相容的Rota-Baxter约当代数

Compatiable Rota-Baxter Jordan Algebra

摘要: 本文探讨了Rota-Baxter约当代数的表示及二维约当代数上可容许的伴随线性映射的构造。首先，引入了Rota-Baxter约当代数的定义，然后研究了两个Rota-Baxter约当代数相容的条件。最后构造了二维Rota-Baxter约当代数上可容许的伴随线性映射。

Abstract: This paper explores the representation of Jordan algebra and the construction of adjoint-admissiable linear map on two-dimensional Jordan algebra. First, the definition of Rota-Baxter Jordan algebra is introduced. Then, the equivalent condition of two compatible Rota-Baxter Jordan algebras is studied. Finally, adjoint-admissiable linear map on two-dimensional Jordan algebra is constructed.

1. 引言

约当代数的概念是自20世纪初由Pascual Jordan等提出的，后来约当代数作为一个独立的代数体系发展起来[1]。在数学的许多领域，如几何、李理论、分析以及物理学的量子场论中得到了广泛的研究和应用。在[2]中，学者探讨了李代数和约当代数之间的关系，Hou等在[3]中引入了pre-约当代数的概念，并讨论了约当代数和pre-约当代数的关系。近年来，Rota-Baxter算子理论的发展成为热点。Rota-Baxter算子的概念是1960年G. Baxter在研究Spitzer恒等式时提出的。在[4]中，学者们研究了权为0的Rota-Baxter李双代数如何构造出特殊的L-dendriform代数，在[5]中具体给出了低维的约当代数的Rota-Baxter算子和其诱导出的pre-约当代数的分类。相容性是指在同一线性空间上定义的两个相同类型的代数结构，这两个代数结构对应运算的任意线性组合还是原来类型的代数结构。Golubchik等利用Yang-Baxter方程研究了相容李代数[6]，Wu等在[7]中研究了在李双代数上的相容性及相容李双代数的表示和配对。类似于Rota-Baxter李代数和相容李代数的研究，本文引入Rota-Baxter约当代数的定义，给出Rota-Baxter约当代数相容的条件，并特别关注构造二维Rota-Baxter约当代数上可容许的伴随线性映射。

2. 预备知识$$

定义2.1 [1]设$J$ 是复数域$C$ 上的线性空间。在$J$ 上定义双线性乘法$\left(x,y\right)\mapsto x\circ y$ ，若满足

$x\circ y=y\circ x$ ，

$\left(\left(x\circ x\right)\circ y\right)\circ x=\left(x\circ x\right)\circ \left(y\circ x\right)$ ，

$\forall x,y\in J$ ，则称$\left(J,\circ \right)$ 为约当代数。

定义2.2 [8]设$\left(J,\circ \right)$ 是一个约当代数，$V$ 是线性空间，若对任意$x,y,z\in J$ ，线性映射$\rho :J\to End\left(V\right)$ 满足

$\left[\rho \left(x\right),\rho \left(y\circ z\right)\right]+\left[\rho \left(y\right),\rho \left(z\circ x\right)\right]+\left[\rho \left(z\right),\rho \left(x\circ y\right)\right]=0$ ， (2.1)

$\begin{array}{l}\rho \left(x\right)\rho \left(y\right)\rho \left(z\right)+\rho \left(z\right)\rho \left(y\right)\rho \left(x\right)+\rho \left(\left(x\circ z\right)\circ y\right)\\ =\rho \left(x\right)\rho \left(y\circ z\right)+\rho \left(y\right)\rho \left(z\circ x\right)+\rho \left(z\right)\rho \left(x\circ y\right),\end{array}$ (2.2)

其中，$\left[\rho \left(x\right),\rho \left(y\right)\right]=\rho \left(x\right)\rho \left(y\right)-\rho \left(y\right)\rho \left(x\right)$ ，则称$\left(V,\rho \right)$ 是$\left(J,\circ \right)$ 的表示。

例2.3 [8]设$\left(J,\circ \right)$ 是一个约当代数，定义$rg:J\to End\left(J\right)$ ，其中$rg\left(x\right)y=x\circ y$ $\left(\forall x,y\in J\right)$ ，则$\left(J,rg\right)$ 是$\left(J,\circ \right)$ 的表示，称为$\left(J,\circ \right)$ 的正则表示。

命题2.4 [8]设$\left(J,\circ \right)$ 是一个约当代数，$V$ 是线性空间，$\rho :J\to End\left(V\right)$ 是一个线性映射，在$J\oplus V$ 上定义

$\left(x+u\right)\ast \left(y+v\right)=x\circ y+\rho \left(x\right)v+\rho \left(y\right)u,x,y\in J,u,v\in V$ ，

则$\left(V,\rho \right)$ 是$\left(J,\circ \right)$ 的表示的充分必要条件是$\left(J\oplus V,\ast \right)$ 是约当代数。

命题2.5 [8]设$\left(J,\circ \right)$ 是一个约当代数，$\left(V,\rho \right)$ 是$\left(J,\circ \right)$ 的表示，定义${\rho }^{\ast }:J\to End\left(V^{*}\right)$ ，其中

$\langle {\rho }^{*}\left(x\right)f,v\rangle =\langle f,\rho \left(x\right)v\rangle ,\forall x\in J,v\in V,f\in V^{*}$ ，

则$(V^{\ast },{\rho }^{*})$ 也是$\left(J,\circ \right)$ 的表示，称为$\left(V,\rho \right)$ 的对偶表示。

定义2.6 [9]设$\left(J,{\circ }_1\right)$ 和$\left(J,{\circ }_2\right)$ 是约当代数，若对于任意$k_1,k_2\in C$ ，由

$x\circ y=k_{1}x{\circ }_{1}y+k_{2}x{\circ }_{2}y,\forall x,y\in J$ ，

定义的代数运算使$\left(J,\circ \right)$ 是约当代数，则称$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2\right)$ 是相容的约当代数。

定义2.7 [9]设$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2\right)$ 是相容的约当代数，$\left(V,\rho \right)$ 是$\left(J,{\circ }_1\right)$ 的表示，$\left(V,\mu \right)$ 是$\left(J,{\circ }_2\right)$ 的表示，若满足

$\begin{array}{l}\rho \left(x\right)\rho \left(z\right)\mu \left(y\right)+\mu \left(x\right)\rho \left(z\right)\rho \left(y\right)+\rho \left(x\right)\mu \left(z\right)\rho \left(y\right)+\rho \left(\left(y{\circ }_{2}x\right){\circ }_{1}z\right)+\mu \left(\left(y{\circ }_{1}x\right){\circ }_{1}z\right)\\ +\rho \left(\left(y{\circ }_{1}x\right){\circ }_{2}z\right)+\rho \left(y\right)\rho \left(z\right)\mu \left(x\right)+\rho \left(y\right)\mu \left(z\right)\rho \left(x\right)-\rho \left(z{\circ }_{2}x\right)\rho \left(y\right)-\rho \left(z{\circ }_{1}x\right)\mu \left(y\right)\\ -\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)\rho \left(y\right)-\rho \left(y{\circ }_{1}x\right)\mu \left(z\right)-\rho \left(y{\circ }_{2}x\right)\rho \left(z\right)-\mu \left(y{\circ }_{1}x\right)\rho \left(z\right)-\rho \left(z{\circ }_{2}y\right)\rho \left(x\right)\\ -\rho \left(z{\circ }_{1}y\right)\mu \left(x\right)-\mu \left(z{\circ }_{1}y\right)\rho \left(x\right)-\mu \left(z{\circ }_{1}y\right)\rho \left(x\right)+\mu \left(y\right)\rho \left(z\right)\rho \left(x\right)=0,\end{array}$ (2.3)

$\begin{array}{l}\left[\rho \left(z\right),\rho \left(x{\circ }_{2}y\right)\right]+\left[\rho \left(x\right),\rho \left(y{\circ }_{2}z\right)\right]+\left[\rho \left(y\right),\rho \left(z{\circ }_{2}x\right)\right]+\mu \left(z\right)\rho \left(x{\circ }_{1}y\right)+\rho \left(z\right)\mu \left(x{\circ }_{1}y\right)\\ +\mu \left(x\right)\rho \left(y{\circ }_{1}z\right)+\rho \left(x\right)\mu \left(y{\circ }_{1}z\right)+\rho \left(y\right)\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)-\rho \left(x{\circ }_{1}y\right)\mu \left(z\right)-\mu \left(x{\circ }_{1}y\right)\rho \left(z\right)\\ -\rho \left(y{\circ }_{1}z\right)\mu \left(x\right)-\mu \left(y{\circ }_{1}z\right)\rho \left(x\right)-\rho \left(z{\circ }_{1}x\right)\mu \left(y\right)-\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)\rho \left(y\right)+\mu \left(y\right)\rho \left(z{\circ }_{1}x\right)=0,\end{array}$ (2.4)

$\begin{array}{l}\mu \left(x\right)\rho \left(z\right)\mu \left(y\right)+\rho \left(x\right)\mu \left(z\right)\mu \left(y\right)+\mu \left(x\right)\mu \left(z\right)\rho \left(y\right)+\mu \left(\left(y{\circ }_{2}x\right){\circ }_{1}z\right)+\rho \left(\left(y{\circ }_{2}x\right){\circ }_{2}z\right)\\ +\mu \left(\left(y{\circ }_{1}x\right){\circ }_{2}z\right)+\mu \left(y\right)\rho \left(z\right)\mu \left(x\right)+\rho \left(y\right)\mu \left(z\right)\mu \left(x\right)-\rho \left(z{\circ }_{2}x\right)\mu \left(y\right)-\mu \left(z{\circ }_{2}x\right)\rho \left(y\right)\\ -\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)\mu \left(y\right)-\rho \left(y{\circ }_{2}x\right)\mu \left(z\right)-\mu \left(y{\circ }_{1}x\right)\mu \left(z\right)-\rho \left(z{\circ }_{2}y\right)\mu \left(x\right)-\mu \left(y{\circ }_{2}x\right)\rho \left(z\right)\\ -\mu \left(z{\circ }_{2}y\right)\rho \left(x\right)-\mu \left(z{\circ }_{1}y\right)\mu \left(x\right)+\mu \left(y\right)\mu \left(z\right)\rho \left(x\right)=0,\end{array}$ (2.5)

$\begin{array}{l}\left[\mu \left(z\right),\mu \left(x{\circ }_{1}y\right)]+[\mu \left(x\right),\mu \left(y{\circ }_{1}z\right)]+[\mu \left(y\right),\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)\right]+\mu \left(z\right)\rho \left(x{\circ }_{2}y\right)+\rho \left(z\right)\mu \left(x{\circ }_{2}y\right)\\ +\mu \left(x\right)\rho \left(y{\circ }_{2}z\right)+\rho \left(x\right)\mu \left(y{\circ }_{2}z\right)+\mu \left(y\right)\rho \left(z{\circ }_{2}x\right)+\rho \left(y\right)\mu \left(z{\circ }_{2}x\right)-\rho \left(x{\circ }_{2}y\right)\mu \left(z\right)\\ -\mu \left(x{\circ }_{2}y\right)\rho \left(z\right)-\rho \left(y{\circ }_{2}z\right)\mu \left(x\right)-\rho \left(z{\circ }_{2}x\right)\mu \left(y\right)-\mu \left(y{\circ }_{2}z\right)\rho \left(x\right)-\mu \left(z{\circ }_{2}x\right)\rho \left(y\right)=0,\end{array}$ (2.6)

$\forall x,y,z\in J$ ，则称$\left(V,\rho ,\mu \right)$ 是相容约当代数$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2\right)$ 的表示。

引理2.8 [5]设$J$ 是一个二维约当代数，$e_1,e_2$ 为$J$ 的基，则$J$ 同构于以下(相互非同构)约当代数之一，其特征矩阵为：

$J_1:\left(\begin{array}{cc}2e_1& 0\\ 0& 2e_2\end{array}\right)$ ；$J_2:\left(\begin{array}{cc}2e_1& 2e_2\\ 2e_2& 0\end{array}\right)$ ；$J_3:\left(\begin{array}{cc}2e_1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ；

$J_4:\left(\begin{array}{cc}2e_1& e_2\\ e_2& 0\end{array}\right)$ ；$J_5:\left(\begin{array}{cc}2e_2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 。

命题2.9 [5]设$J$ 为二维约当代数，$e_1,e_2$ 为$J$ 的基。

1) $J_1$ 型约当代数上的Rota-Baxter算子在$e_1,e_2$ 下对应矩阵为0；

2) $J_2$ 型约当代数上的Rota-Baxter算子在$e_1,e_2$ 下对应矩阵为$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& 0\end{array}\right)\left(a\in C\right)$ ；

3) $J_3$ 型约当代数上的Rota-Baxter算子在$e_1,e_2$ 下对应矩阵为$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& b\end{array}\right)\left(a,b\in C\right)$ ；

4) $J_4$ 型约当代数上的Rota-Baxter算子在$e_1,e_2$ 下对应矩阵为$\left(\begin{array}{cc}ab& -a^2\\ b^2& -ab\end{array}\right)\left(a,b\in C\right)$ ；

5) $J_5$ 型约当代数上的Rota-Baxter算子在$e_1,e_2$ 下对应矩阵为a) $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& b\end{array}\right)\left(a,b\in C\right)$ ；b) $\left(\begin{array}{cc}2b& 0\\ a& b\end{array}\right)\left(a,b\in C,b\ne 0\right)$ ；

6) $J_6$ 型约当代数上的Rota-Baxter算子为任意线性变换。

3. Rota-Baxter约当代数

定义3.1 设$(J,\circ )$ 是一个约当代数，对于一个固定的$\lambda \in C$ ，如果$J$ 上一个线性变换$R$ 满足

$R\left(x\right)\circ R\left(y\right)=R\left(R\left(x\right)\circ y+x\circ R\left(y\right)+\lambda x\circ y\right),\forall x,y\in J$ ， (3.1)

称$R$ 为$\left(J,\circ \right)$ 上权为$\lambda$ 的Rota-Baxter算子。此时，称$\left(J,\circ ,R\right)$ 是权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数。

定义3.2 设$\left(J,\circ ,R\right)$ 是权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数，$\left(V,\rho \right)$ 是约当代数$\left(J,\circ \right)$ 的表示，$\alpha \in End\left(V\right)$ ，如果$\rho$ 满足

$\rho \left(R\left(x\right)\right)\alpha \left(v\right)=\alpha \left(\rho \left(R\left(x\right)\right)v\right)+\alpha \left(\rho \left(x\right)\alpha \left(v\right)\right)+\lambda \alpha \left(\rho \left(x\right)v\right),\forall x\in J,v\in V$ ， (3.2)

则称$\left(V,\rho ,\alpha \right)$ 为权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数$\left(J,\circ ,R\right)$ 的表示。

例3.3 设$\left(J,\circ ,R\right)$ 为权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数，则$\left(J,rg,R\right)$ 是$\left(J,\circ ,R\right)$ 的表示，称为Rota-Baxter约当代数$\left(J,\circ ,R\right)$ 的伴随表示。

证明 由例2.3知，$\left(J,rg\right)$ 为约当代数$\left(J,\circ \right)$ 的表示。对任意$x\in J$ ，$v\in V$ ，由于$R$ 满足等式(3.1)，则有

$\begin{array}{c}rg\left(R\left(x\right)\right)R\left(v\right)=R\left(x\right)\circ R\left(v\right)=R\left(R\left(x\right)\circ v+x\circ R\left(v\right)+\lambda x\circ v\right)\\ =R\left(rg\left(R\left(x\right)\right)v\right)+R\left(rg\left(x\right)R\left(v\right)\right)+\lambda R\left(rg\left(x\right)v\right),\end{array}$

因此，$rg$ 满足等式(3.2)，所以结论成立。

定理3.4 设$\left(J,\circ ,R\right)$ 是权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数，$V$ 是一个线性空间，$\rho ：J\to End\left(V\right)$ 是线性映射，$\alpha \in End\left(V\right)$ ，在$J\oplus V$ 上定义

$\left(x+u\right)\ast \left(y+v\right)=x\circ y+\rho \left(x\right)v+\rho \left(y\right)u,$ $\forall x,y\in J$ , $u,v\in V$ ， (3.3)

则$\left(V,\rho ,\alpha \right)$ 是Rota-Baxter约当代数$\left(J,\circ ,R\right)$ 的一个表示当且仅当$\left(J\oplus V,\ast ,R+\alpha \right)$ 是权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数。

证明 首先，由命题2.4可知，$\left(J\oplus V,\ast \right)$ 是一个约当代数当且仅当$\left(V,\rho \right)$ 是约当代数$\left(J,\circ \right)$ 的表示，此外，对任意$x,y\in J$ ，$u,v\in V$ ，

$\begin{array}{c}\left(R+\alpha \right)\left(x+u\right)*\left(R+\alpha \right)\left(y+v\right)-\left(R+\alpha \right)(\left(R+\alpha \right)\left(x+u\right)*\left(y+v\right)\\ +\left(x+u\right)*\left(R+\alpha \right)\left(y+v\right)+\lambda \left(x+u\right)*\left(y+v\right))\\ =R\left(x\right)\circ R\left(y\right)+\rho \left(R\left(x\right)\right)\alpha \left(v\right)+\rho \left(R\left(y\right)\right)\alpha \left(u\right)-\left(R+\alpha \right)(R\left(x\right)\circ y+\rho \left(R\left(x\right)\right)v\\ +\rho \left(y\right)\alpha \left(u\right)+x\circ R\left(y\right)+\rho \left(R\left(y\right)\right)u+\rho \left(x\right)\alpha \left(v\right)+\lambda x\circ y+\lambda \rho \left(x\right)v+\lambda \rho \left(y\right)u)\\ =\left(R\left(x\right)\circ R\left(y\right)-R\left(x\circ R\left(y\right)\right)-R\left(R\left(x\right)\circ y\right)-\lambda x\circ y\right)+\rho \left(R\left(x\right)\right)\alpha \left(v\right)+\rho \left(R\left(y\right)\right)\alpha \left(u\right)\\ -\alpha \left(\rho \left(R\left(x\right)\right)v+\rho \left(x\right)\alpha \left(v\right)+\lambda \rho \left(x\right)v\right)-\alpha \left(\rho \left(R\left(y\right)\right)u+\rho \left(y\right)\alpha \left(u\right)+\lambda \rho \left(y\right)u\right),\end{array}$

因此，$R+\alpha$ 是$J\oplus V$ 上的一个Rota-Baxter算子当且仅当$\rho$ 满足(3.2)式且$R$ 满足(3.1)式，所以结论成立。

引理3.6 设$\left(J,\circ ,R\right)$ 权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数，$V$ 是一个线性空间，$\beta \in End\left(V\right)$ ，则$\left(V^{*},{\rho }^{*},{\beta }^{*}\right)$ 是Rota-Baxter约当代数$\left(J,\circ ,R\right)$ 的表示当且仅当$\left(V,\rho \right)$ 是约当代数$\left(J,\circ \right)$ 的表示并且$\rho$ 满足

$\beta \left(\rho \left(R\left(x\right)\right)v\right)-\rho \left(R\left(x\right)\right)\beta \left(v\right)-\beta \left(\rho \left(x\right)\beta \left(v\right)\right)-\lambda \rho \left(x\right)\beta \left(v\right)=0$ ，$\forall x\in J$ ，$v\in V$ 。 (3.4)

证明 由命题2.5可知，$\left(V^{*},{\rho }^{*}\right)$ 是约当代数$\left(J,\circ \right)$ 的表示当且仅当$\left(V,\rho \right)$ 是约当代数$\left(J,\circ \right)$ 的表示。此外，对任意$x\in J,u^{*}\in V^{*},v\in V$ ，

$\begin{array}{l}\langle {\rho }^{*}\left(R\left(x\right)\right){\beta }^{*}\left(u^{*}\right)-{\beta }^{*}\left({\rho }^{*}\left(R\left(x\right)\right)u^{*}\right)-{\beta }^{*}\left({\rho }^{*}\left(x\right){\beta }^{*}\left(u\right)\right)-\lambda {\beta }^{*}\left({\rho }^{*}\left(x\right)u^{*}\right),v\rangle \\ =\langle u^{*},-\beta \left(\rho \left(R\left(x\right)\right)v\right)+\rho \left(R\left(x\right)\right)\beta \left(v\right)+\beta \left(\rho \left(x\right)\beta \left(v\right)\right)+\lambda \rho \left(x\right)\beta \left(v\right)\rangle ,\end{array}$

因此，${\beta }^{\ast }$ 满足(3.2)式当且仅当$\beta$ 满足(3.4)式，所以结论成立。

例3.7 设$\left(J,\circ ,R\right)$ 是权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数，$Q\in End\left(J\right)$ ，则$\left(J^{*},rg{}^{*},Q^{*}\right)$ 是Rota-Baxter约当代数$\left(J,\circ ,R\right)$ 的表示当且仅当

$Q\left(R\left(x\right)\circ y\right)-R\left(x\right)\circ Q\left(y\right)-Q\left(x\circ Q\left(y\right)\right)-\lambda x\circ Q\left(y\right)=0$ ，$\forall x,y\in J$ 。 (3.5)

证明 由命题2.5可知，$\left(J^{*},rg{}^{*}\right)$ 是约当代数$\left(J,\circ \right)$ 的表示。此外，对任意的$x,y\in J$ ，

$\begin{array}{l}Q\left(rg\left(R\left(x\right)\right)y\right)-rg\left(P\left(x\right)\right)Q\left(y\right)-Q\left(rg\left(x\right)Q\left(y\right)\right)-\lambda rg\left(x\right)Q\left(y\right)\\ =Q\left(R\left(x\right)\circ y\right)-P\left(x\right)\circ Q\left(y\right)-Q\left(x\circ Q\left(y\right)\right)-\lambda x\circ Q\left(y\right),\end{array}$

所以$Q$ 满足等式(3.4)当且仅当$Q$ 满足等式(3.5)。

4. 相容的Rota-Baxter约当代数

定义4.1 设$\left(J,{\circ }_1,R_1\right)$ 和$\left(J,{\circ }_2,R_2\right)$ 是Rota-Baxter约当代数。如果对于任意$k_1,k_2\in C$ ，由

$x\circ y=k_{1}x{\circ }_{1}y+k_{2}x{\circ }_{2}y,$ $\forall x,y\in J$ (4.1)

定义的代数运算使$\left(J,\circ ,k_1{R}_1+k_2{R}_2\right)$ 是Rota-Baxter约当代数，则称$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2,R_1,R_2\right)$ 是一个相容的Rota-Baxter约当代数。

定理4.2 设$\left(J,{\circ }_1,R_1\right)$ 和$\left(J,{\circ }_2,R_2\right)$ 是Rota-Baxter约当代数。$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2,R_1,R_2\right)$ 是相容的Rota-Baxter约当代数当且仅当$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2\right)$ 是相容的约当代数且对于任意的$x,y\in J$ 满足

$\begin{array}{l}{R}_1\left(x\right){\circ }_1{R}_2\left(y\right)+R_2\left(x\right){\circ }_1{R}_1\left(y\right)+R_1\left(x\right){\circ }_2{R}_1\left(y\right)-R_2\left(R_1\left(x\right){\circ }_{1}y\right)-R_1\left(R_2\left(x\right){\circ }_{1}y\right)\\ -R_1\left(R_1\left(x\right){\circ }_{2}y\right)-R_1\left(x{\circ }_1{R}_2\left(y\right)\right)-R_1\left(x{\circ }_2{R}_1\left(y\right)\right)-R_2\left(x{\circ }_1{R}_1\left(y\right)\right)=0,\end{array}$ (4.2)

$\begin{array}{l}{R}_2\left(x\right){\circ }_1{R}_2\left(y\right)+R_2\left(x\right){\circ }_2{R}_1\left(y\right)+R_1\left(x\right){\circ }_2{R}_2\left(y\right)-R_2\left(R_2\left(x\right){\circ }_{1}y\right)-R_2\left(R_1\left(x\right){\circ }_{2}y\right)\\ -R_1\left(R_2\left(x\right){\circ }_{2}y\right)-R_1\left(x{\circ }_2{R}_2\left(y\right)\right)-R_2\left(x{\circ }_1{R}_2\left(y\right)\right)-R_2\left(x{\circ }_2{R}_1\left(y\right)\right)=0.\end{array}$ (4.3)

证明 由定义2.6可知，$\left(J,\circ \right)$ 是约当代数当且仅当$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2\right)$ 是一个相容的约当代数，对于任意的$k_1,k_2\in C$ ，对于$J$ 上线性变换$k_1{R}_1+k_2{R}_2$ ，考虑等式(4.2)，直接计算可得，

$\left(k_1{R}_1+k_2{R}_2\right)\left(x\right)\circ \left(k_1{R}_1+k_2{R}_2\right)\left(y\right)$

$-\left(k_1{R}_1+k_2{R}_2\right)\left(\left(k_1{R}_1\left(x\right)+k_2{R}_2\left(x\right)\right)\circ y+x\circ \left(k_1{R}_1\left(y\right)+k_2{R}_2\left(y\right)\right)\right)$

$=\left(k_1{R}_1\left(x\right)+k_2{R}_2\left(x\right)\right)\circ \left(k_1{R}_1\left(y\right)+k_2{R}_2\left(y\right)\right)$

$-\left(k_1{R}_1+k_2{R}_2\right)(k_1\left(k_1{R}_1\left(x\right)+k_2{R}_2\left(x\right)\right){\circ }_{1}y-k_2\left(k_1{R}_1\left(x\right)+k_2{R}_2\left(x\right)\right){\circ }_{2}y$

$-k_{1}x{\circ }_1\left(k_1{R}_1\left(y\right)+k_2{R}_2\left(y\right)\right)-k_{2}x{\circ }_2\left(k_1{R}_1\left(y\right)+k_2{R}_2\left(y\right)\right))$

$=k_1^3{R}_1\left(x\right){\circ }_1{R}_1\left(y\right)+k_1^2{k}_2{R}_1\left(x\right){\circ }_1{R}_2\left(y\right)+k_1^2{k}_2{R}_2\left(x\right){\circ }_1{R}_1\left(y\right)+k_1{k}_2^2{R}_2\left(x\right){\circ }_1{R}_2\left(y\right)$

$+k_1^2{k}_2{R}_1\left(x\right){\circ }_2{R}_1\left(y\right)+k_1{k}_2^2{R}_1\left(x\right){\circ }_2{R}_2\left(y\right)+k_1{k}_2^2{R}_2\left(x\right){\circ }_2{R}_1\left(y\right)+k_2^3{R}_2\left(x\right){\circ }_2{R}_2\left(y\right)$

$-k_1^3{R}_1\left(R_1\left(x\right){\circ }_{1}y\right)-k_1^2{k}_2{R}_2\left(R_1\left(x\right){\circ }_{1}y\right)-k_1^2{k}_2{R}_1\left(R_2\left(x\right){\circ }_{1}y\right)-k_1{k}_2^2{R}_2\left(R_2\left(x\right){\circ }_{1}y\right)$

$-k_1^2{k}_2{R}_1\left(R_1\left(x\right){\circ }_{2}y\right)-k_1{k}_2^2{R}_2\left(R_1\left(x\right){\circ }_{2}y\right)-k_1{k}_2^2{R}_1\left(R_2\left(x\right){\circ }_{2}y\right)-k_2^3{R}_2\left(R_2\left(x\right){\circ }_{2}y\right)$

$-k_1^3{R}_1\left(x{\circ }_1{R}_1\left(y\right)\right)-k_1^2{k}_2{R}_1\left(x{\circ }_1{R}_2\left(y\right)\right)-k_1^2{k}_2{R}_1\left(x{\circ }_2{R}_1\left(y\right)\right)-k_1{k}_2^2{R}_1\left(x{\circ }_2{R}_2\left(y\right)\right)$

$-k_1^2{k}_2{R}_2\left(x{\circ }_1{R}_1\left(y\right)\right)-k_1{k}_2^2{R}_2\left(x{\circ }_1{R}_2\left(y\right)\right)-k_1{k}_2^2{R}_2\left(x{\circ }_2{R}_1\left(y\right)\right)-k_2^3{R}_2\left(x{\circ }_2{R}_2\left(y\right)\right)$

$=k_1^3\left(R_1\left(x\right){\circ }_1{R}_1\left(y\right)-R_1\left(x{\circ }_1{R}_1\left(y\right)\right)-R_1\left(R_1\left(x\right){\circ }_{1}y\right)\right)+k_2^3(R_2\left(x\right){\circ }_2{R}_2\left(y\right)$ $-R_2\left(x{\circ }_2{R}_2\left(y\right)\right)-R_2\left(R_2\left(x\right){\circ }_{2}y\right))+k_1^2{k}_2(R_1\left(x\right){\circ }_1{R}_2\left(y\right)+R_2\left(x\right){\circ }_1{R}_1\left(y\right)$

$+R_1\left(x\right){\circ }_2{R}_1\left(y\right)-R_2\left(R_1\left(x\right){\circ }_{1}y\right)-R_1\left(R_2\left(x\right){\circ }_{1}y\right)-R_1\left(R_1\left(x\right){\circ }_{2}y\right)-R_1\left(x{\circ }_1{R}_2\left(y\right)\right)$ $\begin{array}{l}-R_1\left(x{\circ }_2{R}_1\left(y\right)\right)-R_2\left(x{\circ }_1{R}_1\left(y\right)\right))+k_1{k}_2^2(R_2\left(x\right){\circ }_1{R}_2\left(y\right)+R_2\left(x\right){\circ }_2{R}_1\left(y\right)\\ +R_1\left(x\right){\circ }_2{R}_2\left(y\right)-R_2\left(R_2\left(x\right){\circ }_{1}y\right)-R_2\left(R_1\left(x\right){\circ }_{2}y\right)-R_1\left(R_2\left(x\right){\circ }_{2}y\right)-R_1\left(x{\circ }_2{R}_2\left(y\right)\right)\end{array}$ $-R_2\left(x{\circ }_1{R}_2\left(y\right)\right)-R_2\left(x{\circ }_2{R}_1\left(y\right)\right)),$

由于$\left(J,{\circ }_1,R_1\right)$ 和$\left(J,{\circ }_2,R_2\right)$ 是两个Rota-Baxter约当代数，所以$k_1^3$ 和$k_2^3$ 后括号为零，因此$k_1{R}_1+k_2{R}_2$ 满足等式(3.1)当且仅当$R_1,R_2$ 满足等式(4.2)、(4.3)，结论成立。

定义4.3 设$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2,R_1,R_2\right)$ 是一个相容的Rota-Baxter约当代数，$\left(\rho ,V,{\alpha }_1\right)$ 是$\left(J,{\circ }_1,R_1\right)$ 的表示，$\left(\mu ,V,{\alpha }_2\right)$ 是$\left(J,{\circ }_2,R_2\right)$ 的表示，如果对于任意的$k_1,k_2\in F$ ，使得$\left(V,k_1\rho +k_2\mu ,k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2\right)$ 是$\left(J,\circ ,k_1{R}_1+k_2{R}_2\right)$ 的表示，则称$\left(V,\rho ,\mu ,{\alpha }_1,{\alpha }_2\right)$ 是相容的Rota-Baxter约当代数的表示。

命题4.4 设$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2\right)$ 是一个相容的约当代数，$V$ 是线性空间，$\rho ,\mu :J\to End\left(V\right)$ 是一对线性映射，则$\left(V,\rho ,\mu \right)$ 是相容的约当代数$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2\right)$ 的表示当且仅当$\left(k_1\rho +k_2\mu ,V\right)$ 是约当代数$\left(J,k_1{\circ }_1+k_2{\circ }_2\right)$ 的表示。

证明 考虑线性映射$k_1\rho +k_2\mu$ ，

$\left[\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(x\right),\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(y\circ z\right)]+[\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(y\right),\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(z\circ x\right)\right]$ $+\left[\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(z\right),\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(x\circ y\right)\right]$ $=k_1{}^3\left(\left[\rho \left(x\right),\rho \left(y{\circ }_{1}z\right)]+[\rho \left(y\right),\rho \left(z{\circ }_{1}x\right)]+[\rho \left(z\right),\rho \left(x{\circ }_{1}y\right)\right]\right)+k_2^3(\left[\mu \left(x\right),\mu \left(y{\circ }_{2}z\right)\right]$ $+\left[\mu \left(y\right),\mu \left(z{\circ }_{2}x\right)]+[\mu \left(z\right),\mu \left(x{\circ }_{2}y\right)\right])+k_1{}^2{k}_2(\left[\rho \left(x\right),\rho \left(y{\circ }_{2}z\right)]+[\rho \left(y\right),\rho \left(z{\circ }_{2}x\right)\right]$ $+\left[\rho \left(z\right),\rho \left(x{\circ }_{2}y\right)\right]+\mu \left(x\right)\rho \left(y{\circ }_{1}z\right)+\rho \left(x\right)\mu \left(y{\circ }_{1}z\right)+\mu \left(y\right)\rho \left(z{\circ }_{1}x\right)+\rho \left(y\right)\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)$ $+\mu \left(z\right)\rho \left(x{\circ }_{1}y\right)+\rho \left(z\right)\mu \left(x{\circ }_{1}y\right)-\rho \left(y{\circ }_{1}z\right)\mu \left(x\right)-\mu \left(y{\circ }_{1}z\right)\rho \left(x\right)-\rho \left(z{\circ }_{1}x\right)\mu \left(y\right)$ $-\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)\rho \left(y\right)-\rho \left(x{\circ }_{1}y\right)\mu \left(z\right)-\mu \left(x{\circ }_{1}y\right)\rho \left(z\right))+k_2^2{k}_1(\left[\mu \left(x\right),\mu \left(y{\circ }_{1}z\right)\right]$ $+\left[\mu \left(y\right),\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)]+[\mu \left(z\right),\mu \left(x{\circ }_{1}y\right)\right]+\mu \left(x\right)\rho \left(y{\circ }_{2}z\right)+\rho \left(x\right)\mu \left(y{\circ }_{2}z\right)+\mu \left(y\right)\rho \left(z{\circ }_{2}x\right)$ $+\rho \left(y\right)\mu \left(z{\circ }_{2}x\right)+\mu \left(z\right)\rho \left(x{\circ }_{2}y\right)+\rho \left(z\right)\mu \left(x{\circ }_{2}y\right)-\rho \left(y{\circ }_{2}z\right)\mu \left(x\right)-\mu \left(y{\circ }_{2}z\right)\rho \left(x\right)$ $-\rho \left(z{\circ }_{2}x\right)\mu \left(y\right)-\mu \left(z{\circ }_{2}x\right)\rho \left(y\right)-\rho \left(x{\circ }_{2}y\right)\mu \left(z\right)-\mu \left(x{\circ }_{2}y\right)\rho \left(z\right))=0,$

$\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(x\right)\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(y\right)\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(z\right)+\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(z\right)\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(y\right)\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(x\right)$ $+\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(\left(x\circ z\right)\circ y\right)-\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(x\right)\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(y\circ z\right)$ $-\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(y\right)\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(z\circ x\right)-\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(z\right)\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(x\circ y\right)$ $=k_1^3(\rho \left(x\right)\rho \left(y\right)\rho \left(z\right)+\rho \left(z\right)\rho \left(y\right)\rho \left(x\right)+\rho \left(\left(x{\circ }_{1}z\right){\circ }_{1}y\right)-\rho \left(x\right)\rho \left(y{\circ }_{1}z\right)-\rho \left(y\right)\rho \left(z{\circ }_{1}x\right)$ $-\rho \left(z\right)\rho \left(x{\circ }_{1}y\right))+k_2^3(\mu \left(x\right)\mu \left(y\right)\mu \left(z\right)+\mu \left(z\right)\mu \left(y\right)\mu \left(x\right)+\mu \left(\left(x{\circ }_{2}z\right){\circ }_{2}y\right)-\mu \left(x\right)\mu \left(y{\circ }_{2}z\right)$ $-\mu \left(y\right)\mu \left(z{\circ }_{2}x\right)-\mu \left(z\right)\mu \left(x{\circ }_{2}y\right))+k_1^2{k}_2(\rho \left(x\right)\rho \left(y\right)\mu \left(z\right)+\rho \left(x\right)\mu \left(y\right)\rho \left(z\right)+\mu \left(x\right)\rho \left(y\right)\rho \left(z\right)$ $+\rho \left(\left(x{\circ }_{1}z\right){\circ }_{2}y\right)+\rho \left(\left(x{\circ }_{2}z\right){\circ }_{2}y\right)+\mu \left(\left(x{\circ }_{1}z\right){\circ }_{1}y\right)-\rho \left(x\right)\mu \left(y{\circ }_{1}z\right)-\mu \left(x\right)\rho \left(y{\circ }_{1}z\right)$

$-\rho \left(x\right)\rho \left(y{\circ }_{2}z\right)-\rho \left(y\right)\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)-\mu \left(y\right)\rho \left(z{\circ }_{1}x\right)-\rho \left(y\right)\rho \left(z{\circ }_{2}x\right)-\rho \left(z\right)\mu \left(x{\circ }_{1}y\right)$

$-\mu \left(z\right)\rho \left(x{\circ }_{1}y\right)-\rho \left(z\right)\rho \left(x{\circ }_{2}y\right))+k_2^2{k}_1(\mu \left(x\right)\mu \left(y\right)\rho \left(z\right)+\mu \left(y\right)\mu \left(z\right)\rho \left(x\right)+\mu \left(x\right)\mu \left(z\right)\rho \left(y\right)$ $+\rho \left(x{\circ }_{2}z\right){\circ }_{2}y+\mu \left(x{\circ }_{1}z\right){\circ }_{2}y+\mu \left(x{\circ }_{2}z\right){\circ }_{1}y)-\rho \left(x\right)\mu \left(y{\circ }_{2}z\right)-\mu \left(x\right)\rho \left(y{\circ }_{2}z\right)$ $-\mu \left(x\right)\mu \left(y{\circ }_{1}z\right)-\rho \left(y\right)\mu \left(z{\circ }_{2}x\right)-\mu \left(y\right)\rho \left(z{\circ }_{2}x\right) -\mu \left(y\right)\mu \left(z{\circ }_{1}x\right)-\rho \left(z\right)\mu \left(x{\circ }_{2}y\right)$ $-\mu \left(z\right)\rho \left(x{\circ }_{2}y\right) -\mu \left(z\right)\mu \left(x{\circ }_{1}y\right)=0.$

则$k_1\rho +k_2\mu$ 满足(2.1)、(2.2)式当且仅当$\rho ,\mu$ 满足等式(2.3)~(2.6)，所以结论成立。

定理4.5 设$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2,R_1,R_2\right)$ 是一个相容的Rota-Baxter约当代数，则$\left(V,\rho ,\mu ,{\alpha }_1,{\alpha }_2\right)$ 是相容的Rota-Baxter约当代数$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2,R_1,R_2\right)$ 的表示当且仅当$\left(V,\rho \right)$ 是约当代数$\left(J,{\circ }_1\right)$ 的表示，$\left(V,\mu \right)$ 是约当代数$\left(J,{\circ }_2\right)$ 的表示并满足等式(2.3)~(2.6)，且$\rho$ 和$\mu$ 满足

$\begin{array}{l}\rho \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)+\mu \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)+\rho \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)-{\alpha }_1\left(\mu \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_1\left(\rho \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)\\ -{\alpha }_1\left(\rho \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)-{\alpha }_1\left(\mu \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)-{\alpha }_1\left(\mu \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)-{\alpha }_2\left(\rho \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)=0,\end{array}$ (4.4)

$\begin{array}{l}\mu \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)+\rho \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)+\mu \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)-{\alpha }_1\left(\mu \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_2\left(\rho \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)\\ -{\alpha }_2\left(\mu \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_2\left(\rho \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_2\left(\rho \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)-{\alpha }_2\left(\mu \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)=0.\end{array}$ (4.5)

证明 由推论4.4可知，$\left(V,\rho ,\mu \right)$ 是相容约当代数$\left(J,{\circ }_1,{\circ }_2\right)$ 的表示当且仅当$\left(V,\rho \right)$ 是约当代数$\left(J,{\circ }_1\right)$ 的表示，$\left(V,\mu \right)$ 是约当代数$\left(J,{\circ }_2\right)$ 的表示并满足等式(2.3)~(2.6)，对于任意的$k_1,k_2\in C$ ，考虑线性映射$k_1\rho +k_2\mu$

$\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(k_1{R}_1+k_2{R}_2\right)\left(x\right)\left(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2\right)\left(v\right)-\left(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2\right)\left(\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(\left(k_1{R}_1+k_2{R}_2\right)\left(x\right)\right)v\right)$

$-\left(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2\right)\left(\left(k_1\rho +k_2\mu \right)\left(x\right)\left(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2\right)\left(v\right)\right)$

$=k_1^3\rho \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)+k_1^2{k}_2\rho \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)+k_1^2{k}_2\mu \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)+k_1{k}_2^2\mu \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)$

$+k_1^2{k}_2\rho \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)+k_1{k}_2^2\rho \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)+k_1{k}_2^2\mu \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)+k_2^3\mu \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)$

$-k_1^3{\alpha }_1\left(\rho \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)-k_1^2{k}_2{\alpha }_1\left(\mu \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)-k_1^2{k}_2{\alpha }_1\left(\rho \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)-k_1{k}_2^2{\alpha }_1\left(\mu \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)$

$-k_1^3{\alpha }_1\left(\rho \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)-k_1^2{k}_2{\alpha }_1\left(\rho \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)-k_1^2{k}_2{\alpha }_1\left(\mu \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)-k_1{k}_2^2{\alpha }_1\left(\mu \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)$

$-k_1^2{k}_2{\alpha }_2\left(\rho \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)-k_1{k}_2^2{\alpha }_2\left(\mu \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)-k_1{k}_2^2{\alpha }_2\left(\rho \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)-k_2^3{\alpha }_2\left(\mu \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)$

$-k_1^2{k}_2{\alpha }_2\left(\rho \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)-k_1{k}_2^2{\alpha }_2\left(\rho \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)-k_1{k}_2^2{\alpha }_2\left(\mu \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)-k_2^3{\alpha }_2\left(\mu \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)$

$=k_1^3\left(\rho \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)-{\alpha }_1\left(\rho \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_1\left(\rho \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)\right)+k_2^3(\mu \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)$

$-{\alpha }_2\left(\mu \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_2\left(\mu \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right))+k_1^2{k}_2(\rho \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)+\mu \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)$

$-{\alpha }_1\left(\mu \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_1\left(\rho \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_1\left(\rho \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)-{\alpha }_1\left(\mu \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)-{\alpha }_1\left(\mu \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)$

$-{\alpha }_2\left(\rho \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)\right)+\rho \left(R_1\left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)+k_1{k}_2^2(\mu \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_1\left(v\right)+\rho \left(R_2\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)$

$-{\alpha }_1\left(\mu \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_2\left(\rho \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_2\left(\mu \left(R_1\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_2\left(\rho \left(R_2\left(x\right)\right)v\right)-{\alpha }_2\left(\rho \left(x\right){\alpha }_2\left(v\right)\right)$

$-{\alpha }_2\left(\mu \left(x\right){\alpha }_1\left(v\right)+\mu \left(R_1\left(x\right)\right){\alpha }_2\left(v\right)\right),$

由于$\left(\rho ,V,{\alpha }_1\right)$ 是Rota-Baxter约当代数$\left(J,{\circ }_1,R_1\right)$ 的表示，$\left(\mu ,V,{\alpha }_2\right)$ 是Rota-Baxter约当代数$\left(J,{\circ }_2,R_2\right)$ 的表示，所以$k_1^3$ 和$k_2^3$ 后括号为零，因此$k_1\rho +k_2\mu$ 满足(3.2)式当且仅当$\rho$ 和$\mu$ 满足(4.4)、(4.5)式，所以结论成立。

5. 低维Rota-Baxter约当代数上伴随可容许的线性映射的构造

定义5.1 设$\left(J,\circ ,R\right)$ 是权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数，$\left(V,\rho \right)$ 是约当代数$\left(J,\circ \right)$ 的一个表示，$\beta \in End\left(V\right)$ ，如果$\left(V^{*},{\rho }^{*},{\beta }^{*}\right)$ 是$\left(J,\circ ,R\right)$ 的表示，则称$\beta$ 是Rota-Baxter约当代数$\left(J,\circ ,R\right)$ 上与$\left(V,\rho \right)$ 可容许的线性映射。特别地，如果存在一个线性映射$Q\in End\left(J\right)$ 满足等式(4.5)，则称$Q$ 是Rota-Baxter约当代数$\left(J,\circ ,R\right)$ 的伴随可容许的线性映射。

命题5.2 设$\left(J,\circ ,R\right)$ 是权为$\lambda$ 的Rota-Baxter约当代数，$B$ 是一个$(J,\circ )$ 上非退化的不变的双线性型，即$B\left(x\circ y,z\right)=B\left(x,y\circ z\right),\forall x,y,z\in J$ 。令$\widehat{R}$ 是相对于$B$ 的$R$ 的伴随线性映射，即

$B\left(R\left(x\right),y\right)=B\left(x,\widehat{R}\left(y\right)\right),\forall x,y\in J$ ，

则$\widehat{R}$ 是Rota-Baxter约当代数$\left(J,\circ ,R\right)$ 的伴随可容许的线性映射。

证明 对$\forall x,y,x\in J$ ，直接计算得

$\begin{array}{c}B\left(x,\widehat{R}(R\left(y\right)\circ z\right)-R(y)\circ \widehat{R}(z)-R(y\circ \widehat{R}(z))-\lambda y\circ \widehat{R}(z))\\ =B\left(R\left(x\right),R\left(y\right)\circ z\right)-B\left(x\circ R\left(y\right),\widehat{R}\left(z\right)\right)-B\left(R\left(x\right)\circ y,\widehat{R}\left(z\right)\right)-B\left(\lambda x\circ y,\widehat{R}\left(z\right)\right)\\ =B\left(R\left(x\right)\circ R\left(y\right),z\right)-B\left(R\left(x\circ R\left(y\right),z\right)\right)-B\left(R\left(R\left(x\right)\circ y\right),z\right)-B\left(\lambda R\left(x\circ y\right),z\right)\\ =B\left(R\left(x\right)\circ R\left(y\right)-R\left(x\circ R\left(y\right)\right)-R\left(R\left(x\right)\circ y\right)-\lambda R\left(x\circ y\right),z\right),\end{array}$

由$\left(J,\circ ,R\right)$ 是Rota-Baxter约当代数可知，$R$ 满足等式(4.1)，因此上式为0，所以结论成立。

命题5.3 设$\left(J,\circ \right)$ 是一个二维约当代数，$e_1,e_2$ 为$J$ 的基，

1) Rota-Baxter约当代数$\left(J_1,\circ ,R\right)$ 的伴随可容许的线性映射$\widehat{R}$ 在基$e_1,e_2$ 下对应矩阵为0。

2) Rota-Baxter约当代数$\left(J_2,\circ ,R\right)$ 的伴随可容许的线性映射$\widehat{R}$ 在基$e_1,e_2$ 下对应矩阵为

$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& 0\end{array}\right)$ $,a\in C$ 。

3) Rota-Baxter约当代数$\left(J_3,\circ ,R\right)$ 的伴随可容许的线性映射$\widehat{R}$ 在基$e_1,e_2$ 下对应矩阵为

$\left(\begin{array}{cc}0& \frac{ac}{d}\\ 0& b\end{array}\right)$ $,a,b\in J,c,d\in C$ 。

4) Rota-Baxter约当代数$\left(J_4,\circ ,R\right)$ 无伴随可容许的线性映射$\widehat{R}$ 。

5) Rota-Baxter约当代数$\left(J_5,\circ ,R\right)$ 的伴随可容许的线性映射$\widehat{R}$ 在基$e_1,e_2$ 下对应矩阵为

$\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ a-\frac{bc}{d}& a\end{array}\right)$ $,a,b\in J,c,d\in C,d\ne 0$ 或$\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ a+\frac{bc}{d}& 2b\end{array}\right)$ $,a,b\in J,c,d\in C,b,d\ne 0$ 。

6) Rota-Baxter约当代数$\left(J_6,\circ ,R\right)$ 无伴随可容许的线性映射$\widehat{R}$ 。

证明

1) 对于$J_1$ 型二维约当代数。先计算$J_1$ 的双线性型函数$B$ 。设$B\left(e_i,e_j\right)=a_{ij}$ ，$\left(\forall i,j=1,2\right)$ 。由$B\left(e_i{e}_j,e_k\right)=B\left(e_i,e_j{e}_k\right)$ $\left(\forall i,j,k=1,2\right)$ 知，

$B\left(e_1{e}_1,e_2\right)=B\left(2e_1,e_2\right)=a_{12}=B\left(e_1,e_1{e}_2\right)=B\left(e_1,0\right)=0$ ，

$B\left(e_1{e}_2,e_2\right)=B\left(0,e_1\right)=0=B\left(e_1,e_2{e}_2\right)=B\left(e_2,2e_1\right)=a_{21}$ ，

因此$a_{12}=0$ ，$a_{21}=0$ ，所以双线性型函数在基$e_1,e_2$ 下对应度量矩阵为$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& 0\\ 0& a_{22}\end{array}\right)$ ，当且仅当且$a_{22}\ne 0$ 时，$B$ 是非退化的。

由命题2.9可知，$J_1$ 上的Rota-Baxter算子为0。$\forall x,y\in J$ ，由$B\left(x,\widehat{R}\left(y\right)\right)=B\left(R\left(x\right),y\right)=0$ 且$B$ 非退化可知，$\widehat{R}\left(y\right)=0$ ，所以$\widehat{R}=0$ 。因此，可容许的伴随线性映射$\widehat{R}$ 对应矩阵为0。

2) 对于$J_2$ 型二维约当代数，先计算$J_2$ 的双线性型函数$B$ 。设$B\left(e_i,e_j\right)=a_{ij}$ ，$\forall i,j=1,2$ 。由$B\left(e_i{e}_j,e_k\right)=B\left(e_i,e_j{e}_k\right)$ ，$\forall i,j,k=1,2$ 知，

$B\left(2e_2,e_1\right)=2a_{21}=B\left(e_1,2e_2\right)=2a_{12}$ ，

$B\left(0,e_1\right)=0=B\left(e_2,2e_2\right)=2a_{22}$ ，

其余情况得到的均为恒等式，即$a_{12}=a_{21}$ ，$a_{22}=0$ ，所以双线性型函数在基$e_1,e_2$ 下对应度量矩阵为$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& 0\end{array}\right)$ ，当且仅当$a_{12}\ne 0$ 时，$B$ 是非退化的。

由命题2.9可知，$J_2$ 上的Rota-Baxter算子$R$ 在基$e_1,e_2$ 下对应矩阵为$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& 0\end{array}\right)$ ，则$R\left(e_1\right)=a{e}_2$ ，$R\left(e_2\right)=0$ 。设$\widehat{R}\left(e_1,e_2\right)=\left(e_1,e_2\right)\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$ ，由$\widehat{R}$ 的定义可知，

$B\left(R\left(e_1\right),e_1\right)=B\left(a{e}_2,e_1\right)=a{a}_{12}=B(e_1,\widehat{R}\left(e_1\right)=B\left(e_1,b_{11}{e}_1+b_{21}{e}_2\right)=b_{11}{a}_{11}+b_{21}{a}_{12}$ ，

$B\left(R\left(e_2\right),e_1\right)=B\left(0,e_1\right)=0=B\left(e_2,\widehat{R}\left(e_1\right)\right)=B\left(e_2,b_{11}{e}_1+b_{21}{e}_2\right)=b_{11}{a}_{12}$ ，

$B\left(R\left(e_1\right),e_2\right)=B\left(a{e}_2,e_2\right)=0=B\left(e_1,\widehat{R}\left(e_2\right)\right)=B\left(e_1,b_{12}{e}_1+b_{22}{e}_2\right)=b_{12}{a}_{11}+b_{22}{a}_{12}$ ，

$B\left(R\left(e_2\right),e_2\right)=B\left(0,e_2\right)=0=B\left(e_2,\widehat{R}\left(e_2\right)\right)=B\left(e_2,b_{12}{e}_1+b_{22}{e}_2\right)=b_{12}{a}_{12}$ ，

即$b_{11}{a}_{11}+b_{21}{a}_{12}=a{a}_{12}$ ，$b_{11}{a}_{12}=0$ ，$b_{12}{a}_{12}=0$ ，$b_{12}{a}_{11}+b_{22}{a}_{12}=0$ 。由$a_{12}\ne 0$ 可知$b_{11}=b_{12}=b_{22}=0$ ，$b_{21}=a$ ，因此可容许的伴随线性映射$\widehat{R}$ 对应矩阵为$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& 0\end{array}\right)$ 。

3) 对于$J_3$ 型二维约当代数，$J_3$ 上的非退化不变的双线性型函数$B$ 与$J_1$ 相同，在基$e_1,e_2$ 下对应度量矩阵为$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& 0\\ 0& a_{22}\end{array}\right)$ ，当且仅当$a_{11}\ne 0$ 且$a_{22}\ne 0$ 时，$B$ 是非退化的。

由命题2.9可知，$J_3$ 上的Rota-Baxter算子在基$e_1,e_2$ 下对应矩阵为$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& b\end{array}\right)$ ，则$R\left(e_1\right)=a{e}_2$ ，$R(e_2)=b{e}_2$ 。设$\widehat{R}\left(e_1,e_2\right)=\left(e_1,e_2\right)\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$ ，由$\widehat{R}$ 的定义可知，

$B\left(R\left(e_1\right),e_1\right)=B\left(a{e}_2,e_1\right)=0=B(e_1,\widehat{R}\left(e_1\right)=B\left(e_1,b_{11}{e}_1+b_{21}{e}_2\right)=b_{11}{a}_{11}$ ，

$B\left(R\left(e_2\right),e_1\right)=B\left(b{e}_2,e_1\right)=0=B\left(e_2,\widehat{R}\left(e_1\right)\right)=B\left(e_2,b_{11}{e}_1+b_{21}{e}_2\right)=b_{21}{a}_{22}$ ，

$B\left(R\left(e_1\right),e_2\right)=B\left(a{e}_2,e_2\right)=a{a}_{22}=B\left(e_1,\widehat{R}\left(e_2\right)\right)=B\left(e_1,b_{12}{e}_1+b_{22}{e}_2\right)=b_{12}{a}_{11}$ ，

$B\left(R\left(e_2\right),e_2\right)=B\left(b{e}_2,e_2\right)=b{a}_{22}=B\left(e_2,\widehat{R}\left(e_2\right)\right)=B\left(e_2,b_{12}{e}_1+b_{22}{e}_2\right)=b_{22}{a}_{22}$ ，

即$b_{11}{a}_{11}=b_{21}{a}_{22}=0$ ，$b_{12}{a}_{11}=a{a}_{22}$ ，$b_{22}{a}_{22}=b{a}_{22}$ 。由$a_{11}\ne 0$ 且$a_{22}\ne 0$ 可知，$b_{11}=b_{21}=0$ ，$b_{12}=\frac{a{a}_{22}}{a_{11}}$ ，$b_{22}=b$ ，因此可容许的伴随线性映射$\widehat{R}$ 对应矩阵为$\left(\begin{array}{cc}0& \frac{a{a}_{22}}{a_{11}}\\ 0& b\end{array}\right)$ 。

4) 对于$J_4$ 型二维约当代数，$J_4$ 上运算为$e_1{e}_1=2e_1,e_1{e}_2=e_2,e_2{e}_1=e_2,e_2{e}_2=0$ 。先计算$J_4$ 的双线性型函数$B$ 。设$B\left(e_i,e_j\right)=a_{ij}$ ，$\forall i,j=1,2$ ，由$B\left(e_i{e}_j,e_k\right)=B\left(e_i,e_j{e}_k\right)$ ，$\forall i,j,k=1,2$ 可知，

$B\left(e_1{e}_2,e_2\right)=B\left(e_2,e_2\right)=a_{22}=B\left(e_1,e_2{e}_2\right)=B\left(e_1,0\right)=0$ ，

$B\left(e_1{e}_1,e_2\right)=B\left(2e_1,e_2\right)=2a_{12}=B\left(e_1,e_1{e}_2\right)=B\left(e_1,e_2\right)=a_{12}$ ，

$B\left(e_2,e_1{e}_1\right)=B\left(e_2,2e_1\right)=2a_{21}=B\left(e_2{e}_1,e_1\right)=B\left(e_2,e_1\right)=a_{21}$ ，

即$a_{12}=a_{21}=a_{22}=0$ ，所以双线性型函数在基$e_1,e_2$ 下对应度量矩阵为$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ，则$B$ 一定不是非退化的，不满足命题5.2内容，无可容许的伴随线性映射$\widehat{R}$ 。

5) 对于$J_5$ 型二维约当代数，$J_5$ 上的非退化不变的双线性型函数$B$ 与$J_2$ 相同，在基$e_1,e_2$ 下对应度量矩阵为$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& 0\end{array}\right)$ ，当且仅当$a_{12}\ne 0$ 时，$B$ 是非退化的。

由命题2.9可知，$J_5$ 上的Rota-Baxter算子在基$e_1,e_2$ 下对应矩阵有两种：$R_1:\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& b\end{array}\right)$ ，$R_2:\left(\begin{array}{cc}2b& 0\\ a& b\end{array}\right)\left(b\ne 0\right)$ 。

设${\widehat{R}}_1\left(e_1,e_2\right)=\left(e_1,e_2\right)\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$ ，由${\widehat{R}}_1$ 的定义可知，

$B\left(R_1\left(e_1\right),e_1\right)=B\left(a{e}_2,e_1\right)=a{a}_{12}=B\left(e_1,{\widehat{R}}_1\left(e_1\right)\right)=B\left(e_1,b_{11}{e}_1+b_{21}{e}_2\right)=b_{11}{a}_{11}+b_{21}{a}_{12}$ ，

$B\left(R_1\left(e_2\right),e_1\right)=B\left(b{e}_2,e_1\right)=b{a}_{12}=B\left(e_2,{\widehat{R}}_1\left(e_1\right)\right)=B\left(e_2,b_{11}{e}_1+b_{21}{e}_2\right)=b_{11}{a}_{12}$ ，

$B\left(R_1\left(e_1\right),e_2\right)=B\left(a{e}_2,e_2\right)=0=B\left(e_1,{\widehat{R}}_1\left(e_2\right)\right)=B\left(e_1,b_{12}{e}_1+b_{22}{e}_2\right)=b_{12}{a}_{11}+b_{22}{a}_{12}$ ，

$B\left(R_1\left(e_2\right),e_2\right)=B\left(b{e}_2,e_2\right)=0=B\left(e_2,{\widehat{R}}_1\left(e_2\right)\right)=B\left(e_2,b_{12}{e}_1+b_{22}{e}_2\right)=b_{12}{a}_{12}$ ，

即$b_{11}{a}_{11}+b_{21}{a}_{12}=a{a}_{12}$ ，$b_{11}{a}_{12}=b{a}_{12}$ ，$b_{12}{a}_{11}+b_{22}{a}_{12}=0$ ，$b_{12}{a}_{12}=0$ ，所以有$b_{11}=b$ ，$b_{12}=0$ ，$b_{21}=a-\frac{b{a}_{11}}{a_{12}}$ ，$b_{22}=0$ 。因此，可容许的伴随线性映射${\widehat{R}}_1$ 对应矩阵为$\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ a-\frac{b{a}_{11}}{a_{12}}& a\end{array}\right)$ 。

设${\widehat{R}}_2\left(e_1,e_2\right)=\left(e_1,e_2\right)\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$ ，由${\widehat{R}}_2$ 的定义可知，

$B\left(R_2\left(e_1\right),e_1\right)=B\left(2b{e}_1+a{e}_2,e_1\right)=2b{a}_{11}+a{a}_{12}=B\left(e_1,{\widehat{R}}_2\left(e_1\right)\right)=b_{11}{a}_{11}+b_{21}{a}_{12}$ ，

$B\left(R_2\left(e_2\right),e_1\right)=B\left(b{e}_2,e_1\right)=b{a}_{12}=B\left(e_2,{\widehat{R}}_2\left(e_1\right)\right)=B\left(e_2,b_{11}{e}_1+b_{21}{e}_2\right)=b_{11}{a}_{12}$ ，

$B\left(R_2\left(e_1\right),e_2\right)=B\left(2b{e}_1+a{e}_2,e_2\right)=2b{a}_{12}=B\left(e_1,{\widehat{R}}_2\left(e_2\right)\right)=b_{12}{a}_{11}+b_{22}{a}_{12}$ ，

$B\left(R_2\left(e_2\right),e_2\right)=B\left(b{e}_2,e_2\right)=0=B\left(e_2,{\widehat{R}}_2\left(e_2\right)\right)=B\left(e_2,b_{12}{e}_1+b_{22}{e}_2\right)=b_{12}{a}_{12}$ ，

即$b_{11}{a}_{11}+b_{21}{a}_{12}=2b{a}_{11}+a{a}_{12}$ ，$b_{11}{a}_{12}=b{a}_{12}$ ，$b_{22}{a}_{12}=2b{a}_{12}$ ，$b_{12}{a}_{12}=0$ ，所以有$b_{11}=b$ ，$b_{12}=0$ ，$b_{21}=\frac{b{a}_{11}}{a_{12}}+a$ ，$b_{22}=2b$ 。因此，可容许的伴随线性映射${\widehat{R}}_2$ 对应矩阵为$\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ a+\frac{b{a}_{11}}{a_{12}}& 2b\end{array}\right)$ 。

6) 对于$J_6$ 型二维约当代数。先计算$J_2$ 的双线性型函数$B$ 。设$B\left(e_i,e_j\right)=a_{ij}$ ，$\forall i,j=1,2$ 。由$B\left(e_i{e}_j,e_k\right)=B\left(e_i,e_j{e}_k\right)$ ，$\forall i,j,k=1,2$ 可知，双线性型函数在基$e_1,e_2$ 下对应度量矩阵为$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ，则$B$ 一定不是非退化的，不满足命题5.2内容，无可容许的伴随线性映射$\widehat{R}$ 。