非线性演化方程的丰富的Jacobi椭圆函数解

Abundant Jacobi Elliptic Function Solutions of Nonlinear Evolution Equations

摘要: 本文通过把十二个Jacobi椭圆函数分类成四组，从而提出一个新的广义Jacobi椭圆函数展开法来构造非线性演化方程的精确双周期解。在数学软件Maple的帮助下，应用这个非常有效的方法求出了非线性演化方程的许多解，当模数m$\to$ 0或1时，这些解退化为相应的孤立波解或三角函数解。

Abstract: In this letter, twelve Jacobi elliptic functions are divided into four groups, and a new general Jacobi elliptic function expansion method is proposed to construct abundant exact doubly periodic solutions of nonlinear evolution equations. As a result, with the aid of computer symbolic computation software (for example, Maple), many exact doubly periodic solutions are obtained which shows that this method is very powerful. When the modulus m$\to$ 0 or 1, these solutions degenerate to the corresponding solitary wave solutions and trigonometric function (singly periodic) solutions.

1. 引言

直接寻找非线性演化方程的精确解是数学物理领域的重要任务。许多方法[1] [2]被发展出来用来构造它们的精确解。其中，行波解在非线性科学中起着非常重要的作用，它可以很好地描述各种物理现象，例如振动、传播波以及孤立子等等。特别地，刘等人[3]和傅等人[4]提出了Jacobi椭圆函数展开法用来构造非线性演化方程的双周期解。随后，沈[5]和闫[6]扩展了Jacobi椭圆函数展开法获得了更多类型方程的更多Jacobi椭圆函数解。但是，我们仍然认为他们的方法[3]-[6]是特殊方法。经过仔细研究12个Jacobi椭圆函数的性质之后，我们发现它们可以被分为四组[7]，即

(1) $sn\xi$ ，$cn\xi$ 和$\text{dn}\xi$ ；

(2) $ns\xi =\frac{1}{sn\xi }$ ，$cs\xi =\frac{cn\xi }{sn\xi }$ 和$ds\xi =\frac{dn\xi }{sn\xi }$ ；

(3) $sc\xi =\frac{sn\xi }{cn\xi }$ ，$nc\xi =\frac{1}{cn\xi }$ 和$dc\xi =\frac{dn\xi }{cn\xi }$ ；

(4) $sd\xi =\frac{sn\xi }{dn\xi }$ ，$cd\xi =\frac{cn\xi }{dn\xi }$ 和$nd\xi =\frac{1}{dn\xi }$ 。

为了获得非线性演化方程更多的精确解，在本文，我们提出一个更加广泛和有效的Jacobi椭圆函数展开法。

2. 广义的Jacobi椭圆函数展开法

下面我们描述我们的广义的Jacobi椭圆函数展开法。

步骤1：约化PDE到ODE

利用行波解约化$u=u\left(\xi \right)$ ，$\xi =k\left(x-\lambda t\right)$ ，其中k和$\lambda$ 分别是波数和波速，我们把偏微分方程

$P\left(u,u_x,u_t,u_{xx},u_{xt},u_{tt},\cdots \right)=0$ (1)

约化到常微分方程

$G\left(u,\frac{\text{d}u}{\text{d}\xi },\frac{{\text{d}}^{2}u}{\text{d}{\xi }^2},\cdots \right)=0$ (2)

步骤2：引入有限幂级数形式解

我们假设常微分方程(2)有下面的形式解

$u=a_0+a_{1}sn\xi +b_{1}cn\xi +c_{1}dn\xi +{\displaystyle \sum _{i=2}^{n}s{n}^{i-2}\xi }\left(a_{i}s{n}^2\xi +b_{i}sn\xi cn\xi +c_{i}sn\xi dn\xi +d_{i}cn\xi dn\xi \right)$ (3.1)

$u=a_0+a_{1}ns\xi +b_{1}cs\xi +c_{1}ds\xi +{\displaystyle \sum _{i=2}^{n}n{s}^{i-2}\xi }\left(a_{i}n{s}^2\xi +b_{i}ns\xi cs\xi +c_{i}ns\xi ds\xi +d_{i}cs\xi ds\xi \right)$ (3.2)

$u=a_0+a_{1}sc\xi +b_{1}nc\xi +c_{1}dc\xi +{\displaystyle \sum _{i=2}^{n}s{c}^{i-2}\xi }\left(a_{i}s{c}^2\xi +b_{i}sc\xi nc\xi +c_{i}sc\xi dc\xi +d_{i}nc\xi dc\xi \right)$ (3.3)

$u=a_0+a_{1}sd\xi +b_{1}cd\xi +c_{1}nd\xi +{\displaystyle \sum _{i=2}^{n}s{d}^{i-2}\xi }\left(a_{i}s{d}^2\xi +b_{i}sd\xi cd\xi +c_{i}sd\xi nd\xi +d_{i}cd\xi nd\xi \right)$ (3.4)

其中n是待定参数。

步骤3：确定参数n.

定义$u\left(\xi \right)$ 的次数是$D\left[u\left(\xi \right)\right]=n$ ，则其它表达式的次数分别是

$D\left[\frac{{\text{d}}^{m}u}{\text{d}{\xi }^m}\right]=n+m,D\left[{\left(\frac{{\text{d}}^{m}u}{\text{d}{\xi }^m}\right)}^q\right]=q\left(n+m\right)和D\left[u^p{\left(\frac{{\text{d}}^{m}u}{\text{d}{\xi }^m}\right)}^q\right]=np+q\left(n+m\right)$

这样，我们可以通过平衡常微分方程(2)中的最高阶导数项和非线性项来确定参数n的值。

步骤4：导出代数方程组

把(3)代入(2)，我们获得一个关于Jacobi椭圆函数的方程，然后化简，合并同类项，得到关于未知量$k,\lambda ,a_0,a_i,b_i,c_i,d_{i+1}\left(i=1,2,\cdots \right)$ 非线性代数方程组，在数学软件Maple的帮助下，利用著名吴文俊消元法[8]求解，我们省略求解过程。

步骤5：获得Jacobi椭圆函数解

把求得的$k,\lambda ,a_0,a_i,b_i,c_i,d_{i+1}\left(i=1,2,\cdots \right)$ 的值代入(3)式，最后我们获得了偏微分方程(1)的广义的Jacobi椭圆函数解。

注1：显然，由于我们的方法的形式解（3)更加广泛，所以比以前那些求Jacobi椭圆函数解的方法[3]-[6]更加有效。这一点从我们已经获取到的丰富的Jacobi椭圆函数解可以证实。

注2：当$m=0$ 时，我们得到

(1) $sn\left(\xi ,0\right)=\sin \xi$ ，$cn\left(\xi ,0\right)=\cos \xi$ ，$dn\left(\xi ,0\right)=1$ ；

(2) $ns\left(\xi ,0\right)=\csc \xi$ ，$cs\left(\xi ,0\right)=\cot \xi$ ，$ds\left(\xi ,0\right)=\csc \xi$ ；

(3) $sc\left(\xi ,0\right)=\tan \xi$ ，$nc\left(\xi ,0\right)=\sec \xi$ ，$dc\left(\xi ,0\right)=\sec \xi$ ；

(4) $sd\left(\xi ,0\right)=\sin \xi$ ，$cd\left(\xi ,0\right)=\cos \xi$ ，$nd\left(\xi ,0\right)=1$ 。

当$m=1$ 时，我们有

(1) $sn\left(\xi ,1\right)=\tanh \xi$ ，$cn\left(\xi ,1\right)=\mathrm{sech}\xi$ ，$dn\left(\xi ,1\right)=\mathrm{sech}\xi$ ；

(2) $ns\left(\xi ,1\right)=\coth \xi$ ，$cs\left(\xi ,1\right)=\mathrm{csch}\xi$ ，$ds\left(\xi ,1\right)=\mathrm{csch}\xi$ ；

(3) $sc\left(\xi ,1\right)=\sinh \xi$ ，$nc\left(\xi ,1\right)=\cosh \xi$ ，$dc\left(\xi ,1\right)=1$ ；

(4) $sd\left(\xi ,1\right)=\sinh \xi$ ，$cd\left(\xi ,1\right)=1$ ，$nd\left(\xi ,1\right)=\cosh \xi$ 。

容易看得出来，当模数$m\to 0$ 或1时，这些解退化为相应的关于孤立波或三角函数解。为了节省篇幅，我们省略它们。因此，我们的方法推广了双曲函数展开法[1]和三角函数展开法[2]。

3. 例子和应用

3.1. KdV方程

$u_t+u{u}_x+\beta u_{xxx}=0$ (4)

利用行波解约化$u=u\left(\xi \right)$ ，$\xi =k\left(x-\lambda t\right)$ ，我们得

$-\lambda \frac{\text{d}u}{\text{d}\xi }+u\frac{\text{d}u}{\text{d}\xi }+\beta k^2\frac{{\text{d}}^{3}u}{\text{d}{\xi }^3}=0$ (5)

通过平衡(5)中最高阶导数项和非线性项来确定参数$n=2$ 。利用上面步骤4~5，我们获得了Jacobi椭圆函数解，其中I是虚数单位，$a\begin{array}{c}-\\ +\\ +\\ -\end{array}b\begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ +\end{array}c\begin{array}{c}+\\ +\\ -\\ -\end{array}d=a-b-c+d$ 或$a+b+c+d$ 或$a+b-c-d$ 或$a-b+c-d$ 。

3.1.1. $sn\xi$ 、$cn\xi$ 和$dn\xi$ 展开法

利用(3.1)，我们得到KdV方程(4)的解如下

$\begin{array}{l}{u}_1=4\beta m^2{k}^2+4\beta k^2+\lambda -12\beta m^2{k}^{2}s{n}^2\xi ;\\ u_2=4\beta m^2{k}^2+\beta k^2+\lambda -6\beta m{k}^2\left[ms{n}^2\xi \pm Isn\xi dn\xi \right];\\ u_3=\beta m^2{k}^2+4\beta k^2+\lambda -6\beta m{k}^2\left[ms{n}^2\xi \pm mIsn\xi cn\xi \right];\\ u_4=\beta m^2{k}^2+\beta k^2+\lambda -6\beta m{k}^2\left[ms{n}^2\xi \pm cn\xi dn\xi \right];\\ u_5=\beta m^2{k}^2+\beta k^2+\lambda -3\beta m{k}^2\left[ms{n}^2\xi \begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ -\end{array}mIsn\xi cn\xi \begin{array}{c}-\\ -\\ +\\ +\end{array}Isn\xi dn\xi \begin{array}{c}+\\ -\\ -\\ +\end{array}cn\xi dn\xi \right]\end{array}$

3.1.2. $ns\xi$ 、$cs\xi$ 和$ds\xi$ 展开法

利用(3.2)，我们得到KdV方程(4)的解如下

$\begin{array}{l}{u}_6=4\beta m^2{k}^2+4\beta k^2+\lambda -12\beta k^{2}n{s}^2\xi ;\\ u_7=4\beta m^2{k}^2+\beta k^2+\lambda -6\beta k^2\left[n{s}^2\xi \pm ns\xi cs\xi \right];\\ u_8=\beta m^2{k}^2+4\beta k^2+\lambda -6\beta k^2\left[n{s}^2\xi \pm ns\xi ds\xi \right];\\ u_9=\beta m^2{k}^2+\beta k^2+\lambda -6\beta k^2\left[n{s}^2\xi \pm cs\xi ds\xi \right];\\ u_{10}=\beta m^2{k}^2+\beta k^2+\lambda -3\beta k^2\left[n{s}^2\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ +\end{array}ns\xi cs\xi \begin{array}{c}+\\ +\\ -\\ -\end{array}ns\xi ds\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ +\\ -\end{array}cs\xi ds\xi \right]\end{array}$

3.1.3. $sc\xi$ 、$nc\xi$ 和$dc\xi$ 展开法

利用(3.3)，我们得到KdV方程(4)的解如下

$\begin{array}{l}{u}_{\text{11}}=4\beta m^2{k}^2\text{-8}\beta k^2+\lambda -12\beta k^2\left(1-m^2\right)s{c}^2\xi ;\\ u_{\text{12}}=4\beta m^2{k}^2-5\beta k^2+\lambda -6\beta k^2\sqrt{1-m^2}\left[\sqrt{1-m^2}s{c}^2\xi \pm sc\xi dc\xi \right];\\ u_{\text{13}}=\beta m^2{k}^2-5\beta k^2+\lambda -6\beta k^2\sqrt{1-m^2}\left[\sqrt{1-m^2}s{c}^2\xi \pm \sqrt{1-m^2}sc\xi nc\xi \right];\\ u_{\text{14}}=\beta m^2{k}^2-2\beta k^2+\lambda -6\beta k^2\sqrt{1-m^2}\left[\sqrt{1-m^2}s{c}^2\xi \pm nc\xi dc\xi \right];\\ u_{\text{15}}=\beta m^2{k}^2-2\beta k^2+\lambda -3\beta k^2\sqrt{1-m^2}\left[\sqrt{1-m^2}s{c}^2\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ +\\ -\end{array}sc\xi dc\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ +\end{array}\sqrt{1-m^2}sc\xi nc\xi \begin{array}{c}+\\ +\\ -\\ -\end{array}nc\xi d\right]c\xi \end{array}$

3.1.4. $sd\xi$ 、$cd\xi$ 和$nd\xi$ 展开法

利用(3.4)，我们得到KdV方程(4)的解如下

$\begin{array}{l}{u}_{16}=-8\beta m^2{k}^2+4\beta k^2+\lambda +12\beta m^2{k}^2\left(1-m^2\right)s{d}^2\xi ;\\ u_{17}=-5\beta m^2{k}^2+4\beta k^2+\lambda +6\beta m{k}^2\sqrt{1-m^2}\left[m\sqrt{1-m^2}s{d}^2\xi \pm mIsd\xi cd\xi \right];\\ u_{18}=-5\beta m^2{k}^2+\beta k^2+\lambda +6\beta m{k}^2\sqrt{1-m^2}\left[m\sqrt{1-m^2}s{d}^2\xi \pm \sqrt{1-m^2}sd\xi nd\xi \right];\\ u_{19}=-2\beta m^2{k}^2+\beta k^2+\lambda +6\beta m{k}^2\sqrt{1-m^2}\left[m\sqrt{1-m^2}s{d}^2\xi \pm Icd\xi nd\xi \right];\\ u_{20}=-2\beta m^2{k}^2+\beta k^2+\lambda +3\beta m{k}^2\sqrt{1-m^2}\left[m\sqrt{1-m^2}s{d}^2\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ +\end{array}mIsd\xi cd\xi \begin{array}{c}+\\ -\\ -\\ +\end{array}\sqrt{1-m^2}sd\xi nd\xi \begin{array}{c}-\\ -\\ +\\ +\end{array}Icd\xi nd\xi \right]\end{array}$

3.2. Boussinesq方程

$u_{tt}-{\gamma }^2{u}_{xx}-\alpha u_{xxxx}-\beta {\left(u^2\right)}_{xx}=0$ (6)

利用行波解约化$u=u\left(\xi \right)$ ，$\xi =k\left(x-\lambda t\right)$ ，我们得

$\left({\lambda }^2-{\gamma }^2\right)\frac{{\text{d}}^{2}u}{\text{d}{\xi }^2}-\alpha k^2\frac{{\text{d}}^{4}u}{\text{d}{\xi }^4}-\beta \frac{{\text{d}}^2{u}^2}{\text{d}{\xi }^2}=0$ (7)

通过平衡(7)中最高阶导数项和非线性项来确定参数$n=2$ 。利用上面步骤4~5，我们获得了Jacobi椭圆函数解，其中I是虚数单位，$a\begin{array}{c}-\\ +\\ +\\ -\end{array}b\begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ +\end{array}c\begin{array}{c}+\\ +\\ -\\ -\end{array}d=a-b-c+d$ 或$a+b+c+d$ 或$a+b-c-d$ 或$a-b+c-d$ 。

3.2.1.$sn\xi$ 、$cn\xi$ 和$dn\xi$ 展开法

利用(3.1)，我们得到Boussinesq方程(6)的解如下

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2\beta }\left(4\alpha m^2{k}^2+4\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{6\alpha m^2{k}^2}{\beta }s{n}^2\xi ;\\ u_2=\frac{1}{2\beta }\left(\alpha m^2{k}^2+4\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha m{k}^2}{\beta }\left[ms{n}^2\xi \pm mIsn\xi cn\xi \right];\\ u_3=\frac{1}{2\beta }\left(4\alpha m^2{k}^2+\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha m{k}^2}{\beta }\left[ms{n}^2\xi \pm Isn\xi dn\xi \right];\\ u_4=\frac{1}{2\beta }\left(\alpha m^2{k}^2+\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha m{k}^2}{\beta }\left[ms{n}^2\xi \pm cn\xi dn\xi \right];\\ u_5=\frac{1}{2\beta }\left(\alpha m^2{k}^2+\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha m{k}^2}{\beta }\left[ms{n}^2\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ +\\ -\end{array}mIsn\xi cn\xi \begin{array}{c}+\\ +\\ -\\ -\end{array}Isn\xi dn\xi \begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ -\end{array}cn\xi dn\xi \right];\end{array}$

3.2.2.$ns\xi$ 、$cs\xi$ 和$ds\xi$ 展开法

利用(3.2)，我们得到Boussinesq方程(6)的解如下

$\begin{array}{l}{u}_6=\frac{1}{2\beta }\left(4\alpha m^2{k}^2+4\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{6\alpha k^2}{\beta }n{s}^2\xi ;\\ u_7=\frac{1}{2\beta }\left(4\alpha m^2{k}^2+\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha k^2}{\beta }\left[n{s}^2\xi \pm ns\xi cs\xi \right];\end{array}$

$\begin{array}{l}{u}_8=\frac{1}{2\beta }\left(\alpha m^2{k}^2+4\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha k^2}{\beta }\left[n{s}^2\xi \pm ns\xi ds\xi \right];\\ u_9=\frac{1}{2\beta }\left(\alpha m^2{k}^2+\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha k^2}{\beta }\left[n{s}^2\xi \pm cs\xi ds\xi \right];\\ u_{10}=\frac{1}{2\beta }\left(\alpha m^2{k}^2+\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha k^2}{\beta }\left[n{s}^2\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ -\\ +\end{array}ns\xi cs\xi \begin{array}{c}+\\ +\\ -\\ -\end{array}ns\xi ds\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ +\\ -\end{array}cs\xi ds\xi \right];\end{array}$

3.2.3.$sc\xi$ 、$nc\xi$ 和$dc\xi$ 展开法

利用(3.3)，我们得到Boussinesq方程(6)的解如下

$\begin{array}{l}{u}_{11}=\frac{1}{2\beta }\left(4\alpha m^2{k}^2-8\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{6\alpha k^2\left(1-m^2\right)}{\beta }s{c}^2\xi ;\\ u_{12}=\frac{1}{2\beta }\left(\alpha m^2{k}^2-5\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha k^2\sqrt{1-m^2}}{\beta }\left[\sqrt{1-m^2}s{c}^2\xi \pm \sqrt{1-m^2}sc\xi nc\xi \right];\\ u_{13}=\frac{1}{2\beta }\left(4\alpha m^2{k}^2-5\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha k^2\sqrt{1-m^2}}{\beta }\left[\sqrt{1-m^2}s{c}^2\xi \pm sc\xi dc\xi \right];\\ u_{14}=\frac{1}{2\beta }\left(\alpha m^2{k}^2-2\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha k^2\sqrt{1-m^2}}{\beta }\left[\sqrt{1-m^2}s{c}^2\xi \pm nc\xi dc\xi \right];\\ u_{15}=\frac{1}{2\beta }\left(\alpha m^2{k}^2-2\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)-\frac{3\alpha k^2\sqrt{1-m^2}}{\beta }\left[\sqrt{1-m^2}s{c}^2\xi \begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ -\end{array}\sqrt{1-m^2}sc\xi nc\xi \begin{array}{c}-\\ -\\ +\\ +\end{array}sc\xi dc\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ +\\ -\end{array}nc\xi dc\xi \right];\end{array}$

3.2.4. $sd\xi$ 、$cd\xi$ 和$nd\xi$ 展开法

利用(3.4)，我们得到Boussinesq方程(6)的解如下

$\begin{array}{l}{u}_{16}=\frac{1}{2\beta }\left(-8\alpha m^2{k}^2+4\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)+\frac{6\alpha m^2{k}^2\left(1-m^2\right)}{\beta }s{d}^2\xi ;\\ u_{17}=\frac{1}{2\beta }\left(-5\alpha m^2{k}^2+4\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)+\frac{3\alpha m{k}^2\sqrt{1-m^2}}{\beta }\left[m\sqrt{1-m^2}s{d}^2\xi \pm mIsd\xi cd\xi \right];\\ u_{18}=\frac{1}{2\beta }\left(-5\alpha m^2{k}^2+\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)+\frac{3\alpha m{k}^2\sqrt{1-m^2}}{\beta }\left[m\sqrt{1-m^2}s{d}^2\xi \pm \sqrt{1-m^2}sd\xi nd\xi \right];\\ u_{19}=\frac{1}{2\beta }\left(-2\alpha m^2{k}^2+\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)+\frac{3\alpha m{k}^2\sqrt{1-m^2}}{\beta }\left[m\sqrt{1-m^2}s{d}^2\xi \pm Icd\xi nd\xi \right];\\ u_{20}=\frac{1}{2\beta }\left(-2\alpha m^2{k}^2+\alpha k^2+{\lambda }^2-{\gamma }^2\right)+\frac{3\alpha m{k}^2\sqrt{1-m^2}}{\beta }\left[m\sqrt{1-m^2}s{d}^2\xi \begin{array}{c}-\\ +\\ +\\ -\end{array}mIsd\xi cd\xi \begin{array}{c}-\\ -\\ +\\ +\end{array}\sqrt{1-m^2}sd\xi nd\xi \begin{array}{c}+\\ -\\ +\\ -\end{array}Icd\xi nd\xi \right];\end{array}$

4. 解的结构

为了更好地了解Jacobi椭圆函数解的结构，利用Maple，我们画出了KdV方程(4)的解$u_4$ 的立体图(见图1)和$t=0$ 的截面图(见图2)和解$u_{10}$ 的立体图(见图3)和$t=0$ 的截面图(见图4)，其中参数均取值为$\beta =2$ ，$k=1$ ，$\lambda =2$ ，$m=\frac{1}{2}$ ，网格取值150 * 150。从中我们可以直观地看到Jacobi椭圆函数解具有两种宏观结构：光滑型(分母永不为零)和奇异型(分母在某一时刻为零)。

Figure 1. Plot of the solution $u_4$

图1. 解$u_4$ 立体图

Figure 2. The structure of the solution $u_4$ at time $t=0$

图2. 解$u_4$ 在$t=0$ 截面图

Figure 3. Plot of the solution $u_{10}$

图3. 解$u_{10}$ 立体图

Figure 4. The structure of the solution $u_{10}$ at time $t=0$

图4. 解$u_{10}$ 在$t=0$ 截面图

5. 结论

本文，我们利用广义的Jacobi椭圆函数展开法得到了非线性演化方程的许多新类型Jacobi椭圆函数解。当$m=0$ 或$m=1$ 时，其中一些解退化为孤立波解和三角函数解。为了简化，我们在论文中省略了它们。这种方法也可以应用于其他非线性演化方程。