钢筋混凝土受弯构件斜截面承载力计算方法的教学设计和实践

Instructional Planning and Practice on Calculating the Load Bearing Capacity of the Oblique Section in Flexurally Reinforced Concrete Members

摘要: 钢筋混凝土受弯构件斜截面承载力的计算和腹筋的设计是《地下铁道与轻轨》课程的教学难点之一。文章以受集中荷载作用的矩形正截面混凝土简支梁为例，分析了混凝土简支梁斜截面的承载力，并提出了基于混凝土简支梁正截面剪力来计算其斜截面箍筋、弯起钢筋方法的教学设计。同时以某T形梁和某地铁地下框架结构车站的顶板为例，分析和配置了T形梁和车站底板在受剪力和弯矩共同作用下斜截面的承载力和腹筋。通过在《地下铁道与轻轨》课程中的教学实践表明，所提出的教学设计不仅有利于学生理解和掌握钢筋混凝土受弯构件斜截面承载力和腹筋的计算方法，而且还有利于增加学生的工程经验，可取得良好的教学效果。

Abstract: The calculation of load bearing capacity and design of web reinforcement in the oblique section of flexurally reinforced concrete members is one of the major difficulties in the course entitled Metro and Light Rail Transit offered to undergraduates. Taking a simply supported concrete beam with a rectangular normal cross-section subject to concentrated forces as an example, the load bearing capacity of an oblique section in the simply supported concrete beam is analyzed, and instructional planning on the method to calculate stirrups and flexural reinforcement on the oblique section of the beam based on shear forces on the normal cross-section of concrete beam is also presented. Meanwhile, taking both a T-shaped concrete beam and floor slab of a subway station as an example, the load bearing capacity of T-shaped beam and floor slab of the subway station subject to joint action of shear force and bending moment are also analyzed and arranged. The practice of using the instructional planning presented in this paper for teaching the undergraduates the course entitled Metro and Light Rail Transit shows that the presented instructional planning does not only help undergraduates to understand and master the method to calculate the load bearing capacity and web reinforcement of the oblique section in flexural reinforced concrete members, but also help undergraduates to enhance their engineering experiences. The expected teaching aim is also attained.

1. 引言

《地下铁道与轻轨》是我校为智能建造、土木工程、城市地下空间工程等专业本科生而开设的一门核心专业课程。学生通过对《地下铁道与轻轨》课程的系统学习能够掌握地下铁道与轻轨交通规划、设计、建造、运营、维护与管理等相关的基本概念、原理、计算、设计和建造方法，并为学生今后从事以地下铁道为代表的城市轨道交通的规划、设计、建造、运营、维护与管理等工作或专业深造奠定扎实的理论基础[1]-[3]。

《地下铁道与轻轨》还是一门理论与实践紧密相结合的专业课程，其所涉及的教学内容众多，其中钢筋混凝土结构如地铁与轻轨的地下、地面和高架车站以及与之关联的混凝土结构如地下区间隧道和区间高架桥梁等的设计是课程教学的重要内容之一[1]-[3]。与此相关的内容主要包括了钢筋混凝土受弯构件正截面和斜截面承载力、偏心受力构件正截面和斜截面承载力、受扭构件扭曲截面承载力以及预应力混凝土构件的计算与设计等。上述教学内容涉及较多的基本概念和理论推演，且理论推演又涉及较多的物理量，并且还要符合《混凝土结构设计标准(GB50010-2010)》(2024年版)以下简称国家标准中的相关规定，因此课程教学内容具有概念多、公式多、计算多和规定多的“四多”特点。

此外，目前国内现行的教学参考书中虽然对上述内容进行了讲解，但大多仅列出了混凝土受弯构件斜截面承载力的计算公式和相关的规定，缺乏对计算公式物理含义的分析和设计方法的系统梳理[4]-[8]。尤其是未明确混凝土受弯构件斜截面承载力各组成部分的含义和计算公式的工程意义。在文献[4]-[6]中虽然讲解了混凝土受弯构件斜截面承载力的3个组成部分，但对各个组成部分所体现的物理含义并未给出说明。同样在文献[7] [8]中虽然明确讲解了混凝土受弯构件斜截面承载力由混凝土受弯构件剪压区混凝土承受的剪力、配置的箍筋所承受的剪力和配置的弯起钢筋所承受的剪力三部分组成，并且也分别列出了构件剪压区剪力、箍筋所承受的剪力以及弯起钢筋所承受剪力的计算表达式，但未对各个计算公式的物理意义进行讲解。作者根据多年对《地下铁道与轻轨》课程教学实践发现，由于本课程具有上述“四多”的特点，且教学内容涉及较多的理论推演、工程经验和针对构造的技术规定，当学生或阅读者仅按照教学参考书中所列出的图例和计算公式进行学习时只能被动地接受生硬的计算公式，不能从基本概念和原理上理解计算公式获得的技术思路。以一般未配置箍筋和弯起钢筋的混凝土板类受弯构件为例，由于影响混凝土受弯构件斜截面承载力的因素众多，因而国内外目前尚无成熟的理论计算方法，其斜截面的受剪承载力是根据板类构件正截面上的抗拉强度来近似估算。在文献[4]-[8]中虽然也列出了一般板类受弯构件斜截面承载力计算的经验表达式，但并未明确指出以正截面的抗拉强度来近似估算斜截面受剪承载力的计算方法。在教学过程中如果仅按照教学参考书中所列的内容进行讲解，通过对学生学习效果的考查发现学生对此内容的理解和应用方面尚存在较大的困难，因而此部分课程的教学效果和学生学习的质量均不甚理想。

合理设计、组织与讲授课程的教学内容，使学生能够在理解的基础上掌握课程教学内容及其知识点，进而使学生能够达到灵活运用所学知识完成混凝土受弯构件斜截面承载力计算并配置受弯构件中抗剪钢筋如箍筋、弯起钢筋，并引导和启发学生进行创新思维是教师在本课程教学活动中的主要工作，也是教师在教学过程中结合教学内容和知识点需要对教学方法进行设计、思考与研究的内容。

前文已述及，钢筋混凝土构件在荷载作用下的承载力计算的教学内容包括其正截面偏心受压、正截面偏心受拉以及斜截面受剪承载力计算和钢筋的配置等，教学内容涉及较多的理论推演和分析。为便于学生能够容易理解和掌握上述教学内容，作者分别就钢筋混凝土偏心受拉和偏心受压构件正截面承载力与受力钢筋配置的计算和设计方法的教学设计进行了研究，结合教学内容提出了相应的教学设计与组织[9] [10]。而本文则着重结合《地下铁道与轻轨》课程中钢筋混凝土受弯构件斜截面承载力计算和腹筋设计的教学内容，对混凝土简支梁斜截面承载力和抗剪措施的设计和计算方法以及与此相应的教学设计进行研究和总结，目的在于提出易于学生理解和掌握的钢筋混凝土受弯构件斜截面受剪承载力和抗剪措施设计与计算的教学方法，并引导和培养学生建立开展钢筋混凝土受弯构件斜截面抗剪创新设计的思维和能力。

2. 钢筋混凝土简支梁斜截面承载模型

在课堂讲授本部分内容之前需要向学生重点说明，分析钢筋混凝土受弯构件斜截面受剪承载力就是研究混凝土受弯构件在外荷载作用下沿某一斜截面发生剪切破坏的力学行为，目的是通过对该斜截面受剪承载力的计算和受剪破坏特性的分析，寻求防止混凝土受弯构件沿斜截面发生剪切破坏的途径和工程措施如设置腹筋和弯起钢筋，使混凝土受弯构件达到预期的使用功能，满足混凝土结构在服役期间的安全、适用和耐久。如此强调的目的在于使学生能够了解课程教学的主要内容和通过学习所要达到的目标。为便于学生理解和掌握此部分内容，首先需要研究混凝土受弯构件斜截面承载力和腹筋设计与计算方法的教学内容和讲解思路。

2.1. 课程教学内容和讲授思路

通过对课程教学内容的梳理，混凝土受弯构件斜截面受剪承载力计算和腹筋设计的教学内容主要包括以下5个方面：

(1) 建立矩形正截面混凝土简支梁受集中荷载作用的力学模型，分析混凝土简支梁正截面所承受的内力即弯矩和剪力的大小及其分布特点；

(2) 定义和讲解混凝土腹筋梁和无腹筋梁的概念，并分析无腹筋简支梁受弯剪时沿斜截面发生破坏的特性；

(3) 分析混凝土有腹筋梁沿斜截面发生剪切破坏的特性和受剪承载力的计算方法，并定义混凝土受弯构件的剪跨比和箍筋配筋率即配箍率的概念；

(4) 以矩形正截面简支梁受集中荷载作用下的剪力为基础，讲解矩形梁、T形梁和I形梁沿斜截面发生剪切破坏时的承载力、箍筋和弯起钢筋的计算与设计方法；

(5) 利用推导和提出的分析方法结合某T形简支梁和某地铁车站框架结构顶板的内力即剪力，就T形截面简支梁和车站顶板斜截面抗剪的箍筋和弯起钢筋进行计算和设计。以此为工程案例，讲解混凝土受弯构件斜截面承载力和腹筋设计的过程，引导学生理解和掌握计算与设计的方法。

根据上述的教学内容，为使学生能够容易理解和掌握钢筋混凝土受弯构件斜截面受剪承载力和腹筋的设计方法，所设计的针对课程教学内容的讲授思路如下：先分析和讲解矩形正截面混凝土简支梁受集中荷载作用下的内力即弯矩和剪力，然后引入简支梁沿斜截面受剪破坏的模式，进而以混凝土简支梁中破坏的斜截面与支座处的隔离体为研究对象，分析隔离体的静力平衡，由此得到简支梁隔离体沿斜截面上剪力的构成及其计算表达式。为防止混凝土简支梁沿斜截面发生剪切破坏，引入腹筋梁和无腹筋梁的概念，并以混凝土腹筋梁正截面的剪力给出用于梁中抵抗斜截面受剪切破坏的箍筋的计算方法。然后结合国家标准《混凝土结构设计标准》(2004年版)的规定[11]，对不同截面的梁和板类受弯构件斜截面承载力和箍筋的设计方法进行讲解和总结。在分析对应混凝土受弯构件斜截面承载力计算方法的基础上，以某T形截面简支梁和某地铁车站为例，对该T形简支梁和车站顶板受弯矩和剪力作用下的斜截面受剪承载力和箍筋、弯起钢筋进行计算和设计。上述教学内容的讲授思路就是先建立基本概念和力学模型，并借助简支梁受弯的力学模型分析其静力学平衡，基于静力平衡提出受集中荷载作用的混凝土简支梁斜截面受剪承载力的计算和分析方法，然后将理论分析方法应用于典型的案例设计。如此设计教学内容，使课程内容的讲授始终遵循了从概念到理论再到实践的过程，进而引导学生掌握课程教学知识点，并逐步树立学以致用的创新思维和分析与计算能力。

2.2. 矩形正截面混凝土简支梁及其内力

在讲授混凝土受弯构件斜截面承载力计算方法之前，为便于学生理解，需要引入承受集中荷载作用下的混凝土矩形正截面简支梁，并分析其内力即剪力和弯矩沿简支梁轴线上的分布特点。为此需要建立如图1所示的正截面为矩形的混凝土简支梁受集中荷载作用的力学模型。

Figure 1. Loading model of simply supported concrete beam

图1. 混凝土简支梁承载模型

所谓混凝土构件的正截面就是垂直于混凝土构件纵向轴线的横截面。图1(a)中F为简支梁所承受的集中荷载，单位为N；梁沿其中轴线的长度为l，集中荷载F的作用点和铰支座之间的距离为a，两者的单位均为mm。R_A和R_B分别为铰支座A和铰支座B处的反力，实际上就是支座处梁承受的剪力，两者的单位均为N。与简支梁轴线mm'相垂直的剖面1-1就是简支梁的正截面，见图1(b)，图1(b)中b和h分别为简支梁正截面的宽度和高度，单位以mm计。

对图1中简支梁受集中荷载F作用下的静力平衡和对铰支座处的静力矩平衡分析即可得到铰支座A和B处的反力为R_A = R_B = F。现分析简支梁受集中荷载F作用下各正截面的内力即弯矩和剪力。为便于分析，可将混凝土简支梁划分为三段，即AC、CD和DB段。简支梁的AC段和BD段中各正截面上不仅承受有弯矩M，而且还承受有剪力V，剪力的数值为V = F。简支梁CD段的各个正截面上则仅承受有弯矩，且弯矩M = Fa，不承受剪力，即剪力V = 0。因而混凝土简支梁中的CD段被称为梁的纯弯段，而AC段和BD段则被称为梁的剪弯段。

图1中简支梁在集中荷载F作用下的可能破坏模式有纯弯段因垂直于轴线mm'的裂缝所引起的正截面受弯破坏、剪弯段由斜裂缝所引起的斜截面受弯破坏和受剪破坏。当混凝土简支梁纯弯段的承载力不足时可通过在梁中配置与轴线mm'平行的纵向受拉或受压普通钢筋来保证其安全性，与此对应的计算和设计方法可参见文献[9] [10]。而在剪弯段由于各截面既承受弯矩又承受剪力，因而梁在剪弯段会发生沿斜截面的剪切破坏和斜截面的受弯破坏。

2.3. 简支梁在剪弯段的受剪破坏模式和承载力

对图1所示的简支梁，当梁的正截面受弯承载力不足而受剪承载力较大时就有可能沿正截面发生受弯破坏。反之，如果当梁的正截面受弯承载力较大而受剪承载力不足时就有可能沿某一斜裂缝发生受剪破坏。因此对于图1所示的混凝土简支梁，为防止梁发生沿斜截面的剪切破坏，可在梁内配置除了保证梁正截面承载力的纵向受力普通钢筋以外，还需要在梁内配置用于抵抗斜截面剪切破坏的箍筋和弯起钢筋。因此在分析简支梁的承载能力时不仅需要分析其正截面的承载力，还需要分析混凝土梁沿某一斜截面的承载力。为此，需要引入腹筋梁和无腹筋梁的基本概念，也就是需要向学生讲解腹筋梁和无腹筋梁的必备概念。所谓腹筋梁就是指配置有纵向受力普通钢筋、箍筋和弯起钢筋的梁，而无腹筋梁则是指仅配置有纵向受力的普通钢筋而不配置用于抵抗剪切破坏的箍筋和弯起钢筋的梁。箍筋是与纵向受力钢筋相垂直的钢筋，其作用就是固定纵向受力钢筋和抑制梁内斜裂缝的发展，而弯起钢筋则是将纵向受力钢筋在剪弯区弯起，使弯起的钢筋与构件的轴线斜交。弯起钢筋也用于控制构件中斜裂缝的发展。将梁中的箍筋和弯起钢筋统称为混凝土梁中的“腹筋”。

Figure 2. Shear failure mode of oblique section in simply supported beam

图2. 简支梁斜截面剪切破坏模式

在讲授简支梁中“腹筋”的概念后，以图1所示的混凝土简支梁为例，先分析无腹筋简支梁沿斜截面破坏的模式。国内外大量的试验研究表明，当混凝土无腹筋简支梁受到集中荷载F作用的初期，混凝土梁处于弹性阶段，其内部既有剪弯段也有纯弯段。但随着集中荷载F的不断增加，混凝土从弹性阶段会进入到塑性阶段，并在弯剪区域出现斜裂缝，而且斜裂缝往往是从梁底部即腹部的弯曲裂缝逐步发展而成。当简支梁在集中荷载F的作用下发生开裂后，随着施加的集中荷载F的不断增大，混凝土梁腹板内的斜裂缝也会不断扩展，并形成一条主裂缝，致使混凝土梁会沿着该主裂缝发生剪切破坏。为便于分析，将该主斜裂缝称为临界裂缝，并建立图2所示的破坏模式。

图2中简支梁在支座A附近的底部出现斜裂缝，将其中引起梁剪切破坏的裂缝称为临界斜裂缝，即图2中的临界斜裂缝GH。G点为斜裂缝的起点，而H点为斜裂缝的终点。为便于分析和学生的理解，取临界斜裂缝GH和支座A之间的梁隔离体进行分析。简支梁的隔离体及其承载状况见图3。此处需要特别向学生说明，图3所示的隔离体是从图1的简支梁发生斜截面破坏时沿临界斜裂缝GH选取的隔离体。

Figure 3. Isolated body of simply supported beam

图3. 简支梁隔离体

图3中隔离体上临界斜裂缝GH上端的截面HJ上既承受压力D_c又承受剪力V_c，两者的单位均以N计，故截面HJ就称为受弯剪构件中的剪压区。由于临界斜截面GH为凹凸不平的截面，故在该面上还有由骨料所引起的剪力为V_a，其单位以N计。此外，在临界斜裂缝GH上还作用有由剪力V_c和压力D_c引起的弯矩M，其单位以N·m计。图3实际上就是无腹筋梁在剪弯段发生斜截面破坏时隔离体上的承载状况。为避免混凝土受弯构件在集中荷载F作用下发生斜截面受剪破坏，就需要在梁内配置纵向受拉普通钢筋和箍筋与弯起钢筋而使其成为前文所述的腹筋梁。在混凝土受弯构件中配置箍筋和弯起钢筋目的就在于抑制混凝土梁或者受弯构件在剪弯段斜裂缝的出现和扩展，避免混凝土受弯构件沿斜截面发生剪切破坏。

国内外大量的试验研究表明，影响混凝土受弯构件剪切破坏的因素较多，其破坏的形态也极为复杂，因而无法建立精确计算混凝土受弯构件斜截面承载力的理论公式。目前使用的混凝土受弯构件斜截面受剪承载力计算公式是根据大量试验和理论研究而得出的经验公式，同时还需要考虑以下3个假设：

(1) 混凝土受弯构件斜截面上的剪力由三部分构成，即斜截面GH上混凝土承受的剪力V_a沿竖直方向上的分量V_c，与斜截面相交的箍筋所承受的剪力V_s以及与斜截面相交的弯起钢筋所承受的剪力V_sb。

由此假设即可分析斜截面的承载力。现仍以图1所示的混凝土简支梁为例，在其正截面内配置有纵向受压和受拉的普通钢筋以及腹筋即箍筋和弯起钢筋。这里需要特别强调的是弯起钢筋与梁的纵向轴线斜交，设两者之间的夹角为α_s。《混凝土结构设计标准(GB50010-2012)》(2004年版)中建议当梁的高度h < 800 mm时取α_s = 45˚，当梁的高度h > 800 mm时取α_s = 60˚ [11]。为便于向学生讲解和分析有腹筋梁受弯剪破坏时的斜截面受剪承载力，现建立图4所示的腹筋梁隔离体的承载模型，并且在图4中建立二维平面坐标系为xoy。

图4中T_s为简支梁内纵向受拉钢筋的拉力，T_sb为简支梁内弯起钢筋承受的拉力，${T^{\prime }}_{\text{sb}}$ 为简支梁内弯起钢筋承受的拉力沿纵向的分量，三者单位均以N计。其余符号的含义见图3和前文中的说明。

Figure 4. Loading model of isolated body in beam with wed reinforcement

图4. 腹筋梁隔离体承载模型

根据图4中混凝土简支梁隔离体在平面坐标系xoy中y轴方向上的静力平衡，则有

${\displaystyle \sum F_{\text{y}}}=0\Rightarrow V_{\text{u}}=V_{\text{c}}+V_{\text{s}}+V_{\text{sb}}$ (1)

式中V_u是混凝土简支梁在支座处沿斜截面GH发生剪切破坏时所承受的总剪力设计值，V_c是构件斜截面GH上混凝土受剪引起的剪力设计值，V_s是构件斜截面GH上箍筋引起的剪力设计值，V_sb是斜截面GH上弯起钢筋受拉引起的剪力，剪力的单位均以N计。

在讲解完上述内容的同时，为引导和启发学生的创新思维，在课堂上随机抽点了2~3名学生，使学生回答当简支梁内仅配置有箍筋而不配置弯起钢筋时其斜截面受剪承载力设计值V_u该如何计算的问题？被抽点的同学均能够正确地给出回答，即当混凝土简支梁内仅配置有箍筋抗剪时，则该构件斜截面的总剪力设计值V_u就应当仅由斜截面上混凝土剪压区的剪力V_c和配置的箍筋所承受的剪力V_s来提供。

(2) 混凝土简支梁受弯剪破坏时，与斜截面相交的箍筋和弯起钢筋中的拉应力达到其屈服强度设计值，但靠近剪压区的腹筋有可能不发生屈服。

(3) 由于腹筋梁中斜截面处骨料咬合力和骨料与纵向钢筋之间的黏结力对受弯构件的影响较小，分析时可不予考虑。

在讲解钢筋混凝土受弯构件斜截面承载力和上述3个假设的基础之上，就可以分析钢筋混凝土受弯构件斜截面承载力的经验计算方法。

3. 钢筋混凝土受弯构件斜截面的受剪承载力

为便于学生理解，现从混凝土构件的不同类型即混凝土板类受弯构件、矩形截面、T形截面和I形截面受弯构件以及集中荷载作用下的独立梁分别分析和给出对应构件斜截面受剪承载力的计算公式。

3.1. 无箍筋、弯起钢筋的板类受弯构件

按照《混凝土结构设计标准(GB50010-2010)》(2024年版)中的推荐[11]，混凝土板类构件所承受的荷载较小时，可不验算斜截面的受剪承载力，因而也不配置箍筋和弯起钢筋，通常当梁的高度h < 150 mm时可不配置箍筋。当混凝土板上承受荷载较大时，则需要验算斜截面的承载力。对于不配置箍筋和弯起钢筋的一般板类构件，其斜截面的受剪承载力可按照式(2)加以计算

$V_{\text{u}}=V_{\text{c}}=0.7{\beta }_{\text{h}}{f}_{\text{t}}b{h}_0$ (2)

式中f_t为混凝土轴心抗拉强度设计值，N·mm⁻²；b为混凝土梁正截面的宽度，mm，h₀为混凝土梁正截面的有效高度，mm，且有$h_0=h-a_{\text{s}}$ ，a_s为混凝土构件中纵向受力钢筋合力作用点至构件外边缘之间的距离，其单位均以mm计。β_h为混凝土构件的截面影响系数，且有

${\beta }_{\text{h}}={\left(\frac{800}{h_0}\right)}^{\frac{1}{4}}$ (3)

当梁的截面有效高度h₀ < 800 mm时取β_h = 1.0，当梁的截面有效高度h₀ > 2000 mm取β_h = 0.9 [11] [12]。

此处为便于学生的理解和掌握该知识点，需要向学生特别强调，式(2)中的f_tbh₀实际上就是混凝土简支梁正截面所能承受的最大拉力，将正截面的最大拉力乘以截面影响系数β_h和应力不均匀系数0.7即可视为混凝土一般板类构件斜截面的受剪承载力，如此便于理解和掌握。

3.2. 矩形、T形和I形截面受弯构件

此类受弯构件的斜截面承载力又可以按照构件中有无腹筋来划分为3类，具体的分类和斜截面承载力计算如下：

(1) 无腹筋梁的斜截面受剪承载力

此时混凝土受弯构件中仅配置有纵向受力钢筋，即无箍筋也无弯起钢筋，因而斜截面的受剪承载力设计值V_u仅用剪压区混凝土承受的剪力V_c即梁正截面的最大拉力f_tbh₀来估算，经验公式为

$V_{\text{u}}=V_{\text{c}}=0.7f_{\text{t}}b{h}_0$ (4)

式中各参数的含义同前。

(2) 仅配置箍筋时混凝土梁斜截面的受剪承载力

此时混凝土梁斜截面的受剪承载力设计值V_u由混凝土斜截面的剪力V_c和箍筋的剪力V_s来提供，而箍筋承受的剪力V_s则主要由箍筋的抗拉强度f_yvA_sv来提供，同时考虑箍筋的间距s和截面有效高度h₀的影响，即

$V_{\text{s}}=f_{\text{yv}}\frac{A_{\text{sv}}}{s}{h}_0$ (5)

式中f_yv为箍筋的抗拉强度设计值，MPa；A_sv为配置在同一截面内箍筋各肢的全部截面面积，mm²，且有A_sv = nA_sv1，n为同一截面内箍筋的肢数，A_sv1为单肢箍筋截面面积，mm²；s为沿构件长度方向上箍筋的间距，mm。针对混凝土梁中箍筋的间距，国家标准中给出了以斜截面剪力设计值V来确定的最大间距，可按照表1选取[4]-[8] [11] [12]。

Table 1. The maximal spacing among stirrups in simply supported concrete beam

表1. 混凝土简支梁中箍筋的最大间距

梁的高度h/mm	箍筋的最大间距/mm
	梁斜截面剪力设计值V > 0.7ftbh0	梁斜截面剪力设计值V ≤ 0.7ftbh0
150 < h ≤ 300	150	200
300 < h ≤ 500	200	300
500 < h ≤ 800	250	350
h > 800	300	400

因而仅配置有箍筋时混凝土受弯构件斜截面的受剪承载力V_u由剪压区混凝土的剪力V_c和箍筋剪力V_s共同构成，其经验公式为

$V_{\text{u}}=V_{\text{cs}}=V_{\text{c}}+V_{\text{s}}=0.7f_{\text{t}}b{h}_0+f_{\text{yv}}\frac{A_{\text{sv}}}{s}{h}_0$ (6)

式中各参数的含义同前。

(3) 同时配置有箍筋和弯起钢筋的腹筋梁斜截面承载力

此时，由于梁内配置有箍筋和弯起钢筋，因此混凝土受弯构件斜截面的受剪承载力就需要考虑弯起钢筋承受的剪力。计算混凝土受弯构件中弯起钢筋所承受的剪力经验公式为

$V_{\text{sb}}=0.8f_{\text{y}}{A}_{\text{sb}}\sin {\alpha }_{\text{s}}$ (7)

式中f_y为混凝土构件内纵向受拉普通钢筋的抗拉强度设计值，MPa；A_sb为同一平面内弯起钢筋的横截面面积，mm²；0.8为弯起钢筋应力的不均匀系数，即混凝土受弯构件发生剪切破坏时弯起钢筋与斜截面相交位置的不确定性而使弯起钢筋的应力达不到其屈服强度，因此需要考虑该系数，其余符号的含义同前。

从而可以得到混凝土腹筋梁斜截面的受剪承载力设计值V_u为

$V_{\text{u}}=V_{\text{cs}}+V_{\text{sb}}=V_{\text{c}}+V_{\text{s}}+V_{\text{sb}}=0.7f_{\text{t}}b{h}_0+f_{\text{yv}}\frac{A_{\text{sv}}}{s}{h}_0+0.8f_{\text{y}}{A}_{\text{sb}}\sin {\alpha }_{\text{s}}$ (8)

式中各参数的含义同前。

3.3. 集中荷载作用下的独立梁

当混凝土梁所承受的荷载种类较多，并且集中荷载对梁支座截面或节点边缘所引起梁内的剪力值达到或超过了构件所承受总剪力设计值的75%以上时，就需要按照集中荷载作用的独立梁来考虑其斜截面的受剪承载力。而且独立梁斜截面的承载力仍按照腹筋梁、无腹筋梁和仅配置箍筋的梁分别加以计算。

(1) 无腹筋独立梁

对于无腹筋的独立梁，梁内仅配置有纵向受拉钢筋而无箍筋和弯起钢筋，此时混凝土梁内斜截面的受剪承载力V_c仅由剪压区的混凝土提供，也就是以梁正截面混凝土的抗拉强度来估算，此时计算斜截面受剪承载力设计值V_u的经验公式为

$V_{\text{u}}=V_{\text{c}}=\frac{1.75}{\lambda +1}{f}_{\text{t}}b{h}_0$ (9)

式中λ为梁中计算截面的剪跨比，其无量纲。剪跨比λ由式(10)计算

$\lambda =\frac{M}{V{h}_0}$ (10)

式中M为梁计算截面上的弯矩，单位为N·m。其余符号含义同前。

由图1所示的简支梁受集中荷载F作用下可得剪切破坏面在集中荷载F处，此处的弯矩M = Va，将弯矩M = Va代入式(10)可得

$\lambda =\frac{a}{h_0}$ (11)

根据国家标准《混凝土结构设计标准》(2024年版)的规定，当λ < 1.5时取λ = 1.5，若λ > 3.0则取λ = 3.0。

(2) 仅配置有箍筋的梁

当混凝土梁内仅配置箍筋时，梁内斜截面的受剪承载力V_u由剪压区混凝土的剪力V_c和箍筋的剪力V_s构成，即混凝土独立梁斜截面承载力设计值V_u的表达式为

$V_{\text{u}}\le V_{\text{cs}}=V_{\text{c}}+V_{\text{s}}=\frac{1.75}{\lambda +1}{f}_{\text{t}}b{h}_0+f_{\text{yv}}\frac{A_{\text{sv}}}{s}{h}_0$ (12)

式中的符号含义同前。

(3) 腹筋梁

对于同时配置有箍筋和弯起钢筋的腹筋梁，其斜截面的受剪承载力设计值V_u是由斜截面混凝土的剪力V_c、箍筋的剪力V_s和弯起钢筋的剪力V_sb共同构成，即为

$V_{\text{u}}\le V_{\text{cs}}+V_{\text{sb}}=\frac{1.75}{\lambda +1}{f}_{\text{t}}b{h}_0+f_{\text{yv}}\frac{A_{\text{sv}}}{s}{h}_0+0.8f_{\text{y}}{A}_{\text{sb}}\sin {\alpha }_{\text{s}}$ (13)

式中的符号含义同前。

3.4. 混凝土受弯构件斜截面受剪承载力计算公式的使用范围

考虑到混凝土构件诸如板、T形梁和I形梁等受外部荷载作用下发生斜截面剪切破坏的原因较复杂，计算斜截面承载力的计算公式主要依据构件的剪压破坏，未能考虑构件的斜压和斜拉破坏，因此在工程应用中还需要考虑其使用范围。国家标准《混凝土结构设计标准》(2024年版)中就公式的应用范围给出了相关的要求[11]，具体内容如下：

(1) 当混凝土梁正截面的高度h < 150 mm并且其斜截面承受的剪力设计值V_u满足式(4)和式(9)时，将此类梁可设计为无腹筋梁，即在梁中可不配置箍筋和弯起钢筋，除此以外的混凝土梁包括受弯构件均需要按照构造要求配置腹筋。

(2) 对于正截面为矩形、T形和I形的混凝土梁或受弯构件，根据截面的几何尺寸来计算斜截面的受剪承载力，需要验算混凝土构件正截面的尺寸是否满足其承受最大剪力的要求。现有的经验公式为：

若h_w/b ≤ 4时，斜截面承受剪力的最大值V_max为

$V_{\max }=V_{\text{u}}\le 0.25{\beta }_{\text{c}}{f}_{\text{c}}b{h}_0$ (14)

若h_w/b ≥ 6时，斜截面承受剪力的最大值V_max为

$V_{\max }=V_{\text{u}}\le 0.2{\beta }_{\text{c}}{f}_{\text{c}}b{h}_0$ (15)

当4 < h_w/b < 6时按照线性内插法计算剪力的最大值，也可按照式(16)来计算斜截面承受的剪力最大值V_max

$V_{\max }=V_{\text{u}}\le 0.025\left(14-\frac{h_{\text{w}}}{b}\right){\beta }_{\text{c}}{f}_{\text{c}}b{h}_0$ (16)

式(14)、式(15)和式(16)中的β_c为混凝土强度影响系数，当混凝土强度等级为C50时取β = 1.0，当混凝土强度等级为C80时取β_c = 0.8，其间可按照线性内插法来确定[11] [12]。f_c为混凝土轴心抗压强度设计值，单位为N·mm⁻²。其余符号同前。h_w为混凝土构件正截面的高度，若构件为矩形截面时取截面的有效高度h_w = h₀。对于T形截面梁则取有效高度减去翼缘的高度，即$h_w=h_0-{h^{\prime }}_{\text{f}}$ ，而对于I形截面的梁则取其腹板的净高，即h_w = h₀。

当验算的梁截面尺寸不满足其承受剪力最大值时，就需要增加梁正截面的尺寸或提高梁的混凝土强度等级，以免出现箍筋超筋的现象。

(3) 混凝土梁或受弯构件中箍筋的配筋率ρ_sv应当满足最小配箍率ρ_sv,min的要求，混凝土梁或受弯构件中的配箍率ρ_sv可根据式(17)加以计算。

${\rho }_{\text{sv}}=\frac{n{A}_{\text{sv1}}}{bs}\le {\rho }_{\text{sv},\min }=0.24\frac{f_{\text{t}}}{f_{\text{yv}}}$ (17)

式中的符号含义同前。

若混凝土梁或受弯构件采用最小配箍率时，将式(17)代入式(6)可得斜截面所承受的剪力最大值V_max为

$V_{\max }\le V_{\text{u}}=V_{\text{c}}+V_{\text{s}}=0.7f_{\text{t}}b{h}_0+0.24f_{\text{t}}b{h}_0=0.94f_{\text{t}}b{h}_0$ (18)

对于矩形、T形和I形截面的混凝土受弯构件，当$V_{\max }\le 0.94f_{\text{t}}b{h}_0$ 时可按照构造配置箍筋。对于集中荷载作用下的独立梁，当剪力V_u满足式(19)时可直接按照最小配箍率配置受弯构件内的箍筋。

$V_{\max }\le \left(\frac{1.75}{\lambda +1}+0.24\right)f_{\text{t}}b{h}_0$ (19)

式中的各符号含义同前。

3.5. 考虑混凝土受弯构件斜截面剪力计算值的截面尺寸复核

以上讲解了针对混凝土简支梁、T形和I形截面梁以及集中荷载作用下独立梁受荷载作用下斜截面受剪承载力的相应计算方法，为便于学生对所学内容加深印象，可进一步使学生明确计算混凝土受弯构件斜截面受剪承载力的目的就是要确定抵抗构件产生斜裂缝的箍筋和弯起钢筋。结合混凝土受弯构件腹筋计算与设计的基本步骤，在计算其斜截面受剪承载力和设计腹筋时已知的设计参数主要有：混凝土构件斜截面的剪力设计值V、混凝土构件正截面的几何参数如截面的宽度b和高度h、混凝土的轴心抗压强度设计值f_c、混凝土轴心抗拉强度设计值f_t、纵向普通受力钢筋抗拉强度设计值f_y、箍筋抗拉强度设计值f_yv，利用上述参数就可以求解抵抗斜截面压剪破坏的箍筋和弯起钢筋。

由于混凝土受弯构件在集中荷载作用下的斜裂缝通常从构件的底部出现，而且发生的位置也靠近支座或节点部位。因此对于如图1所示的混凝土简支梁、T形梁和I形梁等受弯构件而言，要进行受弯构件斜截面受剪承载力的计算，还需要依据斜截面能够承受的最大剪力值来确定构件的正截面尺寸是否能够承受斜截面上的最大剪力值。根据混凝土受弯构件斜截面最大剪力值验算横截面尺寸时可以按照以下4种模式选取构件上斜截面的具体位置：

(1) 混凝土受弯构件在支座处的斜截面，具体位置可选图5中的1-1截面；

(2) 混凝土受弯构件受拉区弯起钢筋弯起点处的斜截面，其位置可选图5中的2-2和3-3截面；

(3) 混凝土构件中箍筋截面面积或间距发生变化的截面，具体见图5中的4-4截面；

(4) 混凝土受弯构件截面尺寸或T形梁、I形梁腹板宽度变化处的截面。

Figure 5. Determination of position of oblique section in flexural concrete member

图5. 混凝土受弯构件中斜截面位置的选取

图5中明确示出了计算混凝土受弯构件斜截面受剪承载力时需要考虑的构件中斜截面的具体位置。也就是在设计混凝土受弯构件的箍筋和弯起钢筋时，可选取图5中所示的斜截面位置来计算该斜截面上的受剪承载力。

4. 工程案例设计

以上讲解了混凝土受弯构件斜截面受剪承载力计算的基本思路和方法。为便于学生更加直观地理解和掌握混凝土受弯构件斜截面承载力计算和腹筋设计的方法，以T形截面简支梁和某地铁地下车站顶板为工程案例，对具体的计算和设计过程予以讲解。

4.1. T形截面简支梁腹筋设计

以图6所示的T形正截面混凝土简支梁为例，就混凝土T形简支梁斜截面受剪承载力和箍筋与弯起钢筋进行计算和设计。

Figure 6. Load bearing model of T-shaped simply supported beam (Unit: mm)

图6. T形简支梁承载模型(单位：mm)

T形截面简支梁所承受的荷载见图6(a)，其正截面尺寸见图6(b)。T形梁所承受的集中荷载F = 360 kN，其上还承受有均布线荷载为q = 30 kN·m⁻¹，梁的净跨度l_n = 3660 mm，梁的高度h = 650 mm，有效高度h₀ = 585 mm，梁的腹板宽度b = 250 mm，翼缘宽度为b’_f = 600 mm，翼缘高度为${h^{\prime }}_{\text{f}}=120\text{mm}$ 。该T形截面梁采用混凝土强度等级C30进行建造，C30混凝土的轴心抗压强度设计值f_c = 14.3 N·mm⁻²，其轴心抗拉强度设计值为f_t = 1.43 N·mm⁻² [11] [12]。

经过对其正截面承载力的计算，确定纵向受力普通钢筋为HRB400级钢筋，其抗拉强度设计值为f_y = 360 N·mm⁻²，按照双排布置6根Φ22HRB400级钢筋。拟采用HRB400级箍筋，其抗压屈服强度为f_yv = 360 N·mm⁻² [11] [12]，则需要计算和设计该T梁中抵抗斜截面受剪破坏的箍筋和弯起钢筋。计算前先选取图5中所示的1-1斜截面作为简支梁支座处的斜截面。该斜截面上承载力的具体计算过程如下：

(1) 计算T形简支梁在支座处斜截面所承受的剪力设计值。

由于简支梁承受集中荷载F和均布线荷载q的共同作用，因此需要分别计算两者在支座处的剪力。将图6简化为由铰支座支撑的简支梁，见图7。

Figure 7. Load bearing model of simply supported beam (Unit: mm)

图7. 简支梁承载模型(单位：mm)

从图7可得由均布线荷载q在支座处斜截面上的剪力设计值V_q为

$V_{\text{q}}=\frac{1}{2}q{l}_{\text{n}}=\frac{1}{2}\times 30\times 3.66=54.9\left(kN\right)$ (20)

由集中荷载F在支座处斜截面的剪力设计值V_F为

$V_{\text{F}}=\frac{1}{2}F=\frac{1}{2}\times 360=180\left(kN\right)$ (21)

由此得到集中荷载F和均布线荷载q在支座处梁内斜截面上的总剪力设计值为 $V=V_q+V_F=234.9\text{kN}$ 。分析集中荷载所引起的剪力占总剪力值的百分比η为

$\eta =\frac{V_F}{V}=\frac{180}{234.9}=76.6\%$ (22)

由于集中荷载F所引起的支座斜截面处的剪力V_F超过了总剪力值V的75%，因此该T形梁斜截面受剪承载力需要按照集中荷载作用下的独立梁进行计算。

(2) 验算T形梁横截面的尺寸

考虑到该简支梁为T形梁，则梁正截面腹板的高度h_w见图6(b)所示，其值为

$h_{\text{w}}=h_0-{h^{\prime }}_{\text{f}}=585-120=465\left(\text{mm}\right)$ (23)

从而根据式(14)有

$\frac{h_{\text{w}}}{b}=\frac{465}{250}=1.86<4$ (24)

则支座处T梁沿计算斜截面1-1所能承受的最大剪力V_max可由式(14)计算得到

$V_{\max }=0.25{\beta }_{\text{c}}{f}_{\text{c}}{h}_{0}b=0.25\times 1\times 14.3\times 585\times 250=522.84\left(\text{kN}\right)$ (25)

根据式(25)可得，由于支座在斜截面处的总剪力设计值$V=234.9\text{kN}<V_{\max }=522.84\text{kN}$ ，故混凝土T形梁的正截面尺寸能够满足斜截面承受总剪力设计值V的要求。

(3) 判断在总剪力设计值V作用下T梁是否需要配置腹筋。

首先计算T形简支梁计算截面的剪跨比λ，根据式(11)可得剪跨比λ为

$\lambda =\frac{a}{h_0}=\frac{1.83}{0.585}=3.12>3$ (26)

则取剪跨比λ = 3。此时需要计算不考虑腹筋时T梁支座处斜截面所能承受的最大剪力V_max为

$V_{\max }=\frac{1.75}{\lambda +1}{f}_{\text{t}}b{h}_0=\frac{1.75}{3+1}\times 1.43\times 250\times 585=91.50\left(kN\right)$ (27)

由式(27)得到不考虑腹筋时T梁在支座处斜截面所能承受的最大剪力为V_max = 91.50 kN，而支座处斜截面的总剪力设计值V = 234.9 kN，则有$V=234.9\text{kN}>V_{\max }=91.50\text{kN}$ 。由此表明若不设置腹筋时支座处斜截面的剪力设计值超过其最大承载力，因此在T形梁中必须要设计腹筋。

(4) 根据表1中的构造要求，T形简支梁在支座处斜截面的总剪力设计值V = 234.9 kN，而0.7f_tbh₀的值为146.39 kN，由于$V=234.9\text{kN}>0.7f_{\text{t}}b{h}_0=146.39\text{kN}$ ，且梁的高度h = 650 mm，故根据表1可得，箍筋的最大间距不得超过250 mm。因而先选用双肢箍筋HRB400级Φ8@150，箍筋的截面积A_sv1 = 50.3 mm² [11] [12]，箍筋的间距s = 150 mm。

则验算箍筋的配筋率，由式(17)得到T形梁在支座处的配箍率ρ_sv为

${\rho }_{\text{sv}}=\frac{n{A}_{\text{sv}1}}{bs}=\frac{2\times 50.3}{250\times 150}=0.268\%$ (28)

箍筋的最小配筋率ρ_sv,min为

${\rho }_{\text{sv},\min }=0.24\frac{f_{\text{t}}}{f_{\text{yv}}}=0.24\times \frac{1.43}{360}=0.095\%$ (29)

根据式(28)和式(29)的结果可见，根据构造要求，T形梁中箍筋的配箍率大于最小配箍率，因此按照构造要求选用的箍筋满足国家标准中对箍筋最小配箍率的要求。

(5) 计算腹筋中的弯起钢筋

弯起钢筋的计算需要从支座斜截面承担的总剪力设计值V中扣除支座处T形梁在斜截面混凝土剪压区的剪力V_c和箍筋所承担的剪力V_s，然后再利用弯起钢筋所承受的剪力计算公式(7)即可求得弯起钢筋的截面面积。

T梁中斜截面混凝土所承担的剪力V_c和斜截面箍筋的剪力V_s可由式(12)计算，则有

$V_{\text{cs}}=V_{\text{c}}+V_{\text{s}}=\frac{1.75}{\lambda +1}{f}_{\text{t}}b{h}_0+f_{\text{yv}}\frac{A_{\text{sv}}}{s}{h}_0=\frac{1.75}{3+1}\times 1.43\times 250\times 585+360\times \frac{2\times 50.3}{150}\times 585=232.7\left(\text{kN}\right)$ (30)

而T梁中弯起钢筋所承受的剪力V_sb为

$V_{\text{sb}}=V-\left(V_{\text{c}}+V_{\text{s}}\right)$ (31)

则弯起钢筋所承受的剪力V_sb可以利用式(7)得到，并取弯起钢筋的轴线与T梁纵轴线之间的夹角α_s = 45˚，则有

$V_{\text{sb}}=V-\left(V_{\text{c}}+V_{\text{s}}\right)=0.8f_{\text{y}}{A}_{\text{sb}}\sin {\alpha }_{\text{s}}$ (32)

利用式(32)可计算得到弯起钢筋的横截面面积A_sb，即

$A_{\text{sb}}=\frac{V-\left(V_{\text{c}}+V_{\text{s}}\right)}{0.8f_{\text{y}}\sin {\alpha }_{\text{s}}}=\frac{\left(234.9-232.7\right)\times {10}^3}{0.8\times 360\times \sin 45°}=10.8{\text{mm}}^2$ (33)

由式(33)得到弯起钢筋的横截面面积A_sb = 10.8 mm²。因而仅需要将受拉区纵向钢筋弯起一根即可满足承载力的要求。即弯起1根Φ22HRB400级钢筋，则由A_sb = 380.1 mm²。

从式(33)可得，由于弯起钢筋的横截面面积较小，说明箍筋的间距偏小，可适当增加箍筋的间距。现将箍筋的间距从150 mm调整为250 mm，该间距仍满足表1中的规定，则由斜截面箍筋和混凝土承担的剪力V_c + V_s为

$V_{\text{c}}+V_{\text{s}}=\frac{1.75}{\lambda +1}{f}_{\text{t}}b{h}_0+f_{\text{yv}}\frac{A_{\text{sv}}}{s}{h}_0=\frac{1.75}{3+1}\times 1.43\times 250\times 585+360\times \frac{2\times 50.3}{250}\times 585=176.3\left(\text{kN}\right)$ (34)

从而将式(34)的中V_c + V_s之值再代入式(33)可得到T形梁中支座部位弯起钢筋的横截面积为

$A_{\text{sb}}=\frac{V-\left(V_{\text{c}}+V_{\text{s}}\right)}{0.8f_{\text{y}}\sin {\alpha }_s}=\frac{\left(234.9-176.3\right)\times {10}^3}{0.8\times 360\times \sin 45°}=287.7{\text{mm}}^2$ (35)

由式(35)得到弯起钢筋的横截面面积A_sb = 287.7 mm²。因而也仅需要将受拉区纵向钢筋弯起一根即可满足斜截面弯剪承载力的要求，因此弯起1根Φ22HRB400级钢筋，使A_sb = 380.1 mm²。

T形梁支座处的弯起钢筋设置的示意图见图5。

(6) 计算第2排弯起钢筋

在计算第2排弯起钢筋时需要先确定第1排弯起钢筋的弯终点至梁支座的水平距离。根据构造要求，支座处第1排弯起钢筋弯终点至梁支座的水平距离不应大于表1中的要求，且不得小于50 mm。所以可令第1排弯起钢筋的弯终点至支座边缘的水平距离50 mm，由于弯起钢筋与梁轴线的夹角为α_s = 45˚，考虑到T形梁中钢筋的保护层厚度取35 mm，则第1排弯起钢筋弯起段的水平投影长度为

$50+\left(650-2\times 35\right)tan{45}^{\circ }=630\left(mm\right)$ (36)

此时第2点的截面剪力为

$V_2=\left(234.9-30\times 0.63\right)=216\left(\text{kN}\right)$ (37)

由此得到第2点的截面剪力$V_2=216\text{kN}<V_{\text{cs}}=232.7\text{kN}$ ，所以不再需要配置第2排弯起钢筋。T形简支梁的配筋图见图8，横断面配筋图见图6(b)。

Figure 8. Diagram of reinforcement for T-shaped beam

图8. T形梁配筋图

4.2. 地铁地下车站的顶板

现以采用明挖法建造的地铁地下两层矩形横断面框架结构车站为例，就其钢筋混凝土框架结构中顶板的箍筋和弯起钢筋进行设计。经过对该车站框架结构在地层土压力和地下水压力等永久荷载组合作用下的内力计算，该地铁车站各构件中的剪力分布见图9。从图9中车站各构件的剪力分布图可知，车站的顶板、中间楼板和底板以及侧墙在节点处的剪力值较大。以车站底板为例，底板与边墙节点处的剪力设计值V = 618.8 kN。

设明挖现浇地铁车站采用的混凝土强度等级为C30，其轴心抗压强度设计值为f_c = 14.3 N/mm²，轴心抗拉强度设计值为f_t = 1.43 N/mm²，受力钢筋为HRB400级，其抗拉和抗压强度的设计值均为 $f_{\text{y}}={f^{\prime }}_{\text{y}}=360\text{N}/{\text{mm}}^{\text{2}}$ [11] [12]。车站底板的厚度为h = 800 mm，取沿车站纵向的长度为b = 1000 mm。则底板正截面的尺寸为b × h = 1000 mm × 800 mm，并取$a_{\text{s}}={a^{\prime }}_{\text{s}}=40\text{mm}$ ，则h₀ = 760 mm。

Figure 9. Diagram of shear forces in frame structure of a subway station (Dimensional unit: mm)

图9. 某地铁车站框架结构的剪力图(几何尺寸单位：mm)

根据式(2)可得，底板在与侧墙节点处所能承受的斜截面剪力的最大值为

$V_{\max }\le 0.7{\beta }_{\text{h}}{f}_{\text{t}}b{h}_0=0.7\times 1\times 1.43\times 1000\times 760=760.8\left(\text{kN}\right)$ (38)

而底板的剪力设计值为V = 618.8 kN，由于该值小于所底板斜截面所能承受的最大剪力760.8 kN。可按照构造配置箍筋，选取5肢HRB400级Φ12@250作底板的箍筋，单肢箍筋的横截面面积A₁ = 113.1 mm²，箍筋的间距s = 250 mm。则底板的箍筋配筋率可根据式(17)计算，其值为

${\rho }_{\text{sv}}=\frac{n{A}_{\text{sv}1}}{bs}=\frac{5\times 113.1}{1000\times 250}=0.23\%$ (39)

车站底板箍筋的最小配筋率可按照式(17)计算，其值为

${\rho }_{\text{sv},\min }=0.24\frac{f_{\text{t}}}{f_{\text{yv}}}=0.24\times \frac{1.43}{360}=0.095\%$ (40)

根据式(39)和式(40)的计算结果可知，按照构造要求选用底板上的箍筋配筋率0.23%大于箍筋的最小配箍率，因而底板的箍筋满足最小配箍率的要求。

此外，根据对车站底板正截面受压承载力的计算，车站的底板属于大偏心受压构件，并基于偏心受压构件的计算得到了底板纵向受力钢筋，具体的计算过程和结果见文献[10]，结合上述的对底板斜截面承载力计算而配置的箍筋，得到了车站底板处于大偏心受压的配筋图见图10。

Figure 10. Diagram of reinforcement in floor slab of a subway station (Unit: mm)

图10. 车站底板的配筋图(单位：mm)

至此完成了T形截面梁和某地铁车站底板斜截面承载力和腹筋的设计。通过对上述2个工程案例的斜截面受剪承载力和腹筋设计方法和过程的讲解，使学生和阅读者能够较清晰地了解和掌握混凝土受弯构件斜截面受剪承载力和腹筋的设计方法。

5. 讨论

前文已述及，由于影响混凝土受弯构件沿斜截面发生剪切破坏的因素众多，且导致混凝土构件沿斜截面发生剪切破坏的原因也较为复杂，目前我国所采用的计算混凝土受弯构件斜截面受剪承载力的公式是建立在大量室内试验和理论分析基础上的经验公式，而不是基于力学模型并经过严密数学推演所给出的计算表达式。虽然国内主要的教学参考书中也直接列出了计算混凝土受弯构件斜截面受剪承载力的经验公式，但未明确说明计算公式的推演过程和物理意义。通常教师在向学生讲授这部分的内容时均会直接引用教学参考书中所列举的内容，而学生也只能被动地接受教师所讲授的内容，并不能从原理和技术路线上理解与掌握计算方法及其相应的知识点，因而教师以教学参考书中列出的方法和内容进行讲解时不易被学生理解和接受。此外，经验公式的建立和混凝土受弯构件腹筋的设计还有赖于读者一定的工程经验，而本科学生尚缺乏工程实践和经验，因而学生对这部分内容的学习和理解还存在比较大的难度。为便于课程的讲解，使学生能够容易理解和掌握相应的计算方法和设计过程，针对混凝土受弯构件斜截面受剪承载力计算和腹筋设计的教学内容，可先讲解易于被学生理解和掌握的简支梁，讲解受集中荷载作用下简支梁的内力及其分布特点，并讲解简支梁受剪弯试验时沿斜截面发生剪切破坏的模式。根据试验破坏模式给出分析斜截面受剪承载力的假设条件，由此分别给出矩形截面梁、T形截面梁和I形截面梁斜截面受剪承载力的组成和相应的经验公式。然后再结合2个具体的工程案例，分别讲解受弯构件斜截面受剪承载力和腹筋的计算与设计过程。如此设计的教学内容体现了从简单至复杂和由浅入深的认知过程，更有利于学生的理解和掌握，并能够使学生按照所讲解工程案例计算的过程熟悉和掌握混凝土受弯构件斜截面受剪承载力计算和腹筋设计的方法。

其中具有引导和启发学生开展创新思维的内容就是基于室内试验所提出的简支梁受集中荷载下发生剪切破坏的假设和基于假设将混凝土受弯构件斜截面的承载力简化为3个部分，即混凝土受弯构件斜截面剪压区混凝土所承受的剪力V_c、在斜截面区域配置的箍筋所承受的剪力V_s和斜截面处配置的弯起钢筋所承受的剪力V_sb。由于目前尚无直接计算混凝土剪压区的剪力V_c的理论公式，因而目前是根据大量试验测试的结果利用混凝土梁正截面的抗拉强度来近似计算混凝土受弯构件斜截面上的剪力设计值，如此简化便于学生和阅读者理解和掌握。此外根据简支梁是否仅配置有抵抗剪切破坏的箍筋、是否配置弯起钢筋和腹筋3种模式来分别计算混凝土受弯构件中仅配置有箍筋的梁、无腹筋梁和包含箍筋与弯起钢筋的腹筋梁中斜截面的受剪承载力，如此将复杂且难以量化的混凝土受弯构件斜截面的受剪承载力简化为易于用数学方法表示的经验公式，也使得混凝土受弯构件斜截面承载力的计算和腹筋设计的思路更加清晰，易于学生和阅读者的理解与掌握。

以上研究和总结了钢筋混凝土受弯构件斜截面受剪承载力和腹筋计算方法的教学设计，为提高课程的教学质量，易于学生的理解和掌握，在课程教学过程中除了教师在课堂上按照上述的教学设计讲授混凝土受弯构件斜截面承载力的知识点和设计方法以外，还需要引导学生积极参与课程的教学活动。在讲授课程内容之前，教师要明确告知学生，授课中教师会根据教学内容的进程来安排课堂随机测验和课堂提问与讨论，进而促使和引导学生积极参与课堂教学。具体的做法如在讲授混凝土受弯构件斜截面受剪承载力和腹筋计算方法时，在课堂上随机抽取2~3名学生，结合教师所讲授过的内容，让被抽到的学生简述诸如混凝土受弯构件斜截面受剪承载力分析的3个假设和斜截面总剪力值的3个组成部分，以及混凝土受弯构件仅配置箍筋时斜截面剪力的组成和计算方法等。例如，在课堂讲授混凝土受弯构件中仅配置箍筋时斜截面承载力计算方法时，先后随机抽点了3名同学来回答简支梁斜截面受剪承载力的构成，所抽点的3名同学均能够清楚地回答简支梁斜截面承载力由剪压区混凝土剪力V_c和箍筋剪力V_s构成，并且还能够写出相对应的经验公式，由此表明学生通过课堂的讲解已理解和掌握了此部分的知识点。此外，也可根据课程讲解的内容安排随堂测验或发放问卷调查，要求全体学生在课堂结束前用5~10 min完成随堂测验和问卷填写，以了解和考察学生对教师所讲授内容的理解和掌握程度。又如，为了解学生对混凝土受弯构件中弯起钢筋所受剪力计算方法的掌握状况，在课堂讲授完此部分内容后，向全班30名同学布置了如何计算混凝土受弯构件中仅配置弯起钢筋时其所承受剪力计算方法的随堂测验，要求所有学生以书面答题的方式在下课前的10 min内完成。从30名学生提交的答卷分析，96.2%的同学均能较正确地回答出该问题，由此也表明所采用的教学设计和讲授的内容与知识点已被大部分学生所理解和掌握。同时，针对混凝土受弯构件斜截面承载力设计的教学内容，教师还需要向学生布置相应的课程设计，其内容可涉及到地铁车站框架结构中的顶板、中板、底板、边墙、纵梁以及地下区间隧道中的混凝土二次衬砌等受弯构件斜截面受剪承载力的计算和腹筋的设计，使学生在课后结合教师课堂教学所使用的讲义、教学参考书以及在线资源如中国大学MOOC、百度、知网和ChatGPT等互联网在线资源完成课程设计，其目的在于督促和加深学生对所学内容中基本概念和基本原理以及计算方法的理解和掌握，使学生能够应用所学知识开展混凝土受弯构件的结构设计，同时还可要求学生根据其个人的认知程度进行适当的创新设计。教师则根据学生在课堂上的参与程度和学生课后完成课程设计的状况，及时对教学内容和知识点进行补充、调整和完善，并在课堂上向学生进行讲评，进而提高课程的教学质量，引导学生理解和掌握混凝土受弯构件斜截面受剪承载力计算和腹筋设计的方法与过程。

此外，就文中总结的教学方法而言，还可以从以下方面开展研究。即为提高课程的教学质量，增加学生学习本课程的兴趣和积极性，一方面可适当邀请国内从事地铁和轻轨结构设计和建造的专业人员来校向学生讲解地铁结构设计的过程和方法以及工程应用，并根据授课的内容，带领学生到成都地铁在建的施工现场进行工程实践和学习，加深学生对所学知识的感性认识，有利于增加学生的工程经验和拓宽学生的知识面；另一方面也需要研究在教学过程中引入人工智能技术如ChatGPT、虚拟仿真、工程案例视频、数字化教材以及教师与学生线上和线下互动等方式，充分利用微信、QQ等、抖音等网络视频和通讯工具，就学生在学习过程中对所遇到的问题进行在线交流与解答，帮助学生理解和掌握教学内容和相应的知识点，进而提高课程的教学质量和学生学习的效果。

利用上述的混凝土受弯构件斜截面承载力计算和腹筋配置教学内容的设计，于2019年~2024学年间为我校土木工程和城市地下空间工程专业本科生而开设的《地下铁道与轻轨》课程中进行了教学实践。通过对选修该课程学生学习质量和效果的考核，约96%以上的学生均能正确理解和掌握混凝土受弯构件斜截面承载力和腹筋配置的计算与设计方法，达到了课程教学大纲所要求的学生应掌握钢筋混凝土受弯构件斜截面承载力和腹筋设计能力要求的教学目标，且教学效果良好。

6. 结论

作为《地下铁道与轻轨》课程中重要的教学内容之一，混凝土受弯构件斜截面承载力的计算和腹筋的配置主要基于试验和理论研究的结果，而此部分内容侧重于概念的讲解和工程经验的应用，如何使学生在理解概念的基础上掌握混凝土受弯构件斜截面受剪承载力的构成及其计算以及腹筋的设计方法，是教师结合课程教学大纲进行教学内容组织、设计和讲授的主要研究工作和难点之一。本文结合对混凝土受弯构件斜截面承载力和腹筋设计与计算方法的教学实践，研究和总结了混凝土受弯构件斜截面受剪承载力、斜截面中箍筋、弯起钢筋计算方法的教学组织和设计，给出了教学实践的具体做法，通过具体的教学实践，可提高学生的学习质量。现将课堂教学内容组织与设计以及讲解的思路总结如下：

(1) 课程讲解中首先以较为简单的简支梁为例，使学生明确简支梁在集中荷载作用下纯弯段和剪弯段的分布以及其正截面内剪力和弯矩的计算方法。

(2) 讲解混凝土受弯构件在集中荷载作用下弯剪破坏的模式，并以矩形正截面简支梁为例讲解在分析简支梁斜截面剪力时需要的假设条件，并基于假设条件给出计算混凝土受弯构件斜截面剪压区的剪力V_c、斜截面箍筋的剪力V_s和弯起钢筋引起剪力V_sb的经验公式，并讲解混凝土受弯构件配置腹筋时斜截面受剪承载力设计值和最大值的计算方法。

(3) 根据矩形正截面梁、T形截面梁和I形截面梁以及集中荷载作用下独立梁的斜截面在无腹筋、仅配置箍筋以及配置腹筋时的承载力计算方法，同时结合国家颁布的混凝土结构设计标准、工程经验和2个工程案例来讲授混凝土受弯构件中腹筋的计算方法和设计过程。

(4) 在课程教学过程中还需要积极引导学生参与教学，使学生完成课堂内与教师的互动如问题简答、单元测验、问卷调查等，并向学生布置与讲授内容相对应的课程设计，由学生在课后独立完成，以督促和逐步引导学生利用所学知识开展混凝土受弯构件中腹筋梁的设计，并增强学生的工程经验和树立创新意识。

课程教学中始终贯穿从简单概念到复杂理论计算与工程实践相结合以及由浅入深的教学理念，并以混凝土受弯构件在特殊条件下斜截面受剪承载力的计算方法引导学生开展创新思维，拓宽学生的知识面，进而使学生掌握计算方法，保证课程的教学质量。

通过教学实践表明，上述的教学设计在课堂教学中能使学生更容易理解和掌握与混凝土受弯构件斜截面承载力计算和腹筋设计相关的基本概念、基本原理与计算方法，也有利于达到预期的教学目标，进而培养和提高学生分析与解决工程问题的能力，更有利于引导学生逐步树立创新意识。

基金项目

本文的研究得到四川省2021~2023年高等教育人才培养质量和教学改革项目“服务交通强国，聚焦智能建造”(JG2021-258)的支持，并得到了西南交通大学课堂教学与改革项目的支持。