基于建构主义理论的高中数学教学设计——以“对数函数的图象和性质”为例

High School Mathematics Teaching Design Based on Constructivist Theory—Taking “Graphs and Properties of Logarithmic Functions” as an Example

摘要: 建构主义理论倡导以学生为核心，运用多样化的教学策略激发学生的知识自主建构与深刻理解。该研究选取“对数函数的图象和性质”为例，构建了基于建构主义理论的高中数学教学设计，通过反思和总结，旨在协助学生牢固掌握核心知识点，并锻炼其数学逻辑思维与问题解决技巧。

Abstract: Constructivist theory advocates for a student-centered approach, employing a variety of teaching strategies to stimulate students’ autonomous construction of knowledge and profound understanding. This study selects “the graph and characteristics of logarithmic functions” as an example, constructing a high school mathematics teaching design based on constructivist theory. Through reflection and summary, the aim is to assist students in firmly grasping core knowledge points and to exercise their mathematical logical thinking and problem-solving skills.

1. 问题提出

自建构主义学习理论自问世以来，在教育领域内迅速吸引了广泛的注意。该理论主张，学习者在学习过程中应扮演主动建构知识的角色，而非单纯的知识接受者。这一见解打破了传统教学中教师单向传授、学生被动接收的固有模式，为现代教育的发展开辟了新的视角与路径[1]。在当今的教学实践中，建构主义学习理论的应用尤为普遍，特别是在数学教育这一关键领域展现出了其独特的价值。建构主义教学观表明，学习本质上是一个学习者基于自身已有经验，通过新旧知识间的不断互动与碰撞，逐步调整和完善个人知识架构的动态过程[2]。在高中数学教学环境下，建构主义理论的应用显得尤为关键和重要。它不仅能够显著提升学生的学习热情和主动性，引导他们更加积极地参与到知识的探索与建构中来，而且还能够有力培养学生的批判性思维和创新能力。通过建构主义的教学方式，学生能够学会如何独立思考，如何在面对复杂多变的实际问题时，灵活运用所学的数学知识，从而真正实现知识的内化与迁移。

我国中学生在国际学业评估中表现优异，但在将数学知识应用于解决实际问题方面却显得力不从心，这凸显了我国高中数学教育的一大短板：学生缺乏将理论知识与现实生活情境相结合的能力[3]。因此，如何在高中数学课堂上有效实施建构式教学，助力学生深刻领悟数学并灵活运用，已成为当前亟需解决的难题。该研究聚焦于“对数函数的图象和性质”，探索了基于建构主义理论的高中数学案例设计，通过反思和总结，旨在帮助学生牢固掌握知识点核心要义，培养其数学逻辑思维与问题解决技巧。

2. 理论基础

建构主义学习理论的核心在于强调学习者的主动性和建构性。学习者通过不断与环境的互动，将外部信息纳入已有的认知结构中，实现知识的建构与深化。例如，杨秀梅在“免疫调节”教学中，以建构主义理论为指导创设教学情境，以“自主学习、讨论探究、小组协作”为学习的基本形式，体现学习环境中“情境”、“协作”、“会话”、“意义构建”的四大要素，发挥教师的主导作用和学生的主体作用帮助学生实现建构[4]。张露等人从建构主义学习理论出发，在分析美国人文地理实践教学设计案例的基础上，结合我国人文地理实践教学现状，提出地理教师进行人文地理实践教学设计应坚持以学生为中心，促进学生在实践中建构意义；坚持问题情境的导向性，确保实践方法的多样性；改变以往的评价方式，注重对学生的表现性评价；提升教学资源观，加强对教学资源的利用和开发[5]。在数学教学领域，建构主义理论的应用尤为广泛，能够帮助学生更好地理解和掌握数学概念、原理和方法。如温玉妹等人从建构主义理论出发，结合现行教学中存在的问题，就九年级教材中“反比例函数”知识模块进行导学案的教学模式改革，主要通过导学案实施前后学生横向和纵向成绩对比以及调查访谈分析来总结导学案实施的优劣之处和改进的方向[6]。综上所述，可以得出，建构主义教学策略如探究式学习、合作学习等能够显著提升学生的学习兴趣和成绩，培养其创新能力和批判性思维。

3. 教学设计展示

3.1. 设计理念

课程标准明确指出，函数是中学数学的核心概念，是贯穿整个高中数学课程的基石。对数函数作为应用广泛的基本初等函数之一，为学生后续数学学习提供了坚实的基础，对于培养学生的逻辑推理、数学直观、抽象思维及数学建模等核心素养具有重要意义。该设计将遵循以下理念展开。

(1) 情境引入教学理念：借助全国第七次人口普查的情境背景，增强学生的代入感与体验感，引导他们复习对数函数的基本概念，从而在旧知与新知之间搭建稳固的桥梁，构建系统化的知识框架，同时也彰显了整体化单元主题设计的深远考量。

(2) 探究式学习理念：该主题教学根植于建构主义理论，采用探究式教学模式，通过数形结合的方式优化思维路径，巧妙设置探究问题，运用多样化的教学手段，并强调从多角度理解概念，以此提升学生的探究能力与创新能力，推动其深度学习进程。

(3) 自主建构学习理念：着眼于知识的整体性和系统性，利用数学软件GeoGebra，生动直观地展示对数函数图像及其特性，帮助学生直观感受并深刻理解概念形成的动态过程。在类比推理的实践中，学生将观察图像的变化，洞察变化的规律，并最终实现知识的自主归纳与总结。

3.2. 教学目标

(1) 掌握对数函数的定义，并能应用该知识解决数学与实际问题；

(2) 深入探究对数函数的图像与特性，探索其与指数函数图像的关系以及对数函数内部的联系，发展观察能力、分析能力和归纳能力；

(3) 在学习对数函数的过程中，领悟数学的科学价值，培养勇于探索的积极态度，进而提升数学抽象思维和数学建模的核心能力。

3.3. 教学过程

环节1：创设情境，引入课题。

【教师活动】利用多媒体设备，展示第七次全国人口普查结果图，图中显示，截至调查时间为止，全国人口共14.12亿人。假设此后能将人口年平均增长率控制在1%，则根据之前学习过的知识可以整理得到我国人口数$y$ 与所经过年数$x$ 之间的关系为$y=14.12\times {1.01}^x$ 。那么大约经过多少年后我国的人口数可达到15亿？(借助计算器计算)

【学生活动】通过观察图象，利用计算器得到6年后，我国人口总数可以达到15亿。

【教师活动】根据该模型预测，随着时间的推移，我国人口将持续增长，且人口数量的增幅越大，所需时间亦相应延长。基于此，引导学生推测可能存在一个与之相关的函数关系：$y={\log }_{1.01}x-{\log }_{1.01}14.12$ 是否为增函数？即$y={\log }_{1.01}x$ 是否为增函数？

【设计意图】将对数函数的学习融入日常生活之中，同时结合对数运算与对数函数的基本概念，以此激发学生的主动学习热情，进而自然地过渡至对数函数图像与性质的深入探[7]。

环节2：探究图象，归纳性质。

探究1：绘制函数图像。

【教师活动】让学生尝试画出$y={\log }_{2}x$ 函数图象。

【学生活动】通过列表、描点、取值画出大致函数图象。发现当$x=6$ 和$x=12$ 时，取不到特殊点(表1)。

Table 1. List evaluation

表1. 列表求值

x	0.5	1	2	4	6	8	12	16
y

【教师活动】对数中取特殊值较难，带领学生尝试利用数学软件GeoGebra作图，得到精确函数图象，并回顾描点作图的“五步法”。

Figure 1. Function image of $y={\log }_{2}x$

图1. $y={\log }_{2}x$ 函数图象

【设计意图】激发学生的“程序性知识”，带领学生回顾描点作图的“五步法”(图1)。而对于难以获取特殊点的函数，教导学生利用软件辅助得到图象。

探究2：研究图象关系。

【教师活动】在探究1的基础上，请同学们尝试画出函数$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 的图象。

【学生活动】参照探究1，借助软件GeoGebra作图得到图象。

【教师活动】那还有其他的方法吗？

【学生活动】学生发现可以利用换底公式，发现：

$y={\log }_{\frac{1}{2}}x=-{\log }_{2}x$

也就是两个图象关于x轴对称。

【教师活动】通过数学软件GeoGebra验证学生猜想，发现学生猜想正确。而且将结论推广为底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。

【设计意图】根据学生思维的当前发展阶段设计问题，引导他们首先观察图像，得出两个图像关于$\text{x}$ 轴对称的结论。随后，通过GeoGebra软件设计问题情境，有效激发了学生的兴趣与好奇心，驱动学生主动思考，深入探究，并在此过程中锻炼直观想象与逻辑推理能力[8]。

探究3：观察图象特征。

【教师活动】我们已经学会了作函数$y={\log }_{2}x$ 与$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 的图象(图2)，通过观察GeoGebra软件呈现出的两个对数函数图象，我们可以得出对数函数的图象特征吗？

【学生活动】只选取两个对数函数的图象，样本过少，观察得出的特征不具有说服力，应该再多作一些对数函数的图象，观察的特征才更有代表性。

Figure 2. Function images of $y={\log }_{2}x$ and $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$

图2. $y={\log }_{2}x$ 和$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 函数图象

【教师活动】这位同学考虑得十分客观、并且全面。那么，现在请同学们两两进行合作，根据底数$\alpha$ 的不同范围，挑选多组恰当的对数函数，并借助GeoGebra数学软件，在同一坐标系内绘制它们的图象，进而深入探究对数函数的性质。

(通过探究1和探究2，学生们分组合作绘制图像，教师给予充分的时间，并在巡视过程中适时地为学生提供指导和启发。)

学生利用软件展示多组底数的对数函数的图象。

【设计意图】利用GeoGebra软件的高效性和精确性，鼓励学生将多种对数函数的解析表达式转化为直观的图象表示。通过数形结合的方法，将原本抽象的概念变得具体可知。在这一学习过程中，可以帮助学生总结对数函数图像的特征，同时锻炼他们的直观想象能力和逻辑推理技能。

环节3：对应特征，形成性质。

【教师活动】鼓励学生以小组合作的形式进行讨论。借鉴参照指数函数的研究方法，通过对比对数函数的图像特征，系统地归纳并整理得到对数函数的性质，如图3所示。

【设计意图】通过这种方式，不仅能够培养学生在互动中深化对知识的理解，提升团队协作和沟通能力，还能培养学生将图形信息提炼并转化为数学语言的能力，同时形成从文字描述到数学表达的一般性思维转换过程。

环节4：学以致用，小试牛刀。

例1：接下来，让我们再次回顾本节课开始时情境问题中的关键点。根据此模型预测，随着时间流逝，我国人口将持续增长，且人口增量越大，所需的时间也相应延长。

因此，猜想函数$y={\log }_{1.01}x-{\log }_{1.01}14.12$ 是增函数，即函数$y={\log }_{1.01}x$ 是增函数，这个猜想是否正确呢？

例2：比较下列各组数中两个值的大小。

(1) $\ln 3$ 与$\ln 2$ ；

(2) ${\ln }_{0.2}1.8$ 与${\ln }_{0.2}2.7$ ；

(3) ${\ln }_{5}6$ 与${\ln }_{3}4$ ；

(4) ${\ln }_{a}3.1$ 与${\ln }_{a}5.2$ ($a>0$ ，且$a\ne 1$ )。

Figure 3. Graphic characteristics of logarithmic functions

图3. 对数函数的图象特征

【设计意图】本节课结尾问题1与该课的导入彼此呼应，运用对数函数的单调性来解决生活中的实际问题，促进学生问题解决核心素养。通过例2的几个数学问题，从中抽象并整理得到以下结论：(1) 借助对数函数的单调性来对比同底对数的大小，能够深化学生对对数函数特性的认识。其中，若底数作为变量出现，则需注重分类讨论的思想，以保证结果的合理性。(2) 在处理对数与整数大小比较或不同底对数比较的问题时，可通过转换为同底对数或利用中间量进行解决，这体现了转化与化归的数学策略，同时也彰显了对数函数图像与性质的相互转化与促进。

环节5：课堂小结与知识迁移。

【师生活动】教师带领学生回顾本节课所学内容，并鼓励他们尝试将所学的对数函数知识迁移到其他数学领域或现实生活中。学生展开讨论，提出对数函数在经济学、生物学等领域的应用。

Figure 4. Summary diagram

图4. 总结图

【设计意图】学生总结，提高学生的归纳概括能力，重视思想方法的总结，提高学生的数学核心素养。同时，该过程也有助于培养学生的知识迁移能力和创新精神(图4)。

4. 设计评析

4.1. 总结

(1) 情境创设与问题导入的成功实践：在案例中，首先通过实际生活中的问题(如全国第七次人口普查等)来引入对数函数的概念，这种情境创设不仅成功地使学生的注意力得以集中，同时也激发了其学习兴趣。通过问题导入，学生开始思考对数函数与现实生活之间的联系，从而产生了进一步探索对数函数图象和性质的欲望。这种教学方式符合建构主义理论中的“情境性”原则，即学习应发生在真实或模拟的情境中，以促进学生的主动学习[9]。

(2) 学生主体性与自主探究的充分展现：在探究对数函数图象和性质的过程中，充分尊重了学生的主体地位，鼓励他们通过小组讨论、动手实践等方式进行自主探究。学生利用计算器或绘图软件绘制对数函数的图象，观察并归纳其性质，如增减性、奇偶性、最值等。这种教学方式不仅培养了学生的动手能力，还促进了他们之间的交流与合作，符合建构主义理论中的“建构性”原则，即学习是学习者主动建构知识的过程。

(3) 数形结合与知识迁移的有效运用：注重数形结合的教学方法，通过图象直观地展示对数函数的性质，帮助学生形成清晰的知识结构。同时，我们还引导学生将指数函数与对数函数进行对比，通过类比迁移的方式深化对对数函数的理解。这种教学方式不仅提高了学生的数学思维能力，还促进了他们知识体系的完善，符合建构主义理论中的“迁移性”原则，即学习应能够帮助学生将新知识迁移到新的情境中，实现知识的灵活运用。

综上所述，基于建构主义理论，通过情境创设、学生主体性发挥、数形结合与知识迁移等教学策略，成功地帮助学生掌握了对数函数的图象和性质，提升了他们的数学素养和综合能力。

4.2. 反思

(1) 注意技术应用的局限：尽管GeoGebra通过动态展示的数学内容因其直观性和易懂性能够有效提升学生的数学理解能力，但过分依赖这类技术手段可能会极大削弱学生的想象力，阻碍学生从直观思考向抽象思维的过渡，进而滋生惰性思维。因此，在利用信息技术辅助数学教学的过程中，应当平衡可视化展示与数学逻辑的培养，将直观观察、合理猜想与逻辑推理、演绎证明相结合[7]。

(2) 平衡学生自主探究与教师指导：在自主探究活动中，学生的主体性和积极性得到充分展现，但在关键步骤上，教师的引导作用尚显薄弱。例如，在绘制对数函数图象时，部分学生在参数选择等细节上遇到困难，而教师的即时指导并未全面覆盖。因此，未来的教学需更加注重平衡学生的自主探究与教师的适时指导，既要鼓励学生积极尝试、勇于探索，又要在关键时刻提供精准有效的帮助，确保学生在自主探究中取得实质性进展。

基金项目

2024年黄冈师范学院研究生工作站立项课题“数学关键能力导向下高中数学‘教–学–评’一体化的研究”(课题编号：5032024026)。