两对Ising向量生成的顶点算子代数

Vertex Operator Algebras Generated by Two Pairs of Ising Vectors

摘要: 本文主要研究在月光型顶点算子代数中满足一定条件的2对Ising向量生成的顶点算子代数的结构，这2对Ising向量分别生成1个3A代数，并且生成的2个3A代数的交包含一个同构于L(4/5, 0)$\oplus$ L(4/5, 3)的子顶点算子代数，本文证明了其一共有3种可能的顶点算子代数结构。

Abstract: In this paper, we mainly study the vertex operator algebra generated by two pairs of Ising vectors in the moonshine type vertex operator algebra. These two pairs of Ising vectors each generate one 3A algebra, and the intersection of the two generated 3A algebras contains a subvertex operator subalgebra that is isomorphic to L(4/5, 0)$\oplus$ L(4/5, 3). We have shown that there are three possible structures of vertex operators algebraic.

1. 引言

顶点算子代数(VOA)为研究一些特殊的模和共型场论的一般结构提供了强大的代数工具。顶点算子代数的一个最有趣的例子是由Frenkel，Lepowsky和Meurman ([1])构造的月光模$V^{♮}$ (moonshine module)，也被称为月光顶点算子代数(Moonshine VOA)。[2]证明了月光顶点算子代数$V^{♮}$ 包含48个Virasoro向量，每个Virasoro向量生成一个同构于$L\left(1/2,0\right)$ 的Virasoro VOA。并且$L{\left(1/2,0\right)}^{\otimes 48}$ 是$V^{♮}$ 的一个全子VOA，由此提供了一个研究顶点算子代数的新思路，即通过单Virasoro代数的模来研究顶点算子代数。后来[3]引进了一个新的记号来表示中心载荷为1/2的单共型向量，在这篇文章中称为Ising向量，此外[4]发展了一套方法由Ising向量构造VOA V的全自同构群中的对合，通常称为是Miyamoto对合。[5] [6]用Miyamoto对合研究了MacKay对仿射$E_8$ 图的观测，并且具体地构造出了由两个Ising向量生成的VOA的结构。这些VOA通常记为$U_{nX}$ ，这里$nX=1A,2A,3A,4A,5A,6A,4B,2B,3C$ 。称之为$nX$ 代数。

在[7]中确定了实数域上的具有正定不变双线性型的VOA中的2个Ising向量生成的Griess代数，它们就是上述9个VOA$U_{nX}$ 的Griess代数$\mathcal{G}{U}_{nX}$ 。VOA $V={\oplus }_{n=0}^{\infty }{V}_n$ 称为是月光型VOA，如果$\dim V_0=1$ ，$V_1=0$ 。很自然，学者对在月光型VOA中，由两个Ising向量生成的VOA结构是否也同构于$U_{nX}$ 提出了疑问。在[8]中研究确定了由月光型VOA中两个Ising向量生成的VOA的结构，根据2个Ising向量e，

f的正定不变双线性型$\langle e,f\rangle$ 的取值情况$\frac{5}{2^{10}},\frac{1}{4},\frac{1}{2^5},0,\frac{1}{2^8}$ ，其分别同构于$6A,1A,2A,2B,4B$ 代数。

在[9]中研究了仿射$E_6$ 图，并且具体构造出了一些由一对3A代数生成的VOA。这些VOA被记为$V_{F\left(1A\right)},V_{F\left(2A\right)},V_{F\left(3A\right)}$ 。在[10]中，确定了由两个具有公共轴向量的3A代数的Griess代数生成的Griess代数，它们就是$V_{F\left(1A\right)},V_{F\left(2A\right)},V_{F\left(3A\right)}$ 的Griess代数。每个3A代数的Griess代数有一组正规的$\mathcal{G}{U}_{3A}$ 基，它们由3个Ising向量和一个中心载荷为4/5的Virasoro向量构成，并且可以被其中的2个Ising向量生成，从而[10]中的Griess代数可以看成是由满足一定条件的2对Ising向量生成的Griess代数，这一定条件是指2对Ising向量分别生成2个3A代数，并且其构成Griess代数的正规基含有一个公共的中心载荷为4/5的Virasoro向量。本文将讨论并回答由月光型VOA中满足上述条件的2对Ising向量生成的VOA$\mathcal{V}$ 是否也同构于$V_{F\left(1A\right)},V_{F\left(2A\right)},V_{F\left(3A\right)}$ 。

本文主要思路与[8]中的思路类似，根据[10]中对Giress代数的分类，分情况证明$\mathcal{V}$ 的Virasoro元素可以写成Griess代数中一组正交的共型向量的和，并且这组共型向量的中心载荷$c_m$ 都来自unitary序列，其生成的单Virasoro VOA同构于$L\left(c_m,0\right)$ 。用$L\left(c_m,0\right)$ 的表示理论来确定$\mathcal{V}$ 的结构。

本文的主要结构如下：第2章是预备知识，给出一些基本的记号和后面要用到的一些结果，第3章是本文的主要结果，分别讨论由月光型VOA中的2对Ising向量生成的Griess代数为$V_{F\left(1A\right)},V_{F\left(2A\right)},V_{F\left(3A\right)}$ 时，其生成的VOA的结构。

2. 预备知识

2.1. 顶点算子代数

定义2.1 设$\mathbb{F}$ 是代数闭域，顶点代数是一个三元组$\left(V,Y,1\right)$ ：这里V是域F上的一个向量空间，Y是一个线性映射：

$\begin{array}{l}Y:V\to EndV〚z,z^{-1}〛\\ v\mapsto Y\left(v,z\right)={\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}{v}_n{z}^{-n-1}},v_n\in EndV,n\in \mathbb{Z}\end{array}$

$EndV〚z,z^{-1}〛=\left\{{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}{a}_n{z}^n|a_n\in EndV,n\in \mathbb{Z}}\right\}$

其中，是以$EndV$ 中的元素为系数的关于变量$z,z^{-1}$ 的Laurent-幂级数的全体构成的向量空间，$1\in V$ 是一个特定的向量(以下将其称之为顶点代数V的真空向量)，并满足下面的条件：

下方截断性：对于任意的元素$u,v\in V$ ，有$u_{n}v=0,n\gg 0$ ；

真空性质：$Y\left(1,z\right)=I{d}_V$ ；

生成性质：$Y\left(u,z\right)1={\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}{u}_n}1z^{-n-1}\in V〚z〛=\left\{{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n|a_n\in V,0\le n}<\infty \right\}$ ，并且有$\underset{z\to 0}{\lim }Y\left(u,z\right)1=u$ ；

Jacobi-恒等式：对任意的$u,v\in V$ ，有下列等式：

$z_0^{-1}\delta \left(\frac{z_1-z_2}{z_0}\right)Y\left(u,z_1\right)Y\left(v,z_2\right)-z_0^{-1}\delta \left(\frac{z_2-z_1}{-z_0}\right)Y\left(v,z_2\right)Y\left(u,z_1\right)=z_2^{-1}\delta \left(\frac{z_1-z_0}{z_2}\right)Y\left(Y\left(u,z_0\right)v,z_2\right),$

这里$\delta \left(z\right)={\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}{z}^n}$ 是形式$\delta$ 函数，并且约定：指数${\left(z-\omega \right)}^m\left(\forall m\in \mathbb{F}\right)$ 展开成关于$z,\omega$ 的幂级数时，变量$\omega$ 只有非负的方幂。即${\left(z-\omega \right)}^m={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)}{\left(-1\right)}^n{z}^{m-n}{\omega }^n$ 。

定义2.2 顶点算子代数是一个四元组$\left(V,Y,1,\omega \right)$ ：这里$\left(V,Y,1\right)$ 是域F上的顶点代数，且V有子空间的直和分解：$V={\oplus }_{n\in \mathbb{Z}}{V}_n$ ，使得

$\dim V_n<\infty ,\forall n\in \mathbb{Z};V_n=0,n\ll 0.$

元素$\omega \in V_2$ 是一个特定的向量，称其为V的共型向量，其对应的顶点算子通常表示为两种不同的形式

$Y\left(\omega ,z\right)={\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}{L}_n{z}^{-n-2}=}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}{\omega }_n{z}^{-n-1}}.$

并且其系数满足下列三个条件：

$L_{-1}=D:L_{-1}u=Du=u_{-2}1,\forall u\in V$ ;

${L_0|}_{V_n}=nI{d}_{V_n}:L_{0}u=nu,\forall u\in V_n$ ;

$\left[L_m,L_n\right]=L_m{L}_n-L_n{L}_m=\left(m-n\right)L_{m+n}+\frac{m^3-m}{12}{\delta }_{m+n,0}cI{d}_V$ .

其中${\delta }_{m,n}=\{\begin{array}{ll}0\hfill & m=n\hfill \\ 1\hfill & m\ne n\hfill \end{array}$ ，$c\in \mathbb{F}$ 是常量，称为顶点算子代数V的中心载荷。

有限维子空间$V_n$ 是算子$L_0$ 的权为n的权空间，其中的向量称为权向量或齐次元素，齐次元素u的权记为$wt\left(u\right)$ 。

定义2.3 子顶点代数

包含真空向量$1_V$ ，且对所有的$n\left(n\in \mathbb{Z}\right)$ 运算封闭的V的子空间M，构成一个顶点代数，称其为顶点代数V的子代数。

定义2.4 子顶点算子代数

$\left(U,e\right)$ 称为$\left(U,e\right)$ 是顶点算子代数V的子顶点算子代数，如果U是顶点代数V的子代数，并且包含共型向量e，使得$U={\oplus }_{n\ge 0}{U}_n$ $U_n=V_n\cap U$ 。

但e并不一定是V的共型向量，当e也是V的共型向量时，称子顶点算子代数$\left(U,e\right)$ 是V的全子顶点算子代数。

定义2.5 月光型顶点算子代数

顶点算子代数V称为是月光型顶点算子代数，如果V是非负分次$V={\oplus }_{n\ge 0}{V}_n$ ，并且$\dim V_0=1$ ，$V_1=0$ 。

2.2. Unitary Virasoro顶点算子代数

对复数c和h，记中心载荷为c，最高权为h的Virasoro代数的不可约最高权模为$L\left(c,h\right)$ 。

令

$\begin{array}{l}{c}_m:=1-\frac{6}{\left(m+2\right)\left(m+3\right)},m=1,2,\cdots ,\\ h_{r,s}^{\left(m\right)}:=\frac{{\left\{r\left(m+3\right)-s\left(m+2\right)\right\}}^2-1}{4\left(m+2\right)\left(m+3\right)},1\le s\le r\le m+1.\end{array}$

则$L\left(c_m,0\right)$ 是有理的，并且$L\left(c_m,h_{r,s}^{\left(m\right)}\right)$ ，$1\le s\le r\le m+1$ 就是所有的不可约$L\left(c_m,0\right)$ 模。这也称为是Virasoro顶点算子代数的unitary序列[2] [11]。

定义2.6 Ising向量

V中的元素e称为是中心载荷为c的Virasoro向量，如果e满足$e\in V_2$ $e_{1}e=2e$ $e_{3}e=\frac{c}{2}{1}_V$ 。

中心载荷为c的Virasoro向量e称为是单的，如果其生成的Virasoro顶点算子代数$Vir\left(e\right)\cong L\left(c,0\right)$ 。

单的c = 1/2的共型向量称为是Ising向量。

3. 主要结论

本节将要给出由2对Ising向量生成的VOA的3种可能的结构。首先，给出研究的具体范围：

基本假设 设V是实数域上的月光型VOA，假定V上的限制对偶(contragredient)双线性型是正定的。

设$\left(a_0,a_1\right)$ ，$\left(b_0,b_1\right)$ 是V中的2对Ising向量，分别生成3A代数$U,U^{\prime }$ ，使得$\left(a_0,a_1,a_2,\mu \right)$ 和$\left(b_0,b_1,b_2,\mu \right)$ 是$U,U^{\prime }$ 的Griess代数的一组正规基。

接下来要确定由$\left(a_0,a_1\right)$ ，$\left(b_0,b_1\right)$ 生成的子顶点算子代数，只需要找到包含着$\left(a_0,a_1\right),\left(b_0,b_1\right)$ 的最小的子顶点算子代数$\mathcal{V}$ 。具体思路如下：

首先确定由$\left(a_0,a_1\right)$ ，$\left(b_0,b_1\right)$ 生成的Giress代数，即${\mathcal{V}}_2$ ，然后将$\mathcal{V}$ 的共型向量写成${\mathcal{V}}_2$ 中来自于unitary序列的互相正交的单Virsoro向量的和。

显然这个和式中每一个单Virsoro向量生成的VOA都应该包含在$\mathcal{V}$ 中，从而得到$\mathcal{V}$ 的子代数T，将$\mathcal{V}$ 看成其子代数T的模，其是有理的，可以写成T的不可约模的直和，由于unitary序列的不可约模是确定的，故仅需要讨论哪些不可约模一定会出现即可确定$\mathcal{V}$ 的结构。

引理3.1. [10]设$\mathcal{V}$ 是由$\left(a_0,a_1\right),\left(b_0,b_1\right)$ 生成Griess代数，则$\mathcal{V}$ 有3种可能的结构：$\mathcal{G}\cong \mathcal{G}{V}_{F\left(1A\right)}$ ，$\mathcal{G}\cong \mathcal{G}{V}_{F\left(2A\right)}$ ，$\mathcal{G}\cong \mathcal{G}{V}_{F\left(3A\right)}$ 。

下面根据$\left(a_0,a_1\right)$ ，$\left(b_0,b_1\right)$ 生成的Griess代数的结构，即${\mathcal{V}}_2$ ，分情况来确定由$\left(a_0,a_1\right),\left(b_0,b_1\right)$ 生成的VOA $\mathcal{V}$ 的结构。

情形1 $\mathcal{G}\cong \mathcal{G}{V}_{F\left(1A\right)}$

此时，见[10]中的情形4.1，有$a_0=b_0$ ，$\left\{a_0,a_1,a_2\right\}=\left\{b_0,b_1,b_2\right\}$ ，所以$a_0,a_1$ 和$b_0,b_1$ 可以相互生成。

所以，此时$U=U^{\prime }=\mathcal{V}$ 。

情形2 $\mathcal{G}\cong \mathcal{G}{V}_{F\left(2A\right)}$

此时，见[10]情形4.2，有$\mathcal{G}=\mathcal{G}\left\{a_0,b_1\right\}\cong \mathcal{G}{U}_{6A}$ ，这时有一组正规$\mathcal{G}{U}_{6A}$ 基：

$\left(a_0,b_1,x_2,b_0,x_4,b_2,{\sigma }_{a_0}\left(b_0\right),\mu \right)$ ，其中$\left\{x_2,x_4\right\}=\left\{a_1,a_2\right\}$ 。

从而$\left(a_0,a_1\right)$ ，$\left(b_0,b_1\right)$ 可以由$\left(a_0,b_1\right)$ 生成。

此时，$\mathcal{V}$ 是由2个Ising向量$\left(a_0,b_1\right)$ 生成的。

又因为$\langle a_0,b_1\rangle =\frac{5}{2^{10}}$ ，由[8]中的结果可知，$\mathcal{V}\cong U_{6A}$ 。

情形3 $\mathcal{G}\cong \mathcal{G}{V}_{F\left(3A\right)}$

令$h={\tau }_{a_0}{\tau }_{b_0}$ ，$g={\tau }_{a_0}{\tau }_{a_1}={\tau }_{a_2}{\tau }_{a_0}$ ，定义$x_{i,j}=h^i{g}^j\left(a_0\right),i,j=0,1,2$ 。

在这种情况下，$\mathcal{G}$ 是12维的，其由9个Ising向量$x_{i,j},i,j\in \left\{0,1,2\right\}$ 和4个中心载荷为4/5的Virasoro${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4$ 向量张成，其满足关系式

${\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3+{\mu }_4=\frac{32}{45}\left({\displaystyle \sum _{i,j\in \left\{0,1,2\right\}}{x}_{i,j}}\right),$

并且有运算关系式(参见[10] 4.9)

$\langle x_{i,j},x_{i,k}\rangle =\frac{13}{2^{10}},\left(i,j\right)\ne \left(j,k\right),$

$\langle x_{i,j},x_{i,j}\rangle =\frac{1}{2^2},$

$\langle x_{i,j},{\mu }_k\rangle =\frac{1}{2^4},$

$\langle {\mu }_i,{\mu }_j\rangle =0,i\ne j,$

$\langle {\mu }_i,{\mu }_i\rangle =\frac{2}{5}.$

可以选取$\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_{12}\right\}=\left\{x_{i,j},{\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3|i,j=0,1,2\right\}$ 作为$\mathcal{V}$ 的一组基，其是线性无关的。

因为$\det \left(\langle a_i,a_j\rangle \right)=\frac{3^{42}\cdot 5^2}{2^{86}}\ne 0$ 。

引理3.2. ([12] 4.3)设$V_{ℝ}$ 是一个紧的OZ型VOA，A是$V_{ℝ}$ 中Virasoro向量的集合，使得A线性张成$V_{ℝ}$ 的Griess代数的一个子代数。则A生成$V_{ℝ}$ 的一个子VOA $V\left(A\right)$ ，其共型向量$\eta$ 由A中的元素线性张成，并且由条件：$\left(\eta |a\right)=\left(a|a\right),\forall a\in A$ 所唯一确定。

根据引理3.2可以得到$\mathcal{V}$ 的共型向量。

命题3.3. $\omega ={\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3+{\mu }_4$ 是$\mathcal{V}$ 的共型向量

证明：令$A=\left\{\left\{x_{i,j},{\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3|i,j=0,1,2\right\}\right\}$ ，则$\mathcal{V}=V\left(A\right)$

直接计算有：

$\left(\omega |x_{i,j}\right)=\langle \omega ,x_{i,j}\rangle ={\displaystyle \sum _{i=1}^4\langle {\mu }_i,x_{i,j}\rangle }={\displaystyle \sum _{i=1}^4\frac{1}{2^4}}=\frac{1}{2^2}=\langle x_{i,j},x_{i,j}\rangle =\left(x_{i,j}|x_{i,j}\right)$

$\left(\omega |{\mu }_j\right)=\langle \omega ,{\mu }_j\rangle ={\displaystyle \sum _{i=1}^4\langle {\mu }_i,{\mu }_j\rangle }=\langle {\mu }_i,{\mu }_i\rangle =\left({\mu }_i|{\mu }_i\right)$

由引理3.2可知$\omega ={\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3+{\mu }_4$ 是$\mathcal{V}$ 的共型向量 □

${\mu }_i$ 是中心载荷为4/5的Virasoro向量，由unitary序列可知其所有的不可约模为：

$\begin{array}{l}L\left(\frac{4}{5},0\right),L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right),L\left(\frac{4}{5},\frac{7}{5}\right),\\ L\left(\frac{4}{5},3\right),L\left(\frac{4}{5},\frac{1}{40}\right),L\left(\frac{4}{5},\frac{21}{40}\right),\\ L\left(\frac{4}{5},\frac{13}{8}\right),L\left(\frac{4}{5},\frac{1}{15}\right),L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right),L\left(\frac{4}{5},\frac{1}{8}\right).\end{array}$

此外，由运算关系式$\langle {\mu }_i,{\mu }_j\rangle =0,i\ne j$ ，可知$\mathcal{V}$ 的共型向量$\omega$ 写成了互相正交的Virasoro向量${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4$ 的和。

从而$\mathcal{V}$ 有一个子代数：

$T=Vir\left({\mu }_1\right)\otimes Vir\left({\mu }_2\right)\otimes Vir\left({\mu }_3\right)\otimes Vir\left({\mu }_4\right)\cong L{\left(\frac{4}{5},0\right)}^{\otimes 4}.$

又因为$\mathcal{V}$ 作为子代数T的模是完全可约的，从而$\mathcal{V}$ 可以写成T的不可约子模的和。

T的不可约子模形如：

$L\left(\frac{4}{5},h_1\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_2\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_3\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_4\right).$

因为$\mathcal{V}$ 的齐次空间都是整分次的，即作为${\omega }_1$ 的特征子空间的特征值都是整数。

所以$h_1+h_2+h_3+h_4$ 一定是整数。

用$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right)$ 来表示：

$L\left(\frac{4}{5},h_1\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_2\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_3\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_4\right).$

所有可能出现的T的不可约子模如下所示：

$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right),h_i=0,3$

$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right),h_i中有3��\frac{2}{3},另1��0或3$

$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right),h_i中有3��\frac{13}{8},另1��\frac{1}{8}$

$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right),h_i中有3��\frac{1}{8},另1��\frac{13}{8}$

根据[10]引理4.15，$\left(x_{0,-k-i},x_{1,-k-i+l},x_{2,-k-i+2l},u_{l+2}\right)$ 是正规$\mathcal{G}{U}_{3A}$ 基。

因此有下列的正规$\mathcal{G}{U}_{3A}$ 基：

$\begin{array}{l}\left(x_{0,0},x_{0,1},x_{0,2},{\mu }_1\right)\\ \left(x_{1,0},x_{1,1},x_{1,2},{\mu }_1\right)\\ \left(x_{2,0},x_{2,1},x_{2,2},{\mu }_1\right)\end{array}$ , $\begin{array}{l}\left(x_{0,0},x_{1,0},x_{2,0},{\mu }_2\right)\\ \left(x_{0,1},x_{1,1},x_{2,1},{\mu }_2\right)\\ \left(x_{0,2},x_{1,2},x_{2,2},{\mu }_2\right)\end{array}$ , $\begin{array}{l}\left(x_{0,0},x_{1,1},x_{2,2},{\mu }_3\right)\\ \left(x_{0,2},x_{1,0},x_{2,1},{\mu }_3\right)\\ \left(x_{0,1},x_{1,2},x_{2,0},{\mu }_3\right)\end{array}$ , $\begin{array}{l}\left(x_{0,0},x_{1,2},x_{2,1},{\mu }_4\right)\\ \left(x_{0,2},x_{1,1},x_{2,0},{\mu }_4\right)\\ \left(x_{0,1},x_{1,0},x_{2,2},{\mu }_4\right)\end{array}$ .

令：

$v_1=-x_{0,0}-x_{0,1}-x_{0,2}+x_{1,0}+x_{1,1}+x_{1,2}$ , $v_2=-x_{0,0}-x_{0,1}-x_{0,2}+x_{2,0}+x_{2,1}+x_{2,2}$ ,

$v_3=-x_{0,0}+x_{0,1}-x_{1,0}+x_{1,1}-x_{2,0}+x_{2,1}$ , $v_4=-x_{0,0}+x_{0,2}-x_{1,0}+x_{1,2}-x_{2,0}+x_{2,2}$ ,

$v_5=-x_{0,1}+x_{0,2}-x_{1,0}+x_{1,2}-x_{2,0}+x_{2,1}$ , $v_6=x_{0,0}-x_{0,1}+x_{1,1}-x_{1,2}-x_{2,0}+x_{2,2}$ ,

$v_7=x_{0,0}-x_{0,2}-x_{1,1}+x_{1,2}-x_{2,0}+x_{2,1}$ , $v_8=x_{0,1}-x_{0,2}+x_{1,0}-x_{1,1}-x_{2,0}+x_{2,2}$ .

直接计算得：

$\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_1=\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)v_1$ , $\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_2=\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)v_2$ ;

$\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_3=\left(\frac{2}{3},0,\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)v_3$ , $\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_4=\left(\frac{2}{3},0,\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)v_4$ ;

$\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_5=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},0,\frac{2}{3}\right)v_5$ , $\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_6=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},0,\frac{2}{3}\right)v_6$ ;

$\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_7=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},0\right)v_7$ , $\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_8=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},0\right)v_8$ .

由此可以看出，$\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 一定会出现，并且其提供8个${\mathcal{V}}_2$ 中线性无关的向量。

进一步，通过计算$rank\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,v_7,v_8\right)=12$ 。

所以这12个向量线性张成整个${\mathcal{V}}_2$ 。

考虑$L\left(\frac{4}{5},0\right)$ 模的fusion rule：

$L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\times L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)=L\left(\frac{4}{5},0\right)+L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)+L\left(\frac{4}{5},3\right),$

$L\left(\frac{4}{5},3\right)\times L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)=L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right),$

$L\left(\frac{4}{5},3\right)\times L\left(\frac{4}{5},3\right)=L\left(\frac{4}{5},0\right),$

$L\left(\frac{4}{5},0\right)\times L\left(\frac{4}{5},h\right)=L\left(\frac{4}{5},h\right),h=0,\frac{2}{3},3.$

由于VOA $\mathcal{V}$ 是由权为2的向量生成的，$L\left(\frac{4}{5},0\right),L\left(\frac{4}{5},3\right),L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)$ 的fusion rule封闭，不会出现$L\left(\frac{4}{5},\frac{13}{8}\right)$ 和$L\left(\frac{4}{5},\frac{1}{8}\right)$ ，所以$\frac{13}{8}$ 和$\frac{1}{8}$ 的情况不会出现。

但是做fusion rule会出现$L\left(\frac{4}{5},3\right)$ 的部分，所以$\left(3,h_1,h_2,h_3\right)$ 可能会出现。

下面需要确定$L\left(\frac{4}{5},3\right)$ 是否出现。为此考虑V的自同构g和h。

接下来的讨论在复数域上进行，记$\xi ={\text{e}}^{\frac{2\pi i}{3}}$ ，令

$v_{m,n}={\displaystyle \sum _{i=0}^2{\displaystyle \sum _{j=0}^2{\xi }^{mi+nj}{x}_{-i,-j}}},m,n=0,1,2.$

即有：

$\left(v_{0,0},v_{0,1},v_{0,2},v_{1,0},v_{1,1},v_{1,2},v_{2,0},v_{2,1},v_{2,2}\right)=\left(x_{0,0},x_{0,1},x_{0,2},x_{1,0},x_{1,1},x_{1,2},x_{2,0},x_{2,1},x_{2,2}\right)A,$

其中矩阵A表示如下

$A=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& {\xi }^2& \xi & 1& {\xi }^2& \xi & 1& {\xi }^2& \xi \\ 1& \xi & {\xi }^2& 1& \xi & {\xi }^2& 1& \xi & {\xi }^2\\ 1& 1& 1& {\xi }^2& {\xi }^2& {\xi }^2& \xi & \xi & \xi \\ 1& {\xi }^2& \xi & {\xi }^2& \xi & 1& \xi & 1& {\xi }^2\\ 1& \xi & {\xi }^2& {\xi }^2& 1& \xi & \xi & {\xi }^2& 1\\ 1& 1& 1& \xi & \xi & \xi & {\xi }^2& {\xi }^2& {\xi }^2\\ 1& {\xi }^2& \xi & \xi & 1& {\xi }^2& {\xi }^2& \xi & 1\\ 1& \xi & {\xi }^2& \xi & {\xi }^2& 1& {\xi }^2& 1& \xi \end{array}\right].$

A的秩为9，从而$v_{m,n}$ 是线性无关的。

通过直接计算可以得到$h^k{g}^l\left(v_{m,n}\right)={\xi }^{km+ln}{v}_{m,n}$ 。

进一步有下面群$G=\langle g,h\rangle$ 的特征标表。

$\begin{array}{cccccccccc}& h^0{g}^0& h^0{g}^1& h^0{g}^2& h^1{g}^0& h^1{g}^1& h^1{g}^2& h^2{g}^0& h^2{g}^1& h^2{g}^2\\ {\chi }_{0,0}& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ {\chi }_{0,1}& 1& \xi & {\xi }^2& 1& \xi & {\xi }^2& 1& \xi & {\xi }^2\\ {\chi }_{0,2}& 1& {\xi }^2& \xi & 1& {\xi }^2& \xi & 1& {\xi }^2& \xi \\ {\chi }_{1,0}& 1& 1& 1& \xi & {\xi }^2& \xi & {\xi }^2& {\xi }^2& {\xi }^2\\ {\chi }_{1,1}& 1& \xi & {\xi }^2& \xi & \xi & 1& {\xi }^2& 1& \xi \\ {\chi }_{1,2}& 1& {\xi }^2& \xi & \xi & 1& {\xi }^2& {\xi }^2& \xi & 1\\ {\chi }_{2,0}& 1& 1& 1& {\xi }^2& {\xi }^2& {\xi }^2& \xi & \xi & \xi \\ {\chi }_{2,1}& 1& \xi & {\xi }^2& {\xi }^2& 1& \xi & \xi & {\xi }^2& 1\\ {\chi }_{2,2}& 1& {\xi }^2& \xi & {\xi }^2& \xi & 1& \xi & 1& {\xi }^2\end{array}$

现在通过$\mathcal{V}$ 的9阶自同构群G，可以得到$\mathcal{V}$ 分解([13]定理6.1)：

$\mathcal{V}={\oplus }_{\chi \in Irr\left(G\right)}\left(W_{\chi }\otimes {\mathcal{V}}_{\chi }\right).$

并且此时G的每一个不可约特征标都是1维的，因为${\chi }_{m,n}\left(1\right)=1$ 。

根据[13] (定理6.3)，有${\text{qdim}}_{{\mathcal{V}}^G}{\mathcal{V}}_{\chi }=\chi \left(1\right)=\dim W_{\chi }$ ，从而${\text{qdim}}_{{\mathcal{V}}^G}{\mathcal{V}}_{\chi }=1$ 。

那么${\mathcal{V}}^G$ 和${\mathcal{V}}_{\chi }$ 关于另外一个VOA的量子维数是相等的，这里取另外的VOA为Virasoro VOA $L\left(\frac{4}{5},0\right)$ 。

关于$L\left(\frac{4}{5},0\right)$ 的量子维数有如下结果：

${\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}L\left(\frac{4}{5},0\right)=1$ , ${\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}L\left(\frac{4}{5},3\right)=1$ , ${\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)=2$ .

一方面$v_{m,n}\in {\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ 属于不同的直和项，由${\mathcal{V}}_{\chi }$ 的不可约性，可知$v_{m,n}$ 生成${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ ，即：${\mathcal{V}}^G{v}_{m,n}={\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ 。

另一方面，通过计算${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4$ 在$v_{m,n}$ 上的作用，有下面的结果：

$\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_{0,0}=\left(0,0,0,2\right)v_{0,0}$ , $\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_{0,1}=\left(\frac{2}{3},0,\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)v_{0,1}$ ;

$\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_{0,2}=\left(\frac{2}{3},0,\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)v_{0,2}$ , $\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_{1,0}=\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)v_{1,0}$ ;

$\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_{1,1}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},0\right)v_{1,1}$ , $\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_{1,2}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},0,\frac{2}{3}\right)v_{1,2}$ ;

$\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_{2,0}=\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)v_{2,0}$ , $\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_{2,1}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},0,\frac{2}{3}\right)v_{2,1}$ ;

$\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\right)v_{2,2}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},0\right)v_{2,2}$ .

由于${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4$ 在$g,h$ 的作用下不动，所以${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4\in {\mathcal{V}}^G$ ，又因为${\mathcal{V}}^G$ 是$\mathcal{V}$ 的子VOA，所以${\mathcal{V}}^G$ 同样含有子代数T。

由${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4$ 在$v_{m,n}$ 上的作用，可知$v_{m,n}$ ，$\left(m,n\right)\ne \left(0,0\right)$ 是${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3,{\mu }_4$ 的最高权向量，T作用在$v_{m,n}$ 生成T的不可约模形如：

$L\left(\frac{4}{5},h_1\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_2\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_3\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_4\right),$

其中$h_i$ 有3个为$\frac{2}{3}$ ，另一个为0，又因为T同样在${\mathcal{V}}^G$ 中，所以有：

${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}\supset L\left(\frac{4}{5},h_1\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_2\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_3\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_4\right).$

由此计算${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ ，$\left(m,n\right)\ne \left(0,0\right)$ 的量子维数：

$\begin{array}{c}{\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}{\mathcal{V}}_{m,n}\ge {\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}L\left(\frac{4}{5},h_1\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_2\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_3\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},h_4\right)\\ =1\times 2\times 2\times 2\\ =8\end{array}$

其中$h_i$ 有3个为$\frac{2}{3}$ ，1个为0。

为了方便，下面的讨论中除非特殊说明不考虑的$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right)$ 次序，即：

$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 仅表示$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right)$ 中有1个为3，3个为2/3。

因为每个${\mathcal{V}}_{\chi }$ 的量子维数相等，所以${\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}{\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}\ge 8$ ，而$\left(0,0,0,0\right)$ 的量子维数为1，所以${\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}$ 中一定含有除$\left(0,0,0,0\right)$ 外的部分。接下来分两种情况讨论。

情形1 ${\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}$ 中没有$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 部分

由前面的讨论可知，每个${\mathcal{V}}_{\chi }$ 的量子维数相等，从而${\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}{\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}\ge 8$ ，所以${\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}$ 中一定会出现$\left(3,h_1,h_2,h_3\right)$ ，$h_i=0$ 或3的情况，考虑$\left(3,h_1,h_2,h_3\right)$ 与$\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 的fusion rule：

$\left(3,h_1,h_2,h_3\right)\times \left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)=\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).$

从而$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 现一定出现在$\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 的部分，这时${\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}{\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}\ge 8+8=16$ 。

此时只有一种可能，即所有的$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right),h_i=0,3$ 都出现，且都在${\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}$ 中，并且所有的$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 也都会出现，分别属于不同的${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ ，$\left(m,n\right)\ne \left(0,0\right)$ 。

情形2 ${\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}$ 中有$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 部分

此时${\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}$ 有且只有1个$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 。因为如果${\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}$ 有两个$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 部分，则

${\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}{\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}\ge 1+8+8=17.$

这种情况不可能出现，因为此时所有的$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right),h_i=0,3$ 和所有的$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 都出现也无法使每一部分${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ 的量子维数相同，所以${\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}$ 有且只有1个$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 。

由于${\text{qdim}}_{L\left(\frac{4}{5},0\right)}{\mathcal{V}}_{{\chi }_{0,0}}\ge 1+8=9$ ，而$\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 的量子维数为8，

所以在${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ $\left(m,n\right)\ne \left(0,0\right)$ 中一定有除$\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 外的部分。

如果${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ 中有$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 部分，则其量子维数至少为16，此时只有一种可能，即所有的$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right)$ ，$h_i=0,3$ 和所有的$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 都会出现。

如果${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ 中没有$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 部分，则每个${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ 的量子维数为9，此时一定会有一个次序(此时考虑次序)不同于$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 部分的$\left(3,h_1,h_2,h_3\right),h_i=0$ 或3出现。

比如$\left(h_1,3,h_2,h_3\right)$ ，此时考虑下述fusion rule：

$\left(h_1,3,h_2,h_3\right)\times \left(\frac{2}{3},0,\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3},3,\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right),$

从而会出现$\left(\frac{2}{3},3,\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 。

综上所述，${\mathcal{V}}_{{\chi }_{m,n}}$ $\left(m,n\right)\ne \left(0,0\right)$ 中一定会出现$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 部分。此时所有的$\left(h_1,h_2,h_3,h_4\right),h_i=0,3$ 和$\left(3,\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 都会出现。

通过上述讨论可以得出$\mathcal{V}$ 得结构如下：

$\begin{array}{c}\mathcal{V}\cong \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\\ \oplus 2\left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\\ \oplus 2L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\\ \oplus 2L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\\ \oplus 2L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right).\end{array}$

综合上述3种情形可以得到本节的主要定理。

定理3.4. 设V是月光型VOA，且V上的限制对偶双线性型是正定的。$\left(a_0,a_1\right)$ 和$\left(b_0,b_1\right)$ 是V中的2对Ising向量，其分别生成3A代数$U,U^{\prime }$ ，使得$\left(a_0,a_1,a_2,\mu \right)$ 和$\left(b_0,b_1,b_2,\mu \right)$ 是$U,U^{\prime }$ 的Griess代数的一组正规基，则由$\left(a_0,a_1\right)$ 和$\left(b_0,b_1\right)$ 生成的VOA$\mathcal{V}$ 有3种可能的结构：$U_{3A}$ ，$U_{6A}$ 和

$\begin{array}{l}\left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\\ \oplus 2\left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\\ \oplus 2L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\\ \oplus 2L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\\ \oplus 2L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right).\end{array}$

注：[9]中证明了$V_{F\left(1A\right)}\cong U_{3A}$ ，$V_{F\left(2A\right)}\cong U_{6A}$ ，$V_{F\left(3A\right)}$ 同构于一个code VOA，从而本文猜测第三种情形中的结构可以进一步细化为[9]中的code VOA。

此时已经得到$\mathcal{V}$ 的一个子代数

$\left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right).$

即$T^{\prime }=\mathcal{W}\left(0\right)\otimes \mathcal{W}\left(0\right)\otimes \mathcal{W}\left(0\right)\otimes \mathcal{W}\left(0\right)$ ，从而可以将$\mathcal{V}$ 视为$T^{\prime }$ 模。

在[14]中研究并给出了所有的不可约$\mathcal{W}\left(0\right)$ 模：

$\mathcal{W}\left(0\right),\mathcal{W}\left(\frac{2}{5}\right),\mathcal{W}\left(\frac{1}{15},+\right),\mathcal{W}\left(\frac{1}{15},-\right),\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},+\right),\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},-\right),$

其中作为$L\left(\frac{4}{5},0\right)$ 模，有

$\mathcal{W}\left(0\right)\cong L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)$ , $\mathcal{W}\left(\frac{2}{5}\right)\cong L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},\frac{7}{5}\right)$ ,

$\mathcal{W}\left(\frac{1}{15},\pm \right)\cong L\left(\frac{4}{5},\frac{1}{15}\right)$ , $\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},\pm \right)\cong L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)$ .

在[4]中，计算了不可约$\mathcal{W}\left(0\right)$ 模的fusion rule有：

$\mathcal{W}\left(0\right)\times \mathcal{W}\left(0\right)=\mathcal{W}\left(0\right)$ , $\mathcal{W}\left(0\right)\times \mathcal{W}\left(\frac{2}{3},\pm \right)=\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},\pm \right)$ ,

$\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},\pm \right)\times \mathcal{W}\left(\frac{2}{3},\pm \right)=\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},\mp \right)$ , $\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},\pm \right)\times \mathcal{W}\left(\frac{2}{3},\mp \right)=\mathcal{W}\left(0\right)$ .

下面用1来表示$\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},+\right)$ ，−1表示$\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},-\right)$ ，0表示$\mathcal{W}\left(0\right)$ ，对定理3.4中第三种情形中出现的两种作为T模的相同结构，将其视为$T^{\prime }$ 模，通过确定其中的一个符号之后，另一个取相反的符号来加以区分。

比如，将定理3.4中第三种情形中出现的直和项中作为同构T模的两个

$L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes L\left(\frac{4}{5},\frac{2}{3}\right)\otimes \left(L\left(\frac{4}{5},0\right)\oplus L\left(\frac{4}{5},3\right)\right)$ 视为$T^{\prime }$ 模

确定其中的一个为

$\left(1,1,1,0\right)=\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},+\right)\otimes \mathcal{W}\left(\frac{2}{3},+\right)\otimes \mathcal{W}\left(\frac{2}{3},+\right)\otimes \mathcal{W}\left(0\right)$ ,

另一个相应的取为

$\left(-1,-1,-1,0\right)=\mathcal{W}\left(\frac{2}{3},-\right)\otimes \mathcal{W}\left(\frac{2}{3},-\right)\otimes \mathcal{W}\left(\frac{2}{3},-\right)\otimes \mathcal{W}\left(0\right)$ .

首先，指定其两组的符号为$\left(1,1,1,0\right),\left(1,-1,0,1\right)$ ，相应的有$\left(-1,-1,-1,0\right),\left(-1,1,0,-1\right)$ 。

另外，由fusion rule $\left(1,1,1,0\right)\times \left(1,-1,0,1\right)=\left(-1,0,1,1\right)$ ，相应的有$\left(1,0,-1,-1\right)$ 。

此外，由fusion rule $\left(1,-1,0,1\right)\times \left(-1,0,1,1\right)=\left(0,-1,1,-1\right)$ ，相应的有$\left(0,1,-1,1\right)$ 。

按照这种方式，定理3.4中的情形3，$\mathcal{V}$ 同构于[9]中所描述的code VOA。