数学史与现代数学课堂的融合——以人教A版“等比数列”为例

The Integration of the History of Mathematics into Modern Mathematics Classrooms —Taking the Example of “Isoperimetric Series” in the People’s Education Press A Version

摘要: 数学史融合了数学与历史的精髓，无论是西方历经数百年的“七艺”教育体系，还是中国源远流长的“六艺”教育传统，数学始终占据着核心地位。本文以人教A版教材中的“等比数列”为案例，首先探讨了数学史融入数学课堂的理论基础，然后探讨了将数学史融入等比数列课堂的教育价值及其在人教A版教材中的呈现位置。继而，文章分析了数学史融入教学的多种方式，包括点缀式、附加式、复制式、顺应式和重构式，并提供了相应的实例。最终，文章以等比数列为例，深入分析了将数学史融入数学课堂的教学设计。

Abstract: The history of mathematics integrates the essence of mathematics and history. Whether it is the centuries-old “Seven Arts” education system in the West or the long-lasting “Six Arts” education tradition in China, mathematics has always occupied a central position. This article takes the example of “isoperimetric series” in the textbook of the People’s Education Press A Version as an example, the theoretical basis for integrating the history of mathematics into the mathematics curriculum is first explored, and then the educational value of integrating the history of mathematics into the isoperimetric series classroom and its presentation location in the People’s Education Press A Version of textbook is explored. Then, the article analyzes various ways of integrating the history of mathematics into teaching, including embellishment, attachment, copying, conformity and reconstruction, and provides corresponding examples. Ultimately, the article analyzes in-depth the instructional design of integrating the history of mathematics into the mathematics classroom by taking the isoperimetric series as an example.

1. 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》明确提出：教师在教学中应有意识地将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感语数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养[1]。曹勇、孙龙等学者认为，在高中数学教学中融入数学史教育，追溯科学发展的历程，能够激发学生的爱国情感，点燃学习热情，培育创新能力，并锻炼学生的意志品格[2]。汪晓勤、邹佳晨等学者认为数学史在塑造理性思维、激发积极情感、确立正确信念以及培育卓越品质等方面发挥着不可替代的作用[3]。本文通过查找相关文献、阅读历史古籍、研读高中数学人教A版教材，以人教A版教材“等比数列”为例，探讨数学史与现代数学课堂融合的理论基础、教育价值、呈现位置、融入方式、教学设计。

2. 数学史融入数学课堂的理论基础

数学史融入现代数学课堂的理论支撑根植于历史相似性原理、发生认识论及建构主义理论。历史相似性原理揭示了数学概念发展轨迹与学生认知过程的相似性，教学中可通过追溯知识发展史来剖析学生的认知路径。发生认识论着重于认识的历史演进与心理根源，主张认知是人类内在构建的功能结构，而非简单的机械复制。建构主义则认为知识是学习者基于自身认知结构主动吸收而非被动接受的。这三个理论均强调了学习者在知识获取过程中的主动性和创造性。历史相似性原理、发生认识论与建构主义理论共同构成了将数学史融入数学课堂的理论基础。在这一背景下，这些理论提供了一个框架，旨在深化学生对数学概念的理解。以下是这些理论在数学教学中应用的具体理论基础。

2.1. 对知识发展进行追溯

历史相似性原理与发生认识论均强调知识的初始起源。因此，在教学过程中，教师可以从数学概念的起源与发展入手，结合知识的演变过程，帮助学生理解知识是如何被构建的。

2.2. 对学生认知结构进行模拟

历史相似性原理和发生认识论均主张数学概念的发展轨迹与学生对数学知识的理解过程具有相似性。数学家在学习过程中所遭遇的挑战与学生当前所面临的难题不谋而合。基于此，教师在设计教学活动时，可以借鉴历史上数学家的探索历程，以此作为教学设计的灵感。

2.3. 引导学生建构知识体系

建构主义理论强调知识的主动构建特性，因此，在教学实践中，教师可以激励学生依据前人的成就，自主地进行知识的重新创造和理解。

3. 数学史融入等比数列课堂的教育价值

数学史与等比数列的联系既紧密又深远。等比数列，作为数学领域中一个古老而关键的概念，其研究与应用的历史可追溯至古巴比伦和古埃及时期，当时数学家已对等比数列有了初步的理解和应用。随着历史的演进，古希腊数学家如欧几里得和阿基米德对等比数列的性质进行了深入探究，为后续数学发展奠定了基石。等比数列在数学史中不仅展现了人类对数学规律的探索与认知，也映射出数学在历史长河中的关键作用。其研究与应用贯穿数学发展史，至今仍是数学教育与研究中的核心组成部分。将数学史融入等比数列的教学，不仅能够加深学生对数学知识的理解，还能激发他们的学习热情，培养批判性思维与自主学习的能力，同时提升教学成效，彰显数学的文化价值。

4. 数学史的呈现位置

不同教材呈现数学史的位置有所不同，以人教A版教材为例，主要在引言、正文、旁注、例题、习题、阅读与思考、探究与发现、阅读与写作部分呈现数学史。不同部分引入数学史，起到的作用也有所不同(如表1)。总的来说，将数学史融入教学的各个部分，不仅可以增加学习的趣味性和深广度，还可以帮助学生建立起对数学的全面理解，培养他们的批判性思维、解决问题的能力和创新精神。

Table 1. History of mathematics presentation location and role

表1. 数学史呈现位置及作用

呈现位置	作用一	作用二
引言	介绍数学概念和演变过程	理解数学思想随时间的演变
正文	深入理解数学概念和原理	展示数学理论与实际问题的联系
旁注	提供数学家故事和趣闻轶事	促进批判性思维的发展
例题	展示数学概念的历史应用	展示解题方法的演变过程
习题	展示数学概念的历史应用	培养问题解决能力
探究与发现	了解不同文化对数学的贡献	深入分析数学史，培养批判性思维
阅读与思考	探究数学概念的起源和发展	激发学生的创新探索
阅读与写作	通过阅读和写作提升能力	培养研究能力

人教A版教材在数学史的呈现位置上，以旁注、正文及“阅读与思考”板块最为频繁。其中，等比数列章节尤其重视在正文与旁注部分融入数学史，这与其深厚的历史背景密切相关。同时，作为数学史出现频率最高的“阅读与思考”部分，在探讨等比数列前n项和公式时，特别引入了数学史内容，通过阐释中国古代数学家求解数列和的方法，展现了数列悠久的历史传承。由此可见，人教A版教材在等比数列章节中，对数学史的呈现给予了高度重视。

5. 数学史融入教学的方式

汪晓勤教授根据数学史与数学知识之间的联系紧密程度，将数学史融入教学的方法划分为五个层次，这些层次按照数学史运用的深度和广度递增排列，分别为点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式[4]。在人教A版教材中，最常见的形式是阅读材料，包括数学家的生平、数学概念的起源、符号的演变、思想的形成以及历史上的数学问题和解题方法等，紧随其后的是复制式，即直接引用历史上的数学问题及其解法，并以图片与阅读材料相结合的方式呈现，兼具点缀式与附加式的特点[5]。

5.1. 点缀式

点缀式这种融入方式，数学史在教材中主要扮演装饰角色，与主体内容无直接关联，例如古代数学家的肖像、插图、数学著作等。这种应用方式不依赖内容的主体性，其存在与否对正文的影响微乎其微。

实例：在人教A版高中数学教材的“选择性必修二”中，特别是在“§4.3.2等比数列的前n项和”一节，通过引入国际象棋与麦粒的典故，生动地展示了等比数列前n项和的数学概念。故事讲述了国际象棋的创造者向国王请求的奇特奖赏：棋盘上每个格子的麦粒数为前一个格子的两倍，直至填满第64格。这一巧妙的叙述不仅引出了等比数列的概念，而且通过麦粒数量的递增，形象地展示了首项为1公比为2的等比数列。计算从第1格到第64格的麦粒总数，实质上就是求解等比数列的前64项和。教材通过结合引人入胜的故事情节和直观的图片(如图1)，有效地激发了学生的好奇心和求知欲，增强了教材的吸引力。

Figure 1. Application of punctuation in the isoperimetric series in the high school math textbook of the People’s Education Press A Version

图1. 人教A版高中数学教材等比数列中的点缀式应用

5.2. 附加式

附加式指的是在教学过程中，通过直接呈现数学知识，包括数学故事、数学符号、数学家图片等，该方式通常应用于导入新课这一环节。作为一种信息补充，教师需要对数学知识进行适当的加工。

实例：在人教A版高中数学教材的“选择性必修二”中，“§4.3.1等比数列的概念”一节巧妙地利用古巴比伦时期泥板上的数列来引入等比数列的定义。这些泥板出土于两河流域，展示了三组数列，为学生提供了等比数列的历史渊源。如图2所示，教材旁的注释栏详细解读了古巴比伦的记数系统，体现了附加式教学法的应用，旨在通过历史背景的补充信息，增强学生对数学概念的理解和兴趣。

5.3. 复制式

复制式是指授课过程中，通过直接引用历史上的数学问题和思想方法，以及呈现相关的原始历史材料，学生能够直观感受数学知识的发展脉络和演变过程，仿佛亲历其境。这种方法不仅让学生接触到数学知识的原始形态，而且有助于他们理解数学概念和理论的形成背景，从而深化对数学本质的理解。

Figure 2. Application of additive formulae in the isoperimetric series in the high school math textbook of the People’s Education Press A Version

图2. 人教A版高中数学教材等比数列中的附加式应用

实例：以等比数列求和教学为例：通过引入欧拉与等比数列求和的故事。18世纪，瑞士数学家欧拉解决了一个著名的等比数列求和问题，即求$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdot \cdot \cdot$ 的和，这个问题在历史上曾困扰了许多数学

家，直到欧拉给出了一个惊人的结果。通过讲述欧拉的故事，学生不仅能够学习到等比数列的数学知识，还能体验到数学史的发展过程，从而更深入地理解和掌握数学概念。这种方法使学生仿佛身临其境，感悟历史的发展和演变，增强了学习的互动性和趣味性。

5.4. 顺应式

顺应式涉及对历史资料的改编，以适应当前的教学需求。这种教学策略不仅需与学生的现有认知水平相匹配，还要与数学知识的发展脉络保持一致。通过这种方式，教师能够将历史资料和现代教学目标有机结合，使学生在学习数学概念的同时，也能理解这些概念是如何随着时间演变而发展的。这种方法有助于学生建立起对数学知识深层次的理解，并促进他们批判性思维能力的培养。

实例：在一个古老的村庄里，有一个庄园主以一种新方式出租土地给张老汉，每年租金不变，不断调整边长为$a$ 的正方形土地，即一边增加5米，一边缩短5米，同学们觉得张老汉有没有吃亏呢？教师通过问题导入，引入等比数列的概念。通过探究，得出一个首项为$a^2$ ，公比$\frac{\left(a+5\right)\left(a-5\right)}{a^2}$ 的等比数列，其中首项为原始土地面积，公比$q<1$ 。通过探究发现，土地面积在逐年减少。顺应式的应用方式，不仅贴合实际，学生通过自己探索，思维能力在不断提高。

5.5. 重构式

重构式是将数学史融入数学教学的高级形式，它涉及对历史资料的重新构建，以形成适应学生当前心理发展阶段和教学需求的数学知识。这种方法通过重新解读和组织历史资料，创造出既符合教育目标又能激发学生兴趣的教学内容。通过重构式教学，学生不仅能够更深刻地理解数学概念，还能在探索数学知识的历史脉络中培养对数学的热爱。这种融入方式有效地将数学的历史背景与现代教学实践相结合，促进了学生对数学深层次理解的同时，也增强了他们的学习动力。

实例：在讲授等比数列时，教师可以采用以重构式的方式引入古希腊时期的数学问题，以此激发学生的兴趣。例如，可以设想这样的场景：“让我们穿越时空，回到古希腊，成为阿基米德的弟子。现在，你面临一个挑战：计算一个首项为1，公比为1/2的无限等比数列的和。阿基米德曾用类似的方法来估算圆的面积。今天，我们将追随他的足迹，通过将数列的和乘以公比，并从原数列中减去，来探索这个数列的和。这个过程不仅让我们理解等比数列求和公式的起源，还让我们领略到古代数学家如何通过观察和逻辑推理解决复杂的数学问题。”通过这种教学方法，学生不仅能够掌握等比数列的数学知识，还能深刻感受到数学历史的韵味和数学思维的强大。这种方法将数学的历史背景与现代教学内容相结合，使学生在学习数学的同时，也能体验到数学文化的深度和广度。

6. 数学史融入等比数列教学的教学设计

6.1. 在导入新课中融入数学史

导入新课的方式有多种多样，通过故事导入融入数学史。即通过讲述数学家的故事、呈现历史情境等，不仅可以有效的在新课导入阶段引入数学史，而且数学历史背景的应用可以激起学生数学学习的兴趣。

案例1：以斐波那契数列的兔子问题引入等比数列的概念。

师：教师通过PPT展示以下文字，1202年，意大利数学家斐波那契在他出版的一本书中提出这样一个问题:假设有一对刚出生的小兔子，一个月能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小兔子.按照每对刚出生的小兔子一个月后长成大兔子、每对大兔子每月生一对小兔子的规律进行下去，假设一年内没有兔子死亡，则一年后会有多少对兔子?请同学们独立思考，然后请同学回答。

生：学生分析后得出式子：$2+4+8+\cdot \cdot \cdot +2^{12}$

设计意图：通过斐波那契数列的兔子问题引入等比数列的概念，学生通过分析问题得出等比数列的推导公式不仅可以加深学生对知识点的理解，同时也可以激发学生的好奇心和求知欲。

6.2. 在讲授新课中融入数学史

通过在新课中融入数学史，教学不仅能够传递数学知识，还能够传递数学的思想、文化和精神，使学生得到更全面的教育。

案例2：以国王与象棋的故事引入等比数列前n项和。

师：教师通过PPT展示以下文字，国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。已知一千颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016~2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，请同学们根据以上数据，进行小组讨论，如何判断国王是否能实现他的诺言，等下请小组代表来回答以上问题。

生：如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。

师：回答的很好，那么我们如何计算出等比数列的前64项和呢？

设计意图：学生需要计算填满棋盘所需的麦粒总数，通过这个过程，他们将自主发现等比数列的求和公式。

6.3. 在巩固练习中融入数学史

学习了的新知识，要及时加强练习，才可以加深理解，更好的学以致用。

师：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何。有没有同学可以回答解题思路。

生：这个问题可以翻译为，今有一女子擅于织布，每天织的布是前一天的2倍，她5天里共一共织布5尺，问这位妇女每天织布多少？这是一道公比$q=2$ ，前5项和$S_5=5$ 的等比数列，求 $a_1，a_2，a_3，a_4，a_5$ 的练习题。

师：同学们能不能求出$a_1，a_2，a_3，a_4，a_5$ ？请1位同学在黑板上进行演示，其余同学在练习本上作答。

生：学生通过计算得到以下计算过程。$S_5=\frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{a_1\left(1-2^5\right)}{1-2}=5$ ，解得$a_1=\frac{5}{31}$

$a_2=\frac{5}{31}*2=\frac{10}{31},a_3=\frac{10}{31}*2=\frac{20}{31},a_4=\frac{20}{31}*2=\frac{40}{31},a_5=\frac{40}{31}*2=\frac{80}{31}$

师：这位同学的解答过程是正确的，老师刚刚在下面巡视，发现同学们作答的和黑板上这位同学的思路差不多，计算结果也是一样的，说明同学们已经掌握了该知识点。请同学们课后完成例1。

例1：《九章算术》中有一个关于井深的问题。一个人每天挖井的深度是前一天的两倍。如果他第一天挖了1尺，第35天他总共挖了多少尺？

设计意图：设计这两个练习题的目的是让学生通过解决实际问题来理解等比数列的概念和性质。案例3通过一个关于织布的问题，让学生应用等比数列的求和公式来找出每天织布的数量，这不仅锻炼了他们的计算能力，还提高了他们将数学知识应用于现实情境的能力。案例4则利用《九章算术》中的井深问题，引导学生使用等比数列前n项和的公式来计算总深度，这有助于他们理解等比数列的增长模式和数学史的应用。通过这些练习，学生可以更深入地掌握等比数列的数学原理，同时增强他们的历史意识和文化素养。

7. 结语

数学历史是一个宝藏，不论时代如何变迁，那些从事数学研究和数学教育的人们总是可以并且也有必要从中汲取有益的思想养料[6]。随着对数学教育的不断探索，我们越发认识到数学史在教学中的不可替代性。它不仅丰富了教学内容，还激发了学生的学习热情，帮助他们深刻理解数学概念的发展脉络。通过数学史的融入，学生能够洞察数学知识的历史渊源，体会数学与人类文明的紧密联系，从而增强学习的兴趣和动力。同时，这种教学方式也锻炼了学生的批判性思维和创新能力，鼓励他们在解决问题时勇于探索新思路。数学史的融入，是连接过去与现在的桥梁，是培养学生综合素养的有效途径。让我们携手将数学史的智慧融入课堂，为学生的全面发展奠定坚实的基础。