von Neumann代数上的混合Lie可乘映射

Mixed Lie Multiplicative Maps on von Neumann Algebras

摘要: 设$ℳ$ 和$\mathcal{N}$ 是无$I_1$ 或$I_2$ 型中心直和项的von Neumann代数，其单位元分别为$I$ 和$I^{\prime }$ 。本文证明非线性双射$\Phi :ℳ\to \mathcal{N}$ 混合Lie可乘，即$\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{\ast }\right)={\left[\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right],\Phi \left(C\right)\right]}_{\ast },\forall A,B,C\in ℳ$ ，当且仅当存在线性*-同构和共轭线性*-同构的直和$\Psi :ℳ\to \mathcal{N}$ 使得$\Phi \left(A\right)=\Phi \left(I\right)\Psi \left(A\right),\forall A\in ℳ$ ，其中$\Phi \left(I\right)\in \mathcal{N}$ 是可逆中心元且$\Phi {\left(I\right)}^2=I^{\prime }$ 。该结论将因子von Neumann代数上的非线性混合Lie可乘双射的结果推广到无$I_1$ 或$I_2$ 型中心直和项的von Neumann代数。

Abstract: Let $ℳ$ and $\mathcal{N}$ be von Neumann algebras with no central summands of type $I_1$ or $I_2$ , $I$ and $I^{\prime }$ be the identities of them. This paper proves that a bijective map $\Phi :ℳ\to \mathcal{N}$ is mixed Lie multiplicative, that is, $\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{\ast }\right)={\left[\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right],\Phi \left(C\right)\right]}_{\ast },\forall A,B,C\in ℳ$ if and only if $\Phi \left(A\right)=\Phi \left(I\right)\Psi \left(A\right)$ for all $A\in ℳ$ , where $\Psi :ℳ\to \mathcal{N}$ is a direct sum of a linear *-isomorphism and a conjugate linear *-isomorphism, $\Phi \left(I\right)$ is a central element in $\mathcal{N}$ with $\Phi {\left(I\right)}^2=I^{\prime }$ . The results about mixed Lie multiplicative maps on factor von Neumann algebras are generalized to von Neumann algebras with no central summands of type $I_1$ or $I_2$ .

1. 引言

设$\mathcal{A}$ 是*-代数，$\left[A,B\right]=AB-BA$ 和${\left[A,B\right]}_{*}=AB-B{A}^{*}$ 分别是$A,B\in \mathcal{A}$ 的Lie积和Lie-skew积。Lie积和Lie-skew积在交换映射、Jordan*-导子和代数理想等研究领域发挥着重要作用(见[1]-[4]及其参考文献)，受到算子理论和算子代数专家和学者的广泛关注，其中热门的研究领域之一是Lie可乘映射以及Lie-skew可乘映射。设$\mathcal{A},ℬ$ 是*-代数，$\Phi :\mathcal{A}\to ℬ$ 是非线性双射。称$\Phi$ 是Lie可乘映射，若$\Phi \left(\left[A,B\right]\right)=\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]$ ，$\forall A,B\in \mathcal{A}$ ；称$\Phi$ 是Lie-skew可乘映射，若$\Phi \left({\left[A,B\right]}_{*}\right)={\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]}_{*}$ ，$\forall A,B\in \mathcal{A}$ 。文献[5]的结果表明素环$\mathcal{A}$ 上的非线性Lie可乘双射$\Phi$ 是“中心”可加的，即对任意的$A,B\in \mathcal{A}$ ，存在与$A,B$ 有关的中心元$Z_{A,B}$ 使得$\Phi \left(A+B\right)=\Phi \left(A\right)+\Phi \left(B\right)+Z_{A,B}$ 。作者在文献[6] [7]先后证明了$ℬ\left(H\right)$ 和von Neumann代数上的Lie-skew可乘双射自动可加，进而是*-环同构。受Lie可乘映射和Lie-skew可乘映射研究的启发，张建华教授首次研究混合Lie可乘映射。称非线性映射$\Phi :\mathcal{A}\to ℬ$ 混合Lie可乘，如果对任意$A,B,C\in \mathcal{A}$ 有$\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)={\left[\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right],\Phi \left(C\right)\right]}_{*}$ 。张建华教授等在文献[8]证明了因子von Neumann代数$ℳ$ ($\dim ℳ>4$ )到因子von Neumann代数$\mathcal{N}$ 的非线性混合Lie可乘双射$\Phi :ℳ\to \mathcal{N}$ 具有形式$\Phi \left(A\right)=\epsilon \Psi \left(A\right)$ ，$\forall A\in ℳ$ ，其中$\Psi :ℳ\to \mathcal{N}$ 是线性*-同构或共轭线性*-同构，$\epsilon \in \left\{-1,1\right\}$ 。本文将上述结果推广到无$I_1$ 或$I_2$ 型中心直和项的von Neumann代数。混合Lie可乘映射作为Lie可乘与Lie-skew可乘的结合，其研究具有潜在的理论价值。本文结果将有助于理解这些代数结构的内部性质，也可以加深对算子代数结构的理解。需要注意的是，因子von Neumann代数是素代数，而无$I_1$ 或$I_2$ 型中心直和项的von Neumann代数不一定是素的。为了刻画无$I_1$ 或$I_2$ 型中心直和项的von Neumann代数上的混合Lie可乘双射，需要挖掘von Neumann代数更深刻的性质，寻找新的工具和方法。

本文H表示复Hilbert空间，$ℬ\left(H\right)$ 是H到H的全体有界线性算子。von Neumann代数$\mathcal{A}$ 是$ℬ\left(H\right)$ 满足${\mathcal{A}}^{″}=\mathcal{A}$ 的自伴子代数，其中${\mathcal{A}}^{\prime }=\left\{T\in ℬ\left(H\right),TA=AT,\forall A\in \mathcal{A}\right\}$ ，${\mathcal{A}}^{″}={\left\{{\mathcal{A}}^{\prime }\right\}}^{\prime }$ 。$\mathcal{A}$ 的中心$\mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)={\mathcal{A}}^{\prime }\cap \mathcal{A}$ 。设$A\in \mathcal{A}$ ，A的中心覆盖$\overline{A}$ 是投影$I-P$ ，其中P是$\mathcal{A}$ 中满足$P_{\alpha }A=0$ 的所有中心投影$P_{\alpha }$ 的并，即$\overline{A}$ 是$\mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)$ 中满足$QA=A$ 的最小投影Q。投影$P\in \mathcal{A}$ 称为交换投影，若代数$P\mathcal{A}P$ 是交换的。称$\mathcal{A}$ 是I型von Neumann代数，若$\mathcal{A}$ 包含交换投影$P$ 且$\overline{P}=I$ 。若单位算子I可表示为n个等价交换投影的和，则称$\mathcal{A}$ 是$I_n$ 型的。对每个自伴算子$A\in \mathcal{A}$ ，$\underset{\_}{A}=\sup \left\{S\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right):S=S^{*},S\le A\right\}$ 称为A的core。若$P\in \mathcal{A}$ 是投影，则$\underset{\_}{P}$ 为$\le P$ 的最大中心投影。称投影$P\in \mathcal{A}$ 是core-free的，若$\underset{\_}{P}=0$ 。显然$\underset{\_}{P}=0$ 当且仅当$\overline{I-P}=I$ 。

2. 主要结果

本文刻画无$I_1$ 或$I_2$ 型中心直和项的von Neumann代数上的混合Lie可乘映射。

引理2.1 设$\mathcal{A}$ 是半单Banach代数。若$A,B\in \mathcal{A}$ 使得$\left[A,B\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)$ ，则$\left[A,B\right]=0$ 。

证明：假设$A,B\in \mathcal{A}$ 使得$\left[A,B\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)$ ，则$\left[\left[A,B\right],A\right]=0$ ，由Kleinecke-Shirokov定理(见文献[9])知$\left[A,B\right]$ 是拟幂零的。因此由$\mathcal{A}$ 的半单性知$\left[A,B\right]=0$ 。证毕。

引理2.2 ([7]，引理1)设$ℳ$ 是无$I_1$ 型中心直和项的von Neumann代数，则$ℳ$ 中每个非零中心投影是$ℳ$ 中core-free投影的中心覆盖。特别地，存在一个非零core-free投影$P\in ℳ$ 使得$\overline{P}=I$ 且

(1) 设$A\in ℳ$ ，若$ABP=0,\forall B\in ℳ$ ，则$A=0$ 。

(2) 设$A\in ℳ$ ，若$AB\left(I-P\right)=0,\forall B\in ℳ$ ，则$A=0$ 。

特别地，如果$Z\in \mathcal{Z}\left(ℳ\right)$ 使得$ZP=0$ ，则$Z=0$ 。

接下来假设$ℳ$ 是无$I_1$ 或$I_2$ 型中心直和项的von Neumann代数。由引理2.2知存在core-free投影$P\in ℳ$ 使得$\overline{P}=I$ 。显然，$P\ne 0,I$ 。令$P_1=P$ ，$P_2=I-P$ ，则$P_2$ 为core-free投影且$\overline{P_2}=I$ 。令${ℳ}_{ij}=P_iℳP_j$ ，$i,j=1,2$ ，则$ℳ={ℳ}_{11}+{ℳ}_{12}+{ℳ}_{21}+{ℳ}_{22}$ 。由文献[10]的引理5和引理7及文献[11]的引理2.2和引理2.6知：

引理2.3 设$ℳ$ 是无$I_1$ 型中心直和项的von Neumann代数。

(1) 设$Z\in \mathcal{Z}\left(ℳ\right)$ ，若$ZA\in \mathcal{Z}\left(ℳ\right),\forall A\in ℳ$ ，则$Z=0$ 。

(2) 设$Z\in \mathcal{Z}\left(ℳ\right)$ ，若$Z\left[A,B\right]\in \mathcal{Z}\left(ℳ\right),\forall A,B\in ℳ$ ，则$Z=0$ 。

(3) 设$A\in ℳ$ ，若${\left[A,B\right]}_{*}=0,\forall B\in ℳ$ ，则$A=A^{*}$ 且$A\in \mathcal{Z}\left(ℳ\right)$ 。

(4) 设$A_{ii}\in {ℳ}_{ii}$ ，若$A_{ii}{T}_{ij}=0,\forall T_{ij}\in {ℳ}_{ij},1\le i\ne j\le 2$ ，则$A_{ii}=0$ 。

(5) 设$A\in ℳ$ ，若${\left[\left[P_i,A\right],P_i\right]}_{*}=0$ ，则$A_{ji}=0,1\le i\ne j\le 2$ 。

(6) 设$A_{ii}\in {ℳ}_{ii}$ ，若$A_{ii}{T}_{ij}=T_{ij}{A}_{jj},\forall T_{ij}\in {ℳ}_{ij},1\le i\ne j\le 2$ ，则$A_{ii}+A_{jj}\in \mathcal{Z}\left(ℳ\right)$ 。

下面是本文的主要结果。

定理2.4 设$ℳ$ 和$\mathcal{N}$ 是无$I_1$ 或$I_2$ 型中心直和项的von Neumann代数，其单位元分别为I和$I^{\prime }$ 。则非线性双射$\Phi :ℳ\to \mathcal{N}$ 混合Lie可乘，即

(2.1)

当且仅当存在可加*-同构$\Psi :ℳ\to \mathcal{N}$ 使得$\Phi \left(A\right)=\Phi \left(I\right)\Psi \left(A\right),\forall A\in ℳ$ ，其中$\Phi \left(I\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ ，$\Phi {\left(I\right)}^2=I^{\prime }$ 。更进一步，存在中心投影$E\in ℳ$ 使得$\Psi \left(E\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ ，${\Psi }_1={\Psi |}_{Eℳ}:Eℳ\to \Psi \left(E\right)\mathcal{N}$ 是线性*-同构，${\Psi }_2={\Psi |}_{\left(I-E\right)ℳ}:\left(I-E\right)ℳ\to \left(I^{\prime }-\Psi \left(E\right)\right)\mathcal{N}$ 是共轭线性*-同构，$\Psi \left(A\right)={\Psi }_1\left(A\right)\oplus {\Psi }_2\left(A\right),\forall A\in ℳ$ 。

证明：充分性显然，用几个断言证明必要性。

断言1 $\Phi \left(0\right)=0$ 。$\Phi \left(\mathcal{Z}\left(ℳ\right)\right)=\mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 。$\Phi \left(A+B\right)=\Phi \left(A\right)+\Phi \left(B\right),\forall A,B\in ℳ$ 。

由$\Phi$ 的满射性知存在$A\in ℳ$ 使得$\Phi \left(A\right)=0$ 。因此

$\Phi \left(0\right)=\Phi \left({\left[\left[0,0\right],A\right]}_{*}\right)={\left[\left[\Phi \left(0\right),\Phi \left(0\right)\right],\Phi \left(A\right)\right]}_{*}=0.$

对任意$Z\in \mathcal{Z}\left(ℳ\right)$ ，由等式

$0=\Phi \left({\left[\left[Z,A\right],B\right]}_{*}\right)={\left[\left[\Phi \left(Z\right),\Phi \left(A\right)\right],\Phi \left(B\right)\right]}_{*},\forall A,B\in ℳ$

及引理2.3 (3)知$\left[\Phi \left(Z\right),\Phi \left(A\right)\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 。因为von Neumann代数半单，由引理2.1知$\left[\Phi \left(Z\right),\Phi \left(A\right)\right]=0$ ，因此$\Phi \left(Z\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ ，$\Phi \left(\mathcal{Z}\left(ℳ\right)\right)\subseteq \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 。考虑${\Phi }^{-1}$ 得$\Phi \left(\mathcal{Z}\left(ℳ\right)\right)=\mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 。类似于文献[8]中定理2.1的证明可得$\Phi \left(A+B\right)=\Phi \left(A\right)+\Phi \left(B\right),\forall A,B\in ℳ$ 。

断言2 $\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]=0$ 当且仅当$\left[A,B\right]=0,\forall A,B\in ℳ$ 。

假设$A,B\in ℳ$ 使得$\left[A,B\right]=0$ 。由(2.1)知

$\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)={\left[\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right],\Phi \left(C\right)\right]}_{*}=0,\forall C\in ℳ.$

由引理2.3 (3)知$\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]\in Z\left(\mathcal{N}\right)$ 。根据引理2.1知$\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]=0$ 。因此$\left[A,B\right]=0$ 时$\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]=0$ 。对${\Phi }^{-1}$ 进行类似讨论可得$\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]=0$ 当且仅当$\left[A,B\right]=0,\forall A,B\in ℳ$ 。

断言2表明$\Phi$ 为双边保交换性的可加双射。由文献[10]的定理1知存在可逆元$Z\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ ，Jordan环同构$\Psi :ℳ\to \mathcal{N}$ 和可加映射$f:ℳ\to \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 使得

$\begin{array}{c}\Phi \left(A\right)=Z\Psi \left(A\right)+f\left(A\right),\forall A\in ℳ.\end{array}$ (2.2)

更进一步，存在中心投影$E\in ℳ$ ，$F\in \mathcal{N}$ 使得${\Psi |}_{Eℳ}:Eℳ\to F\mathcal{N}$ 为可加同构，${\Psi |}_{\left(I-E\right)ℳ}:\left(I-E\right)ℳ\to \left(I^{\prime }-F\right)\mathcal{N}$ 为可加反同构。显然$\Psi \left(I\right)=I^{\prime }$ ，$\Psi {\left(iI\right)}^2=-I^{\prime }$ 且$\Psi \left(iI\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 。

断言3 $\left[\Phi \left(A^{*}\right),\Phi \left(B^{*}\right)\right]=\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right],\forall A,B\in ℳ$ 。

对任意$A\in ℳ$ ，由(2.2)及$\Psi \left(iI\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 有

$\begin{array}{c}\Phi \left(iA\right)-\Psi \left(iI\right)\Phi \left(A\right)=Z\Psi \left(iA\right)+f\left(iA\right)-\Psi \left(iI\right)\Phi \left(A\right)\\ =Z\Psi \left(iI\right)\Psi \left(A\right)+f\left(iA\right)-\Psi \left(iI\right)\Phi \left(A\right)\\ =\Psi \left(iI\right)\left(Z\Psi \left(A\right)+f\left(A\right)\right)+f(iA)-\Psi \left(iI\right)f\left(A\right)-\Psi \left(iI\right)\Phi \left(A\right)\\ =f\left(iA\right)-\Psi \left(iI\right)f\left(A\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right).\end{array}$ (2.3)

由(2.1)知对任意$A,B\in ℳ$ 有

$\Phi \left(\left[A,B\right]+\left[A^{*},B^{*}\right]\right)=\Phi \left({\left[\left[A,B\right],I\right]}_{*}\right)=\Phi \left(I\right)\left(\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]+\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right]\right).$ (2.4)

(2.4)中用$iA$ 代替A且根据(2.3)知

$\begin{array}{l}\Psi \left(iI\right)\Phi \left(\left[A,B\right]-\left[A^{*},B^{*}\right]\right)+f\left(\left[iA,B\right]\right)-f\left(\left[i{A}^{*},B^{*}\right]\right)-\Psi \left(iI\right)f\left(\left[A,B\right]\right)+\Psi \left(iI\right)f\left(\left[A^{*},B^{*}\right]\right)\\ =\Phi \left({\left[\left[iA,B\right],I\right]}_{*}\right)=\Phi \left(I\right)\left(\left[\Phi \left(iA\right),\Phi \left(B\right)\right]+\left[\Phi {\left(iA\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right]\right)\\ =\Phi \left(I\right)\left(\left[\Psi \left(iI\right)\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]+\left[\Psi {\left(iI\right)}^{*}\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right]\right)\\ =\Phi \left(I\right)\Psi \left(iI\right)\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]+\Phi \left(I\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right],\forall A,B\in ℳ.\end{array}$

上式两边同乘$-\Psi \left(iI\right)$ 得

$\begin{array}{l}\Phi \left(\left[A,B\right]\right)-\Phi \left(\left[A^{*},B^{*}\right]\right)-\Psi \left(iI\right)f\left(\left[iA,B\right]\right)+\Psi \left(iI\right)f\left(\left[i{A}^{*},B^{*}\right]\right)-f\left(\left[A,B\right]\right)+f\left(\left[A^{*},B^{*}\right]\right)\\ =\Phi \left(I\right)\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]-\Phi \left(I\right)\Psi \left(iI\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right],\forall A,B\in ℳ.\end{array}$ (2.5)

比较(2.4)和(2.5)，对任意$A,B\in ℳ$ 有

$\begin{array}{c}\Phi \left(\left[A^{*},B^{*}\right]\right)=\frac{1}{2}\left(I^{\prime }+\Psi \left(iI\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}\right)\Phi \left(I\right)\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right]\\ +\frac{1}{2}\Psi \left(iI\right)\left(f\left(\left[i{A}^{*},B^{*}\right]\right)-f\left(\left[iA,B\right]\right)\right)+\frac{1}{2}\left(f\left(\left[A^{*},B^{*}\right]\right)-f\left(\left[A,B\right]\right)\right),\end{array}$ (2.6)

$\begin{array}{l}\Phi \left(\left[A,B\right]\right)=\Phi \left(I\right)\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]+\frac{1}{2}\left(I^{\prime }-\Psi \left(iI\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}\right)\Phi \left(I\right)\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right]\\ +\frac{1}{2}\Psi \left(iI\right)\left(f\left(\left[iA,B\right]\right)-f\left(\left[i{A}^{*},B^{*}\right]\right)\right)+\frac{1}{2}\left(f\left(\left[A,B\right]\right)-f\left(\left[A^{*},B^{*}\right]\right)\right).\end{array}$ (2.7)

因为${\Psi |}_{Eℳ}:Eℳ\to F\mathcal{N}$ 为可加同构，则(2.7)可重写

$\begin{array}{l}Z\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+f\left(\left[A,B\right]\right)\\ =Z^2\Phi \left(I\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+\frac{1}{2}\left(I^{\prime }-\Psi \left(iI\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}\right)\Phi \left(I\right){\left(Z^{*}\right)}^2\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\\ +\frac{1}{2}\left(\Psi \left(iI\right)f\left(\left[iA,B\right]\right)-\Psi \left(iI\right)f\left(\left[i{A}^{*},B^{*}\right]\right)\right)\\ +\frac{1}{2}\left(f\left(\left[A,B\right]\right)-f\left(\left[A^{*},B^{*}\right]\right)\right),\forall A,B\in Eℳ.\end{array}$ (2.8)

因为$f:ℳ\to \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 为可加映射，对$\forall A,B\in Eℳ$ ，有$\left[A,B\right]\in Eℳ$ ，从而$f\left(\left[A,B\right]\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 。进而由(2.8)知

$Z_1\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]-Z_2\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right),\forall A,B\in Eℳ,$ (2.9)

其中$Z_1=Z-Z^2\Phi \left(I\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ ，$Z_2=\frac{1}{2}\left(I^{\prime }-\Psi \left(iI\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}\right)\Phi \left(I\right){\left(Z^{*}\right)}^2\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 。(2.9)中用$i\Psi \left(B\right)$ 代替$\Psi \left(B\right)$ ，则

$Z_1\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right),\forall A,B\in Eℳ.$

又因为${\Psi |}_{Eℳ}:Eℳ\to F\mathcal{N}$ ，由引理2.3 (2)得$Z_{1}F=\left(Z-Z^2\Phi \left(I\right)\right)F=0$ ，即$\Phi \left(I\right)F$ 可逆。现在(2.9)可重写为

$Z_2\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right),\forall A,B\in Eℳ.$

对任意$\forall A\in Eℳ$ ，有$\Psi {\left(A\right)}^{*}\in F\mathcal{N}$ 。由引理2.3 (2)得$Z_{2}F=\frac{1}{2}\left(I^{\prime }-\Psi \left(iI\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}\right)\Phi \left(I\right){\left(Z^{*}\right)}^{2}F=0$ 。根据Z及$\Phi \left(I\right)F$ 的可逆性知$\left(I^{\prime }-\Psi \left(iI\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}\right)F=0$ 。因为${\Psi |}_{\left(I-E\right)ℳ}:\left(I-E\right)ℳ\to \left(I^{\prime }-F\right)\mathcal{N}$ 为可加反同构，类似地，有$\Phi \left(I\right)\left(I^{\prime }-F\right)$ 可逆，从而$\left(I^{\prime }-\Psi \left(iI\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}\right)\left(I^{\prime }-F\right)=0$ 。因此$\Phi \left(I\right)$ 可逆且$\Psi \left(iI\right)\Psi {\left(iI\right)}^{*}=I^{\prime }$ 。又由(2.6)~(2.7)知对任意$A=\pm A^{*}$ ，$B=\pm B^{*}$ 有$\Phi \left(\left[A^{*},B^{*}\right]\right)=\Phi \left(I\right)\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right]$ 及$\Phi \left(\left[A,B\right]\right)=\Phi \left(I\right)\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]$ ，从而根据$\Phi \left(I\right)$ 的可逆性知$\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right]=\left[\Phi \left(A^{*}\right),\Phi \left(B^{*}\right)\right]$ 。由(2.4)及$\Phi \left(I\right)$ 的可逆性知对任意$A^{*}=A$ ，$B^{*}=-B$ 或$A^{*}=-A$ ，$B^{*}=B$ 有$\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right]=\left[\Phi \left(A^{*}\right),\Phi \left(B^{*}\right)\right]$ 。故对任意$A,B\in ℳ$ 有$\left[\Phi {\left(A\right)}^{*},\Phi {\left(B\right)}^{*}\right]=\left[\Phi \left(A^{*}\right),\Phi \left(B^{*}\right)\right]$ 。

断言4 ${\Psi |}_{\left(I-E\right)ℳ}:\left(I-E\right)ℳ\to \left(I^{\prime }-F\right)\mathcal{N}$ 为可加反同构不成立。

方便起见，假设$I$ 和$I^{\prime }$ 分别为$ℳ=\left(I-E\right)ℳ$ 和$\mathcal{N}=\left(I^{\prime }-F\right)\mathcal{N}$ 的单位元，则由

$\begin{array}{l}\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)={\left[\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right],\Phi \left(C\right)\right]}_{*}\\ ={\left[\left[Z\Psi \left(A\right),Z\Psi \left(B\right)\right],Z\Psi \left(C\right)+f\left(C\right)\right]}_{*}\\ =Z^3\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(C\right)+Z{\left(Z^{*}\right)}^2\Psi \left(C\right)\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\\ +Z^2\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]f\left(C\right)+{\left(Z^{*}\right)}^{2}f\left(C\right)\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right],\forall A,B,C\in ℳ,\end{array}$

$\begin{array}{l}\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)=\left(Z\Psi +f\right)\left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)\\ =-Z\Psi \left(C\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]-Z\left[\Psi \left(A^{*}\right),\Psi \left(B^{*}\right)\right]\Psi \left(C\right)+f\left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right),\forall A,B,C\in ℳ,\end{array}$

及断言3知

$\begin{array}{c}\left[Z^{*}\Psi {\left(A\right)}^{*},Z^{*}\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]=\left[Z\Psi \left(A^{*}\right),Z\Psi \left(B^{*}\right)\right],\forall A,B\in ℳ.\end{array}$

因此

$\begin{array}{l}{Z}^3\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(C\right)+Z\Psi \left(C\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+Z{\left(Z^{*}\right)}^2\Psi \left(C\right)\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\\ +Z^{-1}{\left(Z^{*}\right)}^2\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\Psi \left(C\right)+Z^2\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]f\left(C\right)\\ +{\left(Z^{*}\right)}^{2}f\left(C\right)\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right),\forall A,B,C\in ℳ.\end{array}$

上式中用$i\Psi \left(A\right)$ 代替$\Psi \left(A\right)$ ，则对任意$A,B,C\in ℳ$ 有

$\begin{array}{c}\left(Z\Psi \left(C\right)+Z^{2}f\left(C\right)\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+Z^3\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(C\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right).\end{array}$ (2.10)

令$P_1=P\in ℳ$ 为core-free投影且$\overline{P_1}=I$ ，则$P_2=I-P$ 为core-free投影且$\overline{P_2}=I$ ，$Q_1=\Psi \left(P\right)\in \mathcal{N}$ 与$Q_2=I^{\prime }-\Psi \left(P\right)\in \mathcal{N}$ 为非平凡幂等元。根据Pierce分解有${ℳ}_{ij}=P_iℳP_j,{\mathcal{N}}_{ij}=Q_i\mathcal{N}{Q}_j,1\le i,j\le 2$ ，从而$ℳ={\displaystyle \sum _{i,j=1}^2{ℳ}_{ij}}$ 且$\mathcal{N}={\displaystyle \sum _{i,j=1}^2{\mathcal{N}}_{ij}}$ 。(2.10)中取$C=P_1$ 且左乘$Q_1$ 右乘$Q_2$ ，则

$\begin{array}{c}\left(Z+Z^{2}f\left(P_1\right)\right)Q_1\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]Q_2=0,\forall A,B\in ℳ.\end{array}$ (2.11)

(2.11)中取$A=P_1$ 且用$B_{21}$ 代替B，则对任意$B_{21}\in {ℳ}_{21}$ 有$\left(Z+Z^{2}f\left(P_1\right)\right)\Psi {\left(B\right)}_{12}=\left(Z+Z^{2}f\left(P_1\right)\right)\Psi \left(B_{21}\right)=0$ 。应用${\Psi }^{-1}$ ，由引理2.3 (4)及引理2.1知$Z+Z^{2}f\left(P_1\right)=0$ ，从而$f\left(P_1\right)=-Z^{-1}$ 。同理可得$f\left(P_2\right)=-Z^{-1}$ 。因此$f\left(I\right)=-2Z^{-1}$ 。(2.10)中取$C=I$ ，则对任意$A,B\in ℳ$ 有

$\begin{array}{c}-Z\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+Z^3\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]=\left(Z^3-Z\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right).\end{array}$ (2.12)

由引理2.3 (2)知$Z^2=I^{\prime }$ 。从而(2.10)中取$C=P_1$ 有

$-\begin{array}{c}{Q}_2\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]Q_1\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right),\forall A,B\in ℳ.\end{array}$

故存在$Z_1\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 使得

$\begin{array}{c}{\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{11}=Z_1{Q}_1,{\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{22}=-Z_1{Q}_2,\forall A,B\in ℳ.\end{array}$ (2.13)

(2.10)用$C_{ii}$ 代替$C$ ，$i=1,2$ ，则对任意$A,B\in ℳ$ 有

$\begin{array}{l}\left(Z\text{Ψ}\left(C_{ii}\right)+f\left(C_{ii}\right)\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+Z\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(C_{ii}\right)\\ =\left(Z\Psi {\left(C\right)}_{ii}+f\left(C_{ii}\right)\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+Z\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi {\left(C\right)}_{ii}\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right).\end{array}$ (2.14)

(2.14)两边同乘$Q_i$ ，由(2.13)知对任意$C_{ii}\in {ℳ}_{ii}$ 有$Z{Z}_1\Psi {\left(C\right)}_{ii}\in \mathcal{Z}\left({\mathcal{N}}_{ii}\right)$ 。应用${\Psi }^{-1}$ ，有${\Psi }^{-1}\left(Z{Z}_1\right)C_{ii}\in \mathcal{Z}\left({ℳ}_{ii}\right)$ 。由引理2.3 (1)及引理2.1知$Z_1=0$ 。因此对任意$A,B\in ℳ$ 有${\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{11}=0$ ，${\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{22}=0$ 。(2.14)两边分别同乘$Q_i$ 和$Q_j$ ，$i\ne j$ ，则

$Z\Psi {\left(C\right)}_{ii}{\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}=-f\left(C_{ii}\right){\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij},\forall C_{ii}\in {ℳ}_{ii}.$ (2.15)

(2.10)用$C_{ij}$ 代替C，$i\ne j$ ，则对任意$A,B\in ℳ$ 有

$\begin{array}{l}\left(Z\text{Ψ}\left(C_{ij}\right)+f\left(C_{ij}\right)\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+Z\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(C_{ij}\right)\\ =\left(Z\Psi {\left(C\right)}_{ji}+f\left(C_{ij}\right)\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+Z\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi {\left(C\right)}_{ji}\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right).\end{array}$

上式左右两边分别同乘$Q_i$ 和$Q_j$ ，则有$Z\Psi {\left(C\right)}_{ji}{\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}+f\left(C_{ij}\right){\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{jj}\in \mathcal{Z}\left({\mathcal{N}}_{jj}\right)$ ，$f\left(C_{ij}\right){\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ii}+Z{\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}\Psi {\left(C\right)}_{ji}\in \mathcal{Z}\left({\mathcal{N}}_{ii}\right)$ 。因此对任意$A,B\in ℳ$ 有

$\Psi {\left(C\right)}_{ji}{\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}\in \mathcal{Z}\left({\mathcal{N}}_{jj}\right),{\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}\Psi {\left(C\right)}_{ji}\in \mathcal{Z}\left({\mathcal{N}}_{ii}\right).$ (2.16)

根据(2.15)~(2.16)知对任意$A,B\in ℳ,C_{ii}\in {ℳ}_{ii},C_{ij}\in {ℳ}_{ij}$ 有

$Z\Psi {\left(C\right)}_{ii}{\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}\Psi {\left(C\right)}_{ji}=-f\left(C_{ii}\right){\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}\Psi {\left(C\right)}_{ji}\in \mathcal{Z}\left({\mathcal{N}}_{ii}\right).$

应用${\Psi }^{-1}$ ，有${\Psi }^{-1}\left({\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}\Psi {\left(C\right)}_{ji}\right)C_{ii}\in \mathcal{Z}\left({ℳ}_{ii}\right)$ 。则由引理2.3 (1)知对任意$C_{ij}\in {ℳ}_{ij}$ 有${\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}\Psi {\left(C\right)}_{ji}=0$ 。根据引理2.2知${\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]}_{ij}=0$ 。因此对任意$A,B\in ℳ$ 有$\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]=0$ ，从而$\left[A,B\right]=0$ ，即$ℳ=\left(I-E\right)ℳ$ 为可交换von Neumann代数，这与$ℳ$ 为无$I_1$ 型中心直和项的von Neumann代数矛盾。故${\Psi |}_{\left(I-E\right)ℳ}:\left(I-E\right)ℳ\to \left(I^{\prime }-F\right)\mathcal{N}$ 是可加反同构不成立。

断言5 $\Psi$ 是可加*-同构，$\Phi \left(A\right)=\Phi \left(I\right)\Psi \left(A\right)$ ，$\Phi {\left(I\right)}^2=I^{\prime }$ 。

由(2.2)及断言4知$\Phi =Z\Psi +f$ ，其中$\Psi :ℳ\to \mathcal{N}$ 为可加同构且$f:ℳ\to \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ 为可加映射，则对任意$A,B,C\in ℳ$ ，一方面，

$\begin{array}{c}\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)={\left[\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right],\Phi \left(C\right)\right]}_{*}\\ ={\left[\left[Z\Psi \left(A\right),Z\Psi \left(B\right)\right],Z\Psi \left(C\right)+f\left(C\right)\right]}_{*}\\ =Z^3\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(C\right)+Z{\left(Z^{*}\right)}^2\Psi \left(C\right)\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\\ +Z^2\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]f\left(C\right)+{\left(Z^{*}\right)}^{2}f\left(C\right)\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right].\end{array}$

另一方面，

$\begin{array}{c}\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)=\left(Z\Psi +f\right)\left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)\\ =Z\Psi \left(\left[A,B\right]C\right)+Z\Psi \left(C\left[A^{*},B^{*}\right]\right)+f\left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)\\ =Z\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(C\right)+Z\Psi \left(C\right)\left[\Psi \left(A^{*}\right),\Psi \left(B^{*}\right)\right]+f\left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right).\end{array}$

由断言3及上述两式知

$\begin{array}{l}\left(Z^3-Z\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(C\right)+f\left(C\right)\left(Z^2\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]+{\left(Z^{*}\right)}^2\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\right)\\ +\left(Z{\left(Z^{*}\right)}^2-Z^{-1}{\left(Z^{*}\right)}^2\right)\Psi \left(C\right)\left[\Psi {\left(A\right)}^{*},\Psi {\left(B\right)}^{*}\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right),\forall A,B,C\in ℳ.\end{array}$

上式中用$i\Psi \left(A\right)$ 代替$\Psi \left(A\right)$ 得

$\left(Z^3-Z\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(C\right)+Z^{2}f\left(C\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right),\forall A,B,C\in ℳ.$ (2.17)

(2.17)中取$C=P$ 为core-free投影且$\overline{P}=I$ ，左乘$\Psi \left(P\right)$ 右乘$\Psi \left(I-P\right)$ ，则

$Z^{2}f\left(P\right)\Psi \left(P\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(I-P\right)=0,\forall A,B\in ℳ.$

上式中取$A=P$ ，有$Z^{2}f\left(P\right)\Psi \left(P\right)\Psi \left(B\right)\Psi \left(I-P\right)=Z^{2}f\left(P\right)\Psi {\left(B\right)}_{12}=0$ 。由引理2.3 (4)知$Z^{2}f\left(P\right)\Psi \left(P\right)=0$ 。应用${\Psi }^{-1}$ 及引理2.1得$f\left(P\right)=0$ 。从而根据(2.17)有

$\begin{array}{c}\left(Z^3-Z\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\Psi \left(P\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right),\forall A,B\in ℳ.\end{array}$

上式中取$A=I-P$ ，左乘$\Psi \left(I-P\right)$ 右乘$\Psi \left(P\right)$ ，有$\left(Z^3-Z\right)\Psi \left(I-P\right)\Psi \left(B\right)\Psi \left(P\right)=0,\forall B\in ℳ$ 。由引理2.3 (4)知$\left(Z^3-Z\right)\Psi \left(I-P\right)=0$ 。应用${\Psi }^{-1}$ ，由引理2.1有知$Z^2=I^{\prime }$ 。现在(2.17)可被重写为

$f\left(C\right)\left[\Psi \left(A\right),\Psi \left(B\right)\right]\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right),\forall A,B,C\in ℳ.$

由引理2.3 (2)知对任意$C\in ℳ$ 有$f(C)=0$ 。因此对任意$A\in ℳ$ 有$\Phi \left(A\right)=Z\Psi \left(A\right)$ ，$\Phi \left(I\right)=Z$ ，从而$\Phi \left(A\right)=\Phi \left(I\right)\Psi \left(A\right)$ ，其中$\Phi {\left(I\right)}^2=Z^2=I^{\prime }$ 。根据断言3，$Z^2=I^{\prime }$ 及$\Psi$ 为可加同构知

$\begin{array}{c}\Psi \left(\left[A^{*},B^{*}\right]\right)=\left[\Psi \left(A^{*}\right),\Psi \left(B^{*}\right)\right]={\left[\Psi \left(B\right),\Psi \left(A\right)\right]}^{*}=\Psi {\left(\left[B,A\right]\right)}^{*},\forall A,B\in ℳ.\end{array}$ (2.18)

应用(2.18)知对任意$A_{ii}\in {ℳ}_{ii},A_{ij}\in {ℳ}_{ij},1\le i\ne j\le 2$ 有

$\Psi \begin{array}{c}\left(A_{ij}^{*}\right)=\Psi \left(\left[P_j^{*},A_{ij}^{*}\right]\right)=\Psi {\left(\left[A_{ij},P_j\right]\right)}^{*}=\Psi {\left(A_{ij}\right)}^{*}\end{array}$

且

$\begin{array}{c}\Psi {\left(A_{ij}\right)}^{*}\Psi \left(A_{ii}^{*}\right)=\Psi \left({\left(A_{ii}{A}_{ij}\right)}^{*}\right)=\Psi {\left(A_{ij}\right)}^{*}\Psi {\left(A_{ii}\right)}^{*}\end{array}$ .

根据上式，对任意$A_{ii}\in {ℳ}_{ii},i=1,2$ 有$\Psi \left(A_{ii}^{*}\right)=\Psi {\left(A_{ii}\right)}^{*}$ ，从而对任意$A\in ℳ$ 有$\Psi \left(A^{*}\right)=\Psi {\left(A\right)}^{*}$ 。故$\Psi$ 为可加*-同构，且由[7]知存在中心投影$E\in ℳ$ 使得$\Psi \left(E\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{N}\right)$ ，${\Psi }_1:Eℳ\to \Psi \left(E\right)\mathcal{N}$ 为线性*-同构，${\Psi }_2:\left(I-E\right)ℳ\to \left(I^{\prime }-\Psi \left(E\right)\right)\mathcal{N}$ 为共轭线性*-同构，$\Psi \left(A\right)={\Psi }_1\left(A\right)\oplus {\Psi }_2\left(A\right),\forall A\in ℳ$ 。证毕。

由定理2.4得到下列推论。

推论2.5 ([8]，定理3.1) 设$ℳ$ ($\dim ℳ\ge 4$ )和$\mathcal{N}$ 是因子von Neumann代数，其单位元分别为I和$I^{\prime }$ 。则非线性双射$\Phi :ℳ\to \mathcal{N}$ 混合Lie可乘，即$\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)={\left[\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right],\Phi \left(C\right)\right]}_{*},\forall A,B,C\in ℳ$ 当且仅当存在线性*-同构或共轭线性*-同构$\Psi :ℳ\to \mathcal{N}$ 使得$\Phi \left(A\right)=\pm \Psi \left(A\right),\forall A\in ℳ$ 。

推论2.6 ([8]，推论3.5) 设H为复Hilbert空间且$\dim H\ge 4$ 。则非线性双射$\Phi :ℬ\left(H\right)\to ℬ\left(H\right)$ 混合Lie可乘，即$\Phi \left({\left[\left[A,B\right],C\right]}_{*}\right)={\left[\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right],\Phi \left(C\right)\right]}_{*}$ ，$\forall A,B,C\in ℬ\left(H\right)$ 当且仅当存在酉算子或共轭酉算子U使得$\Phi \left(A\right)=\pm UA{U}^{*},\forall A\in ℬ\left(H\right)$ 。

致 谢

本文作者衷心感谢中国国家自然基金(Grant No.11001194)的支持以及专家和同行的指导与帮助。同时，感谢允许我们转载和引用其文献资料的作者和出版机构，这些成果为本研究提供了重要的理论基础。最后，感谢审稿人和读者的宝贵意见和建议。

基金项目

本研究由中国国家自然基金(Grant No.11001194)支持。

NOTES

^*通讯作者。