非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统解的适定性和渐近行为

Well-Posedness and Asymptotic Behavior of Solutions for Nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes System

摘要: 文章主要研究在二维空间中非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统弱解的适定性和长时间渐近行为。我们用标准的Galerkin方法并结合解的估计方法证明了弱解的整体存在性和唯一性，通过系统的能量方程得到了解的耗散估计，从而在空间_m中建立了全局吸引子的存在性。

Abstract: This article mainly studies the well-posedness and long-term asymptotic behavior of the weak solution of nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system in two-dimensional space . We prove the global existence and uniqueness of weak solutions using the standard Galerkin method combined with the estimation method of solutions. We obtain the dissipative estimate of the solution through the energy equation of the system, and the existence of global attractors is established in _m.

1. 引言

Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统是一种扩散界面模型，该模型描述了两个等温、不可压缩、不可混溶的流体在有界域中的演化[1]。Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统解的存在性和唯一性以及吸引子的存在性已经被国内外学者进行了深入的研究[2]-[8]。作者Gal和Grasselli在[2]-[5]中研究了Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统在不同情形下解的存在唯一性以及吸引子的存在性问题。尤波在[6]中研究了具有移动接触线系统全局吸引子的存在性问题。Giorgini和Teman在[7]中证明了在无滑移和齐次Neumann边界条件下，系统在二维空间中弱解的唯一性以及全局强解的存在唯一性，在三维空间中局部强解的存在唯一性。黄旭凤等在[8]中研究了具有动态边界条件的Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统二维弱解的渐近行为。

本文中，我们考虑如下非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统：

${\phi }_t+u\cdot \nabla \phi =m\Delta \mu ,\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(0,T\right),$ (1)

$\mu =a\phi -J*\phi +f\left(\phi \right),\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(0,T\right),$ (2)

$u_t-\nu \Delta u+\left(u\cdot \nabla \right)u+\nabla p+\lambda \phi \nabla \mu =h,\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(0,T\right),$ (3)

$\nabla \cdot u=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(0,T\right),$ (4)

其中$\left(J*\phi \right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }J\left(x-y\right)\phi \left(y\right)\text{d}y}$ ，$a\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }J\left(x-y\right)d\left(y\right)\text{d}y}$ ，$x\in \Omega$ 。$\Omega \subset {ℝ}^2$ 是具有光滑边界$\partial \Omega$ 和单位外法线$n$ 的有界区域。$m>0$ 表示流动性，$\nu >0$ 表示粘度，$\lambda >0$ 表示表面张力参数，$\phi$ 表示两种流体的浓度，$u$ 表示流体速度，$\mu$ 表示化学势，$p$ 表示流体压力，$h$ 表示外力项，$f\left(s\right)=F^{\prime }\left(s\right)$ ，$F\left(s\right)$ 是双阱势函数，用于描述相分离。系统(1)~(4)具有以下边界条件和初始条件

$u\left(x,t\right)=0,\left(x,t\right)\in \partial \Omega \times \left(0,T\right),$ (5)

$\frac{\partial \phi }{\partial n}=\frac{\partial \mu }{\partial n}=0,\left(x,t\right)\in \partial \Omega \times \left(0,T\right),$ (6)

$u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\phi \left(x,0\right)={\phi }_0\left(x\right),x\in \Omega ,$ (7)

相较于局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统，非局部系统可以更准确地描述流体之间的演化，Navier-Stokes方程和非局部对流Cahn-Hilliard方程的耦合系统是近年来研究的一个活跃课题，其难点在于对非局部Cahn-Hilliard方程的研究。Bates等人在[9]中讨论了非局部Cahn-Hilliard方程在Neumann边界条件下系统解的存在唯一性。在数学理论方面，Frigeri、Colli、Grasselli等人在不同条件下讨论了该系统解的适定性和渐近行为。当F是具有任意多项式增长的正则势时，Colli等在[10]中证明非局部系统存在二维和三维整体弱解，并且在二维情况下弱解满足能量方程和耗散估计；此外Frigeri等在[11]中利用能量方程建立了二维全局吸引子的存在性，以及三维轨迹吸引子的存在性；文献[10]和[11]的结果进一步被推广到了奇异势的情形(参见文献[12])；文献[13]证明了在二维空间中存在唯一强解，并且任何满足能量方程的弱解在有限时间内正则化，推导出全局吸引子是所有完全有界轨迹强解的并集。2016年弱解的唯一性首次得到证明，当粘度$\nu$ 为常数时，Frigeri等在[14]中证明了在正则势和奇异势情况下二维弱解的唯一性。对于具有奇异势和退化迁移率的系统，文献[15]解决了二维空间整体弱解和全局吸引子的存在性问题，并得到正则性结果；另外在[17]证明了系统二维强解的存在唯一性。对于不同密度的流体模型，文献[16]在非退化迁移率和奇异势的假设下，得到系统整体耗散弱解的存在性，并将非退化迁移率的结果进一步在[18]中推广到了退化迁移率。目前数值方法的研究主要集中在非局部Cahn-Hilliard方程本身，例如凸分裂方法[19]、线性稳定化方法[20]、不变能量平方化(IEQ)方法[21]、标量辅助变量方法[22]等。研究非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统数值解能有效模拟复杂的相分离和流体力学的耦合行为。例如文献[23]根据一种完全离散的傅里叶谱数值方法来求解系统，实现了完全解耦，同时保持了线性性和能量稳定性。此外，在应用方面，非局部系统在不同条件下的最优控制问题在文献[24] [25]中得到了讨论。

文献[11] [12] [14]对非线性项f和双阱势函数F进行了如下假设：

(A₁) $F\in C_{loc}^{2,1}\left(ℝ\right)$ 并且存在$c_0>0$ ，使得$F^{″}\left(s\right)+a\left(x\right)\ge c_0$ ，对$\forall s\in ℝ,x\in \Omega$ 。

(A₂) 存在$c_1>\frac{1}{2}{\Vert J\Vert }_{L^1({ℝ}^2)}$ ，$c_2\in ℝ$ ，使得$F\left(s\right)\ge c_1{s}^2-c_2$ ，对$\forall s\in ℝ$ 。

(A₃) 存在$c_3>0$ ，$c_4\ge 0$ ，$p\in (1,2]$ ，使得${\left|F^{\prime }\left(s\right)\right|}^p\le c_3\left|F\left(s\right)\right|+c_4$ ，对$\forall s\in ℝ$ 。

本文对核J、非线性项f、双阱势函数F和外力项h进行如下假设：

(H₁) $J\in W^{1,1}\left({ℝ}^2\right)$ ，$J\left(x\right)=J\left(-x\right)$ ，$a\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }J\left(x-y\right)\text{d}y}\ge 0$ ，$x\in \Omega$ 。

(H₂) $\overline{a}=\underset{x\in \Omega }{\sup }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J\left(x-y\right)\text{d}y<\infty }$，$\underset{\_}{a}=\underset{x\in \Omega }{\inf }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J\left(x-y\right)\text{d}y}$ ，$\underset{\_}{a}\ge \max \left\{2{\Vert J\Vert }_{L^1({ℝ}^2)},\lambda \right\}$ 。

(H₃) 函数$f\in C^2\left(ℝ\right)$ ，存在$\lambda \ge 0$ ，使得$f^{\prime }\left(s\right)\ge -\lambda$ ，对$\forall s\in ℝ$ 。

(H₄) $f$ 是连续函数，存在$c_1>0$ ，使得$\left|f\left(s_1\right)-f\left(s_2\right)\right|\le c_1\left|s_1-s_2\right|$ ，对$\forall s\in ℝ$ 。

(H₅) 存在$c_2>0$ ，$c_3\ge 0$ ，$\forall p\in {ℝ}^{+}$ ，使得${\left|f\left(s\right)\right|}^p\le c_2{s}^{4p}+c_3$ ，对$\forall s\in ℝ$ 。

(H₆) $F\in C_{loc}^{2,1}\left(ℝ\right)$ ，存在$c_4>0$ ，$c_5\in ℝ$ ，$r>2$ ，$r$ 为偶数，使得$F\left(s\right)\ge c_4{s}^r-c_5$ ，对$\forall s\in ℝ$ 。

(H₇) $h\in L^2\left(0,T;V^{\prime }\right)$ ，对$\forall T>0$ 。

注1.1 根据(H₃)，可令$F\left(s\right)=G\left(s\right)-\frac{\lambda +1}{2}{s}^2$ ，其中$G\in C^{2,1}\left(ℝ\right)$ 是严格凸的，因为$G^{″}\ge 1$ 。

本文中，我们假设$m=\mu =\lambda =1$ ，并沿用文献[11] [12] [14]的方法，分析具有边界条件(5)~(6)和初始值(7)的非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统解的适定性和长时间行为，改进了非线性项f和双阱势函数F的假设条件。本文的假设条件更具一般性，推广了文献[11] [12] [14]相应的结果。

2. 预备知识

设$H=L^2\left(\Omega \right)$ ，$V=H^1\left(\Omega \right)$ ，本文中符号$\Vert \cdot \Vert$ 和$\left(\cdot ,\cdot \right)$ 表示在$H$ 上的范数和内积，$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示$V^{\prime }$ 和$V$ 的对偶积，定义$\overline{\phi }$ 为$\phi$ 在$\Omega$ 上的平均，即

$\overline{\phi }={\left|\Omega \right|}^{-1}\langle \phi ,1\rangle$ ，$\forall \phi \in V^{\prime }.$

我们令$V_s=D\left(B^{s/2}\right)$ ，对$\forall s\in ℝ$ ，$B=-\Delta +I$ 是Neumann算子。因此我们定义

$V_2=D\left(B\right)=\left\{v\in H^2\left(\Omega \right):在\partial \Omega 上\frac{\partial v}{\partial n}=0\right\}.$

另外，假设为无散度测试函数空间[26]

$\mathcal{V}=\left\{u\in C_0^{\infty }\left(\Omega ,R^2\right):\nabla \cdot u=0\right\}.$

本文中将用到Navier-Stokes问题中经典的Hilbert空间[26]

$H={\overline{\mathcal{V}}}^{H^2}={\overline{\left\{u\in C_0^{\infty }{\left(\Omega \right)}^2:\nabla \cdot u=0\right\}}}^{L^2{\left(\Omega \right)}^2}，V=\left\{u\in V^2:\nabla \cdot u=0\right\}.$

接下来介绍Stokes算子$A:D\left(A\right)\cap H\to H$ ，$A=-P\Delta ，D\left(A\right)=H^2{\left(\Omega \right)}^2\cap V，$ 其中$P:L^2{\left(\Omega \right)}^2\to H$ 是Leray投影。我们有

$\left(Au,v\right)={\left(u,v\right)}_V=\left(\nabla u,\nabla v\right)，\forall u\in D\left(A\right)，v\in V.$

下面定义映射$\mathcal{A}:H\times H\to V^{\prime }$ ，对$\forall u\in V$ ，$\phi \in H$ ，我们令

$\langle \mathcal{A}\left(u,\phi \right),v\rangle =\left(\nabla u,\nabla v\right)，\forall v\in V.$

因此有$\mathcal{A}\left(u,\phi \right)=Au$ ，$\forall u\in D\left(A\right)$ 。最后，对$\forall u,v,w\in V$ ，我们定义三线性算子

$b\left(u,v,w\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u\cdot \nabla \right)v\cdot w},$

以及双线性算子：$ℬ:V\times V\to V^{\prime }$ 定义为

$\langle ℬ\left(u,v\right),w\rangle =b\left(u,v,w\right),\forall u,v,w\in V.$

我们有

$\{\begin{array}{l}b\left(u,v,v\right)=0,\forall u,v\in V,\hfill \\ b\left(u,v,w\right)=-b\left(u,w,v\right),\forall u,v,w\in V.\hfill \end{array}$

并且由Hölder和Ladyzhenskaya’s不等式，可得

$\left|b\left(u,v,w\right)\right|\le c{\Vert u\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla u\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla v\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert w\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla w\Vert }^{\frac{1}{2}}.$

引理2.1 (见[26] [27])设$\Omega$ 是${ℝ}^2$ 的有界域，设序列$\left\{f_n\right\}\subset L^{\infty }\left(\Omega \right)$ ，满足${\Vert f_n\Vert }_{\infty }\le c$ 并且在$L^2\left(\Omega \right)$ 中$f_n\to f$ 。设序列$\left\{g_n\right\}\subset L^2\left(\Omega \right)$ ，使得在$L^2\left(\Omega \right)$ 中$g_n\rightharpoonup g$ ，则在$L^2\left(\Omega \right)$ 中。

本文中c和$c^{\prime }$ 都表示非负常数，N、M和L表示依赖于初始数据$u_0$ 、${\phi }_0$ 和$h$ 的非负常数。

3. 适定性

3.1. 存在性

定义3.1 假设$u_0\in H$ ，${\phi }_0\in H$ ，$F\left({\phi }_0\right)\in L^1\left(\Omega \right)$ ，$0<T<+\infty$ ，函数$\left(u,\phi \right)$ 是系统(1)~(7)在$\left[0,T\right]$ 上的弱解，如果

$u\in L^{\infty }\left(0,T;H\right)\cap L^2\left(0,T;V\right),$

$u_t\in L^{2-\gamma }\left(0,T;V^{\prime }\right)，\forall \gamma \in \left(0,1\right),$

$\phi \in L^{\infty }\left(0,T;H\right)\cap L^2\left(0,T;V\right),$

${\phi }_t\in L^{2-\delta }\left(0,T;V^{\prime }\right)，\forall \delta \in \left(0,1\right),$

$\mu =a\phi -J\ast \phi +F^{\prime }\left(\phi \right)\in L^2\left(0,T;V\right),$

令$\rho \left(x,\phi \right)=a\left(x\right)\phi +F^{\prime }\left(\phi \right)$ ，且满足对$\forall \psi \in V$ ，$v\in V$ ，$t\in \left(0,T\right)$ 时有

$\langle {\phi }_t,\psi \rangle +\left(\nabla \rho ,\nabla \psi \right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u\cdot \nabla \psi \right)\phi }+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\nabla J\ast \phi \right)\cdot }\nabla \psi ,$ (8)

$\langle u_t,v\rangle +\left(\nabla u,\nabla v\right)+b\left(u,u,v\right)=-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(v\cdot \nabla \mu \right)\phi }+\langle h,v\rangle ,$ (9)

且初值条件成立

$u\left(0\right)=u_0,\phi \left(0\right)={\phi }_0.$

注3.1 在式(8)中令$\psi =1$ ，我们有$\langle {\phi }_t,1\rangle =0$ ，其中$\left(\phi \left(t\right),1\right)=\left({\phi }_0,1\right)$ ，对$\forall t\ge 0$ 。

定理3.1 假设$u_0\in H$ ，${\phi }_0\in H$ ，$F\left({\phi }_0\right)\in L^1\left(\Omega \right)$ ，并且假设条件(H₁)~(H₇)都成立。对$\forall T>0$ ，系统(1)~(7)在$\left[0,T\right]$ 上存在弱解$\left(u,\phi \right)$ ，且${\phi }_t$ 满足

${\phi }_t\in L^{\infty }\left(0,T;{V^{\prime }}_s\right)$ ，若$1<p<2$ ，$s=\frac{p+2}{p}$ ，

${\phi }_t\in L^{\infty }\left(0,T;{V^{\prime }}_s\right)\cap L^{\gamma }\left(0,T;{V^{\prime }}_2\right)$ ，若$p=2$ ，$s>\frac{p+2}{p}$ ，$r\ge 2$ 。

进一步，令

$ℰ\left(u\left(t\right),\phi \left(t\right)\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+\frac{1}{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J}\left(x-y\right){\left(\phi \left(x,t\right)-\phi \left(y,t\right)\right)}^2\text{d}x\text{d}y+}{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(\phi \left(t\right)\right)}$ (10)

证 用标准Galerkin方法证明弱解的存在性，考虑空间$V$ 作为Galerkin基的Stokes算子A的本征函数族${\left\{{\omega }_n\right\}}_{n\ge 1}$ ，以及空间$V$ 作为Galerkin基的Neumann算子$B=-\Delta +I$ 的本征函数族${\left\{{\psi }_n\right\}}_{n\ge 1}$ 。定义了n维子空间$W_n=\langle {\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\rangle$ 和${\Psi }_n=\langle {\psi }_1,{\psi }_2,\cdots ,{\psi }_n\rangle$ ，并分别考虑$H$ 和$H$ 中子空间的正交投影，即${\overline{P}}_n=P_{W_n}$ ，$P_n=P_{{\Psi }_n}$ ，${\overline{P}}_n$ 为$H$ 到$W_n$ 的正交投影，$P_n$ 为$H$ 到${\Psi }_n$ 的正交投影。我们令

$u_n\left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k^{\left(n\right)}\left(t\right){\omega }_k},{\phi }_n\left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^n{b}_k^{\left(n\right)}\left(t\right){\psi }_k},{\mu }_n\left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^n{c}_k^{\left(n\right)}\left(t\right){\psi }_k}$ ,

对于$\forall n\ge 1$ ，考虑以下近似问题

$\langle {{\phi }^{\prime }}_n,\psi \rangle +\left(\nabla \rho \left(\cdot ,{\phi }_n\right),\nabla \psi \right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_n\cdot \nabla \psi \right){\phi }_n}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\nabla J\ast {\phi }_n\right)\cdot }\nabla \psi$ ,(11)

$\langle {u^{\prime }}_n,\omega \rangle +\left(\nabla u_n,\nabla \omega \right)+b\left(u_n,u_n,\omega \right)=-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\omega \cdot \nabla {\mu }_n\right)\phi }+\langle h_n,\omega \rangle$ ,(12)

$\rho \left(\cdot ,{\phi }_n\right)=a(\cdot ){\phi }_n+F^{\prime }\left({\phi }_n\right)$ ,

${\mu }_n=P_n\left(\rho \left(\cdot ,{\phi }_n\right)-J\ast {\phi }_n\right)$ ,

$u_n\left(0\right)=u_{0n}，{\phi }_n\left(0\right)={\phi }_{0n}$ ,

首先估计序列${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ，${\left\{{\phi }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ，${\left\{{\mu }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ，在式(11)中令$\psi ={\mu }_n$ 可得

$\langle {{\phi }^{\prime }}_n,{\mu }_n\rangle +\left(\nabla \rho \left(\cdot ,{\phi }_n\right),\nabla {\mu }_n\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_n\cdot \nabla {\mu }_n\right){\phi }_n}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\nabla J\ast {\phi }_n\right)\cdot }\nabla {\mu }_n.$ (13)

在式(12)中令$\omega =u_n$ ，可得

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_n\Vert }^2+{\Vert \nabla u_n\Vert }^2=-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_n\cdot \nabla {\mu }_n\right){\phi }_n}+\langle h_n,u_n\rangle .$ (14)

由于$J\left(x\right)=J\left(-x\right)$ ，可得

$\begin{array}{c}\langle {{\phi }^{\prime }}_n,{\mu }_n\rangle =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{2}a{\Vert {\phi }_n\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{F}^{\prime }\left({\phi }_n\right)-\frac{1}{2}\left({\phi }_n,J\ast {\phi }_n\right)}\right)\\ =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J}\left(x-y\right){\left({\phi }_n\left(x\right)-{\phi }_n\left(y\right)\right)}^2\text{d}x\text{d}y+}{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left({\phi }_n\right)}\right).\end{array}$ (15)

将式(13)和式(14)相加，并结合式(15)，可得

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert u_n\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J}\left(x-y\right){\left({\phi }_n\left(x\right)-{\phi }_n\left(y\right)\right)}^{2}dxdy+2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left({\phi }_n\right)}\right)\\ +{\Vert \nabla u_n\Vert }^2+{\Vert \nabla {\mu }_n\Vert }^2+\left(\nabla \left(P_n\left(J\ast {\phi }_n\right),\nabla {\mu }_n\right)\right)\\ =\left(\left(\nabla J\ast {\phi }_n\right),\nabla {\mu }_n\right)+\langle h_n,u_n\rangle .\end{array}$ (16)

由Cauchy不等式和Young不等式，可得

$\left(\left(\nabla J\ast {\phi }_n\right),\nabla {\mu }_n\right)\le \frac{1}{4}{\Vert \nabla {\mu }_n\Vert }^2+{\Vert {\phi }_n\Vert }^2{\Vert J\Vert }_{W^{1,1}}^2$ ,

$\begin{array}{c}\left(\nabla \left(P_n\left(J\ast {\phi }_n\right),\nabla {\mu }_n\right)\right)\le \left(B^{1/2}\left(P_n\left(J\ast {\phi }_n\right),\nabla {\mu }_n\right)\right)\le \left(\left(\nabla J\ast {\phi }_n\right),\nabla {\mu }_n\right)+\left(\left(J\ast {\phi }_n\right),\nabla {\mu }_n\right)\\ \le \frac{1}{4}{\Vert \nabla {\mu }_n\Vert }^2+{\Vert {\phi }_n\Vert }^2{\Vert J\Vert }_{W^{1,1}}^2.\end{array}$

由假设(H₂)、(H₆)和$L^p$ 空间嵌入定理，可得

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J}\left(x-y\right){\left({\phi }_n\left(x\right)-{\phi }_n\left(y\right)\right)}^2\text{d}x\text{d}y+2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left({\phi }_n\right)}\\ =a{\Vert {\phi }_n\Vert }^2+2{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left({\phi }_n\right)}-\left({\phi }_n,J\ast {\phi }_n\right)\\ \ge \left(\underset{\_}{a}-{\Vert J\Vert }_{L^1}\right){\Vert {\phi }_n\Vert }^2+2{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(c_4{\left|{\phi }_n\right|}^4-c_5\right)}\\ \ge \left(\underset{\_}{a}-{\Vert J\Vert }_{L^1}\right){\Vert {\phi }_n\Vert }^2+2c_4{\Vert {\phi }_n\Vert }^4-2c_5\left|\Omega \right|\ge \alpha {\Vert {\phi }_n\Vert }^2-c.\end{array}$

其中$\alpha =\left(\underset{\_}{a}-{\Vert J\Vert }_{L^1}\right)>0$ 。由Cauchy、Young、Poincaré不等式以及假设(H₇)，我们有

$\langle h_n,u_n\rangle \le \frac{1}{2}{\Vert h_n\Vert }_{V^{\prime }}^2+c{\Vert \nabla u_n\Vert }^2$ .

对式(16)在0到t上进行积分，并结合上述估计，可以得到下面的积分不等式

$\begin{array}{c}{\Vert u_n\Vert }^2+\alpha {\Vert {\phi }_n\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_0^t\left(c{\Vert \nabla u_n\Vert }^2+{\Vert \nabla {\mu }_n\Vert }^2\right)\text{d}\tau }\\ \le 4{\Vert J\Vert }_{W^{1,1}}^2{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\phi }_n\Vert }^2\text{d}\tau }+{\Vert u_{0n}\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J}\left(x-y\right){\left({\phi }_{0n}\left(x\right)-{\phi }_{0n}\left(y\right)\right)}^2\text{d}x\text{d}y}+2{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left({\phi }_{0n}\right)}+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert h_n\Vert }_{V^{\prime }}^2\text{d}\tau }+c\\ \le M+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert h_n\Vert }_{V^{\prime }}^{2}dt}+c{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\phi }_n\Vert }^2\text{d}\tau }.\end{array}$

其中c仅依赖于${\Vert J\Vert }_{W^{1,1}}$ 和$\left|\Omega \right|$ ，$M=c\left(1+{\Vert u_0\Vert }^2+{\Vert {\phi }_0\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left({\phi }_{0n}\right)}\right)$ 。由Gronwall不等式，可得

${\Vert u_n\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;H\right)\cap L^2\left(0,T;V\right)}\le N,$ (17)

${\Vert {\phi }_n\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;H\right)}\le N,$ (18)

${\Vert \nabla {\mu }_n\Vert }_{L^2\left(0,T;H\right)}\le N,$ (19)

其中$N=c\left(M^{1/2}+{\Vert h_n\Vert }_{L^2\left(0,T;V^{\prime }\right)}\right)$ 。根据假设(H₂)、(H₃)和Young不等式，可得

$\begin{array}{c}\left({\mu }_n,-\Delta {\phi }_n\right)=\left(\nabla {\mu }_n,\nabla {\phi }_n\right)=\left(\nabla {\phi }_n,a\nabla {\phi }_n+{\phi }_n\nabla a+f^{\prime }\left({\phi }_n\right)\nabla {\phi }_n-\nabla J\ast {\phi }_n\right)\\ \ge \underset{\_}{a}{\Vert \nabla {\phi }_n\Vert }^2-2\Vert \nabla {\phi }_n\Vert {\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}\Vert {\phi }_n\Vert -\lambda {\Vert \nabla {\phi }_n\Vert }^2\ge \frac{\underset{\_}{a}-\lambda }{2}{\Vert \nabla {\phi }_n\Vert }^2-\frac{2}{\underset{\_}{a}-\lambda }{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}^2{\Vert {\phi }_n\Vert }^2,\end{array}$

另一方面，由Young不等式，可得

$\left(\nabla {\mu }_n,\nabla {\phi }_n\right)\le \frac{\underset{\_}{a}-\lambda }{4}{\Vert \nabla {\phi }_n\Vert }^2+\frac{1}{\underset{\_}{a}-\lambda }{\Vert \nabla {\mu }_n\Vert }^2,$

结合两式有${\Vert \nabla {\mu }_n\Vert }^2\ge \frac{{\left(\underset{\_}{a}-\lambda \right)}^2}{4}{\Vert \nabla {\phi }_n\Vert }^2-2{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}^2{\Vert {\phi }_n\Vert }^2$ ，故可得

${\Vert {\phi }_n\Vert }_{L^2\left(0,T;V\right)}\le N.$ (20)

由于弱解总质量守恒，有$\left(P_n\left(J\ast {\phi }_n+a{\phi }_n\right),1\right)=\left(-J\ast {\phi }_n+a{\phi }_n,1\right)=\left(-\Delta {\phi }_n,1\right)=0$ ，再根据(H₅)和Sobolev嵌入定理，可以得到

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n}\right|=\left|\left(F^{\prime }\left({\phi }_n\right),1\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(c_2{\left|{\phi }_n\right|}^4+c_3\right)}\le c_2{\Vert {\phi }_n\Vert }_{L^4}^4+c_3\left|\Omega \right|{\le }_2{\Vert {\phi }_n\Vert }_V^4+c\le N,$

由Poincaré不等式，有$\Vert {\mu }_n-{\left|\Omega \right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n}\Vert \le c\Vert \nabla {\mu }_n\Vert$ ，故可得

${\Vert {\mu }_n\Vert }_{L^2\left(0,T;V\right)}\le N.$ (21)

由假设(H₅)，我们可以估计序列${\left\{\rho \left(\cdot ,{\phi }_n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ，

$\begin{array}{c}{\Vert \rho \left(\cdot ,{\phi }_n\right)\Vert }_{L^p}\le c\overline{a}\Vert {\phi }_n\Vert +{\Vert f\left({\phi }_n\right)\Vert }_{L^p}\le c\overline{a}\Vert {\phi }_n\Vert +{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(c_2{\left|{\phi }_n\right|}^{4p}+c_3\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \le c\overline{a}\Vert {\phi }_n\Vert +{\left(c_2{\left|{\phi }_n\right|}_{L^{4p}}^{4p}+c_3\left|\Omega \right|\right)}^{\frac{1}{p}}\le c\overline{a}\Vert {\phi }_n\Vert +{\left(c_2{\left|{\phi }_n\right|}_V^{4p}+c_3\left|\Omega \right|\right)}^{\frac{1}{p}}\le N,\end{array}$

因此可以得到

${\Vert \rho \left(\cdot ,{\phi }_n\right)\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;L^p\left(\Omega \right)\right)}\le N.$ (22)

接下来估计序列${\left\{{u^{\prime }}_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 和${\left\{{{\phi }^{\prime }}_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ，首先重写式(12)

${u^{\prime }}_n+{\overline{P}}_n\mathcal{A}\left(u_n,{\phi }_n\right)+{\overline{P}}_nℬ\left(u_n,u_n\right)=-{\overline{P}}_n\left({\phi }_n\nabla {\mu }_n\right)+{\overline{P}}_n{h}_n.$ (23)

由Gagliardo-Nirenberg不等式，对$\forall 0<\gamma <1$ ，可得

${\Vert {\overline{P}}_n\left({\phi }_n\nabla {\mu }_n\right)\Vert }_{V^{\prime }}\le c{\Vert {\phi }_n\Vert }_{L^{\frac{2-\gamma }{1-\gamma }}}\Vert \nabla {\mu }_n\Vert \le c{\Vert {\phi }_n\Vert }_{{}^{{}^{{}^{\frac{2-2\gamma }{2-\gamma }}}}}{\Vert {\phi }_n\Vert }_V^{\frac{\gamma }{2-\gamma }}\Vert \nabla {\mu }_n\Vert \le N^{\frac{2-2\gamma }{2-\gamma }}{\Vert {\phi }_n\Vert }_V^{\frac{\gamma }{2-\gamma }}\Vert \nabla {\mu }_n\Vert$ .

由式(19)和式(20)，我们得到${\Vert {\overline{P}}_n\left({\phi }_n\nabla {\mu }_n\right)\Vert }_{L^{2-\gamma }\left(0,T;V^{\prime }\right)}\le N^2$ ，进一步，得到

${\Vert {\overline{P}}_n\mathcal{A}\left(u_n,{\phi }_n\right)\Vert }_{V^{\prime }}\le {\Vert u_n\Vert }_V,{\Vert {\overline{P}}_nℬ\left(u_n,u_n\right)\Vert }_{V^{\prime }}\le c\Vert u_n\Vert {\Vert u_n\Vert }_V,$

由于${\overline{P}}_n\in ℒ\left(V^{\prime },V^{\prime }\right)$ ，可得${\Vert {\overline{P}}_n{h}_n\Vert }_{L^2\left(0,T;V^{\prime }\right)}\le c\left(1+{\Vert h_n\Vert }_{L^2\left(0,T;V^{\prime }\right)}\right)$ ，由式(23)再结合估计，可得

${\Vert u^{\prime }\Vert }_{L^{2-\gamma }\left(0,T;V^{\prime }\right)}\le L,\forall \gamma \in \left(0,1\right),$ (24)

其中$L=N^2+N$ 。

最后估计序列${\left\{{{\phi }^{\prime }}_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ，在式(11)中令测试函数$\psi \in V_s$ ，当$s\ge 2$ 时，有$\Delta \psi \in H^{s-2}\left(\Omega \right)\to L^{p^{\prime }}\left(\Omega \right)$ ($p\text{'}$ 是$p$ 的共轭指数)。因为$H^{s-2}\left(\Omega \right)\subset L^{p^{\prime }}\left(\Omega \right)$ ，令$p^{\prime }=\frac{2d}{d+4-2s}$ ，可以得到$s\ge \frac{\left(4-d\right)p+2d}{2p}$ 。

下面定义$\psi ={\psi }_I+{\psi }_{II}$ ，其中${\psi }_I=P_n\psi ={\displaystyle \sum _{k=1}^n\left(\psi ,{\psi }_k\right){\psi }_k}\in {\Psi }_n$ ，${\psi }_{II}=\left(I-P_n\right)\psi ={\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }\left(\psi ,{\psi }_k\right){\psi }_k}\in {\Psi }_n^{\perp }$ (${\psi }_I$ 和${\psi }_{II}$ 在所有Hilbert空间$V_r$ 中正交，$0\le r\le s$ )。由Sobolev嵌入定理和式(22)，可得

$\left|\left(\nabla \rho \left(\cdot ,{\phi }_n\right),\nabla {\psi }_I\right)\right|=\left|\left(\rho \left(\cdot ,{\phi }_n\right),\Delta {\psi }_I\right)\right|\le N{\Vert \Delta {\psi }_I\Vert }_{L^{p^{\prime }}}\le N{\Vert {\psi }_I\Vert }_{V_s}\le N{\Vert \psi \Vert }_{V_s}.$

进一步可以得到

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\nabla J*{\phi }_n\right)}\cdot \nabla {\psi }_I\right|\le c{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}\Vert {\phi }_n\Vert {\Vert \psi \Vert }_{V_s}\le N{\Vert \psi \Vert }_{V_s}.$

令式(11)右边第一项的$\psi ={\psi }_I$ ，因为$\nabla {\psi }_I\in H^{s-1}\left(\Omega \right)$ ，当$1<p<2$ 且$s=\frac{p+2}{p}$ ，或者$p=2$ 且$s>\frac{p+2}{p}=2$ 时，由于$H^{s-1}\subset L^{\infty }$ ，因此可以得到

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_n\cdot \nabla {\psi }_I\right){\phi }_n}\right|\le c\Vert u_n\Vert \Vert {\phi }_n\Vert {\Vert \psi \Vert }_{V_s}\le N^2{\Vert \psi \Vert }_{V_s}$ .

当$p=2$ 并且$s=\frac{p+2}{p}=2$ ，根据$H^{s-1}\subset L^q$ ($1\le q<+\infty$ )和$L^p$ 空间的插值不等式，当$r\ge 2$ 时，可得

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(u_n\cdot \nabla {\psi }_I\right){\phi }_n}\right|\le c\Vert u_n\Vert {\Vert \psi \Vert }_{{}_{V_s}}{\Vert {\phi }_n\Vert }_{L^{\frac{2r}{r-1}}}\le c\Vert u_n\Vert {\Vert \psi \Vert }_{{}_{V_s}}{\Vert {\phi }_n\Vert }^{\frac{r-2}{r}}{\Vert {\phi }_n\Vert }_{L^4}^{\frac{2}{r}}\le N^{\frac{2r-2}{r}}{\Vert \psi \Vert }_{{}_{V_s}}{\Vert {\phi }_n\Vert }_V^{\frac{2}{r}}.$

结合上述估计，从式(11)我们可以得到

${\Vert {{\phi }^{\prime }}_n\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;V_{s^{\prime }}\right)}\le L$ ，当$1<p<2,s=\frac{p+2}{p},$ (25)

${\Vert {{\phi }^{\prime }}_n\Vert }_{L^{\infty }\left(0,T;{V^{\prime }}_s\right)\cap L^r\left(0,T;{V^{\prime }}_2\right)}\le L$ ，当$p=2,s>2,r\ge 2,$ (26)

其中$L=N+N^2$ 。

根据紧嵌入定理，有

$L^2\left(0,T;V\right)\cap H^1\left(0,T;{V^{\prime }}_s\right)\subset \subset L^2\left(0,T;H\right),$

$L^2\left(0,T;V\right)\cap W^{1,q}\left(0,T;V^{\prime }\right)\subset \subset L^2\left(0,T;H\right)，\forall q>1.$

可以推断出存在

$u\in L^{\infty }\left(0,T;H\right)\cap L^2\left(0,T;V\right),$

$\phi \in L^{\infty }\left(0,T;H\right)\cap L^2\left(0,T;V\right),$

$\mu \in L^2\left(0,T;V\right),$

$\rho \in L^{\infty }\left(0,T;L^p\left(\Omega \right)\right),$

$u_t\in L^{2-\gamma }\left(0,T;V^{\prime }\right)，\forall \gamma \in \left(0,1\right),$

${\phi }_t\in L^{\infty }\left(0,T;{V^{\prime }}_s\right)$ ，若$1<p<2,s=\frac{p+2}{p},$

${\phi }_t\in L^{\infty }\left(0,T;{V^{\prime }}_s\right)\cap L^r\left(0,T;{V^{\prime }}_2\right)$ ，若$p=2,s>2,r\ge 2$ ，

使得存在序列${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ，${\left\{{\phi }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ，${\left\{{\mu }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 的一个子序列${\left\{u_{nj}\right\}}_{j=1}^{\infty }$ ，${\left\{{\phi }_{nj}\right\}}_{j=1}^{\infty }$ ，${\left\{{\mu }_{nj}\right\}}_{j=1}^{\infty }$ ，

在$L^{\infty }\left(0,T;H\right)$ 中$u_{nj}\stackrel{{弱}^{\ast }}{\to }u$ ，

在$L^2\left(0,T;V\right)$ 中$u_{nj}\stackrel{弱}{\to }u$ ，

在$L^2\left(0,T;H\right)$ 中$u_{nj}\stackrel{强}{\to }u$ ，

在$L^{2-\gamma }\left(0,T;V^{\prime }\right)$ 中${u^{\prime }}_{nj}\stackrel{弱}{\to }{u}_t$ ，$\forall \gamma \in \left(0,1\right)$ ，

在$L^{\infty }\left(0,T;H\right)$ 中${\phi }_{nj}\stackrel{{弱}^{\ast }}{\to }\phi$ ，

在$L^2\left(0,T;V\right)$ 中${\phi }_{nj}\stackrel{弱}{\to }\phi$ ，

在$L^2\left(0,T;H\right)$ 中${\phi }_{nj}\stackrel{强}{\to }\phi$ ，

在$L^2\left(0,T;V\right)$ 中${\mu }_{nj}\stackrel{弱}{\to }\mu$ ，

在$L^{\infty }\left(0,T;L^p\left(\Omega \right)\right)$ 中$\rho \left(\cdot ,{\phi }_{nj}\right)\stackrel{{弱}^{\ast }}{\to }\rho$ ，

在$L^{\infty }\left(0,T;{V^{\prime }}_s\right)$ 中${{\phi }^{\prime }}_{nj}\stackrel{{弱}^{\ast }}{\to }{\phi }_t$ ，

若$1<p<2$ ，$s=\frac{p+2}{p}$ ，

在$L^{\infty }\left(0,T;{V^{\prime }}_s\right)$ 中${{\phi }^{\prime }}_{nj}\stackrel{{弱}^{\ast }}{\to }{\phi }_t$ ，

在$L^r\left(0,T;{V^{\prime }}_2\right)$ 中${{\phi }^{\prime }}_{nj}\stackrel{弱}{\to }{\phi }_t$ ，

若$p=2，s>2$ 且$r\ge 2$ ，

在$L^{\frac{2p}{2p-3}}\left(0,T;{V^{\prime }}_s\right)$ 中${{\phi }^{\prime }}_{nj}\stackrel{弱}{\to }{\phi }_t$ 。

由于在$L^2\left(0,T;H\right)$ 中${\phi }_{nj}\stackrel{强}{\to }\phi$ ，可以得到$\rho \left(\cdot ,{\phi }_{nj}\right)\to a\phi +F^{\prime }\left(\phi \right)$ 在$\Omega \times \left(0,T\right)$ 上几乎处处成立，又因为在$L^{\infty }\left(0,T;L^p\left(\Omega \right)\right)$ 中$\rho \left(\cdot ,{\phi }_{nj}\right)\stackrel{{弱}^{\ast }}{\to }\rho$ ，因此有$\rho =a\phi +F^{\prime }\left(\phi \right)$ 。进一步由于${\mu }_k=P_k\left(\rho \left(\cdot ,{\phi }_k\right)-J*{\phi }_k\right)$ ，所以对$\forall \upsilon \in {\Psi }_n$ 以及$k\ge n$ ，我们有

${\displaystyle {\int }_0^T\left({\mu }_k(t),\upsilon \right)}\chi \left(t\right)\text{d}t={\displaystyle {\int }_0^T\left(\rho \left(\cdot ,{\phi }_k\right)-J*{\phi }_k,\upsilon \right)}\chi \left(t\right)\text{d}t，\forall \chi \in C_0^{\infty }\left(0,T\right)$ .

当$k\to \infty$ 时，通过上述的收敛性结论以及${\left\{{\Psi }_n\right\}}_{n\ge 1}$ 在H中的稠密性，可以得到$\mu =\rho -J*\phi =a\phi +F^{\prime }\left(\phi \right)-J*\phi$ ，进而得到$\rho \in L^2\left(0,T;V\right)$ 。

由${\left\{{\Psi }_n\right\}}_{n\ge 1}$ 和${\left\{W_n\right\}}_{n\ge 1}$ 在$V_s$ 和$V$ 中的稠密性以及上述的收敛性结论，对$\forall \psi \in V_s$ ，得到$u$ ，$\phi ，\mu ，\rho$ 满足式(8)，并且对$\forall \upsilon \in V^{\prime }$ ，得到$u,\phi ,\mu ,\rho$ ，满足式(9)。进一步可以把式(8)写成以下形式

$\langle {\phi }_t,\psi \rangle =-\left(\nabla \mu ,\nabla \psi \right)+\left(u,\phi \nabla \psi \right)$ (27)

对$\forall \delta \in (0,1)$ 有$\left|\left(u,\phi \nabla \psi \right)\right|\le N^{\frac{2-2\delta }{2-\delta }}\Vert \nabla u\Vert {\Vert \phi \Vert }_V^{\frac{\delta }{2-\delta }}\Vert \nabla \psi \Vert$ ，故可以推断出

${\phi }_t\in L^{2-\delta }\left(0,T;V^{\prime }\right),\forall \delta \in \left(0,1\right)$ (28)

此外，对$\forall \psi \in V$ 都满足式(8)和式(27)。

因此我们证明了非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统二维弱解的存在性。

接下来证明能量不等式(10)成立。对于子序列我们有

在H中$u_{nj}\left(t\right)\stackrel{强}{\to }u\left(t\right)$ ，在H中${\phi }_{nj}\left(t\right)\stackrel{强}{\to }\phi \left(t\right)$ ，

并且由Fatou’s引理得${\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(\phi \left(t\right)\right)}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\inf {\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left({\phi }_n\left(t\right)\right)}$ 。由于在$L^2\left(0,T;V\right)$ 中$J\ast {\phi }_{nj}\stackrel{弱}{\to }J\ast \phi$ ，并且$P_n\in ℒ\left(V,V\right)$ ，因此可以得到在$L^2\left(0,T;V\right)$ 中$P_n\left(J\ast {\phi }_{nj}\right)\to J\ast \phi$ 。

接下来在0到t上对式(16)进行积分，再结合上述估计，利用$L^2\left(0,T;H\right)$ 中范数的下半连续性就得到了能量不等式(10)。

3.2. 唯一性

定理3.2 假设(H₁)~(H₇)成立，令$u_0\in H$ ，${\phi }_0\in H$ ，$F\left({\phi }_0\right)\in L^1\left(\Omega \right)$ 以及$h\in L_{loc}^2\left(\left[0,\infty \right);V^{\prime }\right)$ ，定理2.1给出的初始数据$\left(u_0,{\phi }_0\right)$ 对应的弱解$\left(u,\phi \right)$ 是唯一的。

证 考虑系统(1)~(7)的两个初始数据$\left(u_{0i},{\phi }_{0i}\right)$ 对应着的两个弱解$\left(u_i,{\phi }_i\right)\left(i=1,2\right)$ ，其中$u_{0i}\in H$ ，${\phi }_{0i}\in H$ ，令$u=u_2-u_1$ 、$\phi ={\phi }_2-{\phi }_1$ 、$\tilde{\mu }=\mu \left({\phi }_2\right)-\mu \left({\phi }_1\right)$ 、$\tilde{p}={\tilde{p}}_2-{\tilde{p}}_1$ 以及$h=h_2-h_1$ ，则$\left(u,\phi \right)$ 也是系统的弱解，满足

${\phi }_t=\Delta \tilde{\mu }-u\cdot \nabla {\phi }_1-u_2\cdot \nabla \phi$ , (29)

$\tilde{\mu }=a\phi -J*\phi +F^{\prime }\left({\phi }_2\right)-F^{\prime }\left({\phi }_1\right)$ , (30)

$u_t-\Delta u+\left(u_2\cdot \nabla \right)u_2-\left(u_1\cdot \nabla \right)u_1+\nabla \tilde{p}=-\phi \left({\phi }_1+{\phi }_2\right)\frac{\nabla a}{2}-\left(J*\phi \right)\nabla {\phi }_2-\left(J*{\phi }_1\right)\nabla \phi +h$ . (31)

让式(31)在H中与u作内积，我们令

$I_1=-\frac{1}{2}\left(\phi \left({\phi }_1+{\phi }_2\right)\nabla a,u\right)$ ，$I_2=-\left(\left(J*\phi \right)\nabla {\phi }_2,u\right)$ ，$I_3=-\left(\left(J*{\phi }_1\right)\nabla \phi ,u\right)$ ，

由$H\ddot{o}lder$ 、Young、Gagliardo-Nirenberg不等式，可得以下估计

$\begin{array}{c}{I}_1\le \left|\left(\phi \left({\phi }_1+{\phi }_2\right)\nabla a,u\right)\right|\le \Vert \phi \Vert {\Vert {\phi }_1+{\phi }_2\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla a\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }_{L^4}\le c\Vert \phi \Vert {\Vert {\phi }_1+{\phi }_2\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla a\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert u\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla u\Vert }^{\frac{1}{2}}\\ \le \frac{c^{\prime }}{10}{\Vert \phi \Vert }^2+c{\Vert {\phi }_1+{\phi }_2\Vert }_{L^4}^2{\Vert \nabla a\Vert }_{L^{\infty }}^2\Vert u\Vert \Vert \nabla u\Vert \\ \le \frac{c^{\prime }}{10}{\Vert \phi \Vert }^2+\frac{1}{6}{\Vert \nabla u\Vert }^2+c{\Vert {\phi }_1+{\phi }_2\Vert }_{L^4}^4{\Vert \nabla a\Vert }_{L^{\infty }}^4{\Vert u\Vert }^2,\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_2\le \left|\left({\phi }_2,\left(\nabla J\ast \phi \right)u\right)\right|\le {\Vert {\phi }_2\Vert }_{L^4}\Vert \nabla J\ast \phi \Vert {\Vert u\Vert }_{L^4}\le c{\Vert {\phi }_2\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}\Vert \phi \Vert {\Vert u\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla u\Vert }^{\frac{1}{2}}\\ \le \frac{c^{\prime }}{10}{\Vert \phi \Vert }^2+c{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}^2{\Vert {\phi }_2\Vert }_{L^4}^2\Vert u\Vert \Vert \nabla u\Vert \\ \le \frac{c^{\prime }}{10}{\Vert \phi \Vert }^2+\frac{1}{6}{\Vert \nabla u\Vert }^2+c{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}^4{\Vert {\phi }_2\Vert }_{L^4}^4{\Vert u\Vert }^2,\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_3\le \left|\left(\left(\nabla J\ast {\phi }_1\right)\phi ,u\right)\right|\le {\Vert \nabla J\ast {\phi }_1\Vert }_{L^4}\Vert \phi \Vert {\Vert u\Vert }_{L^4}\le c{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}{\Vert {\phi }_1\Vert }_{L^4}\Vert \phi \Vert {\Vert u\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla u\Vert }^{\frac{1}{2}}\\ \le \frac{c^{\prime }}{10}{\Vert \phi \Vert }^2+c{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}^2{\Vert {\phi }_1\Vert }_{L^4}^2\Vert u\Vert \Vert \nabla u\Vert \\ \le \frac{c^{\prime }}{10}{\Vert \phi \Vert }^2+\frac{1}{6}{\Vert \nabla u\Vert }^2+c{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}^4{\Vert {\phi }_1\Vert }_{L^4}^4{\Vert u\Vert }^2.\end{array}$

结合估计，根据式(31)可以得到以下不等式

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{4}{\Vert \nabla u\Vert }^2\le \frac{3}{10}{c}^{\prime }{\Vert \phi \Vert }^2+\alpha {\Vert u\Vert }^2+{\Vert h\Vert }_{V^{\prime }}^2$ , (32)

其中$\alpha =c{\Vert \nabla J\Vert }_{L^1}^4\left({\Vert {\phi }_1\Vert }_{L^4}^4+{\Vert {\phi }_2\Vert }_{L^4}^4\right)+c{\Vert \nabla u_2\Vert }^2$ 。由于$L^{\infty }\left(0,T;H\right)\cap L^2\left(0,T;V\right)\subset L^4\left(0,T;L^4\left(\Omega \right)\right)$ ，根据Gagliardo-Nirenberg不等式，我们可以得到$\alpha \in L^1\left(0,T\right)$ 。接下来让式(29)与$B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)$ 作内积(注意到$\overline{\phi }={\overline{\phi }}_{01}-{\overline{\phi }}_{02}$ )，得到

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert B_N^{-1/2}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }^2+\left(a\phi +f\left({\phi }_2\right)-f\left({\phi }_1\right),\phi -\overline{\phi }\right)=\left(J*\phi ,\phi \right)+\left|\Omega \right|\overline{\phi }\overline{\tilde{\mu }}+I_4+I_5$,

其中$I_4=-\left(u\cdot \nabla {\phi }_1,B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\right)$ ，$I_5=-\left(u_2\cdot \nabla \phi ,B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\right)$ 。由假设(H₂)、(H₃)和第一中值定理，有

$\left(a\phi +f\left({\phi }_2\right)-f\left({\phi }_1\right),\phi \right)=\left(a\phi ,\phi \right)+\left(f^{\prime }\left(s\right)\left({\phi }_2-{\phi }_1\right),\phi \right)\ge \underset{\_}{a}{\Vert \phi \Vert }^2-\lambda {\Vert \phi \Vert }^2\ge \left(\underset{\_}{a}-\lambda \right){\Vert \phi \Vert }^2$ ,

由假设(H₂)和(H₄)，可以得到

$\left(a\phi +f\left({\phi }_2\right)-f\left({\phi }_1\right),\overline{\phi }\right)=\overline{\phi }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(a\phi +f\left({\phi }_2\right)-f\left({\phi }_1\right)\right)\text{d}x}\le {\left|\Omega \right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|a\right|}{\left|\phi \right|}^{2}dx+c_1{\left|\Omega \right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\phi \right|}^2}\text{d}x\le \frac{\overline{a}+c_1}{\left|\Omega \right|}{\Vert \phi \Vert }^2$,

进一步可以得到

$\left(a\phi +f\left({\phi }_2\right)-f\left({\phi }_1\right),\phi -\overline{\phi }\right)\ge \left(\underset{\_}{a}-\lambda \right){\Vert \phi \Vert }^2-\frac{\overline{a}+c_1}{\left|\Omega \right|}{\Vert \phi \Vert }^2\ge c{\Vert \phi \Vert }^2$ .

由此我们有，

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert B_N^{-1/2}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }^2+c^{\prime }{\Vert \phi \Vert }^2\le \left|\left(J*\phi ,\phi \right)\right|+\left|\Omega \right|\overline{\phi }\overline{\tilde{\mu }}+I_4+I_5$. (33)

将上式右边第一项用Young不等式进行如下估计，

$\begin{array}{c}\left|\left(J*\phi ,\phi -\overline{\phi }\right)\right|+\left|\left(J*\phi ,\overline{\phi }\right)\right|=\left|\left(B_N^{1/2}\left(J*\phi -\overline{J*\phi }\right),B_N^{-1/2}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\right)\right|+\left|\left(J*\phi ,\overline{\phi }\right)\right|\\ \le \frac{c^{\prime }}{10}{\Vert \phi \Vert }^2+c{\Vert B_N^{-1/2}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }^2+\frac{c^{\prime }}{4}{\Vert \phi \Vert }^2+c{\overline{\phi }}^2,\end{array}$

由于${\Vert B_N^{1/2}u\Vert }^2=\left(B_{N}u,u\right)={\Vert \nabla u\Vert }^2$ ，对所有$u\in D\left(B_N\right)$ ，故$\Vert B_N^{1/2}u\Vert =\Vert \nabla u\Vert$ 。

由Hölder、Young、Gagliardo-Nirenberg和Poincaré不等式，对$I_4$ 和$I_5$ 项进行如下估计

$I_4\le \left|\left(u\cdot \nabla B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right),{\phi }_1\right)\right|\le {\Vert u\Vert }_{L^4}\Vert \nabla B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert {\Vert {\phi }_1\Vert }_{L^4}\le \frac{1}{8}{\Vert \nabla u\Vert }^2+c{\Vert {\phi }_1\Vert }_{L^4}^2{\Vert B_N^{-\frac{1}{2}}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }^2$ ,

$\begin{array}{c}{I}_5\le \left|\left(u_2\cdot \nabla B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right),\phi \right)\right|\le \Vert \phi \Vert {\Vert u_2\Vert }_{L^4}{\Vert \nabla B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }_{L^4}\le \frac{c^{\prime }}{20}{\Vert \phi \Vert }^2+c{\Vert u_2\Vert }_{L^4}^2{\Vert \nabla B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }_{L^4}^2\\ \le \frac{c^{\prime }}{20}{\Vert \phi \Vert }^2+c{\Vert u_2\Vert }_{L^4}^2\Vert \nabla B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert {\Vert \nabla B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }_{H^1}.\end{array}$

由于$\varphi$ 在$D\left(B_N\right)$ 中的$H^2$ 范数等价于$B_N\varphi +\varphi$ ，其中$\varphi =B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\in D\left(B_N\right)$ 的$L^2$ 范数。因此我们有

${\Vert \nabla B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }_{H^1}\le {\Vert B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }_{H^2}\le c\Vert \left(B_N+I\right)B_N^{-1}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert \le c\Vert \phi -\overline{\phi }\Vert$ 。

故可以得到

$I_5\le \frac{c^{\prime }}{10}{\Vert \phi \Vert }^2+c{\Vert u_2\Vert }_{L^4}^4{\Vert B_N^{-\frac{1}{2}}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }^2+\left|\Omega \right|{\overline{\phi }}^2$ 。

将式(32)与式(33)相加，再结合上述估计，可以得到不等式

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert u\Vert }^2+{\Vert B_N^{-1/2}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }^2\right)+\frac{c^{\prime }}{4}{\Vert \phi \Vert }^2+\frac{1}{8}{\Vert \nabla u\Vert }^2\le \beta \left({\Vert u\Vert }^2+{\Vert B_N^{-1/2}\left(\phi -\overline{\phi }\right)\Vert }^2\right)+c{\overline{\phi }}^2+\left|\Omega \right|\overline{\phi }\overline{\tilde{\mu }}+{\Vert h\Vert }_{V^{\prime }}^2$ (34)

其中$\beta =\alpha +c\left(1+{\Vert {\phi }_1\Vert }_{L^4}^2+{\Vert u_2\Vert }_{L^4}^4\right)\in L^1\left(0,T\right)$ 。

我们考虑对应着相同初始数据和相同外力的两个弱解，那么有$\overline{\phi }=0$ 且$h=0$ ，对式(34)用Gronwall不等式，可以得到在[0, T]上有$u=0$ ，$\phi =0$ ，因此证明了弱解的唯一性。

4. 全局吸引子的存在性

定理4.1 在二维空间中，系统初始数据$\left(u_0,{\phi }_0\right)$ 对应的弱解$\left(u,\phi \right)$ 满足能量方程

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}ℰ\left(u,\phi \right)+{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\Vert \nabla \mu \Vert }^2=\langle h,u\rangle$ (35)

另外，若$h\in L_{tb}^2\left(0,\infty ;V^{\prime }\right)$ ，则有下面的耗散估计

$ℰ\left(u\left(t\right),\phi \left(t\right)\right)\le ℰ\left(u_0,{\phi }_0\right)e^{-kt}+F\left(m_0\right)\left|\Omega \right|+K，\forall t\ge 0$ (36)

其中，${\Vert h\Vert }_{L_{tb}^2\left(0,\infty ;V^{\prime }\right)}^2=\underset{t\ge 0}{\sup }{\displaystyle \underset{t}{\overset{t+1}{\int }}{\Vert h\left(\tau \right)\Vert }_{V^{\prime }}^2\text{d}\tau }<\infty$ ，$m_0=\left({\phi }_0,1\right)$ ，并且k、K是不依赖于初始数据的正常数，K只依赖于$\Omega$ 、J、F和${\Vert h\Vert }_{L_{tb}^2\left(0,\infty ;V^{\prime }\right)}$ 。

证 在式(8)中令$\psi =\mu \left(\tau \right)$ ，在式(9)中令$v=u\left(\tau \right)$ ，将两式相加，然后在0到t上对$\tau$ 积分。考虑对偶$\langle {\phi }_t,\mu \rangle$ ，对偶$\langle {\phi }_t,F^{\prime }\left(\phi \right)\rangle$ 可以通过$F^{\prime }\left(\phi \right)=g\left(\phi \right)-\left(\lambda +1\right)\phi$ 进行重写，其中$g\left(\phi \right)=G^{\prime }\left(\phi \right)$ ，并且$g\in C^1\left(ℝ\right)$ 单调递增。由于$g\left(\phi \right)\in L^2\left(0,T;V\right)$ ，对$\forall t\in \left(0,T\right)$ ，我们有

$\langle {\phi }_t,F^{\prime }\left(\phi \right)\rangle =\langle {\phi }_t,g\left(\phi \right)\rangle -\left(\lambda +1\right)\langle {\phi }_t,\phi \rangle =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }G}\left(\phi \right)-\frac{\lambda +1}{2}{\Vert \phi \Vert }^2\right)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left(\phi \right)$ .

根据式(9)和式(27)，结合该等式我们可以得到

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert u\Vert }^2+{\Vert \sqrt{a}\phi \Vert }^2-\left(\phi ,J*\phi \right)+2{\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left(\phi \right)\right)+{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\Vert \nabla \mu \Vert }^2\\ =\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J}}\left(x-y\right){\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}^2\text{d}x\text{d}y+2{\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left(\phi \right)\right)+{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\Vert \nabla \mu \Vert }^2=\langle h,u\rangle .\end{array}$

因此得到了式(35)。进一步在0到t上对式(35)进行积分，得到能量不等式的积分形式，即式(10)。为了得到式(36)，让$\mu =a\phi -J*\phi +F^{\prime }\left(\phi \right)$ 和$\phi$ 在$L^2\left(\Omega \right)$ 上作内积，可以得到

$\left(\mu ,\phi \right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J\left(x-y\right)}{\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}^2}\text{d}x\text{d}y+\left(F^{\prime }\left(\phi \right),\phi \right)$ .

由于函数G是凸函数，则$F^{\prime }\left(s\right)s\ge F\left(s\right)-\frac{\lambda +1}{2}{s}^2-F\left(0\right)$ ，进而可以得到

$\left(\mu ,\phi \right)\ge \frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J\left(x-y\right)}}{\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}^2\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left(\phi \right)-\frac{\lambda +1}{2}{\Vert \phi \Vert }^2-c$ (37)

令$\overline{\mu }=\frac{1}{\left|\Omega \right|}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\mu }$ ，$\left({\phi }_0,1\right)=0$ ，再根据Poincaré不等式，我们有$\left(\mu ,\phi \right)=\left(\mu -\overline{\mu },\phi \right)\le C_p\Vert \nabla \mu \Vert \Vert \phi \Vert$ ，其中$C_p$ 是Poincaré常数。结合假设(H₆)，由式(37)得

$\begin{array}{l}\frac{1}{8}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J\left(x-y\right)}}{\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}^2\text{d}x\text{d}y+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }F}\left(\phi \right)+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(c_1{\left|\phi \right|}^p-c_2\right)}-\frac{\lambda +1}{2}{\Vert \phi \Vert }^2-c\\ \le \frac{7}{4}{\Vert J\Vert }_{L_1}{\Vert \phi \Vert }^2+\frac{1}{2}{\Vert \nabla \mu \Vert }^2+\frac{C_p^2}{2}{\Vert \phi \Vert }^2.\end{array}$

结合Poincaré不等式，可以推断出${\Vert \nabla \mu \Vert }^2\ge \beta {\Vert \nabla \phi \Vert }^2$ ，其中$\beta ={\left(\underset{\_}{a}-\lambda -2C_p{\Vert \nabla J\Vert }_{L_1}\right)}^2$ ，$C_p<\frac{\underset{\_}{a}-\lambda }{2{\Vert \nabla J\Vert }_{L_1}}$ 。故可以得到

$\frac{1}{2}ℰ\left(u,\phi \right)\le c_7\left({\Vert \nabla u\Vert }^2+{\Vert \nabla \mu \Vert }^2\right)+c_6$ , (38)

其中$c_6=\max \left(1,\frac{C_p}{4}\right)$ 。通过式(35)和式(38)，我们得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}ℰ\left(u,\phi \right)+kℰ\left(u,\phi \right)\le l+\frac{1}{2}{\Vert h\Vert }_{V^{\prime }}^2$ ,

其中$k=\frac{1}{2c_7}$ ，$l=\frac{c_6}{c_7}$ 。根据Gronwall不等式，我们有

$ℰ\left(\left(u\left(t\right),\phi \left(t\right)\right)\right)\le ℰ\left(u_0,{\phi }_0\right){\text{e}}^{-kt}+K$ , (39)

其中$K=\frac{l}{k}+\frac{1}{2\left(1-{\text{e}}^{-k}\right)}{\Vert h\Vert }_{L_{tb}^2\left(0,\infty ;V^{\prime }\right)}^2$ 。若$m_0=\left({\phi }_0,1\right)\ne 0$ ，如果$\left(u,\phi \right)$ 具有初始数据$\left(u_0,{\phi }_0\right)$ ，它是关于双阱势函数F对应系统的弱解，则$\left(u,\tilde{\phi }\right)$ 具有初始数据$\left(u_0,{\phi }_0-m_0\right)$ ，它也是该系统的弱解，其中$\tilde{\phi }=\phi -m_0$ ，双阱势函数$\tilde{F}$ 为$\tilde{F}(s)=F\left(s+m_0\right)-F\left(m_0\right)$ 。弱解$\left(u,\tilde{\phi }\right)$ 满足式(39)，因此可以得到式(36)。故定理4.1得证。

下面选择一个合适的度量空间，在该空间可以定义弱解，可以构造相关的半群。固定$m\ge 0$ ，

${\mathcal{X}}_m=H\times {\mathcal{Y}}_m$ ,

其中

${\mathcal{Y}}_m=\left\{\phi \in H:F\left(\phi \right)\in L^1\left(\Omega \right),\left|\left(\phi ,1\right)\right|\le m\right\}$ ,

$H={\overline{\mathcal{V}}}^{H^2}={\overline{\left\{u\in C_0^{\infty }{\left(\Omega \right)}^2:\nabla \cdot u=0\right\}}}^{L^2{\left(\Omega \right)}^2}$ .

定义距离

$d\left(z_1,z_2\right)=\Vert u_1-u_2\Vert +\Vert {\phi }_1-{\phi }_2\Vert +{\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left({\phi }_1\right)-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left({\phi }_2\right)\right|}^{\frac{1}{2}}$ ,

对$\forall z_1=\left(u_1,{\phi }_1\right)$ ，$z_2=\left(u_2,{\phi }_2\right)\in {\mathcal{X}}_m$ 。

系统(1)~(7)在度量空间${\mathcal{X}}_m$ 中生成半群${\left\{S_m\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ ，定义$S_m\left(t\right):{\mathcal{X}}_m\to {\mathcal{X}}_m$ ，$S_m\left(t\right)\left(u_0,{\phi }_0\right)=\left(u\left(t\right),\phi \left(t\right)\right)$ ，这里的$\left(u\left(t\right),\phi \left(t\right)\right)$ 是系统的唯一弱解。

定理4.2 半群${\left\{S_m\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 在空间${\mathcal{X}}_m$ 中点耗散并且有界。

证 根据假设(H₆)和嵌入定理，有

$\begin{array}{c}ℰ\left(z\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\Vert \sqrt{a}\phi \Vert }^2-\frac{1}{2}\left(J*\phi ,\phi \right)+{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(\phi \right)}\ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}a{\Vert \phi \Vert }^2-\frac{1}{2}{\Vert J\Vert }_{L^1}{\Vert \phi \Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(c_4{\left|\phi \right|}^r-c_5\right)}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\left(\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}{\Vert J\Vert }_{L^1}+c_4\right){\Vert \phi \Vert }^2-c_5\left|\Omega \right|,\end{array}$

由(H₂)可知$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}{\Vert J\Vert }_{L^1}+c_4\ge 0$ ，取$\gamma =c_5\left|\Omega \right|$ ，则存在$\gamma =\gamma \left(c_4,c_5,J,\left|\Omega \right|\right)\ge 0$ 使得对$\forall z\in {\mathcal{X}}_m$ 都有$ℰ\left(z\right)\ge -\gamma$ 。设$\overline{ℰ}\left(z\right)=ℰ\left(z\right)+\gamma \ge 0$ ，根据式(36)可以推断出

$\frac{1}{2}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+\frac{1}{2}{\Vert \sqrt{a}\phi \left(t\right)\Vert }^2-\frac{1}{2}\left(J*\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(\phi \left(t\right)\right)}\le \overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+L_m，\forall t\ge 0$, (40)

其中$z_0=\left(u_0,{\phi }_0\right)$ 并且$L_m=F\left(m\right)\left|\Omega \right|+K$ 。再次由假设(H₆)我们有

$\frac{1}{2}{\Vert \sqrt{a}\phi \left(t\right)\Vert }^2-\frac{1}{2}\left(J*\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left(\phi \left(t\right)\right)\ge c_8{\Vert \phi \left(t\right)\Vert }^2-\gamma$ ,

其中$c_8=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}{\Vert J\Vert }_{L^1}+c_4$ ，因此有

$\frac{1}{2}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+c_8{\Vert \phi \left(t\right)\Vert }^2\le \overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+L_m+\gamma$. (41)

从式(40)可以推断出

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(\phi \left(t\right)\right)}\le \overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+L_m-\frac{1}{2}{\Vert \sqrt{a}\phi \left(t\right)\Vert }^2+\frac{1}{2}\left(J*\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right)\\ \le \overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+L_m+c_9{\Vert \phi \left(t\right)\Vert }^2,\end{array}$ (42)

其中$c_9=\frac{1}{2}{\Vert J\Vert }_{L^1}$ ，由式(41)得$c_8{\Vert \phi \left(t\right)\Vert }^2\le \overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+L_m+\gamma$，故${\Vert \phi \left(t\right)\Vert }^2\le \frac{1}{c_8}\left(\overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+L_m+\gamma \right)$，将其代入式(42)有

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(\phi \left(t\right)\right)}\le \overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+L_m+c_9{\Vert \phi \left(t\right)\Vert }^2\\ \le \overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+L_m+c_9\left(\frac{1}{c_8}\left(\overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+L_m+\gamma \right)\right)\\ \le c_{10}\overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+c_{10}{L}_m+c_{11},\end{array}$ (43)

其中$c_{10}=1+\frac{c_9}{c_8},c_{11}=\frac{\gamma c_9}{c_8}$ 。因此，从式(42)和式(43)我们得出

${\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \phi \left(t\right)\Vert }^2+\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left(\phi \left(t\right)\right)-{\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left(0\right)\right|\le c_{12}\overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+c_{12}\left|L_m\right|+c_{13}$, (44)

对$\forall t\ge 0$ ，其中$c_{12}$ 和$c_{13}$ 都是大于0的常数。令$z\left(t\right)=\left(u\left(t\right),\phi \left(t\right)\right)$ ，式(43)可以写成下面的不等式

$d^2\left(z\left(t\right),0\right)\le c_{12}\overline{ℰ}\left(z_0\right){\text{e}}^{-kt}+c_{12}\left|L_m\right|+c_{13},\forall t\ge 0$。

选择$R_0$ 使得$R_0^2>c_{12}\left|L_m\right|+c_{13}$ ，推断出$d\left(z\left(t\right),0\right)\le R_0$ ，对$\forall t\ge t_0\left(z_0\right)$ ，其中$t_0=\frac{1}{k}\ln \frac{c_{12}\overline{ℰ}\left(z_0\right)}{R_0^2-\left(c_{12}\left|L_m\right|+c_{13}\right)}$ ，这表明${\left\{S_m\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 是点耗散的，式(44)表明${\left\{S_m\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 是有界的。

定理4.3 半群${\left\{S_m\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 在空间${\mathcal{X}}_m$ 中是渐近紧的。

证 由紧嵌入$V\subset \subset L^{p^{\prime }}\left(\Omega \right)$ ，有$L^2\left(0,T;V\right)\cap H^1\left(0,T;V^{\prime }\right)\subset \subset L^2\left(0,T;L^{p^{\prime }}\left(\Omega \right)\right)$ 。由于在$L^2\left(0,T;V\right)$ 中${\phi }_{nj}\stackrel{弱}{\to }\phi$ ，在$L^2\left(0,T;V^{\prime }\right)$ 中${{\phi }^{\prime }}_{nj}\stackrel{弱}{\to }{\phi }_t$ ，则在$H^1\left(0,T;V^{\prime }\right)$ 中${\phi }_{nj}\stackrel{弱}{\to }\phi$ ，再由Aubin-Lions紧性引理推断出在$L^2\left(0,T;L^{p^{\prime }}\left(\Omega \right)\right)$ 中${\phi }_{nj}\stackrel{强}{\to }\phi$ 。

因此，有${\phi }_{nj}$ 在$L^{p^{\prime }}\left(\Omega \right)$ 中强收敛于$\phi$ ，$a.e.t>0$ ，根据假设(H₅)，可以得到$\left|F\left(s\right)\right|\le \frac{c_2^{1/p}}{5}{s}^5+c$ ，故有$\left|F\left({\phi }_j\left(x\right)\right)\right|\le \frac{c_2^{1/p}}{5}{\left|{\phi }_j\left(x\right)\right|}^5+c$ 。由Sobolev嵌入定理有$H^1\left(\Omega \right)\subset L^6\left(\Omega \right)$ ，根据Lebesgue控制收敛定理，可推断出

${\displaystyle {\int }_{\Omega }F}\left({\phi }_{nj}(t)\right)\to {\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(\phi \left(t\right)\right)，}a.e.t>0$ .

可得

在H中$u_{nj}\left(t\right)\stackrel{强}{\to }u\left(t\right)，a.e.t>0$ ，

在H中${\phi }_{nj}\left(t\right)\stackrel{强}{\to }\phi \left(t\right)，a.e.t>0$ ，

令$z=\left(u,\phi \right)$ ，则$ℰ\left(z\left(t\right)\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+\frac{1}{4}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }J}\left(x-y\right){\left(\phi \left(x,t\right)-\phi \left(y,t\right)\right)}^2\text{d}x\text{d}y+}{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(\phi \left(t\right)\right)}$ ，故可以推断出对$\forall t>0$ 有$ℰ\left(z_{nj}\left(t\right)\right)\to ℰ\left(z\left(t\right)\right)$ 。现令$\widetilde{ℰ}\left(z\left(t\right)\right)=ℰ\left(z\left(t\right)\right)-{\displaystyle {\int }_0^t\langle h,u\left(\tau \right)\rangle \text{d}\tau }$，由于$\frac{\text{d}}{\text{d}t}ℰ\left(z\left(t\right)\right)\le 0$ ，则能量函数$ℰ\left(z_{nj}\left(t\right)\right)$ 随时间t单调递减，故对于每个j，函数$\widetilde{ℰ}\left(z_{nj}(\cdot )\right)$ 在$[0,\infty )$ 上递减，并且$\widetilde{ℰ}\left(z(\cdot )\right)$ 在$[0,\infty )$ 上是连续的，则对$\forall t>0，\widetilde{ℰ}\left(z_{nj}\left(t\right)\right)\to \widetilde{ℰ}\left(z\left(t\right)\right)$，有

$ℰ\left(z_{nj}\left(t\right)\right)\to ℰ\left(z\left(t\right)\right)，t>0$ . (45)

从式(45)可以推断出对$\forall t>0$ ，在${\mathcal{X}}_m$ 中$z_{nj}\left(t\right)\to z\left(t\right)$ 。故${\left\{S_m\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 在空间${\mathcal{X}}_m$ 中是渐近紧的。

由定理4.2和定理4.3有以下结果。

定理4.4 系统(1)~(7)生成的半群${\left\{S_m\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 在空间${\mathcal{X}}_m$ 中存在全局吸引子。

5. 小结

本文改进了非线性项$f\left(s\right)$ 和双阱势函数$F\left(s\right)$ 的假设条件后，讨论系统(1)~(7)在二维空间中弱解的适定性和渐近行为。利用标准Galerkin方法并结合空间不等式证明了系统弱解的存在唯一性，利用弱解的耗散估计证明系统在空间${\mathcal{X}}_m$ 中存在全局吸引子。本文还可以在改进的假设条件下进一步去研究系统在二维空间中指数吸引子的存在性问题，以及在三维空间中弱解的适定性和渐近行为。

基金项目

本文受到四川省科技厅科学研究基金(No. 22CXTD0029)的资助。

NOTES

^*通讯作者。