临界阻尼型Navier-Stokes方程在Lei-Lin-Gevrey空间$X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$中的局部适定性

The Local Suitability of the Critical Damping Navier-Stokes Equation in Lei-Lin-Gevrey Space $X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$

摘要: 本文证明带有临界型阻尼项的Navier-Stokes方程在Lei-Lin-Gevrey空间$X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ 中存在唯一的局部解。文章利用不动点定理和热方程解的有关性质来证明这一主要结论。

Abstract: In this paper, it is proved that the Navier-Stokes equation with critical damping terms has a unique local solution in the Lei-Lin-Gevrey space $X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ . In this paper, the main conclusion is proved by using the fixed point theorem and the related properties of the solution of the heat equation.

1. 引言

在数学发展史中，经典Navier-Stokes方程一直得到广泛关注，该研究方向也已经有许多优秀成果。包括，Hopf研究了Navier-Stokes方程在有界域中弱解的全局存在性[1]，Fujita和Kato研究了经典Navier-Stokes方程在小初值情况下强解的全局适定性[2]，Tsai-Tai-Peng证明了Navier-Stokes方程具有温和解[3]；Robinson证明了Navier-Stokes方程的3D弱解的整体存在性和在小初值情况下3D强解的整体存在性[4]，Melo，Souza和Santos通过研究MHD-$\alpha$ 方程证明了其在$C_b\left(\left[0,\infty \right);X_{a,\sigma }^s\left({ℝ}^3\right)\right)$ 空间中存在唯一全局解，并且在相同背景下给出了全局解的衰减率[5]等。

近些年，众多学者对带有阻尼项的Navier-Stokes方程进行了研究，其中阻尼项为流体运动的阻力，它描述了各种物理情况，如多孔介质流动，阻力或摩擦效应以及一些耗散机制等。目前在该领域已取得许多成果，包括，蔡晓静和周艳杰研究了广义阻尼型Navier-Stokes方程强解的整体存在性[6]，刘晓风和邹露露研究了阻尼型三维广义Navier-Stokes方程的适定性与解的衰减性[7]，蔡晓静和酒全森证明了$\alpha {\left|u\right|}^{\beta -1}u$ 的Navier-Stokes方程解的存在性和唯一性[8]等。在针对Navier-Stokes方程的研究进程中，学者们逐渐发现Lei-Lin-Gevrey空间的特殊优势，它可以更好地刻画流体的物理性质和运动状态，并在湍流建模，多相流等物理系统的研究中发挥重要作用。本文将研究阻尼项为${\left|u\right|}^{2}u$ 的临界阻尼型Navier-Stokes方程在Lei-Lin-Gevrey空间$X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ 中的局部适定。具体研究方程如下：

$\begin{array}{l}{u}_t-\Delta u+u\cdot \nabla u+\nabla p+{\left|u\right|}^{2}u=0,x\in {ℝ}^3,t>0,\\ \text{div}u=0,x\in {ℝ}^3,t>0,\\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\end{array}$ (1.1)

其中$u\left(x,t\right)=\left(u_1\left(x,t\right),u_2\left(x,t\right),u_3\left(x,t\right)\right)\in {ℝ}^3$ 表示不可压缩速度场，$p\left(x,t\right)\in ℝ$ 表示静水压力；速度场的初始数据$u_0$ 在方程(1.1)中给出，假设散度自由，即$\text{div}{u}_0=0$ 。

本文参考广义Navier-Stokes方程$u_t+{\left(-\Delta \right)}^{\alpha }u+u\cdot \nabla u+\nabla p=0$ ，$x\in {ℝ}^3$ ，$t>0$ ，在Lei-Lin-Gevrey空间$X_{a,\sigma }^s\left({ℝ}^3\right)$ 空间中的一些结果(参见[9] [10])。本文的主要结果如下。

定理1.1设$u_0\in X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ ，$\left(a,\sigma \right)\in [0,+\infty )\times \left[1,+\infty \right)$ ，则存在$T>0$ ，使方程(1.1)存在唯一局部解

$u\in C_T\left(X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，并且满足${\Vert u\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}+{\Vert u\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}\le 4{\Vert u_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}$ 。

注记1.1带有阻尼项的Navier-Stokes方程(1.1)在Lei-Lin-Gevrey空间$X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ 中，在时间和空间尺度变化下是不变的。更准确的说，如果u是方程(1.1)的解，那么对于任意$\lambda >0$ ，函数$u_{\lambda }\left(x,t\right)=\lambda u\left(\lambda x,{\lambda }^{2\alpha }t\right)$ 也是方程(1.1)的解。

注记1.2为了获得阻尼Navier-Stokes方程(1.1)的温和解，我们将应用广义不动点定理(见引理3.2)。为此，我们需要证明一个双线性算子和一个三线性算子的连续有界性(见(4.5)和(4.6))。

下面，我们将给出以下符号表示和相关引理。

2 符号表示

1. $S^{\prime }\left({ℝ}^3\right)$ 为缓增分布空间。

2. 傅里叶变换及其逆变换定义如下

$\text{F}\left(f\right)\left(\xi \right)=\widehat{f}\left(\xi \right):={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{-i\xi \cdot x}f\left(x\right)\text{d}x}$,

${\text{F}}^{-1}\left(g\right)\left(x\right):={\left(2\pi \right)}^{-3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{i\xi \cdot x}g\left(\xi \right)\text{d}\xi }$ ,

3. 分数阶拉普拉斯算子${\left(-\Delta \right)}^{\alpha }$ ，$\left(\forall \alpha \ge \frac{1}{2}\right)$ 定义为

$\text{F}\left[{\left(-\Delta \right)}^{\alpha }f\right]\left(\xi \right)={\left|\xi \right|}^{2\alpha }\widehat{f}\left(\xi \right),\forall \xi \in {ℝ}^3$,

其中$f\in S^{\prime }\left({ℝ}^3\right)$ 并且$\widehat{f}\in L_{loc}^1\left({ℝ}^3\right)$ 。

4. 张量积定义为

$f\otimes g:=\left(g_{1}f,g_{2}f,g_{3}f\right)$ ,

其中$f=\left(f_1,f_2,f_3\right)$ ，$g=\left(g_1,g_2,g_3\right)\in S^{\prime }\left({ℝ}^3\right)$ 。

5. 设$s\in ℝ$ ，Lei-Lin空间定义为

$X^s\left({ℝ}^3\right):=\left\{f\in S^{\prime }\left({ℝ}^3\right):\widehat{f}\in L_{loc}^1\left({ℝ}^3\right)并且{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\xi \right|}^s\left|\widehat{f}\left(\xi \right)\right|\text{d}\xi }<\infty \right\}$,

$X^s\left({ℝ}^3\right)$ 空间范数定义为

${\Vert f\Vert }_{X^s}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\xi \right|}^s\left|\widehat{f}\left(\xi \right)\right|\text{d}\xi }$.

6. 设$a>0$ ，$\sigma \ge 1$ ，$s\in ℝ$ ，Lei-Lin-Gevrey空间定义为

$X_{a,\sigma }^s\left({ℝ}^3\right):=\left\{f\in S^{\prime }\left({ℝ}^3\right):\widehat{f}\in L_{loc}^1\left({ℝ}^3\right)并且{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\xi \right|}^s{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|\widehat{f}\left(\xi \right)\right|\text{d}\xi }<\infty \right\}$,

$X_{a,\sigma }^s\left({ℝ}^3\right)$ 空间范数定义为

${\Vert f\Vert }_{X_{a,\sigma }^s}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\xi \right|}^s{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|\widehat{f}\left(\xi \right)\right|\text{d}\xi }$.

7. 令$T>0$ ，$\left(X,{\Vert \cdot \Vert }_X\right)$ 为赋范空间，并且$I\subseteq ℝ$ 为区间。定义

$C\left(I;X\right)=\left\{f:I\to X���函�\right\}$ ,

$C\left(I;X\right)$ 空间范数定义为

${\Vert f\Vert }_{L^{\infty }\left(I;X\right)}:=\underset{t\in I}{\sup }\left\{{\Vert f\left(t\right)\Vert }_X\right\}$ .

$C_T\left(X\right)$ 可以表示为$C\left(\left[0,T\right];X\right)$ ，${\Vert \cdot \Vert }_{L_T^{\infty }\left(X\right)}$ 也可以表示为${\Vert \cdot \Vert }_{L_T^{\infty }\left(\left[0,T\right];X\right)}$ 。

8. 令$1\le p<\infty$ ，$T>0$ ，$\left(X,{\Vert \cdot \Vert }_X\right)$ 为赋范空间，$I\subseteq ℝ$ 为区间。定义

$L^p\left(I;X\right):=\left\{f:I\to X���函�:{\displaystyle {\int }_I{\Vert f\left(t\right)\Vert }_X^p\text{d}t}<\infty \right\}$ ,

$L^p\left(I;X\right)$ 空间范数定义为

${\Vert f\Vert }_{L^P\left(I;X\right)}:={\left({\displaystyle {\int }_I{\Vert f\left(t\right)\Vert }_X^p\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{p}}$ .

$L^p\left(I;X\right)$ 也可以表示成$L^P\left(\left[0,T\right];X\right)$ 。

3. 预备引理

本文中的主要结果即定理1.1，是基于以下热方程解的研究得出的。该方程具有初值$v_0\in X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ ，$\left(a,\sigma \right)\in [0,+\infty )\times \left[1,+\infty \right)$ ：

$\begin{array}{l}{v}_t-\Delta v=f,t\in \left(0,T\right];\\ v\left(\cdot ,0\right)=v_0\left(x\right),\end{array}$ (3.1)

其中$f\in L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，$T>0$ 是任意的。

引理3.1 [9]

若$a\ge 0$ ，$\sigma \ge 1$ ，$T>0$ ，$s\in ℝ$ ，$\alpha \in {ℝ}^{+}$ ，$f\in L_T^1\left(X_{a,\sigma }^s\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，$v_0\in X_{a,\sigma }^s\left({ℝ}^3\right)$ 。则存在$v\in C_T\left(S^{\prime }\left({ℝ}^3\right)\right)$ 为方程(3.2)的解

$\begin{array}{l}{v}_t-\Delta v=f,x\in {ℝ}^3,t\in \left(0,T\right];\\ v\left(\cdot ,0\right)=v_0\left(x\right),x\in {ℝ}^3.\end{array}$ (3.2)

且$v\in C_T\left(X_{a,\sigma }^s\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L_T^1\left(X_{a,\sigma }^{s+\frac{2\alpha }{p}}\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，$\left(\forall p\ge 1\right)$ 此外还满足，

(i) ${\Vert v\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^s\right)}\le {\Vert v_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^s}+{\Vert f\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^s\right)}$ ，

(ii) ${\Vert v\Vert }_{L_T^p\left(X_{a,\sigma }^{s+\frac{2\alpha }{p}}\right)}^{}\le {\Vert v_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^s}+{\Vert f\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^s\right)}$ 。

为更好应用引理3.1对定理1.1进行证明，下面将对方程(3.2)在$p=1$ ，$s=0$ 时，对于解的情况给予说明。

证明

在系统(3.2)第一个方程的两端同时乘热半群${\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }$ $\left(0\le \tau \le t\le T\right)$ ，利用傅里叶变换并在$\left[0,t\right]$ 上对所得结果进行积分，则可以得到：

$\left|\widehat{v}\left(t\right)\right|\le {\text{e}}^{-t{\left|\xi \right|}^2}\left|{\widehat{v}}_0\right|+{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-\left(t-\tau \right){\left|\xi \right|}^2}\left|\widehat{f}\left(\tau \right)\right|\text{d}\tau }$. (3.3)

首先，证明结论(i)。根据(3.3)我们可以得到

$\left|\widehat{v}\left(t\right)\right|\le \left|{\widehat{v}}_0\right|+{\displaystyle {\int }_0^T\left|\widehat{f}\left(\tau \right)\right|\text{d}\tau }$.

将不等式两端同时乘${\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}$ ，可以得到

${\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|\widehat{v}\left(t\right)\right|\le {\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|{\widehat{v}}_0\right|+{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}{\displaystyle {\int }_0^T\left|\widehat{f}\left(\tau \right)\right|\text{d}\tau }$.

再对上式中的时间t在${ℝ}^3$ 上取L¹积分，这样我们可以得到

${\Vert v\left(t\right)\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}\le {\Vert v_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}+{\Vert f\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)},\forall t\in \left(0,T\right]$ .

因此，可以得出结论

${\Vert v\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le {\Vert v_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}+{\Vert f\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}$ .

以上结论(i)证明完成。由于$v_0\in X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ ，$f\in L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，因此可以进一步得出$v\in C_T\left(X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)\right)$ 。

其次，证明结论(ii)。将(3.3)两端同时乘${\left|\xi \right|}^2{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}$ 可以得到

${\left|\xi \right|}^2{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|\widehat{v}\left(t\right)\right|\le {\left|\xi \right|}^2{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}{\text{e}}^{-t{\left|\xi \right|}^2}\left|{\widehat{v}}_0\right|+{\left|\xi \right|}^2{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-\left(t-\tau \right){\left|\xi \right|}^2}\left|\widehat{f}\left(\tau \right)\right|\text{d}\tau }$.

对上式中的时间t在$\left[0,T\right]$ 上取L¹积分，可以得到

${\displaystyle {\int }_0^T{\left|\xi \right|}^2{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|\widehat{v}\left(t\right)\right|\text{d}t}\le {\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|{\widehat{v}}_0\right|+{\left|\xi \right|}^2{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}{\displaystyle {\int }_0^T\left[{\text{e}}^{-t{\left|\xi \right|}^2}\right]\ast \left[\left|\widehat{f}\left(t\right)\right|\right]\text{d}t}$.

再应用Young’s不等式，可以得到

${\displaystyle {\int }_0^T{\left|\xi \right|}^2{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|\widehat{v}\left(t\right)\right|\text{d}t}\le {\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|{\widehat{v}}_0\right|+{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}{\displaystyle {\int }_0^T\left|\widehat{f}\left(t\right)\right|\text{d}t}$.

再次对上式中的时间t在${ℝ}^3$ 上取L¹积分，则可以得到

${\Vert v\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}\le {\Vert v_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}+{\Vert f\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}$ .

以上结论(ii)证明完成。由于$v_0\in X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ ，$f\in L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，因此进一步证明$v\in L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\left({ℝ}^3\right)\right)$ 。综上，可以推断出$v\in C_T\left(X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\left({ℝ}^3\right)\right)$ 。

以上证明方程(3.2)在$p=1,s=0$ 的情况下，方程的解$v\in C_T\left(X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)$ 。此外，解v满足

(i) ${\Vert v\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le {\Vert v_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}+{\Vert f\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}$ ，

(ii) ${\Vert v\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}\le {\Vert v_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}+{\Vert f\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}$ 。

下面给出广义不动点定理的普通形式。

引理3.2 [11]

设$\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 是一个Banach空间，$B_1:X\times X\times \cdots \times X$ ($\alpha$ 个)是一个$\alpha$ 阶线性连续算子， $B_2:X\times X\times X\cdots \times X$ ($\beta$ 个)是一个$\beta$ 阶线性连续算子，即存在正常数$K_1$ 和$K_2$ ，且 $u_1,u_2,\cdots ,u_{\alpha },v_1,v_2,\cdots ,v_{\beta }\in X$ ，满足

${\Vert B_1\left(u_1,u_2,\cdots ,u_{\alpha }\right)\Vert }_X\le K_1{\Vert u_1\Vert }_X{\Vert u_2\Vert }_X\cdots {\Vert u_{\alpha }\Vert }_X$ ,

${\Vert B_2\left(v_1,v_2,\cdots ,v_{\alpha }\right)\Vert }_X\le K_2{\Vert v_1\Vert }_X{\Vert v_2\Vert }_X\cdots {\Vert v_{\beta }\Vert }_X$ .

令$K=\max \left\{K_1,K_2\right\}$ ，$\epsilon >0$ 。若满足

$2\text{max}\left\{\alpha ,\beta \right\}\left({\left(2\epsilon \right)}^{\alpha -1}+{\left(2\epsilon \right)}^{\beta -1}\right)K<1$ (3.4)

且对任意$y\in K$ 有${\Vert y\Vert }_X\le \epsilon$ ，则方程

$u=y+B_1\left(u,u,\cdots ,u\right)+B_2\left(u,u,\cdots ,u\right),u\in X$

在X中存在解u。并且满足${\Vert u\Vert }_X\le 2{\Vert y\Vert }_X\le 2\epsilon$ 。此外，方程的解u连续依赖于y，即如果${\Vert y_1\Vert }_X\le \epsilon$ ，并且有方程$v=y_1+B_1\left(v,v,\cdots ,v\right)+B_2\left(v,v,\cdots ,v\right)$ ，$v\in X$ ，$v_X\le 2\epsilon$ ，则有

${\Vert u-v\Vert }_X\le \frac{1}{1-2\max \left\{\alpha ,\beta \right\}\left({\left(2\epsilon \right)}^{\alpha -1}+{\left(2\epsilon \right)}^{\beta -1}\right)K}{\Vert y-y_1\Vert }_X.$ (3.5)

证明

首先，令$E:=\left\{u:u\in X,\Vert u\Vert \le 2\epsilon \right\}$ ，$d\left(u,v\right)={\Vert u-v\Vert }_X$ 。下面考虑映射 $T:T_u=y+B_1\left(u,u,\cdots ,u\right)+B_2\left(u,u,\cdots ,u\right)$ ，可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert T_u-T_V\Vert }_X\le {\Vert B_1\left(u,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X+{\Vert B_1\left(u,v,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X\\ +\cdots + {\Vert B_1\left(u,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X+{\Vert B_1\left(u,,v,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X\\ +{\Vert B_2\left(u,v,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X+{\Vert B_2\left(u-v,v,\cdots ,v\right)\Vert }_X\\ \le 2\max \left\{\alpha ,\beta \right\}\left({\left(2\epsilon \right)}^{\alpha -1}+{\left(2\epsilon \right)}^{\beta -1}\right)K{\Vert u-v\Vert }_X\\ <{\Vert u-v\Vert }_X.\end{array}$ (3.6)

因此，T是一个从(E, d)到自身的压缩映射。

其次，由(3.4)可得${\Vert y\Vert }_X\le \epsilon$ ，那么对$y\in E$ 有

$\begin{array}{c}{\Vert T_u\Vert }_X\le {\Vert y\Vert }_X+{\Vert B_1\left(u,u,\cdots ,u\right)\Vert }_X+{\Vert B_1\left(u,u,\cdots ,u\right)\Vert }_X\\ \le {\Vert y\Vert }_X+K\left({\Vert u\Vert }_X^{\alpha }+{\Vert u\Vert }_X^{\beta }\right)\\ \le \epsilon +2\left({\left(2\epsilon \right)}^{\alpha -1}+{\left(2\epsilon \right)}^{\beta -1}\right)K\epsilon \\ <2\epsilon ,\end{array}$ (3.7)

从而，可以得到$T_u\in E$ 。根据压缩映射原理，压缩映射T有唯一一个不动点u，$u\in E$ ，并且满足${\Vert u\Vert }_X\le 2\epsilon$ 。

最后，证明不等式(3.5)，对满足引理条件的u和v，可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert u-v\Vert }_X\le {\Vert y-y_1\Vert }_X+{\Vert B_1\left(u,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X+{\Vert B_1\left(u,,v,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X\\ +\cdots +{\Vert B_1\left(u,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X+{\Vert B_1\left(u,,v,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X\\ +{\Vert B_2\left(u,v,u-v,\cdots ,u\right)\Vert }_X+{\Vert B_2\left(u-v,v,\cdots ,v\right)\Vert }_X\\ \le {\Vert y-y_1\Vert }_X+2\max \left\{\alpha ,\beta \right\}\left({\left(2\epsilon \right)}^{\alpha -1}+{\left(2\epsilon \right)}^{\beta -1}\right)K{\Vert u-v\Vert }_X.\end{array}$ (3.8)

由(3.4)和(3.7)易得${\Vert u\Vert }_X\le 2{\Vert y\Vert }_X$ 。

以上，引理3.2证明完成。

引理3.3 [9]

设$a,\sigma$ 为实数，且满足$\left(a,\sigma \right)\in \left[0,+\infty \right)\times \left[1,+\infty \right)$ 。若$f\in X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ ，则$f\in X_{\frac{a}{\sigma },\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ 。此外，存在一个正常数C，使得${\Vert f\Vert }_{X_{\frac{a}{\sigma },\sigma }^0}\le C{\Vert f\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}$ 。

引理3.4 [12]

设$a\ge 0,\sigma \ge 1$ 。若$f,g\in X_{a,\sigma }^1\left({ℝ}^3\right)\cap X_{\frac{a}{\sigma },\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ ，则有$fg\in X_{a,\sigma }^1\left({ℝ}^3\right)$ 。而且，存在正常数C，使得${\Vert fg\Vert }_{X_{a,\sigma }^1}\le C\left[{\Vert f\Vert }_{X_{\frac{a}{\sigma },\sigma }^0}{\Vert g\Vert }_{X_{a,\sigma }^1}+{\Vert f\Vert }_{X_{a,\sigma }^1}{\Vert g\Vert }_{X_{\frac{a}{\sigma },\sigma }^0}\right]$ 。

4. 定理1.1证明

定义赋范空间$X_T$ ，$X_T:=C_T\left(X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，$\left(T>0\right)$ 。并且，$X_T$ 空间范数定义为${\Vert g\Vert }_{X_T}={\Vert g\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}+{\Vert g\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}$ ，$\forall g\in X_T$ 。下面，证明方程(1.1)在$X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)$ 空间中解的适定性。

首先将算子${\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }$ (其中$\tau \in \left[0,t\right]$ )作用于(1.1)中的第一个方程，可以得到

${\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }{u}_t-{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }\cdot u+{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }P\left(u\cdot \nabla u+{\left|u\right|}^{2}u\right)=0$ , (4.1)

其中P是Leray-Hopf投影算子。且该算子满足

$\left|\text{F}\left[P\left(f\right)\right]\left(\xi \right)\right|\le \left|\widehat{f}\left(\xi \right)\right|,\forall \xi \in {ℝ}^3$. (4.2)

将(4.1)在$\left[0,t\right]$ 上积分得到

$u\left(t\right)={\text{e}}^{t\Delta }{u}_0-{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }P\left(u\cdot \nabla u+{\left|u\right|}^{2}u\right)\left(\tau \right)\text{d}\tau }$ , (4.3)

另一方面，(4.3)可以写成

$u\left(t\right)={\text{e}}^{t\Delta }{u}_0+B_1\left(u,u\right)\left(t\right)+B_2\left(u,u,u\right)\left(t\right)$ , (4.4)

其中

$B_1\left(u,u\right)=-{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }P\left(u\cdot \nabla u\right)\left(\tau \right)\text{d}\tau },\forall u\in X_T$ , (4.5)

$B_2\left(u,u,u\right)=-{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }P\left({\left|u\right|}^{2}u\right)\left(\tau \right)\text{d}\tau },\forall u\in X_T$ . (4.6)

根据(4.5)和(4.6)易验证$B_1:X_T\times X_T\to X_T$ 是一个双线性算子，$B_2:X_T\times X_T\times X_T\to X_T$ 是一个三线性算子。下证算子$B_1$ 和$B_2$ 分别为双连续算子和三连续算子。

首先验证算子$B_1$ 是双连续的。由(4.5)可以得到：

$\begin{array}{c}{\partial }_t{B}_1\left(u,u\right)\left(t\right)=-\Delta {\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }P\left(u\cdot \nabla u\right)\left(\tau \right)\text{d}\tau }-P\left(u\cdot \nabla u\right)\left(t\right)\\ =\Delta B_1\left(u,u\right)\left(t\right)-P\left(u\cdot \nabla u\right)\left(t\right).\end{array}$

因此，我们可以得到与$B_1$ 相关的以下系统：

$\begin{array}{l}\partial B_1\left(u,u\right)\left(t\right)=\Delta B_1\left(u,u\right)\left(t\right)-P\left(u\cdot \nabla u\right)\left(t\right);\\ B_1\left(u,u\right)\left(0\right)=0.\end{array}$ (4.7)

我们将应用引理3.1和(4.7)来证明$B_1$ 是连续的，通过观察(4.2)，我们可以得到：

$\begin{array}{c}P{\left(u\cdot \nabla u\right)}_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|\text{F}\left[P\left(u\otimes \nabla u\right)\left(t\right)\right]\right|\text{d}\xi \text{d}t}}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left|\xi \right|{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|\text{F}\left[\left(u\otimes u\right)\left(t\right)\right]\right|\text{d}\xi \text{d}t}}.\end{array}$

从而，可以得到

${\Vert P\left(u\cdot \nabla u\right)\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \left(u\otimes u\right)\left(t\right)\Vert }_{X_{a,\sigma }^1}\text{d}t}$ .

对上式应用引理3.4，可以得到

${\Vert P\left(u\cdot \nabla u\right)\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le C{\displaystyle {\int }_0^T\left[{\Vert u\Vert }_{X_{\frac{a}{\sigma },\sigma }^0}{\Vert u\Vert }_{X_{a,\sigma }^1}+{\Vert u\Vert }_{X_{a,\sigma }^1}{\Vert u\Vert }_{X_{\frac{a}{\sigma },\sigma }^0}\right]\text{d}t}$ ,

由于$a\ge 0,\sigma \ge 1$ 。故应用引理3.3和Hölder不等式可以得到

${\Vert P\left(u\cdot \nabla u\right)\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le 2C{\Vert u\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}{\Vert u\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u\Vert }_{X_{a,\sigma }^2}^{\frac{1}{2}}\text{d}t}$ , (4.8)

其中$\left(a,\sigma \right)\in \left[0,+\infty \right)\times \left[1,+\infty \right)$ 。对(4.8)再次应用Hölder不等式可以得到，

${\Vert P\left(u\cdot \nabla u\right)\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le 2C{T}^{\frac{1}{2}}{\Vert u\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}{\Vert u\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}^{\frac{1}{2}}{\Vert u\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}^{\frac{1}{2}}$ .

因此，可以得到

${\Vert P\left(u\cdot \nabla u\right)\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le 2C{T}^{\frac{1}{2}}{\Vert u\Vert }_{X_T}{\Vert u\Vert }_{X_T},\forall u\in X_T$ , (4.9)

将引理3.1 (i)应用于系统(4.7)，并利用(4.9)可以推断出

${\Vert B_1\left(u,u\right)\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le 2C{T}^{\frac{1}{2}}{\Vert u\Vert }_{X_T}{\Vert u\Vert }_{X_T},\forall u\in X_T,$ (4.10)

将引理3.1 (ii)应用于系统(4.7)，并利用(4.9)可以得到

${\Vert B_1\left(u,u\right)\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}\le 2C{T}^{\frac{1}{2}}{\Vert u\Vert }_{X_T}{\Vert u\Vert }_{X_T},\forall u\in X_T$ , (4.11)

由(4.10)和(4.11)，可以得出

${\Vert B_1\left(u,u\right)\Vert }_{X_T}\le K_1{\Vert u\Vert }_{X_T}{\Vert u\Vert }_{X_T},\forall u\in X_T,$ (4.12)

其中$K_1=2C{T}^{\frac{1}{2}}$ 。该不等式表明算子$B_1$ 是连续的。

其次验证算子$B_2$ 是三连续的。由(4.6)可以得到

$\begin{array}{c}{\partial }_t{B}_2\left(u,u,u\right)\left(t\right)=-\Delta {\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\left(t-\tau \right)\Delta }P\left({\left|u\right|}^{2}u\right)\left(\tau \right)\text{d}\tau }-P\left({\left|u\right|}^{2}u\right)\left(t\right)\\ =\Delta B_2\left(u,u,u\right)\left(t\right)-P\left({\left|u\right|}^{2}u\right)\left(t\right).\end{array}$

因此，我们可以得到与$B_2$ 相关的以下系统：

$\begin{array}{l}\partial B_2\left(u,u,u\right)\left(t\right)=\Delta B_2\left(u,u,u\right)\left(t\right)-P\left({\left|u\right|}^{2}u\right)\left(t\right);\\ B_2\left(u,u,u\right)\left(0\right)=0.\end{array}$ (4.13)

由此可以得到

${\Vert P\left({\left|u\right|}^{2}u\right)\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\left|u\right|}^{2}u\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}\text{d}t}\le CT\underset{0<t\le T}{\sup }{\Vert u\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}^3$ . (4.14)

将引理3.1应用于系统(4.13)，并利用(4.14)可以推断出

${\Vert B_2\left(u,u,u\right)\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le CT\underset{0<t\le T}{\sup }{\Vert u\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}^3,\forall u\in X_T$ .

${\Vert B_2\left(u,u,u\right)\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}\le CT\underset{0<t\le T}{\sup }{\Vert u\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}^3,\forall u\in X_T$ .

结合以上两个不等式，可以得到

${\Vert B_2\left(u,u,u\right)\Vert }_{X_T}\le K_2\underset{0<t\le T}{\sup }{\Vert u\Vert }_{X_T}^3,\forall u\in X_T$ ,

其中$K_2=CT$ 。该不等式表明算子$B_2$ 是三连续的。

因此，我们只需根据空间$X_T$ ，估计方程(4.4)中的项${\text{e}}^{t\Delta }{u}_0$ 。应用引理3.2可以得到

${\Vert {\text{e}}^{t\Delta }{u}_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}{\text{e}}^{-t{\left|\xi \right|}^2}\left|{\widehat{u}}_0\left(\xi \right)\right|\text{d}\xi }\le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|{\widehat{u}}_0\left(\xi \right)\right|\text{d}\xi }={\Vert u_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0},\forall t\in \left[0,T\right]$.

从而可以得到结论

${\Vert {\text{e}}^{t\Delta }{u}_0\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}\le {\Vert u_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}$ . (4.15)

另一方面，

$\begin{array}{c}{\Vert {\text{e}}^{t\Delta }{u}_0\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\xi \right|}^2{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|{\widehat{u}}_0\left(\xi \right)\right|\left({\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{-t{\left|\xi \right|}^2}\text{d}t}\right)\text{d}\xi }\\ \le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\text{e}}^{a{\left|\xi \right|}^{1/\sigma }}\left|{\widehat{u}}_0\left(\xi \right)\right|\text{d}\xi }={\Vert u_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}.\end{array}$ (4.16)

因此，根据(4.15)和(4.16)可以得出结论：

${\Vert {\text{e}}^{t\Delta }{u}_0\Vert }_{X_T}\le 2{\Vert u_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}$ . (4.17)

下面，让我们证明定理1.1。

由上述证明可以得出，$B_1$ 为双连续线性算子，$B_2$ 三连续线性算子，且$K_1=2C{T}^{\frac{1}{2}}{\Vert u\Vert }_{X_T}$ ，$K_2=CT$ 。那么令$K=\max \left\{K_1,K_2\right\}$ ，对任意$\epsilon >0$ ，若K满足$K<\frac{1}{6\left(2\epsilon +{\left(2\epsilon \right)}^2\right)}$ ，存在$T>0$ ，根据引理3.2可以得到方程(4.4)存在局部唯一解$u\in X_T$ ，且满足${\Vert u\Vert }_{X_T}\le 2{\Vert {\text{e}}^{t\Delta }{u}_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}$ 。由(4.17)可以得到 ${\Vert u\Vert }_{X_T}\le 4{\Vert {\text{e}}^{t\Delta }{u}_0\Vert }_{X_T}\le 4{\Vert u_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}$ ，即${\Vert u\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}+{\Vert u\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}\le 4{\Vert u_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}$ 。

综上，可以得到方程(1.1)存在唯一局部解$u\in C_T\left(X_{a,\sigma }^0\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，并且满足 ${\Vert u\Vert }_{L_T^{\infty }\left(X_{a,\sigma }^0\right)}+{\Vert u\Vert }_{L_T^1\left(X_{a,\sigma }^2\right)}\le 4{\Vert u_0\Vert }_{X_{a,\sigma }^0}$ 。定理1.1证明完成。