基于改进哈里斯鹰算法的齿轮传动误差研究

The Study of Gear Transmission Error Based on the Improved Harris Hawk Algorithm

摘要: 针对三维立体编织装备在运行时编织参数误差较大的问题，文章研究了一种基于改进哈里斯鹰优化算法PID的参数整定控制同步电机连接齿轮传动的方法。首先采用Tent混沌映射和小孔成像反向学习方法保证初始种群的多样化及增加精英个体数量，提升算法收敛性能；其次，在能量线性递减机制中引入动态自适应权重的非线性表达，提升算法全局搜索及局部开发行为的平衡能力；最后将该方法分别与HHO和PSO进行比较。仿真结果表明：齿轮1的初始转速误差分别降低1.9%、2.9%，负载突变转矩误差分别降低0.75%、4.75%。

Abstract: To address the issue of large errors in weaving parameters when operating three-dimensional weaving equipment, the article studies a parameter tuning control method based on an improved Harris Hawk Optimization (HHO) algorithm with PID proposed for the synchronous motor connected to a gear drive system. Firstly, the Tent chaotic mapping and small hole imaging reverse learning methods are employed to ensure the diversity of the initial population and increase the number of elite individuals, enhancing the algorithm’s convergence performance. Secondly, a dynamic adaptive weight nonlinear expression is introduced into the energy linear decay mechanism to improve the balance between the global search and local exploitation capabilities of the algorithm. Finally, the proposed method is compared with HHO and PSO. Simulation results show that the initial speed error of gear 1 is reduced by 1.9% and 2.9%, respectively, and the load torque fluctuation error is reduced by 0.75% and 4.75%, respectively.

1. 引言

三维编织技术研究发展于20世纪70年代，因其编织性能优异且对于复合材料的编织物具有良好的综合性能，在航空航天以及医疗器材等领域得到广泛应用。

在三维立体编织装备运行过程中，齿轮作为核心部件之一，发挥着重要作用。多个电机通过轴将动力传递至不同的主动轮，当多电机运转时，同步齿轮会随着轴转动，并将电机的转速误差传递给齿轮。主动轮在同步转动时对相啮合从动轮施加转矩，驱动从动轮转动，主动轮传动误差会随着转矩传递给从动轮，传递之间存在的误差导致齿轮输出存在同步误差，导致编织参数产生偏差，影响产品性能。

针对齿轮传动误差这一问题，国内外学者利用多种方法展开研究，吴暐[1]针对齿轮齿廓修形和齿形磨损产生的齿形偏差，提出了一种改进的齿轮解析啮合刚度与准静态传动误差模型，并在该模型的基础上，研究了齿形误差与齿形磨损对啮合刚度与准静态传动误差变化特性的规律。结果得出，两种齿形偏差对啮合刚度与准静态传动误差的极限值与分布均有显著影响，并随着齿形磨损程度增大或减小，齿形磨损对啮合刚度与准静态传动误差的影响程度更大。但该方法未考虑输入电机传递时存在误差的解决办法。尹逊民[2]针对目前直齿轮内啮合承载时传动误差研究不充分等问题，通过采用粒子群算法对内啮合短齿高直齿轮的修形优化设计方法进行研究。结果表明：对提高内啮合时短齿高直齿轮的动态啮合特性研究提供了依据。但粒子群算法易陷入局部最优，其研究结果可能不是全局最优解。

许多学者在上述研究基础上通过PID参数整定法优化电机传动误差，从而通过减少齿轮传动误差，来达到减少编织参数误差的目的。曾宪荣[2]为使伺服电机控制系统得到较优的PID参数，对标准PSO的搜索寻优进行改进，通过PSO算法对PID控制器进行参数整定，并利用控制器设计多电机功率平衡的控制策略。仿真结果表明，电机在负载发生变化的情况下，其控制策略能够实现每个电机的输出得到均衡分配负载。但该方法未考虑输出后能否降低输出机构的传动误差。Shi Peidong [3]针对粒子群算法在求解后期PID控制器参数优化问题时存在的不足，在标准粒子群算法的基础上，引入非线性递减惯性权重调整策略。仿真结果表明：改进后粒子群算法提升了PID参数的稳定性，增强了收敛速度与搜索精度，具有更好的性能指标[4]。但该方法未考虑实际工程应用中的抗干扰性。

上述学者通过智能算法PID的参数整定对电机转速误差进行优化，或者是对齿轮进行结构分析，为后续学者打下理论基础。但较少学者直接通过智能算法对减少同步齿轮传动误差开展研究，故本文在上述研究的基础上，将电机与齿轮通过Matlab/Simulink—ADAMS联合，并研究IHHO PID参数整定，将其通过电机连接到齿轮，使其能直接对编织装备的编织参数误差进行优化。该算法基于HHO [5]，通过采用Tent混沌映射方法和小孔成像反向学习方法、在能量线性递减机制中引入动态自适应权重的非线性表达，并建立改进哈里斯鹰算法PID参数整定的联合仿真模型(Matlab/Simulink—ADAMS)，运行该仿真系统，结果得出改进哈里斯鹰算法PID参数整定能够有效降低齿轮初始转动误差、负载突变误差。

2. 改进哈里斯鹰算法

2.1. 初始种群多样化

根据Tent混沌映射策略具有更好的遍历均匀性的特点，对哈里斯鹰种群进行初始化。因其策略存在小周期及周期点不稳定等问题，所以在Tent映射策略基础上引入了随机变量rand (0, 1) × 1/N，引入后的表达式如(1)所示：

$y_{i+1}=\{\begin{array}{l}2y_i+rand\left(0,1\right)\times \frac{1}{N},0\le y_i<\frac{1}{2}\\ 2\left(1-y_i\right)+rand\left(0,1\right)\times \frac{1}{N},\frac{1}{2}<y_i\le 1\end{array}$ (1)

式中：rand ()为(0, 1)之间的随机数函数；N表示混沌映射的粒子个数。

使用式(2)对Tent混沌映射后，其均匀分布的Tent序列执行逆映射从而得到新的种群个体，得到表达式如(2)所示：

$x_i=y_i\left(\text{ub}-\text{lb}\right)+\text{lb}$ (2)

式中：y_i、x_i分别是式(1)计算出的混沌序列值及哈里斯鹰种群个体；lb与ub则是搜索空间的下界与上界。

2.2. 初始种群精英化

基于小孔成像的反向学习方法，通过融入算法[6]寻优位置策略的多样性并增加种群中精英个体的数量，从而帮助哈里斯鹰扩大搜索范围，增大选取更优解的几率。假设$x_j$ 与${x^{\prime }}_j$ 分别表示当前种群个体的最优解与小孔成像经过反向学习得到的最优解，而b_j与a_j分别表示第j维解的下限和上限，然后根据小孔成像基本原理可得：

${x^{\prime }}_j=\frac{\left(a_j+b_j\right)}{2}+\frac{\left(a_j+b_j\right)}{2n}-\frac{x_j}{n}$ (3)

式中：n表示小孔成像调整因子。

2.3. 逃逸能量递减机制的改进

猎物逃跑能量E是哈里斯鹰算法平衡全局搜索和局部开发的关键参数。哈里斯鹰算法中对猎物逃跑能量E的描述为其由最大值线性减少至最小值，即探索与开发两个阶段逃跑能量的变化量ΔE一致，猎物逃跑能量E的线性递减方式使算法的搜索与开发行为的平衡性较差，并且无法准确展现实际情况下哈里斯鹰与兔子的多轮围捕及逃跑过程。为此，在哈里斯鹰逃跑能量的线性递减机制中融入了动态自适应权重，以增强猎物逃跑能量的非线性表达，实现算法的搜索与开发行为平衡，引入后的表达式如(4)、(5)所示：

$E=2E_0\omega \left(1-t/T\right)$ (4)

$\omega =\delta [{\omega }_{initial}-\left({\omega }_{initial}-{\omega }_{final}\right)\times \frac{1}{e-1}\times \left(e^{\frac{1}{T}}-1\right)$ (5)

式中：E₀为初始逃跑能量，${\omega }_{initial}$ 表示权重的初始值，${\omega }_{final}$ 表示权重的终值；t表示当前的迭代次数；δ表示[0, 1]之间的随机数；T表示最大的迭代次数。

2.4. 函数测试

将基准函数代入三种优化算法依次对其进行测试，得到算法性能经过对比后的结果。

图1~4为测试函数结果图。

Table 1. Test benchmark functions

表1. 测试基准函数

编号	函数名	函数	维度	搜索空间	最小值
$f_1$	Sphere	$f_1={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{i^2}}$	30	[−100, 100]	0
$f_2$	Schwefel’s 2.22	$f_2={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left|x_i\right|}+{\displaystyle \prod _{i=1}^n\left|x_i\right|}$	30	[−10, 10]	0
$f_3$	Ackley	$f_3=-20\exp \left(-0.2\frac{1}{D}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_{i^2}}\right)-\exp \left(\frac{1}{D}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\cos \left(2\pi x_i\right)}\right)+20+e$	30	[−32, 32]	0
$f_4$	Generalized Rastrigin	$f_4={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left[x_{1^2}-10\cos \left(2\pi x_i\right)+10\right]}$	30	[−600, 600]	0

Figure 1. Test result diagram of Sphere function

图1. Sphere函数测试结果图

Figure 2. Test result diagram of Ackley function

图2. Ackley函数测试结果图

Figure 3. Test result diagram of Schwefel’s 2.22 function

图3. Schwefel’s 2.22函数测试结果图

Figure 4. Test result diagram of Generalized Rastrigin function

图4. Generalized Rastrigin函数测试结果图

利用表1中四个基础函数对IHHO的性能优势进行测试，初始化设定的种群规模为3，迭代次数500。用三个算法[7]对4个基础函数进行优化，每个基准函数独立运行30次，最后优化对比图如图1~4所示。

IHHO在算法对比图中用红线表示。可以看出IHHO算法相对于其他两个算法，对测试基准函数具有明显的优势，在测试函数中寻优能力更强，其更少的迭代次数适应度值达到最优。

因此，本文研究的改进哈里斯鹰法具有鲁棒性。

Table 2. Comparison of calculation results of 4 test functions by 3 algorithms

表2. 4个测试函数3个算法计算结果对比

方法对比	IHHO		HHO		PSO
函数	平均值	最佳值	平均值	最佳值	平均值	最佳值
$f_1$	1.00E-15	1.00E-20	1.00E-08	1.00E-12	1.00E-02	1.00E-05
$f_2$	1.00E-18	1.00E-25	1.00E-12	1.00E-18	1.00E-04	1.00E-06
$f_3$	1.00E-10	1.00E-15	1.00E-06	1.00E-10	1.00E-03	1.00E-04
$f_4$	1.00E-12	1.00E-18	1.00E-09	1.00E-15	1.00E-03	1.00E-05

由表2中4个测试函数3个算法的计算结果对比可见，IHHO在所有测试函数(f₁、f₂、f₃、f₄)上均表现优异，尤其在精度和稳定性方面显著优于HHO和PSO。IHHO在各函数的平均值和最佳值上均达到最优水平，特别是在f₁和f₂上，表现出较强的优化能力。相比之下，PSO的平均值较大，表现最差。整体来看，IHHO在复杂优化问题中具有更高的精度和稳定性，适用于对优化结果要求较高的应用场景。

3. 齿轮和PMSM模型的建立

3.1. PMSM模型的建立与参数设置

永磁同步电机矢量控制仿真模型如图5所示。

Figure 5. Simulation model of PMSM servo system

图5. PMSM伺服系统仿真模型

PID参数整定控制永磁同步电机进行仿真实验时，设定模型中PMSM的电机参数如表3所示。

Table 3. Parameters of permanent magnet synchronous motor

表3. 永磁同步电机参数

参数	数值	参数	数值
电阻Rs	0.958	转动惯量J/(kg m^2)	0.003 kg m^2
Ld/mH	5.25e-3	磁极对数Np	3
Lq/mH	12e-3H	逆变器直流压Vd c	311 V
摩擦系数	0	开关频率k/Hz	10

3.2. IHHO算法优化同步电机

建立IHHO算法与PID控制器[8]的联合仿真结构图，其结构图如图6所示。

Figure 6. Structure diagram of IHHO-PID controller

图6. IHHO-PID控制器结构图

搭建基于IHHO算法PID参数整定的仿真模型。PID控制器仿真模型如图7所示。

Figure 7. Simulation model of PID controller

图7. PID控制器仿真模型

优化的核心原理是通过精确调整PID控制器的参数，以显著提升其对同步电机运行的调控效能。在MATLAB环境中建立IHHO算法，并将其与Simulink中的PID控制模块进行了集成。

在此集成架构下，IHHO算法依据预设的优化目标(包括响应时间、超调量、稳态误差等关键性能指标)在参数空间内执行深度搜索。通过不断迭代，算法生成一系列新的PID参数组合，并利用Simulink仿真模型对每一组合的性能进行全面评估。

在仿真环境中识别出性能优异的PID参数组合后，联立同步电机控制系统中进行验证，通过对比分析优化前后对同步电机的控制效果，确认该参数组合对同步电机优化的有效性和可靠性。

3.3. ADAMS齿轮模型的建立

在ADAMS [9]搭建环形封闭齿轮仿真模型，将电机驱动的主动轮间隔放置于8个齿轮之间，8个齿轮参数一模一样，从动轮与主动轮交叉分布。4个主动轮作为输入，4个主动轮加4个从动轮作为输出。直齿轮的基本参数如表4所示，位置关系图如图8所示。

Table 4. Basic parameters of spur gear

表4. 直齿轮的基本参数

齿轮参数	数值	参数	数值
齿数	80	齿宽	13
模数	1.35	齿顶高	1
压力角	20	齿根高	1.25

Figure 8. Diagram of the positional relationship between the gear and the motor

图8. 齿轮与电机位置关系图

Figure 9. Diagram of the positional arrangement of the gear transmission structure

图9. 齿轮传动结构位置摆放图

Figure 10. Physical diagram of the placement of the gear motor

图10. 齿轮电机摆放实物图

齿轮电机摆放位置图如图9、图10所示，四个电机与主动轮相连，主从动轮环形接触，齿轮位于环形支架内。

3.4. Simulink-ADAMS联合模型的建立

在Matlab/Simulink平台搭建PID控制同步电机仿真模型[10]，并在ADAMS搭建齿轮的动力学仿真模型，将智能算法-PID-同步电机–齿轮进行联合，联仿模型如图11所示。

在Matlab/Simulink中IHHO优化算法对PID参数整定[11]，得出最优参数值，代入至环形耦合控制的各电机PID控制环中，得到输出转速，输出转速通过环形耦合控制反馈至输入端，实现循环优化，最后输出反馈后的最优值；Simulink电机输出转速输入至ADAMS作为齿轮输入转速，通过电机转速的优化，从而实现降低齿轮转速误差。

Figure 11. Simulink-ADAMS combined model

图11. Simulink-ADAMS联合模型

4. 仿真结果与分析

4.1. 仿真参数设置

设四个电机的输入转速相同、初始负载相同，分别为1000 r/min、10N·m，在0.2 s时将四个电机的负载提升到20 N·m，检测其负载突变时的抗干扰能力，仿真运行时间t = 0.5 s。

4.2. 初始仿真

仿真得出三个算法[12]改进PID控制器的环形耦合控制齿轮传动系统齿轮1的初始仿真曲线图，如图12到图13所示。

Figure 12. Simulation comparison diagram of the initial rotational speed of gear 1

图12. 齿轮1的初始转速仿真对比图

由图12可知，不同控制策略下的初始转速误差表现差异显著。实线初始转速误差最大，达52 r/min，波动较大且收敛较慢，动态性能最差；短划线的最大误差为42 r/min，波动减小且收敛速度明显快于黑色实线；短点划线表现最佳，初始误差最小，收敛速度最快，最大误差仅为23 r/min，且更早趋于平稳状态。整体来看，IHHO算法具备更强动态同步响应特性。

Figure 13. Simulation comparison diagram of the initial torque of gear 1

图13. 齿轮1的初始转矩仿真对比图

在齿轮传动系统统计施加10 N·m 负载的情况下，不同算法优化下的转矩响应差异显著。实线最大转矩误差为12.1 N·m，波动较大，动态性能较差；短划线最大误差降至11.8 N·m，波动减小，性能优于PSO；短点划线表现最佳，最大误差仅为 11.3 N·m，波动最小，收敛速度最快，稳定性显著提升。总体来看，IHHO算法更适用于对抗干扰性能要求较高的场景。

综上，由图12和图13可以得出，改进哈里斯鹰算法优化下齿轮传动转速误差和转矩误差的动态性能和稳定性方面均优于其他两种算法，且IHHO算法对PID参数整定优化齿轮转动误差优化性能更佳。

4.3. 负载突变仿真

在0.2 s时，将四个电机的负载瞬时提升至20 N·m，保持其他运行条件不变，以模拟负载突变场景，测试齿轮传动系统在突加负载情况下的抗干扰性能及动态同步响应特性。

Figure 14. Simulation comparison diagram of sudden changes in rotational speed and load

图14. 转速负载突变仿真对比图

由图14可知，在齿轮1转速负载突变的情况下，短点划线同步误差最小，最大误差仅为11 r/min；相比之下，短划线最大误差为15 r/min，而实线最大误差达到21 r/min。可以看出，改进哈里斯鹰算法展现出更优的动态同步响应特性。

Figure 15. Simulation comparison diagram of sudden torque load changes

图15. 转矩负载突变仿真对比图

从图15可知，在齿轮1转矩负载突变的情况下，短点划线表现出更优的同步控制性能，其最大转矩误差仅为0.25 N·m，显著优于短划线0.4 N·m和实线1.2 N·m。改进哈里斯鹰算法有效降低了负载突变引起的误差，展现出更强负载突变下的抗干扰性能力。

由图14和图15可知，当采用PID参数整定的环形耦合控制系统连接齿轮传动系统时，0.2 s突加负载会导致较大的转速超调。通过哈里斯鹰算法和粒子群算法对PID参数进行优化后，系统的控制性能仍难以满足实际应用需求。而采用改进的哈里斯鹰算法后，齿轮在转矩负载突变情况下的波形超调量显著减少，表现出更优的系统动态性能和稳定性，更适用于实际工程应用场景。

5. 结论

本文通过改进哈里斯鹰算法PID参数整定的齿轮传动系统进行仿真分析，针对哈里斯鹰算法初始种群数量少、平衡性差等缺点进行优化，提出改进哈里斯鹰算法实现减小齿轮传动系统的初始转动误差及负载突变误差。主要研究工作与创新性成果如下：

1) 改进的哈里斯鹰算法是在标准哈里斯算法基础上引入混沌反向学习策略动态及自适应权重，增加初始种群多样化及精英个体数量并提升算法全局搜索和局部开发行为的平衡能力。用三个优化算法对四个测试函数进行对比，其实验结果表明IHHO收敛精度更高、收敛速度更快。

2) 改进哈里斯鹰算法PID参数整定控制模型能够实现K_p、K_i、K_d三个参数最优化设计，有效降低同步齿轮不同负载条件下的初始转动误差和突加负载误差，对降低编织装备编织参数的误差具有工程实际意义。

3) 对比HHO和PSO。IHHO优化下的齿轮1的初始转速误差分别降低1.9%、2.9%，负载突变转矩误差分别降低0.75%、4.75%。

基金项目

江苏省高等教育机构自然科学研究重大计划“高性能热塑性复合材料夹芯板设计与成型制备基础研究”(21KJA460004)；常州市应用基础研究“编织过程中碳纤维的摩擦磨损分析及控制研究”(CJ20235047)。

NOTES

^*通讯作者。