筒仓内壁静态与动态法向应力的测量与分析

Measurement and Analysis of Static and Dynamic Normal Pressure on Silo Walls

摘要: 精准测量满载和卸料时颗粒物质对筒仓内壁的法向应力，掌握应力随时间和高度的变化规律，与筒仓的安全运行密切相关。本文设计了一种基于全桥电路的电阻应变式传感器，通过搭建筒仓应力测量系统，采用均值粒径为1.29 mm的透明玻璃珠进行实验，测量筒仓静态堆积和卸料过程中的壁面法向应力。静态应力的测量结果表明，颗粒填充完成后，在圆柱形部分出现了静态应力随着高度的降低而减小的区域，这与Janssen模型不一致。然后我们分析了每一个检测点在卸料过程中动态应力最大值的时空分布，结果表明，动态应力最大值出现在圆柱形中下部分，而不是筒仓几何转变处。最后我们计算了最大动态应力与静态应力的比值，得到了每个检测点的超压系数，发现超压系数最大值出现在H = 215 mm处。该研究对筒仓结构设计具有重要意义，有助于对应力增幅显著的区域进行结构优化，为提高筒仓的安全性和耐久性提供了关键参考。

Abstract: Accurately measuring the normal pressure exerted by granular materials on the inner walls of silos during loading and unloading, and understanding the variation of pressure over time and height, is closely related to the safe operation of silos. This study designed a resistive strain gauge sensor based on a full-bridge circuit and constructed a silo pressure measurement system. Experiments were conducted using transparent glass beads with an average particle size of 1.29 mm to measure the normal pressure on the silo walls during static filling and unloading processes. The results of static pressure measurements showed that, after filling, a region in the cylindrical section exhibited a decrease in static pressure with decreasing height, which is inconsistent with the predictions of the Janssen model. Subsequently, we analyzed the spatiotemporal distribution of the maximum dynamic pressure at each measurement point during unloading. The results showed that the maximum dynamic pressure occurred in the lower-middle part of the cylindrical section rather than at the geometric transition of the silo. Finally, we calculated the ratio of the maximum dynamic pressure to the static pressure at each measurement point to obtain the overpressure coefficient, and found that the maximum overpressure coefficient appeared at H = 215 mm. This study is of great significance to the structural design of silos, as it helps optimize the structure in regions with significant pressure amplification during unloading, providing key references for improving the safety and durability of silo operations.

1. 引言

筒仓在生产生活中广泛应用于储存、运输、卸载各种颗粒物料[1]。然而在储存与卸载物料的过程中，颗粒材料对筒仓内壁的作用力是导致筒仓结构破坏的主要因素之一[2] [3]。因此，对筒仓内壁受到的应力进行准确测量、分析与研究，有助于筒仓结构的合理设计[4]。各国学者对筒仓内壁的受力问题进行了广泛研究。Janssen测量了玉米对平底筒仓底部的应力与筒仓侧壁的摩擦力，并通过理论分析计算了筒仓侧壁法向应力，即Janssen模型[5]，该模型为许多国家的筒仓设计规范提供了参考[6] [7]。然而，Janssen模型是在筒仓储存物料实验中得出，并未考虑卸料过程中应力的变化，因而存在局限性[8]。

大量研究表明，筒仓卸料过程中，颗粒物料对仓壁的动态应力会显著增加，即“超压”现象，这一现象在结构设计中必须予以考虑[9]。然而，由于卸料过程中不同位置的动态应力增加幅度各异[10]，能否通过实验准确测量储料与卸料过程中的静态应力、动态应力以及超压现象是非常重要的。赵松等[11]在筒仓外侧布置应变片，通过测量仓壁应变来推算颗粒对仓壁的作用力。结果表明，卸料过程中筒仓壁面的不同位置均出现了超压现象，其中筒仓几何转变处的超压系数最大，达到1.6。Feng [12]、Gandia [13] [14]等学者也采用了这种间接测量方法，而Gandia等测量的最大超压系数出现在了筒仓中部。这种方法测量的应力是由筒仓仓壁的应变产生的，并非实际意义上的颗粒对筒仓内壁的应力[15]。Zhang等[16]将压力传感器贴在筒仓内侧直接测量壁面应力。结果显示，圆柱与漏斗交接处的动态应力小于静态应力，其余测量点均出现了超压现象，其中靠近圆柱底部的超压系数最大。这种测量方法中传感器的厚度和形状会影响测量的准确性，因此Wang[17]等人通过在筒仓侧壁打孔，将压力传感器镶嵌在孔内，使其直接接触颗粒，测量筒仓内壁的应力分布特性。测量结果表明，卸料过程中，壁面法向应力会剧烈波动，并且圆柱与漏斗交接处附近的超压现象最显著。尽管这种方法避免了传感器自身的影响，但会受到筒仓振动和摩擦的干扰。以上的测量方式均有不同的缺点，导致了不能准确测量颗粒对筒仓壁面的法向应力，因此，为了更准确的测量颗粒对筒仓的静态与动态应力，更加深入地研究卸料过程中的超压现象，设计高精度、可靠性强的实验装置与检测方法至关重要。

本文搭建了一种直接测量筒仓内壁法向应力的实验装置，该装置改进了前述测量方式中的不足，对筒仓内壁的静态应力与动态应力进行了实验测量与分析，为筒仓结构安全设计提供参考。

2. 实验装置系统和测量方法

2.1. 颗粒材料

实验使用的颗粒材料为均值粒径1.29 mm的透明玻璃珠。在进行实验前，使用孔径分别为1.18 mm (对应目数为16目)和1.4 mm (对应目数为12目)的两层标准筛网对玻璃珠颗粒进行筛选。

2.2. 筒仓应力测量装置

图1是筒仓壁面法向应力的测量系统示意图。实验装置系统由三维筒仓、应力传感器、多路采集模块和控制主机组成。三维筒仓包括半圆柱形容器和漏斗容器两部分。圆柱形容器采用厚度为10 mm的透明有机玻璃加工制成，高度为600 mm，内径为200 mm。漏斗容器由树脂材料加工制成，锥角为60˚，出料孔口直径为16 mm。漏斗与半圆柱形容器采用螺丝固定。传感器为电阻应变式应力传感器，量程为0~98 KPa，准确度为0.5%，系统误差为±10 Pa。筒仓壁面的凹槽尺寸为10.2 mm × 10.2 mm，并用与筒仓壁厚相同且尺寸为10 mm × 10 mm的矩形块进行封堵。为了更好地测量应力的变化与分布特点，在圆柱形部分设置了11个传感器，漏斗部分设置了2个传感器，从上至下依次编号S1至S13。多路采集模块用于采集、传输应力数据，采样频率设置为10 Hz。在实验过程中，将传感器连接至多路采集装置模块，进行应力数据的采集，使用RS485接口进行数据传输至控制主机，控制主机将电压信号转换成应力数据并保存。在填充颗粒之前，先用软橡胶塞堵住卸料孔口，然后使用均匀分散填充方式将颗粒从筒仓顶部填充至筒仓内。

Figure 1. Silo wall normal stress measurement system

图1. 筒仓仓壁法向应力测量系统

图2是本实验应力传感器测量电路的原理图。传感器测量电路采用四线制差动全桥电路，E+与E-两个端口通过电源向传感器提供激励，S+与S−两个端口输出的信号为电压信号。当没有应力作用在传感器上时，电阻应变片R1 = R2 = R3 = R4 = 1000 Ω，当应力作用在传感器上时，应变片的阻值产生变化，使得输出的电压发生改变，因此根据电压变化可以反演出应力大小。在测量过程中通过差动测量方式消除温度漂移，并利用电桥结构的线性响应减少非线性误差。

Figure 2. Physical diagram of stress sensor with differential full-bridge circuit and measurement circuit

图2. 具有差动全桥电路的应力传感器实物图与测量电路

2.3. 传感器标定与系统标定

2.3.1. 应力传感器的标定

为了确定传感器在不同重量条件下的电压变化规律，我们需要进行传感器的标定。首先，将10 g、20 g、40 g、50 g和100 g的砝码水平放置在传感器上，测量并记录每一个重量对应的电压输出；然后，进行六次重复实验；最后，对实验结果取平均值，得出重量与电压之间的关系。图3展示了S9号传感器的标定结果，标定结果的标准差最大为0.23，说明传感器输出有良好的一致性与稳定性，通过拟合得到S9号传感器输出电压与重量的关系系数为18.72。

确定关系系数后，需要将电压变化转换成应力变化，以S9号传感器为例，由图3可得，重量与输出电压之间的关系为：

$m=\frac{U}{18.72}$ (1)

其中，m为施加在传感器上的重量，单位为g；U为传感器的输出电压信号，单位为mv。接下来，需要将重量转换为筒仓内壁单位面积上受到的力。用于采集应力的接触块面积为100 mm²，结合式(1)，可以得到S9号传感器检测的应力计算公式为：

$P_w=\frac{Mg}{A}=\frac{{10}^{-3}mg}{100\times {10}^{-6}}=98\times \frac{U}{18.72}$ (2)

式(2)中，M为传感器受到的重量，单位为kg；A为接触块的面积，单位为m²；g为重力加速度，取9.8 N/kg；$P_w$ 为筒仓内壁受到的应力，单位为Pa。重复上述过程，获得每个传感器的输出电压与质量的关系，如表1所示。

Figure 3. Calibration results of sensor S9

图3. S9号传感器标定结果

Table 1. Relationship between output voltage and mass

表1. 传感器输出电压与质量关系

传感器编号	筒仓高度/mm	标定结果
S1	565	18.32
S2	495	18.38
S3	425	18.39
S4	355	18.15
S5	285	18.68
S6	215	18.60
S7	175	18.30
S8	135	19.01
S9	95	18.72
S10	55	19.10
S11	15	18.51
S12	-17.5	18.69
S13	-37.5	18.20

2.3.2. 筒仓应力测量系统的标定

采用测量静水压强的方法对实验系统进行了标定。首先，将一个薄且不渗水的袋子放入筒仓内，使袋子紧贴筒仓壁面；然后向袋子中注满水，水的深度与筒仓的总高度一致。接着，使用传感器测量筒仓内壁的法向应力。同一深度处水对任意方向的压强满足静水压强理论，

$P_{water}=\rho g{H}_w$ (3)

其中，$\rho$ 是水的密度，g为重力加速度，$H_w$ 为水的深度。图4展示了12次实验测量值与理论计算值，表2为传感器采集的静水应力值的标准差和变异系数及与理论值的误差。图4中离散点为传感器的采集数据，虚线表示理论计算的静水压强随筒仓深度的变化。可以看出测量值与理论计算值的变化一致，由表2可知最大误差仅为1.08%。表2中的标准差、变异系数表明，每个传感器的测量重复性较好，最大标准差为86.4，该位置变异系数为1.43%。

Figure 4. System calibration measurement results and theoretical values

图4. 系统标定测量结果与理论值

Table 2. Standard deviation and coefficient of variation of water pressure measurements and their error from theoretical values

表2. 水压强测量值的标准差和变异系数及与理论值的误差

传感器编号	测量值标准差	变异系数	误差
S1	29.9	8.72%	0.02%
S2	32.8	3.18%	0.02%
S3	57.1	3.38%	1.46%
S4	51.2	2.13%	0.02%
S5	28.7	0.93%	0.21%
S6	12.1	0.32%	0.02%
S7	19.1	0.45%	0.01%
S8	56.6	1.24%	0.09%
S9	16.9	0.34%	0.03%
S10	25.9	0.48%	0.01%
S11	42	0.73%	0.59%
S12	86.4	1.43%	0.01%
S13	69.7	1.13%	1.08%

3. 实验与结果讨论

3.1. 静态应力分布

图5是静态应力测量值与理论计算模型的对比图，其中黑色虚线为传感器测量的内壁静态法向应力的空间分布，蓝色虚线为Janssen模型计算的圆柱形部分内壁静态法向应力，红色虚线为Walters模型计算的筒仓内壁静态法向应力。Janssen模型[18]公式如下：

$P_{w,J}=\frac{\rho gA}{{\mu }_{w}U}\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\lambda {\mu }_{w}U}{A}h}\right)$ (4)

其中，A为筒仓横截面积，U为筒仓横截面周长，${\mu }_w$ 为颗粒与仓壁的摩擦系数，$\lambda$ 为应力转向比，满足$\lambda =\frac{1-\sin \varphi }{1+\sin \varphi }$ ，$\varphi$ 为内摩擦角。

Walters模型由圆柱形部分与漏斗部分构成[19]，圆柱形部分与漏斗部分如式(5)：

$\{\begin{array}{l}{P}_{w,B}=\frac{\rho gD}{4{\mu }_w}\left(1-{\text{e}}^{\frac{-4{\mu }_w{K}_{wA,c}{D}_{c}h}{D}}\right)\\ P_{w,H}=K_{wA,h}\left\{F_1{\left(\frac{h_1}{h_2}\right)}^n+\frac{\rho gh}{n-1}\left[1-{\left(\frac{h_1}{h_2}\right)}^{n-1}\right]\right\}\end{array}$ (5)

其中，

$F_1=\frac{\rho gD}{4{\mu }_w{K}_{wA,c}{D}_c}\left[1-{\text{e}}^{-\frac{4{\mu }_w{K}_{wA,c}{D}_c{h}_0}{D}}\right]$ (6)

$P_{w,B}$ 为圆柱形部分的壁面法向应力，$P_{w,H}$ 为漏斗部分的壁面法向应力，D为圆柱形部分直径，h为圆柱形容器中颗粒到筒仓顶部的距离，$h_0$ 为圆柱形容器的高度，$h_1$ 为漏斗容器中的颗粒到筒仓顶部的距离，$h_2$ 为卸料口至筒仓几何转变处的垂直距离。公式中的参数$K_{wA,c}$ 、$D_c$ 、$K_{wA,h}$ 与壁面摩擦角、内摩擦角以及漏斗锥角有关，详细请参考文献[20]。

从图5中可以看出，在H > 285 mm时，静态应力测量值随着高度的降低而增加，这与Janssen模型和Walters模型的预测是一致的。当$H\in \left[175\text{mm},285\text{mm}\right]$ 时，静态应力的测量值出现了饱和现象，在Gandia的测量实验中也观察到相同的现象[21]。Janssen模型也解释了这种应力饱和现象是由于离散颗粒与筒壁之间的摩擦所造成的结果。然而不同的是，实验测量的应力饱和区域明显高于Janssen模型预测的高度。当H = 135 mm时，圆柱形壁面静态应力测量值最大。然而，在$H\in \left[15\text{mm},135\text{mm}\right]$ 时，静态应力出现了减小现象，这是因为圆柱形下部的力由漏斗中的颗粒承担，从而使这一区域中传递到仓壁的法向力减小。这一现象与两个模型预测的结果均不同。这是因为Janssen模型只适用于平底筒仓，而实验筒仓具有漏斗形底部，使得圆柱形底部几何结构发生改变，从而使这一区域的静态法向应力与Janssen模型的预测存在差异。由于Walters模型圆柱形部分是在Janssen模型的基础上修正的[22]，因此在这一高度范围内的应力趋势也存在差异。在漏斗部分，静态应力测量值随着高度降低而减小，并且整个实验筒仓静态应力最大值出现在漏斗部分靠近H = 0的测量点，这与Walters模型是一致的。

3.2. 动态应力分布

在卸料过程中，我们记录并分析了每一个传感器检测到的动态应力最大值$P_{w,dmax}$ ，图6是筒仓卸料过程中壁面所受最大动态应力$P_{w,dmax}$ 的时空分布图。图6(a)是$P_{w,dmax}$ 的时间分布图，当H > 355 mm即

Figure 5. Comparison between static stress measurement and theoretical model

图5. 静态应力测量值与理论模型对比

Figure 6. Time and space distribution of maximum dynamic stress during unloading, (a) Time Distribution of $P_{w,dmax}$ , (b) Spatial Distribution of $P_{w,dmax}$

图6. 卸料过程中最大动态应力的时间分布与空间分布，(a) $P_{w,dmax}$ 的时间分布，(b) $P_{w,dmax}$ 的空间分布

靠近筒仓顶部时，$P_{w,dmax}$ 出现的时间均在卸料前50s；而在$H\in \left[55\text{mm},215\text{mm}\right]$ 范围内，$P_{w,dmax}$ 出现的时间明显更晚，集中在100 s至150 s。图6(b)是$P_{w,dmax}$ 的空间分布图，在H > 135 mm的区域，最大动态应力随着高度的降低逐渐增大，选取这一区域内每一个测量点处$P_{w,dmax}$ 的平均值，在最大拟合误差为4.03%情况下，通过最小二乘法进行曲线拟合，得到拟合曲线：$y=-3\times {10}^{-5}{x}^2-9\times {10}^{-2}x+615.78$ 。在$H\in \left[0,135\text{mm}\right]$ 这一区域(黑色虚线圈出的区域)$P_{w,dmax}$ 出现了减小现象。在漏斗部分，测量的$P_{w,dmax}$ 在靠近H = 0的位置处最大，并随高度降低而减小。然而$P_{w,dmax}$ 的最大值并没有出现在H = 0 (筒仓几何转变处)的位置，而是出现在筒仓圆柱形部分H = 135 mm处，这与Schulze的研究结果一致，Schulze认为在卸料过程中，最强动态力拱并不在几何转变处，而是在筒仓圆柱形部分的某些位置[23]。

3.3. 超压系数

图7是不同筒仓高度处的超压系数。观察到不同测量位置的超压系数均大于1，表明筒仓不同高度均出现了超压现象，其中在H = 215 mm处超压系数达到最大值3.28。当H > 285 mm时，超压系数的均值随着高度的降低出现了增大现象，在Wang [24]等人的DEM仿真中观察到了相同的现象。通过图7超压系数及其标准差可以发现，在$H\in \left[15\text{mm},285\text{mm}\right]$ 这一高度范围的超压系数均大于2，表明在卸料过程中该区域是应力增幅最显著的区域。而在漏斗部分的超压系数是较小的，特别是靠近卸料口的检测点，其超压系数最小。在靠近卸料口的位置，由于颗粒的流动性增强，使得颗粒堆积较为稀疏，减弱了作用在筒仓壁面的法向应力，最终导致该区域的应力增幅较小。

Figure 7. Distribution of overpressure coefficient of the inner wall of the silo during unloading

图7. 卸料过程中筒仓内壁的超压系数分布

4. 总结

本研究设计了一种改进的筒仓应力测量实验装置，测量了颗粒在静态堆积与卸料过程中的壁面法向应力，并分析了最大动态应力的时空分布及超压系数。首次在实验中观察到筒仓中$H\in \left[15\text{mm},135\text{mm}\right]$ 范围内静态应力存在随高度降低而应力减小的现象，这与Janssen模型的预测不一致。这一偏差可能是由于漏斗部分内壁的收敛效应，使部分法向应力由漏斗中的颗粒承担。动态应力测量结果显示，最大动态应力出现在H = 135 mm处，而非筒仓几何转变位置。同时，超压系数在$H\in \left[15\text{mm},285\text{mm}\right]$ 区域内均超过2，并在H = 215 mm处达到最大值3.28。研究揭示了筒仓卸料过程中应力与超压系数的空间分布特征，为深入理解颗粒流动中的应力变化提供了实验依据。这些结果对筒仓结构优化设计具有重要指导意义，尤其是在卸料过程中应力增幅显著区域的识别与结构安全分析方面，为确保筒仓运行的安全性和耐久性提供了关键设计参考。