HPM视角：“弧田术”在数学教学中的应用研究

HPM Perspective: Research on the Application of “Hutian Shu” in Mathematics Education

摘要: 文章探讨了数学史与数学教育(HPM)在中小学教学中的应用，以“弧田术”——中国古代计算弓形面积的方法为例进行分析。“弧田术”对后世的弧矢割圆术产生了影响，在数学和天文史中具有重要意义。通过深入剖析，发现“弧田术”的构造原理除了运用“出入相补”原理外，还采用了插值法。这一发现表明，“弧田术”能够有效地将数学史融入教学中，激发学生的学习兴趣，帮助他们深入理解数学知识，发展思维能力，并提升数学文化素养，可为中小学数学教育提供参考。

Abstract: This paper explores the application of the History and Pedagogy of Mathematics (HPM) in primary and secondary school education, using “Hutian Shu”—an ancient Chinese method for calculating the area of a circular segment as a case study. “Hutian Shu” has influenced later arc and chord division techniques and holds significant importance in the history of mathematics and astronomy. Through in-depth analysis, this paper reveals that the construction principle of “Hutian Shu” employs not only the principle of complementary areas but also interpolation methods. This discovery indicates that “Hutian Shu” can effectively integrate the history of mathematics into teaching, stimulating students’ interest in learning, aiding in their deep understanding of mathematical knowledge, developing their thinking abilities, and enhancing their mathematical cultural literacy, providing valuable teaching references for primary and secondary school mathematics education.

1. 引言

数学史与数学教育(History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM)是中小学数学教学中广泛采用的方法。它不仅能激发学生对数学的兴趣，帮助学生深入理解数学知识，而且致力于培养学生的思维能力，并显著提升学生的文化素养[1]-[4]。李铁安强调，从数学史的角度审视数学，对理解数学教育具有启发性，将数学史有机融入数学教育是新课程理念的重要组成部分[5]。

《九章算术》在中国古代数学史上占据着举足轻重的地位，其对后世数学的发展和教育产生了深远的影响。作为HPM相关研究中的关键文献，它在中小学教材中常以“阅读材料”的形式出现[6] [7]。

《九章算术》中的“弧田术”给出了计算弓形面积的方法，刘徽则对这一方法进行了改进，提出一种更为精确的方法，在弓形内以弦为底作等腰三角形，通过逐步增加三角形的数量，使计算结果逐渐逼近真实的弓形面积[8]。现代学者程廷熙在刘徽“弧田术”的基础上推导出了近似公式[9]，而曲安京则分析了“弧田术”的构造原理，进一步丰富了这一领域的研究[10]。本文将从HPM的角度探讨《九章算术》中的“弧田术”，通过对“弧田术”的深入分析，为中小学数学教育提供参考和启示。

2. “弧田术”基本介绍

弧田，是一种形状为弓形(本文均指圆弓形)的田地。“弧田术”是中国古代计算弓形面积的一种近似公式(参见图1中弓形ABC)。

Figure 1. Schematic diagram of “Hutian Shu”

图1. “弧田术”示意图

《九章算术》方田章记载了“弧田术”[8]：

以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

这句话是说，将弦(弓形的底)的长度乘以矢(即弓形的高)，然后将矢的长度自相乘，把这两个结果相加，最后将总和除以二，得到的结果就是弓形的面积。

用现代数学公式表述“弧田术”：在弓形ABC中，弓形的底即“弧田术”中的“弦”(AC)，高即“弧田术”中的“矢”(BD)，记AC = 2a，BD = d (如图1)。则“弧田术”所述弓形面积计算公式可表达为[11]：

$S=\frac{1}{2}\left(2ad+d^2\right)$ .

为了方便理解，下面通过实例来解释这一公式：若弓形的弦为8米，矢为2米，那么通过“弧田术”的计算公式可以得到弓形的面积约为10平方米。

在为《九章算术》作注时，刘徽已经指出“弧田术”是一个近似公式，并提出了新的算法，旨在提供更高精度的计算方法[10]。需要指出的是，尽管“弧田术”仅是一个近似公式，但它在中国古代数学史和天文历法史中具有重要影响，成为沈括“会圆术”和郭守敬“弧矢割圆法”的基础[12]。“弧田术”解决了弓形面积的计算问题，而在后续的相关算法中，这一问题转化为处理圆弧长度的计算，为解决三角函数问题提供了一种替代方法。鉴于“弧田术”的重要学术价值，后文将深入剖析“弧田术”的精度以及构造原理等问题，并探讨其在HPM中的价值。

3. “弧田术”精度分析

“弧田术”提供了计算弓形面积的近似公式。为了说明其精度，我们将使用数学工具进行量化分析。

讨论“弧田术”的计算精度时，我们首先限定弓形对应的半圆心角范围为30˚ ≤ α ≤ 90˚，在图1中，记弓形ABC的圆心角为∠AOC = 2α。这样选择的原因是：一方面，优弧弓形与对应的劣弧弓形面积之和等于圆的面积，因此我们只需分析劣弧弓形面积的计算精度；另一方面，当圆心角小于某一特定阈值时，弓形的形状趋于狭长，更接近于三角形，因此，此处对圆心角较小的弓形面积问题不讨论。

现代计算弓形面积S₀需要在给定半圆心角α的情况下，用扇形ABC的面积减去三角形AOC的面积来计算得出，其计算公式如下：

$S_0=\frac{\alpha }{{180}^{\circ }}\pi r^2-\frac{1}{2}{r}^2\sin 2\alpha$

其中，π表示圆周率，但是我们这里的讨论需要考虑到，《九章算术》把圆周率的值选取为3。令弓形所对应圆的半径r为单位1。

同时，我们利用三角函数表示出“弧田术”公式中所需要的底(2a)和高(d)的值，其中

$2a=2r\sin \alpha$ , $d=r-r\cos \alpha$ .

然后，应用“弧田术”公式计算出弓形的近似面积S，并将其与弓形的理论面积S₀进行比较，以此进行“弧田术”公式的精度分析。

如表1所示，我们列出了30˚ ≤ α ≤ 90˚范围内间隔10˚的弓形的理论面积S₀、根据“弧田术”计算出面积S、以及两者的绝对误差和相对误差。

Table 1. Precision analysis of “Hutian Shu”

表1. “弧田术”精度分析

α	理论面积S0	“弧田术”面积S	绝对误差	相对误差
30˚	0.067	0.076	−0.009	−13.4%
40˚	0.174	0.178	−0.003	−2.0%
50˚	0.341	0.337	0.003	1.0%
60˚	0.567	0.558	0.009	1.6%
70˚	0.845	0.835	0.011	1.2%
80˚	1.162	1.155	0.007	0.6%
90˚	1.500	1.500	0.000	0.0%

以上分析表明，“弧田术”的相对误差在40˚ ≤ α ≤ 90˚范围内，均低于2%，显示出较高的精度。这表明在此范围内，“弧田术”是一个有效的面积计算近似公式。如前文所述，对于小角度圆心角所对应的弓形，可以近似看作三角形。因此，在需要使用“弧田术”进行计算的弓形中，该公式的近似计算是有效的。

4. “弧田术”的构造方法

深入分析“弧田术”的案例，还需要关注“弧田术”的构造原理，即古人是如何得到这一近似公式的。学者们认为“弧田术”构造过程中采用了“出入相补”原理。这个原理是中国古代数学对面积计算常用的数学方法与思想，由吴文俊提出，其核心观点为：“一个平面图形从一处移置他处面积不变。又若把图形分割成若干块那么各部分面积的和等于原来图形的面积。因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。”[13]

运用“出入相补”原理构造“弧田术”公式的具体步骤如下：对于弓形ABC，选取其高BD的中心点G，构造矩形ACC'A'和矩形EFF'E' (如图2所示)，矩形的宽度均为BD的一半d/2，矩形ACC'A'的长度为2a，将矩形EFF'E'的长度限定为d。通过计算这两个矩形的面积，我们可以得到它们的面积之和：

$S^{\prime }=ad+\frac{1}{2}{d}^2$

根据“广义”的“出入相补”原理，我们可以将弓形的面积“近似”为这两个矩形面积的总和，从而得到弓形面积的近似公式。通过与“弧田术”的公式对比，我们发现两者是一致的，学者们认为以上就给出了“弧田术”的构造原理。

Figure 2. Constructing “Hutian Shu”

图2. 构造“弧田术”

然而，以上的解释之中存在一个疑点：矩形EFF'E'长边的长度原先被简单地设定为d，并未给出合理的解释。我们可以考虑将这一长度设为kd，其中k是一个待定的比例系数，这样，我们可以根据具体的几何关系来确定k的值，使得矩形ACC'A'和矩形EFF'E'的面积和更接近于弓形ABC的实际面积。矩形ACC'A'和矩形EFF'E'的面积和为：

${S^{\prime }}_1=ad+\frac{1}{2}k{d}^2$

同时，由于半圆形是一种特殊的弓形，古人会通过验证半圆的情况来考察“弧田术”的公式构造，因此我们同样可以考察这一公式在半圆形情况下的计算。

在中国古代圆的面积计算中，圆周率π的值被取为3。对于半径为1的单位圆，利用圆的面积公式$S_{\odot }=\pi r^2$ 可以算得圆的面积为3，则半圆的面积为3/2。根据我们给出的公式S'₁，在半圆的情况下，其面积应该为3/2。公式中的半弦a和矢d在弓形对应半圆的情况下取值都为半径长，值为1，将这些数值代入公式${S^{\prime }}_1$ 中：

$\frac{3}{2}=1\times 1+\frac{1}{2}k\times 1^2$

我们可以算得k的值为1。当k = 1时，公式S'₁正好对应弧田术公式中的系数，这样就可以得到古人给出的“弧田术”公式，并且解决了上面的关于矩形EFF'E'长边的长度，以及为何限定为“d”的疑问。

计算得到的k值为1并非偶然，这表明古人在构造“弧田术”算法时，很可能不仅运用了“出入相补”原理，还采用了插值法的思路。这种确定k值的方法，现在我们可以称为待定系数法，在中国古代这一方法统称为插值法，它可以理解为通过已知点的情况来求取其他未知点的值的方法。在本例中，即通过插入一个矩形修正项EFF'E'来表示弓形ABC与三角形ABC的差。无论是在数学史还是天文历法史上，插值法都有着重要的应用，这一数学方法和思想具有深远的意义[14]。

综上所述，我们了解到“弧田术”的构造方法是结合了“出入相补”和插值法的思路。首先，根据“出入相补”原理得到弓形面积的近似计算公式S'₁。然后，为了确定其中的未确定系数k，采用插值法的思路，特别是通过考察半圆形这种特殊弓形的面积，得到k值为1。最终，将公式确定为S，从而得到了“弧田术”的公式。

4. HPM与“弧田术”

HPM与弧田术的联系可从以下四个方面进行介绍，具体分析如下：

其一，“弧田术”作为一种面积计算方法，用于弓形面积的求解。在现代数学中，我们通常通过计算扇形面积减去三角形面积来得到弓形面积。教学中引入“弧田术”案例，有助于学生理解中国古代数学家在面积计算方面的实际田地计算问题及其解决方法，同时加深对“弓”、“矢”、“弦”、“弧”等几何概念的理解。这种方法能够将学生置于历史情境中，增强他们对数学学习的兴趣，并激发对数学学科的热爱。

其二，“弧田术”所采用的近似计算方法与现代精确计算方案形成对比。在教学过程中，除了教授精确的面积计算公式，还可以引入近似算法，如“弧田术”，作为解决实际问题的案例。这种方法不仅能够培养学生的问题解决能力，而且通过展示数学发展的渐进性，让学生理解科学进步是一个逐步克服挑战的过程，从而减少他们对数学的畏惧感，并激发他们勇于探索和解决问题的精神。

其三，在推导“弧田术”中运用的“出入相补”原理，是中国古代解决面积计算问题的传统方法，对于解决众多重要数学问题具有启发性。在面积计算的教学中，可以引入“出入相补”原理，并结合“弧田术”案例，具体讲解其解决方案。这种方法不仅能够加深学生对“出入相补”原理的理解，而且能够提高他们的创新思维能力。

其四，“弧田术”推导中采用了插值法的思想，这是中国古代数学和天文历法中的重要思想方法，也是解决数值问题的普遍方法。教学中可以将这一内容与现代待定系数法相结合，通过“弧田术”案例讲解计算操作和原理，帮助学生理解数学方法的应用，并提高他们运用数学方法解决问题的能力。

5. “弧田术”的教学设计

在弧长和扇形面积学习的巩固阶段，需要借助“出入相补”原理和“弧田术”公式，增强学生对扇形概念以及扇形面积公式的理解，引导学生层层递进地理解扇形与弧形的关系，下面是引入“弧田术”的教学活动：

问题1：我们已经学习了扇形的相关概念，为了巩固大家的理解，我们一起来看下面这样一道题目：下面是一块草坪，每个小方格的边长为1米，请你估算一下这块草坪(如图3)的面积。

Figure 3. Lawn

图3. 草坪

师生活动：学生通过数格子来确定扇形草坪的面积，其中一个小方格的面积为1平方米。草坪中共有4个整方格，共4平方米，其余8个不够整方格，总面积为：$\left(1+1\right)+4÷2=4$ (平方米)。因此这块草坪的面积大约是8平方米。

设计意图：通过让学生回忆旧知引入新的知识点，为用公式求弧田面积作铺垫。

问题2：《九章算术》作为我国古代数学的杰出成就之一，其《方田》篇章中涉及了弧田面积的计算方法。该方法描述为：将弦长与矢长相乘，然后将矢长平方，将这两个乘积相加后除以2。其公式为：

$弧田面�=\frac{\left(弦\times 矢+矢\times 矢\right)}{2}$

所谓弧田，是由圆弧及其两端点连线所围成的平面图形。在公式中，“弦”代表弧田弦的长度，而“矢”则是圆的半径减去圆心到弧田弦的垂直距离。假设有一个弧田(如图4)，其弦长AC为6米，矢BD为2米，用上述弧田面积计算公式代入弦长和矢长，你能计算得到弧田的面积吗？

Figure 4. Hutian

图4. 弧田

师生活动：学生思考，尝试计算弧田面积，得出弧田面积为8平方米，回答问题，教师关注学生对“弓”、“矢”、“弦”、“弧”等几何概念的理解以及对弧田公式理解的准确性。

问题3：通过上面两个例题，你能学习到什么？

师生活动：学生讨论两者联系，教师启发学生两个例题之间的关联性，讲解“弧田术”这一近似算法在中国古代的应用。

设计意图：深入理解“出入相补”原理，通过实例引起学生兴趣，进而增强学生对《九章算术》中古算题的理解和应用能力。

6. 结论

本文基于对“弧田术”这一中国古代数学案例进行分析，研究表明，该方法融合了“出入相补”原理与插值法，这两种方法均为古代数学中的重要工具与思想。探讨了“弧田术”与HPM之间的紧密联系，强调了将这一古代数学方法纳入现代数学教育的必要性。

通过设计具体的教学方案，提出将“弧田术”融入HPM教学的策略，旨在通过实践活动将“弧田术”与教学相结合，让学生在了解中国古代数学成就的同时，增强对数学概念的理解和应用能力。这种融合不仅丰富了数学教育的内容，也为传承和弘扬中国传统文化提供了新的途径，同时为数学教学注入了新的活力，开拓了学生的视野。因此，本研究认为“弧田术”作为HPM教学的宝贵素材，可以融入到中小学数学教学中。

致 谢

感谢西北大学赵继伟副教授对本文写作提出的宝贵建议。