一类四维非光滑系统的同宿环和异宿环定性分析

Qualitative Analysis of Homoclinic and Heteroclinic Orbits in a Class of Non-Smooth Four-Dimensional Systems

摘要: 由于高维非光滑系统的复杂性，准确预测其同宿环和异宿环极其困难。本文针对一类四维非光滑动力系统，分别提出了能够精确检测同宿环和异宿环的判据，并利用数学分析和定性理论对其进行了严格证明。此外，本文还建立了此类特殊环诱导系统混沌的存在条件。最后，通过数值算例验证了结果的有效性。

Abstract: Due to the complexity of high-dimensional non-smooth systems, accurately predicting homoclinic cycles or heteroclinic cycles is extremely difficult. This paper proposes some criterion for precisely detecting homoclinic cycles and heteroclinic cycles in a kind of four-dimensional non-smooth dynamical systems, respectively. By combining mathematical analysis with qualitative theory, this work presents a rigourous proof of that. Further, it establishes existence conditions of chaos induced by such special cycles in the considered system. Finally, the numerical simulation for two designed examples is offered to test the validity of obtained results.

1. 引言

非光滑动力系统作为实际模型，已广泛应用于通信安全、生物学和经济学等多个领域[1]-[6]。同宿环或异宿环作为一类特殊解，在动力系统混沌行为中起重要作用。但由于研究工具和理论方法的不足，对其进行检测并非易事。因此，研究非光滑系统的同宿环和异宿环无论是在理论研究还是实际应用方面都具有重要意义且极具挑战性。

现有关于同宿环和异宿环的研究成果大多集中在特定形式的动力系统上。已提出的检测同宿环或异宿环的方法仅适用于特定系统或特定类型的系统。例如，Wu等人利用Melnikov方法证明了某种R²空间Hamiltonian系统中同宿环的存在性[7]；Yang等人[8] [9]通过数值方法证明了一些Lorenz型系统具有同宿轨道；Leonov等人[10] [11]提出了捕鱼原理来获得一些经典系统(如Lorenz系统、Chen系统)中同宿和异宿轨道的存在性；Wang和Zhang [12]利用奇摄动理论分析研究了一个广义Holling型捕食者模型中的同宿轨道。然而，由于不连续边界的出现，光滑系统的常用方法不适用于非光滑系统。即使在分段线性或仿射系统中，精确预测同宿环或异宿环也是一项极具挑战性的任务。Li等人[13]给出了具有特定不连续边界的平面Filippov型系统中同宿轨道的存在条件；Carmona等人[14] [15]分析研究了Michelson系统某些线性版本中的同宿环和“T点”异宿环；Wu等人[16]在特定条件下，对三维分段线性或仿射系统的同宿环和异宿环进行了严格证明；Yang等人[17] [18]证明了一些四维分段系统中同宿环或异宿环的存在性。然而，即便是分段线性系统一般也是不拓扑等价的，对于边界条件的轻微变化，其动力学就发生了很大的突变。因此，对于四维和更高维非光滑系统，甚至具有线性形式，精确定位同宿环和异宿环仍然极具挑战性。

另一个巨大的挑战是如何构建展现混沌行为的最简单系统。对简单系统的复杂动力学的研究一直是系统科学研究的热点。众所周知，至少具有一个二次项的光滑系统才能够产生复杂的混沌现象，而光滑线性系统只能表现出可预测的动力学行为。然而，不可预测的行为，例如混沌，可以发生在线性形式的非光滑系统中。因此，分段线性或仿射系统是设计和理解混沌运动的理想研究系统。

本文研究了一类四维非光滑系统，并提出了一种能够精确预测该系统中同宿环和异宿环的方法。本文提出了一些判据来保证系统具有同宿环和异宿环，并给出了其存在性的数学证明。所考虑的系统包含两个子系统：一个子系统具有一个共轭复特征值对和两个不同的非零实特征值，另一个子系统具有两对复特征值。此外，本文还建立了由这些轨道引起的混沌的充分条件，这可以看作是著名Shilnikov定理在非光滑系统中的扩展和补充。据作者所知，本文的结果是新的，因为已报道的结论没有关注此类四维系统中的同宿环、异宿环和混沌。

本文安排如下：第二节提出了一类四维非光滑系统中精确定位同宿环和异宿环的一些判据，并通过严格的分析给出了证明。此外，还给出了该系统中这些环邻域内混沌的存在条件。第三节给出两个数值算例来验证所建立结果和所提方法的正确性和有效性。

2. 同宿环的存在性

考虑如下的非光滑系统

$\dot{X}=A_{\varphi \left(X\right)}X+a_{\varphi \left(X\right)},$ (1)

其中$X={\left(x_1{x}_2{x}_3{x}_4\right)}^{⊺}\in {ℝ}^4$ ，$C^{⊺}=\left(c_1{c}_2{c}_3{c}_4\right)\ne 0$ 是${ℝ}^4$ 空间中的一个常向量，d是一个常数，令$S_1=\left\{X|C^{T}X\le d\right\}$ ，$S_2=\left\{X|C^{T}X>d\right\}$ ，

$\varphi \left(X\right)=\{\begin{array}{l}1,X\in S_1,\\ 2,X\in S_2,\end{array}$

$a_{\varphi \left(X\right)}$ 是一个四维的常向量，${{\rm A}}_{\varphi \left(X\right)}$ 是一个满足如下条件的四阶方阵，

$J_{A_{\varphi \left(X\right)}}=P_{\varphi \left(X\right)}^{-1}{A}_{\varphi \left(X\right)}{P}_{\varphi \left(X\right)},$

其中$P_{\varphi \left(X\right)}$ 是一个可逆矩阵，$J_{\varphi \left(X\right)}$ 是${{\rm A}}_{\varphi \left(X\right)}$ 的若当标准型，其中

$J_{A_1}=\left(\begin{array}{cccc}\alpha & -\beta & 0& 0\\ \beta & \alpha & 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_1& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_2\end{array}\right),J_{A_2}=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_1& -\omega & 0& 0\\ \omega & {\rho }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_2& -\omega \\ 0& 0& \omega & {\rho }_2\end{array}\right).$

定义不连续边界：

$\sum ={\overline{S}}_1\cap {\overline{S}}_2=\left\{X|C^{T}X=d\right\},$

其中${\overline{S}}_1,{\overline{S}}_2$ 分别代表$S_1,S_2$ 的边界。令$E_i=-A_i^{-1}{a}_i={\left(x_{1E_i}{x}_{2E_i}{x}_{3E_i}{x}_{4E_i}\right)}^T$ 表示子系统

$\dot{X}=A_{i}X+a_i,i=1,2$ (2)

的平衡点。由于$E_1\in int\left(S_1\right)$ ，因此$C^T{E}_1<d$ 。为了方便讨论，令$P_1=\left({\chi }_1{\chi }_2{\chi }_3{\chi }_4\right)$ ，$P_2=\left({\eta }_1{\eta }_2{\eta }_3{\eta }_4\right)$ ，其中${\chi }_i,{\eta }_i\in {ℝ}^4\left(i=1,2,3,4\right)$ 分别表示对应矩阵$A_1$ 和$A_2$ 特征值的特征向量。

需要注意本文仅考虑横截穿过不连续边界的情形，没有研究滑动行为和边界碰撞分岔等。

假设$X_1,X_2$ 分别是子系统的初值，其中

$X_1=E_1+\left({\chi }_1{\chi }_2{\chi }_3{\chi }_4\right){\left(x_1{x}_2{x}_3{x}_4\right)}^T,$ (3)

$X_2=E_2+\left({\eta }_1{\eta }_2{\eta }_3{\eta }_4\right){\left(x_1{x}_2{x}_3{x}_4\right)}^T,$ (4)

${\psi }_{A_i}$ 是第i个子系统的解，依据公式(2)~(4)可知

${\psi }_{A_1}\left(t,X_1\right)=E_1+\left({\chi }_1{\chi }_2{\chi }_3{\chi }_4\right)\left(\begin{array}{c}{\text{e}}^{\alpha t}\left(x_1\cos \beta t+x_2\sin \beta t\right)\\ {\text{e}}^{\alpha t}\left(x_1\sin \beta t+x_2\cos \beta \right)\\ {\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}{x}_3\\ {\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}{x}_4\end{array}\right),$ (5)

${\psi }_{A_2}\left(t,X_2\right)=E_2+\left({\eta }_1{\eta }_2{\eta }_3{\eta }_4\right)\left(\begin{array}{c}{\text{e}}^{{\rho }_{1}t}\left(x_1\cos \omega t-x_2\sin \omega t\right)\\ {\text{e}}^{{\rho }_{1}t}\left(x_1\sin \omega t+x_2\cos \omega t\right)\\ {\text{e}}^{{\rho }_{2}t}\left(x_3\cos \omega t-x_4\sin \omega t\right)\\ {\text{e}}^{{\rho }_{2}t}\left(x_3\sin \omega t+x_4\cos \omega t\right)\end{array}\right).$ (6)

若通过$E_1$ 的流形均不稳定或均稳定，则不存在连接$E_1$ 的同宿环或异宿环。因此，不失一般性，我们假设$\alpha ,\beta ,\omega >0$ 并且${\lambda }_{1,2}<0$ ，对于其他情况，本文的方法同样适用。令$E^s\left(E_1\right)$ 为稳定流形，$E^u\left(E_1\right)$ 为不稳定流形，由公式(6)易得

$\begin{array}{l}{E}^s\left(E_1\right)=\left\{E_1+k_3{\chi }_3+k_4{\chi }_4|k_{3,4}\in ℝ\right\},\\ E^u\left(E_1\right)=\left\{E_1+k_1{\chi }_1+k_2{\chi }_2|k_{1,2}\in ℝ\right\}.\end{array}$

现在将${\chi }_j,{\eta }_j$ 的第i个坐标分别记为${\chi }_{ji},{\eta }_{ji}$ ，其中$i,j=1,2,3,4$ ，则

$m_{1i}=c_1{\chi }_{i1}+c_2{\chi }_{i2}+c_3{\chi }_{i3}+c{\chi }_{i4},m_{2i}=c_1{\eta }_{i1}+c_2{\eta }_{i2}+c_3{\eta }_{i3}+c_4{\eta }_{i4}.$

因此，

$L_1=E^u\left(E_1\right)\cap \Sigma =\left\{E_1+k_1{\chi }_1+k_2{\chi }_2|k_1{m}_{11}+k_2{m}_{12}=d-C^T{E}_1,k_1,k_2\in ℝ\right\},$

$L_2=E^s\left(E_1\right)\cap \Sigma =\left\{E_1+k_3{\chi }_3+k_4{\chi }_4|k_3{m}_{31}+k_4{m}_{41}=d-C^T{E}_1,k_3,k_4\in ℝ\right\}.$

假设

$\rho ={\rho }_1={\rho }_2,$

对于点$p_1\in L_1$ 和$q_1\in L_2$ ，我们将其写成${\nu }_i,{{\nu }^{\prime }}_i\left(i=1,2,3,4\right)$ 的表达式，

$p_1=P_2{\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& {\nu }_2& {\nu }_3& {\nu }_4\end{array}\right)}^T+E_2,q_1=P_2{\left(\begin{array}{cccc}{{\nu }^{\prime }}_1& {{\nu }^{\prime }}_2& {{\nu }^{\prime }}_{\text{3}}& {{\nu }^{\prime }}_{\text{4}}\end{array}\right)}^T+E_2.$

我们建立如下定理精确锁定系统(1)中同宿环的位置。

定理2.1 若存在常数$k_1,k_2,k_3,k_4$ 以及两个点$p_1,q_1\in \Sigma$ 使得系统(1)满足条件2.1~2.4：

条件2.1

$p_1=k_1{\chi }_1+k_2{\chi }_2+{{\rm E}}_1\in L_1,$

$q_1=k_3{\chi }_3+k_4{\chi }_4+{{\rm E}}_1\in L_2;$

条件2.2

${\lambda }_1{k}_3{m}_{13}+{\lambda }_2{k}_4{m}_{14}<0,$

$\alpha \left(d-C^T{E}_1\right)+\beta \left(k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}\right)>0,$

${\text{e}}^{-\alpha T_1}{Q}_1\frac{\beta }{\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}}<d-C^T{{\rm E}}_1$

其中$Q_1=\sqrt{{\left(d-C^T{E}_1\right)}^2+{\left(k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}\right)}^2}$ ，$T_1=\frac{\pi }{\beta }-\frac{1}{\beta }\arcsin \frac{d-C^T{E}_1}{Q_1}+\frac{1}{\beta }\arctan \frac{\beta }{\alpha }$ ；

条件2.3

$\rho \left(d-C^T{E}_2\right)+\omega Q_2>0,$

$\rho \left(d-C^T{E}_2\right)+\omega Q_3<0,$

其中$Q_2=m_{22}{v}_1-m_{21}{v}_2+m_{24}{v}_3-m_{23}{v}_4$ ，$Q_3=m_{22}{v^{\prime }}_1-m_{21}{v^{\prime }}_2+m_{24}{v^{\prime }}_3-m_{23}{v^{\prime }}_4$ ；

条件2.4 存在一个常数T满足

${\text{e}}^{J_{A_2}T}{\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& {\nu }_2& {\nu }_3& {\nu }_4\end{array}\right)}^T={\left(\begin{array}{cccc}{{\nu }^{\prime }}_1& {{\nu }^{\prime }}_2& {{\nu }^{\prime }}_{\text{3}}& {{\nu }^{\prime }}_{\text{4}}\end{array}\right)}^T.$

需要补充的是如果$C^T{E}_2<d$ ，常数$T\in \left(0,\frac{\pi }{\omega }\right)$ ；如果$C^T{E}_2=d$ ，常数$T=\frac{\pi }{\omega }$ ；如果$C^T{E}_2>d$ ，常数$T\in \left(\frac{\pi }{\omega },\frac{2\pi }{\omega }\right)$ ；

则系统(1)存在一个连接平衡点$E_1$ 的同宿环$\Gamma$ ，并且$\Gamma$ 与$\Sigma$ 横截相交于两点$p_1$ ，$q_1$ 。

证明：令

$g_1\left(t\right)=C^{⊺}\left({\psi }_{A_1}\left(-t,p_1\right)-E_1\right),$ (7)

根据条件2.1中的第一个公式，可知

$g_1\left(t\right)={\text{e}}^{-\alpha t}{Q}_1\sin \left(-\beta t+\theta \right),$ (8)

其中$Q_1=\sqrt{{\left(d-C^T{E}_1\right)}^2+{\left(k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}\right)}^2}$ ，$sin\theta =\frac{d-C^T{E}_1}{Q_1}$ ，$\cos \theta =\frac{k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}}{Q_1}$ 。接下来我们证明对所有的$t>0$ ，$g_1\left(t\right)<d-C^T{E}_1$ 成立。

从公式(8)中可知，关于t的一阶导数为

${g^{\prime }}_1\left(t\right)=-{\text{e}}^{-\alpha t}{Q}_1\left(\beta \cos \left(\beta t+\theta \right)+\alpha \sin \left(\beta t+\theta \right)\right),$ (9)

二阶导数为

${g^{″}}_1\left(t\right)={\text{e}}^{-\alpha t}{Q}_1\left(2\alpha \beta \cos \left(-\beta t+\theta \right)+\left({\alpha }^2-{\beta }^2\right)\sin \left(-\beta t+\theta \right)\right).$

由条件2.1和条件2.2可知

$g_1\left(0\right)=d-C^T{E}_1,{g^{\prime }}_1\left(0\right)=-\alpha \left(d-C^T{E}_1\right)-\beta \left(k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}\right)<0,$

这表明对于所有的$t\in \left(0,\epsilon \right)$ ，$g_1\left(t\right)<d-C^{⊺}{E}_1$ 均成立，其中$\epsilon$ 是一个充分小正数。由$\alpha >0$ 可知，当$t\to +\infty$ 时，$g_1\left(t\right)\to 0<d-C^{⊺}{E}_1$ 。存在常数$T^{\prime }=-\frac{1}{\alpha }\ln \frac{\epsilon }{Q_1}$ ，使得对于所有的$t\in \left[T^{\prime },\infty \right)$ ，不等式$g_1\left(t\right)<d-C^{⊺}{E}_1$ 成立。近一步地，我们将证明，如果$t\in I=\left[\frac{\epsilon }{2},T^{\prime }+\frac{2\pi }{\beta }\right]$ ，则有$g_1\left(t\right)<d-C^{⊺}{E}_1$ 成立。

对于$t\in I$ ，假设$t_1$ 是方程${g^{\prime }}_1\left(t\right)=0$ 的解。令$M=\frac{\beta }{\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}}$ ，则$t_1$ 满足

$\sin \left(-\beta t_1+\theta \right)=-M,\cos \left(-\beta t_1+\theta \right)=\sqrt{1-M^2},$ (10)

或

$\sin \left(-\beta t_1+\theta \right)=M,\cos \left(-\beta t_1+\theta \right)=-\sqrt{1-M^2}.$ (11)

如果公式(10)成立，则$t_1$ 是$g_1$ 的局部最小值点。如果公式(11)成立，则$t_1$ 是$g_1$ 的局部最大值点，由于$t_1$ 的值可以有很多个，我们给出如下序列

$t_{1k}=\frac{1}{\beta }\arctan \frac{\beta }{\alpha }-\frac{1}{\beta }\arcsin \frac{d-C^{⊺}{E}_1}{Q_1}+\frac{k\pi }{\beta }\in {\rm I},k=1,2,\cdots ,\left[\beta T_1/\pi \right]=k_0,$

来表示$g_1$ 的局部最大值点，可得相应的局部最大值为

$g_1\left(t_{1k}\right)=Q_{1}M{\text{e}}^{-\alpha t_{1k}}.$

其中，由于$\alpha >0$ ，由条件2.3可得

$g_1\left(t_{1k}{}_{{}_0}\right)<\cdots <g_1\left(t_{11}\right)<d-C^{⊺}{E}_1,$

即证明了对于所有的$t\in I$ ，$g_1\left(t\right)<d-C^{⊺}{E}_1$ 成立。因此可得

$\left\{{\psi }_{{{\rm A}}_1}\left(t,p_1\right)|t<0\right\}\in S_1.$ (12)

假设

$g_2\left(t\right)=C^{⊺}\left({\psi }_{{{\rm A}}_1}\left(t,q_1\right)-E_1\right),$

很明显对于所有的$t>0$ ，$g_2\left(t\right)<d-C^{⊺}{E}_1$ 。依据条件2.1，可得

$g_2\left(t\right)=k_3{m}_{13}{\text{e}}^{{\lambda }_{1t}}+k_4{m}_{14}{\text{e}}^{{\lambda }_{2t}},{g^{\prime }}_2\left(t\right)={\text{e}}^{{\lambda }_{1t}}h\left(t\right),$ (13)

其中$h\left(t\right)={\lambda }_1{k}_3{m}_{13}+{\lambda }_2{k}_4{m}_{14}{\text{e}}^{\left({\lambda }_2-{\lambda }_1\right)t}$ 。依据条件2.2可知

$g_2\left(0\right)=d-C^{⊺}{E}_1,{g^{\prime }}_2\left(0\right)={\lambda }_1{k}_3{m}_{13}+{\lambda }_2{k}_4{m}_{14}<0,h\left(0\right)<0,$

并且，当$t\to +\infty$ 时，

$g_2\left(t\right)\to 0.$ (14)

依据$h\left(t\right)$ 的特点，显然当$t>0$ 时，方程$h\left(t\right)=0$ 至多有一个解。首先，如果$t>0$ 时，方程$h\left(t\right)=0$ 没有解，则由于$h\left(0\right)<0$ ，则对于所有的$t>0$ ，${g^{\prime }}_2\left(t\right)<0$ 均成立，可得$g_2\left(t\right)<d-C^{⊺}{E}_1$ 。如果$t>0$ 时，方程$h\left(t\right)=0$ 有唯一解，则假设$\overline{t}>0$ 为此方程的解，可知当$0<t<\overline{t}$ 时，$h\left(t\right)<0$ ，当$t>\overline{t}$ 时，$h\left(t\right)>0$ 。与此同时，由公式(19)可知，函数${g^{\prime }}_2$ 与$h$ 具有相同的单调性，结合公式(18)可得$g_2\left(t\right)<d-C^{⊺}{E}_1$ 。因此

$\left\{{\psi }_{{{\rm A}}_1}\left(t,q_1\right)|t<0\right\}\in S_1.$ (15)

依据条件2.4可知对于所有的T，

${\psi }_{A_2}\left(T,p_1\right)=q_1,$ (16)

令

$g_3\left(t\right)=C^{⊺}\left({\psi }_{{{\rm A}}_2}\left(t,{{\rm P}}_1\right)-E_2\right),$

我们需要证明

$g_3\left(t\right)>d-C^{⊺}{E}_2,t\in \left(0,T\right).$

依据公式(6)可知，

$g_3\left(t\right)=\sqrt{Q_2^2+{\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)}^2}{\text{e}}^{\rho t}\sin \left(\omega t+{\theta }_1\right),$

${g^{\prime }}_3\left(t\right)=\sqrt{Q_2^2+{\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)}^2}{\text{e}}^{\rho t}\left(\omega \cos \left(\omega t+{\theta }_1\right)+\rho \sin \left(\omega t+{\theta }_1\right)\right),$

其中

$Q_2={\nu }_1{m}_{22}-{\nu }_2{m}_{21}+{\nu }_3{m}_{24}-{\nu }_4{m}_{23},$

$\sin {\theta }_1=\frac{d-C^{⊺}{E}_2}{\sqrt{Q_2^2+{\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)}^2}},\cos {\theta }_1=\frac{Q_2}{\sqrt{Q_2^2+{\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)}^2}}.$

由条件2.3可知，当$t=0$ 时，${g^{\prime }}_3\left(t\right)>0$ ，当$t=T$ 时，${g^{\prime }}_3\left(t\right)<0$ 。结合函数$g_3\left(t\right)$ 的特点易得，对于所有的$t\in \left(0,T\right)$ ，当$C^{⊺}{E}_2<d$ 时，$g_3\left(t\right)>d-C^{⊺}{E}_1$ ，其中$T\in \left(0,\frac{\pi }{\omega }\right)$ ；当$C^{⊺}{E}_2=d$ 时，$g_3\left(t\right)>d-C^{⊺}{E}_1$ ，其中$T=\frac{\pi }{\omega }$ ；当$C^{⊺}{E}_2>d$ 时，$g_3\left(t\right)>d-C^{⊺}{E}_1$ ，其中$T\in \left(\frac{\pi }{\omega },\frac{2\pi }{\omega }\right)$ 。因此，可以证明

$\left\{{\psi }_{A_2}\left(t,q_1\right)|t\in \left(0,T\right)\right\}\subset S_2.$ (17)

由定理2.1中的所有不等式，可推得

$C^T\left(A_1{q}_1+a_1\right)={\lambda }_1{k}_3{m}_{13}+{\lambda }_2{k}_4{m}_{14}<0,$

$C^T\left(A_1{p}_1+a_1\right)=\alpha \left(d-C^T{E}_1\right)+\beta \left(k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}\right)>0,$

$C^T\left(A_2{p}_1+a_2\right)=C^T{P}_2{J}_{A_2}{\left({\nu }_1{\nu }_2{\nu }_3{\nu }_4\right)}^T>0,$

$C^T\left(A_2{q}_1+a_2\right)=C^T{P}_2{J}_{A_2}{\left({{\nu }^{\prime }}_1{{\nu }^{\prime }}_2{{\nu }^{\prime }}_3{{\nu }^{\prime }}_4\right)}^T<0,$

根据以上讨论，结合公式(12)、(15)、(16)、(17)可知，定理证明完毕。

定理2.2 假设定理2.1的条件都成立，同时矩阵$A_1$ 的特征值满足$\alpha +\lambda <0$ ，其中$\lambda =\max \left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\right\}$ ，则系统(2)存在一个混沌集。

基于Shilnikov意义下的混沌理论[19]，我们需要选择四个庞加莱截面，并在Γ附近定义由四个子映射组成的庞加莱映射，最终在定理2.2的条件下证明马蹄形的存在性。细节与文献[18]中的类似，为避免赘述，故本文省略。

3. 异宿环的存在性

假设平衡点$E_2$ 有定义，即$E_2\in int\left(S_2\right)$ ，则有

$C^{⊺}{E}_2>d.$

若存在连接$E_1$ 和$E_2$ 的异宿环，则通过$E_2$ 的流形并非全部稳定或全部不稳定。不失一般性，我们假设

${\rho }_1>0,{\rho }_2<0.$

同样地，定义稳定与不稳定流形如下：

$E^u\left(E_2\right)=\left\{E_2+{k^{\prime }}_1{\eta }_1+{k^{\prime }}_2{\eta }_2|{k^{\prime }}_1,{k^{\prime }}_2\in ℝ\right\},$

$E^s\left(E_2\right)=\left\{E_2+{k^{\prime }}_3{\eta }_3+{k^{\prime }}_4{\eta }_4|{k^{\prime }}_3,{k^{\prime }}_4\in ℝ\right\}.$

下面提出一个定理，来预测系统(1)中异宿环的存在性。

定理3.1 假设存在常数$k_1,k_2,k_3,k_4$ ，${k^{\prime }}_1,{k^{\prime }}_{\text{2}},{k^{\prime }}_{\text{3}},{k^{\prime }}_{\text{4}}$ ，使得系统(1)满足下列条件：

条件3.1

$p_1=k_1{\chi }_1+k_2{\chi }_2+E_1={k^{\prime }}_3{\eta }_3+{k^{\prime }}_4{\eta }_4+E_2\in L_1,$

$q_1=k_3{\chi }_3+k_4{\chi }_4+E_1={k^{\prime }}_1{\eta }_1+{k^{\prime }}_2{\eta }_2+E_2\in L_2;$

条件3.2

${\lambda }_1{k}_3{m}_{13}+{\lambda }_2{k}_4{m}_{14}<0,$

$\alpha \left(d-C^{⊺}{E}_1\right)+\beta \left(k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}\right)>0,$

${\rho }_1\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)+\omega \left({k^{\prime }}_1{m}_{22}-{k^{\prime }}_2{m}_{21}\right)<0,$

${\rho }_2\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)+\omega \left({k^{\prime }}_3{m}_{24}-{k^{\prime }}_4{m}_{23}\right)>0;$

条件3.3

${\text{e}}^{-\alpha T_1}{Q}_1\frac{\beta }{\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}}<d-C^{⊺}{E}_1,$

${\text{e}}^{-{\rho }_1{\overline{T}}_1}{\overline{Q}}_1\frac{-\omega }{\sqrt{{\rho }_1{}^2+{\omega }^2}}>d-C^{⊺}{E}_2,$

${\text{e}}^{{\rho }_2{\overline{T}}_2}{\overline{Q}}_2\frac{-\omega }{\sqrt{{\rho }_2{}^2+{\omega }^2}}>d-C^{⊺}{E}_2,$

其中

$Q_1=\sqrt{{\left(d-C^{⊺}{E}_1\right)}^2+{\left(k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}\right)}^2},$

$T_1=\frac{\pi }{\beta }-\frac{1}{\beta }\arcsin \frac{d-C^{⊺}{E}_1}{Q_1}+\frac{1}{\beta }\arctan \frac{\beta }{\alpha },$

${\overline{Q}}_1=\sqrt{{\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)}^2+{\left({k^{\prime }}_1{m}_{22}-{k^{\prime }}_2{m}_{21}\right)}^2},$

${\overline{T}}_1=\frac{\pi }{\omega }+\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{d-C^{⊺}{E}_2}{{\overline{Q}}_1}+\frac{1}{\omega }\arctan \frac{\omega }{{\rho }_1},$

${\overline{Q}}_2=\sqrt{{\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)}^2+{\left({k^{\prime }}_3{m}_{24}-{k^{\prime }}_4{m}_{23}\right)}^2},$

${\overline{T}}_2=\frac{\pi }{\omega }+\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{d-C^{⊺}{E}_2}{{\overline{Q}}_2}-\frac{1}{\omega }\arctan \frac{\omega }{{\rho }_2};$

则系统(1)存在一个连接$E_1$ 与$E_2$ 的异宿环$\Gamma$ 。此外，异宿环$\Gamma$ 与$\Sigma$ 在$p_1$ ，$q_1$ 处横截相交。

证明：已知$\left\{{\psi }_{{{\rm A}}_2}\left(t,p_1\right)|t>0\right\}\subset int\left(S_2\right)$ 。令

$g_4\left(t\right)=C^T\left[{\psi }_{{{\rm A}}_2}\left(t,p_1\right)-E_2\right].$

下面我们转为证明：对于任意大于零的t，都有$g_4\left(t\right)>d-C^T{E}_2$ 成立，结合公式(6)可知，

$g_4\left(t\right)={\text{e}}^{{\rho }_{2}t}{\overline{Q}}_2\sin \left(\omega t+{\theta }_2\right),$

其中

${\overline{Q}}_2=\sqrt{{\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)}^2+{\left({k^{\prime }}_3{m}_{24}-{k^{\prime }}_4{m}_{23}\right)}^2},$

$\sin \theta =\frac{d-C^{⊺}{E}_2}{{\overline{Q}}_2},\cos \theta =\frac{{k^{\prime }}_3{m}_{24}-{k^{\prime }}_4{m}_{23}}{{\overline{Q}}_2}.$

对于函数$g_4\left(t\right)$ 来说，它的一阶导数和二阶导数分别为

${g^{\prime }}_4\left(t\right)={\text{e}}^{{\rho }_{2}t}{\overline{Q}}_2\left[{\rho }_2\sin \left(\omega t+{\theta }_2\right)+\omega \cos \left(\omega t+{\theta }_2\right)\right],$

${g^{″}}_4\left(t\right)={\text{e}}^{{\rho }_{2}t}{\overline{Q}}_2\left[2{\rho }_2\omega \cos \left(\omega t+{\theta }_2\right)+\left({\rho }_2^2-{\omega }^2\right)\sin \left(\omega t+{\theta }_2\right)\right],$

类似于分析函数$g_1\left(t\right)$ 的方法，我们可以得到

$g_4\left(0\right)=d-C^{⊺}{E}_2,{g^{\prime }}_4\left(0\right)>0,$

$g_4\left(t_{4{\overline{k}}_0}\right)>\cdots >g_1\left(t_{41}\right)>d-C^{⊺}{E}_2,$

其中

${\overline{T}}^{\prime }=\frac{1}{{\rho }_2}\ln \frac{\epsilon }{{\overline{Q}}_2},\overline{I}=\left[\epsilon /2,{\overline{T}}^{\prime }+\frac{2\pi }{\omega }\right],$

$t_{4\overline{k}}=-\frac{1}{\omega }\arctan \frac{\omega }{{\rho }_2}+\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{d-C^{⊺}{E}_2}{{\overline{Q}}_2}+\frac{k\pi }{\omega }\in \overline{I},\overline{k}=1,2,\cdots ,\left[\omega {\overline{T}}^{\prime }/\pi \right]={\overline{k}}_0,$

这就证明了

$\left\{{\psi }_{{{\rm A}}_2}\left(t,p_1\right)|t>0\right\}\subset int\left(S_2\right).$ (18)

同样地，亦得

$\left\{{\psi }_{{{\rm A}}_2}\left(t,q_1\right)|t<0\right\}\subset int\left(S_2\right).$ (19)

依据定理2.1的证明过程，可得

$\left\{{\psi }_{{{\rm A}}_1}\left(t,q_1\right)|t>0\right\}\subset int\left(S_1\right),$ $\left\{{\psi }_{{{\rm A}}_1}\left(t,p_1\right)|t<0\right\}\subset int\left(S_1\right).$ (20)

结合公式(18)~(20)，即可得到结论：考虑的系统具有一条连接$E_1$ 与$E_2$ 的异宿环$\Gamma$ 。此时，依据定理3.1中的不等式可直接得到结论

$C^{⊺}\left({{\rm A}}_1{p}_1+a_1\right)C^{⊺}\left({{\rm A}}_2{p}_1+a_2\right)>0,C^{⊺}\left({{\rm A}}_1{q}_1+a_1\right)C^{⊺}\left({{\rm A}}_2{q}_1+a_2\right)>0,$

这说明异宿环$\Gamma$ 横截$\Sigma$ 于$p_1,q_1$ 。

根据定理2.3，系统(1)至少存在一个异宿环。受Shilnikov证明混沌的思想[19]启发，需要选择合适的庞加莱截面，并在该异宿环的小邻域内构造由六个子映射组成的庞加莱映射。进一步地，通过分析该构造映射的性质，可以得到系统(1)存在混沌集(马蹄形)。

4. 数值算例

为了证明本文所给出的定理的有效性，下面给出两个算例。

4.1. 算例一

考虑如下系统

$\dot{{\rm X}}={{\rm A}}_{\varphi \left({\rm X}\right)}{\rm X}+a_{\varphi \left({\rm X}\right)},$ (21)

其中$c_1=1$ ，$c_2=c_3=c_4=d=0$ ，

${{\rm A}}_1=\left(\begin{array}{cccc}-\frac{79}{6}& \frac{169}{3}& -50& -\frac{68}{3}\\ -\frac{61}{6}& \frac{79}{3}& -16& -\frac{107}{3}\\ -\frac{7}{2}& -\frac{15}{2}& \frac{9}{2}& -9\\ -\frac{20}{3}& \frac{233}{6}& -\frac{51}{2}& -\frac{95}{3}\end{array}\right),{{\rm A}}_2=\left(\begin{array}{cccc}\varpi & 5& 5& 20\\ -5& \varpi & 20& -5\\ 0& 0& \varpi & 5\\ 0& 0& -5& \omega \end{array}\right),$

$a_1={\left(\begin{array}{cccc}424& \frac{3622}{25}& -\frac{1399}{25}& \frac{6421}{25}\end{array}\right)}^{⊺},$

$a_2={\left(\begin{array}{cccc}-\frac{1266}{15}& -\frac{2354}{15}& -\frac{626\varpi -750}{75}& \frac{626-30\varpi }{15}\end{array}\right)}^{⊺},$

而$\varpi =-\frac{5}{\pi }\ln 2$ 。

经过计算，可得系统的平衡点为

$E_1={\left(\begin{array}{cccc}-8& 0& \frac{242}{25}& 2\end{array}\right)}^T{}^{},E_2={\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \frac{626}{75}& 2\end{array}\right)}^T,$

可逆矩阵为

$P_1=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& -2& 2\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right),P_2=\left(\begin{array}{cccc}-1& 4& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right).$

进一步，将矩阵$A_1,A_2$ 转化为若当标准型，可得

$J_{A_1}=\left(\begin{array}{cccc}0.5& -20& 0& 0\\ 20& 0.5& 0& 0\\ 0& 0& -5& 0\\ 0& 0& 0& -10\end{array}\right),J_{A_2}=\left(\begin{array}{cccc}\varpi & -5& 0& 0\\ 5& \varpi & 0& 0\\ 0& 0& \varpi & -5\\ 0& 0& 5& \varpi \end{array}\right),$

选取

$k_1=-4,k_2=4,k_3=-2,k_4=2,T=\frac{\pi }{5},v_1=4,v_2=-\frac{8}{3},$

$v_3=-\frac{44}{3},v_4=0,{v^{\prime }}_1=-2,{v^{\prime }}_2=\frac{4}{3},{v^{\prime }}_3=\frac{22}{3},{v^{\prime }}_4=0,$

可得点

$p_1={\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \frac{142}{25}& 6\end{array}\right)}^T,q_1={\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \frac{242}{25}& 0\end{array}\right)}^T.$

很容易即可验证

${\lambda }_1{k}_3{m}_{13}+{\lambda }_2{k}_4{m}_{14}=-60<0,$

$-\alpha \left(d-C^T{E}_1\right)-\beta \left(k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}\right)=-4<0,$

${\text{e}}^{J_{A_2}T}{\left(\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& v_3& v_4\end{array}\right)}^T={\left(\begin{array}{cccc}{v^{\prime }}_1& {v^{\prime }}_2& {v^{\prime }}_3& {v^{\prime }}_4\end{array}\right)}^T,$

$Q_{1}M{\text{e}}^{\alpha T_1}=6.8392<d-C^T{E}_1=8,$

$\rho \left(d-C^T{E}_2\right)+\omega Q_2=66.6667>0,$

$\rho \left(d-C^T{E}_2\right)+\omega Q_3=-33.3333<0.$

根据定理2.1，可得系统(21)存在一个连接$E_1$ 并横截$\Sigma$ 于$p_1,q_1$ 的同宿环$\Gamma$ 。图1为$\Gamma$ 的三维投影，此外，根据定理2.2，系统(21)具有混沌，如图2所示。

(a) (b)

(c) (d)

Figure 1. The 3D projection of the homoclinic cycle Γ for system (21) in: (a) $x_1-x_2-x_3$ space; (b) $x_1-x_2-x_4$ space; (c) $x_1-x_3-x_4$ space; (d) $x_2-x_3-x_4$ space

图1. 系统(21) Γ同宿环的三维投影：(a) $x_1-x_2-x_3$ 空间；(b) $x_1-x_2-x_4$ 空间；(c) $x_1-x_3-x_4$ 空间；(d) $x_2-x_3-x_4$ 空间

(a) (b)

(c) (d)

Figure 2. The 3D projection of chaos for system (21) in: (a) $x_1-x_2-x_3$ space; (b) $x_1-x_2-x_4$ space; (c) $x_1-x_3-x_4$ space; (d) $x_2-x_3-x_4$ space

图2. 系统(21)混沌的三维投影在：(a) $x_1-x_2-x_3$ 空间；(b) $x_1-x_2-x_4$ 空间；(c) $x_1-x_3-x_4$ 空间；(d) $x_2-x_3-x_4$ 空间

4.2. 算例二

考虑如下系统

$\dot{X}=B_{\varphi \left(X\right)}X+b_{\varphi \left(X\right)},$ (22)

其中$C^{⊺}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right)$ ，$d=1$ ，

$\varphi \left(X\right)=\{\begin{array}{l}1,X\in S_1=\left\{X|C^{T}X\le 1\right\},\\ 2,X\in S_2=\left\{X|C^{T}X>1\right\}\text{,}\end{array}$

$B_1=\frac{1}{520}\left(\begin{array}{cccc}1852& 5518& -3448& -4801\\ -5784& 9816& -4908& -9144\\ 20832& 4764& -12860& -5854\\ -2256& 13344& -4072& -16696\end{array}\right),$

$B_2=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cccc}-11& -22& 16& -109\\ 58& 56& 13& -28\\ 85& 170& 73& -85\\ 172& 224& 142& -232\end{array}\right),$

$b_1=\frac{1}{520}{\left(\begin{array}{cccc}-14646& -33888& -16596& -43792\end{array}\right)}^{⊺},$

$b_2=\frac{1}{6}{\left(\begin{array}{cccc}301& -359& -668& -986\end{array}\right)}^{⊺}.$

通过计算，系统的平衡点为

$E_1={\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& -2& -2\end{array}\right)}^{⊺},E_2={\left(\begin{array}{cccc}5& 2& 1& 2\end{array}\right)}^{⊺},$

可逆矩阵为

$P_1=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 3& 0& 2& 6\\ 1& 2& 6& 0\\ 2& 0& 0& 12\end{array}\right),P_2=\left(\begin{array}{cccc}-1& -2& -2& -2\\ \frac{3}{2}& 0& 1& 0\\ \frac{1}{2}& 2& 0& 0\\ 1& 0& 0& -2\end{array}\right).$

将矩阵$B_1,B_2$ 转化为相应的若当标准型可得

$J_{B_1}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{3}{10}& -10& 0& 0\\ 10& \frac{3}{10}& 0& 0\\ 0& 0& -15& 0\\ 0& 0& 0& -20\end{array}\right),J_{B_2}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}& -10& 0& 0\\ 10& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& -10& -10\\ 0& 0& 10& -10\end{array}\right).$

选取参数

$k_1=1,k_2=1,k_3=1,k_4=\frac{1}{2},{k^{\prime }}_1=2,{k^{\prime }}_2=1,{k^{\prime }}_3=1,{k^{\prime }}_4=2,$

可得

$p_1={\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\end{array}\right)}^{⊺},$ $q_1={\left(\begin{array}{cccc}1& 5& 4& 4\end{array}\right)}^{⊺}.$

接着就可以得到

${\lambda }_1{k}_3{m}_{13}+{\lambda }_2{k}_4{m}_{14}=-35<0,$

$\alpha \left(d-C^{⊺}{E}_1\right)+\beta \left(k_1{m}_{12}-k_2{m}_{11}\right)=\frac{6}{10}>0,$

${\rho }_1\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)+\omega \left({k^{\prime }}_1{m}_{22}-{k^{\prime }}_2{m}_{21}\right)=-32<0,$

${\rho }_2\left(d-C^{⊺}{E}_2\right)+\omega \left({k^{\prime }}_3{m}_{24}-{k^{\prime }}_4{m}_{23}\right)=40>0,$

${\text{e}}^{-\alpha T_1}{Q}_1\frac{\beta }{\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}}=\frac{1444}{793}<2=d-C^{⊺}{E}_1,$

${\text{e}}^{-{\rho }_1{\overline{T}}_1}{\overline{Q}}_1\frac{-\omega }{\sqrt{{\rho }_1{}^2+{\omega }^2}}=\frac{-2560}{732}>-4=d-C^{⊺}{E}_2,$

${\text{e}}^{{\rho }_2{\overline{T}}_2}{\overline{Q}}_2\frac{-\omega }{\sqrt{{\rho }_2{}^2+{\omega }^2}}=\frac{-367}{1369}>-4=d-C^{⊺}{E}_2.$

依据根据定理3.1，系统(22)存在一个连接$E_1$ 和$E_2$ 的异宿环$\Gamma$ ，该异宿环与$\Sigma$ 横截相交于$p_1$ 和$q_1$ ，如图3所示。此外，根据文献[19]的算法，系统(22)具有混沌吸引子，其Lyapunov指数为$L_1=0.1892$ ，$L_2=0.0000$ ，$L_3=-0.5032$ ，$L_4=-3.4781$ 。系统(22)的混沌集如图4所示。

(a) (b)

(c) (d)

Figure 3. 3D projection of the heteroclinic cycle Γ for system in: (a) $x_1-x_2-x_3$ space; (b) $x_1-x_2-x_4$ space; (c) $x_1-x_3-x_4$ space; (d) $x_2-x_3-x_4$ space

图3. 系统(22)异宿环Γ的三维投影：(a) $x_1-x_2-x_3$ 空间；(b) $x_1-x_2-x_4$ 空间；(c) $x_1-x_3-x_4$ 空间；(d) $x_2-x_3-x_4$ 空间

(a) (b)

(c) (d)

Figure 4. The 3D projection of chaos for system (22) in: (a) $x_1-x_2-x_3$ space; (b) $x_1-x_2-x_4$ space; (c) $x_1-x_3-x_4$ space; (d) $x_2-x_3-x_4$ space

图4. 系统(22)混沌的三维投影在：(a) $x_1-x_2-x_3$ 空间；(b) $x_1-x_2-x_4$ 空间；(c) $x_1-x_3-x_4$ 空间；(d) $x_2-x_3-x_4$ 空间

5. 结论

本文研究了一类四维非光滑系统中的同宿环、异宿环和混沌现象，而现有研究大多关注低维分段光滑系统。本文提出的检测方法也适用于预测其他更高维数、多区域的非光滑系统中的同宿环和异宿环。此外，本文提出了精确定位同宿环和异宿环的判据，并对其存在性进行了严格的证明。进一步地，建立了由该特殊环产生的混沌的充分条件。最后，本文通过两个例子验证了所得结果的正确性和所提方法的有效性。

致 谢

感谢徐文静老师、祃海霞老师的细心指导以及在论文撰写过程中所给予的帮助。

基金项目

河北省高等学校科学研究项目(BJ2025180)。

NOTES

^*通讯作者。