$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$上分次扩张的子环

Subrings of Graded Extensions in $K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$

摘要: 斜群环是一类非常重要的环，其上的分次扩张是一类非常重要的环扩张。本文在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上分次扩张的基础下，研究了$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上分次扩张的子环，利用锥的理论证明了$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上分次扩张的子环与之相对应的锥的集合有一个一一对应关系。

Abstract: Skew group rings are a very important class of rings, and the graded extensions over them are a very important class of ring extensions. In this paper, based on the graded extensions over $K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ , we study the subrings of the graded extensions over $K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ . By using the theory of cones, it is proved that there is a one-to-one correspondence between the set of subrings of the graded extensions over $K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ and the set of corresponding cones.

1. 绪论

环论是现代数学的重要分支，斜群环及其分次扩张是环论的重点研究对象，备受学界关注。斜群环由群在环上的作用构建，这一结构为环论问题提供了新视角，在环的结构分类中，能结合群与环的性质，助力复杂环的分类。分次扩张是斜群环的拓展，通过对环分次赋予其更丰富结构。它推动了环论发展，在环的同调性质、理想结构研究中发挥重要作用，且在与其他数学领域交叉中展现强大活力。在表示论中，斜群环及其分次扩张与群、代数表示紧密相关，为研究提供新模型与方法，其分次结构可刻画群表示的不可约性。

设K是一个除环，V是K上的一个全赋值环，$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次扩张。本文探讨用A相对应的群的锥刻画A的子环。

文献[1] [2]研究了斜罗朗多项式环的分次扩张，文献[3]研究了群的锥，为本文$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的分次扩张奠定了基础。在文献[4]中证明了${\mathbb{Z}}^{\left(2\right)}$ 上纯锥的集合与$K\left[\mathbb{Q},\sigma \right]$ 上平凡分次扩张的集合之间存在一个一一对应关系，为本文刻画子环提供了方向。为了帮助读者更好地理解相关概念，下面对斜群环、分次扩张和锥的概念进行简单清晰的解释。

设K是一个除环，G是一个群，$\sigma :G\to Aut\left(K\right)$ 是一个群同态，其中$Aut\left(K\right)$ 是K的自同构群，斜群环$K\left[G,\sigma \right]=\left\{{\displaystyle \sum k_{x}g}|k_x\in K,g\in G\right\}$ 。

设A和B是两个分次环，且$A\subseteq B$ ，如果B是一个分次A-模，并且$1_B\in B$ (其中$1_B$ 是B的单位元)，则称B是A的分次扩张。

设G是一个群，C是G的一个非空子集，如果对于任意的$x,y\in C$ 和任意的正整数$n,m$ ，都有$x^n{y}^m\in C$ ，则称C是G中的一个锥。若C是群G中的锥，H是G的子群，则$C\cap H$ 是H中的锥。

2. $K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上分次扩张的子环

本章进一步给出一些对分次扩张和锥直观刻画的例子。

定义1.1 [1] 设K是一个除环。如果对任意的$k\in K$ ，$k\ne 0$ ，有$k\in V$ 或$k^{-1}\in V$ ，则称V是K的一个全赋值环。

定义1.2 [5] 设$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个子集。如果对任意的$u,v\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ ，有$A_u\cdot A_r\subseteq A_{u+r}$ ，则称V是$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次子环。

定义1.3 [5] 设$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次子环，且$A=\left(0,0,\cdot \cdot \cdot ,0\right)=V$ 。如果对任意的$X\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ ，$a\in K$ ，有$a{X}^u\in A$ 或${\left(a{X}^u\right)}^{-1}\in A$ ，则称A是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的分次扩张。

定义1.5 [6] 设$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次扩张，A的分次极大理想的交，记作$J_g\left(A\right)$ ，称为A的分次Jacobson根。

定义1.7 [4] 一个加群G的子集H称为锥。如果$H+H\subseteq H$ ，$H\cup \left\{-H\right\}=G$ ，其中

$-H=\left\{-h|h\in H\right\}$ , $H\cup \left\{-H\right\}=G$ .

定义1.8 [4] 设H是加群G的一个锥。如果有$H\ne G$ ，则称H是G的真锥。其中$U\left(H\right)=H\cap \left\{-H\right\}$ 为锥H的单位。

定义1.9 [4] 一个加群G的非空子集H称为纯锥。如果$H+H\subseteq H$ ，$H\cup \left\{-H\right\}=G$ ，$H\cap \left\{-H\right\}=\left\{0\right\}$ ，其中0为加群G的零元。

定理1.1 [4] 设G是一个有纯锥的群，$K\left[G,e\right]$ 有一个左商环$K\left(G,e\right)$ ，$V\notin K$ 是K的一个全赋值环，则V在$K\left[G,e\right]$ 上的所有平凡分次扩张的集合与G的所有纯锥的集合之间有一个一一对应关系。

定义1.10 [7] 设$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次扩张。如果对任意的$u,v\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ ，存在${\alpha }_u,{\alpha }_v\in K$ ，使得$A_u=V{\alpha }_u$ ，$A_{-u}=V{\alpha }_u{}^{-1}$ 且${\alpha }_0=1$ ，有${\alpha }_u\cdot {\alpha }_v\in K$ ，则称A是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的(a)类分次扩张。

下面将研究$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上分次扩张的子环与之相对应的锥的集合存在一个一一对应关系。

设$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{(n)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次扩张。如果存在$B=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{B}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次扩张，有$S_v\left(A\right)=\left\{B|A\subseteq B\right\}$ ，则称$S_v\left(A\right)$ 的集合元素B是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上分次扩张A的子环。

引理2.1设$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次扩张，令

$H=\left\{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}|A_u\cdot A_{-u}=V\right\}$ ,

则H是一个群，且对任意的$r\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ ，$u\in H$ ，有$A_u\cdot A_r=A_{u+r}$ 。

引理2.2设$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次扩张，令

$H=\left\{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}|A_u\cdot A_{-u}=V\right\}$ ，$H_B=\left\{u\in H|A_u=B_u\right\}$ ,

则$H_B$ 是H的一个锥。

用简单的符号表示H的锥的集合，记为$C_H$ 。

引理2.3对任意的$H_0\in C_H$ ，令

$B=\underset{u\notin H}{\oplus }{A}_u{X}^u\oplus \left(\underset{u\in H_0}{\oplus }{A}_u{X}^u\right)\oplus \left(\underset{u\in H\backslash H_0}{\oplus }J\left(V\right)A_u{X}^u\right)\triangleq \underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{B}_u{X}^u$ ，

则$B_{H_0}\in S_v\left(A\right)$ 。

在环论中，子环是环的一个子集，它本身对于环的加法和乘法运算也构成一个环。当考虑一些具有特殊结构的环，如有序环时，锥集合可以提供一种有效的研究工具。

在有序环R中，可以定义一个正锥$P\subseteq R$ 。满足以下性质：$P+P\subseteq P$ (加法封闭性)，$P\cdot P\subseteq P$ (乘法封闭性)，$P\cap P=\left\{0\right\}$ ，并且对于任意的$r\in R$ ，要么$r\in P$ ，要么$-r\in P$ ，要么$r=0$ 。

对于环R的子环S，通过研究S与R的正锥P的交集$S\cap P$ 来获取子S的性质：$S\cap P$ 的锥集合与子环S的序性质之间存在一个一一对应关系。

定理1.2设$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的一个分次扩张，令$H=\left\{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}|A_u\cdot A_{-u}=V\right\}$ ，则$S_v\left(A\right)$ 与$C_H$ 两集合之间存在一个一一对应的关系。

证明由引理2.1和引理2.2，构造两个映射：

$\phi :S_v\left(A\right)\to C_H$ ，$\varphi :C_H\to S_v\left(A\right)$ .

对任意的$H_0\in C_H$ ，由引理2.3有

$\varphi \left(H_0\right)=B_{H_0}=\underset{u\notin H}{\oplus }{A}_u{X}^u\oplus \left(\underset{u\in H_0}{\oplus }{A}_u{X}^u\right)\oplus \left(\underset{u\in H\backslash H_0}{\oplus }J\left(V\right)A_u{X}^u\right)$ ,

那么$\phi \left(\varphi \left(H_0\right)\right)=\phi \left(B_{H_0}\right)=H_0$ ，即$\phi \cdot \varphi =1_{C_H}$ 。

对任意的$B=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{B}_u{X}^u\in S_v\left(A\right)$ ，$\phi \left(B\right)=H_B=\left\{u\in H|A_u=B_u\right\}$ 有

$\varphi \left(\phi \left(B\right)\right)=\varphi \left(H_B\right)=B_H=\underset{u\notin H}{\oplus }{A}_u{X}^u\oplus \left(\underset{u\in H_0}{\oplus }{A}_u{X}^u\right)\oplus \left(\underset{u\in H\backslash H_0}{\oplus }J\left(V\right)A_u{X}^u\right)=B$ ,

那么$\varphi \left(\phi \left(B\right)\right)=\varphi \left(H_B\right)=B$ ，即$\varphi \cdot \phi =1_{S_v\left(A\right)}$ 。

故$S_v\left(A\right)$ 与$C_H$ 两集合之间存在一个一一对应的关系。证毕。

下面探讨$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上(a)类分次扩张的子环，并给出与之相对应的例子。

如果$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{(n)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的上的(a)类分次扩张，则由定理1.2有下面结论。

命题 设$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{A}_u{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的(a)类分次扩张。对任意$u,v\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ ，存在${\alpha }_u,{\alpha }_v\in K$ ，使得$A_u=V{\alpha }_u$ ，$A_{-u}=V{\alpha }_u^{-1}$ 且${\alpha }_0=1$ ，有${\alpha }_u\cdot {\alpha }_v={\alpha }_{u+v}$ ，则$H={\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ ，$S_v\left(A\right)$ 的秩为${\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 的锥集合的基数。

例 设F是一个域，$F\left[x,y\right]$ 是域F上以$x,y$ 为不定元的多项式环，令$K=F\left(x,y\right)$ 是$F\left[x,y\right]$ 的商域，$V=F{\left[x,y\right]}_{\left(y\right)}$ 是$F\left[x,y\right]$ 在素理想(y)处的局部化，那么V是K的全赋值环。

对任意的$u=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ ，令$k=x_1+x_2+\cdot \cdot \cdot +x_n$ ，则$A=\underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }V{y}^k{X}^u$ 是V在$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上的(a)类分次扩张。由命题$H={\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ ，$S_v\left(A\right)$ 的秩为${\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 的锥集合的基数，对${\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 任意的一个真锥$P\ne {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ ，令$B=\underset{u\in P}{\oplus }{A}_u{X}^u\oplus \left(\underset{u\in H\backslash P}{\oplus }J\left(V\right)A_u{X}^u\right)\triangleq \underset{u\in {\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}}{\oplus }{B}_u{X}^u$ ，由引理2.3得，$B_P\in S_v\left(A\right)$ 。

3. 结束语

本文是研究利用锥理论刻画$K{\mathbb{Z}}^{\left(n\right)}$ 上分次扩张的子环，但锥理论存在一定的局限性。一环结构的限制：锥理论在研究结构完整的环时性质对应，如整数环。但面对非交换环和特征不为零的环时，由于非交换环中乘法交换律不成立，故其应用受阻。这使得基于交换定义的锥性质难以应用，相关理论体系难以搭建；二环基数的限制：环基数较大时，如无限维向量空间上的线性变换环，用传统方式定义锥并研究其与子环的关系困难重重；三序结构的复杂性：在具有特殊序结构的环中，锥理论推广艰难。如偏序环元素非全序，正锥定义不能像全序环那样简单确定，子环与锥的相互作用复杂，难以用锥理论刻画子环性质；四环分解和扩张问题：在环分解(如直和、半直积分解)和扩张(如理想、域扩张)方面，锥理论应用体系不完备。环直和分解中，各直和项锥的确定及组合方式不明，子环性质研究方法缺失；环扩张时，新元素对锥结构的影响未知，新环中合适锥的定义及子环研究方法有待探索。如基于正锥定义，环中其锥及研究的子环是难题。以上问题有待进一步研究，可以有力地推动环论研究的持续发展。