离散组合分数余弦变换

doi:10.12677/pm.2025.151020

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离散组合分数余弦变换
Discrete Combined Fractional Cosine Transform

DOI: 10.12677/pm.2025.151020, PDF, HTML, XML,
作者: 胡蕴超, 茹艺：成都理工大学数理学院数学系，四川成都
关键词: 离散分数余弦变换；离散组合分数余弦变换；逆离散组合分数余弦变换；Discrete Fractional Cosine Transform； Discrete Combined Fractional Cosine Transform； Inverse Discrete Combined Fractional Cosine Transform

摘要: 分数余弦变换是现代信号处理的常用工具，获得了广泛的发展。本文将以离散分数余弦变换(DFrCT)为研究对象，获得新的离散分数余弦变换——离散组合分数余弦变换(DCFrCT)。信号的离散组合余弦变换(DCCT)是信号的正向离散余弦变换(DCT)和逆向离散余弦变换(IDCT)的线性组合。本文中引入的离散组合分数式余弦变换是DCCT到分数域的推广，可以看作是正向DFrCT和逆向DFrCT的线性组合。并在不同的分数阶下给出了信号的恢复方案，得到了在不同分数阶下的仿真结果。

Abstract: Fractional cosine transform is a common tool in modern signal processing and has been widely developed. This paper takes discrete fractional cosine transform (DFrCT) as the research object and obtains a new discrete fractional cosine transform—discrete combined fractional cosine transform (DCFrCT). The discrete combined cosine transform (DCCT) of a signal is a linear combination of the forward discrete cosine transform (DCT) and the reverse discrete cosine transform (IDCT) of the signal. The discrete composite fractional cosine transform introduced in this paper is a generalization of DCCT to fractional domain and can be regarded as a linear combination of forward DFrCT and backward DFrCT. The signal recovery scheme is given in different fractional order, and the simulation results at different fractional orders are obtained.

文章引用：胡蕴超, 茹艺. 离散组合分数余弦变换[J]. 理论数学, 2025, 15(1): 171-179. https://doi.org/10.12677/pm.2025.151020

1. 引言

Ahmed等人[1]于1974年定义了离散余弦变换，并提出了用快速傅立叶变换计算离散余弦变换的算法。Pei等人[2]于2002年首先推导出了分数阶余弦、正弦和哈特利变换(Fractional Cosine Transform/Fractional Sine Transform/Fractional Hartley Transform, FRCT/FRST/FRHT)。它们类似于分数阶傅里叶变换。Pei等人[3]于2001年讨论了离散分数阶余弦变换和离散分数阶正弦变换(Discrete Fractional Sine Transform, DFRST)的定义。DFRCT和DFRST的定义是基于DCT和DST核的特征分解。这和离散分数傅里叶变换的思想是一样的；可以建立DFRCT、DFRST和DFRFT之间的特征值和特征向量关系。Gerek等人[4]于2000年从离散余弦变换的特征结构出发，定义了一种离散分数余弦变换，讨论了多重性和计算方面，指出了与分数傅里叶变换的异同。Liu等人[5]于2006年在离散分数阶随机变换(Discrete Fractional Random Transform, DFRNT)的基础上，提出了离散分数阶随机余弦变换(Discrete Fractional Random Cosine Transform, DFRNCT)和离散分数阶随机正弦变换(Discrete Fractional Random Sine Transform, DFRNST)。证明了DFRNCT和DFRNST可以看作是DFRNT的特殊类型，因此它们的数学性质继承DFRNT。Kumar等人[6]提出了一种基于混合图像元素的多图像加密(MIE)技术，该技术与RSA密码系统、分数离散余弦变换(FrDCT)和2D阿诺德变换(AT)相结合。Lima等人[7]于2013年介绍了有限域上的分数余弦和正弦变换(GFrCT和GFrST)。使用有限场傅里叶变换的特征向量来构造有限场余弦和正弦变换的特征向量，然后将此类特征向量用于谱扩展，从而可以计算有限场余弦和正弦变换矩阵的分数幂。Feng等人[8]于2017年推导出了分数余弦变换和分数正弦变换的卷积定理。然后，提出了这两种转换在设计乘法滤波器方面的潜在应用。

本文从离散分数余弦变换出发，获得新的离散分数余弦变换——离散组合分数余弦变换。信号的离散组合余弦变换是信号的正向离散余弦变换和逆向离散余弦变换的线性组合。本文中引入的离散组合分数式余弦变换是离散组合余弦变换到分数域的推广，可以看作是正向离散分数余弦变换和逆向离散分数余弦变换的线性组合。

离散分数余弦变换是单一分数阶余弦变换，适用于分数阶信号处理，如滤波和压缩。而离散组合分数余弦变换，是多个变换的组合和叠加，通过组合不同参数和变换增强信号表示能力。相比于离散分数余弦变换来说，计算的复杂度较高，更适合于高维信号分析和细节增强。通过多变换组合，实现更高的表达能力与灵活性。

文章其余结构如下，在第2节中，我们介绍了一些预备知识以及性质；第3节中是新的余弦变换——离散组合分数余弦变换的定义、逆离散组合分数余弦变换的定义；最后对本文进行了总结。

2. 预备知识

2.1. 离散余弦变换核矩阵

离散余弦变换和离散傅里叶变换有着一定的内在联系。离散傅里叶变换的长度是离散余弦变换长度的两倍，而离散余弦变换被展开的函数是实偶函数。一共有8种标准类型的离散余弦变换，有4种经常被用到，特别是它的第二种类型，在信号处理和图像处理中尤为常见。

DCT-Ⅰ

$C_{N + 1}^{I} = \sqrt{\frac{2}{N}} [k_{m} k_{n} \cos (\frac{m n π}{N})]$ (1)

其中， $m, n = 0, 1, \dots, N$ 。

DCT-Ⅱ

$C_{N}^{II} = \sqrt{\frac{2}{N}} [k_{m} \cos (\frac{m (n + \frac{1}{2}) π}{N})]$ (2)

其中， $m, n = 0, 1, \dots, N - 1$ 。

DCT-Ⅲ

$C_{N}^{III} = \sqrt{\frac{2}{N}} [k_{n} \cos (\frac{(m + \frac{1}{2}) n π}{N})]$ (3)

其中， $m, n = 0, 1, \dots, N - 1$ 。

DCT-Ⅳ

$C_{N}^{IV} = \sqrt{\frac{2}{N}} [\cos (\frac{(m + \frac{1}{2}) (n + \frac{1}{2}) π}{N})]$ (4)

其中， $m, n = 0, 1, \dots, N - 1$ 。

上述四种定义中的 $k_{m}$ 、 $k_{n}$ 被定义为：

$k_{m} = {\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}}, m = 0, m = N \\ 1, 其他 \end{cases}$

2.2. 逆离散余弦变换

逆离散余弦变换核矩阵有4种标准类型。这些类型与离散余弦变换的四种标准类型相对应，形成一种互逆的关系。其中，DCT-Ⅰ和DCT-Ⅳ是它们自己的逆变换。DCT-Ⅱ和DCT-Ⅲ是彼此的逆变换。这种互逆的关系确保了信号在经过DCT和其对应的IDCT处理后能够完全恢复。

对于长度为N的变换信号y， $δ_{k ς}$ 是克罗内克积符号，其逆变换定义为：

IDCT-Ⅰ

$x (n) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{k = 1}^{N} y (k) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{k 1} + δ_{k N}}} \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{n 1} + δ_{n N}}} \cos (\frac{π}{N - 1} (k - 1) (n - 1))$ (5)

IDCT-Ⅱ

$x (n) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{k = 1}^{N} y (k) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{k 1}}} \cos (\frac{π}{2 N} (k - 1) (2 n - 1))$ (6)

IDCT-Ⅲ

$x (n) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{k = 1}^{N} y (k) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{n 1}}} \cos (\frac{π}{2 N} (2 k - 1) (n - 1))$ (7)

IDCT-Ⅳ

$x (n) = \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{k = 1}^{N} y (k) \frac{1}{\sqrt{1 + δ_{n 1}}} \cos (\frac{π}{4 N} (2 k - 1) (2 n - 1))$ (8)

2.3. 离散分数余弦变换的核矩阵

我们知道，所有的DFT、DCT和DST变换核都有无限的特征向量，后来引入了一种新的正交矩阵S来计算DFT特征向量的实值和完备集。这组特殊的特征向量构成了连续的埃尔米特–高斯函数的离散类比，我们称之为DFT埃尔米特特征向量。由这些DFT埃尔米特特征向量定义的DFRFT具有与连续FRFT相似的输出，并且具有统一性、可加性和可逆性，因此DFT埃尔米特特征向量将被用于开发DFRCT和DFRST。

DFRCT的定义基于DCT核的特征分解，这与DFRFT的思想相同，因此角度参数α构造N点DFRCT内核可以被定义为：

$\begin{matrix} C_{N, α} = {\hat{V}}_{N} {\hat{D}}_{N}^{\frac{2 α}{π}} {\hat{V}}_{N}^{t} \\ = {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{- 2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{- j 2 (N - 1) α} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} \end{matrix}$ (9)

其中， ${\hat{V}}_{N} = ({\hat{v}}_{0}, {\hat{v}}_{2}, \dots, {\hat{v}}_{2 N - 2})$ ， ${\hat{v}}_{k}$ 是DCT-Ⅰ的特征向量。当 $α = \frac{π}{2}$ 时，DFRCT将变成DCT-Ⅰ。当 $α = 0$ 时， $C_{N, α}$ 是一个单位矩阵。

2.4. 离散分数余弦变换的性质

因为DFRCT和DFRST是用与DFRFT相似的方法开发的，所以DFRCT和DFRST的性质与DFRFT的性质类似。

1) 酉性： $C_{N, α}^{*} = C_{N, α}^{- 1} = C_{N, - α}$

证明：

$C_{N, α}^{*} = {({\hat{V}}_{N} {\hat{D}}_{N}^{\frac{2 α}{π}} {\hat{V}}_{N}^{t})}^{*}$

$\begin{array}{l} = {({\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{- 2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{- j 2 (N - 1) α} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T})}^{*} \\ = {({\hat{V}}_{N}^{T})}^{*} {((\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{- 2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{- j 2 (N - 1) α} \end{matrix}))}^{*} {({\hat{V}}_{N})}^{*} \\ = {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{j 2 (N - 1) α} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} \\ = C_{N, - α} \end{array}$

又因为 $\begin{matrix} C_{N, - α} C_{N, α} = {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{j 2 (N - 1) α} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{- 2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{- j 2 (N - 1) α} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} \\ = {\hat{V}}_{N} {\hat{V}}_{N}^{T} \\ = E \end{matrix}$

所以 $C_{N, α}^{- 1} = C_{N, - α}$ 。

所以 $C_{N, α}^{*} = C_{N, α}^{- 1} = C_{N, - α}$ 。

2) 指数可加性： $C_{N, α} C_{N, β} = C_{N, α + β}$

证明： $\begin{matrix} C_{N, α} C_{N, β} = {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{- 2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{- j 2 (N - 1) α} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{- 2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{- j 2 (N - 1) α} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} \\ = {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{- 2 j (α + β)} \\ ⋱ \\ 0 & e^{- j 2 (N - 1) (α + β)} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} \\ = C_{N, α + β} \end{matrix}$

所以 $C_{N, α} C_{N, β} = C_{N, α + β}$ 。

3) 周期性： $C_{N, α + π} = C_{N, α}$

证明： $\begin{matrix} C_{N, α + π} = {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{- 2 j (α + π)} \\ ⋱ \\ 0 & e^{- j 2 (N - 1) (α + π)} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} = {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{- 2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{- j 2 (N - 1) α} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} \\ = C_{N, α} \end{matrix}$

所以 $C_{N, α + π} = C_{N, α}$ 。

2.5. 逆离散分数余弦变换的核矩阵

类似于离散分数余弦变换的核矩阵，角度参数α构造N点逆离散分数余弦变换的核矩阵可定义为：

$\begin{matrix} C_{N, α}^{- 1} = {\hat{V}}_{N} {\hat{D}}_{N}^{- \frac{2 α}{π}} {\hat{V}}_{N}^{t} \\ = {\hat{V}}_{N} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ e^{2 j α} \\ ⋱ \\ 0 & e^{j 2 (N - 1) α} \end{matrix}) {\hat{V}}_{N}^{T} \end{matrix}$ (10)

其中， ${\hat{V}}_{N} = ({\hat{v}}_{0}, {\hat{v}}_{2}, \dots, {\hat{v}}_{2 N - 2})$ ， ${\hat{v}}_{k}$ 是DCT-Ⅰ的特征向量。

3. 一种新的余弦变换

3.1. DCFRCT的定义

提出一种新的余弦变换——离散组合分数余弦变换，离散组合分数余弦变换是信号的正向和逆向DFrCT的线性组合。并规定信号的正向DFrCT系数和逆向DFrCT系数均不为零，并在不同的分数阶下给出信号的恢复方案。具体如下：若 $x (n)$ 为复信号，它的DCCT定义为：

$X_{D C C T} (n) = M_{1} (C^{\frac{π}{2}} x) (n) + M_{2} (C^{- \frac{π}{2}} x) (n)$ (11)

其中， $C^{\frac{π}{2}}$ 为DCT算子， $C^{- \frac{π}{2}}$ 为IDCT算子，其中 $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 均不为零。

$X_{D C C T} (n)$ 的IDCCT定义为：

$x (n) = K_{1} (C^{- \frac{π}{2}} X_{D C C T}) (n) + K_{2} (C^{\frac{π}{2}} X_{D C C T}) (n)$ (12)

其中，

$M_{1} K_{2} + M_{2} K_{1} = 0, M_{1} K_{1} + M_{2} K_{2} = 1$ 。 (13)

信号 $x (n)$ 的DCFrCT定义为：

$X_{D C F r C T}^{α} (n) = b_{1} (C^{α} x) (n) + b_{2} (C^{- α} x) (n), α < \frac{π}{2}$ (14)

其中， $C^{α}$ 为DFrCT算子， $C^{- α}$ 为IDFrCT算子， $b_{1}$ 、 $b_{2}$ 均不为零。

3.2. IDCFRCT的定义

(14)是信号 $x (n)$ 的DCFRCT定义，我们需要从(14)中恢复出信号 $x (n)$ ，首先取 $C^{α}$ 和 $C^{- α}$ ，再利用DFRCT的指数可加性，可以得到(15)和(16)两个式子：

$(C^{α} X_{D C F r C T}^{α}) (n) = b_{1} (C^{2 α} x) (n) + b_{2} x (n)$ (15)

$(C^{- α} X_{D C F r C T}^{α}) (n) = b_{1} x (n) + b_{2} (C^{- 2 α} x) (n)$ (16)

其中， $C^{2 α}$ 和 $C^{- 2 α}$ 是角度为 $2 α$ 的DFRCT和逆DFRCT算子，将(15)和(16)相减，我们很容易得到：

$b_{1} (C^{α} X_{D C F r C T}^{α}) (n) - b_{2} (C^{- α} X_{D C F r C T}^{α}) (n) = b_{1}^{2} (C^{2 α} x) (n) - b_{2}^{2} (C^{- 2 α} x) (n)$ (17)

将(17)的右边记为 ${\tilde{X}}_{D C C T} (n)$ ，可以得到：

${\tilde{X}}_{D C C T} (n) = {\tilde{M}}_{1} (C^{2 α} x) (n) + {\tilde{M}}_{2} (C^{- 2 α} x) (n)$ (18)

其中， ${\tilde{M}}_{1} = b_{1}^{2}, {\tilde{M}}_{2} = - b_{2}^{2}$ 。

利用等式(18)，等式(17)可以转换成：

${\tilde{X}}_{D C C T} (n) = b_{1} (C^{α} X_{D C F r C T}^{α}) (n) - b_{2} (C^{- α} X_{D C F r C T}^{α}) (n)$ (19)

当 $α = \frac{π}{4}$ 时，代入等式(18)，可以得到：

${\tilde{X}}_{D C C T} (n) = {\tilde{M}}_{1} (C^{\frac{π}{2}} x) (n) + {\tilde{M}}_{2} (C^{- \frac{π}{2}} x) (n)$ (20)

为了恢复出信号 $x (n)$ ，其中 $M_{1} = {\tilde{M}}_{1}, M_{2} = {\tilde{M}}_{2}$ 。信号 $x (n)$ 可以从以下式子中恢复：

$x (n) = {\tilde{K}}_{1} (C^{- \frac{π}{2}} {\tilde{X}}_{D C C T}) (n) + {\tilde{K}}_{2} (C^{\frac{π}{2}} {\tilde{X}}_{D C C T}) (n)$ (21)

其中， ${\tilde{M}}_{1}, {\tilde{M}}_{2}, {\tilde{K}}_{1}, {\tilde{K}}_{2}$ 同样要满足(13)，有以下式子成立：

${\tilde{M}}_{1} {\tilde{K}}_{2} + {\tilde{M}}_{2} {\tilde{K}}_{1} = 0, {\tilde{M}}_{1} {\tilde{K}}_{1} + {\tilde{M}}_{2} {\tilde{K}}_{2} = 1$ 。 (22)

同理，我们可以得到当 $α = \frac{π}{8}$ 时信号的恢复方案。

我们需要从(14)中恢复出信号 $x (n)$ ，首先取 $C^{2 α}$ 和 $C^{- 2 α}$ ，再利用DFRCT的指数可加性，可以得到(23)和(24)两个式子：

$(C^{2 α} {\tilde{X}}_{D C C T}) (n) = {\tilde{M}}_{1} (C^{4 α} x) (n) + {\tilde{M}}_{2} x (n)$ (23)

$(C^{- 2 α} {\tilde{X}}_{D C C T}) (n) = {\tilde{M}}_{1} x (n) + {\tilde{M}}_{2} (C^{- 4 α} x) (n)$ (24)

其中， $C^{4 α}$ 和 $C^{- 4 α}$ 是角度为 $4 α$ 的DFRCT和逆DFRCT算子，将(23)和(24)相减，我们很容易得到：

${\tilde{M}}_{1} (C^{2 α} {\tilde{X}}_{D C C T}) (n) - {\tilde{M}}_{2} (C^{- 2 α} {\tilde{X}}_{D C C T}) (n) = {\tilde{M}}_{1}^{2} (C^{4 α} x) (n) - {\tilde{M}}_{2}^{2} (C^{- 4 α} x) (n)$ (25)

将(25)的右边记为 ${\hat{X}}_{D C C T}^{α} (n)$ ，可以得到：

${\hat{X}}_{D C C T}^{α} (n) = {\tilde{M}}_{1}^{2} (C^{4 α} x) (n) - {\tilde{M}}_{2}^{2} (C^{- 4 α} x) (n)$ (26)

利用等式(26)，等式(25)可以转换成：

${\hat{X}}_{D C C T}^{α} (n) = {\tilde{M}}_{1} (C^{2 α} {\tilde{X}}_{D C C T}) (n) - {\tilde{M}}_{2} (C^{- 2 α} {\tilde{X}}_{D C C T}) (n)$ (27)

当 $α = \frac{π}{8}$ 时，代入等式(26)，可以得到：

${\hat{X}}_{D C C T}^{α} (n) = {\tilde{M}}_{1}^{2} (C^{\frac{π}{2}} x) (n) - {\tilde{M}}_{2}^{2} (C^{- \frac{π}{2}} x) (n)$ (28)

为了恢复出信号 $x (n)$ ，其中 $M_{1} = {\tilde{M}}_{1}^{2}, M_{2} = - {\tilde{M}}_{2}^{2}$ 。信号 $x (n)$ 可以从以下式子中恢复：

$x (n) = {\hat{K}}_{1} (C^{- \frac{π}{2}} {\hat{X}}_{D C C T}^{α}) (n) - {\hat{K}}_{2} (C^{\frac{π}{2}} {\hat{X}}_{D C C T}^{α}) (n)$ (29)

其中，同样 ${\tilde{M}}_{1}^{2}$ 、 $- {\tilde{M}}_{2}^{2}$ 、 ${\hat{K}}_{1}$ 、 ${\hat{K}}_{2}$ 要满足(13)，有以下式子成立：

${\tilde{M}}_{1}^{2} {\hat{K}}_{2} - {\tilde{M}}_{2}^{2} {\hat{K}}_{1} = 0, {\tilde{M}}_{1}^{2} {\hat{K}}_{1} - {\tilde{M}}_{2}^{2} {\hat{K}}_{2} = 1$

其它分数阶的信号恢复方案同理。

3.3. 仿真结果

对于一个 $(M, N)$ 点的二维离散信号，二维离散分数余弦变换为：

$X_{C} (M, N) = \sum_{P = 0}^{M - 1} \sum_{q = 0}^{N - 1} x (p, q) C_{M, N, α, β} (p, q, m, n)$ (30)

其中， $C_{M, N, α, β} (p, q, m, n)$ 称为二维离散分数余弦变换的核矩阵， $C_{M, N, α, β} = C_{M, α} \otimes C_{N, β}$ ( $\otimes$ 代表张量积)， $C_{M, α}$ 和 $C_{N, β}$ 是1D-FrCT的核矩阵，角度参数 $α, β$ 是可以调整的，以获得给定信号的多个变换域表示。在本文中，我们采用了 $α = β$ ，因此DFrCT算子在(14)中表示为 $C^{α}$ 。

由上可知，核矩阵是可分离的，式(29)可写成：

$X_{C} (M, N) = \sum_{P = 0}^{M - 1} [\sum_{q = 0}^{N - 1} x (p, q) C_{N, β} (q, n)] C_{M, α} (p, m)$ (31)

二维逆离散分数余弦变换是一种逆变换，用于从离散分数余弦变换的域返回到空间域。其公式可以表示为：

对于大小为 $M \times N$ 的输入矩阵 $X_{C} (M, N)$ ，二维逆离散分数余弦变换的表达式为：

$x (p, q) = \sum_{P = 0}^{M - 1} \sum_{q = 0}^{N - 1} C_{M, N, α, β} (p, q, m, n) X_{C} (M, N)$ (32)

其中，

$C_{M, N, α, β} (p, q, m, n) = C_{M, α} \cdot C_{N, β} \cdot \cos [\frac{π}{M} (m + \frac{1}{2}) p] \cdot \cos [\frac{π}{N} (n + \frac{1}{2}) q]$ (33)

由于本研究中的 $α = β$ ，逆DFrFT算子在(14)中记为 $C^{- α}$ 。

(14)和(19)中的表达式分别有助于将空间域中给定的图像转化为DCFrCT域。为了使用DCFrCT查看转换后的图像，输入图像在(19)中进行计算。为了在空间域中检索原始图像，将变换后的图像通过(21)中给出的逆变换恢复出来。

本文采用lena图像，图像大小为512 × 512，得到了在不同分数阶下的仿真结果，如图1所示。

Figure 1. Original image and simulation results

图1. 原图及仿真结果

4. 总结

本文提出一种新的余弦变换——离散组合分数余弦变换，离散组合分数余弦变换是信号的正向和逆向DFrCT的线性组合。并规定信号的正向DFrCT系数和逆向DFrCT系数均不为零，并在不同的分数阶下给出信号的恢复方案，得到了不同分数阶下的仿真结果。除此之外，对于离散组合分数余弦变换的应用也值得研究，比如将其应用在图像处理上，分析其优缺点。

参考文献

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[3]	Pei, S.C. and Yeh, M.H. (2001) The Discrete Fractional Cosine and Sine Transforms. IEEE Transactions on Signal Processing, 49, 1198-1207. https://doi.org/10.1109/78.923302
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