有限维空间中逆变分不等式的性质及应用

The Properties and Applications of the Inverse Variational Inequalities in Finite-Dimensional Space

摘要: 逆变分不等式在经济、管理和交通网络等领域都有着重要的应用。本文运用压缩映像原理证明了Lipschitz连续和强单调条件下有限维空间中逆变分不等式解的存在唯一性，并且以春节前后为疏散人流对不同的日子确定不同的合理票价问题为例，给出了逆变分不等式在交通领域的应用。

Abstract: The inverse variational inequality has important applications in fields such as economics, management, and transportation networks. In this paper, the existence and uniqueness of the solution to the inverse variational inequality in a finite-dimensional space under the conditions of Lipschitz continuity and strong monotonicity are proved using the compression mapping principle. An example is given to illustrate the application of the inverse variational inequality in the field of transportation, where the reasonable ticket prices for dispersing passenger flow during the Spring Festival period are determined for different days based on the inverse variational inequality.

1. 前言

1.1. 研究背景

1933年，Signorini研究了一个物理学方面的问题，变分不等式由此被导出。20世纪60年代初，Guido Stampacchia等探讨自由边界问题时第一次正式用到了变分不等式。从那个时候起，数学界的学者们对变分不等式的一系列研究就开始了。

变分不等式发展至今已经有了很多推广，Hartman-Stampacchia变分不等式：设$K$ 是${ℝ}^n$ 中的一个有界闭凸集，$B:K\to {ℝ}^n$ 是一个连续映像，求$u\in K$ 使得

$\langle B\left(u\right),v-u\rangle \ge 0,\forall v\in K,$

它是Hartman和Stampacchia [1]在1966年创立变分不等式理论的时候研究的第一个变分不等式。张石生在[2]和[3]中对变分不等式以及与其相关的一些理论和问题进行了系统的介绍。韩渭敏等在[4]中对变分不等式的基本理论进行了详细的介绍，除此之外，还对相关数值方法进行了说明。

2006年，He等在[5]和[6]中第一次介绍并研究了有限维空间中的可逆变分不等式：设$\Omega$ 是${ℝ}^n$ 中的非空闭凸集，$f$ 是从${ℝ}^n$ 到自身的一个映射，求$x\in {ℝ}^n$ ，使得

$f\left(x\right)\in \Omega ,{\left(f^{\prime }-f\left(x\right)\right)}^{\text{T}}x\ge 0,\forall f^{\prime }\in \Omega ,$

从此，逆变分不等式受到越来越多的学者的关注。

逆变分不等式作为一种数学工具，在经济学、资源分配、交通拥堵管理等领域有着广泛的应用。在经济学领域，市场均衡问题涉及供需双方的交互作用，逆变分不等式可以用来描述和求解这种均衡状态。通过逆变分不等式，可以找到市场均衡点，即在这一点上，供给和需求达到平衡。在资源分配问题中，逆变分不等式可以用来描述资源分配的优化问题。资源分配涉及如何在不同的个体或部门之间分配有限的资源，以实现最优的经济效益或社会效益。逆变分不等式可以帮助确定资源分配的最优解，即在满足一定约束条件下，实现资源利用的最大化或成本的最小化。逆变分不等式在交通拥堵管理中的应用主要体现在交通流量控制和交通网络均衡问题上。通过逆变分不等式，可以描述和求解交通网络中的均衡流量问题，即在网络中的每条道路上，车辆的流量达到一个稳定状态，没有车辆愿意改变其行驶路径。这有助于优化交通流量，减少交通拥堵，提高道路使用效率。

2010年，He等在[7]中讨论了一类规范控制问题，该问题要求网络平衡状态处于线性约束集中，作者将这类问题表述为逆变分不等式，逆变分不等式中的映射的显式形式通常无法被表达出来，并且只能通过外部评估或直接观察获得有关函数值的隐式信息，因此，作者提出了线性约束隐式变分不等式公式和基于PPA的求解方法，该方法仅需要求解过程中给定变量的函数值，发展了解变分不等式的基本算法。

2008年，Yang在[8]中考虑了通过对电价进行调整从而将电网负荷控制在最理想的范围内的问题，并通过发展型可逆变分不等式：设$\Omega$ 是${ℝ}^n$ 中的非空闭凸集，$f$ 是从${ℝ}^n$ 到自身的一个映射，求$x\in {ℝ}^n$ ，使得

$f\left(x^{*}\right)\in \Omega ,{\left(y-f\left(x^{*}\right)\right)}^{\text{T}}{x}^{*}\ge 0,\forall y\in \Omega ,$

对此问题进行了描述。

2014年，Barbagallo和Mauro在[9]中利用逆变分不等式研究了动态市场均衡的问题，探讨了生产和需求过剩的可能性。利用无限维对偶理论给出了企业均衡的定义，并在此基础上定义了最优调节税。给出了一个数值格式，以求当存在过剩时，决策者对动态寡头市场均衡问题建模的逆变分不等式的均衡解，并给出了一个数值例子。

1.2. 本文主要工作

本文的主要工作是证明逆变分不等式解的存在唯一性，并给出逆变分不等式在交通领域的应用实例，组织结构如下：

在第一章介绍了逆变分不等式的研究背景。

第二章是论文所需的预备知识，对研究过程中以及论文撰写过程中需要用到的相关定义和相关引理进行了介绍，并对这些定义和引理的来源进行了标注。

第三章是逆变分不等式的性质，这是论文中最重要的一个部分，对逆变分不等式解的存在唯一性进行了研究，给出了对应的定理，并且对给出的定理进行了证明。

第四章是介绍逆变分不等式的应用，以春节前后为疏散人流，对不同的日子确定不同的合理票价问题为例，给出了逆变分不等式在交通领域的应用。

2. 预备知识

2.1. 相关定义

记${ℝ}^n$ 是一个有限维实数空间，用$\Vert ·\Vert$ 来表示空间${ℝ}^n$ 上的范数，用$\stackrel{s}{\to }$ 来表示强收敛。

定义2.1 [5]：设$\Omega$ 是${ℝ}^n$ 中的非空闭凸集，$f$ 是从${ℝ}^n$ 到自身的一个映射，关于$x$ 的变分不等式$VI\left(\Omega ,f\right)$ 是求一个$x\in {ℝ}^n$ ，使得

$x\in \Omega ,{\left(\tilde{x}-x\right)}^{\text{T}}f\left(x\right)\ge 0,\forall \tilde{x}\in \Omega \text{.}$ (1)

定义2.2 [5]：关于$x$ 的逆变分不等式$IVI\left(\Omega ,f\right)$ 是求一个$x\in {ℝ}^n$ ，使得

$f\left(x\right)\in \Omega ,{\left(\tilde{f}-f\left(x\right)\right)}^{\text{T}}x\ge 0,\forall \tilde{f}\in \Omega ;$ (2)

关于$x$ 的逆变分不等式$IVI{\left(\Omega ,f\right)}_L$ 是求一个$x\in {ℝ}^n$ ，使得

$f\left(x\right)\in \Omega ,{\left(\tilde{f}-f\left(x\right)\right)}^{\text{T}}x\le 0,\forall \tilde{f}\in \Omega \text{.}$ (3)

定义2.3 [10]：设映射$f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ ，则

1) 称$f$ 是单调的，如果成立

${\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)}^{\text{T}}\left(x-y\right)\ge 0,\forall x,y\in {ℝ}^n$ ; (4)

2) 称$f$ 是严格单调的，如果成立

${\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)}^{\text{T}}\left(x-y\right)>0,\forall x,y\in {ℝ}^n,且x\ne y$ ; (5)

3) 称$f$ 是$\eta -$ 强单调的，如果存在常数$\eta >0$ 满足

${\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)}^{\text{T}}\left(x-y\right)\ge \eta {\Vert x-y\Vert }^2,\forall x,y\in {ℝ}^n$ ; (6)

4) 称$f$ 是L-Lipschitz连续映像，如果存在常数$L>0$ ，使得

$\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\Vert \le L\Vert x-y\Vert ,\forall x,y\in {ℝ}^n$ , (7)

当$L=1$ 时，我们称$f$ 为非扩张映像；当$0\le L<1$ 时，我们称$f$ 为压缩映像。

定义2.4 [5]：设$\Omega$ 是${ℝ}^n$ 中的非空闭凸集，对给定的$v\in {ℝ}^n$ ，问题$\min \left\{\Vert u-v\Vert |u\in \Omega \right\}$ 的解称作$v$ 在$\Omega$ 上的投影，记作$P_{\Omega }\left(v\right)$ ，也可以记为$P_{\Omega }v$ 。换句话说，$P_{\Omega }\left(v\right)=\arg \min \left\{\Vert u-v\Vert |u\in \Omega \right\}$ 。

2.2. 相关引理

引理2.1 [5]：逆变分不等式都与一个扩张了的变分不等式等价。

关于$x$ 的逆变分不等式$IVI\left(\Omega ,f\right)$ 与一个扩张的关于$u$ 的变分不等式$VI\left(S,F\right)$

$u\in S,{\left(u^{\prime }-u\right)}^{\text{T}}F\left(u\right)\ge 0,\forall u^{\prime }\in S$ (8)

等价，其中，$u=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ ，$F\left(u\right)=\left(\begin{array}{c}f\left(x\right)-y\\ x\end{array}\right)$ ，$S={ℝ}^n\times \Omega$ 。

引理2.2 [11]：设$\lambda >0$ ，则$u$ 是变分不等式问题$VI\left(\Omega ,f\right)$ 的解，当且仅当

$u=P_{\Omega }\left(u-\lambda f\left(u\right)\right)$ . (9)

引理2.3 [5]：设$\lambda >0$ ，则$u$ 是逆变分不等式问题$IVI\left(\Omega ,f\right)$ 的解，当且仅当

$f\left(u\right)=P_{\Omega }\left(f\left(u\right)-\lambda u\right)$ . (10)

引理2.4 [5]：设$\lambda >0$ ，则$u$ 是逆变分不等式问题$IVI{\left(\Omega ,f\right)}_L$ 的解，当且仅当

$f\left(u\right)=P_{\Omega }\left(f\left(u\right)+\lambda u\right)$ . (11)

引理2.5：(压缩映像原理)设$A$ 为完备度量空间$X$ 中的闭集，$f:A\to A$ 为压缩映射，则存在唯一的点$a\in A$ ，使得$f\left(a\right)=a$ 。

引理2.6：投影算子的性质：

${\left(v-P_{\Omega }v\right)}^{\text{T}}\left(u-P_{\Omega }v\right)\le 0,\forall v\in {ℝ}^n,\forall u\in \Omega$ ; (12)

${\left(P_{\Omega }u-P_{\Omega }v\right)}^{\text{T}}\left(u-v\right)\ge {\Vert P_{\Omega }u-P_{\Omega }v\Vert }^2,\forall u,v\in {ℝ}^n$ ; (13)

$\Vert P_{\Omega }u-P_{\Omega }v\Vert \le \Vert u-v\Vert ,\forall u,v\in {ℝ}^n$ . (14)

3. 逆变分不等式解的存在唯一性

设$\lambda >0$ ，由引理2.3，我们知道$IVI\left(C,f\right)$ 等价于方程$f\left(\xi \right)=P_C\left(f\left(\xi \right)-\lambda \xi \right)$ 。设$\alpha >0$ ，将方程 $f\left(\xi \right)=P_C\left(f\left(\xi \right)-\lambda \xi \right)$ 两边同乘以$\alpha$ 得到$\alpha f\left(\xi \right)=\alpha P_C\left(f\left(\xi \right)-\lambda \xi \right)$ ，于是我们可以得到

$\xi =\xi -\alpha f\left(\xi \right)+\alpha P_C\left(f\left(\xi \right)-\lambda \xi \right)$ .

我们定义映像$T:=I-\alpha f+\alpha P_C\left(f-\lambda I\right)$ ，则上式等价于$\xi =T\xi$ ，根据压缩映像原理，只要证明映像$T:=I-\alpha f+\alpha P_C\left(f-\lambda I\right)$ 是一个压缩映像，就可以找到一个唯一的$\xi$ ，使得$\xi =T\xi$ 成立，即可以找到唯一的$\xi$ 使得$f\left(\xi \right)=P_C\left(f\left(\xi \right)-\lambda \xi \right)$ 成立。由此，我们可以知道解$IVI\left(C,f\right)$ 等价于寻求映像$T:=I-\alpha f+\alpha P_C\left(f-\lambda I\right)$ 的不动点。

定理3.1：设$C$ 是${ℝ}^n$ 中的一个非空闭凸集，$f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ 是L-Lipschitz连续和$\eta -$ 强单调的映像，$P_{C}v$ 为$v$ 在集合$C$ 上的投影，$I$ 为单位算子，如果$0<\eta <L<\sqrt{2}\eta$ ，则对任意$0<\alpha <\frac{\eta -\sqrt{L^2-{\eta }^2}}{{\eta }^2}$ ，映像$T:=I-\alpha f+\alpha P_C\left(f-\eta I\right)$ 是一个压缩映像。

证明：根据对映像$T$ 的定义，我们有

$\Vert Tu-Tv\Vert =\Vert \left(I-\alpha f\right)u+\alpha P_C\left(f-\eta I\right)u-\left[\left(I-\alpha f\right)v+\alpha P_C\left(f-\eta I\right)v\right]\Vert$ . (15)

根据三角不等式$\Vert a+b\Vert \le \Vert a\Vert +\Vert b\Vert$ 可得

$\begin{array}{l}\Vert \left(I-\alpha f\right)u+\alpha P_C\left(f-\eta I\right)u-\left[\left(I-\alpha f\right)v+\alpha P_C\left(f-\eta I\right)v\right]\Vert \\ \le \Vert \left(I-\alpha f\right)u-\left(I-\alpha f\right)v\Vert +\alpha \Vert \left(f-\eta I\right)u-\left(f-\eta I\right)v\Vert .\end{array}$ (16)

下面分别对$\Vert \left(I-\alpha f\right)u-\left(I-\alpha f\right)v\Vert$ 和$\Vert \left(f-\eta I\right)u-\left(f-\eta I\right)v\Vert$ 进行讨论：

$\begin{array}{l}{\Vert \left(I-\alpha f\right)u-\left(I-\alpha f\right)v\Vert }^2\\ ={\Vert \left(u-v\right)-\alpha \left(f\left(u\right)-f\left(v\right)\right)\Vert }^2\\ ={\Vert u-v\Vert }^2-2\alpha {\left(f\left(u\right)-f\left(v\right)\right)}^{\text{T}}\left(u-v\right)+{\alpha }^2{\Vert f\left(u\right)-f\left(v\right)\Vert }^2,\end{array}$ (17)

因为$f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ 是L-Lipschitz连续和$\eta -$ 强单调的映像，由(6)和(7)，我们可以得到

$\Vert f\left(u\right)-f\left(v\right)\Vert \le L\Vert u-v\Vert ,$ (18)

${\left(f\left(u\right)-f\left(v\right)\right)}^{\text{T}}\left(u-v\right)\ge \eta {\Vert u-v\Vert }^2,$ (19)

所以

$\begin{array}{l}{\Vert u-v\Vert }^2-2\alpha {\left(f\left(u\right)-f\left(v\right)\right)}^T\left(u-v\right)+{\alpha }^2{\Vert f\left(u\right)-f\left(v\right)\Vert }^2\\ \le \left(1-2\alpha \eta +{\alpha }^2{L}^2\right){\Vert u-v\Vert }^2\\ =\left[1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)\right]{\Vert u-v\Vert }^2.\end{array}$ (20)

结合(17)和(20)可得

${\Vert \left(I-\alpha f\right)u-\left(I-\alpha f\right)v\Vert }^2\le \left[1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)\right]{\Vert u-v\Vert }^2$ . (21)

由于

$\begin{array}{l}1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)=1-2\alpha \eta +{\alpha }^2{L}^2\\ \text{ >}1-2\alpha \eta +{\alpha }^2{\eta }^2\\ ={\left(1-\alpha \eta \right)}^2\\ \text{ >}0,\end{array}$

我们对(21)式中不等号左右两边进行开平方，得到

$\Vert \left(I-\alpha f\right)u-\left(I-\alpha f\right)v\Vert \le \sqrt{1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)}\Vert u-v\Vert$ . (22)

另外，

$\begin{array}{l}{\Vert \left(f-\eta I\right)u-\left(f-\eta I\right)v\Vert }^2\\ ={\Vert \left(f\left(u\right)-f\left(v\right)\right)-\eta I\left(u-v\right)\Vert }^2\end{array}$

$={\Vert f\left(u\right)-f\left(v\right)\Vert }^2-2\eta {\left(f\left(u\right)-f\left(v\right)\right)}^{\text{T}}\left(u-v\right)+{\eta }^2{\Vert u-v\Vert }^2,$ (23)

由(18)和(19)可知

$\begin{array}{l}{\Vert f\left(u\right)-f\left(v\right)\Vert }^2-2\eta {\left(f\left(u\right)-f\left(v\right)\right)}^{\text{T}}\left(u-v\right)+{\eta }^2{\Vert u-v\Vert }^2\\ \le \left(L^2-2{\eta }^2+{\eta }^2\right){\Vert u-v\Vert }^2\\ =\left(L^2-{\eta }^2\right){\Vert u-v\Vert }^2.\end{array}$ (24)

结合(23)和(24)可得

${\Vert \left(f-\eta I\right)u-\left(f-\eta I\right)v\Vert }^2\le \left(L^2-{\eta }^2\right){\Vert u-v\Vert }^2.$ (25)

由于$L^2-{\eta }^2>0$ ，对(25)式中不等号左右两边进行开平方，得到

$\Vert \left(f-\eta I\right)u-\left(f-\eta I\right)v\Vert \le \sqrt{L^2-{\eta }^2}\Vert u-v\Vert$ . (26)

结合(15)、(16)、(22)以及(26)可得：

$\Vert Tu-Tv\Vert \le \left[\sqrt{1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)}+\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}\right]\Vert u-v\Vert .$ (27)

下面我们通过证明$\sqrt{1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)}+\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}<1$ 使得映像$T$ 满足压缩性条件。

因为$0<\alpha <\frac{\eta -\sqrt{L^2-{\eta }^2}}{{\eta }^2}$ ，所以$2\alpha {\eta }^2<2\left(\eta -\sqrt{L^2-{\eta }^2}\right)$ 。由此，可以得到

$1-2\alpha \eta +2\alpha {\eta }^2<1-2\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}$ ,

因为$L>\eta$ ，所以

$\begin{array}{l}1-2\alpha \eta +2\alpha {\eta }^2<1-2\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}+{\alpha }^2\left(L^2-{\eta }^2\right)\\ ={\left(1-\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}\right)}^2.\end{array}$

因为$L<\sqrt{2}\eta$ ，所以$L^2<2{\eta }^2$ ，由此可以推出

$\begin{array}{l}1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)=1-2\alpha \eta +{\alpha }^2{L}^2\\ <1-2\alpha \eta +2{\alpha }^2{\eta }^2\\ <{\left(1-\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}\right)}^2.\end{array}$ (28)

我们在前面已经证明了$1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)>0$ ，下面证明$1-\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}>0$ 。

$\begin{array}{l}{\left(\eta -\sqrt{L^2-{\eta }^2}\right)}^2>0\\ \Rightarrow {\eta }^2+\left(L^2-{\eta }^2\right)-2\eta \sqrt{L^2-{\eta }^2}>0\\ \Rightarrow L^2+\left(L^2-{\eta }^2\right)-2\eta \sqrt{L^2-{\eta }^2}>0\\ \Rightarrow 2\eta \sqrt{L^2-{\eta }^2}-2L^2+{\eta }^2<0\\ \Rightarrow \frac{2\left(\eta -\sqrt{L^2-{\eta }^2}\right)}{{\eta }^2}<\frac{1}{\sqrt{L^2-{\eta }^2}}\end{array}$

$\Rightarrow \frac{\eta -\sqrt{L^2-{\eta }^2}}{{\eta }^2}<\frac{1}{\sqrt{L^2-{\eta }^2}}.$

因为$\alpha <\frac{\eta -\sqrt{L^2-{\eta }^2}}{{\eta }^2}$ ，所以

$\begin{array}{l}\frac{\eta -\sqrt{L^2-{\eta }^2}}{{\eta }^2}<\frac{1}{\sqrt{L^2-{\eta }^2}}\\ \Rightarrow \alpha <\frac{1}{\sqrt{L^2-{\eta }^2}}\\ \Rightarrow 1-\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}>0.\end{array}$

所以(28)两边开平方得到

$\sqrt{1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)}<1-\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}$ .

所以

$\sqrt{1-\alpha \left(2\eta -\alpha L^2\right)}+\alpha \sqrt{L^2-{\eta }^2}<1$ .

因此，$T$ 是压缩映像，有唯一不动点，即逆变分不等式$IVI\left(C,f\right)$ 有唯一解。

4. 逆变分不等式的应用

铁路票价的调控通常与旅客的出行时间、距离、需求弹性、铁路运营成本、铁路承运能力以及政府规定有关。在旅行高峰期，需求弹性可能较低，运营商可能会更大幅度地提高票价；如果承运能力接近饱和，票价调整的幅度可能需要受限。而旅客通常会从经济的角度安排自己的出行计划，一般情况下，人们更趋于选择在票价较低的时段出行，因此，我们可以通过调整票价来控制出行人数。

在实际交通问题中，票价的变化一般不会是瞬时或无界的，而是相对平滑和可预测的，所以我们可以合理假设票价函数在一定程度上满足Lipschitz的连续性。而在某些极端情况下，强单调性可能会被违背。例如，在特殊事件或紧急情况下，交通流量的突然变化可能会导致旅行时间或成本的非线性变化，从而违背强单调性。此外，如果交通系统的设计或管理存在缺陷，也可能导致非单调的行为。而在理想条件下，假设出行人数只与票价有关，则人流疏散和票价优化问题可以转化为逆变分不等式问题，具体转化过程如下。

假设将春运期用出行人数的高峰期和低谷期分成$n$ 个时段，为避免交通拥挤和合理疏导交通流量，同时考虑到铁路运营成本和承运能力，我们希望通过对不同的时段采用不同的票价将出行人数控制在$C=\left[a,b\right]$ 这个范围内，其中$a,b\in {ℝ}^n$ 。设现行票价是$x_0\in {ℝ}^n$ ，出行人数是$r\left(x_0\right)\in {ℝ}^n$ 。可以假设出行人数是票价的递减函数。我们记票价的变动量为$x\in {ℝ}^n$ ，并记$f\left(x\right)=r\left(x_0+x\right)$ ，在通过调控票价实现“削峰填谷”的同时，根据政府规定，我们希望票价变动尽可能小。设$x^{*}$ 为最优调整方案中的调整量。

如果最优方案使得$f_i\left(x^{*}\right)\in \left(a_i,b_i\right)$ ，那么最优方案中一定有$x_i^{*}=0$ ，表明对这一时段的票价没有调整，否则这个调整量就不是最小的。对任意的${\tilde{f}}_i\in \left[a_i,b_i\right]$ ，我们有$\left({\tilde{f}}_i-f_i\left(x^{*}\right)\right)\cdot x_i^{*}=0$ 。

如果最优方案使得$f_i\left(x^{*}\right)=b_i$ ，那么最优方案中一定有$x_i^{*}\ge 0$ 。否则，如果$x_i^{*}<0$ ，由于$f_i\left(x\right)$ 是$x_i$ 的递减函数，我们可以将$x_i^{*}$ 向零的方向做一个很小的调整而仍然保证$f_i\left(x\right)\in \left[a_i,b_i\right]$ ，这样的话原来的调整量$x^{*}$ 就不是最小的。$x_i^{*}\ge 0$ ，表明不能调低这一时段的票价，否则出行人数会继续增加，超过$b_i$ 而导致交通拥挤。由$f_i\left(x^{*}\right)=b_i$ 和$x_i^{*}\ge 0$ ，对任意的${\tilde{f}}_i\in \left[a_i,b_i\right]$ ，我们有$\left({\tilde{f}}_i-f_i\left(x^{*}\right)\right)\cdot x_i^{*}\le 0$ 。

如果最优方案使得$f_i\left(x^{*}\right)=a_i$ ，那么最优方案中定有$x_i^{*}\le 0$ 。否则，如果$x_i^{*}>0$ ，由于$f_i\left(x\right)$ 是$x_i$ 的递减函数，我们可以将$x_i^{*}$ 向零的方向做一个很小的调整而仍然保证$f_i\left(x\right)\in \left[a_i,b_i\right]$ ，这样的话原来的调整量$x^{*}$ 就不是最小的。$x_i^{*}\le 0$ ，表明不能调高这一时段的票价，否则出行人数会继续减少，低于$a_i$ 而使交通工具的利用率降低。由$f_i\left(x^{*}\right)=a_i$ 和$x_i^{*}\le 0$ ，对任意的${\tilde{f}}_i\in \left[a_i,b_i\right]$ ，我们有$\left({\tilde{f}}_i-f_i\left(x^{*}\right)\right)\cdot x_i^{*}\le 0$ 。

综合以上情形，我们要找的最优的分时段的票价调整量$x^{*}$ 是如下逆变分不等式的解

$f\left(x\right)\in C,{\left(\tilde{f}-f\left(x\right)\right)}^{\text{T}}x\le 0,\forall \tilde{f}\in C$.

在这里，我们假设函数$f\left(x\right)$ 满足定理3.1中的条件，则可找到最优票价调整量。