关系映射反演原则在高中数学函数问题中的应用

Application of the Principle of Relational Mapping Inversion in High School Mathematics Function Problems

摘要: 关系映射反演方法作为一种重要的数学方法，它能将复杂的函数问题进行拆分和转化，使问题化生为熟、化繁为简。因此，本文从数学思想方法的角度出发研究了关系映射反演原则在高中函数问题中的应用，不仅能为一线教师的解题教学提供一定的参考价值，也有利于培养学生的数学思维能力，提高学生的解题能力。

Abstract: As an important mathematical method, the relational mapping inversion method can break down and transform complex function problems, making them more familiar and simplified. Therefore, this article studies the application of the principle of relational mapping inversion in high school function problems from the perspective of mathematical thinking methods. It not only provides certain reference value for frontline teachers’ problem-solving teaching, but also helps cultivate students’ mathematical thinking ability and improve their problem-solving ability.

1. 引言

数学是研究一切科学的强有力的工具，任何一门科学的诞生与发展都离不开数学的作用，可以说数学是打开科学之门的钥匙。20世纪，数学家们对如何正确地理解和把握数学内容、数学思想产生了困惑，之后徐利治教授在《浅谈数学方法论》中首次引进了数学方法论这一概念[1]，为我国在数学思想方法领域的研究提供了新思路。比如从整体上对数学知识的获取、数学理论构建的方式进行梳理；在解决具体数学问题方面，数学方法论让人们更注重对解题思路的归纳和提炼；为数学教学提供新方向，使教师更加注重思想方法的传授；数学方法论可以启发将数学与其他学科的研究方法进行融合等等。

基于数学方法论和函数在高中教学中的重要地位，本文挖掘了高中数学教学中运用RMI原则的函数内容，高中数学题目类型繁多，解题方法也多种多样。通过运用RMI原则，你可以根据题目特点和要求，选择最合适的解题方法。例如，对于函数问题，可以采用图像法、导数法、代数法等不同方法来求解，选择恰当的方法可以大大提高解题效率。

2. 相关概念

2.1. RMI原则的基本内容

1983年，徐利治先生研究组合数学时提出了关系(relation)映射(mapping)反演(inversion)方法，简称RMI原则[1]。这一思想方法在数学思维中属于一般化的化归原则，是化归原则在某一方向上的深化和具体化．所谓化归原则，指的是在解决数学问题时，将待解决的问题通过某种转化手段，归结为另一个相对容易解决的问题或已经解决的问题，从而使原问题得以解决。随着数学的发展，大部分人已经掌握了集合论的概念，并且在各个数学分支中都大量出现了映射和变换的概念，这才使得RMI方法从一般的化归原则中脱颖而出，成为了有其独立内容的数学方法，并应用于数学的各个领域之中。

2.2. RMI原则的基本概念

关系映射反演法则(简称RMI法则)作为数学方法论中的一种重要法则，一般可以表述如下：给定一个目标原象x的关系结构S，如果能找到一个映射$\phi$ ，将S映入或映满$S^{*}$ ，则可从$S^{*}$ 通过一定的数学方法把目标映象$x^{*}=\phi \left(x\right)$ 确定出来，进而通过反演${\phi }^{-1}$ 又可以把$x={\phi }^{-1}\left(x^{*}\right)$ 确定出来，这样原来的问题就得到解决。利用RMI法则解决问题的过程可用图1表示如下。

3. RMI原则在函数、方程、不等式问题中的应用

3.1. 函数、方程、不等式与RMI原则

函数是高中代数内容的主干，它主要包括函数的概念、图象、性质以及应用，重点学习了基本初等

Figure 1. The process of using RMI rule to solve problems

图1. 利用RMI法则解决问题的过程

函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决[2]。

函数图象与x轴的交点问题可以转化为方程的解。对于函数$y=f\left(x\right)$ ，当$y=0$ 时，$f\left(x\right)=0$ 就变成了一个方程，其解就是函数图象与x轴的交点横坐标。通过这种关系，我们可以利用函数的性质来研究方程的解的情况。方程的解也可以反过来确定函数的某些特性。比如，已知方程$f\left(x\right)=0$ 的解，可以分析函数$f\left(x\right)$ 在这些解附近的单调性、奇偶性等性质。

函数的取值范围可以用来确定不等式的解。对于不等式$f\left(x\right)>g\left(x\right)$ ，可以通过分析函数$f\left(x\right)$ 与$g\left(x\right)$ 的差值函数$h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ 的取值情况来确定不等式的解。那么$h\left(x\right)>0$ 的区间就是不等式的解区间。

3.2. RMI原则在函数与方程问题中的应用

例1. 设$0<a<\frac{1}{4}$ ，解关于x的方程$x^2+2ax+\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ 。

分析：按照解题经验，遇到带有根号的式子，首先会考虑通过式子两边同时取平方，将根号去掉，但此种解法在该题中行不通。若给式子两边同时取平方，就会变成一个含有参数a的4次方程，学生运用现有的知识无法进行求解。这时，我们就需要改变解题思路，基于RMI原则，将求解含参数方程的

问题映射为求解函数$y=x^2+2ax+\frac{1}{16}$ 与$y=-a+\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ 图象的交点横坐标问题，使问题得以简化。RMI原则在该题中的应用过程如图2所示。

解：令$y=-a+\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ ，将其变形得$x=y^2+2ay+\frac{1}{16}$ 。

由图3可知，函数$y=x^2+2ax+\frac{1}{16}$ 的图象与函数$x=y^2+2ay+\frac{1}{16}$ 的图象关于直线$y=x$ 对称，他们的交点在第一象限，且交点位于直线$y=x$ 上。

因此，原问题就转化为求$y=x$ 与$y=x^2+2ax+\frac{1}{16}$ 的交点。

联立方程$\{\begin{array}{l}y=x\\ y=x^2+2ax+\frac{1}{16}\end{array}$ ，得$x^2+\left(2a-1\right)x+\frac{1}{16}=0$ ，则$\Delta ={\left(2a-1\right)}^2-\frac{1}{4}$ ，

又因为$0<a<\frac{1}{4}$ ，所以$-1<2a-1<-\frac{1}{2}$ ，则$\frac{1}{4}<{\left(2a-1\right)}^2<1$ ，故$\Delta >0$ 。

Figure 2. Application process of RMI principle in Example 1

图2. RMI原则在例1中的应用过程

Figure 3. The two function graphs of Example 1

图3. 例1的两个函数图象

所以原方程有两个不相等的实根，即$x_{1,2}=\frac{1-2a}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{1-2a}{2}\right)}^2-\frac{1}{16}}$ 。

通过对该题的求解，可以概括出解方程$f\left(x\right)=g\left(x\right)$ (其中函数$f\left(x\right)$ 与$g\left(x\right)$ 的图象关于$y=x$ 对称)的方法.在RMI原则的指导下，具体解题步骤如下：

第一步：关系。题目条件已知了一个方程关系式，意在求解其中的自变量x的值。

第二步：映射。由题目已知条件中隐含的信息——函数$f\left(x\right)$ 与$g\left(x\right)$ 的图象关于直线$y=x$ 对称，可将原问题转化为求函数$y=f\left(x\right)$ 与$y=x$ 的交点的问题。

第三步：定映。一方面可以利用函数的图象找到函数$y=f\left(x\right)$ 与$y=x$ 的交点横坐标；另一方面也可以采用联立方程组的办法解出对应的x值。

第四步：反演。将求得的结果反演回到原问题之中，使解题过程更加完善。

3.3. RMI原则在函数与不等式问题中的应用

例2 解关于x的不等式$\left|{\log }_a\left(x+1\right)\right|>\left|{\log }_a\left(x-1\right)\right|\left(0<a<1\right)$ 。

分析：该题已知条件中含有对数函数和绝对符号，若直接给式子两边同时取平方，则使题目难度增大，不易于解决。基于RMI原则，以数形结合思想为映射工具，在直角坐标系中画出函数 $f\left(x\right)=\left|{\log }_a\left(x+1\right)\right|$ 与$g\left(x\right)=\left|{\log }_a\left(x-1\right)\right|$ 的图象，通过观察函数图象可得出对应的结论。将RMI原则运用于不等式问题之中，能起到化繁为简的作用，具体过程如图4所示：

Figure 4. Application process of RMI principle in Example 2

图4. RMI原则在例2中的应用过程

解：设$f\left(x\right)=\left|{\log }_a\left(x+1\right)\right|$ ，$g\left(x\right)=\left|{\log }_a\left(x-1\right)\right|$ ，令$f\left(x\right)=g\left(x\right)$ ，解得$x=\sqrt{2}$ 。在同一坐标系下作出$f\left(x\right)$ 与$g\left(x\right)$ 在$0<a<1$ 时的图象，如图5所示。由图可得，当$x>\sqrt{2}$ 时，$f\left(x\right)>g\left(x\right)$ ；当$x=\sqrt{2}$ 时，$f\left(x\right)=g\left(x\right)$ ；当$x<\sqrt{2}$ 时，$f\left(x\right)<g\left(x\right)$ 。

因此，原不等式的解集为$\left\{x|x<\sqrt{2}\right\}$ 。

Figure 5. The two function graphs of Example 2

图5. 例2的两个函数图象

通过该题的求解，可以概括出解不等式$f\left(x\right)>g\left(x\right)$ 或者$f\left(x\right)<g\left(x\right)$ 的方法。在RMI原则的指导下，具体解题步骤如下：

第一步：关系。题目已知一个不等式的表达式，意在求出其中的变量x的取值范围。

第二步：映射。利用直角坐标系，将其转化为函数$y=f\left(x\right)$ 与$y=g\left(x\right)$ 的图象。

第三步：定映。在函数图象中，寻找函数$y=f\left(x\right)$ 与$y=g\left(x\right)$ 图象上(下)方时，对应的x的取值范围。

第四步：反演。将得出的结果反演回到原问题，写出不等式的解集。

4. 研究结论

4.1. 运用RMI原则解题过程中要注意以下三点

4.1.1. 明确关系(Relation)

仔细分析问题中所涉及的各种对象之间的关系。这可能包括数学关系、逻辑关系等。确保对这些关系有准确的理解，因为它们是整个解题过程的基础。例如在数学问题中，要确定函数之间的关系、方程中的变量关系等。对于复杂的问题，可能需要将关系进行分解和简化。把大问题拆分成小的子问题，分别分析每个子问题中的关系，以便更好地理解整体问题[3]。

4.1.2. 建立映射(Mapping)

选择合适的映射方法。映射的目的是将原问题转化为一个更容易解决的等价问题。映射的选择应根据问题的特点和已有知识来确定。在数学中，可以通过函数变换、坐标变换等方式建立映射。确保映射的等价性。映射后的问题必须与原问题等价，即解决映射后的问题能够得到原问题的解。在建立映射的过程中，要仔细检查等价性条件是否满足。例如，在利用几何方法解决代数问题时，要确保几何图形能够准确地反映代数关系[4]。

4.1.3. 进行反演(Inversion)

反演过程要准确无误。在得到映射问题的解后，需要将其反演回原问题的解。这一步需要严格按照映射的逆过程进行，确保反演的正确性。注意反演过程中的计算和推理要严谨，避免出现错误。对解进行检验。反演得到原问题的解后，要对解进行检验，看是否满足原问题的条件和要求。可以通过代入原问题进行验证，或者从不同的角度进行分析。例如，在数学问题中，可以将解代入原方程或不等式进行检验。

总之，运用RMI原则解题需要对问题进行深入分析，选择合适的关系、映射和反演方法，并在整个过程中保持严谨和准确，以确保得到正确的解。

4.2. 运用RMI原则能够培养学生数学思维能力

4.2.1. 培养抽象思维能力

RMI原则要求学生从具体的数学问题中抽象出对象之间的关系。在这个过程中，学生需要忽略问题的具体情境，聚焦于本质的数学结构和关系。例如，在解决几何问题时，学生要从图形中抽象出点、线、面之间的位置关系和数量关系。通过不断地进行这样的抽象过程，学生的抽象思维能力得到锻炼和提高。他们能够更快速地抓住问题的核心，将复杂的实际问题转化为数学模型，从而更好地解决问题。

4.2.2. 提升逻辑推理能力

运用RMI原则解题涉及到严格的逻辑推理过程。首先，学生需要根据问题的特点建立合适的映射，这需要运用逻辑思维来选择正确的方法和模型。然后，在映射后的问题中进行推理和求解，必须遵循严密的逻辑规则。最后，通过反演得到原问题的解，这一步也需要进行逻辑上的验证和推导。整个过程中，学生的逻辑推理能力得到了充分的训练。他们学会了如何从已知条件出发，通过合理的推理步骤得出结论，并且能够判断推理的正确性和有效性。

4.2.3. 增强创新思维能力

RMI原则并非一种固定的解题模式，而是一种灵活的思维方法。在运用RMI原则解题时，学生需要根据不同的问题情境创造性地建立映射和进行反演。这就要求他们具备创新思维能力，能够突破传统的解题思路，尝试新的方法和途径。例如，在解决一些复杂的数学难题时，学生可能需要结合多种不同的数学概念和方法，创造出独特的映射方式，从而找到问题的解决方案。通过这样的训练，学生的创新思维能力得到激发和培养，他们在面对新问题时能够更有创造性地思考和解决。

4.2.4. 促进问题解决能力

RMI原则为学生提供了一种系统的问题解决方法。通过明确关系、建立映射和进行反演，学生能够有条不紊地解决各种数学问题。在这个过程中，学生学会了如何分析问题、制定解题策略、实施解题步骤以及对解进行检验和验证。这种问题解决的能力不仅在数学学习中非常重要，也对学生在其他学科的学习和日常生活中的问题解决具有积极的影响。学生能够更加自信地面对各种挑战，运用所学的知识和方法有效地解决问题。

总之，运用RMI原则能够全面地培养学生的数学思维能力，为他们的数学学习和未来的发展奠定坚实的基础。

4.3. 基于RMI原则的教学建议

4.3.1. 教学准备阶段

深入研究教材和教学内容，明确哪些知识点和问题可以运用RMI原则进行教学。例如，在函数、几何变换、方程求解等内容中，都有很多适合运用RMI原则的问题。

准备丰富的教学案例，包括简单和复杂的问题，以便在教学过程中逐步引导学生理解和掌握RMI原则。这些案例可以来自教材、历年考试真题、数学竞赛等。设计合理的教学课件和教具，如使用多媒体展示映射过程、制作实物模型帮助学生理解几何问题中的映射等。

4.3.2. 课堂教学阶段

以一个具体的、有趣的问题作为引入，激发学生的兴趣和好奇心。例如，通过一个魔术表演(如看似不可能的数字猜谜)，然后揭示其中运用了RMI原则。讲解RMI原则的基本概念和步骤，让学生对其有一个初步的了解。可以用简洁明了的语言和图形进行解释，强调关系、映射和反演的重要性[5]。

选择一个简单的数学问题，如求解一个一元二次方程，逐步引导学生运用RMI原则进行求解。首先分析方程中变量之间的关系，然后选择合适的映射方法(如配方、换元等)，最后进行反演得到方程的解。

在讲解过程中，要注重启发学生的思维，鼓励他们提出不同的映射方法和解题思路。可以通过提问、小组讨论等方式，让学生积极参与到解题过程中。对于复杂的问题，可以将其分解为多个步骤，逐步引导学生运用RMI原则进行求解。同时，要及时总结解题过程中的关键步骤和方法，帮助学生加深理解。

提供一些练习题，让学生独立运用RMI原则进行求解。引导学生将RMI原则应用到实际生活中的问题中，如物理问题、工程问题、经济问题等。通过实际应用，让学生体会到数学的实用性和价值。介绍一些数学史上运用RMI原则解决重大问题的案例，如高斯解决正十七边形的尺规作图问题等，激发学生的学习兴趣和探索精神。

4.3.3. 课后巩固阶段

布置课后作业，要求学生运用RMI原则解决一些问题。作业的内容可以包括教材中的习题、拓展阅读材料中的问题等。鼓励学生在课后进行自主学习和探索，寻找更多可以运用RMI原则解决的问题，并尝试用不同的方法进行求解。定期进行复习和总结，帮助学生巩固所学的知识和方法。可以通过课堂提问、小测验等方式，检查学生对RMI原则的掌握情况[6]。

总之，基于RMI原则的教学需要教师精心设计教学过程，引导学生积极参与到学习中，通过实例讲解、练习巩固和拓展应用等环节，逐步培养学生运用RMI原则解决问题的能力和数学思维能力。