永磁同步电机温度场降阶模型的构建

Construction of a Reduced Order Model for the Temperature Field of a Permanent Magnet Synchronous Motor

摘要: 在新能源汽车产业中，电机作为动力转换的核心部件，而永磁同步电机因其出色的功率密度、效率以及过载能力，在新能源汽车领域中获得了广泛的应用。为研究电机的整体温度场，针对传统电机中温度传感器安装不便不易测量，且通过仿真分析求解温度场时存在模型自由度大导致求解时间长的问题，本文以南普品牌48V1.5KW60H23110404005型号的12槽10极逆变器供电车用变频永磁同步电机为研究对象，首先，在Maxwell软件中对电机进行电磁损耗分析，再以损耗作为载荷输入在ANSYS Workbench中分析电机的温度场。然后采用拉丁超立方抽样法构建电机模型在不同转速工况下的样本矩阵，并分析计算样本集的温度场，对得到的温度场样本集采用本征正交分解法(proper orthogonal decomposition, POD)构建电机温度场的降阶模型并在Twin Builder中实现可视化显示。最后，利用构建的降阶模型快速计算电机的温度场分布，比较与全阶模型的计算误差与求解时间。结果表明，4阶模型计算结果的均方根误差为0.056%，符合POD误差规范要求，构建的降阶模型相较原全阶模型的计算时长由1740 s降至0.74 s，大大提升了温度场的求解效率，验证了该降阶模型的准确性与时效性。

Abstract: In the new energy vehicle industry, the motor is the core component of power conversion, and the permanent magnet synchronous motor (PMSM) has been widely used in the new energy vehicle field due to its excellent power density, efficiency and overload capacity. In order to study the overall temperature field of the motor, for the traditional motor temperature sensor installation is inconvenient and not easy to measure, and through simulation analysis to solve the temperature field there are large degrees of freedom of the model resulting in a long time to solve the problem, this paper is the south of the brand 48V1.5KW60H23110404005 model of 12-slot 10-pole inverter-powered automotive inverter PM synchronous motor as the object of the study, first of all, the motor was analyzed by Maxwell software. Firstly, the electromagnetic loss of the motor is analyzed in Maxwell software, and then the temperature field of the motor is analyzed in ANSYS Workbench with the loss as the load input. Then, the Latin hypercube sampling method is used to construct the sample matrix of the motor model under different rotational speed conditions, and the temperature field of the sample set is analyzed and calculated. The sample set of the temperature field obtained is used to construct a reduced-order model of the temperature field of the motor by using the method of Proper Orthogonal Decomposition (POD), and is visualized in Twin Builder. display in Twin Builder. Finally, the temperature field distribution of the motor is quickly calculated using the constructed reduced-order model, and the computational errors and solution times are compared with those of the full-order model. The results show that the root-mean-square error of the fourth-order model is 0.056%, which meets the requirements of the POD error specification, and the computation time of the constructed reduced-order model compared with the full-order model is reduced from 1740s to 0.74s, which greatly improves the efficiency of the temperature field, and verifies the accuracy and timeliness of the reduced-order model.

1. 引言

新能源汽车作为国家节能环保和技术发展战略的重点支持领域之一，近年来受到广泛关注，目前新能源汽车驱动电机主要有永磁同步和交流异步两种类型，永磁同步电机由于具有结构紧凑、质量轻、功率密度高且运行效率高，特别是在低速区输出转矩大等特点，在国内成为新能源汽车驱动电机的首选[1]。永磁同步电机在工作时的各类损耗会导致电机的温升过高，而由于高温致使绕组绝缘受损、铁心破坏，加之永磁体热稳定性等问题导致电机使用寿命缩短甚至损坏[2]。为了延长电机的使用寿命，对电机温度进行监测很有必要。对于电机热分析常用的是有限元分析法，有限元分析的方法主要用于理想条件下电机的热分析，其精确度受到电机模型精确度及边界条件设置的影响，并且计算复杂，无法在汽车嵌入式系统中对温度进行在线估计[3]。

数字孪生技术给电机温度预测提供了新的解决思路，通过建立物理样机的数字孪生体，并对孪生模型数据进行分析，可模拟实际电机在不同工况下的温度变化，从而实现电机温度预测。目前依靠传统数值模拟方法(如有限元法、有限体积法等)求解物理场计算问题的研究已成熟，但由于传统有限元模型自由度高、且需要同时对空间域与时间域进行离散，导致计算量庞大、计算时间长达小时级，不适用于数字孪生模型。基于模型降阶技术的计算时间量级可由传统有限元模型计算小时级提高至降阶模型计算秒级。因此，在满足计算精度的同时对控制方程适当降低运算阶数，用计算量较小的降阶模型求解场分布，从而实现快速计算[4]，对于构建电机温度场数字孪生模型具有重要意义。Luca等[5]采用降阶数值建模方法，精确计算牵引电机在占空比下的热效应。汪等[6]建立降阶模型对水库水体温度场数据进行降阶处理，选择合适的模态阶数，重构出准确的温度场分布。杨等[7]综合利用伽辽金投影法和径向基函数插值法构造了参数化流动传热问题的降阶模型。刘等[8]提出一种结构保留的本征正交分解(SPOD)与离散经验插值方法(DEIM)相结合的降阶段计算方法，研究表明基于SPOD-DEIM的有限元降阶计算能够在保证精度的前提下有效提高计算效率。将POD与有限元方法相结合可对基于偏微分方程的物理场搭建降阶模型，实现物理场快速计算[9] [10]。上述关于构建物理场降阶模型的研究取得了较好的研究结果，然而针对电机温度场的降阶模型的研究还相对比较少。

因此，本文在Maxwell软件中构建了一台永磁同步电机的虚拟模型，分析模型在不同工况转速下的各类损耗，以损耗作为载荷输入，采用拉丁超立方抽样法构建该模型在不同工况下的样本矩阵作为输入参数样本集，然后在ANSYS软件中分析电机在不同工况下样本集的温度场，然后对得到的温度样本矩阵采用POD方法构建温度场的降阶模型，并在Twin Builder软件中实现降阶模型的可视化显示，实现对电机整体温度场完全脱离有限元仿真环境的全局计算，极大提高了电机温度状态的计算速度，并验证了该降阶模型的准确性与时效性。

2. 电机损耗分析

永磁同步电机在工作时会产生各类损耗，这些损耗最终会导致电机温度升高，其中，对电机温升有较大影响的是绕组铜损、定子铁心损耗、转子铁心损耗、永磁体涡流损耗和机械损耗。其中绕组铜损是电流通过绕组而产生的损耗，铁心损耗和涡流损耗则是由于磁场发生变化而产生的损耗，机械损耗则主要是轴承的摩擦损耗。而其余的损耗占比很小对电机温升影响很小可以忽略不计。所以对电机进行温度场分析时要先计算电机的各类损耗。本文以南普品牌型号为48V1.5KW60H23110404005的12槽10极逆变器供电车用变频永磁同步电机为研究对象，其主要参数如表1所示。

Table 1. Basic parameters of permanent magnet synchronous motor

表1. 永磁同步电机基本参数

参数	值	参数	值
额定转速/(r/min)	2000	槽数/极数	12/10
额定转矩/N·m	7.16	永磁体内置形式	V型
额定电流/A	50	定子内径/mm	74
额定功率/kW	1.5	转子外径/mm	72.8

Figure 1. 2D finite element model of permanent magnet synchronous motor

图1. 永磁同步电机二维有限元模型

根据以上参数通过Maxwell软件建立该内置式永磁同步电机的二维有限元模型如图1所示，构建电机有限元模型，需创建Band域将运动部件包含在空气部件中，这样有利于将运动部件和固定部件分隔开。并根据不同工况设置相应参数对电机进行损耗分析计算。

以2000 rpm空载转速为例，对该电机模型进行损耗仿真分析计算。其中绕组铜耗是由电流通过绕组而产生的损耗，由于Ansys Maxwell仿真软件计算的绕组铜耗是在2D条件下计算，所以在计算过程中仅仅考虑了电机的长度，而电机端部的绕组没有被考虑进去，所以计算出来的铜耗会比实际值来得小一些，图2为电机在2000 rpm空载转速下的绕组铜耗曲线图，平均铜耗P1约为42 W。

Figure 2. Winding copper consumption curves of permanent magnet synchronous motor

图2. 永磁同步电机的绕组铜耗曲线

对电机进行铁心损耗仿真计算时需对铁心材料定义铁心损耗模型，在Maxwell中可以以材料的损耗特征的外特性曲线(B-P曲线)的形式设置，也可以通过B-P曲线拟合出损耗系数，再通过损耗系数进行设置。图3为铁芯材料DW315_50的B-P曲线。

Figure 3. The B-P curve of DW315_50

图3. DW315_50 B-P曲线

图4为通过有限元软件计算的电机在2000 rpm空载转速下的定子铁心损耗曲线图，铁心损耗从0开始递增并逐步趋于稳定，平均定子铁心损耗P2约为19 W。图5为转子铁心损耗曲线图，转子铁心的平均损耗P3约为1.4 W，转子铁心损耗相较于定子铁心的损耗要小很多。

Figure 4. Stator core loss curve of permanent magnet synchronous motor

图4. 永磁同步电机定子铁心损耗曲线

Figure 5. Rotor core loss curve of permanent magnet synchronous motor

图5. 永磁同步电机转子铁心损耗曲线

Figure 6. Eddy current loss curves of permanent magnet synchronous motor

图6. 永磁同步电机的涡流损耗曲线

一般对永磁体进行涡流损耗分析，只需要设置永磁体材料的电导率即可，图6为电机在2000 rpm空载转速下的涡流损耗曲线，平均损耗P4约为0.95 W。

轴承的摩擦是决定轴承发热和运行温度的关键因素。滚动轴承的摩擦损失在轴承内部几乎都转化成了热量，从而导致轴承温度上升。轴承的损耗可用公式1、2表示：

$P=0.105\times {10}^{-3}\text{ M}\cdot \text{n}$ (1)

$M=0.5\text{ μFd}$ (2)

式中：P为轴承的损耗，其单位为W，M为摩擦力矩，其单位为N·mm，n为轴承转速，其单位为rpm，μ为轴承摩擦系数，F为轴承载荷，其单位为N，d为轴承内径，其单位为mm。通过计算得到该电机在2000 rpm空载转速下的前轴承的损耗P5为1.18 W，后轴承的损耗P6为0.51 W。

同理，设定电机的转速从2000~4000 rpm以1000 rpm为增量递增，分别设置1000 rpm、2000 rpm、3000 rpm和4000 rpm共4组不同的电机的转速值，通过损耗分析计算得到4组电机各部件的损耗如表2所示。

Table 2. Power loss of motor components

表2. 电机各部件损耗

转速(r/min)		损耗(W)
	绕组(P1)	定子(P2)	转子(P3)	永磁体(P4)	前轴承(P5)	后轴承(P6)
1000	38.37	8.65	1.57	0.60	0.5	0.21
2000	39.94	19.88	6.03	0.95	1.18	0.51
3000	40.95	32.79	12.48	1.25	1.96	0.84
4000	41.38	47.31	20.52	1.37	2.82	1.22

电机各部件的损耗主要以热量的形式散失，这些热量通过热传导、热对流、热辐射等方式使电机产生温升现象。所以导致电机温升的热量主要来源是电机的绕组铜耗、定转子铁芯损耗、永磁体涡流损耗和轴承摩擦损耗等。将电机各部件单位时间内的损耗转换为各部件单位时间单位体积内的热量，转换后即得到各部件生热率，再进行温度场仿真分析计算，将各部件的生热率作为温度场仿真的热源。生热率计算如式3所示：

$q=\frac{P}{V}$ (3)

式中：q为生热率，其单位为W/m³，P为电机生热部件的损耗值，其单位为W，V为电机各个生热部件的有效体积，其单位为m³。本文根据前文电机损耗仿真分析计算得到4组不同电机转速对应的损耗值，通过生热率计算公式计算得到4组电机各部件的生热率如表3所示：

Table 3. Heat generation rate of motor components

表3. 电机各部件生热率

转速(r/min)		生热率(10^5 W/m^3)
	绕组(q1)	定子(q2)	转子(q3)	永磁体(q4)	前轴承(q5)	后轴承(q6)
1000	3.57283	0.33642	0.07913	0.18750	0.61977	0.38613
2000	3.71902	0.77320	0.30392	0.29687	1.46267	0.93775
3000	3.81307	1.2753	0.62902	0.39062	2.42952	1.54453
4000	3.85311	1.8401	1.03426	0.42812	3.49553	2.24325

得到电机各部件的生热率之后，便可将生热率作为载荷输入，对电机进行热分析。以2000 rpm工况为例，仿真分析计算得到的电机温度场分布如图7所示。由温度场分布图可以看出，电机绕组是整个电机温度最高位置，其最高温度约为57.2℃。由于定子铁心与绕组有较大的贴合，而机壳又与定子铁心紧密贴合，所以定子铁心、电机机壳中部的温度与绕组的温度差值小于1℃。

Figure 7. Temperature distribution of motor at 2000 rpm

图7. 电机2000 rpm工况的温度分布图

3. 永磁同步电机温度场降阶模型构建

3.1. 基于POD的温度场降阶方法

本征正交分解法(Proper Orthogonal Decomposition, POD)可以通过将高维物理场投影到低维子空间中，从而实现降阶表达。POD法用于降阶计算时，需要提取一系列能准确表达物理特征的基函数和正交基，这些基函数描述了高维物理场的变化规律，可以用多组线性表达式的方式来简化物理问题，而且只需选取少数信息丰富度较高的基函数，就可以涵盖该物理问题的主要本质信息，从而构建出POD低阶模型。通过这个POD低阶模型，可以实现采用少量数据近似逼近原物理场中的大规模数据，从而达到降低原问题维度、提高计算速度的效果。

首先，需通过全阶模型计算获取原始数据来构建样本矩阵，本文是对电机设置不同转速工况从而得到对应的损耗，以损耗作为载荷输入进行热分析仿真计算，从而得到温度场原始数据。在计算域内，以m来表示其中离散点个数，把所有样本的节点编号和离散点数组进行组合，得到样本矩阵。式4为利用n个工况模拟计算的温度场数据构建的样本矩阵R。

$R=\left[\begin{array}{cccc}{t}^1\left(x_1\right)& t^2\left(x_1\right)& \cdots & t^n\left(x_1\right)\\ t^1\left(x_2\right)& t^2\left(x_2\right)& \cdots & t^n\left(x_2\right)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ t^1\left(x_m\right)& t^2\left(x_m\right)& \cdots & t^n\left(x_m\right)\end{array}\right]$ (4)

式中：t为温度场中的温度值；$x_m$ 代表离散点的坐标$\left(x_m,y_m,z_m\right)$ ；m为网格节点数；n为工况数也叫快照数。由于网格节点数往往远大于设置的工况数，因此矩阵R的行数m远大于列数n。该快照矩阵包含大量信息，为有效提取矩阵中的重要特征，可以通过奇异值分解法(Singular Value Decomposition, SVD)来表示原样本矩阵：

$R=U\text{Σ}{V}^{\text{T}}$ (5)

式中：R为温度场样本矩阵($m\times n$ )，其分解结果中U与V都为实对称矩阵，其中U为$m\times m$ 矩阵，其列向量是矩阵R的左奇异向量、V为$n\times n$ 的方阵，又称POD模态系数矩阵，列向量是矩阵R的右奇异向量，而$\text{Σ}$ 为$m\times n$ 的对角矩阵矩阵，其除主对角线上外的元素均为0，主对角线上的每一个元素均为奇异值s，且由大到小排序，即$\text{Σ}=\text{diag}\left(s_1,s_2,\cdots ,s_m\right)$ 。通过SVD得到的矩阵U中的列向量b即为正交基$\phi$ ，取前k维正交基$\left[{\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_k\right]$ ，其对包含的能量计算式如下：

(6)

矩阵$\text{Σ}$ 中的奇异值的大小表示其对应正交基能量占比的多少，即包含信息的多少，因此奇异值可表征矩阵中的重要特征信息，且其中一部分就能体现矩阵的几乎所有特性。若$\text{Σ}$ 中奇异值减小很快，则前10%甚至1%的奇异值即可表征99%以上的特征信息。因此，为使得有效降低矩阵阶数，可去除一些较小的奇异值，选取的前k个及其对应的奇异值计算原温度场快照列向量a：

(7)

使得矩阵R近似成立，从而起到重构原温度场快照矩阵R的目的。原始快照矩阵R可近似表示为：

$R\approx U^{*}{\text{Σ}}^{*}{V}^{{\text{T}}^{*}}$ (8)

式中：${\text{Σ}}^{*}$ 为$\text{Σ}$ 截取前k个奇异值后的截断奇异值矩阵，$U^{*}$ 为$U$ 截取前k列后的截断左奇异矩阵，$V^{{\text{T}}^{*}}$ 为$V^T$ 截取前k行后的截断右奇异矩阵。样本矩阵R的近似矩阵示意图如图8所示：

Figure 8. Schematic of the approximation matrix

图8. 近似矩阵示意图

选取的前k个奇异值所对应的主成分作为简化后的温度场的正交基，由于通常选取的k < n < m，因此大幅降低了计算量，达到了降阶的目的。

3.2. 温度场样本数据生成与处理

电机的温升主要是由于电机的损耗造成的，而损耗的主要来源于绕组铜损、铁心损耗、涡流损耗和摩擦损耗。本文以主要损耗对应部件的生热率：绕组生热率q1、定子铁心生热率q2、转子铁心生热率q3、永磁体生热率q4、前轴承生热率q5以及后轴承生热率q6为载荷输入，以电机各部件温度为输出组成多组工况条件下的样本集。由前文仿真分析计算得到电机在1000 rpm到4000 rpm不同空载转速下所产生的各种损耗，并得到6个部件在1000 rpm到4000 rpm不同空载转速下的生热率，其中绕组生热率q1的区间范围为$3.57283\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ 到$3.85311\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ ，定子铁心生热率q2的区间范围为$0.33642\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ 到$1.8401\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ ，转子铁心生热率q3的区间范围为$0.07913\times {10}^{5}W/m^3$ 到$1.03426\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ ，永磁体生热率q4的区间范围为$0.18750\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ 到$0.42812\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ ，前轴承生热率q5的区间范围为$0.61977\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ 到$3.49553\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ ，后轴承生热率q6的区间范围为$0.38613\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ 到$2.24325\times {10}^5{\text{ W/m}}^3$ 。各个部件的生热率在一定区间范围，在这个范围内采用拉丁超立方抽样法对这6组输入参数进行抽取样本点，共得到45组样本点输入参数。部分输入参数样本点如表4所示：

Table 4. Sample points for some input parameters

表4. 部分输入参数样本点

10^−^4 样本	q1 W/mm^3	q2 W/mm^3	q3 W/mm^3	q4 W/mm^3	q5 W/mm^3	q6 W/mm^3
1	3.675599	1.188505	0.514245	0.195521	3.207954	1.479767
2	3.731655	1.522656	0.981197	0.265033	0.907346	1.603575
3	3.575944	1.121675	0.386894	0.313157	1.993744	2.057538
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
43	3.750341	0.720694	0.662821	0.361281	0.651723	1.273421
44	3.619543	0.419958	0.875072	0.34524	0.84344	0.530573
45	3.769026	1.723147	0.768946	0.23295	2.50499	2.016269

将表中的45组输入参数样本点的数据进行电机温度场有限元仿真分析计算，构造温度场样本矩阵。在得到的温度场样本矩阵中，随机选取其中50%组工况数据采用POD方法构建温度场降阶模型，剩余的50%用于验证所构建的降阶模型在样本外是否满足计算要求。降阶模型生成后，得到模型阶数误差分析曲线如图9所示，横坐标为模型阶数，纵坐标为均方根误差，其中蓝色曲线为降阶模型与全阶模型的误差，绿色曲线为蓝色曲线随降阶模型阶数变化的趋势。根据图9可看出当阶数为4时，降阶模型均方根误差已降至0.056%，符合POD误差规范要求，故选用4阶数来构建降阶模型。

Figure 9. Schematic of the approximation matrix

图9. 近似矩阵示意图

最后，生成的降阶模型可以在Twin Builder软件中对降阶前后的电机温度场云图进行可视化显示，随机选取某组验证点下的电机原全阶模型与降阶模型温度场对比云图如图10所示，图中左上角为原模型温度场云图(Reference)，左下角为降阶模型温度场云图(CurrentROM)，右边为原模型与降阶模型的温度场误差云图(Difference)。其中图10(a)为电机绕组温度场降阶模型对比云图，图10(b)为电机定子温度场降阶模型对比云图，图10(c)为电机转子温度场降阶模型对比云图，图10(d)为电机永磁体温度场降阶模型对比云图，图10(e)为电机整体温度场降阶模型对比云图。从图中可以看出在该验证点下原模型与降阶模型的最大温度为53℃，均出现在电机绕组的位置，且原模型与降阶模型温度场结果间的最大误差为0.0567℃，整体误差分布均在1%以内，从而验证了该电机温度场降阶模型的准确性。

Figure 10. Comparison of the temperature field of the original full-order model and the reduced-order model of the motor Cloud diagram

图10. 电机原全阶模型与降阶模型温度场对比云图

最后对比降阶模型与全阶模型的计算时间，由表5可看出，降阶模型计算效率相较原模型大幅提升，实现了计算由小时级降至秒级，可实现电机温度场实时仿真的效果。

Table 5. Comparison of simulation computation time for temperature field results

表5. 温度场结果的仿真计算时间对比

模型	求解时间/s	速度提升比
原模型	1740	2351.35
降阶模型	0.74

4. 结论

本文以南普品牌型号为48V1.5KW60H23110404005的12槽10极逆变器供电车用变频永磁同步电机为例，分析计算了电机在2000 rpm转速空载工况下的损耗，并以损耗作为载荷输入，对电机进行了温度场仿真计算分析。并通过POD法构建了电机温度场降阶模型，得出结论如下：

(1) 电机在2000 rpm空载工况产生的热量主要来源是电机的定转子铁芯损耗、绕组铜耗、永磁体涡流损耗，其中最高温度出现在电机绕组为57.1℃，因为定子铁心与绕组有较大的贴合，而机壳又与定子铁心紧密贴合，所以定子铁心、电机机壳中部的温度与绕组的温度差值小于1℃。

(2) 采用拉丁超立方抽样法抽取设计点构建了原始数据样本矩阵，对矩阵中的温度数据采用POD方法提取最优正交基构建了电机的温度场降阶模型，并在Twin Builder中实现了可视化显示。其中4阶模型计算结果的均方根误差为0.056%，符合POD误差规范要求，构建的降阶模型相较全阶模型的计算时长由1740 s降至0.74 s，大大提升了求解效率。验证了该降阶模型的准确性与时效性。