2.9	0.1611	0.0743	22.36%		0.0560		34.12%
2.95	0.1774	0.0724	24.00%		0.0401		28.11%
3	0.1978	0.0805	36.02%		0.0382		49.32%
3.1	0.2436	0.0736	51.90%		0.0411		50.29%
平均值	0.1511	0.0687	30.80%		0.0482		42.87%
面板B：香港恒生指数期权
2.5	0.1105	0.0369	26.52%		0.0245		51.36%
2.55	0.1258	0.0692	41.52%		0.0203		43.76%
2.6	0.1329	0.0826	20.29%		0.0219		72.40%
2.65	0.1149	0.0452	25.57%		0.0537		75.45%
2.7	0.1368	0.0884	19.85%		0.0446		82.24%
2.75	0.1252	0.0655	28.03%		0.0493		24.31%
2.8	0.1302	0.0586	46.79%		0.0271		45.15%
2.85	0.1365	0.0754	32.26%		0.0240		36.54%
2.9	0.1821	0.0417	22.35%		0.0263		29.57%
2.95	0.1652	0.0891	18.33%		0.0721		37.45%
3	0.1729	0.0719	45.21%		0.0416		51.37%
3.1	0.1961	0.0969	33.08%		0.0826		64.31%
平均值	0.1441	0.0685	29.98%		0.0407		51.16%
面板C：日本东证指数期权
1	0.0941	0.0453	41.21%		0.0434		23.85%
1.05	0.1356	0.0665	32.48%		0.0341		42.48%
1.1	0.1531	0.0752	28.18%		0.0421		45.91%
1.15	0.1453	0.0566	15.27%		0.0564		74.54%

续表

1.2	0.1472	0.0423	22.44%	0.0524	54.21%
1.25	0.1207	0.0426	24.90%	0.0456	57.52%
1.3	0.1712	0.0571	18.97%	0.0438	65.40%
1.35	0.1123	0.0712	35.69%	0.0541	84.47%
1.4	0.1426	0.0425	45.21%	0.0246	27.21%
1.45	0.1426	0.0752	71.02%	0.0231	40.28%
1.5	0.1258	0.0741	28.35%	0.0145	53.41%
1.55	0.1742	0.0840	64.21%	0.0395	25.20%
平均值	0.1387	0.0615	35.66%	0.0395	49.54%

5. 结语

本文从混合双分数Brown运动的视角出发，使用ARIMA和GARCH模型对期权定价模型中的Hurst指数和波动率进行建模，并构建了一个基于混合双分数Brown运动角度的时变Hurst指数和GARCH波动率模型。根据本文的理论分析，我们选择了传统的BS模型和混合双分数Brown运动模型作为参考模型来进行深入的实证研究。由于金融资产的价格表现出一定的长期记忆性和自相似性，而且金融资产价格的对数收益率分布呈现出显著的“尖峰厚尾”特点。因此，将资产收益序列看作是一个随机过程并利用其对金融资产进行分类时，需要考虑到不同类别之间存在着非线性相关性，以及不同类型资产间的相互替代性等问题。由于上述特性，我们所构建的混合双分数Brown运动模型在定价方面普遍优于传统的BS模型。值得一提的是，该模型在发达证券市场的精确度提升更明显，因为发达证券市场的长期记忆性更明显。

本文对期权定价模型的构建过程也为其他金融衍生产品，尤其是对非标准化的场外期权合约的定价研究提供了新的思路。本文研究结果不仅能够提高期权定价的精度和预测的精度，对于其他类型的金融衍生品——风险管理、投资优化等问题的研究也有一定的理论研究价值和实际应用意义。