基于改进比例反失效率模型有限混合总体的随机性质

Stochastic Properties of Finite Mixture Population Based on the Modified Proportional Reversed Hazard Rate Model

摘要: 在大数据时代，总体往往呈现出显著的异质性特点。本文借助混合模型来刻画了多个同质个体构成总体的异质性。我们基于改进比例反失效率模型的参数来体现种群中的信息，探讨了改进比例反失效率模型构成有限混合模型的统计性质，结合矩阵链优序或向量的优化序和T转换矩阵，研究了有限混合模型参数和混合比例的随机性质，给出了两组异质有限混合总体普通随机序成立的充分条件，丰富了异质有限混合总体的随机比较理论。

Abstract: With the advent of the big data era, populations frequently display distinct heterogeneity characteristics. This paper uses mixture models to characterize the heterogeneity of populations composed of multiple homogeneous individuals. Based on the parameters of a modified proportional reversed hazard rate model, we incorporate information from the population and explore the statistical properties of a finite mixture model formed by the modified proportional reversed hazard rate model. By combining matrix chain optimization or the optimization sequence of vectors with the T-transformation matrix, we study the stochastic properties of the finite mixture model’s parameters and mixing proportions. Sufficient conditions for the establishment of ordinary stochastic order for two heterogeneous finite mixture populations are provided, enriching the theory of stochastic comparisons for heterogeneous finite mixture populations.

1. 引言

有限混合模型在可靠性理论、生存分析的许多领域都有应用，是建模异质性的有效工具。在许多应用中，数据通常来自于两个或多个异质亚种群的混合种群，见Amini-Seresht和Zhang Y (2017) [1]。换句话说，有限混合模型代表的数据集具有多个以不同比例组合的分布。例如，制造的工程项目由于不同的原因，如生产过程中使用的资源和部件的质量、原材料的质量、人为错误、不同的工作轮班、环境条件等，生产的项目往往有不同的寿命分布。当这些项目混合时，它们会导致异质种群，见Finkelstein (2008) [2]和Cha和Finkelstein (2013) [3]，在这方面，有限混合模型可以用于建模由有限数量的异质亚种群产生的寿命数据。

设$X=\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为n个随机变量的向量，其边际分布函数、边际生存函数和边际概率密度函数分别定义为$F_X(\cdot )$ 、${\overline{F}}_X(\cdot )$ 和$f_X(\cdot )$ 。假设我们有n个齐次无穷单位子群，$X_i$ 表示第i个子群中一个单位的寿命，$i=1,2,\cdots ,n$ 。设$C\left(X,p\right)$ 是一个随机变量，代表从这n个子群中提取的单位混合，其分布函数、生存函数和密度函数表达为

$F_{C_n\left(X,p\right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i}{F}_{X_i}\left(x\right),{\overline{F}}_{C_n\left(X,p\right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i}{\overline{F}}_{X_i}\left(x\right),f_{C_n\left(X,p\right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i}{f}_{X_i}\left(x\right),$

其中，混合比例$p_i\left(>0\right)$ ，${\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i}=1$ ，第i个混合比例表示第i个单位所占总体混合的比例。在通过随机序

研究混合模型的过程中，Hazra和Finkelstein (2018) [4]讨论了使用多元链优序的概念来研究两种有限混合的随机比较，其中相应的随机变量遵循比例失效率(PHR)、比例反失效率(PHR)或加速寿命模型。Albabtain等(2020) [5]研究表明，有限混合模型在威布尔分布下的随机比较是通过调整不同的权重函数来进行的。Barmalzan等(2022) [6]通过优化序探讨了混合指数分布的星、凸变换、扩散、右扩散和平均剩余寿命序。Barmalzan等(2022) [7]发现，在链优化序下的两种有限混合的普通随机、失效率和反失效率序。Panja等(2022) [8]推导出了两个有限混合模型的一些随机比较结果，其中相应的随机变量遵循比例概率(PO)、失效率和反失效率模型。Nadeb和Torabi (2022) [9]在向量优化的意义上研究了有限混合模型的普通随机、失效率、反失效率、似然比和扩散序。Shojaee和Babanezhad (2023) [10]证明了在一般随机序、上正序、弱失效率序和似然比序意义上的随机比较。Bhakta等(2023) [11]讨论了在优化条件下对具有inverted-Kumaraswamy分布的两种有限混合模型的随机比较。Bhakta等(2024) [12]通过优化、p-较大优化、相互优化和链优化序，对一般分布族的有限混合模型进行了随机比较。在研究随机序的过程中，Yan等(2021) [13]讨论了相干系统中相关性的最优分配。Zhang等(2023) [14]分析了具有受随机冲击影响的相依异质元件的故障安全系统的可靠性。Zhang等(2023) [15]证明了相协系统中关联分配策略的随机比较。Lu等(2023) [16]讨论了具有统计相关子系统的相协系统的最优分配。Zhang等(2023) [17]做了相依异质保险组合的最大索赔金额的随机比较。Guo等(2024) [18]研究了相依异质随机变量的二大次序统计量的随机比较。Zhang等(2024) [19]讨论了在阈值模型下相关资产的资本配置的增凸序。

在实际情况下，寿命数据通常有不同的反失效率形状。因此，我们需要一个分布，它应该有相当大的灵活性，这有助于对可靠性和寿命数据的灵活建模，并服务于模型选择和评估的目的。Balakrishnan等(2018) [20]定义了一种新的分布，称为改进比例反失效率(MPRHR)模型。MPRHR可以更好地处理传统模型所面临的异构性和不确定性。一个随机变量X遵循倾斜参数$\alpha$ ，改进比例反失效率$\lambda$ 的MPRHR模型，模型的生存函数表示为

$\overline{F}\left(x;\alpha ,\lambda \right)=\frac{1-F^{\lambda }\left(x\right)}{1-\overline{\alpha }{F}^{\lambda }\left(x\right)}$ $x,\lambda ,\alpha \in {ℛ}^{+},\overline{\alpha }=1-\alpha .$ (1)

本文将改进比例反失效率模型作为有限混合的基函数，形成新的混合模型，即本文要研究的新的混合模型。我们通过向量矩阵的链优化来研究有限混合模型的普通随机序。在研究混合模型普通随机序的过程中，分为两种情况进行研究，一种是当混合比例和倾斜参数发生变化时研究有限混合模型，另一种是当混合比例和改进比例反失效率发生变化时研究有限混合模型。

在本文中，我们针对改进比例反失效率模型的有限混合进行随机比较。在第2章，基于要研究的模型，介绍了一些基本的定义，在第3章，讨论了两种情况下的普通随机序，在第4章，对本文做总结。

2. 预备知识

在本节中，我们将介绍一些重要的基本定义和引理。设X和Y是两个非负连续随机变量，分别具有分布函数$F_X\left(t\right)$ 、$F_Y\left(t\right)$ ，密度函数$f_X\left(t\right)$ 、$f_Y\left(t\right)$ ，和生存函数${\overline{F}}_X\left(t\right)=1-F_X\left(t\right)$ 、${\overline{F}}_Y\left(t\right)=1-F_Y\left(t\right)$ 。此外，我们使用“$a\stackrel{\text{sgn}}{=}b$”表示等号两边符号相同。

定义1. 设X和Y为两个绝对连续的随机变量，若对于$\forall t\in R$ ，${\overline{F}}_X\left(t\right)\le {\overline{F}}_Y\left(t\right)$ 都成立，则称X在普通随机序下小于Y (记作$X{\le }_{\text{st}}Y$ )。

定义2. 设$a_{\left(1\right)}\le a_{\left(2\right)}\le \cdots \le a_{\left(n\right)}$ 和$b_{\left(1\right)}\le b_{\left(2\right)}\le \cdots \le b_{\left(n\right)}$ 是向量$a=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 和$b=\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)$ 的递增

排列，如果对于任意$i=1,2,\cdots ,n-1$ ，都有${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_{\left(i\right)}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{b}_{\left(i\right)}}$ 且${\displaystyle \sum _{i=1}^j{a}_{\left(i\right)}}\le {\displaystyle \sum _{i=1}^j{b}_{\left(i\right)}}$ ，则称$a$ 在优化序下大于$b$ (记作$a\stackrel{m}{\succcurlyeq }b$ )。

关于随机序和优化序及其应用更详细的讨论，请参阅Shaked等(2007) [21]和Marshall等(1979) [22]。

任何T转换矩阵具有以下的格式：

$T=\omega I_n=\left(1-\omega \right){\Pi }_n$

其中$0\le \omega \le 1$ ，${\Pi }_n$ 是一个置换矩阵，$I_n$ 是一个单位矩阵，如果${\Pi }_1={\Pi }_2$ ，则称$T_1={\omega }_1{I}_n+\left(1-{\omega }_1\right){\Pi }_1$ 和$T_2={\omega }_2{I}_n+\left(1-{\omega }_2\right){\Pi }_2$ 是具有相同结构的两个矩阵。众所周知，具有相同结构的T转换矩阵的有限积也是T转换矩阵，而如果它的元素不具有相同的结构，则该有限积可能不是T转换矩阵，参考Balakrishnan等(2014) [23]。

定义3. 考虑$m\times n$ 阶矩阵$A=\left\{a_{ij}\right\}$ 和$B=\left\{b_{ij}\right\}$ ，行分别为$a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 和$b_1,b_2,\cdots ,b_m$ 。分别地

(i) 如果$a_i\stackrel{m}{\succcurlyeq }{b}_i$ $\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ ，称矩阵A在行优化下大于的矩阵B (记作$A{>}^{row}B$ )；

(ii) 如果存在一个$m\times n$ 阶T转换矩阵$T_1,T_2,\cdots ,T_k$ ，使得$B=A{T}_1{T}_2\cdots T_k$ ，称矩阵A在链优序下大于矩阵B(记作$A\gg B$ )。

关于矩阵优化更详细的讨论，请参阅Marshall等(1979) [22]。

定义4. [Marshall等(1979) [22]]一个定义在集合$\mathbb{A}\subseteq ℝ$ 上的实值函数$\varphi$ ，如果

$a\stackrel{m}{\succcurlyeq }b\Rightarrow \varphi \left(a\right)\ge \varphi \left(b\right)$ 对任意$a,b\in \mathbb{A}$ 。

则称$\varphi$ 在$\mathbb{A}$ 上是舒尔凸(舒尔凹)。

引理1. [Barmalzan等(2022) [7]]一个可微函数$\varphi :R_{+}^4\to R_{+}$

$\varphi \left(A\right)\ge (\le )\varphi \left(B\right)$ 对于任何$A,B$ ，使得$A\in {\mathcal{K}}_2\left({ℒ}_2\right)$ 和$A\gg B$

当且仅当

(i) 对所有的置换矩阵$\Pi$ 和${\mathcal{K}}_2\left({ℒ}_2\right)$ ，有$\varphi \left(A\right)=\varphi \left(A\Pi \right)$ ；

(ii) 对所有的$j,k=1,2$ 和$A\in {\mathcal{K}}_2\left({ℒ}_2\right)$ ，${\displaystyle \sum _{i=1}^2\left(a_{ik}-a_{ij}\right)}\left({\varphi }_{ik}\left(A\right)-{\varphi }_{ij}\left(B\right)\right)\ge (\le )0$ ，其中${\varphi }_{ij}\left(A\right)=\partial \varphi \left(A\right)/\partial a_{ij}$ 。

引理2. [Barmalzan等(2022) [7]]一个可微函数$H:R_{+}^2\to R_{+}$ ，并将函数${\varphi }_n:R_{+}^{2n}\to R_{+}$ 定义为 ${\varphi }_n\left(A\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}H}\left(a_{1i},a_{2i}\right)$ 。如果${\varphi }_2$ 满足引理1，则${\varphi }_n\left(A\right)\ge {\varphi }_n\left(B\right)$ ，其中$A\in {\mathcal{K}}_n\left(L_n\right)$ 和$B=AT$ 。

下面，我们定义了两个空间

${\mathcal{K}}_n=\left\{\left(a,b\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& \cdots & a_n\\ b_1& \cdots & b_n\end{array}\right):a_i,b_j>0\text{and}\left(a_i-a_j\right)\left(b_i-b_j\right)\le 0,i,j=1,\cdots ,n\right\}$ ；

${ℒ}_n=\left\{\left(a,b\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& \cdots & a_n\\ b_1& \cdots & b_n\end{array}\right):a_i,b_j>0\text{and}\left(a_i-a_j\right)\left(b_i-b_j\right)\ge 0,i,j=1,\cdots ,n\right\}$ 。

3. 改进比例反失效率模型有限混合的普通随机序

在本章节中，我们研究了改进比例失效率模型有限混合的普通随机序。本节分为两部分，第一部分处理当混合比例p和倾斜参数$\alpha$ 变化，改进比例反失效率$\lambda$ 不变时有限混合的普通随机序，第二部分处理当混合比例p和改进比例反失效率$\lambda$ 变化，倾斜参数$\alpha$ 不变时有限混合的普通随机序，两部分分别研究了在四种情况下的普通随机序。将公式(1)带入混合模型中得：

${\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i}\frac{1-F^{\lambda }\left(x\right)}{1-{\overline{\alpha }}_i{F}^{\lambda }\left(x\right)}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i{\overline{F}}_{{\alpha }_i}},0<{\alpha }_i\le 1.$

3.1. 当p和$\alpha$ 变化，$\lambda$ 不变时有限混合的普通随机序

定理1讨论了两个2 × 2阶矩阵在链优序下的普通随机序。

定理1. 假设两个改进比例反失效率模型的有限混合的随机变量是$V_2\left(p,\alpha \right)$ 和$W_2\left(q,\beta \right)$ ，分别有以下两个结论：

(i) 若$\left(\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2\end{array}\right)\gg \left(\begin{array}{cc}{q}_1& q_2\\ {\beta }_1& {\beta }_2\end{array}\right)$ ，并且$\left(p,\alpha \right)\in {\mathcal{K}}_2$ ，则$V_2\left(p,\alpha \right){\ge }_{st}{W}_2\left(q,\beta \right)$ ；

(ii) 若$\left(\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2\end{array}\right)\gg \left(\begin{array}{cc}{q}_1& q_2\\ {\beta }_1& {\beta }_2\end{array}\right)$ ，$\left(p,\alpha \right)\in {ℒ}_2$ ，并且$\frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_1}^2}{p_1}\ge \frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_2}^2}{p_2}$ ，则$V_2\left(p,\alpha \right){\le }_{st}{W}_2\left(q,\beta \right)$ 。

证明：随机变量$V_2\left(p,\alpha \right)$ 和$W_2\left(q,\beta \right)$ 的生存函数为：

${\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^2{p}_i}\frac{1-F^{\lambda }\left(x\right)}{1-{\overline{\alpha }}_i{F}^{\lambda }\left(x\right)}$ 和${\overline{F}}_{W_2\left(q,\beta \right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^2{q}_i}\frac{1-F^{\lambda }\left(x\right)}{1-{\overline{\beta }}_i{F}^{\lambda }\left(x\right)}$ 。

为了达到理想的结果，我们需要证明引理1的条件(i)和(ii)，显然，对于固定的$x>0$ ，$V_2\left(p,\alpha \right)$ 在${ℒ}_2$ 和${\mathcal{K}}_2$ 上是排列不变的，这证实了条件(i)。现在，对于固定的$x>0$ 和$i\ne j$ ，考虑这个函数

$H\left(p,\alpha \right)=\left(p_1-p_2\right)\left(\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial p_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial p_2}\right)+\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)\left(\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_2}\right).$ (2)

${\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)$ 关于$p_i$ 和${\alpha }_i$ 的偏导为

$\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial p_i}=\frac{1-F^{\lambda }\left(x\right)}{1-{\overline{\alpha }}_i{F}^{\lambda }\left(x\right)}$ 和$\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_i}=\frac{-p_i{F}^{\lambda }\left(x\right)\left(1-F^{\lambda }\left(x\right)\right)}{{\left(1-{\overline{\alpha }}_i{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2}$ ，

通过将这些表达式代入到(2)中，我们得到：

$\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial p_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial p_2}=\frac{F^{\lambda }\left(x\right)\left(1-F^{\lambda }\left(x\right)\right)({\alpha }_2-{\alpha }_1)}{\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}$

和

$\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2(p,\alpha )}(x)}{\partial {\alpha }_i}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_i}=\frac{F^{\lambda }\left(x\right)\left(1-F^{\lambda }\left(x\right)\right)\left[p_2{\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2-p_1{\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2\right]}{{\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2{\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2}.$

因此，$H\left(p,\alpha \right)$ 可以表示

$\begin{array}{c}H\left(p,\alpha \right)=\left(p_1-p_2\right)\left(\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial p_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial p_2}\right)+\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)\left(\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_2}\right)\\ =\frac{\left(p_1-p_2\right)F^{\lambda }\left(x\right)\left(1-F^{\lambda }\left(x\right)\right)\left({\alpha }_2-{\alpha }_1\right)}{\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}\\ +\frac{\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)F^{\lambda }\left(x\right)\left(1-F^{\lambda }\left(x\right)\right)\left[p_2{\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2-p_1{\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2\right]}{{\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2{\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2}\\ \stackrel{sgn}{=}\left(p_1-p_2\right)\left({\alpha }_2-{\alpha }_1\right)\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)\\ +\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)\left[p_2{\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2-p_1{\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2\right]\\ \stackrel{sgn}{=}\left({\alpha }_2-{\alpha }_1\right)\{\left(p_1-p_2\right)\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)\\ +\left[p_1{\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2-p_2{\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2\right]\}\end{array}$

先证明定理1的(i)，假设$\left(p,\alpha \right)\in {\mathcal{K}}_2$ 意味着

$\left(p_1-p_2\right)\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)\le 0,$

因此，可以得到$p_1\ge p_2$ 和${\alpha }_1\le {\alpha }_2$ (或$p_1\le p_2$ 和${\alpha }_1\ge {\alpha }_2$ )，因为对两种情况的证明非常相似，我们只对$p_1\ge p_2$ 和${\alpha }_1\le {\alpha }_2$ 的情况给出证明。由此条件，我们可以得到：

$1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\le 1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right).$

从而我们得到$H\left(p,\alpha \right)\ge 0$ ，引理1的(ii)的条件得到满足，根据引理1，可得：

$V_2\left(p,\alpha \right){\ge }_{st}{W}_2\left(q,\beta \right).$

接下来证明定理1的(ii)，假设$\left(p,\alpha \right)\in {ℒ}_2$ 意味着

$\left(p_1-p_2\right)\left({\alpha }_1-{\alpha }_2\right)\ge 0,$

因此，可以得到$p_1\ge p_2$ 和${\alpha }_1\ge {\alpha }_2$ (或$p_1\le p_2$ 和${\alpha }_1\le {\alpha }_2$ )，同理，我们只对$p_1\ge p_2$ 和${\alpha }_1\ge {\alpha }_2$ 的情况给出证明。由此条件，我们可以得到：

$1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\ge 1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right),$

又因为$\frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_1}^2}{p_1}\ge \frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_2}^2}{p_2}$ ，得到：

$p_1{\left(1-{\overline{\alpha }}_2{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2\ge p_2{\left(1-{\overline{\alpha }}_1{F}^{\lambda }\left(x\right)\right)}^2,$

从而得到$H\left(p,\alpha \right)\ge 0$ ，引理1的(ii)的条件得到满足，根据引理1，我们可得：

$V_2\left(p,\alpha \right){\le }_{st}{W}_2\left(q,\beta \right).$

定理1的证明被完成。

定理2讨论了两个2 × n阶矩阵在链优序下的普通随机序。

定理2. 假设两个改进比例反失效率模型的有限混合的随机变量是$V_n\left(p,\alpha \right)$ 和$W_n\left(q,\beta \right)$ ，分别有以下两个结论：

(i) 若$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_n\\ {\beta }_1& {\beta }_2& \cdots & {\beta }_n\end{array}\right)T$ ，并且$\left(p,\alpha \right)\in {\mathcal{K}}_n$ ，则$V_n\left(p,\alpha \right){\ge }_{st}{W}_n\left(q,\beta \right)$ ；

(ii) 若$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_n\\ {\beta }_1& {\beta }_2& \cdots & {\beta }_n\end{array}\right)T$ ，$\left(p,\alpha \right)\in {ℒ}_n$ ，并且$\frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_i}^2}{p_i}\ge \frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_j}^2}{p_j}$ ，$\left(1\le i\le j\le n\right)$ ，则 $V_n\left(p,\alpha \right){\le }_{st}{W}_n\left(q,\beta \right)$ 。

证明：随机变量$V_n\left(p,\alpha \right)$ 和$W_n\left(q,\beta \right)$ 的生存函数为

${\overline{F}}_{V_n\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i}\frac{1-F^{\lambda }\left(x\right)}{1-{\overline{\alpha }}_i{F}^{\lambda }\left(x\right)}$ 和${\overline{F}}_{W_n\left(q,\beta \right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{q}_i}\frac{1-F^{\lambda }\left(x\right)}{1-{\overline{\beta }}_i{F}^{\lambda }\left(x\right)}$ 。

为了获得理想的结果，设

$\varphi \left(p,\alpha \right)={\overline{F}}_{V_n\left(p,\alpha \right)}\left(x\right)$

和

$H\left(p,\alpha \right)=\frac{p\left(1-F^{\lambda }\left(x\right)\right)}{1-\overline{\alpha }{F}^{\lambda }\left(x\right)},$

我们可以得到：

${\varphi }_n\left(p,\alpha \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{H}_n}\left(p,\alpha \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i}\frac{1-F^{\lambda }\left(x\right)}{1-{\overline{\alpha }}_i{F}^{\lambda }\left(x\right)},$

通过定理1已知，${\varphi }_n\left(p,\alpha \right)$ 满足引理1，定理2满足引理2的条件，结果得到证明。

推论1讨论了两个2 × n阶矩阵在链优序下的普通随机序，在链优化的过程中，T转换矩阵具有相同的结构。

推论1. 假设两个改进比例反失效率模型的有限混合的随机变量是$V_n\left(p,\alpha \right)$ 和$W_n\left(q,\beta \right)$ ，如果T转换矩阵$T_1,T_2,\cdots ,T_k$ 有相同的结构，分别有以下两个结论：

(i) 若$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_n\\ {\beta }_1& {\beta }_2& \cdots & {\beta }_n\end{array}\right)T_1,T_2,\cdots ,T_k$ ，并且$\left(p,\alpha \right)\in {\mathcal{K}}_n$ ，则$V_n\left(p,\alpha \right){\ge }_{st}{W}_n\left(q,\beta \right)$ ；

(ii) 若$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_n\\ {\beta }_1& {\beta }_2& \cdots & {\beta }_n\end{array}\right)T_1,T_2,\cdots ,T_k$ ，$\frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_i}^2}{p_i}\ge \frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_j}^2}{p_j}$ $\left(1\le i\le j\le n\right)$ ，并且$\left(p,\alpha \right)\in {ℒ}_n$ ，则$V_n\left(p,\alpha \right){\le }_{st}{W}_n\left(q,\beta \right)$ 。

推论2讨论了两个2 × n阶矩阵在链优序下的普通随机序，在链优化的过程中，T转换矩阵具有不同的结构。

推论2. 假设两个改进比例反失效率模型的有限混合的随机变量是$V_n\left(p,\alpha \right)$ 和$W_n\left(q,\beta \right)$ ，如果T转换矩阵$T_1,T_2,\cdots ,T_k$ 有不同的结构，分别有以下两个结论：

(i) 若$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_n\\ {\beta }_1& {\beta }_2& \cdots & {\beta }_n\end{array}\right)T_1,T_2,\cdots ,T_k$ ，并且$\left(p,\alpha \right)\in {\mathcal{K}}_n$ ，则$V_n\left(p,\alpha \right){\ge }_{st}{W}_n\left(q,\beta \right)$ ；

(ii) 若$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\\ {\alpha }_1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_n\\ {\beta }_1& {\beta }_2& \cdots & {\beta }_n\end{array}\right)T_1,T_2,\cdots ,T_k$ ，$\frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_i}^2}{p_i}\ge \frac{{\overline{F}}_{{\alpha }_j}^2}{p_j}$ ，$\left(1\le i\le j\le n\right)$ ，并且$\left(p,\alpha \right)\in {ℒ}_n$ ，则$V_n\left(p,\alpha \right){\le }_{st}{W}_n\left(q,\beta \right)$ 。

3.2. 当p和$\lambda$ 变化，$\alpha$ 不变时有限混合的普通随机序

定理3讨论了两个2 × 2阶矩阵在链优序下的普通随机序。

定理3. 假设两个改进比例反失效率模型的有限混合的随机变量是$Z_2\left(p,\lambda \right)$ 和$Y_2\left(q,\theta \right)$ ，有以下结论：

若$\left(\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2\end{array}\right)\gg \left(\begin{array}{cc}{q}_1& q_2\\ {\theta }_1& {\theta }_2\end{array}\right)$ ，$\left(p,\lambda \right)\in {\mathcal{K}}_2$ ，并且$P_1{F}^{{\lambda }_1}\left(x\right)=P_2{F}^{{\lambda }_2}\left(x\right)$ ，则$Z_2\left(p,\lambda \right)\ge Y_2\left(q,\theta \right)$ 。

证明：随机变量$Z_2\left(p,\lambda \right)$ 和$Y_2\left(q,\theta \right)$ 的生存函数为

${\overline{F}}_{Z_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^2{p}_i}\frac{1-F^{{\lambda }_i}\left(x\right)}{1-\overline{\alpha }{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)}$ 和${\overline{F}}_{W_2\left(q,\theta \right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^2{q}_i}\frac{1-F^{{\theta }_i}\left(x\right)}{1-\overline{\alpha }{F}^{{\theta }_i}\left(x\right)}$ 。

为了达到理想的结果，我们需要证明引理1的条件(i)和(ii)，显然，对于固定的$x>0$ ，$\left(p,\lambda \right)$ 在${\mathcal{K}}_2$ 上是排列不变的，这证实了条件(i)。现在，对于固定的$x>0$ 和$i\ne j$ ，考虑这个函数

$H\left(p,\lambda \right)=\left(p_1-p_2\right)\left(\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial p_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial p_2}\right)+\left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right)\left(\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_2}\right).$ (3)

${\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)$ 相对于$p_i$ 和${\lambda }_i$ 的偏导数为

$\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial p_i}=\frac{1-F^{{\lambda }_i}\left(x\right)}{1-\overline{\alpha }{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)}$ 和$\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial {\lambda }_i}=\frac{-\alpha p_i{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)\ln F\left(x\right)}{{\left(1-\overline{\alpha }{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)\right)}^2}$ ，

通过将这些表达式代入到(3)中，我们得到

$\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial p_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial p_2}=\frac{\alpha \left(F^{{\lambda }_2}\left(x\right)-F^{{\lambda }_1}\left(x\right)\right)}{M_1{M}_2}$

和

$\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial {\lambda }_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial {\lambda }_2}=\frac{\alpha \ln F\left(x\right)\left(p_2{F}^{{\lambda }_2}\left(x\right)M_1^2-p_1{F}^{{\lambda }_1}\left(x\right)M_2^2\right)}{M_1^2{M}_2^2},$

这里$M_1=1-\overline{\alpha }{F}^{{\lambda }_1}\left(x\right)$ 和$M_2=1-\overline{\alpha }{F}^{{\lambda }_2}\left(x\right)$ ，因此，$H\left(p,\lambda \right)$ 可以表示为

$\begin{array}{c}H\left(p,\lambda \right)=\left(p_1-p_2\right)\left(\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial p_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial p_2}\right)+\left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right)\left(\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_1}-\frac{\partial {\overline{F}}_{V_2\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)}{\partial {\alpha }_2}\right)\\ =\frac{\left(p_1-p_2\right)\alpha \left(F^{{\lambda }_2}\left(x\right)-F^{{\lambda }_1}\left(x\right)\right)}{M_1{M}_2}+\frac{\left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right)\alpha \ln F\left(x\right)\left(p_2{F}^{{\lambda }_2}\left(x\right)M_1^2-p_1{F}^{{\lambda }_1}\left(x\right)M_2^2\right)}{M_1^2{M}_2^2}\\ \stackrel{sgn}{=}\left(p_1-p_2\right)\left(F^{{\lambda }_2}\left(x\right)-F^{{\lambda }_1}\left(x\right)\right)M_1{M}_2+\ln F\left(x\right)\left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right)\left(p_2{F}^{{\lambda }_2}\left(x\right)M_1^2-p_1{F}^{{\lambda }_1}\left(x\right)M_2^2\right).\end{array}$

假设$\left(p,\lambda \right)\in {\mathcal{K}}_2$ 意味着

$\left(p_1-p_2\right)\left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right)\le 0,$

因此，可以得到$p_1\ge p_2$ 和${\lambda }_1\le {\lambda }_2$ (或$p_1\le p_2$ 和${\lambda }_1\ge {\lambda }_2$ )，因为两种情况的证明非常相似，我们只对$p_1\ge p_2$ 和${\lambda }_1\le {\lambda }_2$ 的情况给出证明。由此条件，我们可以得到：

$F^{{\lambda }_1}\left(x\right)\le F^{{\lambda }_2}\left(x\right),$

进而得到$M_1\ge M_2$ ，等式的第一部分是非负的。因为$F\left(x\right)$ 的值域是[0, 1]，得到

$\ln F\left(x\right)\le 0,$

由于$P_1{F}^{{\lambda }_1}\left(x\right)=P_2{F}^{{\lambda }_2}\left(x\right)$ ，式子的第二部分是非负的，进而得到$H\left(p,\lambda \right)\ge 0$ 。引理1的(ii)的条件得到满足，根据引理1，我们可得：

$Z_2\left(p,\lambda \right)\ge Y_2\left(q,\theta \right).$

定理3的证明被完成。

定理4讨论了两个2 × n阶矩阵在链优序下的普通随机序。

定理4. 假设两个改进比例反失效率模型的有限混合的随机变量是$Z_n\left(p,\lambda \right)$ 和$Y_n\left(q,\theta \right)$ ，分别有以下结论：

若$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_n\\ {\theta }_1& {\theta }_2& \cdots & {\theta }_n\end{array}\right)T$ ，$\left(p,\lambda \right)\in {\mathcal{K}}_n$ ，并且$P_i{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)=P_j{F}^{{\lambda }_j}\left(x\right)$ $\left(1\le i\le j\le n\right)$ ，则$Z_n\left(p,\lambda \right)\ge Y_n\left(q,\theta \right)$ 。

证明：随便变量$Z_n\left(p,\lambda \right)$ 和$Y_n\left(q,\theta \right)$ 的生存函数为

${\overline{F}}_{Z_n\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i}\frac{1-F^{{\lambda }_i}\left(x\right)}{1-\overline{\alpha }{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)}$ 和${\overline{F}}_{Y_n\left(q,\theta \right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{q}_i}\frac{1-F^{{\lambda }_i}\left(x\right)}{1-\overline{\alpha }{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)}$ 。

为了获得理想的结果，设

$\varphi \left(p,\lambda \right)={\overline{F}}_{Z_n\left(p,\lambda \right)}\left(x\right)$

和

$H\left(p,\lambda \right)=\frac{p\left(1-F^{\lambda }\left(x\right)\right)}{1-\overline{\alpha }{F}^{\lambda }\left(x\right)},$

我们可以得到：

${\varphi }_n\left(p,\lambda \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{H}_n}\left(p,\lambda \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{p_i\left(1-F^{{\lambda }_i}\left(x\right)\right)}{1-\overline{\alpha }{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)}},$

通过定理3已知，${\varphi }_2\left(p,\lambda \right)$ 满足引理1，定理4满足引理2的条件，结果得到证明。

推论3讨论了两个2 × n阶矩阵在链优序下的普通随机序，在链优化的过程中，T转换矩阵具有相同的结构。

推论3. 假设两个改进比例反失效率模型的有限混合的随机变量是$Z_n\left(p,\lambda \right)$ 和$Y_n\left(q,\theta \right)$ ，如果T转换矩阵$T_1,T_2,\cdots ,T_k$ 有相同的结构，有以下结论：

若$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_n\\ {\theta }_1& {\theta }_2& \cdots & {\theta }_n\end{array}\right)T_1,T_2,\cdots ,T_k$ ，$P_i{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)=P_j{F}^{{\lambda }_j}\left(x\right)$ $\left(1\le i\le j\le n\right)$ ，并且 $\left(p,\lambda \right)\in {\mathcal{K}}_n$ ，则$Z_n\left(p,\lambda \right)\ge Y_n\left(q,\theta \right)$ 。

推论4讨论了两个2 × n阶矩阵在链优序下的普通随机序，在链优化的过程中，T转换矩阵具有不同的结构。

推论4. 假设两个改进比例反失效率模型的有限混合的随机变量是$Z_n\left(p,\lambda \right)$ 和$Y_n\left(q,\theta \right)$ ，如果T转换矩阵$T_1,T_2,\cdots ,T_k$ 有不同的结构，有以下结论：

若$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_n\\ {\theta }_1& {\theta }_2& \cdots & {\theta }_n\end{array}\right)T_1,T_2,\cdots ,T_k$ ，$P_i{F}^{{\lambda }_i}\left(x\right)=P_j{F}^{{\lambda }_j}\left(x\right)$ $\left(1\le i\le j\le n\right)$ ，并且 $\left(p,\lambda \right)\in {\mathcal{K}}_n$ ，则$Z_n\left(p,\lambda \right)\ge Y_n\left(q,\theta \right)$ 。

备注1.

在实际生活中，例如，工业中生产的项目，项目分为两个总体，每个总体的每一个单位满足改进比例反失效率模型的基生存函数形式，同时，基生存函数满足上述定理和推论的条件，两个项目总体可以上述改进比例反失效率模型有限混合的统计性质进行比较，根据结果，最优的项目总体说明，该项目总体的产品生存率高，可以尽可能地使用该项目生产过程中的人力物力机器等，一定程度上提高了生产率和产品的质量。

4. 结论

在本文中，我们基于改进比例反失效率模型的参数，探讨了改进比例反失效率模型构成的混合模型的统计性质，结合矩阵链优序或向量的优化序和T转换矩阵，分别给出了当混合比例和倾斜参数或混合比例和改进比例反失效率不同时，两组异质有限混合总体普通随机序的充分条件。

通过以上的研究，我们认为有可能扩展本文的结果。将改进比例反失效率模型有限混合的普通随机序结果扩展到失效率序、反失效率序和变异序。同时，本文建立了当混合比例和倾斜参数不同、混合比例和改进比例反失效率不同时，改进比例反失效率模型有限混合的随机序，可以扩展到当混合比例、倾斜参数和改进比例反失效率不同时，改进比例反失效率模型有限混合的随机比较。

基金项目

本文受到国家自然科学基金项目：不完全数据下相依竞争失效单调关联系统可靠性的统计推断(No. 12361060)的支持。