一类泊松流形的同调

The Homology of Poisson Manifolds

摘要: 本文旨在探讨一类特定的泊松流形——Iwasawa流形和幂零流形的同调群。通过引入全纯泊松流形的概念，运用Koszul-Brylinski同调和全纯Koszul-Brylinski同调的工具，我们计算了这些流形的同调群。结果表明，幂零流形在某些条件下具有可预见的同调结构，这为理解泊松几何中的深层次联系提供了新的视角。

Abstract: This paper aims to explore the homology groups of a specific class of Poisson manifolds, namely Iwasawa manifolds and nilpotent manifolds. By introducing the concept of holomorphic Poisson manifolds and using tools such as Koszul-Brylinski homology and holomorphic Koszul-Brylinski homology, we compute the homology groups of these manifolds. The results show that nilpotent manifolds possess predictable homological structures under certain conditions, offering new perspectives for understanding the deep connections in Poisson geometry.

1. 引言

泊松结构最早出现在经典动力学中，用于描述哈密顿系统中的动力学。对空间${ℝ}^{2r}$ 及其任意光滑函数$F$ 和$G$ ，定义

$\left\{F,G\right\}={\displaystyle \sum _{i=1}^r\left(\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial G}{\partial q_i}\frac{\partial F}{\partial q_i}\right)}$ (1)

这里$q_1,p_1,\cdots ,q_r,p_r$ 是${ℝ}^{2r}$ 的坐标函数。因此，在${ℝ}^{2r}$ 中的一个质点的哈密顿运动方程为：

${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial pi},{\dot{P}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i},i=1,\cdots ,r$ ， (2)

其中，$H$ 是汉密尔顿量$H=H\left(q,p\right)$ 。等价地，哈密顿运动方程(2)可以通过公式(1)表示为：

${\dot{q}}_i=\left\{q_i,H\right\},{\dot{p}}_i=-\left\{p_i,H\right\},i=1,\mathrm{...},r。$ (3)

对于这些微分方程的每个解$t\mapsto \left(q\left(t\right),p\left(t\right)\right)$ ，由公式(1)和公式(3)可得，对于任意的${ℝ}^{2r}$ 上的光滑函数$F$ ，总有：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}F\left(q\left(t\right),p\left(t\right)\right)=\left\{F,H\right\}\left(q\left(t\right),p\left(t\right)\right)$ 。

因此，泊松结构在哈密顿系统中占据了关键性的角色。

经过多年的研究，尤其是最近四十多年来，人们对流形的泊松结构有了深入的认识和理解。人们发现(实)泊松结构自然地出现在许多研究领域中，其中既包括微分几何、辛几何、可积系统和李理论，也包括经典(量子)力学和弦论等。例如，作为数学物理中一种从经典动力系统出发构造量子动力系统的重要方法，形变量子化自然地与泊松结构有着密切的联系。这一构造思想最早可追溯到Moyal和Weyl等人。在随后的几十年中，Lichnerowicz、Drinfel’d及Fedosov等人在这方面都作出了杰出的贡献。实泊松流形形变量子化的存在性是Kontsevich在1998年获得菲尔兹奖的工作之一。他在[1]中通过构造流形上多重向量场空间到光滑函数空间的Hochschild上链复形的$L_{\infty }$ -拟同构映射(即Formality定理)，从而证明了泊松流形的函数空间作为一个泊松代数是可量子化的。Kontsevich的Formality定理本质上说给定一个光滑流形，其形变量子化在规范等价意义下与泊松结构在等价意义下是一一对应的。

在许多情况下，如代数几何、复几何、表示论、规范理论等领域中，泊松结构实际上是全纯的，这一点在文献[2]-[5]等中有所体现。从代数几何的角度研究泊松结构，至少可以追溯到Bondal [6]和Polishchuk [7]的工作，读者可以通过[8]了解关于全纯泊松结构的代数几何的知识。作为泊松几何中的研究热点之一，在最近的二十多年中，全纯泊松流形得到了人们广泛的研究。特别地，人们从代数几何、复几何和泊松几何等领域研究了全纯泊松流形，并取得了许多重要成果。1997年，为了分类泊松代数簇上的二次泊松结构，尝试证明Bondal的猜想[6]，Polishchuck [9]探索了全纯泊松流形的胀开(blow-up)。最近，在Polishchuck的工作基础上，Pym [10]在双有理意义下对全纯泊松射影曲面和三维正则全纯泊松射影流形进行了分类。2010年，基于Evens等[11]关于李代数胚的相关理论，Stiénon [12]证明了全纯泊松流形上Koszul-Brylinski同调的Evens-路-Weinstein对偶。2012年左右，Hitchin [2]、Fiorenz-Manetti等[13]和Ran [14]各自从不同的角度出发研究了全纯泊松结构的形变问题。最近，Hong等[15]和Hong [16]计算了几类特殊全纯泊松流形的Lichnerowicz-Poisson上同调；Chen及其合作者[17] [18]从广义复几何出发研究了全纯泊松流形的Lichnerowicz-Poisson上同调。

本文的主要目的是计算一类全纯泊松流形的全纯Koszul-Brylinski同调。Koszul-Brylinski同调最初是由Koszul和Brylinski分别在20世纪70年代和80年代独立引入的，目的是解决一些与泊松流形上的代数结构相关的问题，具体来说，它是为了弥补传统的同调理论(如de Rham同调、奇异同调等)在处理具有泊松结构的流形时的不足。随着研究的深入，在复泊松几何中，由Koszul-Brylinski同调逐渐发展出了全纯Koszul-Brylinski同调的框架，这一扩展进一步拓宽了该理论的应用范围。具体而言，假设$\left(X\text{,}\left\{\text{-,-}\right\}\right)$ 是一个复维数为$n$ 的紧致全纯泊松流形，且$\pi \in H^0\left(X,{\wedge }^2{\mathcal{T}}_X\right)$ 是给定的全纯泊松双向量场，则有全纯Koszul-Brylinski复形：

$0\to {\Omega }_X^n\stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }{\Omega }_X^{n-1}\stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }{\Omega }_X^{n-2}\stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }{\Omega }_X^{n-3}\stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }\cdots \stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }{\mathcal{O}}_X\to 0$ ，

其中，${\partial }_{\pi }$ 是Koszul-Brylinski算子，${\partial }_{\pi }:={\iota }_{\pi }\partial -\partial {\iota }_{\pi }$ 。上述层复形的超同调，记作$H_{•}\left(X,\pi \right)$ ，称为X的全纯Koszul-Brylinski同调。

通常来说，全纯泊松流形的全纯Koszul-Brylinski同调同时受到流形的复结构和泊松结构的影响，因此其计算的难度很大。据我们所知，只有一些特定的类被计算出来[19] [20]，本文主要是研究Iwasawa流形和六维幂零流形的同调计算。Iwasawa流形作为特殊的幂零流形，长期以来都受到人们的关注。作为一类非凯莱流形，也是全纯平行流形。Nakamura [21]计算了Iwasawa流形的Kuranishi空间并分类了Iwasawa流形的形变。更一般地，幂零流形作为一类重要的紧致的非凯莱流形，通常情况下具有良好的几何结构，如辛结构等，因此自然地有着重要的应用。事实上，Benson和Gordon [22]证明了一个复幂零流形是凯莱流形当且仅当它是一个环面。因此，从这个角度看，研究Iwasawa流形和幂零流形的同调有着自然的意义。通过这些计算，我们可以深入理解这些流形的拓扑结构和几何结构，并尝试将其应用于更广泛的数学物理和几何学中。

2. 预备知识

在本节中，我们将回顾关于全纯泊松流形以及全纯泊松流形的Koszul-Brylinski同调的基本概念。设$M$ 为一个复流形，${\mathcal{O}}_M$ 表示其结构层(即全纯函数的层)，${\Omega }_M^p$ 表示全纯$p$ -形式的层，而${\mathcal{T}}_M$ 则表示全纯向量场的层。

定义2.1 一个复流形$M$ 被称为全纯Poisson流形，如果存在一个截面$\pi \in \Gamma \left(M,{\wedge }^2{\mathcal{T}}_M\right)$ ，使得$\overline{\partial }\pi =0$ 且${\left[\pi ,\pi \right]}_{SN}=0$ ，其中${\left[\text{-,-}\right]}_{SN}$ 表示Schouten括号，这样的$\pi$ 被称为$M$ 的全纯Poisson双向量场。

这里的${\left[-,-\right]}_{SN}$ 是流形上的Schouten括号，其定义在流形上的多重向量场之间：对于两个$p$ -重向量场$X=X_1\wedge \cdots \wedge X_p\in \Gamma \left({\wedge }^{p}TM\right)$ 和$Y=Y_1\wedge \cdots \wedge Y_q\in \Gamma \left({\wedge }^{q}TM\right)$ ，Schouten括号定义为：

$\left[X,Y\right]={\left(-1\right)}^{p+1}{\displaystyle \sum _{i=1}^p{\displaystyle \sum _{j=1}^q{\left(-1\right)}^{i+j}\left[X_i,Y_j\right]}}\wedge X_1\wedge \cdots \wedge {\widehat{X}}_i\wedge \cdots \wedge X_p\wedge Y_1\wedge \cdots \wedge {\widehat{Y}}_j\wedge \cdots \wedge Y_q$ 。

Koszul-Brylinski同调由Koszul [23]和Brylinski [24]独立地引入。设$\left(M,\pi \right)$ 是一个全纯泊松流形。$\left(M,\pi \right)$ 的全纯形式层上的Koszul-Brylinski算子定义如下：

${\partial }_{\pi }:=\left[{\iota }_{\pi },\partial \right]={\iota }_{\pi }\partial -\partial {\iota }_{\pi }:{\Omega }_X^p\to {\Omega }_X^{p-1}$ 。

其中，算子$\partial$ 定义为：局部上，对一个一般的$\left(p,q\right)$ -型微分形式，；Dolbeault算子$\overline{\partial }$ 定义为：对$\left(p,q\right)$ -型微分形式，；

而${\iota }_{\pi }$ 是关于全纯泊松二向量场$\pi$ 的缩并算子，${\iota }_p:{\Omega }^{•}\left(\mathcal{A}\right)\to {\Omega }^{•-p}\left(\mathcal{A}\right)$ ，对$\omega =\text{d}{F}_1\wedge \cdots \wedge \text{d}{F}_k\in {\Omega }^k\left(\mathcal{A}\right)$ 有：

${\iota }_p\left(\text{d}{F}_1\wedge \cdots \wedge \text{d}{F}_k\right)={\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{p,k-p}}\mathrm{sgn}\left(\sigma \right)P\left[F_{\sigma (1)},\cdots ,F_{\sigma (p)}\right]\text{d}{F}_{\sigma (p+1)}}\wedge \cdots \wedge \text{d}{F}_{\sigma (k)}$ 。

$X$ 的全纯Koszul-Brylinski复形是以下的层复形：

$0\to {\Omega }_X^n\stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }{\Omega }_X^{n-1}\stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }{\Omega }_X^{n-2}\stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }{\Omega }_X^{n-3}\stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }\cdots \stackrel{{}_{{\partial }_{\pi }}}{\to }{\mathcal{O}}_X\to 0$ ，注意${\partial }_{\pi }$ 的度是$-1$ 。

定义2.2 全纯Poisson流形$\left(M,\pi \right)$ 的第$k$ 阶Koszul-Brylinski同调定义为其全纯Koszul-Brylinski复形的第$k$ 阶超同调，也就是说，

$H_k\left(M,\pi \right):={ℍ}^k\left(M,\left({\Omega }_M^{•},{\partial }_{\pi }\right)\right)$ 。

引理2.3 设$\left(M,\pi \right)$ 是一个全纯Poisson流形。则它的全纯Koszul-Brylinski复形具有一个分解，该分解是双重复形$\left(A_M^{•,•},{\partial }_{\pi },\overline{\partial }\right)$ 的总复形

$\begin{array}{ccccc}& \uparrow & & \uparrow & \\ \to & A^{p-1,q}& \stackrel{\overline{\partial }}{\to }& A^{p-1,q+1}& \to \\ & {\partial }_{\pi }\uparrow & & {\partial }_{\pi }\uparrow & \\ \to & A^{p,q}& \stackrel{\overline{\partial }}{\to }& A^{p,q+1}& \to \\ & \uparrow & & \uparrow & \end{array}$

其中，$A_M^{p,q}$ 是$M$ 上$\left(p,q\right)$ -形式空间。

根据Stiénon的结果[25]，全纯Evens-Lu-Weinstein配对在全纯Koszul-Brylinski同调上是非退化的。更精确地说，如果$\left(X,\pi \right)$ 是一个复维数为$n$ 的紧致全纯泊松流形，那么对于$0\le k\le 2n$ ，存在同构

$H_{2n-k}\left(X,\pi \right)\cong H_k\left(X,\pi \right)$ 。

从对偶的角度来看，存在一个全纯的Lichnerowicz-Poisson复形$\left({\wedge }^{•}{\mathcal{T}}_X,b_{\pi }\right)$ ，其结构为：

$0\to {\mathcal{O}}_X\stackrel{b_{\pi }}{\to }\cdots \stackrel{b_{\pi }}{\to }{\wedge }^{s-1}{\mathcal{T}}_X\stackrel{b_{\pi }}{\to }{\wedge }^s{\mathcal{T}}_X\stackrel{b_{\pi }}{\to }{\wedge }^{s+1}{\mathcal{T}}_X\stackrel{b_{\pi }}{\to }\cdots \stackrel{b_{\pi }}{\to }{\wedge }^n{\mathcal{T}}_X\to 0$，

其中，$b_{\pi }(-)=\left[\pi ,-\right]$ 。$\left({\wedge }^{•}{\mathcal{T}}_X,b_{\pi }\right)$ 的第$k$ 阶超上同调称为第$k$ 阶全纯Lichnerowicz-Poisson上同调，即：

$H^k\left(X,\pi \right):={ℍ}^k\left(X,\left({\wedge }^{•}{\mathcal{T}}_X,b_{\pi }\right)\right)$ 。

设$X$ 存在一个全纯体积形式$\omega \in \Gamma \left(X,{\Omega }_X^n\right)$ ，那么对于每个$s\in \left\{0,1,\cdots ,n\right\}$ ，存在自然的层映射

${\iota }_{(-)}\omega :{\wedge }^s{\mathcal{T}}_X\to {\Omega }_X^{n-s}$ 。

然而，这个映射并不能诱导出从复形$\left({\wedge }^{•}{\mathcal{T}}_X,b_{\pi }\right)$ 到复形$\left({\Omega }_X^{•},{\partial }_{\pi }\right)$ 的映射。原因在于，下面的图表通常不是交换的：

$\begin{array}{ccc}{\wedge }^s{\mathcal{T}}_X& \underset{{\iota }_{(-)}\omega }{\to }& {\Omega }_X^{n-s}\\ b_{\pi }\downarrow & & {\partial }_{\pi }\downarrow \\ {\wedge }^{s+1}{\mathcal{T}}_X& \underset{{\iota }_{(-)}\omega }{\to }& {\Omega }_X^{n-s-1}\end{array}$

所以有了以下定义。

定义2.4 [20]如果一个全纯泊松流形$\left(X,\pi \right)$ 存在一个全纯体积形式$\omega$ ，使得态射${\iota }_{(-)}\omega$ 诱导出一个从复形$\left({\wedge }^{•}{\mathcal{T}}_X,b_{\pi }\right)$ 到复形$\left({\Omega }_X^{•},{\partial }_{\pi }\right)$ 的态射，则称$\left(X,\pi \right)$ 为单模流形。

等价地，当且仅当${\partial }_{\pi }\omega =0$ ，或者由Weinstein和Brylinski-Zuckerman引入的模量向量场消失，则称$\left(X,\pi \right)$ 为单模流形。

推论2.5 如果全纯泊松流形$\left(X,\pi \right)$ 是单模流形，那么对于任何$k\in \mathbb{Z}$ 都有同构关系：

$H_k\left(X,\pi \right)\cong H^{2n-k}\left(X,\pi \right)$ ，

其中，$n={\text{dim}}_{ℂ}X$ 。

3. 主要结果

首先，让我们回顾一些关于复数域上的幂零流形的基本概念。设$G$ 是一个具有李代数$\mathfrak{g}$ 的复数域上的幂零李群，其复化形式为${\mathfrak{g}}_{ℂ}:=\mathfrak{g}{\otimes }_{ℝ}ℂ$ 。设$H$ 是$G$ 的一个离散子群，假设$M=G/H$ 是与之相关的幂零流形，它同时配备了一个左不变的复结构$J$ 和一个左不变的全纯泊松双向量场$\pi$ 。那么，对任意的$p>0$ ，存在一个复形到复形的自然包含：

$i:\left({\wedge }^{p,•}{\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*},\overline{\partial }\right)\mapsto \left(\Gamma \left(M,{\mathcal{A}}_M^{p,•}\right),\overline{\partial }\right)$ 。 (4)

引理3.1 如果映射公式(4)是一个拟同构，那么双复形$\left({\wedge }^{•,•}{\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*},{\partial }_{\pi },\overline{\partial }\right)$ 的总上同调和$H_{•}\left(M,\pi \right)$ 是同构的。

3.1. Iwasawa流形

设$H\left(3;ℂ\right)$ 是一个海森堡李群：

$H\left(3;ℂ\right)=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& z_1& z_2\\ 0& 1& z_3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)|z_1,z_2,z_3\in {ℂ}^3\right\}\subset GL\left(3;{ℂ}^3\right)$ 。

作为复流形，$H\left(3;ℂ\right)$ 同构于${ℂ}^3$ 。考虑离散群$G_3:=GL\left(3;\mathbb{Z}\left[\sqrt{-1}\right]\right)\cap H\left(3;ℂ\right)$ ，其中$\mathbb{Z}\left[\sqrt{-1}\right]=\left\{a+b\sqrt{-1}|a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ 是高斯整数集合。左乘法导致了在$H\left(3;ℂ\right)$ 上自然存在的$G_3$ -作用。相应地，${ℂ}^3$ 上的$G_3$ -作用为$\left(a_1,a_2,a_3\right)\cdot \left(z_1,z_2,z_3\right):=\left(a_1+z_1,a_2+z_2,a_3+z_3\right)$ ，其中$a_1,a_2,a_3\in \mathbb{Z}\left[\sqrt{-1}\right]$ 。这样的$G_3$ -作用对应一个单射$f:G_3\to Aff\left({ℂ}^3\right)$ ，这里$Aff\left({ℂ}^3\right)$ 是${ℂ}^3$ 的仿射变换群，因此$G_3$ -作用是忠实的。于是，我们得到$G_3$ -商空间${\mathbb{I}}_3:={ℂ}^3/G_3$ 并称其为Iwasawa流形。Iwasawa流形是非凯莱的、非形式的，并且复可平行化的[26] [27]。

我们用${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,0}$ 来表示$H\left(3;ℂ\right)$ 上左不变全纯微分形式的空间，且${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,0}$ 有一组基$w^1=\text{d}{z}_1,w^2=\text{d}{z}_2-w^3=\text{d}{z}_3$ 满足下列结构方程：

$\{\begin{array}{l}\text{d}{w}^1=0\hfill \\ \text{d}{w}^2=-w^1\wedge w^3\hfill \\ \text{d}{w}^3=0\hfill \end{array}$ 。

$H\left(3;ℂ\right)$ 上的左不变全纯向量场的李代数记作${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,0}$ ，其具有对偶基：

$X_1=\frac{\partial }{\partial z_1},X_2=\frac{\partial }{\partial z_2},X_3=\frac{\partial }{\partial z_3}+z_1\frac{\partial }{\partial z_2}$ ，

相应的结构方程为：$\left[X_1,X_2\right]=\left[X_2,X_3\right]=0,\left[X_1,X_3\right]=X_2$ 。

注意到${\mathbb{I}}_3$ 上的每个左不变的全纯双向量场$\pi$ 可以表示为$\pi =c_1{X}_1\wedge X_2+c_2{X}_1\wedge X_3+c_3{X}_2\wedge X_3$ ，其中$c_1,c_2,c_3$ 是常数。由结构方程可以验证当且仅当$c_2=0$ 时，有$\left[\pi ,\pi \right]=0$ 。此时，$\pi$ 表示为两个兼容的泊松双向量场${\pi }_{12}=X_1\wedge X_2$ 和${\pi }_{23}=X_2\wedge X_3$ 的线性组合。同时，在${\wedge }^{p,•}{\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}$ 上，由于${\partial }_{{\pi }_{12}}={\partial }_{{\pi }_{23}}=0$ ，我们得到${\partial }_{\pi }=0$ 。

我们现在考虑全纯泊松流形$\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)$ 的全纯Koszul-Brylinski同调，这里$\pi$ 是${\mathbb{I}}_3$ 上左不变的全纯泊松双向量场。为方便起见，我们记$w^{i_1{i}_2\cdots i_p\overline{j_1}\overline{j_2}\cdots \overline{j_q}}=w^{i_1}\wedge w^{i_2}\wedge \cdots \wedge w^{i_p}\wedge w\overline{{}^{j_1}}\wedge w\overline{{}^{j_2}}\wedge \cdots \wedge w\overline{{}^{j_q}}$ 。

我们将算子$\left({\partial }_{\pi }+\overline{\partial }\right)$ 作用到${\mathbb{I}}_3$ 的每一个微分形式，但由于${\partial }_{\pi }=0$ ，因此我们需要且只需要考虑$\overline{\partial }$ 的作用，从而由结构方程得到下列结果：

1) 观察到${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,0}=\langle w^{123}\rangle$ ，并且${\partial }_{\pi }=0$ ，因此有$H_0\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)=\langle w^{123}\rangle \cong ℂ$ 。

2) 注意到${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,1}=\langle w^{123\overline{1}},w^{123\overline{2}},w^{123\overline{3}}\rangle$ 。我们有$\overline{\partial }{w}^{123\overline{1}}=\overline{\partial }{w}^{123\overline{3}}=0$ ，$\overline{\partial }{w}^{123\overline{2}}=w^{123\overline{1}\overline{3}}$ ，所以得到${\partial }_{\pi }|{\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,1}=0$ 和$\text{ker }\overline{\partial }\cap {\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,1}=\langle w^{123\overline{1}},w^{123\overline{3}}\rangle$，由于${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,0}=\langle w^{12},w^{13},w^{23}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{12}=\overline{\partial }{w}^{23}=0$ 。因为1阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,1}$ 和${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,0}$ 影响，所以

$H_1\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)=\langle \left[w^{123\overline{1}}\right],\left[w^{123\overline{3}}\right],\left[w^{12}\right],\left[w^{13}\right],\left[w^{23}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。

3) 注意到${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,2}=\langle w^{123\overline{1}\overline{2}},w^{123\overline{1}\overline{3}},w^{123\overline{2}\overline{3}}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{123\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{123\overline{1}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{123\overline{2}\overline{3}}=0$ ，因为${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,2}=\langle w^{12\overline{1}},w^{12\overline{2}},w^{12\overline{3}},w^{13\overline{1}},w^{13\overline{2}},w^{13\overline{3}},w^{23\overline{1}},w^{23\overline{2}},w^{23\overline{3}}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{12\overline{1}}=\overline{\partial }{w}^{12\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{13\overline{1}}=\overline{\partial }{w}^{13\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{23\overline{1}}=\overline{\partial }{w}^{23\overline{3}}=0$ ，$\overline{\partial }{w}^{12\overline{2}}=-w^{12\overline{1}\overline{3}},\overline{\partial }{w}^{13\overline{2}}=-w^{13\overline{1}\overline{3}},\overline{\partial }{w}^{23\overline{2}}=-w^{23\overline{1}\overline{3}}$ ，所以得到${\partial }_{\pi }|{\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,1}=0$ 和$\text{ker }\overline{\partial }\cap {\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,1}=\langle w^{12\overline{1}},w^{12\overline{3}},w^{13\overline{1}},w^{13\overline{3}},w^{23\overline{1}},w^{23\overline{3}}\rangle$，因为${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,0}=\langle w^1,w^2,w^3\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^1=\overline{\partial }{w}^2=\overline{\partial }{w}^3=0$ 。因为2阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,0}$ 影响，所以

$H_2\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{123\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{123\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{12\overline{1}}\right],\left[w^{12\overline{3}}\right],\left[w^{13\overline{1}}\right],\\ \left[w^{13\overline{3}}\right],\left[w^{23\overline{1}}\right],\left[w^{23\overline{3}}\right],\left[w^1\right],\left[w^2\right],\left[w^3\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^{11}$ 。

4) 注意到${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,3}=\langle w^{123\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{123\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=0$ ，因为${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,2}=\langle w^{12\overline{1}\overline{2}},w^{12\overline{1}\overline{3}},w^{12\overline{2}\overline{3}},w^{13\overline{1}\overline{2}},w^{13\overline{1}\overline{3}},w^{13\overline{2}\overline{3}},$ $w^{23\overline{1}\overline{2}},w^{23\overline{1}\overline{3}},w^{23\overline{2}\overline{3}}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{12\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{12\overline{1}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{12\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{13\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{13\overline{1}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{13\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{23\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{23\overline{1}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{23\overline{2}\overline{3}}=0$ ，又${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,1}=\langle w^{1\overline{1}},w^{1\overline{2}},w^{1\overline{3}},w^{2\overline{1}},w^{2\overline{2}},w^{2\overline{3}},w^{3\overline{1}},w^{3\overline{2}},w^{3\overline{3}}\rangle$ ，且$\overline{\partial }{w}^{1\overline{1}}=w^{1\overline{3}}=w^{2\overline{1}}=w^{2\overline{3}}=w^{3\overline{1}}=w^{3\overline{3}}=0$ ，所以得到${\partial }_{\pi }|{\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,1}=0$ 且$\text{ker }\overline{\partial }\cap {\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,1}=\langle w^{1\overline{1}},w^{1\overline{3}},w^{2\overline{1}},w^{2\overline{3}},w^{3\overline{1}},w^{3\overline{3}}\rangle$。又${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,0}=\langle w\rangle$ ，因为3阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,3}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,2}$ 、${\partial }_{\pi }|{\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,0}$ 影响，所以

$H_3\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{1\overline{1}}\right],\left[w^{1\overline{3}}\right],\left[w^{2\overline{1}}\right],\left[w^{2\overline{3}}\right],\left[w^{3\overline{1}}\right],\left[w^{3\overline{3}}\right],\left[w\right],\left[w^{123\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\\ \left[w^{12\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{12\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{13\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{13\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{23\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{23\overline{2}\overline{3}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^{14}$ 。

5) 注意到${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,3}=\langle w^{12\overline{1}\overline{2}\overline{3}},w^{13\overline{1}\overline{2}\overline{3}},w^{23\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{12\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{13\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{23\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=0$ ，因为${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,2}=\langle w^{1\overline{1}\overline{2}},w^{1\overline{1}\overline{3}},w^{1\overline{2}\overline{3}},w^{2\overline{1}\overline{2}},w^{2\overline{1}\overline{3}},w^{2\overline{2}\overline{3}},w^{3\overline{1}\overline{2}},w^{3\overline{1}\overline{3}},w^{3\overline{2}\overline{3}}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{1\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{1\overline{1}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{1\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{2\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{2\overline{1}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{2\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{3\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{3\overline{1}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{3\overline{2}\overline{3}}=0$ ，又因为${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,1}=\langle w^{\overline{1}},w^{\overline{2}},w^{\overline{3}}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{\overline{1}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{3}}=0,\overline{\partial }{w}^{\overline{2}}=-\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}}$ ，所以得到${\partial }_{\pi }|{\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,1}=0$ 且$\text{ker }\overline{\partial }\cap {\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,1}=\langle w^{\overline{1}},w^{\overline{3}}\rangle$，因为4阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,3}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,1}$ 影响，所以

$H_4\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{12\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{13\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{23\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{1\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{1\overline{2}\overline{3}}\right],\\ \left[w^{2\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{2\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{3\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{3\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{\overline{1}}\right],\left[w^{\overline{3}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^{11}$ 。

6) 注意到${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,3}=\langle w^{1\overline{1}\overline{2}\overline{3}},w^{2\overline{1}\overline{2}\overline{3}},w^{3\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{1\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{2\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=w^{3\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=0$ ，又因为${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,2}=\langle w^{\overline{1}\overline{2}},w^{\overline{2}\overline{3}},w^{\overline{1}\overline{3}}\rangle$ ，我们有$\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}}=0$ ，因为5阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,3}$ 和${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,2}$ 影响，所以

$H_5\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)=\langle \left[w^{1\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{2\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{3\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{\overline{2}\overline{3}}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。

7) 显然${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,3}=\langle w^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\rangle$ ，并且$\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=0$ ，所以$H_6\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)=\langle w^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\rangle \cong ℂ$ 。

通过上述讨论，我们得到了表1，记录了$\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)$ 的全纯Koszul-Brylinski同调。

Table 1. Holomorphic Koszul-Brylinski homology of $\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)$

表1. $\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)$ 的全纯Koszul-Brylinski同调

k	0	1	2	3	4	5	6
$H_k\left({\mathbb{I}}_3,\pi \right)$	$ℂ$	${ℂ}^5$	${ℂ}^{11}$	${ℂ}^{14}$	${ℂ}^{11}$	${ℂ}^5$	$ℂ$

3.2. 六维幂零流形

受Iwasawa流形的启发，我们深入探索了幂零李群

$\text{G}=\left\{A=\left(\begin{array}{cccc}1& z_1& z_2& z_3\\ 0& 1& z_4& z_5\\ 0& 0& 1& z_6\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)|z_1,z_2\cdots z_6\in ℂ\right\}\subset \text{GL}\left(4;ℂ\right)$ 。

我们把$\text{G}$ 看作一个复流形，它与复向量空间${ℂ}^6$ 是同构的。现在，我们考虑$\text{G}$ 中的离散子群$\text{H}$ ，它由$\text{GL}\left(4;\mathbb{Z}\left[\sqrt{-1}\right]\right)$ 与$\text{G}$ 的交集构成，即$\text{H}:=\text{GL}\left(4;\mathbb{Z}\left[\sqrt{-1}\right]\right)\cap \text{G}$ 。通过左乘法，$\text{H}$ 在$\text{G}$ 上有一个自然的作用，而这个忠实表示在${ℂ}^6$ 上为：

$\begin{array}{l}\left(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\right)\cdot \left(z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6\right)\\ =\left(z_1+a_1,z_2+a_1{z}_4+a_2,z_3+a_1{z}_5+a_2{z}_6+a_3,z_4+a_4,z_5+a_4{z}_6+a_5,z_6+a_6\right)。\end{array}$

相应的$\text{H}$ -商空间${\mathbb{I}}_6:={ℂ}^6/\text{H}$ 构成一个六维的紧致复流形。另外，记${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,0}$ 为$\text{G}$ 上的左不变全纯微分形式的集合，它的一组基为：

$w_1=\text{d}{w}_1,w_2=\text{d}{z}_2-z_1\text{d}{z}_4,w_3=\text{d}{z}_3-z_1\text{d}{z}_5+\left(z_1{z}_4-z_2\right)\text{d}{z}_6$ ，

$w_4=\text{d}{z}_4,w_5=\text{d}{z}_5-z_4\text{d}{z}_6,w_6=\text{d}{z}_6$ ，

相应的结构方程是：

$\{\begin{array}{l}\text{d}{w}_1=\text{d}{w}_4=\text{d}{w}_6=0\hfill \\ \text{d}{w}_2=-w_1\wedge w_4\hfill \\ \text{d}{w}_3=-w_1\wedge w_5-w_2\wedge w_6\hfill \\ \text{d}{w}_5=-w_4\wedge w_6\hfill \end{array}$ ，

对偶地，$\text{G}$ 的左不变全纯向量场的李代数，记作${\mathfrak{g}}_{ℂ}^{1,0}$ ，有一组基：

$X_1=\frac{\partial }{\partial z_1},X_2=\frac{\partial }{\partial z_2},X_3=\frac{\partial }{\partial z_3},X_4=\frac{\partial }{\partial z_4}+z_1\frac{\partial }{\partial z_2}$ ，

$X_5=\frac{\partial }{\partial z_5}+z_1\frac{\partial }{\partial z_3},X_6=\frac{\partial }{\partial z_6}+z_2\frac{\partial }{\partial z_3}+z_4\frac{\partial }{\partial z_5}$ 。

对偶基的唯一非平凡关系是：$\left[X_1,X_4\right]=X_2,\left[X_1,X_5\right]=\left[X_2,X_6\right]=X_3,\left[X_4,X_6\right]=X_5$ 。

我们将研究六维幂零流形${\mathbb{I}}_6$ 上特定的全纯泊松结构[18] [19]。这些结构通过左不变全纯双向量场来描述，为了简化表达，我们定义$w^{i_1{i}_2\cdots i_p\overline{j_1}\overline{j_2}\cdots \overline{j_q}}=w^{i_1}\wedge w^{i_2}\wedge \cdots \wedge w^{i_p}\wedge w\overline{{}^{j_1}}\wedge w\overline{{}^{j_2}}\wedge \cdots \wedge w\overline{{}^{j_q}}$ ，其中$1\le p,q\le 6$ ，我们将分析${\mathbb{I}}_6$ 在以下三个全纯泊松双向量场下的全纯Koszul-Brylinski同调：

${\pi }_1=X_2\wedge X_3,{\pi }_2=X_1\wedge X_6,{\pi }_3=X_1\wedge X_3$ 。

3.2.1. $H\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)$ 的计算

我们将算子$\left({\partial }_{{\pi }_1}+\overline{\partial }\right)$ 作用到${\mathbb{I}}_6$ 的每一个微分形式后，根据结构方程可以得到下列结果：

1) 观察到${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,0}=\langle w^{123456}\rangle$ 且${\partial }_{{\pi }_1}{w}^{123456}=0$ ，我们得到$H_0\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)=\langle \left[w^{123456}\right]\rangle \cong ℂ$ 。

2) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,1}$ 上，由于$\overline{\partial }{w}^{\overline{1}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{6}}=0$ ，$\overline{\partial }{w}^{\overline{2}}=-w^{\overline{1}\overline{4}},\overline{\partial }{w}^{\overline{3}}=-w^{\overline{1}\overline{5}}-w^{\overline{2}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{5}}=-w^{\overline{4}\overline{6}}$ ，我们得到$H^{6,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123456\overline{1}}\right],\left[w^{123456\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^3$ 。在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,0}$ 上，由于${\partial }_{{\pi }_1}{w}^{12345}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{12456}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{23456}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{12346}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{12356}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{13456}=0$ ，我们得到$H^{5,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{12345}\right],\left[w^{12456}\right],\left[w^{23456}\right],\left[w^{12346}\right],\left[w^{12356}\right],\left[w^{13456}\right]\rangle \cong {ℂ}^6$ 。因为1阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,1}$ 和${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,0}$ 影响，所以

$H_1\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{123456\overline{1}}\right],\left[w^{123456\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{6}}\right],\left[w^{12345}\right],\\ \left[w^{12456}\right],\left[w^{23456}\right],\left[w^{12346}\right],\left[w^{12356}\right],\left[w^{13456}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^9$ 。

3) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,2}$ 上，由于

$\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{4}\overline{5}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{6}}+\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{5}}=0,$

$\begin{array}{l}\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}}=w^{\overline{1}\overline{2}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{5}}=w^{\overline{1}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{6}}=-w^{\overline{1}\overline{4}\overline{6}},\\ \overline{\partial }{w}^{\overline{3}\overline{6}}=-w^{\overline{1}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}}=w^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}}-w^{\overline{1}\overline{2}\overline{5}},\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{5}}=-w^{\overline{1}\overline{4}\overline{5}}+w^{\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\\ \overline{\partial }{w}^{\overline{3}\overline{5}}=w^{\overline{2}\overline{5}\overline{6}}+w^{\overline{3}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{3}\overline{4}}=w^{\overline{1}\overline{4}\overline{5}}+w^{\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\end{array}$

我们得到$H^{6,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123456\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{123456\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,1}$ 上，由于${\partial }_{{\pi }_1}{w}^{12345}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{12346}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{12456}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{13456}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{12356}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{23456}=0$ ，我们得到

$H^{5,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{12345\overline{1}}\right],\left[w^{12345\overline{4}}\right],\left[w^{12345\overline{4}}\right],\left[w^{12346\overline{1}}\right],\left[w^{12346\overline{4}}\right],\left[w^{12346\overline{4}}\right],\\ \left[w^{12356\overline{1}}\right],\left[w^{12356\overline{4}}\right],\left[w^{12356\overline{4}}\right],\left[w^{12456\overline{1}}\right],\left[w^{12456\overline{4}}\right],\left[w^{12456\overline{4}}\right],\\ \left[w^{13456\overline{1}}\right],\left[w^{13456\overline{4}}\right],\left[w^{13456\overline{4}}\right],\left[w^{23456\overline{1}}\right],\left[w^{23456\overline{4}}\right],\left[w^{23456\overline{4}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^{18}$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,0}$ 上，由于

$\begin{array}{l}{\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1234}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1245}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1246}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1456}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{2345}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{2456}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{3456}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1235}\\ ={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1345}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1236}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{2346}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{2356}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1256}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1346}={\partial }_{{\pi }_1}{w}^{1356}=0,\end{array}$

我们得到$H^{4,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{15}$ 。因为2阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,0}$ 影响，所以

$H_2\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)\cong {ℂ}^{38}$ 。

4) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,3}$ 上，由于

$\begin{array}{c}\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{4}\overline{5}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{4}\overline{5}}\\ =\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{3}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{5}}-\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{3}\overline{4}\overline{6}}+\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{5}\overline{6}}=0,\end{array}$

$\begin{array}{l}\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{5}}=-w^{\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}}=-w^{\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}\overline{5}}=-w^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}-w^{\overline{1}\overline{2}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}\overline{4}}=w^{\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{5}},\\ \overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}\overline{5}}=-w^{\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}+w^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{5}},\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}\overline{6}}=w^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}-w^{\overline{1}\overline{2}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{3}\overline{4}\overline{5}}=-w^{\overline{2}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{3}\overline{4}\overline{6}}=w^{\overline{1}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{5}\overline{6}}=-w^{\overline{1}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\end{array}$

我们得到

$H^{6,3}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{6}}\right],\\ \left[w^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{123456\overline{3}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{4}\overline{5}\overline{6}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^6$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,2}$ 上，我们得到

$H^{5,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{i\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{i\overline{1}\overline{6}}\right],\left[w^{i\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{i\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{i\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^{30}$ ，

$\left(i=12345,23456,12456,12346,13456,12356\right)$

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,1}$ 上，我们得到

$H^{4,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{1234\overline{j}}\right],\left[w^{1245\overline{j}}\right],\left[w^{1246\overline{j}}\right],\left[w^{1456\overline{j}}\right],\left[w^{2345\overline{j}}\right],\\ \left[w^{2456\overline{j}}\right],\left[w^{3456\overline{j}}\right],\left[w^{1235\overline{j}}\right],\left[w^{1345\overline{j}}\right],\left[w^{1236\overline{j}}\right],\\ \left[w^{2346\overline{j}}\right],\left[w^{2356\overline{j}}\right],\left[w^{1256\overline{j}}\right],\left[w^{1346\overline{j}}\right],\left[w^{1356\overline{j}}\right]\end{array}\right\}$ ，

$H^{4,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{45}\left(j=\overline{1},\overline{4},\overline{6}\right)$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,0}$ 上，我们得到$H^{3,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{20}$ 。因为3阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,3}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,0}$ 影响，所以

$H_3\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)\cong {ℂ}^{101}$ 。

5) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,4}$ 上，由于

$\begin{array}{c}\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{5}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}\overline{5}\overline{6}}\\ =\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}-\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}=0,\end{array}$

$\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{5}}=w^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}=w^{\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}=w^{\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}\overline{5}\overline{6}}=w^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},$

我们得到$H^{6,4}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}}\right],\left[w^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{6}}\right],\left[w^{\overline{1}\overline{3}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[w^{\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,3}$ 上，我们得到

$H^{5,3}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{i\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{i\overline{1}\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{i\overline{1}\overline{3}\overline{6}}\right],\left[w^{i\overline{2}\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{i\overline{3}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[w^{i\overline{4}\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^{36}$ ，

$\left(i=12345,23456,12456,12346,12356,13456\right)$

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,2}$ 上，我们得到

$H^{4,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{1234\overline{j}}\right],\left[w^{1245\overline{j}}\right],\left[w^{1246\overline{j}}\right],\left[w^{1456\overline{j}}\right],\left[w^{2345\overline{j}}\right],\\ \left[w^{2456\overline{j}}\right],\left[w^{3456\overline{j}}\right],\left[w^{1235\overline{j}}\right],\left[w^{1345\overline{j}}\right],\left[w^{1236\overline{j}}\right],\\ \left[w^{2346\overline{j}}\right],\left[w^{2356\overline{j}}\right],\left[w^{1256\overline{j}}\right],\left[w^{1346\overline{j}}\right],\left[w^{1356\overline{j}}\right]\end{array}\right\}$ ，

$H^{4,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{75}\left(\overline{j}=\overline{1}\overline{2},\overline{1}\overline{6},\overline{2}\overline{4},\overline{4}\overline{5},\overline{5}\overline{6}\right)$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,1}$ 上，我们得到$H^{3,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{60}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,0}$ 上，我们得到$H^{2,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{15}$ 。因为4阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,4}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,3}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,0}$ 影响，所以

$H_4\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)\cong {ℂ}^{191}$ 。

6) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,5}$ 上，由于$\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=0$ ，我们得到

$H^{6,5}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^3$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,4}$ 上，我们得到$H^{5,4}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{30}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,3}$ 上，我们得到$H^{4,3}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{90}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,2}$ 上，我们得到$H^{3,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{100}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,1}$ 上，我们得到$H^{2,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{45}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,0}$ 上，我们得到$H^{1,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^6$ 。因为5阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,5}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,4}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,3}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1,0}$ 影响，所以

$H_5\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)\cong {ℂ}^{274}$ 。

7) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,6}$ 上，由于$\overline{\partial }{w}^{\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=0$ ，我们得到$H^{6,6}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong ℂ$ 。在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,5}$ 上，我们得到$H^{5,5}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{18}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,4}$ 上，我们得到$H^{4,4}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{75}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,3}$ 上，我们得到$H^{3,3}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{120}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,2}$ 上，我们得到$H^{2,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{75}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1，1}$ 上，我们得到$H^{1,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{18}$ ，在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,0}$ 上，我们得到$H^{0,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong ℂ$ 。因为6阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,6}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,5}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,4}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,3}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{1，1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{0,0}$ 影响，所以

$H_6\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)\cong {ℂ}^{308}$ 。

通过上述讨论，我们得到表2。

Table 2. Holomorphic Koszul-Brylinski homology of $\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)$

表2. $\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)$ 的全纯Koszul-Brylinski同调

k	0	1	2	3	4	5	6
$H_k\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)$	$ℂ$	${ℂ}^9$	${ℂ}^{38}$	${ℂ}^{101}$	${ℂ}^{191}$	${ℂ}^{274}$	${ℂ}^{308}$
$H^{12-k}\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_1\right)$	$ℂ$	${ℂ}^9$	${ℂ}^{38}$	${ℂ}^{101}$	${ℂ}^{191}$	${ℂ}^{274}$	${ℂ}^{308}$

3.2.2. $H\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)$ 的计算

我们将算子$\left({\partial }_{{\pi }_2}+\overline{\partial }\right)$ 作用到${\mathbb{I}}_6$ 的每一个微分形式后，根据结构方程可以得到下列结果：

1) 观察到${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,0}=\langle w^{123456}\rangle$ 且${\partial }_{{\pi }_2}{w}^{123456}=0$ ，我们得到$H_0\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)=\langle \left[w^{123456}\right]\rangle \cong ℂ$ 。

2) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,1}$ 上，由于$\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{6}}=0,\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}}=-w^{123456\overline{1}\overline{4}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{5}}=-w^{123456\overline{4}\overline{6}}$ ，$\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}}=-w^{123456\overline{1}\overline{5}}-w^{123456\overline{2}\overline{6}}$ ，我们得到$H^{6,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123456\overline{1}}\right],\left[w^{123456\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^3$ 。在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,0}$ 上，由于${\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12345}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12456}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{23456}=0,$ ${\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12346}=w^{1245},{\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12356}=w^{1345}-w^{2346},$ ${\partial }_{{\pi }_2}{w}^{13456}=-w^{2456}$ ，我们得到$H^{5,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{12345}\right],\left[w^{12456}\right],\left[w^{23456}\right]\rangle \cong {ℂ}^3$ 。因为1阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,1}$ 和${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,0}$ 影响，所以

$H_1\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)=\langle \left[w^{12345}\right],\left[w^{12456}\right],\left[w^{23456}\right]\left[w^{123456\overline{1}}\right],\left[w^{123456\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^6$ 。

3) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,2}$ 上，由于

$\begin{array}{c}\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{4}\overline{5}}\\ =\overline{\partial }{w}^{123456\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{5}}+\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{6}}=0,\end{array}$

$\begin{array}{c}\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}}=w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{5}}=w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{6}}=-w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{6}},\\ \overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{3}}=w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}}-w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{5}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{5}}=w^{123456\overline{2}\overline{5}\overline{6}}+w^{123456\overline{3}\overline{4}\overline{6}},\end{array}$

$\begin{array}{c}\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{4}}=w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{5}}+w^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{6}}=-w^{123456\overline{1}\overline{5}\overline{6}},\\ \overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{5}}=-w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{5}}+w^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\end{array}$

我们得到

$H^{6,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123456\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{123456\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,1}$ 上，由于

$\begin{array}{c}{\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12345\overline{1}}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12345\overline{4}}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12345\overline{6}}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12456\overline{1}}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12456\overline{4}}\\ ={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{12456\overline{6}}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{23456\overline{1}}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{23456\overline{4}}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{23456\overline{6}}=0,\end{array}$

我们得到

$H^{5,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{12345\overline{1}}\right],\left[w^{12345\overline{4}}\right],\left[w^{12345\overline{6}}\right],\left[w^{23456\overline{1}}\right],\left[w^{23456\overline{4}}\right]\\ \left[w^{23456\overline{6}}\right],\left[w^{12456\overline{1}}\right],\left[w^{12456\overline{4}}\right],\left[w^{12456\overline{6}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^9$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,0}$ 上，由于

${\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1234}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1245}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1246}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1456}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{2345}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{2456}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{3456}={\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1345}-{\partial }_{{\pi }_2}{w}^{2346}=0,$

${\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1235}=-w^{234},{\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1345}=-w^{245},{\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1236}=-w^{134}+w^{125},{\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1256}=w^{145}-w^{246},$

${\partial }_{{\pi }_2}{w}^{2346}=-w^{245},{\partial }_{{\pi }_2}{w}^{2356}=-w^{345},{\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1346}=-w^{145}-w^{246},{\partial }_{{\pi }_2}{w}^{1356}=-w^{256}-w^{346},$

我们得到$H^{4,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{1234}\right],\left[w^{1246}\right],\left[w^{1456}\right],\left[w^{2345}\right],\left[w^{3456}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。因为2阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,0}$ 影响，所以

$H_2\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{1234}\right],\left[w^{1246}\right],\left[w^{1456}\right],\left[w^{2345}\right],\left[w^{3456}\right]\\ \left[w^{12345\overline{1}}\right],\left[w^{12345\overline{4}}\right],\left[w^{12345\overline{6}}\right],\left[w^{23456\overline{1}}\right],\left[w^{23456\overline{4}}\right]\\ \left[w^{23456\overline{6}}\right],\left[w^{12456\overline{1}}\right],\left[w^{12456\overline{4}}\right],\left[w^{12456\overline{6}}\right]\\ \left[w^{123456\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{123456\overline{5}\overline{6}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^{19}$ 。

4) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,3}$ 上，由于

$\begin{array}{c}\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{5}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{5}}\\ =\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}}-\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{5}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{4}\overline{6}}+\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{5}\overline{6}}=0,\end{array}$

$\begin{array}{l}\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{5}}=-w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}}=-w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{5}}=-w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}-w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{5}\overline{6}},\\ \overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{4}}=w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{5}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{5}}=-w^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}+w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{5}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{6}}=w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}-w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{5}\overline{6}},\\ \overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{4}\overline{5}}=-w^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{4}\overline{6}}=w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{5}\overline{6}}=-w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\end{array}$

我们得到

$H^{6,3}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{6}}\right],\\ \left[w^{123456\overline{3}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{4}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{5}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^6$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,2}$ 上，我们得到

$H^{5,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{i\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{i\overline{1}\overline{6}}\right],\left[w^{i\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{i\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{i\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^{15}\left(i=12345,23456,12456\right)$ ，

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,1}$ 上，我们得到

$H^{4,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{1234\overline{j}}\right],\left[w^{1246\overline{j}}\right],\left[w^{1456\overline{j}}\right],\left[w^{2345\overline{j}}\right],\left[w^{3456\overline{j}}\right]\rangle \cong {ℂ}^{15}\left(j=\overline{1},\overline{4},\overline{6}\right)$ ，

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,0}$ 上，我们得到

$H^{3,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123}\right],\left[w^{124}\right],\left[w^{146}\right],\left[w^{356}\right],\left[w^{456}\right],\left[w^{235}\right]\rangle \cong {ℂ}^6$ 。

因为3阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,3}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,0}$ 影响，所以

$H_3\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)\cong {ℂ}^{42}$ 。

5) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,4}$ 上，由于

$\begin{array}{c}\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{5}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{5}\overline{6}}\\ =\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}-\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}=0,\\ \overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{5}}=w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}=w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{6}}=w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{5}\overline{6}}=w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}},\end{array}$

我们得到

$H^{6,4}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{2}\overline{3}\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{123456\overline{3}\overline{4}\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,3}$ 上，我们得到

$H^{5,3}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{i\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[w^{i\overline{1}\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{i\overline{1}\overline{3}\overline{6}}\right],\left[w^{i\overline{2}\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{i\overline{3}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[w^{i\overline{4}\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^{18}$ ，

$\left(i=12345,23456,12456\right)$

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,2}$ 上，我们得到

$H^{4,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{1234\overline{j}}\right],\left[w^{1246\overline{j}}\right],\left[w^{1456\overline{j}}\right],\left[w^{2345\overline{j}}\right],\left[w^{3456\overline{j}}\right]\rangle \cong {ℂ}^{25}\left(\overline{j}=\overline{1}\overline{2},\overline{1}\overline{6},\overline{2}\overline{4},\overline{4}\overline{5},\overline{5}\overline{6}\right)$ ，

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,1}$ 上，我们得到

$H^{3,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123\overline{j}}\right],\left[w^{124\overline{j}}\right],\left[w^{146\overline{j}}\right],\left[w^{356\overline{j}}\right],\left[w^{235\overline{j}}\right],\left[w^{456\overline{j}}\right]\rangle \cong {ℂ}^{18}\left(\overline{j}=\overline{1},\overline{4},\overline{6}\right)$ ，

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,0}$ 上，我们得到

$H^{2,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{12}\right],\left[w^{16}\right],\left[w^{24}\right],\left[w^{45}\right],\left[w^{56}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。

因为4阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,4}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,3}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{2,0}$ 影响，所以

$H_4\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)\cong {ℂ}^{71}$ 。

以此计算，我们得到

$H_5\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)\cong {ℂ}^{96}$ ，$H_6\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)\cong {ℂ}^{106}$ 。

最终我们得到表3。

Table 3. Holomorphic Koszul-Brylinski homology of $\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)$

表3. $\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)$ 的全纯Koszul-Brylinski同调

k	0	1	2	3	4	5	6
$H_k\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)$	$ℂ$	${ℂ}^6$	${ℂ}^{19}$	${ℂ}^{42}$	${ℂ}^{71}$	${ℂ}^{96}$	${ℂ}^{106}$
$H^{12-k}\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_2\right)$	$ℂ$	${ℂ}^6$	${ℂ}^{19}$	${ℂ}^{42}$	${ℂ}^{71}$	${ℂ}^{96}$	${ℂ}^{106}$

3.2.3. $H\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)$ 的计算

我们将算子$\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)$ 作用到${\mathbb{I}}_6$ 的每一个微分形式后，根据结构方程可以得到下列结果：

1) 观察到${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,0}=\langle w^{123456}\rangle$ ，且${\partial }_{{\pi }_3}{w}^{123456}=0$ ，我们得到$H_0\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)=\langle \left[w^{123456}\right]\rangle \cong ℂ$ 。

2) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,1}$ 上，由于$\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{6}}=0,$ $\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}}=-w^{123456\overline{1}\overline{4}},$ $\overline{\partial }{w}^{123456\overline{5}}=-w^{123456\overline{4}\overline{6}},$ $\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}}=-w^{123456\overline{1}\overline{5}}-w^{123456\overline{2}\overline{6}}$ ，我们得到$H^{6,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123456\overline{1}}\right],\left[w^{123456\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^3$ 。在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,0}$ 上，由于${\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12345}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12346}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12456}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{13456}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{23456}=0,{\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12356}=-w^{1456}$ ，我们得到$H^{5,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{12345}\right],\left[w^{12346}\right],\left[w^{12456}\right],\left[w^{13456}\right],\left[w^{23456}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。因为1阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,1}$ 和${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,0}$ 影响，所以

$H_1\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{12345}\right],\left[w^{12346}\right],\left[w^{12456}\right],\left[w^{13456}\right],\\ \left[w^{23456}\right]\left[w^{123456\overline{1}}\right],\left[w^{123456\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{6}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^8$ 。

3) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,2}$ 上，由于

$\begin{array}{c}\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{2}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{4}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{4}\overline{5}}\\ =\overline{\partial }{w}^{123456\overline{4}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{5}\overline{6}}=\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{5}}+\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{6}}=0,\\ \overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{3}}=w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{1}\overline{5}}=w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{6}}=-w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{6}},\\ \overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{3}}=w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{4}}-w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{5}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{5}}=w^{123456\overline{2}\overline{5}\overline{6}}+w^{123456\overline{3}\overline{4}\overline{6}},\\ \overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{4}}=w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{5}}+w^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\overline{\partial }{w}^{123456\overline{3}\overline{6}}=-w^{123456\overline{1}\overline{5}\overline{6}},\\ \overline{\partial }{w}^{123456\overline{2}\overline{5}}=-w^{123456\overline{1}\overline{4}\overline{5}}+w^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{6}},\end{array}$

我们得到$H^{6,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{123456\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{123456\overline{1}\overline{6}}\right],\left[w^{123456\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{123456\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{123456\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^5$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,1}$ 上，由于

$\begin{array}{c}{\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12345\overline{1}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12345\overline{4}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12345\overline{6}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12346\overline{1}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12346\overline{4}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12346\overline{6}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12456\overline{1}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12456\overline{4}}\\ ={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{12456\overline{6}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{13456\overline{1}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{13456\overline{4}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{13456\overline{6}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{23456\overline{1}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{23456\overline{4}}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{23456\overline{6}}=0,\end{array}$

$\begin{array}{l}\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12345\overline{2}}=w^{12345\overline{1}\overline{4}},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12345\overline{3}}=\left(w^{\overline{1}\overline{5}}+w^{\overline{2}\overline{6}}\right)w^{12345},\\ \left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12345\overline{5}}=w^{12345\overline{4}\overline{6}},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12356\overline{1}}=-w^{1456\overline{1}},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{23456\overline{5}}=w^{23456\overline{4}\overline{6}},\\ \left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12356\overline{2}}=-w^{1456\overline{2}}+w^{12356\overline{1}\overline{4}},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12356\overline{5}}=-w^{1456\overline{5}}+w^{12356\overline{4}\overline{6}},\end{array}$

$\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12356\overline{3}}=-w^{1456\overline{3}}+\left(w^{\overline{1}\overline{5}}+w^{\overline{2}\overline{6}}\right)w^{12356},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12356\overline{4}}=-w^{1456\overline{4}},$

$\begin{array}{l}\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12356\overline{6}}=-w^{1456\overline{6}},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12346\overline{2}}=w^{12346\overline{1}\overline{4}},\\ \left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12346\overline{3}}=\left(w^{\overline{1}\overline{5}}+w^{\overline{2}\overline{6}}\right)w^{12346},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12346\overline{5}}=w^{12346\overline{4}\overline{6}},\\ \left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12456\overline{2}}=w^{12456\overline{1}\overline{4}},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12456\overline{3}}=\left(w^{\overline{1}\overline{5}}+w^{\overline{2}\overline{6}}\right)w^{12456},\\ \left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{12456\overline{5}}=w^{12456\overline{4}\overline{6}},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{13456\overline{2}}=w^{13456\overline{1}\overline{4}},\\ \left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{13456\overline{3}}=\left(w^{\overline{1}\overline{5}}+w^{\overline{2}\overline{6}}\right)w^{13456},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{13456\overline{5}}=w^{13456\overline{4}\overline{6}},\\ \left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{23456\overline{2}}=w^{23456\overline{1}\overline{4}},\left({\partial }_{{\pi }_3}+\overline{\partial }\right)w^{23456\overline{3}}=\left(w^{\overline{1}\overline{5}}+w^{\overline{2}\overline{6}}\right)w^{23456},\end{array}$

我们得到

$H^{5,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{12345\overline{1}}\right],\left[w^{12345\overline{4}}\right],\left[w^{12345\overline{6}}\right],\left[w^{12346\overline{1}}\right],\left[w^{12346\overline{4}}\right],\\ \left[w^{12346\overline{6}}\right],\left[w^{12456\overline{1}}\right]\left[w^{12456\overline{4}}\right],\left[w^{12456\overline{6}}\right],\left[w^{13456\overline{1}}\right],\\ \left[w^{13456\overline{4}}\right],\left[w^{13456\overline{6}}\right],\left[w^{23456\overline{1}}\right],\left[w^{23456\overline{4}}\right],\left[w^{23456\overline{6}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^{15}$ 。

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,0}$ 上，由于

$\begin{array}{l}{\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1234}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1245}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1246}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1256}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1345}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1346}\\ ={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1356}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1456}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{2345}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{2346}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{2456}={\partial }_{{\pi }_3}{w}^{3456}=0,\\ {\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1235}=-w^{145}+w^{246},{\partial }_{{\pi }_3}{w}^{1236}=-w^{146},{\partial }_{{\pi }_3}{w}^{2356}=w^{456},\end{array}$

我们得到

$H^{4,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)\left\{\begin{array}{c}\left[w^{1234}\right],\left[w^{1245}\right],\left[w^{1246}\right],\left[w^{1256}\right],\left[w^{1345}\right],\\ \left[w^{1346}\right],\left[w^{1356}\right],\left[w^{2345}\right],\left[w^{2346}\right],\left[w^{2456}\right],\left[w^{3456}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^{11}$ 。

因为2阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,0}$ 影响，所以

$H_2\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)\cong {ℂ}^{31}$ 。

4) 在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,3}$ 上，我们得到

$H^{6,3}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{3}}\right],\left[[w^{123456\overline{1}\overline{2}\overline{4}}\right],\left[[w^{123456\overline{1}\overline{3}\overline{6}}\right],\\ \left[[w^{123456\overline{3}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[[w^{123456\overline{4}\overline{5}\overline{6}}\right],\left[[w^{123456\overline{2}\overline{4}\overline{5}}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^6$ ，

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,2}$ 上，我们得到

$H^{5,2}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\langle \left[w^{i\overline{1}\overline{2}}\right],\left[w^{i\overline{1}\overline{6}}\right],\left[w^{i\overline{2}\overline{4}}\right],\left[w^{i\overline{4}\overline{5}}\right],\left[w^{i\overline{5}\overline{6}}\right]\rangle \cong {ℂ}^{25}$ ，

$\left(i=12345,12346,13456,23456,12456\right)$

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,1}$ 上，我们得到

$H^{4,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{1234\overline{j}}\right],\left[w^{1245\overline{j}}\right],\left[w^{1246\overline{j}}\right],\left[w^{1256\overline{j}}\right],\left[w^{1345\overline{j}}\right],\\ \left[w^{1346\overline{j}}\right],\left[w^{1356\overline{j}}\right],\left[w^{2345\overline{j}}\right],\left[w^{2346\overline{j}}\right],\left[w^{2456\overline{j}}\right],\left[w^{3456\overline{j}}\right]\end{array}\right\}$ ，

$H^{4,1}\left({\mathbb{I}}_6\right)\cong {ℂ}^{33}\left(j=\overline{1},\overline{4},\overline{6}\right)$ ，

在${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,0}$ 上，我们得到

$H^{3,0}\left({\mathbb{I}}_6\right)=\left\{\begin{array}{c}\left[w^{125}\right],\left[w^{124}\right],\left[w^{126}\right],\left[w^{134}\right],\left[w^{135}\right],\left[w^{136}\right],\left[w^{156}\right],\\ \left[w^{234}\right],\left[w^{245}\right],\left[w^{256}\right],\left[w^{345}\right],\left[w^{346}\right],\left[w^{356}\right],\left[w^{246}-w^{145}\right]\end{array}\right\}\cong {ℂ}^{14}$ ，

因为3阶同调群只被${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{6,3}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{5,2}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{4,1}$ 、${\left({\mathfrak{g}}_{ℂ}^{*}\right)}^{3,0}$ 影响，所以

$H_3\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)\cong {ℂ}^{78}$ ，

以此计算，我们得到

$H_4\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)\cong {ℂ}^{143}$ ，$H_5\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)\cong {ℂ}^{202}$ ，$H_6\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)\cong {ℂ}^{226}$ 。

最终我们得到表4。

Table 4. Holomorphic Koszul-Brylinski homology of $\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)$

表4. $\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)$ 的全纯Koszul-Brylinski同调

k	0	1	2	3	4	5	6
$H_k\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)$	$ℂ$	${ℂ}^8$	${ℂ}^{31}$	${ℂ}^{78}$	${ℂ}^{143}$	${ℂ}^{202}$	${ℂ}^{226}$
$H^{12-k}\left({\mathbb{I}}_6,{\pi }_3\right)$	$ℂ$	${ℂ}^8$	${ℂ}^{31}$	${ℂ}^{78}$	${ℂ}^{143}$	${ℂ}^{202}$	${ℂ}^{226}$

对于复数域$ℂ$ 上的更高维的海森堡群

$\text{H}\left(n;ℂ\right)=\left\{\left(\begin{array}{cccc}1& z_{12}& \cdots & \begin{array}{cc}{z}_{1,n-1}& z_{1,n}\end{array}\\ 0& 1& \cdots & \begin{array}{cc}{z}_{2,n-1}& z_{2,n}\end{array}\\ ⋮& ⋮& \ddots & \begin{array}{cc}⋮& ⋮\end{array}\\ \begin{array}{c}0\\ 0\end{array}& \begin{array}{c}0\\ 0\end{array}& \begin{array}{c}\cdots \\ \cdots \end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}& \begin{array}{c}{z}_{n-1,n}\\ 1\end{array}\end{array}\end{array}\right)|z_{ij}\in ℂ\right\}\subset \text{GL}\left(n;ℂ\right)$ ，

我们也可以以同样的方法尝试计算其同调群，但由于同调群的计算在高维情况下可能涉及复杂的代数运算和大量的组合结构，因此手动计算的难度和工作量都相当庞大。借助计算机代数系统，例如GAP、Magma或SageMath，我们可以更方便地处理这些复杂的同调问题，从而促进我们对李群和同调理论的深入研究。